4sin4x 7cos2x 4 0 егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задание. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π; -4π].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения: R

Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1, получим

Введем новую переменную, пусть t = sin²x

Вернемся к первоначальной переменной, получим

Решим уравнение:

Используя единичную окружность, корни можно объединить:

Решим уравнение:

Объединяем корни, получим

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π; -4π].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Для первого корня:

Для второго корня:

Для третьего корня:

Ответ:

Источник

а) Решите уравнение (4sin^4x+7cos^2x-4=0)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ([-5pi; -4pi]).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z	2. π/6+2πn, n∈Z	3. π/4+2πn, n∈Z	4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z	6. 2π/3+2πn, n∈Z	7. 3π/4+2πn, n∈Z	8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z	10. -π/6+2πn, n∈Z	11. -π/4+2πn, n∈Z	12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z	14. -2π/3+2πn, n∈Z	15. -3π/4+2πn, n∈Z	16. -5π/6+2πn, n∈Z

б)

17. -5π	18. -29π/6	19. -19π/4	20. -14π/3
21. -9π/2	22. -13π/3	23. -17π/4	24. -25π/6
25. -4π	26. -23π/6	27. -15π/4	28. -11π/3
29. -7π/2

Источник

Главная страница » Пример №52 из задания 12

Пример №52 из задания 12

а) Решите уравнение ( displaystyle 4sin^4 x+7cos^2 x-4=0).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (displaystyle left[ -5pi; -4pi right] ).

Решение

Решение скоро будет!

Ответ: а) ( pmfrac{pi}{3}+pi k, frac{pi}{2}+pi k, k in Z );

б) ( -frac{14pi}{3}, -frac{9pi}{2}, -frac{13pi}{3} ).

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 36) (Купить книгу)

Источник

Задача

Школьные

ВУЗ

Вступительные билеты

12. Решите уравнение 4sin^4x+7cos^2x-4=0

Загрузка…

Ответ:

а) +-π/3 + πn, n ∈ Z ; π/2 + πk,k∈ Z . б) -14π/3 ; -9π/2 ; -13π/3

Посмотрите видео решение:

Формат файла

youtube

Источник

Под редакцией И. В. Ященко МАТЕМАТИКА Профильный уровень 2022

Источник

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

Сайты, меню, вход, новости

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Спрятать решение

Решение.

а)  Перенесем в правую часть и применим формулу для косинуса двойного угла:

Если то из уравнения следует, что что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому отличен от 0, и на него можно поделить обе части уравнения:

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку

Ответ: а) б)

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Спрятать решение

Прототип задания

Курс Д. Д. Гущина

Софья Ефимова 14.02.2017 19:59

Если мы делим на cosx, значит, cosx строго больше нуля. Следовательно, при отборе смотрим только первую четверть. Разве не так?

Станислава Чемоданова 19.02.2017 19:35

Так если применяется формула двойного угла для косинуса, тогда будет cos2x

Александр Иванов

Нет. Тогда будет удваиваться, то что было. А было

Источник

Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неизвестного аргумента. Под тригонометрическими функциями понимают математические функции от величины угла. Как правило, тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определенных отрезков в единичной окружности.

К основным видам тригонометрических уравнений относят простейшие уравнения, содержащие модуль, с параметрами, с целой и дробной частью, со сложными аргументами, с обратными тригонометрическими функциями.

С помощью калькулятора можно вычислить корни тригонометрического уравнения.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Источник

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение.
Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о простейших тригонометрических уравнениях и
общие методы преобразования тригонометрических уравнениях к простейшим.

Примеры подробного решения >>

Введите тригонометрическое уравнение

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что ( -1 leqslant cos alpha leqslant 1 ). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней.
Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где ( |a| leqslant 1 ), имеет на отрезке ( 0 leqslant x leqslant pi ) только один корень.
Если ( a geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac{pi}{2} right] ); если a < 0, то в промежутке
( left( frac{pi}{2}; ; pi right] ).
Этот корень называют арккосинусом числа a и обозначают arccos a.

Определение Арккосинусом числа ( |a| leqslant 1 ) называется такое число ( 0 leqslant alpha leqslant pi ), косинус которого
равен а:
( text{arccos}(a) = alpha ) если ( cos(alpha) =a ) и ( 0 leqslant alpha leqslant pi )

Все корни уравнений вида cos(х) = а, где ( |a| leqslant 1 ), можно находить по формуле
( x = pm text{arccos}(a) +2pi n, ; n in mathbb{Z} )

Можно доказать, что для любого ( |a| leqslant 1 ) справедлива формула
( text{arccos}(-a) = pi — text{arccos}(a) )
Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что ( -1 leqslant sin alpha leqslant 1 ). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней.
Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где ( |a| leqslant 1 ), на отрезке ( left[ -frac{pi}{2}; ; frac{pi}{2} right] ) имеет только один
корень. Если ( a geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac{pi}{2} right] ); если а < 0, то корень заключён
в промежутке ( left[ -frac{pi}{2}; ; 0 right) )
Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а

Определение Арксинусом числа ( |a| leqslant 1 ) называется такое число ( -frac{pi}{2} leqslant alpha leqslant frac{pi}{2} ),
синус которого равен а:
( text{arcsin}(a) = alpha ), если ( sin(alpha) =a ) и ( -frac{pi}{2} leqslant alpha leqslant frac{pi}{2} )

Все корни уравнений вида sin(х) = а, где ( |a| leqslant 1 ), можно находить по формуле
( x = (-1)^n text{arcsin}(a) + pi n, ; n in mathbb{Z} )

Можно доказать, что для любого ( |a| leqslant 1 ) справедлива формула
( text{arcsin}(-a) = — text{arcsin}(a) )
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет
корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале ( left( -frac{pi}{2}; ; frac{pi}{2} right) ) только один корень.
Если ( |a| geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac{pi}{2} right) ); если а < 0, то в
промежутке ( left( -frac{pi}{2}; ; 0 right) ).
Этот корень называют арктангенсом числа a и обозначают arctg a

Определение Арктангенсом любого числа a называется такое число ( -frac{pi}{2} < alpha < frac{pi}{2} ),
тангенс которого равен а:
( text{arctg}(a) = alpha ), если ( text{tg}(alpha) =a ) и ( -frac{pi}{2} < alpha < frac{pi}{2} )

Все корни уравнений вида tg(х) = а для любого a можно находить по формуле
( x = text{arctg}(a) + pi n, ; n in mathbb{Z} )

Можно доказать, что для любого a справедлива формула
( text{arctg}(-a) = — text{arctg}(a) )
Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а.
К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение
различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos²(х) — 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos²(х) на 1 — sin²(х), получаем
2 (1 — sin²(х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin²(х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у² + 5y — 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; ( x = (-1)^n text{arcsin}(0,5) + pi n = (-1)^n frac{pi}{6} + pi n, ; n in mathbb{Z} )
Ответ ( x = (-1)^n frac{pi}{6} + pi n, ; n in mathbb{Z} )

Решить уравнение 2 cos²(6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0

Используя формулы
sin²(6x) + cos²(6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin²(6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin²(6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y² — 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

1) ( sin(6x) = 1 Rightarrow 6x = frac{pi}{2} +2pi n Rightarrow x = frac{pi}{12} +frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} )

2) ( sin(6x) = frac{1}{3} Rightarrow 6x = (-1)^n text{arcsin} frac{1}{3} +pi n Rightarrow )
( Rightarrow x = frac{(-1)^n}{6} text{arcsin} frac{1}{3} +frac{pi n}{6}, ; n in mathbb{Z} )

Ответ ( x = frac{pi}{12} +frac{pi n}{3}, ;; x = frac{(-1)^n}{6} text{arcsin} frac{1}{3} +frac{pi n}{6}, ; n in mathbb{Z} )

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0

Используя формулы ( sin(x) = 2sinfrac{x}{2} cosfrac{x}{2}, ; cos(x) = cos^2 frac{x}{2} -sin^2 frac{x}{2} )
и записывая правую часть уравпения в виде ( 2 = 2 cdot 1 = 2 left( sin^2 frac{x}{2} + cos^2 frac{x}{2} right) ) получаем

( 4sinfrac{x}{2} cosfrac{x}{2} + cos^2 frac{x}{2} — sin^2 frac{x}{2} = 2sin^2 frac{x}{2} + 2cos^2 frac{x}{2} )

( 3sin^2frac{x}{2} -4sinfrac{x}{2} cosfrac{x}{2} + cos^2 frac{x}{2} = 0 )

Поделив это уравнение на ( cos^2 frac{x}{2} ) получим равносильное уравнение
( 3 text{tg}^2frac{x}{2} — 4 text{tg}frac{x}{2} +1 = 0 )
Обозначая ( text{tg}frac{x}{2} = y ) получаем уравнение
3y²— 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

1) ( text{tg}frac{x}{2} = 1 Rightarrow frac{x}{2} = frac{pi}{4} +pi n Rightarrow x = frac{pi}{2} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )

2) ( text{tg}frac{x}{2} = frac{1}{3} Rightarrow frac{x}{2} = text{arctg}frac{1}{3} +pi n Rightarrow x = 2 text{arctg} frac{1}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )

Ответ ( x = frac{pi}{2} +2pi n, ;; x = 2 text{arctg} frac{1}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях ( a neq 0, ; b neq 0, ; c neq 0, ; c^2 leqslant b^2+c^2 )
можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на ( sqrt{a^2+b^2} ):

( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} sin(x) + frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} cos(x) = frac{c}{sqrt{a^2+b^2}} )

Введём вспомогательный аргумент ( varphi ), такой, что

( cos varphi = frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}, ;; sin varphi = frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} )

Такое число ( varphi ) существует, так как

( left( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} right)^2 + left( frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} right)^2 = 1 )

Таким образом, уравнение можно записать в виде
( sin x cos varphi + cos x sin varphi = frac{c}{sqrt{a^2+b^2}} )
откуда

( sin(x+varphi) = frac{c}{sqrt{a^2+b^2}} )

где ( varphi = text{arccos} left( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} right) ) или ( varphi = text{arcsin} left( frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} right) )

Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется
методом введения вспомогательного угла.

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, ( sqrt{a^2+b^2} = 5 ). Поделим обе части уравнения на 5:

( frac{4}{5}sin(x) + frac{3}{5}cos(x) = 1 )

Введём вспомогательный аргумент ( varphi ), такой, что ( cos varphi = frac{4}{5}, ; sin varphi = frac{3}{5} )
Исходное уравнение можно записать в виде
( sin x cos varphi + cos x sin varphi = 1, ;; sin(x+varphi) = 1 )
откуда

( x+varphi = frac{pi}{2} + 2pi n, ;; varphi = text{arccos} frac{4}{5} )

( x = frac{pi}{2} — text{arccos} frac{4}{5} + 2pi n, ; n in mathbb{Z} )

Ответ ( x = frac{pi}{2} — text{arccos} frac{4}{5} + 2pi n, ; n in mathbb{Z} )

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель
sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

1) ( sin(x) =0, ; x = pi n, ; n in mathbb{Z} )

2) ( 2 cos(x) -1 =0, ; cos(x) = frac12, ; x = pm frac{pi}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )

Ответ ( x = pi n, ; x = pm frac{pi}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

1) ( sin(x) =0, ; x = pi n, ; n in mathbb{Z} )

2) ( sin(3x) =0, ; x = frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} )

Заметим, что числа ( pi n ) содержатся среди чисел вида ( x = frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} )
Следовательно, первая серия корней содержится во второй.

Ответ ( x = frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} )

Решить уравнение 6 sin²(x) + 2 sin²(2x) = 5
Выразим sin²(x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos²(x) — sin²(x), то
cos(2x) = 1 — sin²(x) — sin²(x), cos(2x) = 1 — 2 sin²(x), откуда
sin²(x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos²(2х)) = 5
2 cos²(2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0

1) cos(2х) =0, ( x = frac{pi}{4} + frac{pi n}{2}, ; n in mathbb{Z} )

2) уравнение cos(2x) = -3/2 корней не имеет.

Ответ ( x = frac{pi}{4} + frac{pi n}{2}, ; n in mathbb{Z} )

Источник