507634 решу егэ математика - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. M  — середина ребра BC, L  — середина ребра AB.

а)  Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A.

б)  Найдите угол между прямыми DM и CL.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть MF прямая параллельная прямой CL и F точка ее пересечения с AB. Тогда плоскость DMF параллельна прямой CL по признаку параллельности прямой и плоскости. MF  — средняя линия треугольника BCL, поэтому: Это и требовалось доказать.

б)  Искомый угол между прямыми DM и CL равен углу DMF. Обозначим угол DMF буквой α.

Выразим квадрат отрезка DF по теореме косинусов в двух треугольниках: DMF и BDF:

Поскольку и BD=1, подставляя числовые данные, получим:

Откуда

Ответ:

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источник

13
задание

ПРОФИЛЬ
ЕГЭ математика

1
вариант

1. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD.
Плоскость α параллельна прямой АС, проходит через точку В и
середину высоты пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро SD в
отношении 2 : 1, считая от точки D.

б) Найдите синус угла между плоскостью α и плоскостью ASC,
если угол SAC равен 30°.

2. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно
6, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен  Точка M — середина
ребра SC, точка  — середина ребра AC.

а) Докажите, что угол между прямыми BM и SA равен
углу BMN.

б) Найдите косинус угла между прямыми BM и SA.

3. В основании правильной пирамиды PABCD лежит
квадрат ABCD со стороной 9. Сечение пирамиды проходит через
вершину В и середину ребра PD перпендикулярно
этому ребру.

а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её
основанию равен 60°.

б) Найдите площадь сечения пирамиды.

4. В основании пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD со стороной AB =  4 и
диагональю BD =  7. Все боковые рёбра пирамиды равны 4. На
диагонали BD основания ABCD отмечена
точка E, а на ребре AS — точка F так,
что SF = BE = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна
ребру SB .

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в
точке Q. Найдите расстояние от точки Q до
плоскости ABC.

5. В конус, радиус основания которого равен 6, вписан шар радиуса 3.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади
поверхности шара.

6. В пирамиде SABC в основании лежит правильный
треугольник ABC со стороной Точка O —
основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.

а) Докажите, что точка O лежит вне
треугольника ABC.

б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.

7. Точка M середина ребра AB правильного
тетраэдра DABC.

а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на
плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.

б) Найдите угол между прямой DM и
плоскостью ACD.

8. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является
прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
Грань ACC₁A₁ является квадратом.

а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁,
если AC = 4, BC = 7.

9. Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с
вершиной P равны между собой. Точка M — середина
бокового ребра пирамиды AP.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки B и M и
перпендикулярная плоскости BDP, делит высоту пирамиды пополам.

б) Найдите угол между прямой BM и
плоскостью BDP.

10. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно
6. Точки K, L и M — центры
граней ABCD, AA₁D₁D и CC₁D₁D соответственно.

а) Докажите, что B₁KLM —
правильная пирамида.

б) Найдите объём B₁KLM.

13
задание

ПРОФИЛЬ
ЕГЭ математика

2
вариант

1. Точки A, B и C лежат
на окружности основания конуса с вершиной S, причём A и C диаметрально
противоположны. Точка M — середина BC.

а) Докажите, что прямая SM образует с
плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с
плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и
плоскостью SBC, если AB = 4, BC = 6 и

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все
рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так,
что KB = 3. Через точки K и C₁ построена
плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P : PB₁ =
2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

3. В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит
параллелограмм АВСD c центром О. Точка N —
середина ребра SC, точка L — середина ребра SA.

а) Докажите, что плоскость BNL делит ребро SD в
отношении 1 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите угол между плоскостями BNL и АВС,
если пирамида правильная, SA = 8, а тангенс угла между боковым
ребром и плоскостью основания пирамиды равен

4. Основание ABCD призмы  —
трапеция с основаниями AB = 2CD.

а) Докажите проходит через середину
бокового ребра

б) Найдите угол между боковым ребром и этой
плоскостью, если призма прямая, трапеция ABCD прямоугольная с
прямым углом при вершине B, а BC = CD и $AA_1= корень из { 6} CD.$

5. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона
основания AB равна 9, а боковое ребро SA = 6. На
рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно,
причём AK : KB = SM : MC = 2 : 7. Плоскость α содержит
прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в
отношении 2 : 7, считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

6. Сторона правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна
8. Высота этой призмы равна 6.

а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую и
параллельная прямой делит пополам ребро

б) Найти угол между прямыми CA₁ и AB₁.

7. Дана треугольная пирамида DABC, точки M, N, P и Q лежат
на рёбрах AB, BC, AD, CD,
причём AM : MB = CN : NB = 3
: 1. Точки P и Q — середины рёбер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат
в одной плоскости.

б) Найдите отношение многоугольников на которые делит
плоскость PQM пирамиду.

8. ABCA₁B₁C₁ — правильная призма, сторона AB равна 16. Через
точки M и P, лежащие на рёбрах AC и BB1
соответственно, проведена плоскость α, параллельная прямой AB.
Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна
16, а три другие равны между собой.

а) Докажите что периметр сечения призмы плоскостью α больше 40.

б) Найдите расстояние от точки A до плоскости α,
если упомянутый периметр равен 46.

9. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона
основания а боковое
ребро AA₁ = 5.

а) Найдите длину отрезка A₁K,
где K — середина ребра BC.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA₁ и BB₁C₁.

10. В основании пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD со стороной AB =  4 и
диагональю BD =  7. Все боковые рёбра пирамиды равны 4. На
диагонали BD основания ABCD отмечена
точка E, а на ребре AS — точка F так,
что SF = BE = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна
ребру SB .

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в
точке Q. Найдите расстояние от точки Q до
плоскости ABC.

13
задание

ПРОФИЛЬ
ЕГЭ математика

3
вариант

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со
стороной 8 на ребре AA₁ взята точка K такая,
что A₁K = 1. Через точки K и B₁ проведена
плоскость α, параллельная прямой AC₁.

а) Докажите, что A₁P : PD₁ = 1 : 6,
где P — точка пересечения плоскости α и ребра A₁D₁.

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ADD₁.

2. В правильном тетраэдре MNPQ через
биссектрисы NA и QB граней MNP и QNP проведены
параллельные плоскости.

а) Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от MNPQ тетраэдров
к объему MNPQ

б) Найдите расстояние между NA и QB,
если ребро тетраэдра равно 1.

3. Точки P и Q — середины
рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно.

а) Докажите, что прямые B₁P и QB перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через
точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро
куба равно 10.

4. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На
окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В,
а на окружности другого основания — точки В₁ и С₁,
причем ВВ₁ — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает
ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB = 20, BB₁ = 15, B₁C₁ = 21.

5. Дана треугольная пирамида DABC, точки M, N, P и Q лежат
на рёбрах AB, BC, AD, CD,
причём AM : MB = CN : NB = 3
: 1. Точки P и Q — середины рёбер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат
в одной плоскости.

б) Найдите отношение многоугольников на которые делит
плоскость PQM пирамиду.

6. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины A до
плоскости SBC.

7. а) Дан прямоугольный параллелепипед Докажите,
что все грани тетраэдра — равные треугольники
(тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).

б) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, AB = 10, BC = 12, CC₁ = 6,5.
Найдите угол между плоскостью ABC и прямой EF,
проходящей через середины рёбер AA₁ и C₁D₁.

8. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все
рёбра равны 1.

а) Докажите, что прямая AB₁ параллельна
прямой, проходящей через середины отрезков AC и BC₁.

б) Найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.

9. Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким
образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит
в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость
прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.

а) Докажите, что ABCD — квадрат.

б) Найдите длину той части отрезка BD, которая
находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен

10. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята
точка E так, что A₁E : EA = 2 : 3,
на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 1 : 4,
а точка T — середина ребра B₁C₁.
Известно, что AB = 4, AD = 4, AA₁ = 10.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через
вершину D₁.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и
плоскостью BB₁C₁.

13
задание

ПРОФИЛЬ
ЕГЭ математика

4
вариант

1. На ребре AA₁ прямоугольного
параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята
точка E так, что A₁E : EA =
4 : 3. Точка T — середина ребра B₁C₁.
Известно, что AB = 5, AD = 8, AA₁ =
14.

а) В каком отношении плоскость ETD₁ делит
ребро BB₁?

б) Найдите угол между плоскостью ETD₁ и
плоскостью AA₁B₁.

2. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит
равнобедренный треугольник ABC с основанием AC.
Точка K — середина ребра A₁B₁,
а точка M делит ребро AC в отношении AM
: MC = 1 : 3.

а) Докажите, что KM перпендикулярно AC.

б) Найдите угол между прямой KM и
плоскостью ABC, если AB = 12, AC = 16
и AA₁ = 6.

3. В треугольной пирамиде SABC известны боковые
рёбра: Основанием высоты этой
пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC.
Эта высота равна 4.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите объём пирамиды SABC.

4. В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁лежит
треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N —
середина ребра A₁C₁.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

5. В основании MABCD лежит прямоугольник ABCD со
сторонами AB = 4 и BC =  все
боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена
точка Е, а на ребрах AM и AB  —
точка F и G соответственно так, что MF = BE = BG = 3.

а) Докажите, что плоскость GEF проходит через
точку C.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость GEF пересекает
грань CMD пирамиды.

6. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна
1. M — середина ребра BC, L — середина
ребра AB.

а) Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и
содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении
3 : 1, считая от вершины A.

б) Найдите угол между прямыми DM и CL.

7. Дана пирамида SABC, в которой

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно
ребру BC.

б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

8. Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину
конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания
конуса.

9. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона
основания AB = 6, а боковое ребро На рёбрах AB, A₁D₁ и C₁D₁ отмечены
точки M, N и K соответственно, причём AM = A₁N = C₁K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с
ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

10. В правильной треугольной пирамиде SABC с
вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N —
середина ребра AC, точка O центр основания
пирамиды, точка P делит отрезок SO в
отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна
прямой BS.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

Ответы

13
задание

ПРОФИЛЬ
ЕГЭ математика

1
вариант

№ п/п	№ задания	Ответ
1	551188	б)
2	505387
3	520516
4	517200
5	511411	8:3.
6	513253
7	553830	б)
8	517563	б)
9	484568
10	517500	б) 18.

13
задание

ПРОФИЛЬ
ЕГЭ математика

2
вариант

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562234
2	509502	б)
3	552511	б)
4	546443	б) 30°.
5	526290	б)
6	511492
7	517538	21 : 11.
8	559408	б)
9	513270	а) б)
10	517200

13
задание

ПРОФИЛЬ
ЕГЭ математика

3
вариант

№ п/п	№ задания	Ответ
1	561741	б)
2	531022	а) б)
3	516275	б)
4	520938	б)
5	517538	21 : 11.
6	513097
7	507660
8	515782	б)
9	520209
10	556446	б)

13
задание

ПРОФИЛЬ
ЕГЭ математика

4
вариант

№ п/п	№ задания	Ответ
1	509342	а) б)
2	526591	б)
3	517484	б)
4	510460	19.
5	560138	б)
6	507634
7	525139	б)
8	562187
9	513625	б) 55.
10	511106	2.

Источник

Новые тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике базовый и профильный уровень с ответами и решением для 10 и 11 класса, больше 100 вариантов в формате реального экзамена ФИПИ вы можете решать онлайн или скачать.

Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике база и профиль

13.09.2022 Тренировочный вариант №1 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

27.09.2022 Математика 11 класс профиль входная мониторинговая работа 3 варианта с ответами

28.09.2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

28 сентября 2022 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль варианты и ответы

29 сентября 2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

1 октября 2022 Ларин вариант 399 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

8 октября Ларин вариант 400 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

14 октября Вариант 1 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

14 октября Вариант 2 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

15 октября Ларин вариант 401 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

15 октября Ларин вариант 402 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

16 октября Вариант 3 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

16 октября Вариант 4 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

23 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

24 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

25 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

26 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

28 октября Ларин вариант 403 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

29 октября Ларин вариант 404 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

5 ноября 2022 Вариант 1-2 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

6 ноября 2022 Ларин вариант 405 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

9 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

12 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

13 ноября 2022 Ларин вариант 406 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

21 ноября 2022 Ларин вариант 407 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

27 ноября 2022 Ларин вариант 408 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

28 ноября 2022 Вариант 3-4 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

30 ноября 2022 Мониторинговая работа по математике 11 класс ЕГЭ 2023 профиль 1 полугодие

3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

3 декабря 2022 Пробник ЕГЭ 2023 Москва по математике профиль задания и ответы

5 декабря 2022 Ларин вариант 409 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

9 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

10 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

12 декабря 2022 Ларин вариант 410 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

13 декабря 2022 Статград математика 11 класс профиль ЕГЭ 2023 варианты МА2210209-МА2210212 и ответы

13 декабря 2022 Математика 11 класс база ЕГЭ 2023 статград варианты и ответы

15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

20 декабря 2022 Вариант 5-6 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

20 декабря 2022 Ларин вариант 411 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

3 января 2023 Ларин вариант 412 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

6 января 2023 Тренировочный вариант 1-2 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы

8 января 2023 Вариант 3-4 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы

9 января 2023 Вариант 7-8 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

10 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

11 января 2023 ЕГЭ 2023 математика тренировочные задания и ответы Ященко, Семенов

11 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 база ЕГЭ 2023 по математике 11 класс с ответами

19 января 2023 Тренировочные варианты №17 и №18 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

22 января 2023 Ларин вариант 413 и 414 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение и ответы

22 января 2023 Тренировочный 19 вариант решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

22 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 19 с ответами

25 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 20 с ответами

27 января 2023 Тренировочный вариант №20 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

28 января 2023 Вариант 415 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

2 февраля 2023 Вариант 21 база ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант с ответами

2 февраля 2023 Тренировочный вариант №21 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

8 февраля 2023 Математика 10-11 класс ЕГЭ 2023 статград варианты база и профиль МА2200101-МА2200110 и ответы

11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

12 февраля 2023 Вариант 416 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

12 февраля 2023 Вариант 417 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

13 февраля 2023 Вариант 9 и вариант 10 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши задания

13 февраля 2023 Вариант 11 и вариант 12 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши

16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

18 февраля 2023 Вариант 418 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 база по математике 11 класс с ответами

22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 профиль по математике 11 класс с ответами

25 февраля 2023 Вариант 419 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

28 февраля 2023 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль и ответы

4 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 база по математике 11 класс с ответами

4 марта 2023 Вариант 420 Ларин ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

5 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 профиль по математике 11 класс с ответами

8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 профиль по математике 11 класс с ответами

8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 база по математике 11 класс 100 баллов с ответами

Смотрите также на нашем сайте:

Сборник Ященко ЕГЭ 2023 математика профильный уровень 36 вариантов

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Источник

Материалы и статьи

Пробник по профильной математике ЕГЭ 2023. Вариант и ответы с пробника ЕГЭ 2023 по математике профиль, который прошёл 3 декабря 2022 года у 11 класса школьников Москвы. Единая городская контрольная работа в формате ЕГЭ по математике профильный уровень.

скачать вариант №1

скачать вариант №2

Единая городская контрольная работа в формате ЕГЭ 2023 по математике профильный №1

Единая городская контрольная работа в формате ЕГЭ 2023 по математике профильный №2

1. Дан равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐶 и боковой стороной длины 7. Точка 𝐾 на стороне 𝐵𝐶 такая, что 𝐾𝐶 = 3, 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 14. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐾.

2. Имеется банка в форме цилиндра. Из неё перелили сок в 40 цилиндрических стаканов. Диаметр одного стакана в 4 раза меньше диаметра банки. При этом уровень сока в каждом стакане оказался 8 см. Какой была высота уровня сока в банке? Ответ дайте в сантиметрах.

3. В сборнике 4 билета по теме «Механические колебания». Вероятность того, что ученику попадётся билет не по данной теме равна 0,9. Сколько всего билетов в сборнике?

4. Стрелок стреляет по мишеням 5 раз. Вероятность попадания каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события, что стрелок попадёт в цель 4 раза больше вероятности события, что он попадёт в цель 3 раза?

5. Найдите корень уравнения √3 34 − 3𝑥 = 4.

8. Полная энергия падающего тела вычисляется по формуле 𝐸пол = 𝑚𝑣2 2 +𝑚𝑔ℎ. С какой скоростью двигалось тело массой 3 кг в момент, когда оно находилось на высоте 1,5 м, если его полная энергия в этот момент составляла 68,1 Дж? Ускорение свободного падения 𝑔 = 9,8 м/c2 .

9. Из двух городов, расстояние между которыми 720 км, выехали навстречу друг другу два поезда. Второй поезд выехал на час позже первого и едет со скоростью на 4 км/ч больше скорости первого. Поезда встретились ровно в середине пути. Найдите скорость первого поезда.

10. Дан график 𝑓(𝑥) = ⃒ ⃒𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ⃒ ⃒ , где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – целые числа. Найдите 𝑓(4).

13. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 на ребре 𝐴𝐴1 отмечена точка 𝐸 так, что 𝐴1𝐸 : 𝐸𝐴 = 3 : 2. Точка 𝑇 — середина ребра 𝐵1𝐶1, 𝐴𝐴1 = 10 и 𝐴𝐷 = 6. а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью 𝐸𝑇 𝐷1 – равнобедренная трапеция. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью 𝐸𝑇 𝐷1, если 𝐴𝐵 = 2√ 10.

15. В банке можно открыть один из двух вкладов. По вкладу А в конце каждого из трёх лет начисляется по 20% от суммы вклада в начале года. По вкладу Б в конце каждого из первых двух лет начисляется по 22% от суммы вклада в начале года. При каком наименьшем целом количестве начисляемых за третий год процентов по вкладу Б, вклад Б будет выгоднее вклада А?

16. Дан прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Квадрат 𝐶𝐾𝑁𝑀, такой, что точки 𝐾 и 𝑀 лежат на катетах 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 соответственно, а 𝑁 лежит на гипотенузе 𝐴𝐵. Квадрат 𝑃 𝑄𝑅𝑇 такой, что вершины 𝑃 и 𝑄 лежат на 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶, а вершины 𝑇 и 𝑅 лежат на гипотенузе. а) Докажите, что точки 𝐶, 𝑁 и центры квадратов лежат на одной прямой. б) Найти сторону квадрата 𝑃 𝑄𝑅𝑇, если 𝐴𝐶 = 12 и 𝐵𝐶 = 5.

17. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство 𝑎(𝑎 − 7,5) − 2(𝑎 − 7,5) (2𝑥 + 2) 6 (︀ 2𝑥 2 − 3𝑥 )︀ (2𝑥 + 2) − 𝑎𝑥2 + 1,5𝑎𝑥 имеет хотя бы 1 решение на промежутке [−1; 0).

18. Пусть {𝑎𝑛} – последовательность натуральных чисел. Обозначим 𝑀<𝐶(𝑎𝑛) – среднее арифметическое всех членов последовательности {𝑎𝑛}, которые меньше некоторого числа 𝐶. Число 𝐶 лежит между наибольшим и наименьшим членами последовательности. Обозначим 𝑀>𝐶(𝑎𝑛) – среднее арифметическое всех членов последовательности {𝑎𝑛}, которые больше или равны 𝐶. Среднее арифметическое одного числа равно самому числу. Затем к каждому члену последовательности {𝑎𝑛} прибавили 4 и получили новую последовательность, которую обозначили {𝑎𝑛 + 4}.

a) Существует ли последовательность {𝑎𝑛}, состоящая из трех членов, для которой 𝑀<79 (𝑎𝑛 + 4) < 𝑀<79 (𝑎𝑛)?
б) Существует ли последовательность {𝑎𝑛}, состоящая из трех членов, для которой 𝑀<79 (𝑎𝑛 + 4) < 𝑀<79 (𝑎𝑛) и 𝑀>79 (𝑎𝑛 + 4) < 𝑀>79 (𝑎𝑛)?
в) Известно, что среднее арифметическое всех членов последовательности {𝑎𝑛} равняется 84, 𝑀>79 (𝑎𝑎) = 94, 𝑀<79 (𝑎𝑛) = 70, 𝑀>79 (𝑎𝑛 + 4) = 96 и 𝑀<79 (𝑎𝑛 + 4) = 72. Какое наименьшее число членов может быть в последовательности {𝑎𝑛} ?

Вам будет интересно:

Тренировочный вариант №12 по профильной математике, решу ЕГЭ 2023 с ответами.

Метки: варианты и ответы ЕГЭ математика

Источник

Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы

Стереометрия на ЕГЭ. Вычисление объемов и площадей поверхности

Стереометрия на ЕГЭ по математике присутствует и в 1 части, и во второй. Чтобы решать задачи, для начала надо выучить формулы. Все они есть в наших таблицах:

Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Объем и площадь поверхности
Цилиндр, конус, шар. Объем и площадь поверхности

Часто в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии, требуется посчитать объем тела или площадь его поверхности. Или как-то использовать эти данные. Поэтому заглянем в толковый словарь русского языка и уточним понятия.

Объем — величина чего-нибудь в длину, ширину и высоту, измеряемая в кубических единицах.
Другими словами, чем больше объем, тем больше места тело занимает в трехмерном пространстве.

Площадь — величина чего-нибудь в длину и ширину, измеряемая в квадратных единицах.
Представьте себе, что вам нужно оклеить всю поверхность объемного тела. Сколько квадратных сантиметров (или метров) вы бы обклеили? Это и есть его площадь поверхности.

Объемные тела — это многогранники (куб, параллелепипед, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар).
Если в задаче по стереометрии речь идет о многограннике, вам встретятся термины «вершины», «грани» и «ребра». Вот они, на картинке.

Чтобы найти площадь поверхности многогранника, сложите площади всех его граней.

Вам могут также встретиться понятия «прямая призма», правильная призма», «правильная пирамида».

Прямой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию.
Если призма — прямая и в ее основании лежит правильный многоугольник, призма будет называться правильной.
А правильная пирамида — такая, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Перейдем к практике.

1. Одна из распространенных задач в части 1 — такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например, такого:

Что тут нарисовано? Очевидно, это большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка». Если вы увидели на рисунке что-то другое — обратите внимание на сплошные и штриховые линии. Сплошные линии — видимы. Штриховыми линиями показываются те ребра, которые мы не видим, потому что они находятся сзади.

Объем найти просто. Из объема большого «кирпича» вычитаем объем маленького. Получаем:

А как быть с площадью поверхности? Почему-то многие школьники пытаются посчитать ее по аналогии с объемом, как разность площадей большого и малого «кирпичей». В ответ на такое «решение» я обычно предлагаю детскую задачу — если у четырехугольного стола отпилить один угол, сколько углов у него останется?

На самом деле нам нужно посчитать сумму площадей всех граней — верхней, нижней, передней, задней, правой, левой, а также сумму площадей трех маленьких прямоугольников, которые образуют «полочку». Можно сделать это «в лоб», напрямую. Но есть и способ попроще.

Прежде всего, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна 110 . А как повлияет на него вырезанная «полочка»?

Давайте посчитаем сначала площадь всех горизонтальных участков, то есть «дна», «крыши» и нижней поверхности «полочки». С дном — все понятно, оно прямоугольное, его площадь равна .

А вот сумма площадей «крыши» и горизонтальной грани «полочки» тоже равна ! Посмотрите на них сверху.
…В этот момент и наступает понимание. Кому-то проще нарисовать вид сверху. Кому-то — представить, что мы передвигаем дно и стенки полочки и получаем целый большой параллелепипед, площадь поверхности которого равна 110 . Каким бы способом вы ни решали, результат один — площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали.

Ответ: 110 .

2. Следующую задачу, попроще, вы теперь решите без труда. Здесь тоже надо найти площадь поверхности многогранника:

. Из площади поверхности «целого кирпича» вычитаем площади двух квадратиков со стороной — на верхней и нижней гранях.

Ответ: 92.

3. А здесь нарисована прямоугольная плитка с «окошком». Задание то же самое — надо найти площадь поверхности.

Сначала посчитайте сумму площадей всех граней. Представьте, что вы дизайнер, а эта штучка — украшение. И вам надо оклеить эту штуку чем-то ценным, например, бриллиантами Сваровски. И вы их покупаете на свои деньги. (Я не знаю почему, но эта фраза мгновенно повышает вероятность правильного ответа!) Оклеивайте все грани плитки. Но только из площадей передней и задней граней вычтите площадь «окошка». А затем — само «окошко». Оклеивайте всю его «раму».
Ответ: .

Следующий тип задач — когда одно объемное тело вписано в другое.

4. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны . Найдите объем параллелепипеда.

Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник — на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности. Итак, площадь основания параллелепипеда равна , высота равна , объем равен .

Ответ: 4.

5. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами и . Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите .

Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть . Осталось найти радиус его основания.
Рисуем вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Где будет находиться радиус этой окружности? Правильно, посередине гипотенузы. Гипотенузу находим по теореме Пифагора, она равна . Тогда радиус основания цилиндра равен пяти. Находим объем цилиндра по формуле и записываем ответ: 100 .

Ответ: 100.

6. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса . Найдите объем параллелепипеда.

Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же — круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.

Ответ: .

Следующий тип задач — такие, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. А узнать нужно, как изменится объем или площадь поверхности.

7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании — правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого. Мы уже говорили о том, что площадь этого треугольника будет больше в раза. Объем воды остался неизменным. Следовательно, в раза уменьшится высота.
Ответ: .

8. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Давайте вспомним, как мы решали стандартные задачи, на движение и работу. Мы рисовали таблицу, верно? И здесь тоже нарисуем таблицу. Мы помним, что объем цилиндра равен pi R^2h .

	Высота	Радиус	Объем
Первая кружка
Вторая кружка	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}h$		$picdot left( 2R right)^2cdot genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}h$

Считаем объем второй кружки. Он равен $picdot left( 2R right)^2cdot genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}h=2 pi R^2h$ . Получается, что он в два раза больше, чем объем первой.

Следующая задача тоже решается сразу и без формул.

9. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен , проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Высота меньшей призмы такая же, как и у большой. А какой же будет ее площадь основания? Очевидно, в раза меньше. Вспомните свойство средней линии треугольника — она равна половине основания. Значит, объем отсеченной призмы равен .

И еще одна классическая задача. Никаких формул!

10. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в раза?

Только не надо обмирать от ужаса при слове «октаэдр». Тем более — он здесь нарисован и представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. А мы уже говорили — если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в раз, поскольку 3^2=9 .
Ответ: .

Следующий тип задач — такие, в которых надо найти объем части конуса, или части пирамиды. Они тоже решаются элементарно.

11. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. Радиус цилиндра равен 15, высота равна 5. В ответе укажите .

Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра».
Какая же часть цилиндра изображена? Вырезан кусок с углом градусов, а $60^{circ}$ — это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых. Находим объем всего цилиндра, умножаем на пять шестых, делим на , записываем ответ: 937,5 .

Продолжение: другие типы задач по стереометрии. Удачи вам в подготовке к ЕГЭ!

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник

Регистрация
Вход

Форум
Поиск
FAQ   alexlarin.net

Текущее время: 10 мар 2023, 12:33
Часовой пояс: UTC + 3 часа

Сообщения без ответов | Активные темы

Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ] На страницу 1, 2 След.

Начать новую тему»>

Ответить

Тренировочный вариант №420

Для печати

Предыдущая тема | Следующая тема

Тренировочный вариант №420

Автор

Сообщение

Заголовок сообщения: Тренировочный вариант №420

Добавлено: 04 мар 2023, 10:06

Администратор

Центр пользователя

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 6118

https://alexlarin.net/ege/2023/trvar420.html

Kirill Kolokolcev

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Добавлено: 04 мар 2023, 13:42

Центр пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1610
Откуда: Москва

Спасибо за интересный вариант!
17

Подробности:

ega7001

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Добавлено: 05 мар 2023, 23:29

Центр пользователя

Зарегистрирован: 07 окт 2022, 07:38
Сообщений: 5

12.

Подробности:

13.

Подробности:

14.

Подробности:

ega7001

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Добавлено: 06 мар 2023, 10:45

Центр пользователя

Зарегистрирован: 07 окт 2022, 07:38
Сообщений: 5

15.

Подробности:

16.

Подробности:

Владимiръ

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Добавлено: Вчера, 00:00

Центр пользователя

Зарегистрирован: 08 мар 2017, 23:11
Сообщений: 545
Откуда: Пущино

Задача 18

Подробности:

Вложения:

Задача 420-18.pdf [66.3 KIB]

Скачиваний: 725

Тюрин

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Добавлено: Вчера, 00:00

Центр пользователя

Зарегистрирован: 16 май 2022, 22:37
Сообщений: 141

Задача 18

Подробности:

Вложения:

Задача №420-18.pdf [129.95 KIB]

Скачиваний: 695

Raisa

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Добавлено: Вчера, 00:07

Центр пользователя

Зарегистрирован: 23 янв 2014, 20:36
Сообщений: 1463
Откуда: г. Дубна МО

12, 14, 17

Подробности:

Вложения:

12, 14, 17 вар 420.pdf [1.44 MIB]

Скачиваний: 693

Raisa

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Добавлено: Вчера, 00:14

Центр пользователя

Зарегистрирован: 23 янв 2014, 20:36
Сообщений: 1463
Откуда: г. Дубна МО

13, 15, 16

Подробности:

Вложения:

13, 15, 16 вар 420.pdf [1.97 MIB]

Скачиваний: 684

netka

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Добавлено: Вчера, 00:46

Центр пользователя

Зарегистрирован: 20 мар 2011, 22:29
Сообщений: 2788
Откуда: Казань

Всем здравствуйте! %%- %%- %%-

Решение заданий 12 и 14.

Подробности:

Решение задания 17.

Подробности:

Вложения:

420-17.pdf [438.22 KIB]

Скачиваний: 675

420-12;14.pdf [474.44 KIB]

Скачиваний: 681

netka

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Добавлено: Вчера, 00:58

Центр пользователя

Зарегистрирован: 20 мар 2011, 22:29
Сообщений: 2788
Откуда: Казань

Решение задания 13.

Вложение:

420-13.ggb [14.19 KIB]

Скачиваний: 22

скрин решения

Подробности:

Показать сообщения за: Сортировать по:

Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ] На страницу 1, 2 След.

Текущее время: 10 мар 2023, 12:33 | Часовой пояс: UTC + 3 часа

Удалить cookies форума | Наша команда | Вернуться наверх

Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Перейти:

Источник

Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике база и профиль

Смотрите также на нашем сайте:

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Единая городская контрольная работа в формате ЕГЭ 2023 по математике профильный №1

Единая городская контрольная работа в формате ЕГЭ 2023 по математике профильный №2

Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы

Стереометрия на ЕГЭ. Вычисление объемов и площадей поверхности

<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://alexlarin.com/egetren4.png" />

Тренировочный вариант №420

Тренировочный вариант №420

Кто сейчас на форуме