4sin41cos41 cos8 егэ

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение.
Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о простейших тригонометрических уравнениях и
общие методы преобразования тригонометрических уравнениях к простейшим.

Примеры подробного решения >>

Из определения косинуса следует, что ( -1 leqslant cos alpha leqslant 1 ). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней.
Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где ( |a| leqslant 1 ), имеет на отрезке ( 0 leqslant x leqslant pi ) только один корень.
Если ( a geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac{pi}{2} right] ); если a < 0, то в промежутке
( left( frac{pi}{2}; ; pi right] ).
Этот корень называют арккосинусом числа a и обозначают arccos a.

Определение Арккосинусом числа ( |a| leqslant 1 ) называется такое число ( 0 leqslant alpha leqslant pi ), косинус которого
равен а:
( text{arccos}(a) = alpha ) если ( cos(alpha) =a ) и ( 0 leqslant alpha leqslant pi )

Все корни уравнений вида cos(х) = а, где ( |a| leqslant 1 ), можно находить по формуле
( x = pm text{arccos}(a) +2pi n, ; n in mathbb{Z} )

Можно доказать, что для любого ( |a| leqslant 1 ) справедлива формула
( text{arccos}(-a) = pi — text{arccos}(a) )
Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.

Из определения синуса следует, что ( -1 leqslant sin alpha leqslant 1 ). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней.
Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где ( |a| leqslant 1 ), на отрезке ( left[ -frac{pi}{2}; ; frac{pi}{2} right] ) имеет только один
корень. Если ( a geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac{pi}{2} right] ); если а < 0, то корень заключён
в промежутке ( left[ -frac{pi}{2}; ; 0 right) )
Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а

Определение Арксинусом числа ( |a| leqslant 1 ) называется такое число ( -frac{pi}{2} leqslant alpha leqslant frac{pi}{2} ),
синус которого равен а:
( text{arcsin}(a) = alpha ), если ( sin(alpha) =a ) и ( -frac{pi}{2} leqslant alpha leqslant frac{pi}{2} )

Все корни уравнений вида sin(х) = а, где ( |a| leqslant 1 ), можно находить по формуле
( x = (-1)^n text{arcsin}(a) + pi n, ; n in mathbb{Z} )

Можно доказать, что для любого ( |a| leqslant 1 ) справедлива формула
( text{arcsin}(-a) = — text{arcsin}(a) )
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет
корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале ( left( -frac{pi}{2}; ; frac{pi}{2} right) ) только один корень.
Если ( |a| geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac{pi}{2} right) ); если а < 0, то в
промежутке ( left( -frac{pi}{2}; ; 0 right) ).
Этот корень называют арктангенсом числа a и обозначают arctg a

Определение Арктангенсом любого числа a называется такое число ( -frac{pi}{2} < alpha < frac{pi}{2} ),
тангенс которого равен а:
( text{arctg}(a) = alpha ), если ( text{tg}(alpha) =a ) и ( -frac{pi}{2} < alpha < frac{pi}{2} )

Все корни уравнений вида tg(х) = а для любого a можно находить по формуле
( x = text{arctg}(a) + pi n, ; n in mathbb{Z} )

Можно доказать, что для любого a справедлива формула
( text{arctg}(-a) = — text{arctg}(a) )
Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а.
К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение
различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

1) ( sin(6x) = 1 Rightarrow 6x = frac{pi}{2} +2pi n Rightarrow x = frac{pi}{12} +frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} )

2) ( sin(6x) = frac{1}{3} Rightarrow 6x = (-1)^n text{arcsin} frac{1}{3} +pi n Rightarrow )
( Rightarrow x = frac{(-1)^n}{6} text{arcsin} frac{1}{3} +frac{pi n}{6}, ; n in mathbb{Z} )

Ответ ( x = frac{pi}{12} +frac{pi n}{3}, ;; x = frac{(-1)^n}{6} text{arcsin} frac{1}{3} +frac{pi n}{6}, ; n in mathbb{Z} )

( 4sinfrac{x}{2} cosfrac{x}{2} + cos^2 frac{x}{2} — sin^2 frac{x}{2} = 2sin^2 frac{x}{2} + 2cos^2 frac{x}{2} )

( 3sin^2frac{x}{2} -4sinfrac{x}{2} cosfrac{x}{2} + cos^2 frac{x}{2} = 0 )

Поделив это уравнение на ( cos^2 frac{x}{2} ) получим равносильное уравнение
( 3 text{tg}^2frac{x}{2} — 4 text{tg}frac{x}{2} +1 = 0 )
Обозначая ( text{tg}frac{x}{2} = y ) получаем уравнение
3y²— 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

1) ( text{tg}frac{x}{2} = 1 Rightarrow frac{x}{2} = frac{pi}{4} +pi n Rightarrow x = frac{pi}{2} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )

2) ( text{tg}frac{x}{2} = frac{1}{3} Rightarrow frac{x}{2} = text{arctg}frac{1}{3} +pi n Rightarrow x = 2 text{arctg} frac{1}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )

Ответ ( x = frac{pi}{2} +2pi n, ;; x = 2 text{arctg} frac{1}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях ( a neq 0, ; b neq 0, ; c neq 0, ; c^2 leqslant b^2+c^2 )
можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на ( sqrt{a^2+b^2} ):

( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} sin(x) + frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} cos(x) = frac{c}{sqrt{a^2+b^2}} )

Введём вспомогательный аргумент ( varphi ), такой, что

( cos varphi = frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}, ;; sin varphi = frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} )

Такое число ( varphi ) существует, так как

( left( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} right)^2 + left( frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} right)^2 = 1 )

Таким образом, уравнение можно записать в виде
( sin x cos varphi + cos x sin varphi = frac{c}{sqrt{a^2+b^2}} )
откуда

( sin(x+varphi) = frac{c}{sqrt{a^2+b^2}} )

где ( varphi = text{arccos} left( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} right) ) или ( varphi = text{arcsin} left( frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} right) )

Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется
методом введения вспомогательного угла.

( frac{4}{5}sin(x) + frac{3}{5}cos(x) = 1 )

Введём вспомогательный аргумент ( varphi ), такой, что ( cos varphi = frac{4}{5}, ; sin varphi = frac{3}{5} )
Исходное уравнение можно записать в виде
( sin x cos varphi + cos x sin varphi = 1, ;; sin(x+varphi) = 1 )
откуда

( x+varphi = frac{pi}{2} + 2pi n, ;; varphi = text{arccos} frac{4}{5} )

( x = frac{pi}{2} — text{arccos} frac{4}{5} + 2pi n, ; n in mathbb{Z} )

Ответ ( x = frac{pi}{2} — text{arccos} frac{4}{5} + 2pi n, ; n in mathbb{Z} )

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель
sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

1) ( sin(x) =0, ; x = pi n, ; n in mathbb{Z} )

2) ( 2 cos(x) -1 =0, ; cos(x) = frac12, ; x = pm frac{pi}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )

Ответ ( x = pi n, ; x = pm frac{pi}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

1) ( sin(x) =0, ; x = pi n, ; n in mathbb{Z} )

2) ( sin(3x) =0, ; x = frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} )

Заметим, что числа ( pi n ) содержатся среди чисел вида ( x = frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} )
Следовательно, первая серия корней содержится во второй.

Ответ ( x = frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} )

Решить уравнение 6 sin²(x) + 2 sin²(2x) = 5
Выразим sin²(x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos²(x) — sin²(x), то
cos(2x) = 1 — sin²(x) — sin²(x), cos(2x) = 1 — 2 sin²(x), откуда
sin²(x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos²(2х)) = 5
2 cos²(2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0

1) cos(2х) =0, ( x = frac{pi}{4} + frac{pi n}{2}, ; n in mathbb{Z} )

2) уравнение cos(2x) = -3/2 корней не имеет.

Ответ ( x = frac{pi}{4} + frac{pi n}{2}, ; n in mathbb{Z} )