Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Сайты, меню, вход, новости
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.
Спрятать решение
Решение.
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру:
значит, 
Ответ: 18.
Приведем другое решение.
Высота правильного треугольника равна 3 радиусам вписанной окружности, поэтому она равна 18.
Тренажер задания 3 профильного ЕГЭ по математике-2022 (с ответами). Здесь приведены прототипы задания 3 — задачи на вписанную окружность (треугольник, ромб, трапеция, четырехугольник). Это задание на планиметрию. Номер заданий соответствует номеру заданий в базе mathege.ru.
Вписанная окружность
Треугольник
27943. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.
27907. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.
27908. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.
27909. Сторона правильного треугольника равна 
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
27910. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 
Найдите сторону этого треугольника.
27934. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
27935. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
27932. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
27933. В треугольнике ABC AC = 4, BC = 3, угол C равен 90º. Найдите радиус вписанной окружности.
Ромб
27913. Сторона ромба равна 1, острый угол равен 30º. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
27914. Острый угол ромба равен 30º. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба.
Трапеция
27936. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.
27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите длину её средней линии.
27938. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
Четырехугольник
27939. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, CD = 16. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.
27940. В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 26, вписана окружность, AB=6. Найдите CD.
27941. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону четырехугольника.
Прототипы задания №8 ЕГЭ по математике профильного уровня — текстовые задачи. Практический материал для подготовки к экзамену в 11 классе.
Для успешного выполнения задания №8 необходимо уметь строить и исследовать простейшие математические модели.
Практика
Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 2.1, 2.2
Уровень сложности задания — повышенный.
Максимальный балл за выполнение задания — 1
Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне (в мин.) — 7
Примеры заданий:
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
Связанные страницы:
За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 3 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 93.6%
Ответом к заданию 5 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Разбор сложных заданий в тг-канале
Задачи для практики
Задача 1
Найдите корень уравнения $log_{x+5}{64} = 2$.
Решение
Найдем ОДЗ: ${tablex + 5 > 0; x + 5 ≠ 1;$ ${tablex > -5; x ≠ -4;$ $x ∈ (-5; -4) ∪ (-4; +∞)$.
По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$
$(x + 5)^2 = 64$,
$x + 5 = 8$ или $x + 5 = -8$,
$x = 3 $ или $x = -13 $
$x = -13$ — не входит в ОДЗ.
Ответ: 3
Задача 2
Найдите корень уравнения $log_{5}{(x^2+26x + 169)}-2 =log_{√5}{(5x-7)}$.
Решение
$log_{5}{(x^2+26x + 169)}-2 =log_{√5}{(5x-7)}$,
$log_{5}{(x+13)^2}-log_{5}{25} =log_{5^{1/2}}{(5x-7)}$,
$log_{5}{(x+13)^2/{25}} =2log_{5}{(5x-7)}$,
$log_{5}{(x+13)^2/{25}} =log_{5}{(5x-7)^2}$,
$(x+13)^2/{25} =(5x-7)^2$,
$(x+13)/{5} =(5x-7)$ или $(x+13)/{5} =-(5x-7)$,
Откуда: $x=2$ или $x=11/13 — $ второй корень не удовлетворяет ОДЗ,
Ответ: 2
Задача 3
Найдите корень уравнения $log_{3}{(4x-15)} =log_{3}{(x+3)}$.
Решение
$log_3 (4x — 15) = log_3 (x + 3)$,
$4x — 15 = x + 3$,
$3x = 18, x = 6$.
Проверка. При $x = 6$ получаем $log_3 (6 · 4 — 15) = log_3 (6 + 3)$ — верное равенство.
$x = 6$ — корень уравнения.
Ответ: 6
Задача 4
Найдите корень уравнения $625^{x+1}={1} / {5}$.
Решение
$(5^4)^{x+1} = 5^{-1}$, применим свойство $(a^b)^c=a^{bc}$
$5^{4x+4} = 5^{-1}$,
$4x + 4 = -1$,
$4x = -5$,
$x = -1.25$.
Ответ: -1.25
Задача 5
Найдите корень уравнения $9^{x-12}={1} / {3}$.
Решение
$(3^2)^{x-12}=3^{-1} $, применим свойство $(a^b)^c=a^{bc}$
$ 3^{2x-24} = 3^{-1} $,
$2x-24=-1 $,
$ 2x=23 $,
$ x=11{,}5$.
Ответ: 11.5
Задача 6
Найдите корень уравнения $(x-12)^3=-27$.
Решение
$(x-12)^3=-27$
$ (x-12)^3=(-3)^3 $,
$ x-12=-3 $,
$x=9$.
Ответ: 9
Задача 7
Найдите корень уравнения $log_{2}{(12+x)} =-2$.
Решение
По определению логарифма $12+x = 2^{-2}, 12+x = 0.25, x = 0.25-12, x = -11.75$.
Ответ: -11.75
Задача 8
Найдите корень уравнения $log_{3}{(4-x)} =5$.
Решение
По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$
$4-x = 3^5 $,
$ 4-x=243 $,
$x=-239$.
Ответ: -239
Задача 9
Решите уравнение $(x+7)^2 = x^2+7$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Решение
Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$x^2 + 14x + 49 = x^2 + 7$,
$14x = -42$,
$x = -3$.
Ответ: -3
Задача 10
Решите уравнение $(5x+11)^2 = (5x-2)^2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Решение
Воспользуемся формулами сокращенного умножения:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Таким образом:
$25x^2+110x+121=25x^2-20x+4$,
$ 110x+20x=-117$,
$130x=-117$
$x=-117/130$
$x=-0.9$.
Ответ: -0.9
Задача 11
Найдите корень уравнения $√ {14-5x}=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение
Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая тоже неотрицательна:
$-x ⩾ 0$, — домножим обе части на -1, в таком случае знак неравенства меняется
$ x ⩽ 0$.
Возведя обе части в квадрат, получим уравнение $14-5x=x^2$,
$x^2+5x-14=0$,
$ x_1=-7$,
$ x_2=2$ — не удовлетворяет условию $x⩽ 0$.
Пояснение: $(-x)^2=(-x)(-x)=x^2$
Ответ: -7
Задача 12
Найдите корень уравнения ${x+3} / {2x-11}={x+3} / {3x-7}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
Найдем ОДЗ: ${table2x-11 ≠ 0; 3x-7≠ 0;$ ${tablex ≠ 5.5; x ≠7/3;$
Удобно домножить обе стороны равенства на знаменатели, проще говоря «крест накрест»
$(x+3)(3x-7)=(2x-11)(x+3)$
${3x}^2-7x+9x-21={2x}^2+6x-11x-33$
$x^2+7x+12=0$
$x_1=-3, x_2=-4$ — оба корня удовлетворяют ОДЗ
Наибольший корень: $x=-3$
Ответ: -3
Задача 13
Найдите корень уравнения ${9-5x} / {x+3}=x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
При $x ≠ -3$ получим
$x(x + 3) = 9 — 5x$,
$x^2 + 3x + 5x — 9 = 0$,
$x^2 + 8x — 9 = 0$
По теореме Виета $х_1=1$, $х_2=-9$.
Больший корень $x_1=1$
Ответ: 1
Задача 14
Найдите корень уравнения $√ {{4x-21} / {117}}={1} / {3}$.
Решение
ОДЗ: ${4x — 21}/{117}⩾0, 4x-21⩾0, x⩾21/4, x⩾5.25$
$(√{{4x — 21}/{117}})^2 = ({1}/{3})^2$,
${4x — 21}/{117} = {1}/{9}$,
$9(4x — 21) = 117$,
$36x — 189 = 117$,
$36x = 306$,
$x = 8.5$ — удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 8.5
Задача 15
Решите уравнение $log_{{1} / {3}}(13 + x) = — 2$.
Решение
ОДЗ: $13+x>0, x>-13$
По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$
$(1/3)^(-2)=13+x$
$ 13+x=9$
$ x=-4$ — удовлетворяет ОДЗ
Ответ: -4
Задача 16
Решите уравнение $√^3{5+x}=2$.
Решение
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$5+х=2^3$,
$5+х=8$,
$х=3$.
Ответ: 3
Задача 17
Решите уравнение ${x-9} / {3x-1}={x-9} / {x+33}$. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них
Решение
Допустимые значения переменной: $3х-1≠0$, $х≠1/3$;
$х+33≠0$, $х≠-33$;
Домножим обе части уравнения на $(3х-1)(х+33)≠0 — $ говорят умножим «крест -накрест»
$(х-9)(х+33)=(х-9)(3х-1) — $ вынесем общий множитель
$(х-9)(х+33)-(х-9)(3х-1)=0$
$(х-9)(х+33-(3х-1))=0$
$(х-9)(х+33-3х+1)=0$
$(х-9)(-2х+34)=0$
$ х-9=0$, $х=9$ или
$-2х+34=0$, $х=17$;
$9<17$ — значит наименьший корень $x=9$
Ответ: 9
Рекомендуемые курсы подготовки
ЕГЭ-2023 ПРОФИЛЬ. ЯЩЕНКО 36 ВАРИАНТОВ. ЗАДАНИЕ-6Подробнее
ЕГЭ-2022, ПРОФИЛЬ. ЗАДАНИЕ-6. ПРОИЗВОДНАЯПодробнее
Задание №6, Профиль ЕГЭ 2022, ТРИГОНОМЕТРИЯПодробнее
Все Задания 6 ЕГЭ 2023 ПРОФИЛЬ из Банка ФИПИ (Математика Школа Пифагора)Подробнее
РЕШУ ЕГЭ. Планиметрия (ЕГЭ, задание 6): Решение прямоугольного треугольникаПодробнее
ЕГЭ-2022. ЯЩЕНКО, 36-ВАРИАНТОВ, ЗАДАНИЕ-6Подробнее
КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ #6 ПРО ПОДСТАНОВКУ (ЕГЭ МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬ)Подробнее
ЕГЭ 2023: тригонометрия просто | Задание 6 | Разбор Ященко: лайфхаки и подготовка к ЕГЭПодробнее
Профильный ЕГЭ 2023. Математика. Задача 6: все о корнях и степенях. Перезапуск первой частиПодробнее
ОГЭ 2022 Ященко математика. Задача 6. Блок алгебра. Дроби. Операции с дробямиПодробнее
✓ Читерство при преобразовании выражений | ЕГЭ. Задание 6. Математика. Профиль | Борис ТрушинПодробнее
Актуальное
ЕГЭ по математике — Профиль 2022. Открытый банк заданий с ответами.