Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Спрятать решение
Решение.
Преобразуем исходную систему:
Уравнение 
задает пару пересекающихся прямых 
и 
Система
задает части этих прямых, расположенные правее прямой 
то есть лучи BD и CE (без точек B и C), см. рис.
Уравнение 
задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку 
Следует найти все значения a, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и 
а) Прямая AB задается уравнением 
Поэтому при 
прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч
б) Прямая AC задается уравнением 
Поэтому при 
прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч
в) При 
прямая m пресечет и луч BD, и луч
г) Наконец, при 
прямая m пересечет только луч CE, а при 
она не пересечет ни луч BD, ни луч
Ответ: 
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит:
− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Спрятать решение
Решение.
Преобразуем исходную систему:
Уравнение задает пару пересекающихся прямых и
Система
задает части этих прямых, расположенные правее прямой то есть лучи BD и CE (без точек B и C), см. рис.
Уравнение задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку Следует найти все значения a, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и
а) Прямая AB задается уравнением Поэтому при прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч
б) Прямая AC задается уравнением Поэтому при прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч
в) При прямая m пресечет и луч BD, и луч
г) Наконец, при прямая m пересечет только луч CE, а при она не пересечет ни луч BD, ни луч
Ответ:
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит:
− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Каталог заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 17 № 484645 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Аналоги к заданию № 484645: 507500 Все
Классификатор алгебры: Комбинация прямых
Методы алгебры: Группировка, Перебор случаев, Разложение на множители
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Новые тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике базовый и профильный уровень с ответами и решением для 10 и 11 класса, больше 100 вариантов в формате реального экзамена ФИПИ вы можете решать онлайн или скачать.
Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике база и профиль
13.09.2022 Тренировочный вариант №1 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
27.09.2022 Математика 11 класс профиль входная мониторинговая работа 3 варианта с ответами
28.09.2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
28 сентября 2022 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль варианты и ответы
29 сентября 2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
1 октября 2022 Ларин вариант 399 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами
6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
8 октября Ларин вариант 400 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами
12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
14 октября Вариант 1 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
14 октября Вариант 2 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
15 октября Ларин вариант 401 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами
15 октября Ларин вариант 402 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами
16 октября Вариант 3 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
16 октября Вариант 4 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением
23 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
24 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
25 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
26 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
28 октября Ларин вариант 403 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами
29 октября Ларин вариант 404 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами
1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
5 ноября 2022 Вариант 1-2 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
6 ноября 2022 Ларин вариант 405 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
9 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами
12 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
13 ноября 2022 Ларин вариант 406 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
21 ноября 2022 Ларин вариант 407 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
27 ноября 2022 Ларин вариант 408 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
28 ноября 2022 Вариант 3-4 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
30 ноября 2022 Мониторинговая работа по математике 11 класс ЕГЭ 2023 профиль 1 полугодие
3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами
3 декабря 2022 Пробник ЕГЭ 2023 Москва по математике профиль задания и ответы
5 декабря 2022 Ларин вариант 409 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
9 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
10 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
12 декабря 2022 Ларин вариант 410 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
13 декабря 2022 Статград математика 11 класс профиль ЕГЭ 2023 варианты МА2210209-МА2210212 и ответы
13 декабря 2022 Математика 11 класс база ЕГЭ 2023 статград варианты и ответы
15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
20 декабря 2022 Вариант 5-6 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
20 декабря 2022 Ларин вариант 411 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
3 января 2023 Ларин вариант 412 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами
6 января 2023 Тренировочный вариант 1-2 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы
8 января 2023 Вариант 3-4 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы
9 января 2023 Вариант 7-8 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
10 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
11 января 2023 ЕГЭ 2023 математика тренировочные задания и ответы Ященко, Семенов
11 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 база ЕГЭ 2023 по математике 11 класс с ответами
19 января 2023 Тренировочные варианты №17 и №18 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
22 января 2023 Ларин вариант 413 и 414 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение и ответы
22 января 2023 Тренировочный 19 вариант решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
22 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 19 с ответами
25 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 20 с ответами
27 января 2023 Тренировочный вариант №20 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
28 января 2023 Вариант 415 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
2 февраля 2023 Вариант 21 база ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант с ответами
2 февраля 2023 Тренировочный вариант №21 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
8 февраля 2023 Математика 10-11 класс ЕГЭ 2023 статград варианты база и профиль МА2200101-МА2200110 и ответы
11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
12 февраля 2023 Вариант 416 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
12 февраля 2023 Вариант 417 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
13 февраля 2023 Вариант 9 и вариант 10 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши задания
13 февраля 2023 Вариант 11 и вариант 12 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши
16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами
16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами
18 февраля 2023 Вариант 418 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 база по математике 11 класс с ответами
22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 профиль по математике 11 класс с ответами
25 февраля 2023 Вариант 419 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
28 февраля 2023 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль и ответы
4 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 база по математике 11 класс с ответами
4 марта 2023 Вариант 420 Ларин ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы
5 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 профиль по математике 11 класс с ответами
8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 профиль по математике 11 класс с ответами
8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 база по математике 11 класс 100 баллов с ответами
Смотрите также на нашем сайте:
Сборник Ященко ЕГЭ 2023 математика профильный уровень 36 вариантов
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
29 сентября 2021
В закладки
Обсудить
Жалоба
Решаем задачи №15 профильного уровня.
Большая подборка задач с ответами: kredity.pdf
Аннуитетные и дифференцированные платежи. Как их не путать?
3 задачи на оптимизацию
ЕГЭ по математике — Профиль 2022. Открытый банк заданий с ответами.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 1. Задача 15.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?
Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей
Решение.
Так как «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года», то обозначим эту величину через х тысяч рублей.
Тогда общая сумма кредита 8х, а остатки долга, на которые и начисляются ежегодно проценты в январе, по годам составят:
2026 год – 8х;
2027 год – 7х;
2028 год – 6х;
2029 год – 5х;
2030 год – 4х;
2031 год – 3х;
2032 год – 2х;
2033 год – х.
За первые 4 года банк начислит по 20% ежегодно, и проценты составят:
0,2(8х+7х+6х+5х)=0,2 ∙ 26х=5,2х тысяч рублей.
За вторые 4 года банк начислит по 18% ежегодно, и проценты составят:
0,18(4х+3х+2х+х)=1,8х тысяч рублей.
Общая сумма процентов за 8 лет составит 5,2х+1,8х=7х тысяч рублей.
Итак, банку придётся отдать 8х тысяч рублей, взятых в кредит, плюс 7х тысяч рублей процентов за всё время кредитования.
Итого общая сумма выплат 15х. По условию это 1125 тысяч рублей.
15х=1125;
х=1125 : 15;
х=75 тысяч рублей.
Таким образом, в кредит планируется взять 8 ∙ 75 = 600 тысяч рублей.
Ответ: 600 000 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 2. Задача 15.
В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму, которую планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тысяч рублей.
Решение.
Обозначим через х тысяч рублей эту «одну и ту же сумму», на которую долг уменьшается ежегодно все 10 лет.
Следовательно, планируется взять в долг 10х тысяч рублей, а отдать придётся эти 10х тысяч рублей плюс проценты за все 10 лет, которые банк будет начислять ежегодно в январе на остатки долга, т.е. сначала на 10х, потом на 9х, затем на 8х и т.д.
С 2024 по 2028 год долг возрастает на 18%.
Тогда за первые 5 лет банк начислит:
0,18(10х+9х+8х+7х+6х)=7,2х тысяч рублей.
С 2029 по 2033 год долг возрастает на 16%.
А за вторые 5 лет банк начислит:
0,16(5х+4х+3х+2х+х)=2,4х тысяч рублей.
Итак, банку за всё время нужно будет выплатить
10х+7,2х+2,4х или 1470 тысяч рублей. Решаем уравнение:
10х+7,2х+2,4х=1470;
19,6х=1470;
х=1470 : 19,6;
х=75 тысяч рублей.
Таким образом, в кредит планируется взять 10 ∙ 75 = 750 тысяч рублей.
Ответ: 750 000 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 5. Задача 15.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите r.
Решение.
Читаем условие: «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года». И мы знаем эту величину:
300 : 6 = 50 тысяч рублей, но для удобства обозначим эту сумму 50 тысяч рублей через х.
Банк будет начислять проценты на остатки долга, т.е. на 6х, 5х, 4х, 3х, 2х и х тысяч рублей.
За первые 3 года долг возрастает на 20% ежегодно, и проценты составят:
0,2(6х+5х+4х)=3х тысяч рублей.
За вторые 3 года банк начислит по r % ежегодно, и проценты составят:
0,01r ∙ (3х+2х+х)=0,06rх тысяч рублей.
Общая сумма выплат составит 6х+3х+0,06rх тысяч рублей.
По условию это 498 тысяч рублей. Получаем равенство:
6х+3х+0,06rх=498;
9х+0,06rх=498. Но у нас х=50 тысяч рублей.
9 ∙ 50+0,06r ∙ 50=498;
450+3r=498;
3r=48;
r =16%.
Ответ: 16.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 31. Задача 15.
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8 млн. рублей.
Решение.
Пусть кредит составит S млн рублей, где S – целое число. За 1-й и 2-й годы заёмщик выплатит по условию по 20 % от суммы кредита,
т.е. 0,2S+0,2S=0,4S.
Долг остался прежним S млн рублей
Будем считать, что берётся кредит S на 2 года (3-й и 4-й). Так как отдавать нужно равными платежами, то обозначим этот ежегодный платёж (без процентов) через Х. Тогда S=2X.
За 2 года (3-й и 4-й) будут выплачены эти 2Х млн рублей плюс проценты с этой суммы, всего
2Х+0,2 ∙ (2Х+Х) = 2Х+0,6Х = 2,6Х млн рублей.
Выразим 2,6Х через S.
Так как S = 2X, то X = S/2, поэтому 2,6X = 1,3S.
Итого за четыре года будет выплачено:
0,4S+1,3S = 1,7S млн рублей.
По условию эта сумма должна быть больше 8 млн рублей.
1,7S > 8, отсюда S = 5 – наименьшее целое число.
Ответ: 5 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 32. Задача 15.
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн. рублей.
Решение.
Пусть кредит составит S млн рублей, где S – целое число. За 1-й и 2-й годы заёмщик выплатит по условию по 25 % от суммы кредита,
т.е. 0,25S+0,25S=0,5S.
Долг остался прежним S млн рублей
Будем считать, что берётся кредит S на 2 года (3-й и 4-й). Так как отдавать нужно равными платежами, то обозначим этот ежегодный платёж (без процентов) через Х. Тогда S=2X.
За 2 года (3-й и 4-й) будут выплачены эти 2Х млн рублей плюс проценты с этой суммы, всего
2Х+0,25 ∙ (2Х+Х) = 2Х+0,75Х = 2,75Х млн рублей.
Выразим 2,75Х через S.
Так как S = 2X, то X = S/2, поэтому 2,75X = 1,375S.
Итого за четыре года будет выплачено:
0,5S+1,375S = 1,875S млн рублей.
По условию эта сумма должна быть больше 9 млн рублей.
1,875S > 9;
S > 4,8;
отсюда S = 5 – наименьшее целое число.
Ответ: 5 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 6. Задача 15.
В июле 2023 года планируется взять кредит на 8 лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь с 2024 по 2027 год долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь с 2028 по 2031 год долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1444 тысяч рублей.
Решение.
Читаем условие: «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года». И мы знаем эту величину:
800 : 8 = 100 тысяч рублей, но для удобства обозначим эту сумму 100 тысяч рублей через х.
Банк будет начислять проценты на остатки долга, т.е. на 8х, 7х, 6х, 5х, 4х, 3х, 2х и х тысяч рублей.
За первые 4 года банк начислит по r % ежегодно, и проценты составят:
0,01r ∙ (8х+7х+6х+5х)=0,26rх тысяч рублей.
За последующие 4 года долг возрастает на 15% ежегодно, и проценты составят:
0,15(4х+3х+2х+х)=1,5х тысяч рублей.
Общая сумма выплат составит 8х+0,26rх+1,5х тысяч рублей.
По условию это 1444 тысяч рублей. Получаем равенство:
8х+0,26rх+1,5х=1444;
9,5х+0,26rх=1444. Значение х=100 тысяч рублей.
9,5 ∙ 100+0,26r ∙ 100=1444;
950+26r=1444;
26r=494;
r =19%.
Ответ: 19.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 9. Задача 15.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Решение.
Так как «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года», то обозначим эту величину через х тысяч рублей.
На самом деле, мы эту сумму знаем: это 650 : 10=65 тысяч рублей. А для чего берём эту сумму за х? Исключительно для удобства рассуждений!
Итак, 65 тыс. руб.=х.
Тогда общая сумма кредита 10х, а остатки долга, на которые и начисляются ежегодно проценты в январе, по годам составят:
2026 год – 10х;
2027 год – 9х;
2028 год – 8х;
……………….
2035 год – х.
За первые 5 лет банк начислит по 19% ежегодно, и проценты составят:
0,19(10х+9х+8х+7х+6х)=0,19 ∙ 40х=7,6х тысяч рублей.
За последующие 5 лет банк начислит по 16% ежегодно, и проценты составят:
0,16(5х+4х+3х+2х+х)=2,4х тысяч рублей.
Общая сумма процентов за 10 лет составит 7,6х+2,4х=10х тысяч рублей.
Итак, банку придётся отдать 10х тысяч рублей, взятых в кредит, плюс 10х тысяч рублей процентов за всё время кредитования.
Итого общая сумма выплат 20х. А мы знаем, что х=65 тысяч рублей, поэтому общая сумма выплат после полного погашения кредита составит
20 ∙ 65 = 1300 тысяч рублей.
Ответ: 1300 000 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 10. Задача 15.
В июле 2023 года планируется взять кредит на 12 лет в размере 1200 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь с 2024 по 2029 год долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь с 2030 по 2035 год долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Решение.
Читаем условие: «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года». И мы знаем эту величину:
1200 : 12 = 100 тысяч рублей, но для удобства обозначим эту сумму 100 тысяч рублей через х.
Банк будет начислять проценты на остатки долга, т.е. на 12х, 11х, 10х, 9х, 8х, 7х, 6х, 5х, 4х, 3х, 2х и х тысяч рублей.
За первые 6 лет банк начислит по 18% ежегодно, и проценты составят:
0,18(12х+11х+10х+9х+8х+7х)=0,18 ∙ 57х=10,26х тысяч рублей.
За последующие 6 лет банк начислит по 15% ежегодно, и проценты составят:
0,15(6х+5х+4х+3х+2х+х)=0,15 ∙ 21х=3,15х тысяч рублей.
Общая сумма процентов за 12 лет составит 10,26х+3,15х=13,41х тысяч рублей.
Итак, банку придётся отдать 12х тысяч рублей, взятых в кредит, плюс 13,41х тысяч рублей процентов за всё время кредитования.
Итого общая сумма выплат 25,41х тысяч рублей. А мы знаем, что х=100 тысяч рублей, поэтому общая сумма выплат после полного погашения кредита составит
25,41 ∙ 100 = 2541 тысяч рублей.
Ответ: 2 541 000 рублей.