320206 решу егэ математика профиль

Задание 1

Найдите корень уравнения $$(x-11)^4=(x+3)^4.$$

Ответ: 4

Скрыть

$$(x-11)^4=(x+3)^4$$

$$((x-11)^2)^2=((x+3)^2)^2$$

Извлекаем квадратный корень от обеих частей уравнения:

$$(x-11)^2=(x+3)^2$$

$$x^2-22x+121=x^2+6x+9$$

$$x^2-22x-x^2-6x=9-121$$

$$-28x=-112$$

$$x=frac{-112}{-28}=4$$

Задание 2

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 5 из Японии, 4 из Кореи, 9 из Китая и 7 из Индии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Индии.

Ответ: 0.28

Скрыть

На первом месте может оказаться любой спортсмен из $$n=5+4+9+7=25$$ спортсменов, участвующих в соревнованиях. При этом число спортсменов из Индии равно $$m=7.$$ Следовательно, вероятность того, что спортсмен, который выступает первым, окажется из Индии, равна:

$$P=frac{m}{n}=frac{7}{25}=0,28$$

Задание 3

Ответ: 64

Скрыть

Пусть вся площадь треугольника ABC равна $$x.$$ Тогда площадь малого треугольника CDE равна $$frac{x}{4}$$ (так как все его линейные размеры в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC). Можно записать равенство:

$$x=frac{x}{4}+48$$

$$frac{3}{4}x=48$$

$$x=48cdotfrac{4}{3}=64$$

Задание 4

Найдите значение выражения $$frac{(sqrt{20}+sqrt{12})^2}{4+sqrt{15}}.$$

Ответ: 8

Скрыть

$$frac{(sqrt{20}+sqrt{12})^2}{4+sqrt{15}}=frac{(sqrt{20})^2+2sqrt{20}cdotsqrt{12}+(sqrt{12})^2}{4+sqrt{15}}=$$

$$=frac{20+2sqrt{240}+12}{4+sqrt{15}}=frac{32+2sqrt{16cdot15}}{4+sqrt{15}}=frac{32+8sqrt{15}}{4+sqrt{15}}=frac{8(4+sqrt{15}}{4+sqrt{15}}=8$$

Задание 5

Ответ: 4

Скрыть

Объем жидкости остается неизменным. Пусть изначально она равна

$$V=hcdotpi R^2$$

где h=25 см – высота; R – радиус основания первого сосуда. По условию задания диаметр второго сосуда в 2,5 больше первого, значит,

$$R_2=2,5cdotfrac{D}{2}=2,5R$$

Выразим тот же объем V через высоту $$h_2$$ и радиус $$R_2:$$

$$V=h_2cdotpi R^2_2=h_2cdotpicdot6,25R^2$$

Приравниваем эти величины и находим $$h_2:$$

$$h_2cdotpicdot6,25R^2=hcdotpi R^2$$

$$h_2=frac{h}{6,25}=frac{25}{6,25}=4$$

Задание 6

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=frac{1}{2}t^3-2t^2+6t+25,$$ где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $$t=4.$$

Ответ: 14

Скрыть

Скорость — это производная от расстояния:

$$v(t)=x'(t)=frac{3}{2}t^2=4t+6$$

Находим скорость в момент времени $$t=4$$ с:

$$v(4)=frac{3}{2}cdot4^2-4cdot4+6=3cdot8-16+6=14$$

Задание 7

Водолазный колокол, содержащий $$v=2$$ моль воздуха при давлении $$р_1=2,4$$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $$р_2$$ в атмосферах. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $$A=alpha vTlog_2frac{p_2}{p_1},$$ где $$alpha=13,5 frac{Дж}{Мольcdot К}$$ — постоянная, $$Т=300$$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $$р_2$$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $$16 200$$ Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Ответ: 9,6

Скрыть

$$A=alpha vTlog_2frac{p_2}{p_1}$$

$$16200=13,5cdot2cdot300cdotlog_2frac{p_2}{2,4}$$

$$16200=8100cdotlog_2frac{p_2}{2,4}$$

$$log_2frac{p_2}{2,4}=frac{16200}{8100}$$

$$log_2frac{p_2}{2,4}=2$$

$$2^2=frac{p_2}{2,4}$$

$$4=frac{p_2}{2,4}$$

$$p_2=4cdot2,4=9,6$$

Задание 8

Первая труба заполняет резервуар объёмом 440 литров на 4 минуты медленнее, чем вторая труба заполняет резервуар объёмом 396 литров. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба?

Ответ: 22

Скрыть

Пусть x литров воды в минуту пропускает вторая труба. Соответственно, первая труба будет пропускать $$x-2$$ литров воды в минуту. Резервуар объемом 396 литров вторая труба будет заполнять $$frac{396}{x}$$ минут, а резервуар объемом 440 литра первая труба заполняет $$frac{440}{x-2}$$ минут. Так как первая заполняет резервуар объёмом 440 литров на 4 минуты медленнее, чем вторая, получаем уравнение:

$$frac{440}{x-2}-frac{396}{x}=4$$

откуда

$$440x-396cdot(x-2)=4cdot(x^2-2x)$$

$$110x-99x+198-x^2+2x=0$$

$$x^2-13-198=0$$

$$D=169+792=961=31^2$$

$$x_1=frac{13+31}{2}=22$$

$$x_2=frac{13-31}{2}<0$$

Получаем пропускную способность второй трубы 22 литра в минуту.

Задание 9

Ответ: 3

Скрыть

Абсцисса вершины для $$f(x): x_0=-frac{(-2)}{(-2)cdot2}=-frac{1}{2}$$

Это правая парабола. 

$$g(x)cap Oy$$ в точке $$(0;1),$$ значит $$c=1.$$

Точки $$A(-2;5)$$ и $$C(-4;1)$$ принадлежат $$g(x).$$ Тогда:

$$left{begin{matrix} 5=acdot(-2)^2+bcdot(-2)+1\ 1=acdot(-4)^2+bcdot(-4)+1 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 4=4a-2b\ 0=16a-4b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 2=2a-b\ 4a=b end{matrix}right.Leftrightarrow$$

$$Leftrightarrowleft{begin{matrix} 2=2a-4a\ b=4a end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} a=-1\ b=-4 end{matrix}right.$$

Получили $$g(x)=-x^2-4x+1$$

Тогда:

$$-2x^2-2x+4=-x^2-4x+1$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$left[begin{matrix} x_1=3\ x_2=-1 end{matrix}right.$$

Задание 10

За круглый стол на 6 стульев в случайном порядке рассаживаются 4 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки не будут сидеть рядом.

Ответ: 0,6

Скрыть

Посадим первую девочку за стол. Таким образом у нас останется 1 девочка и 5 стульев. Сесть она может только на два стула — по обе стороны от уже сидящей девочки. Отсюда вероятность того, что девочки сядут рядом: $$frac{2}{5}=0,4$$ следовательно вероятность того, что они не будут сидеть рядом равна $$1-0,4=0,6$$

Задание 11

Найдите точку минимума функции $$y=(x+8)^2cdot е^{-x-3}.$$

Ответ: -8

Скрыть

$$y=(x+8)^2cdot е^{-x-3}$$

Найдём производную функции:

$$y’=((x+8)^2)’cdot е^{-x-3}+(x+8)^2cdot(e^{-x-3})’=2(x+8)cdot e^{-x-3}+(x+8)^2cdot(-e^{-x-3})=$$
$$=e^{-x-3}cdot(2(x+8)-(x+8)^2)=e^{-x-3}cdot(-x^2-14x-48)$$ 

Найдём нули производной:

$$e^{-x-3}cdot(-x^2-14x-48)=0$$

$$e^{-x-3}>0$$ всегда

$$-x^2-14x-48=0$$

$$x^2+14+48=0$$

Через дискриминант находим корни уравнения:

$$x_1=-8$$

$$x_2=-6$$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума: $$x=-8.$$

Задание 12

Ответ: а) $$frac{pi}{4} k, frac{5pi}{24}+frac{pi}{2}k, -frac{5pi}{24}+frac{pi}{2}k, kin Z$$; б) $$frac{65pi}{24}; frac{11pi}{4}; frac{67pi}{24}; 3pi ; frac{77pi}{24}; frac{13pi}{4}; frac{79pi}{24}$$

Скрыть

а)

$$cos 2xsin 2xsinfrac{2pi}{3}=frac{1}{4}cos(8x-frac{3pi}{2}$$

$$frac{1}{2}cdot(2sin 2xcos 2x)sin(pi-frac{pi}{3})=frac{1}{4}cos(frac{3pi}{2}-8x)$$

$$frac{1}{2}sin 4xsinfrac{pi}{3}=frac{1}{4}cdot(-sin 8x)$$

$$frac{1}{2}sin 4xcdotfrac{sqrt{3}}{2}=-frac{1}{4}sin(2cdot 4x)$$

$$sqrt{3}sin 4x+2sin 4xcos 4x=0$$

$$sin 4x(sqrt{3}+2cos 4x)=0$$

$$sin 4x=0$$

$$4x=pi k, kin Z$$

$$x=frac{pi k}{4}, kin Z$$

$$sqrt{3}+2cos 4x=0$$

$$cos 4x=-frac{sqrt{3}}{2}$$

$$4x=pmarccos(-frac{sqrt{3}}{2})+2pi n, nin Z$$

$$4x=pm(pi-arccosfrac{sqrt{3}}{2})+2pi n, nin Z$$

$$4x=pm(pi-frac{pi}{6})+2pi n, nin Z$$

$$4x=pmfrac{5}{6}+2pi n, nin Z$$

$$x=pmfrac{5}{24}+frac{pi n}{2}, nin Z$$

б)

С помощью двойного неравенства отберём корни на отрезке $$[frac{8pi}{3};frac{10pi}{3}]$$

1) $$frac{8pi}{3}leqfrac{pi k}{4}leqfrac{10pi}{3}Leftrightarrowfrac{32}{3}leq kleqfrac{40}{3}, kin ZRightarrow k=11;12;13$$

$$k=11: x=frac{picdot11}{4}=frac{11pi}{4}$$

$$k=12: x=frac{picdot12}{4}=3pi$$

$$k=13: x=frac{picdot13}{4}=frac{13pi}{4}$$

2) $$frac{8pi}{3}leqfrac{5pi}{24}+frac{pi k}{2}leqfrac{10pi}{3}Leftrightarrowfrac{64-5pi}{24}cdotfrac{2}{pi}leq kleqfrac{80pi-5pi}{24}cdotfrac{2}{pi}Leftrightarrow$$

$$Leftrightarrowfrac{59}{12}leq kleqfrac{75}{12}, kin ZRightarrow k=5;6$$

$$k=5: x=frac{5pi}{24}+frac{picdot5}{2}=frac{65pi}{24}$$

$$k=6: x=frac{5pi}{24}+frac{picdot6}{2}=frac{77pi}{24}$$

3) $$frac{8pi}{3}leq-frac{5pi}{24}+frac{pi k}{2}leqfrac{10pi}{3}Leftrightarrowfrac{64+5}{12}leq kleqfrac{80+5}{12}, kin ZRightarrow k=6;7$$

$$k=6: x=-frac{5pi}{24}+frac{picdot6}{2}=frac{67pi}{24}$$

$$k=7: x=-frac{5pi}{24}+frac{picdot7}{2}=frac{79pi}{24}$$

Задание 13

Ответ: $$frac{5sqrt{119}}{13}$$

Скрыть

а) Известно, что образующие конуса равны, то есть, AB = BC. По условию сечение проходит через AB, BC и вершину B, следовательно, сечение – это равнобедренный прямоугольный треугольник ABC.

б) Расстояние от центра основания O до плоскости сечения – это перпендикуляр OP, который также можно воспринимать как высоту прямоугольного треугольника BON с площадью:

$$S_{BON}=frac{1}{2}OPcdot NB=frac{1}{2}ONcdot OB$$

Отсюда, имеем:

$$OP=frac{ONcdot OB}{NB}$$

Найдем сначала длины образующих AB и BC, зная, что радиус основания 12, а высота конуса OB = 5:

$$AB=BC=sqrt{12^2+5^2}=13$$

Затем, из прямоугольного треугольника AB. Cнайдем AC:

$$AC=sqrt{13^2+13^2}=13sqrt{2}$$

Следовательно,

$$NC=frac{1}{2}AC=frac{13sqrt{2}}{2}$$ и $$BN=sqrt{BC^2-NC^2}=sqrt{13^2-frac{13^2}{2}}=frac{13sqrt{2}}{2}$$

Далее, из прямоугольного треугольника ONC находим ON:

$$ON=sqrt{OC^2-NC^2}=sqrt{144-frac{169}{2}}=sqrt{frac{119}{2}}$$

Получаем значение расстояния OP:

$$OP=frac{sqrt{frac{119}{2}}cdot5}{frac{13sqrt{2}}{2}}=frac{5sqrt{119}}{13}$$

Задание 14

Решите неравенство $$30cdot3^{log_2(7-x)}+3^{1+log_2 x}-3^{log_2(7x-x^2)}geq90.$$

Ответ: $$(0;5]$$

Скрыть

ОДЗ: $$left{begin{matrix} 7-x>0\ x>0\ x(7-x)>0 end{matrix}right.left{begin{matrix} xin (0;7)\ xin (0;7) end{matrix}right.Rightarrow xin (0;7)$$

$$30cdot3^{log_2(7-x)}+3cdot3^{log_2 x}-3^{log_2 x}-3^{log_2(7-x)}-90geq0$$

$$30cdot(3^{log_2(7-x)}-3)+3^{log_2 x}(3-3^{log_2(7-x)}-90geq0$$

$$(3^{log_2(7-x)}-3)cdot(30-3^{log_2 x})geq0$$

$$f(x)=log_2 x$$ на промежутке $$(0;7)$$ возрастает. Наибольшее значение меньше $$log_2 7<3=log_2 8. 3^{log_2 7}<27$$

$$Rightarrow$$ на $$ОДЗ xin (0;7)$$ разность $$30-3^{log_2 x}>0.$$

Осталось решить неравенство $$3^{log_2(7-x)}-3geq0$$

$$left{begin{matrix} xin (0;7)\ log_2(7-x)geq1 end{matrix}right.left{begin{matrix} xin (0;7)\ xleq5 end{matrix}right.$$

$$xin (0;5]$$

Задание 15

Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает $$р$$ человек, то каждый из них получает в сутки $$200р$$ рублей. Если на втором объекте работает $$р$$ человек, то каждый из них получает в сутки $$(50р+300)$$ рублей. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придётся заплатить за сутки всем рабочим?

Ответ: 1-й объект — 7 человек, 2-й объект — 23 человека; 43 150 рублей

Скрыть

Пусть на втором объекте работает $$k$$ рабочих, тогда на 1-м будет работать $$30-k$$ рабочих. Получаем суммарное значение их зарплаты:

$$f(k)=(30-k)cdot200cdot(30-k)+kcdot(50k+300)$$

$$f(k)=(30-k)^2cdot200+50k^2+300k$$

Найдем такое $$k,$$ при котором функция принимает наименьшее значение, то есть, вычислим точку экстремума:

$$f'(k)=-400cdot(30-k)+100k+300=0$$

$$500k=11700$$

$$k=frac{11700}{500}=23,4$$

Так как число рабочих – целое число, то $$k=23.$$ Получаем, что на первом объекте работает $$30-23=7$$ рабочих, а на втором – $$23.$$ Их суммарная зарплата, составит:

$$7^2cdot200+23cdot(50cdot23+300)=43150$$ рублей

Задание 16

Ответ: 50

Скрыть

а) Рассмотрим четырехугольник ALBC, у которого углы $$ACB=ALB=90^{circ},$$ а значит, вокруг него можно описать окружность (по свойству: сумма противоположных углов $$ACB+ALB=180^{circ}$$). Тогда хорды AL = LB (треугольники АКС, ALB и ВМС – равнобедренные) стягивают дуги $$cup AL=cup LB,$$ следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны: $$angle ACL=angle LCB=45^{circ};$$ $$angle KCA+angle ACL=45^{circ}+45^{circ}=90^{circ};$$ $$angle LCB+angle BCM=90^{circ},$$ следовательно, LC перпендикулярна KM и LC – высота треугольника KLM.

б) Площадь треугольника KLM можно найти по формуле:

$$S_{KLM}=frac{1}{2}KMcdot LC$$

Пусть BC = a, AC = b, CL = d, AB = c, а P – точка пересечения AB и CL. Так как $$angle ACP=angle BCP=45^{circ},$$ то CB – биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрис:

$$frac{AP}{PB}=frac{AC}{CB}=frac{b}{a}$$

Учитывая, что AP + PB = AB = c, получаем систему:

$$frac{AP}{PB}=frac{b}{a}$$

$$AP+PB=c$$

С решением:

$$AP=frac{bc}{a+b}; PB=frac{ac}{a+b}$$

Так как углы $$angle ACL=angle BAL=45^{circ},$$ то треугольники ACL и PAL подобны по двум углам и:

$$frac{AC}{PA}=frac{CL}{AL}Rightarrow b: frac{bc}{a+b}=d:frac{c}{sqrt{2}}$$

и $$d=frac{a+b}{sqrt{2}}.$$ Из равенства KM = KC + CM, получаем:

$$KM=frac{a}{sqrt{2}}+frac{b}{sqrt{2}}=d=10$$

Следовательно:

$$S_{KLM}=frac{1}{2}10cdot10=50$$

Задание 17

Ответ: $$4<aleq16$$

Скрыть

$$left{begin{matrix} log_{11}(a-y^2)=log_{11}(a-x^2),\ x^2+y^2=2x+6y end{matrix}right.$$

Решение системы определяем при

$$left{begin{matrix} a-x^2>0\ a-y^2>0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} a>x^{2} (*)\ a>y^2 end{matrix}right.$$

На $$(*)$$ получили:

$$left{begin{matrix} -y^2=-x^2\ x^2+y^2-2x-6y=0 end{matrix}right.$$

$$1) left{begin{matrix} y=x\ x^2+x^2-2x-6x=0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} y=x\ 2x^2-8x=0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} y=x\ left[begin{matrix} x=0\ x=4 end{matrix}right. end{matrix}right.Leftrightarrow (0;0); (4;4)$$

С учётом $$(*):left{begin{matrix} a>0^2\ a>4^2 end{matrix}right.Rightarrow a>16$$

$$2) left{begin{matrix} y=-x\ x^2+x^2-2x+6x=0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} y=-x\ 2x^2+4x=0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} y=-x\ left[begin{matrix} x=0\ x=-2 end{matrix}right. end{matrix}right.Leftrightarrow (0;0); (-2;2)$$

С учётом $$(*):left{begin{matrix} a>(-2)^2\ a>2^2 end{matrix}right.Rightarrow a>4$$

Получили: при $$a>0$$ есть решение, при $$a>4$$ добавляется ещё одно, при $$a>16$$ ещё одно.

Тогда ровно 2 решения при $$ain (4;16]$$

Задание 18

Ответ: а) да; б) нет; в) 2220

Скрыть

Упорядочим числа по возрастанию x₁ < x₂ < … < x₄₀. Заметим сразу, что достаточно проверять условие только для двух самых больших и четырех самых маленьких чисел.

а), б) В наборе 33, 777, 778, …, 815 выполнено

$$815 + 814 < 33 + 777 + 778 + 779.$$

в) Будем говорить, что с набором чисел можно сделать какую-то операцию, если после ее выполнения условие

$$x_1+x_2+x_3+x_4>x_28+x_29+x_30$$

не может нарушиться, числа останутся разными, а сумма чисел во всем наборе не становится больше. Если x₄₀ ≠ x₃₉ + 1, то можно заменить x₄₀ на x₃₉ + 1. Если после этого x₃₉ ≠ x₃₈ + 1, то можно заменить x₃₉ на x₃₈ + 1 и x₄₀ на x₃₈ + 2. Продолжая эти действия (сдвиг больших чисел вниз), мы в итоге получим набор чисел, идущих подряд, кроме может быть первого (даже все числа от x₃ до x₄₀ можно синхронно уменьшать, поскольку обе части неравенства

$$x_1+x_2+x_3+x_4>x_39+x_40$$

будут уменьшаться одинаково). Далее можно увеличивать на 1 первое число и уменьшать на 1 все остальные. Так можно делать, если x₂ − x₁ > 2.

Итак, оптимальный набор — это числа x, x + 1, x + 2, …, x + 39 или x − 1, x + 1, x + 2, …, x + 39, причем в первом случае 4x + 6 > 2x + 77, откуда x ≥ 36, а во втором 4x + 5 > 2x + 77, откуда x ≥ 37. В наборе 36, 37, …, 75 сумма очевидно меньше, чем в наборе 36, 38, 39, …, 76. Значит, минимальная сумма равна

$$(xcdot36+39)cdot20=2220,$$

а примером могут служить числа от 36 до 75.