4 3log4 2 егэ

Решите неравенство [1+dfrac 4{log_5x-2}+dfrac 3{left(log_5xright)^2-log_55x^4+5}geqslant 0]

ОДЗ логарифмов: (x>0).
На ОДЗ верно: (log_55x^4=log_55+log_5x^4=1+4log_5|x|=1+4log_5x).
Сделаем замену (log_5x=t), тогда неравенство примет вид [1+dfrac 4{t-2}+dfrac 3{t^2-(1+4t)+5}geqslant 0quadLeftrightarrowquad
dfrac{t^2-1}{(t-2)^2}geqslant 0quadLeftrightarrowquad
dfrac{(t-1)(t+1)}{(t-2)^2}geqslant 0] Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, возвращаясь к старой переменной, можем записать: [begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} &log_5xleqslant -1\
&log_5xgeqslant 1end{aligned}end{gathered}right. \
log_5xne 2end{cases}quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned}
&xleqslant dfrac15\[2ex]
&xgeqslant 5
end{aligned}end{gathered}right. \
xne 25end{cases}] Пересекая полученный ответ с ОДЗ (x>0), получаем окончательный ответ
(xinleft(0;frac15right]cup[5;25)cup(25;+infty) )

Ответ:

(left(0;frac15right]cup[5;25)cup(25;+infty))

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_5 (x + 11)^2geqslant 2log_{sqrt{5}}sqrt{x} + log_{625} (x + 11)^8
end{aligned}]

ОДЗ:[begin{cases}
(x + 11)^2 > 0\
sqrt{x} > 0\
(x + 11)^8 > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad x > 0.]

При (x > 0):
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
&log_5 (x + 11)^2geqslant 2log_{5^{0,5}}x^{0,5} + log_{5^4} (x + 11)^8quadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowquad log_5 (x + 11)^2geqslant 2log_5 x + log_5 (x + 11)^2quadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowquad 0geqslant 2log_5 x qquadLeftrightarrowqquad 0geqslant log_5 x qquadLeftrightarrowqquad log_5 1geqslant log_5 x qquadLeftrightarrowqquad 1geqslant x,.
end{aligned}]

Таким образом, с учётом ОДЗ ответ:[xin(0; 1].]

Ответ:

((0; 1])

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_{4}^3 x — 3 + 0,25log_{4}^2x^2 — 4log_4 xgeqslant 1
end{aligned}]

ОДЗ: (x > 0).

Исходное неравенство равносильно

[begin{aligned}
log_{4}^3 x + 0,25cdot (2log_{4}|x|)^2 — 4log_4 x — 4geqslant 0
end{aligned}]

Так как на ОДЗ выполнено (|x| = x), то последнее неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
log_{4}^3 x + log_{4}^2 x — 4log_4 x — 4geqslant 0
end{aligned}]

Сделаем замену (t = log_4 x):

[begin{aligned}
t^3 + t^2 — 4t — 4geqslant 0
end{aligned}]

В левой части последнего неравенства сгруппируем слагаемые (первое со вторым, третье с четвёртым):

[begin{aligned}
t^2(t + 1) — 4(t + 1)geqslant 0 Leftrightarrow (t^2 — 4)(t + 1)geqslant 0 Leftrightarrow (t — 2)(t + 2)(t + 1)geqslant 0
end{aligned}]

Тогда [left[
begin{gathered}
-2 leqslant log_4 xleqslant -1\
log_4 xgeqslant 2
end{gathered}
right.
Leftrightarrow
left[
begin{gathered}
log_4dfrac{1}{16} leqslant log_4 xleqslant log_4dfrac{1}{4}\
log_4 xgeqslant log_4 16
end{gathered}
right.
Leftrightarrow
left[
begin{gathered}
dfrac{1}{16} leqslant xleqslant dfrac{1}{4}\
xgeqslant 16
end{gathered}
right.]

С учётом ОДЗ ответ: (xinleft[dfrac{1}{16}; dfrac{1}{4}right]cup [16; +infty)).

Ответ:

(left[dfrac{1}{16}; dfrac{1}{4}right]cup [16; +infty))

Решите неравенство [log_{64x}4cdot left(log_{0,5}8xright)^2leqslant 3]

ОДЗ неравенства: (64x>0, 64xne 1, 8x>0), то есть (xin
left(0;frac1{64}right)cupleft(frac1{64};+inftyright)).
 

Решим неравенство на ОДЗ.
Первый логарифм преобразуется в [log_{64x}4=dfrac1{log_464x}=dfrac1{frac12left(log_264+log_2xright)}=
dfrac1{3+frac12log_2x}] Второй логарифм преобразуется: [log_{0,5}8x=-(log_28+log_2x)=-3-log_2x] Сделаем замену: (log_2x=t). Тогда неравенство примет вид: [dfrac1{3+frac12t}cdot left(-3-tright)^2leqslant 3quadLeftrightarrowquad
dfrac{2(t+3)^2-3(t+6)}{t+6}leqslant 0quadLeftrightarrowquad
dfrac{t(2t+9)}{t+6}leqslant 0] Решая данное неравенство методом интервалов, получаем: [tin (-infty;-6)cupleft[-frac92; 0right]] Сделаем обратную замену: [left[begin{gathered}begin{aligned}
& log_2x<-6\[1ex]
& -dfrac92leqslant log_2xleqslant 0
end{aligned}end{gathered}right.quadLeftrightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned}
& x<2^{-6}\[2ex]
& 2^{-frac92}leqslant xleqslant 2^0
end{aligned}end{gathered}right.quadLeftrightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned}
& x<dfrac1{64}\[2ex]
& dfrac1{16sqrt2}leqslant xleqslant 1
end{aligned}end{gathered}right.]

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получаем: [xin left(0; dfrac1{64}right)cupleft[dfrac1{16sqrt2}; 1right]]

Ответ:

(xin left(0; frac1{64}right)cupleft[frac1{16sqrt2};
1right])

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_4 (x — 2)^{2016}geqslant log_{2}sqrt{x} + log_{0,0625} (x — 2)^{-4032}
end{aligned}]

ОДЗ:[begin{cases}
(x — 2)^{2016} > 0\
sqrt{x} > 0\
(x — 2)^{-4032} > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad xin(0; 2)cup(2; +infty).]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
&log_4 (x — 2)^{2016}geqslant log_{4^{0,5}}x^{0,5} + log_{4^{-2}} (x — 2)^{-4032}quad Leftrightarrow\
&Leftrightarrowquad log_4 (x — 2)^{2016}geqslant log_4 x +log_4 (x — 2)^{2016} Leftrightarrow\
&Leftrightarrowquad 0 geqslant log_4 xqquadLeftrightarrowqquad log_4 1 geqslant log_4 xqquadLeftrightarrowqquad 1 geqslant x,.
end{aligned}]

Таким образом, с учётом ОДЗ ответ:[xin(0; 1].]

Ответ:

((0; 1])

Решите неравенство [log_{x^2}{25}+log_{x-2}{(x-2)^2}geqslant
log_x{(3x^2)}]

ОДЗ: [begin{cases}
x^2>0 \
x^2ne 1\
x-2>0\
x-2ne 1\
(x-2)^2>0\
3x^2>0\
x>0\
xne 1
end{cases} quad Leftrightarrow quad
begin{cases}
xne 0\
xne pm 1\
x>2\
xne 3\
xne 2\
x>0 end{cases} quad Leftrightarrow quad xin
(2;3)cup(3;+infty).]

Решим неравенство на ОДЗ. Т.к. из ОДЗ следует, что (x>2), то [begin{aligned} &1) log_{x^2}{25}=log_{|x|}5=log_x5\
&2) log_{x-2}{(x-2)^2}=2\
&3) log_x{(3x^2)}=log_x{3}+log_x{x^2}=log_x3+2 end{aligned}]

Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно [log_x5+2geqslant
2+log_x3 quad Leftrightarrow quad log_x5geqslant log_x3 quad
Leftrightarrow quad log_x{dfrac53}geqslant 0] Т.к. (log_ab=dfrac1{log_ba}), то полученное неравенство равносильно [dfrac1{log_{frac53}x}geqslant 0 quad Leftrightarrow quad
log_{frac53}x>0 quad Leftrightarrow x>1.] Пересекая ответ с ОДЗ, получим (xin (2;3)cup(3;+infty)).

Заметим, что на ОДЗ логарифм может быть равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен 1, и больше нуля, когда основание и аргумент лежат по одну сторону от 1. Следовательно, (log_x{dfrac53}) не может быть равен 0, а больше нуля он тогда и только тогда, когда основание (x) больше 1. То есть неравенство (log_x{dfrac53}geqslant 0) равносильно (x>1).

Ответ:

((2;3)cup(3;+infty))

Решите неравенство [log_2left(2log_4x^4right)>log_8^{-1}log_4log_2 256^2]

ОДЗ: [begin{cases} x^4>0\ 2log_4x^4>0 end{cases} quad
Leftrightarrow quad begin{cases} xne 0\x^4>1 end{cases} quad
Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)(x+1)>0 quad Leftrightarrow quad xin
(-infty;-1)cup(1;+infty).]

Решим неравенство на ОДЗ. Преобразуем правую часть: [log_8^{-1}log_4log_2
256^2=left(log_8log_4log_2{2^{16}}right)^{-1}=
left(log_8log_4{16}right)^{-1}=left(log_82right)^{-1}=
left(frac13right)^{-1}=3.]

Таким образом, неравенство равносильно [log_2left(2log_4x^4right)>3 quad Leftrightarrow quad
log_2left(2log_4x^4right)>log_28] Т.к. основание логарифма больше единицы ((2>1)), то неравенство на ОДЗ равносильно [2log_4x^4>8 quad Leftrightarrow quad log_4x^4>4 quad
Leftrightarrow quad log_4x^4>log_44^4] Т.к. основание логарифма больше единицы ((4>1)), то неравенство на ОДЗ равносильно [x^4>4^4
quad Leftrightarrow quad (x^2+4^2)(x-4)(x+4)>0 quad
Leftrightarrow quad xin (-infty;-4)cup(4;+infty).] Пересекая ответ с ОДЗ, получаем (xin (-infty;-4)cup(4;+infty)).

Ответ:

((-infty;-4)cup(4;+infty))