2 номер егэ информатика обозначения

Продолжаем наш видеокурс по подготовке к ЕГЭ по информатике 2022. Сегодня разоблачим второе задание!

Кто незнаком с основными логическими операциями, можете посмотреть прошлогоднюю статью по заданию 2 из ЕГЭ по информатике.

В этой статье будут раскрыты методики решения 2 задания через язык программирования Питон.

Будем перебирать для каждой логической переменной все возможные варианты в программе. А логическая переменная всего два значения может принимать: 1 или 0 (истину или ложь). Таким образом, если к примеру у нас 4 переменные, мы получим 2⁴=16 различных комбинаций.

Кто знаком с мощнейшим методом для 2 задания из ЕГЭ по информатике, о котором я рассказывал в прошлогодней статье, тот поймёт, что мы будем применять тот же самый мощнейший метод, но автоматизированный с помощью питона.

Нам нужно будет запрограммировать логическую функцию на языке Питон. Вот таблица, которая поможет это сделать.

Перейдём к практике решения задач задания 2 с помощью языка программирования Python.

Задача (Классическая)

Миша заполнял таблицу истинности логической функции F

(w → z) ∧ ((y → x) ≡ (z → y)),

но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже
не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных
w, x, y, z.

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных
w, x, y, z.

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому
столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.). Буквы
в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить
не нужно.

Пример. Функция F задана выражением ¬x / y, зависящим от двух
переменных, а фрагмент таблицы имеет следующий вид.

В этом случае первому столбцу соответствует переменная y, а второму
столбцу – переменная x. В ответе следует написать: yx.

Решение:

Решать задачу будем с помощью шаблона на языке Python (Питон).

print('x y z w')
for x in range(0, 2):
    for y in range(0, 2):
        for w in range(0, 2):
            for z in range(0, 2):
                if (not(w) or z) and ((not(y) or x) == (not(z) or y)):
                    print(x, y, z, w)

В задаче у нас 4 переменные, значит, формируем 4 вложенных цикла. В каждом цикле перебираем все возможные значения для конкретной переменной. Мы перебираем значения 0 и 1.

Функция должна выдавать всегда 1 (единицу, истину). Внутри всех циклов прописываем условие, которое срабатывает как раз на истину. В этом условии прописываем нашу функцию. Если наша функция будет выдавать истину, то мы распечатаем значения переменных, при которых это произошло. Если функция будет выдавать ложь, значит, ничего распечатано не будет.

Четыре вложенных цикла проверяют все возможные варианты (2⁴ = 16 вариантов), и мы получим таблицу истинности, почти такую же, как нам и дали в условии задачи.

Так же вверху печатаем названия переменных, чтобы знать, какие значения каким переменным принадлежат.

Запустим программу, и на экране распечатается табличка:

В получившийся табличке может быть больше строчек, чем в условии. Так же при поиске переменных нельзя опираться на порядок, в котором идут нули и единицы в нашей табличке. А можно опираться лишь на количество нулей и единиц в строчках или столбцах.

Можно вычеркнуть первую строчку и последнюю, потому что в таблице, которую дали в условии, в каждой строчке есть хотя бы один ноль и хотя бы одна единица.

Сразу видно, что первый столбец принадлежит переменной x, только там могут быть все единицы.

Второй столбец принадлежит переменной w, только там могут быть все нули.

У нас остались две пустые клеточки в самой таблице. Нам нужно где-то поставить единицу, а где-то ноль, потому что у нас остались столбцы с двумя единицами и одним нулём, а так же с двумя нулями и одной единицей. Если мы в третий столбец поставим единицу, а в четвёртый ноль, то первая строчка и вторая будут совпадать.

А в условии сказано, что строки не должны повторяться. Поэтому нужно ноль и единицу расставить наоборот.

Получается, что в третий столбец идёт z, а в четвёртый y

Ответ: xwzy

Посмотрим, как решать задачи второго задания из ЕГЭ по информатике, когда функция выдаёт нули в таблице истинности.

Задача (Классическая, закрепление)

Миша заполнял таблицу истинности функции (x ≡ ¬y) → ((x ∧ w) ≡ z), но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных
w, x, y, z.

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому
столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.). Буквы
в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить
не нужно.

Пример. Функция F задана выражением ¬x / y, зависящим от двух
переменных, а фрагмент таблицы имеет следующий вид.

В этом случае первому столбцу соответствует переменная y, а второму
столбцу – переменная x. В ответе следует написать: yx.

Решение:

Воспользуемся программой на языке Python.

print('x y z w')
for x in range(0, 2):
    for y in range(0, 2):
        for w in range(0, 2):
            for z in range(0, 2):
                if not( not(( x == (not(y)) )) or ((x and w) == z) ):
                    print(x, y, z, w)

От прошлой программы эта программа отличается только функцией!

В таблице видим, что функция должна выдавать ноль. Поэтому в условии мы функцию «оборачиваем» в not().

После == операцию not() мы заключили в скобки, чтобы не было синтаксической ошибки.

Получаем следующую таблицу истинности:

Разгадаем, где какая переменная находится.

Последнюю строку из нашей таблицы можно вычеркнуть, потому что, если мы вычеркнем другую строку, то не получится столбца, где все три единицы, а он должен быть.

Получается, что второй столбец достаётся переменной z.

В первом столбце должно быть две единицы. На эту роль подходит переменная y.

В нашей таблице нет строчки, где все единицы, значит, во второй строчке в пустом окошке выставляем ноль. И в этой строчке нулём обладает переменная x. Следовательно, в третьем столбце будет находится x.

А в последний столбец идёт переменная w по остаточному принципу.

Ответ: yzxw

А как Питон справится с более сложной функцией из примерного варианта ЕГЭ по информатике?

Задача (Сложная функция)
Логическая функция F задаётся выражением ((x → y ) ∧ (y → w)) ∨ (z ≡ ( x ∨ y)).
Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции F.
Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и фрагмент таблицы истинности:

Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.

Источник задачи сайт решу ЕГЭ: https://inf-ege.sdamgia.ru/

Решение:

Запрограммируем функцию на языке Python.

print('x y z w')
for x in range(0, 2):
    for y in range(0, 2):
        for w in range(0, 2):
            for z in range(0, 2):
                if not( ((not(x) or y) and (not(y) or w)) or (z == (x or y)) ):
                    print(x, y, z, w)

Запустим программу и расставим переменные по своим местам.

Переменная z может быть только в третьем столбце.

Во второй столбец идёт переменная w, только этот столбец может иметь одну единицу.

Посмотрим на строчку, где у w стоит единица. В этой же строчке и у x единица. Значит, x идёт в последний столбец, а y в первый столбец.

Ответ: ywzx

Тот же шаблон работает, когда у нас во втором задании три переменные.

Задача (Три переменные)

(№ 1608) Логическая функция F задаётся выражением (¬x ∧ z) ∨ (¬x ∧ ¬y ∧ ¬z)

На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

Источник задачи сайт К. Ю. Полякова: https://kpolyakov.spb.ru/

Решение:

Для трёх переменных шаблон на Питоне отлично работает.

print('x y z')
for x in range(0, 2):
    for y in range(0, 2):
        for z in range(0, 2):
               if (not(x) and z) or (not(x) and not(y) and not(z)):
                    print(x, y, z)

Здесь и так понятно, куда какая переменная идёт.

Ответ: yxz

Посмотрим, как решать задачи из второго задания ЕГЭ по информатике, когда в таблице истинности разные значения у функции F.

Задача (Разные значения функции)

Логическая функция F задаётся выражением (¬a ∨ b ∨ ¬c) ∧ (b ∨ ¬c). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c.

В ответе напишите буквы a, b, c в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (без разделителей).

Источник задачи сайт К. Ю. Полякова: https://kpolyakov.spb.ru/

Решение:

Когда такая ситуация, что функция имеет различные значения в таблице, мы можем проверить, какие значения переменных дают единицу у всей функции. А потом проверить, какие значения выдают ноль у всей функции, если это потребуется.

print('a b c')
for a in range(0, 2):
    for b in range(0, 2):
        for c in range(0, 2):
               if (not(a) or b or not(c)) and (b or not(c)):
                    print(a, b, c)

В таблице 6 строчек, в которых главная функция превращается в единицу. Далее эти строчки и будем рассматривать. У нас тоже получилось 6 строчек.

Переменная a имеет три единицы. Это второй столбец, потому что там три единицы.

Переменная b имеет четыре единицы, значит, она расположена в первом столбце.

Переменной c достаётся последний столбец.

Ответ: bac

Ещё одна интересная задача для подготовки к ЕГЭ по информатике 2022.

Задача(С подвохом)

Логическая функция F задаётся выражением a ≡ b ∨ b → c.

На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c.

Источник задачи группа Евгения Джобса: https://vk.com/inform_web

Решение:

Подвох заключается в том, что если мы переведём бездумно функцию на язык Питон, то получится a==b or not(b) or c. Но у нас существуют приоритеты для логических операций, которые описаны в прошлогодней статье по подготовке к ЕГЭ по информатике.

В начале должно обрабатываться или, которое было изначально. Затем должно обработаться следование, а потом равносильность. А если мы переведём формулу бездумно, порядок будет не правильный.

Операцию b ∨ b можно представить, как просто b. Ведь, если b принимает значение 0, тогда будет 0 ∨ 0 = 0. Если значение будет 1, то 1 ∨ 1 = 1. Поэтому формулу можно переписать следующим образом:

a ≡ b → c

a == (not(b) or c)

В предыдущих задачах нам не приходилось думать над приоритетами, потому что везде были расставлены скобки. И в основном они уже расставлены в задачах второго задания из ЕГЭ по информатике.

Дальше решаем как обычно.

print('a b c')
for a in range(0, 2):
    for b in range(0, 2):
        for c in range(0, 2):
               if a == (not(b) or c):
                    print(a, b, c)

Последнюю строчку можно вычеркнуть из нашей таблицы, т.к. у нас в каждой строчке есть хотя бы один ноль.

Последний столбец занимает переменная a, т.к. только в последний столбец может влезть две единицы.

В строчке, где у a ноль, так же ноль и у переменной c. Значит, во второй столбец идёт переменная c. Если мы ноль поставим в первой строчке в первом столбце, то получится первый столбец из всех нулей. А такого у нас в таблице истинности нет.

Тогда переменная b в первом столбце.

Ответ: bca

Автор материалов — Лада Борисовна Есакова.

В компьютере вся информация представлена в двоичной системе счисления, в которой используется две цифры – 0 и 1. Собственно, и цифр как таковых у компьютера нет, а есть электрический сигнал, проходящий по электронным схемам и соединительным проводникам (шинам) компьютера, который может принимать значения “высокий уровень электрического напряжения” (принимаемый нами за 1) и “низкий уровень электрического напряжения” (принимаемый за 0). Для различных действий над этими нулями и единичками нам необходимы специальные операции, которые работают с двоичными переменными.  Такие операции называются логическими операциями.

Логические операции и их аргументы принимают только два значения: 1 (“истина”) и 0 (“ложь”).

Таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных.

Количество строк в таблице истинности выражения от N переменных равно 2^N.

Основные логические операции:

1). Логическое умножение (конъюнкция, логическое И). Обозначается:  AND, &, /.

Таблица истинности:

2). Логическое сложение (дизъюнкция, логическое ИЛИ). Обозначается:  OR, |, /.

Таблица истинности:

3). Логическое отрицание (инверсия, логическое НЕ). Обозначается: NOT, ¬, .

Таблица истинности:

4). Логическое следование (импликация). Обозначается: →.

Таблица истинности:

5). Логическое равенство (эквивалентность). Обозначается: ↔, ~.

Таблица истинности:

Порядок (приоритет) выполнения логических операций:

Если в выражении нет скобок, то операции выполняются в следующем порядке:

—          Логическое отрицание (инверсия, логическое НЕ);

—          Логическое умножение (конъюнкция, логическое И);

—          Логическое сложение (дизъюнкция, логическое ИЛИ);

—          Логическое следование (импликация);

—          Логическое равенство (эквивалентность).

Выбор выражения по таблице истинности

Пример 1.

Дан фраг­мент таб­ли­цы ис­тин­но­сти вы­ра­же­ния F:

Каким вы­ра­же­ни­ем может быть F?

1) (x1 ∧ x2) ∨ (x3 ∧ x4) ∨ (x5 ∧ x6)

2) (x1 ∧ x3) ∨ (x3 ∧ x5) ∨ (x5 ∧ x1)

3) (x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2)

4) (x1 ∧ x4) ∨ (x2 ∧ x5) ∨ (x3 ∧ x6)

Решение:

Все пред­став­лен­ные ва­ри­ан­ты от­ве­та — дизъ­юнк­ции трёх конъ­юнк­ций. Все зна­че­ния F в таблице равны нулю. Дизъ­юнк­ция равна нулю, когда все слагаемые равны нулю.

Рас­смот­ри по­очерёдно все че­ты­ре вы­ра­же­ния.

1) В пер­вой стро­ке таб­ли­цы x1=1 и x2=1, зна­чит x1∧x2=1. Выражение не подходит.

2) Во вто­рой стро­ке таб­ли­цы x1=1 и x3=1, зна­чит x1∧x3=1. Выражение не подходит.

3) Подставим в третье выражение поочередно значения всех строк таблицы:

Первая строка

(x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2) = (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0

Вторая строка

(x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2) = (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0

Третья строка

(x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2) = (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0

Выражение подходит.

4) В тре­тьей стро­ке таб­ли­цы x1=1 и x4=1, зна­чит x1∧x4=1. Выражение не подходит.

Ответ:3

Пример 2.

Для таб­ли­цы ис­тин­но­сти функ­ции F из­вест­ны зна­че­ния толь­ко не­ко­то­рых ячеек:

Каким вы­ра­же­ни­ем может быть F?

1) x1 ∧ x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7

2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7

3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ x7

4) x1 ∨ x2 ∨ ¬ x3 ∨ x4 ∨ x5 ∨ ¬x6 ∨ x7

Решение:

Рас­смот­ри по­очерёдно все че­ты­ре вы­ра­же­ния.

1)      Выражение является конъюнкцией переменных и их отрицаний. Конъюнкция равна единице, когда все операнды равны единице. В первой строке x6 = 0, а значит и все выражение F равно нулю,  что не со­от­вет­ству­ет таб­ли­це ис­тин­но­сти.

2)      Выражение является дизъюнкцией переменных и их отрицаний. Дизъюнкция равна единице, когда хотя бы один операнд равен единице. Подставим во второе выражение поочередно значения всех строк таблицы:

Первая строка

x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ 0  ∨ ¬x5 ∨ 0 ∨ ¬x7 может принимать значение 1, если хотя бы один из операндов равен 1.

Вторая строка

x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ 1 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ 1 = 1

Третья строка

x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = 0 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ 0 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 может принимать значение 0, если все остальные операнды равны 0.

3)      Выражение является конъюнкцией переменных и их отрицаний. Конъюнкция равна единице, когда все операнды равны единице. Во второй строке x4 = 0, а значит и все выражение F равно нулю,  что не со­от­вет­ству­ет таб­ли­це ис­тин­но­сти.

4)     Выражение является дизъюнкцией переменных и их отрицаний. Дизъюнкция равна единице, когда хотя бы один операнд равен единице. В третьей строке x4 = 1, значит и все выражение F равно 1,  что не со­от­вет­ству­ет таб­ли­це ис­тин­но­сти.

Ответ:2

Пример 3.

Логическая функция F задаётся выражением (¬z) ∧ x ∨ x ∧ y. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая 1-му столбцу; затем – буква, соответствующая 2-му столбцу; затем – буква, соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Решение:

Выражение (¬z) ∧ x ∨ x ∧ y яв­ля­ет­ся дизъ­юнк­ци­ей двух конъ­юнк­ций:

((¬z) ∧ x) ∨ (x ∧ y) . В обеих конъюнкциях присутствует x. Т. е. при x = 0 все выражение равно 0. Это выполняется только при Перем.3 = x.

Выражение равно 1, если x =1 и выполняется хотя бы одно из условий: y = 1 или z = 0. Из четвертой строки следует, что Перем.1 = z, а Перем.2 = y.

Ответ: zyx

Задача 1

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <fstream>
using namespace std;
bool f(int A, int B, int C, int D, int E, int F){
    return (!(!A || F) && B && !C && (!D || E));
}
int main() {
    int count = 0;
    for (int A = 0; A <= 1; ++A)
        for (int B = 0; B <= 1; ++B)
            for (int C = 0; C <= 1; ++C)
                for (int D = 0; D <= 1; ++D)
                    for (int E = 0; E <= 1; ++E)
                        for (int F = 0; F <= 1; ++F)
                            if (f(A, B, C, D, E, F) == false)
                                count++;
    cout << count;
    return 0;
}

Задача 2

Задача 3

Задача 4

bool f(int x, int y, int z, int w){
    return (((x && z) || !x) && !w && y);
}
int main() {
    cout << "x y z w F" << endl;
    for (int x = 0; x <= 1; ++x)
        for (int y = 0; y <= 1; ++y)
            for (int z = 0; z <= 1; ++z)
                for (int w = 0; w <= 1; ++w)
                    if (f(x, y, z, w) == true)
                        cout << x << " " << y << " "
                            << z << " " << w << " " << f(x, y, z, w) << endl;
    return 0;
}

Задача 5

bool f(int x, int y, int z, int w){
    return ((!y || w) || (!x && z));
}
int main() {
    cout << "x y z w F" << endl;
    for (int x = 0; x <= 1; ++x)
        for (int y = 0; y <= 1; ++y)
            for (int z = 0; z <= 1; ++z)
                for (int w = 0; w <= 1; ++w)
                    if (f(x, y, z, w) == false)
                        cout << x << " " << y << " "
                            << z << " " << w << " " << f(x, y, z, w) << endl;
    return 0;
}

Задача 6

Задача 7

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <fstream>
using namespace std;
bool f(int x, int y, int z){
    return ((x || y) && (!z || y));
}
int main() {
    cout << "x y z F" << endl;
    for (int x = 0; x <= 1; ++x)
        for (int y = 0; y <= 1; ++y)
            for (int z = 0; z <= 1; ++z)
                    if (f(x, y, z) == false)
                        cout << x << " " << y << " "
                            << z << " " << f(x, y, z) << endl;
    return 0;
}

Задача 8

Задача 9

Задача 10

Задача 11

Задача 12

Алгебра логики

Алгебра логики

Алгебра логики (англ. algebra of logic) — один из основных разделов математической логики, в котором методы алгебры используются в логических преобразованиях.

Основоположником алгебры логики является английский математик и логик Дж. Буль (1815–1864), положивший в основу своего логического учения аналогию между алгеброй и логикой. Любое высказывание он записывал с помощью символов разработанного им языка и получал «уравнения», истинность или ложность которых можно было доказать, исходя из определенных логических законов, таких как законы коммутативности, дистрибутивности, ассоциативности и др.

Современная алгебра логики является разделом математической логики и изучает логические операции над высказываниями с точки зрения их истинностного значения (истина, ложь). Высказывания могут быть истинными, ложными или содержать истину и ложь в разных соотношениях.

Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно утверждать, что его содержание истинно или ложно.

Например, «3 умножить на 3 равно 9», «Архангельск севернее Вологды» — истинные высказывания, а «Пять меньше трех», «Марс — звезда» — ложные.

Очевидно, что не всякое предложение может быть логическим высказыванием, т. к. не всегда есть смысл говорить о его ложности или истинности. Например, высказывание «Информатика — интересный предмет» неопределенно и требует дополнительных сведений, а высказывание «Для ученика 10-А класса Иванова А. А. информатика — интересный предмет» в зависимости от интересов Иванова А. А. может принимать значение «истина» или «ложь».

Кроме двузначной алгебры высказываний, в которой принимаются только два значения — «истинно» и «ложно», существует многозначная алгебра высказываний. В такой алгебре, кроме значений «истинно» и «ложно», употребляются такие истинностные значения, как «вероятно», «возможно», «невозможно» и т. д.

В алгебре логики различаются простые (элементарные) высказывания, обозначаемые латинскими буквами (A, B, C, D, …), и сложные (составные), составленные из нескольких простых с помощью логических связок, например таких, как «не», «и», «или», «тогда и только тогда», «если … то». Истинность или ложность получаемых таким образом сложных высказываний определяется значением простых высказываний.

Обозначим как А высказывание «Алгебра логики успешно применяется в теории электрических схем», а через В — «Алгебра логики применяется при синтезе релейно-контактных схем».

Тогда составное высказывание «Алгебра логики успешно применяется в теории электрических цепей и при синтезе релейно-контактных схем» можно кратко записать как А и В; здесь «и» — логическая связка. Очевидно, что поскольку элементарные высказывания А и В истинны, то истинно и составное высказывание А и В.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.

Логических значений всего два: истина (TRUE) и ложь (FALSE). Это соответствует цифровому представлению — 1 и 0. Результаты каждой логической операции можно записать в виде таблицы. Такие таблицы называют таблицами истинности.

Основные операции алгебры логики

1. Логическое отрицание, инверсия (лат. inversion — переворачивание) — логическая операция, в результате которой из данного высказывания (например, А) получается новое высказывание (не А), которое называется отрицанием исходного высказывания, обозначается символически чертой сверху ($A↖{-}$) или такими условными обозначениями, как ¬, ‘not’, и читается: «не А», «А ложно», «неверно, что А», «отрицание А». Например, «Марс — планета Солнечной системы» (высказывание А); «Марс — не планета Солнечной системы» ($A↖{-}$); высказывание «10 — простое число» (высказывание В) ложно; высказывание «10 — не простое число» (высказывание B ) истинно.

Операция, используемая относительно одной величины, называется унарной. Таблица значений данной операции имеет вид

или

Высказывание $A↖{-}$ ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно.

Геометрически отрицание можно представить следующим образом: если А — это некоторое множество точек, то $A↖{-}$ — это дополнение множества А, т. е. все точки, которые не принадлежат множеству А.

2. Конъюнкция (лат. conjunctio — соединение) — логическое умножение, операция, требующая как минимум двух логических величин (операндов) и соединяющая два или более высказываний при помощи связки «и» (например, «А и В»), которая символически обозначается с помощью знака ∧ (А ∧ В) и читается: «А и В». Для обозначения конъюнкции применяются также следующие знаки: А ∙ В; А & В, А and В, а иногда между высказываниями не ставится никакого знака: АВ. Пример логического умножения: «Этот треугольник равнобедренный и прямоугольный». Данное высказывание может быть истинным только в том случае, если выполняются оба условия, в противном случае высказывание ложно.

Таблица истинности операции имеет вид

или

Высказывание А ∧ В истинно только тогда, когда оба высказывания — А и В истинны.

Геометрически конъюнкцию можно представить следующим образом: если А, В — это некоторые множества точек, то А ∧ В есть пересечение множеств А и В.

3. Дизъюнкция (лат. disjunction — разделение) — логическое сложение, операция, соединяющая два или более высказываний при помощи связки «или» (например, «А или В»), которая символически обозначается с помощью знака ∨ (А ∨ В) и читается: «А или В». Для обозначения дизъюнкции применяются также следующие знаки: А + В; А or В; А | B. Пример логического сложения: «Число x делится на 3 или на 5». Это высказывание будет истинным, если выполняются оба условия или хотя бы одно из условий.

Таблица истинности операции имеет вид

или

Высказывание А ∨ В ложно только тогда, когда оба высказывания — А и В ложны.

Геометрически логическое сложение можно представить следующим образом: если А, В — это некоторые множества точек, то А ∨ В — это объединение множеств А и В, т. е. фигура, объединяющая и квадрат, и круг.

4. Дизъюнкция строго-разделительная, сложение по модулю два — логическая операция, соединяющая два высказывания при помощи связки «или», употребленной в исключающем смысле, которая символически обозначается с помощью знаков ∨ ∨ или ⊕ (А ∨ ∨ В, А ⊕ В) и читается: «либо А, либо В». Пример сложения по модулю два — высказывание «Этот треугольник тупоугольный или остроугольный». Высказывание истинно, если выполняется какое-то одно из условий.

Таблица истинности операции имеет вид

или

Высказывание А ⊕ В истинно только тогда, когда высказывания А и В имеют различные значения.

5. Импликация (лат. implisito — тесно связываю) — логическая операция, соединяющая два высказывания при помощи связки «если…, то» в сложное высказывание, которое символически обозначается с помощью знака → (А → В) и читается: «если А, то В», «А влечет В», «из А следует В», «А имплицирует В». Для обозначения импликации применяется также знак ⊃ (A ⊃ B). Пример импликации: «Если полученный четырехугольник квадрат, то около него можно описать окружность». Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием. Результат операции ложен только тогда, когда предпосылка есть истина, а следствие — ложь. Например, «Если 3 * 3 = 9 (А), то Солнце — планета (В)», результат импликации А → В — ложь.

Таблица истинности операции имеет вид

или

Для операции импликации справедливо утверждение, что из лжи может следовать все что угодно, а из истины — только истина.

6. Эквивалентность, двойная импликация, равнозначность (лат. aequalis — равный и valentis — имеющий силу) — логическая операция, позволяющая из двух высказываний А и В получить новое высказывание А ≡ В, которое читается: «А эквивалентно B». Для обозначения эквивалентности применяются также следующие знаки: ⇔, ∼. Эта операция может быть выражена связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «равносильно». Примером эквивалентности является высказывание: «Треугольник будет прямоугольным тогда и только тогда, когда один из углов равен 90 градусам».

Таблица истинности операции эквивалентности имеет вид

или

Операция эквивалентности противоположна сложению по модулю два и имеет результат «истина» тогда и только тогда, когда значения переменных совпадают.

Зная значения простых высказываний, можно на основании таблиц истинности определить значения сложных высказываний. При этом важно знать, что для представления любой функции алгебры логики достаточно трех операций: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Приоритет выполнения логических операций следующий: отрицание («не») имеет самый высокий приоритет, затем выполняется конъюнкция («и»), после конъюнкции — дизъюнкция («или»).

С помощью логических переменных и логических операций любое логическое высказывание можно формализовать, т. е. заменить логической формулой. При этом элементарные высказывания, образующие составное высказывание, могут быть абсолютно не связаны по смыслу, но это не мешает определять истинность или ложность составного высказывания. Например, высказывание «Если пять больше двух (А), то вторник всегда наступает после понедельника (В)» — импликация А → В, и результат операции в данном случае — «истина». В логических операциях смысл высказываний не учитывается, рассматривается только их истинность или ложность.

Рассмотрим, например, построение составного высказывания из высказываний А и В, которое было бы ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. В таблице истинности для операции сложения по модулю два находим: 1 ⊕ 1 = 0. А высказывание может быть, например, таким: «Этот мяч полностью красный или полностью синий». Следовательно, если утверждение А «Этот мяч полностью красный» — истина, и утверждение В «Этот мяч полностью синий» — истина, то составное утверждение — ложь, т. к. одновременно и красным, и синим мяч быть не может.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить для указанных значений X значение логического высказывания ((X > 3) ∨ (X < 3)) → (X < 4) :

1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.

Решение. Последовательность выполнения операций следующая: сначала выполняются операции сравнения в скобках, затем дизъюнкция, и последней выполняется операция импликации. Операция дизъюнкции ∨ ложна тогда и только тогда, когда оба операнда ложны. Таблица истинности для импликации имеет вид

Отсюда получаем:

1) для X = 1:

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) для X = 12:

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) для X = 3:

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

Пример 2. Указать множество целых значений X, для которых истинно выражение ¬((X > 2) → (X > 5)) .

Решение. Операция отрицания применена ко всему выражению ((X > 2) → (X > 5)) , следовательно, когда выражение ¬((X > 2) → (X > 5)) истинно, выражение ((X > 2) →(X > 5)) ложно. Поэтому необходимо определить, для каких значений X выражение ((X > 2) → (X > 5)) ложно. Операция импликации принимает значение «ложь» только в одном случае: когда из истины следует ложь. А это выполняется только для X = 3; X = 4; X = 5.

Пример 3. Для каких из приведенных слов ложно высказывание ¬(первая буква гласная ∧ третья буква гласная) ⇔ строка из 4 символов? 1) асса; 2) куку; 3) кукуруза; 4) ошибка; 5) силач.

Решение. Рассмотрим последовательно все предложенные слова:

1) для слова асса получим: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — высказывание истинно;

2) для слова куку получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — высказывание истинно;

3) для слова кукуруза получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 — высказывание ложно;

4) для слова ошибка получим: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 — высказывание истинно;

5) для слова силач получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 — высказывание ложно.

Логические выражения и их преобразование

Под логическим выражением следует понимать такую запись, которая может принимать логическое значение «истина» или «ложь». При таком определении среди логических выражений необходимо различать:

• выражения, которые используют операции сравнения («больше», «меньше», «равно», «не равно» и т. п.) и принимают логические значения (например, выражение а > b , где а = 5 и b = 7, равно значению «ложь»);
• непосредственные логические выражения, связанные с логическими величинами и логическими операциями (например, A ∨ В ∧ С, где А = истина, B = ложь и C = истина).

Логические выражения могут включать в себя функции, алгебраические операции, операции сравнения и логические операции. В этом случае приоритет выполнения действий следующий:

1. вычисление существующих функциональных зависимостей;
2. выполнение алгебраических операций (вначале умножение и деление, затем вычитание и сложение);
3. выполнение операций сравнения (в произвольном порядке);
4. выполнение логических операций (вначале операции отрицания, затем операции логического умножения, логического сложения, последними выполняются операции импликации и эквивалентности).

В логическом выражении могут использоваться скобки, которые изменяют порядок выполнения операций.

Пример. Найти значение выражения:

$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(π/a — π/b) < 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b > a + b ∨ A ∧ B)$ для а = 2, b = 3, A = истина, В = ложь.

Решение. Порядок подсчета значений:

1) b^a + a^b > a + b, после подстановки получим: 3² + 2³ > 2 + 3, т. е. 17 > 2 + 3 = истина;

2) A ∧ B = истина ∧ ложь = ложь.

Следовательно, выражение в скобках равно (b^a + a^b > a + b ∨ A ∧ B) = истина ∨ ложь = истина;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = истина;

4) sin(π/a — π/b)  < 1 = sin(π/2 — π/3) < 1 = истина.

После этих вычислений окончательно получим: истина ∨ А ∧ истина ∧ ¬В ∧ ¬истина.

Теперь должны быть выполнены операции отрицания, затем логического умножения и сложения:

5) ¬В = ¬ложь = истина; ¬истина = ложь;

6) A ∧ истина ∧ истина ∧ ложь = истина ∧ истина ∧ истина ∧ ложь = ложь;

7) истина ∨ ложь = истина.

Таким образом, результат логического выражения при заданных значениях— «истина».

Примечание. Учитывая, что исходное выражение есть, в конечном итоге, сумма двух слагаемых, и значение одного из них 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = истина, без дальнейших вычислений можно сказать, что результат для всего выражения тоже «истина».

Тождественные преобразования логических выражений

В алгебре логики выполняются основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений.

Доказательства этих утверждений производят на основании построения таблиц истинности для соответствующих записей.

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определенному виду путем использования основных законов алгебры логики. Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквивалентности, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая содержит либо меньшее по сравнению с исходной число операций, либо меньшее число переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т. п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Рассмотрим на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул:

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .

Для преобразования здесь можно применить закон идемпотенции, распределительный закон; операцию переменной с инверсией и операцию с константой.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1 .

Здесь для упрощения применяется закон поглощения.

3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .

При преобразовании применяются правило де Моргана, операция переменной с ее инверсией, операция с константой

Примеры решения задач

Пример 1. Найти логическое выражение, равносильное выражению A ∧ ¬(¬B ∨ C) .

Решение. Применяем правило де Моргана для В и С: ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C .

Получаем выражение, равносильное исходному: A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C .

Ответ: A ∧ B ∧ ¬C.

Пример 2. Указать значение логических переменных А, В, С, для которых значение логического выражения (A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) ложно.

Решение. Операция импликации ложна только в случае, когд а из истинной посылки следует ложь. Следовательно, для заданного выражения посылка A ∨ B должна принимать значение «истина», а следствие, т. е. выражение B ∨ ¬C ∨ B , — «ложь».

1) A ∨ B — результат дизъюнкции — «истина», если хотя бы один из операндов — «истина»;

2) B ∨ ¬C ∨ B — выражение ложно, если все слагаемые имеют значение «ложь», т. е. В — «ложь»; ¬C — «ложь», а следовательно, переменная С имеет значение «истина»;

3) если рассмотреть посылку и учесть, что В — «ложь», то получим, что значение А — «истина».

Ответ: А — истина, В — ложь, С — истина.

Пример 3. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание (35 < X · X) → (X < (X — 3)) ?

Решение. Запишем таблицу истинности для операции импликации:

Выражение X < (X — 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Ответ: X = 5.

Использование логических выражений для описания геометрических областей

Логические выражения могут быть использованы для описания геометрических областей. В этом случае задача формулируется так: записать для заданной геометрической области такое логическое выражение, которое принимает значение «истина» для значений x, y тогда и только тогда, когда любая точка с координатами (x; y) принадлежит геометрической области.

Рассмотрим описание геометрической области с помощью логического выражения на примерах.

Пример 1. Задано изображение геометрической области. Записать логическое выражение, описывающее множество точек, принадлежащих ей.

1) .

Решение. Заданную геометрическую область можно представить в виде набора следующих областей: первая область — D1 — полуплоскость ${x}/{-1} +{y}/{1} ≤ 1$, вторая — D2 — круг с центром в начале координат $x^2 + y^2 ≤ 1$. Их пересечение D1 $∩$ D2 представляет собой искомую область.

Результат: логическое выражение ${x}/{-1}+{y}/{1} ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

2)

Эту область можно записать так: |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1 .

Примечание. При построении логического выражения используются нестрогие неравенства, а это значит, что границы фигур также принадлежат заштрихованной области. Если использовать строгие неравенства, то границы учитываться не будут. Границы, не принадлежащие области, обычно изображаются пунктиром.

Можно решить обратную задачу, а именно: нарисовать область для заданного логического выражнения.

Пример 2. Нарисовать и заштриховать область, для точек которой выполняется логическое условие y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y < 2 .

Решение. Искомая область представляет собой пересечение трех полуплоскостей. Строим на плоскости (x, y) прямые y = x; y = –x; y = 2. Это границы области, причем последняя граница y = 2 не принадлежит области, поэтому ее наносим пунктирной линией. Для выполнения неравенства y ≥ x нужно, чтобы точки находились слева от прямой y = x, а неравенство y = –x выполняется для точек, которые находятся справа от прямой y = –x. Условие y < 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Использование логических функций для описания электрических схем

Логические функции очень удобны для описания работы электрических схем. Так, для схемы, представленной на рис., где значение переменной X — это состояние выключателя (если он включен, значение X — «истина», а если выключен — «ложь»), это значение Y — это состояние лампочки (если она горит — значение «истина», а если нет — «ложь»), логическая функция запишется так: Y = X . Функцию Y называют функцией проводимости.

Для схемы, представленной на рис., логическая функция Y имеет вид: Y = X1 ∪ X2, т. к. достаточно одного включенного выключателя, чтобы горела лампочка. В схеме на рис., для того чтобы горела лампочка, должны быть включены оба выключателя, следовательно, функция проводимости имеет вид: Y = X1 ∧ X2 .

Для более сложной схемы функция проводимости будет иметь вид: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Схема также может содержать контакты на замыкание. В этом случае размыкаемый контакт как выключатель обеспечивает загорание лампочки, когда кнопка отпущена, а не нажата. Для таких схем размыкающий выключатель описывается отрицанием.

Две схемы называются равносильными, если через одну из них ток проходит тогда, когда он проходит и через другую. Из двух равносильных схем более простой считается схема, функция проводимости которой содержит меньшее число элементов. Задача нахождения наиболее простых схем среди равносильных очень важна.

Использование аппарата алгебры логики при проектировании логических схем

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера. Любая информация при обработке на компьютере представляется в двоичной форме, т. е. кодируется некоторой последовательностью 0 и 1. Обработку двоичных сигналов, соответствующих 0 и 1, выполняют в компьютере логические элементы. Логические элементы, которые выполняют основные логические операции И, ИЛИ, НЕ, представлены на рис.

Условные обозначения логических элементов являются стандартными и используются при составлении логических схем компьютера. С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу компьютера.

Технически компьютерный логический элемент реализуется в виде электрической схемы, которая представляет собой соединение различных деталей: диодов, транзисторов, резисторов, конденсаторов. На вход логического элемента, который называют также вентилем, поступают электрические сигналы высокого и низкого уровней напряжения, на выход выдается один выходной сигнал также либо высокого, либо низкого уровня. Эти уровни соответствуют одному из состояний двоичной системы: 1 — 0; ИСТИНА — ЛОЖЬ. Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем. Работу логических схем описывают с помощью таблиц истинности. Условное обозначение на схеме ИЛИ знак «1» — от устаревшего обозначения дизъюнкции как «>=1» (значение дизъюнкции равно 1, если сумма двух операндов больше или равна 1). Знак «&» на схеме И является сокращенной записью английского слова and.

Из логических элементов составляются электронные логические схемы, выполняющие более сложные логические операции. Набор логических элементов, состоящий из элементов НЕ, ИЛИ, И, с помощью которых можно построить логическую структуру любой сложности, называется функционально полным.

Построение таблиц истинности логических выражений

Для логической формулы всегда можно записать таблицу истинности, т. е. представить заданную логическую функцию в табличном виде. В этом случае таблица должна содержать все возможные комбинации аргументов функции (формулы) и соответствующие значения функции (результаты формулы на заданном наборе значений).

Удобной формой записи при нахождении значений функции является таблица, содержащая, кроме значений переменных и значений функции, также значения промежуточных вычислений. Рассмотрим пример построения таблицы истинности для формулы ${X1}↖{-} ∧ X2 ∨ {X1 ∨ X2}↖{-} ∨ X1$.

Если функция принимает значение 1 при всех наборах значений переменных, она является тождественно-истинной; если при всех наборах входных значений функция принимает значение 0, она является тождественно-ложной; если набор выходных значений содержит как 0, так и 1, функция называется выполнимой. Приведенный выше пример является примером тождественно-истинной функции.

Зная аналитическую форму логической функции, всегда можно перейти к табличной форме логических функций. С помощью заданной таблицы истинности можно решить обратную задачу, а именно: для заданной таблицы построить аналитическую формулу логической функции. Различают две формы построения аналитической зависимости логической функции по таблично заданной функции.

1. Дизъюнктивно нормальная форма (ДНФ) — сумма произведений, образованных из переменных и их отрицаний для ложных значений.

Алгоритм построения ДНФ следующий:

1. в таблице истинности функции выбирают наборы аргументов, для которых логические формы равны 1 («истина»);
2. все выбранные логические наборы как логические произведения аргументов записывают, последовательно соединив их между собой операцией логической суммы (дизъюнкции);
3. для аргументов, которые являются ложными, в построенной записи проставляют операцию отрицания.

Пример. Построить функцию, определяющую, что первое число равно второму, используя метод ДНФ. Таблица истинности функции имеет вид

Решение. Выбираем наборы значений аргументов, в которых функция равна 1. Это первая и четвертая строки таблицы (строку заголовка при нумерации не учитываем).

Записываем логические произведения аргументов этих наборов, объединив их логической суммой: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 .

Записываем отрицание относительно аргументов выбранных наборов, имеющих ложное значение (четвертая строка таблицы; второй набор в формуле; первый и второй элементы): X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ ${X2}↖{-}$.

Ответ: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ ${X2}↖{-}$.

2. Конъюнктивно нормальная форма (КНФ) — произведение сумм, образованных из переменных и их отрицаний для истинных значений.

Алгоритм построения КНФ следующий:

1. в таблице истинности выбирают наборы аргументов, для которых логические формы равны 0 («ложь»);
2. все выбранные логические наборы как логические суммы аргументов записывают последовательно, соединив их между собой операцией логического произведения (конъюнкции);
3. для аргументов, которые являются истинными, в построенной записи проставляют операцию отрицания.

Примеры решения задач

Пример 1. Рассмотрим предыдущий пример, т. е. построим функцию, определяющую, что первое число равно второму, используя метод КНФ. Для заданной функции ее таблица истинности имеет вид

Решение. Выбираем наборы значений аргументов, в которых функция равна 0. Это вторая и третья строки (строку заголовка при нумерации не учитываем).

Записываем логические суммы аргументов этих наборов, объединив их логическим произведением: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2 .

Записываем отрицание относительно аргументов выбранных наборов, имеющих истинное значение (вторая строка таблицы, первый набор формулы, второй элемент; для третьей строки, а это второй набор формулы, первый элемент): X1 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ X2.

Таким образом, получена запись логической функции в КНФ.

Ответ: X1 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ X2.

Полученные двумя методами значения функций являются эквивалентными. Для доказательства этого утверждения используем правила логики: F(X1, X2) = X1 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ X2 = X1 ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ ${X2}↖{-}$.

Пример 2. Построить логическую функцию для заданной таблицы истинности:

Решение. Используем алгоритм ДНФ для построения исходной функции:

Искомая формула: X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ X2 .

Ее можно упростить: X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ ${X1}↖{-}$) = X2 ∧ 1 = X2.

Пример 3. Для приведенной таблицы истинности построить логическую функцию, используя метод ДНФ.

Искомая формула: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ ${X3}↖{-}$ ∪ X1 ∧ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X3}↖{-}$.

Формула достаточно громоздка, и ее следует упростить:

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ ${X3}↖{-}$ ∨ X1 ∧ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X3}↖{-}$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ ${X1}↖{-}$) ∨ X1 ∧ ${X3}↖{-}$ ∧ (X2 ∨ ${X2}↖{-}$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ ${X3}↖{-}$.

Таблицы истинности для решения логических задач

Составление таблиц истинности — один из способов решения логических задач. При использовании такого способа решения, условия, которые содержит задача, фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

Примеры решения задач

Пример 1. Составить таблицу истинности для охранного устройства, которое использует три датчика и срабатывает при замыкании только двух из них.

Решение. Очевидно, что результатом решения будет таблица, в которой искомая функция Y(X1, X2, X3) будет иметь значение «истина», если какие-либо две переменные имеют значение «истина».

Пример 2. Составить расписание уроков на день, учитывая, что урок информатики может быть только первым или вторым, урок математики — первым или третьим, а физики — вторым или третьим. Возможно ли составить расписание, удовлетворив всем требованиям? Сколько существует вариантов расписания?

Решение. Задача легко решается, если составить соответствующую таблицу:

Из таблицы видно, что существуют два варианта искомого расписания:

1. математика, информатика, физика;
2. информатика, физика, математика.

Пример 3. В спортивный лагерь приехали трое друзей — Петр, Борис и Алексей. Каждый из них увлекается двумя видами спорта. Известно, что таких видов спорта шесть: футбол, хоккей, лыжи, плавание, теннис, бадминтон. Также известно, что:

1. Борис — самый старший;
2. играющий в футбол младше играющего в хоккей;
3. играющие в футбол и хоккей и Петр живут в одном доме;
4. когда между лыжником и теннисистом возникает ссора, Борис мирит их;
5. Петр не умеет играть ни в теннис, ни в бадминтон.

Какими видами спорта увлекается каждый из мальчиков?

Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.

Так как видов спорта шесть, получается, что все мальчики увлекаются разными видами спорта.

Из условия 4 следует, что Борис не увлекается ни лыжами, ни теннисом, а из условий 3 и 5, что Петр не умеет играть в футбол, хоккей, теннис и бадминтон. Следовательно, любимые виды спорта Петра — лыжи и плавание. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов «Лыжи» и «Плавание» заполним нулями.

Из таблицы видно, что в теннис может играть только Алексей.

Из условий 1 и 2 следует, что Борис не футболист. Таким образом, в футбол играет Алексей. Продолжим заполнять таблицу. Внесем в пустые ячейки строки «Алексей» нули.

Окончательно получаем, что Борис увлекается хоккеем и бадминтоном. Итоговая таблица будет выглядеть следующим образом:

Ответ: Петр увлекается лыжами и плаванием, Борис играет в хоккей и бадминтон, а Алексей занимается футболом и теннисом.

Основано на: демонстрационных вариантах ЕГЭ по информатике за 2015 год, на учебнике Босовой Людмилы Леонидовны

Задание: 

Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	F
	0						1	0
1			0					1
			1				1	1

Каким выражением может быть F?
1) x1 / ¬x2 / x3 / ¬x4 / x5 / x6 / ¬x7 / ¬x8
2) x1 / x2 / x3 / ¬x4 / ¬x5 / ¬x6 / ¬x7 / ¬x8
3) ¬x1 / x2 / ¬x3 / x4 / x5 / ¬x6 / x7 / x8
4) x1 / ¬x2 / x3 / ¬x4 / ¬x5 / ¬x6 / ¬x7 / ¬x8

В решении заданий ЕГЭ по информатике № 2 согласно Спецификации КИМ 2015 года к ЕГЭ по ифнорматике тестируются знания по пунктам:

• Высказывания, логические операции, кванторы, истинность высказывания.
• Умения строить модели объектов, систем и процессов в виде таблицы истинности для логического высказывания

На выполнение  задания №2 ЕГЭ по информатике отводится 3 минуты.

Для решения этого задания нам необходимо вспомнить теорию в области Высказываний и логических операций (тема 9-го класа).

Высказывание — это предложение на любом языке, содержание кото­рого можно однозначно определить как истинное или ложное.

Примеры:

1. Солнце вращается вокруг земли (НЕТ, ложное высказывание)
2. Земля круглая (ДА, истинное высказывание)
3. 2+2=4 (ДА)
4. 2>6 (НЕТ)

Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не яв­ляются. Например, не являются высказываниями такие предложения, как: «Запишите задание на каникулы», «Как пройти в магазин?», «Кто там?».

В алгеб­ре логики высказывания обозначают буквами (например X1, x2, C, A, B) и называют логичес­кими переменными. При этом если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей (А = 1), а если ложно — нулём (В = 0). 0 и 1, обозначающие значения логических переменных, называются логическими значе­ниями.

Высказывания бывают простые и сложные. Высказывание назы­вается простым, если никакая его часть сама не является высказыва­нием. Сложные (составные) высказывания строятся из простых с по­мощью логических операций. Рассмотрим основные логические операции, определённые над высказываниями. Все они соответствуют связкам, употребляемым в естественном языке.

Конъюнкция

Рассмотрим два высказывания: А = «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль», В = «Исследования Клода Шенно­на позволили применить алгебру логики в вычислительной техни­ке». Очевидно, новое высказывание «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль, и исследования Клода Шеннона по­зволили применить алгебру логики в вычислительной технике» ис­тинно только в том случае, когда одновременно истинны оба исход­ных высказывания. Самостоятельно установите истинность или ложность трёх рассмотрен­ных высказываний.

Конъюнкция — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Для записи конъюнкции используются следующие знаки: / , `*`, И, &,     Например: А/В, А*В,  А И В, А&В. Конъюнкцию можно описать в виде таблицы, которую называют таблицей истинности:

В таблице истинности перечисляются все возможные значения ис­ходных высказываний (столбцы А и В), причём соответствующие им двоичные числа, как правило, располагают в порядке возрастания: 00, 01, 10, 11. В последнем столбце записан результат выполнения логической операции для соответствующих операндов.

Иначе конъюнкцию называют логическим умножением. Подумайте почему.

Дизъюнкция

Рассмотрим два высказывания: А = «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу», В = «Лейбниц является основоположником бинарной арифметики». Очевидно, новое высказывание «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу или Лейбниц является основоположником би­нарной арифметики» ложно только в том случае, когда одновремен­но ложны оба исходных высказывания.

Самостоятельно установите истинность или ложность трёх рассмотрен­ных высказываний.

Дизъюнкция — логическая операция, которая каждым двум высказыва­ниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Для записи дизъюнкции используются следующие знаки: V, |, ИЛИ, +. Например: АVВ, А|В, А ИЛИ В, А+В. Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности:

Иначе дизъюнкцию называют логическим сложением. 

Проболжение читайте в части Номер два. Разбор задания 2 ЕГЭ. Построение таблиц истинности логических выражений. Часть 2.

• Коменты VK
• Анонимные коменты, G+ или Facebook