507736 решу егэ математика

Решите неравенство: дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x минус 5, знаменатель: 1 минус 2 логарифм по основанию 2 x конец дроби больше или равно 2 логарифм по основанию 2 x.

Спрятать решение

Решение.

Пусть y= логарифм по основанию 2 x, получаем:

дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x минус 5, знаменатель: 1 минус 2 логарифм по основанию 2 x конец дроби больше или равно 2 логарифм по основанию 2 x равносильно дробь: числитель: y минус 5, знаменатель: 1 минус 2y конец дроби больше или равно 2y равносильно дробь: числитель: 4y в квадрате минус y минус 5, знаменатель: 2y минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4y минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: 2y минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка y меньше или равно минус 1, новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше y меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности

Вернёмся к исходной переменной:

совокупность выражений новая строка логарифм по основанию 2 x меньше или равно минус 1, новая строка 0,5 меньше логарифм по основанию 2 x меньше или равно 1,25 конец совокупности равносильно совокупность выражений новая строка 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка корень из 2 меньше x меньше или равно корень 4 степени из левая круглая скобка 32 правая круглая скобка . конец совокупности

Таким образом, решение исходного неравенства левая круглая скобка 0;0,5 правая квадратная скобка cup левая круглая скобка корень из 2; корень 4 степени из левая круглая скобка 32 правая круглая скобка правая квадратная скобка .

Ответ: левая круглая скобка 0;0,5 правая квадратная скобка cup левая круглая скобка корень из 2; корень 4 степени из левая круглая скобка 32 правая круглая скобка правая квадратная скобка .

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. 0
Максимальный балл 2
Источник

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

New 

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Квадратичные неравенства

Метод интервалов 

Уравнения и неравенства с модулем 

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства 

1. Решите неравенство:

frac{{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 1}}{ +}frac{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 3}} geq { 2.}

Сделаем замену { 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 2=t}.

Тогда { 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 1=t+1}, а { 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 3=t-1}.

Получим:

frac{{ 2}}{{ t+1}}{ +}frac{{ t}}{{ t-1}} geq { 2};

frac{{ 2}{ t}{ -}{ 2+}{{ t}}^{{ 2}}{ +}{ t}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}}{ -}{ 2} geq{ 0};

frac{{{ t}}^{{ 2}}{ +3}{ t}{ -}{ 2-2}{{ t}}^{{ 2}}{ +2}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};

frac{{ 3}{ t}{ -}{{ t}}^{{ 2}}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};

frac{{ t}left({ t}{ -}{ 3}right)}{left({ t}{ -}{ 1}right)left({ t}{ +1}right)}le { 0}.

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Получим:

left[ begin{array}{c}{ -}{ 1 textless t}le { 0} \{ 1 textless t}le { 3} end{array}right..

Вернемся к переменной x: left[ begin{array}{c} -1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq0 \ 1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq 3 end{array} right. .

left[ begin{array}{c} {{2}over{sqrt{5}}} textless xleq {{4}over{sqrt{5}}}\ {{6}over{sqrt{5}}} textless xleq {{10}over{sqrt{5}}} end{array} right. .

Ответ: xin left(frac{{ 2}}{sqrt{{ 5}}};frac{{ 4}}{sqrt{{ 5}}}right]cup left(frac{{ 6}}{sqrt{{ 5}}};{ 2}sqrt{{ 5}}right].

Показательные неравенства

2. Решите неравенство 2^x+17cdot 2^{3-x}le 25.

2^x+17cdot frac{8}{2^x}le 25.

Сделаем замену 2^x=t,t textgreater 0. Получим:

t+17cdot frac{8}{t}-25le 0. Умножим неравенство на t textgreater 0.

t^2-25t+136le 0.

Дискриминант квадратного уравнения t^2-25t+136=0.

D={left(-25right)}^2-4cdot 136=625-544=81. Значит, корни этого уравнения: left[ begin{array}{c}t_1=17 \t_2=8 end{array}.right.

Разложим квадратный трехчлен t^2-25t+136 на множители.

t^2-25t+136le 0 Longleftrightarrow left(t-17right)left(t-8right)le 0.

8le tle 17. Вернемся к переменной x.

8le 2^xle 17.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

2^3le 2^xle 2^{{{log }_2 17}};

3le xle {{log }_2 17};

Ответ: xin left[3;{{log }_2 17}right].

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ.

3. Решите неравенство 2^{2x-x^2-1}+frac{1}{2^{2x-x^2}-1}le 2.

Сделаем замену 2^{2x-x^2}=t,t textgreater 0. Получим:

frac{t}{2}+frac{1}{t-1}-2le 0;

frac{t^2-t+2-4t+4}{2left(t-1right)}le 0;

frac{t^2-5t+6}{t-1}le 0;

frac{left(t-2right)left(t-3right)}{t-1}le 0.

left[ begin{array}{c}t textless 1 \2le tle 3 end{array} .right.

Вернемся к переменной x:left[ begin{array}{c}2^{2x-x^2} textless 1 \{2le 2}^{2x-x^2}le 3 end{array}.right.

Первое неравенство решим легко: 2x-x^2 textless 0. С неравенством {2le 2}^{2x-x^2} тоже все просто. Но что делать с неравенством 2^{2x-x^2}le 3? Ведь 3 = 2^{{{log }_2 3}}. Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим t=2^{2x-x^2}. Для этого рассмотрим функцию tleft(xright)=2^{2x-x^2}.

Сначала оценим показатель степени. Пусть zleft(xright)=2x-x^2. Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом y(1) = 1.

Мы получили, что zleft(xright)le 1.

Тогда 2^{zleft(xright)}le 2, и это значит, что tleft(xright)le 2. Значение tleft(xright)=3 не достигается ни при каких х.

Но если {2le 2}^{2x-x^2} и 2^{2x-x^2}le 2, то 2^{2x-x^2}=2.

Мы получили:

left[ begin{array}{c} 2x-x^2 textless 0\ 2x-x^2=1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x(x-2) textgreater 0\ x^2-2x+1=0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\(x-1)^2=0end{array} right. Leftrightarrow

Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\ x=1end{array}. right.

Ответ: xin left(-infty ;0right)cup left{1right}cup left(2;+infty right){ }.

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство 2{{log}_{frac{1}{2}} left(1-xright) textless {{log}_{frac{1}{2}} left(3x+1right)}}.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

2log_{{1}over{2}}(1-x) textless log_{{1}over{2}}(3x+1)Leftrightarrow left{begin{matrix} 1-x textgreater 0\3x+1 textgreater 0 \(1-x)^2 textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater -{{1}over{3}} \ 1+x^2-2x textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow

Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x^2-5x textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\ x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x(x-5) textgreater 0 end{matrix} .right.

Ответ: xin left(-frac{1}{3};0right).

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство 2{{{log}_2}^2 {{cos}^2 x+7{{log}_2 {cos x} geq 1}}}.

2{{{log }_2}^2 {{cos }^{{ 2}} x+7{{log }_2 {cos x} geq 1}}}.

ОДЗ: {cos x} textgreater 0.

Замена {{log }_2 {cos x}=t} Rightarrow {{log }_2 {{cos }^{{ 2}} x}}=2{{log }_2 {cos x=2t}}.

2cdot {left(2tright)}^2+7t-1 geq 0;

8t^2+7t-1 geq 0;

D=7^2-4cdot 8cdot left(-1right)=49+32=81;

t_1=frac{-7-9}{16}=-1;

t_2=frac{-7+9}{16}=frac{1}{8}.

(t+1)(t-{{1}over{8}})geq 0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} t leq -1 \ t geq {{1}over{8}} end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} log_2,cosx leq-1 \ log_2,cosx geq {{1}over{8}} end{array} right.
Leftrightarrow left{begin{matrix} left[ begin{array}{c} cosxleq{{1}over{2}} \ cosxgeqsqrt[8]{2} end{array} right. \ cosx textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow 0 textless cosxleq{{1}over{2}}.

Ответ: xin left(-frac{pi }{2}+2pi k;left.-frac{pi }{3}+2pi kright]right.cup left[frac{pi }{3}+2pi k;left.frac{pi }{2}+2pi kright), kright.in Z.

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство: {{log }_{{ 3-x}} frac{{ x+4}}{{left({ x-3}right)}^{{ 2}}}} geq { -2}.

log_{3-x}frac{x+4}{(x-3)^2}geq-2Leftrightarrow left{begin{matrix} 3-x textgreater 0\3-xneq1 \ {x+4over (x-3)^2} textgreater 0 \ log_{3-x} {{x+4}over(x-3)^2}+2geq 0 end{matrix} .right.

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что {left({ a-b}right)}^{{ 2}}{ =}{left({ b-a}right)}^{{ 2}}{ }. Используем также условия { 3-x textgreater 0}; , { x+4 textgreater 0.}

left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x+4 textgreater 0 \ log_{3-x}(x+4)-log_{3-x}(3-x)^2+2geq0 end{matrix}right. Leftrightarrow

Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x textgreater -4 \ log_{3-x}(x+4)geq0 end{matrix}.right.

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, {{log }_{{ a}} {left({ b}left({ x}right)right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ a}} left|{ b}left({ x}right)right|}}.

Поскольку { 3-}{ x}{ textgreater 0,}{{ log}}_{{ 3-x}}{left({ 3-x}right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ 3-x}} left|{ 3-x}right|{ =}}{ 2}{{log }_{{ 3-x}} left({ 3-x}right){ =2.}}

Согласно методу замены множителя, выражение {{ log}}_{{ 3-x}}left({ x+4}right) заменим на left({ 3-x-1}right)left({ x+4-1}right).

Получим систему:

left{ begin{array}{c}{ x}ne { 2} \{ -}{ 4}{ textless x textless 3} \left({ 2-x}right)left({ x+3}right) geq { 0} end{array}.right.

Решить ее легко.

Ответ: { x}in left[{ -}{ 3};{ 2}right).

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

{{log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 xleq 4}}.

ОДЗ: left{ begin{array}{c}x-5 textgreater 0 \x textgreater 0 end{array}Longleftrightarrow x textgreater 5.right.

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

{{log }_2 left(9-5right)={{log }_2 4=2}};

{{log }_3 9=2};

{{log }_2 left(9-5right)+{{log }_3 9=4}}.

Функции y_1=log_2 left(x-5right) и y_2 =log _3 x — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции {{{ y=}log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 x}} равно 4, при x textless 9 значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом x textgreater 5, то есть x принадлежит ОДЗ.

Ответ: (5; 9].

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 14. Неравенства u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Вчера, 22:23

В закладки

Обсудить

Жалоба

Теория и практика.

Содержание

1) Прямые
2) Параболы
3) Как искать пересечение параболы и прямой, двух парабол
4) Гипербола. Асимптотические точки гиперболы
5) Пересечение гиперболы и прямой
6) Иррациональные функции
7) Пересечение корня и прямой
8) Тригонометрические функции
9) Показательные функции
10) Логарифмические функции

10_zadacha.pdf

Источник: vk.com/profimatika

Источник

Найдём ОДЗ неравенства.

begin{cases} 2-x > 0, x > 0, log_{35}x^3-3log_{49}x neq 0;end{cases}

begin{cases}x < 2, x > 0, frac{3 ln x}{ln 35} -frac{3 ln x}{ln 49} neq 0;end{cases}

begin{cases} x < 2, x > 0, ln x left ( frac{1}{ ln 35}-frac{1}{ln 49}right ) neq 0;end{cases}

begin{cases}x < 2, x > 0, ln x neq 0; end{cases}

begin{cases}x < 2, x > 0, x neq 1; end{cases}

(0;1) cup (1;2).

Исследуем знак левой части неравенства.

При 0 < x < 1:

log_{35}x^3-3log_{49}x= 3log_{35}x-3log_{49}x= frac{3}{log_{x}35}-frac{3}{log_{x}49} < 0

(так как log_{x}49 < log_{x}35 < 0).

log_{25}(2-x)+log_{35}left ( frac{1}{2-x}right )= log_{25}(2-x)-log_{35}(2-x)= frac{1}{log_{2-x}25}-frac{1}{log_{2-x}35} > 0 (так как 2-x > 1, и значит, 0 < log_{2-x}25 < log_{2-x}35).

При 1 < x < 2:

log_{35}x^{3}-3 log_{49}x= 3 log_{35}x-3 log_{49}x= frac{3}{log_{x}35}-frac{3}{log_{x}49} > 0

(так как 0 < log_{x}35 < log_{x}49);

log_{25}(2-x)+log_{35}left ( frac{1}{2-x}right )= log_{25}(2-x)-log_{35}(2-x)= frac{1}{log_{2-x}25}-frac{1}{log_{2-x}35} < 0 (так как 2-x < 1, и значит, log_{2-x}35 < log_{2-x}25 < 0).

Таким образом, левая часть исходного неравенства отрицательна при всех значениях x из ОДЗ. С другой стороны, log_{49}25 > 0. Значит, левая часть исходного неравенства не превосходит log_{49}25 при любом значении x из ОДЗ.

Следовательно, решение данного неравенства: (0;1) cup (1;2).

Неравенства

В задании №15 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить неравенство. Чаще всего неравенство связано с логарифмами или степенными выражениями. Для успешного выполнения необходимо хорошо оперировать данными выражениями.

Разбор типовых вариантов заданий №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Решите неравенство:

Решу егэ математика 507736

Алгоритм решения:
  1. Вводим подстановку.
  2. Записываем выражение неравенства в ином виде.
  3. Решаем неравенство.
  4. Возвращаемся к подстановке.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Вводим замену  t = 3x . Тогда исходное неравенство примет вид:

Решу егэ математика 507736

2. Преобразуем его:

Решу егэ математика 507736

3. Отсюда получаем решение t ≤ 3; 5 < t < 9.

4. Возвратимся к переменной х.

При t ≤ 3 получим: 3x ≤ 3 , следовательно x ≤ 1

При 5 < t < 9 получим: 5 < 3x < 9, следовательно log35 < x < 2.

5. Решение исходного неравенства:  x ≤ 1 и log35 < x < 2.

Ответ: (-∞;1] (log35;2)

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Решите неравенство http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_15.files/image001.gif .

Алгоритм решения задания:
  1. Вводим замену.
  2. Записываем неравенство в новом виде.
  3. Решаем неравенство.
  4. Возвращаемся к переменной х.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Вводим замену t = 3x.

2. Тогда неравенство примет вид:

Решу егэ математика 507736

3. Решаем его:

Решу егэ математика 507736

Отсюда t < 0; t = 2; t> 3.

4. Возвращаемся к переменной х.

При t < 0 получаем:

Решу егэ математика 507736 ,

откуда 0 < x < 1.

При t = 2 получаем:

Решу егэ математика 507736 ,

откуда x = 9.

При t > 3 получаем:

Решу егэ математика 507736 ,

откуда x > 27.

5. Решения исходного неравенства:

Решу егэ математика 507736 .

Ответ: Решу егэ математика 507736.

Третий вариант (Ященко, № 5)

Решите неравенство http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/5_15.files/image001.gif

Алгоритм решения:
  1. Находим ОДЗ выражения в неравенстве.
  2. Преобразуем неравенство к иному виду.
  3. Вводим замену и решаем новое неравенство.
  4. Возвращаемся к переменной х.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Запишем ОДЗ: Решу егэ математика 507736 .

log2х-5≠0, log2х≠5, х≠32

2. Преобразуем неравенство:

Решу егэ математика 507736

или

Решу егэ математика 507736

Получаем новое неравенство:

Решу егэ математика 507736 .

Вводим замену Решу егэ математика 507736 , тогда неравенство принимает новый вид. И его легко решить:

Решу егэ математика 507736

Размещаем полученные решения на числовую ось:

Решу егэ математика 507736http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/5_15.files/image009.jpg

Возвращаемся к переменной х. Рассмотрим два случая:

Решу егэ математика 507736Решу егэ математика 507736http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/5_15.files/image012.jpgРешу егэ математика 507736

Ответ:Решу егэ математика 507736

Даниил Романович | Просмотров: 8k | Оценить:

Источник

Новые тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике базовый и профильный уровень с ответами и решением для 10 и 11 класса, больше 100 вариантов в формате реального экзамена ФИПИ вы можете решать онлайн или скачать.

Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике база и профиль

13.09.2022 Тренировочный вариант №1 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

27.09.2022 Математика 11 класс профиль входная мониторинговая работа 3 варианта с ответами

28.09.2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

28 сентября 2022 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль варианты и ответы

29 сентября 2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

1 октября 2022 Ларин вариант 399 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

8 октября Ларин вариант 400 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

14 октября Вариант 1 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

14 октября Вариант 2 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

15 октября Ларин вариант 401 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

15 октября Ларин вариант 402 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

16 октября Вариант 3 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

16 октября Вариант 4 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

23 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

24 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

25 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

26 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

28 октября Ларин вариант 403 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

29 октября Ларин вариант 404 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

5 ноября 2022 Вариант 1-2 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

6 ноября 2022 Ларин вариант 405 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

9 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

12 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

13 ноября 2022 Ларин вариант 406 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

21 ноября 2022 Ларин вариант 407 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

27 ноября 2022 Ларин вариант 408 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

28 ноября 2022 Вариант 3-4 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

30 ноября 2022 Мониторинговая работа по математике 11 класс ЕГЭ 2023 профиль 1 полугодие

3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

3 декабря 2022 Пробник ЕГЭ 2023 Москва по математике профиль задания и ответы

5 декабря 2022 Ларин вариант 409 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

9 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

10 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

12 декабря 2022 Ларин вариант 410 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

13 декабря 2022 Статград математика 11 класс профиль ЕГЭ 2023 варианты МА2210209-МА2210212 и ответы

13 декабря 2022 Математика 11 класс база ЕГЭ 2023 статград варианты и ответы

15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

20 декабря 2022 Вариант 5-6 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

20 декабря 2022 Ларин вариант 411 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

3 января 2023 Ларин вариант 412 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

6 января 2023 Тренировочный вариант 1-2 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы

8 января 2023 Вариант 3-4 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы

9 января 2023 Вариант 7-8 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

10 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

11 января 2023 ЕГЭ 2023 математика тренировочные задания и ответы Ященко, Семенов

11 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 база ЕГЭ 2023 по математике 11 класс с ответами

19 января 2023 Тренировочные варианты №17 и №18 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

22 января 2023 Ларин вариант 413 и 414 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение и ответы

22 января 2023 Тренировочный 19 вариант решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

22 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 19 с ответами

25 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 20 с ответами

27 января 2023 Тренировочный вариант №20 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

28 января 2023 Вариант 415 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

2 февраля 2023 Вариант 21 база ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант с ответами

2 февраля 2023 Тренировочный вариант №21 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

8 февраля 2023 Математика 10-11 класс ЕГЭ 2023 статград варианты база и профиль МА2200101-МА2200110 и ответы

11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

12 февраля 2023 Вариант 416 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

12 февраля 2023 Вариант 417 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

13 февраля 2023 Вариант 9 и вариант 10 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши задания

13 февраля 2023 Вариант 11 и вариант 12 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши

16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

18 февраля 2023 Вариант 418 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 база по математике 11 класс с ответами

22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 профиль по математике 11 класс с ответами

25 февраля 2023 Вариант 419 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

28 февраля 2023 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль и ответы

4 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 база по математике 11 класс с ответами

4 марта 2023 Вариант 420 Ларин ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

5 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 профиль по математике 11 класс с ответами

8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 профиль по математике 11 класс с ответами

8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 база по математике 11 класс 100 баллов с ответами

Смотрите также на нашем сайте:

Сборник Ященко ЕГЭ 2023 математика профильный уровень 36 вариантов

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Источник

Регистрация   
Вход   

Форум   
Поиск   
FAQ   alexlarin.net

Текущее время: 10 мар 2023, 12:33
Часовой пояс: UTC + 3 часа

Сообщения без ответов | Активные темы
 

 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ] На страницу 1, 2  След.

Начать новую тему»>

Ответить

Тренировочный вариант №420

 
Для печати Для печати 		Предыдущая тема Предыдущая тема | Следующая тема Следующая тема

Тренировочный вариант №420

Автор Сообщение

Заголовок сообщения: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: 04 мар 2023, 10:06 
Не в сети
Администратор
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 6118

https://alexlarin.net/ege/2023/trvar420.html
Вернуться наверх 

Kirill Kolokolcev

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: 04 мар 2023, 13:42 
Не в сети
Аватар пользователя
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1610
Откуда: Москва

Спасибо за интересный вариант!
17

Подробности:

18

Подробности:

Вернуться наверх 

ega7001

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: 05 мар 2023, 23:29 
Не в сети
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 07 окт 2022, 07:38
Сообщений: 5

12.

Подробности:

13.

Подробности:

14.

Подробности:

Вернуться наверх 

ega7001

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: 06 мар 2023, 10:45 
Не в сети
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 07 окт 2022, 07:38
Сообщений: 5

15.

Подробности:

16.

Подробности:

Вернуться наверх 

Владимiръ

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: Вчера, 00:00 
Не в сети
Аватар пользователя
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 08 мар 2017, 23:11
Сообщений: 545
Откуда: Пущино

Задача 18

Подробности:

Вложения:


Задача 420-18.pdf [66.3 KIB]

Скачиваний: 725
Вернуться наверх 

Тюрин

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: Вчера, 00:00 
Не в сети
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 16 май 2022, 22:37
Сообщений: 141

Задача 18

Подробности:

Вложения:


Задача №420-18.pdf [129.95 KIB]

Скачиваний: 695
Вернуться наверх 

Raisa

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: Вчера, 00:07 
Не в сети
Аватар пользователя
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 23 янв 2014, 20:36
Сообщений: 1463
Откуда: г. Дубна МО

12, 14, 17

Подробности:

Вложения:


12, 14, 17 вар 420.pdf [1.44 MIB]

Скачиваний: 693
Вернуться наверх 

Raisa

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: Вчера, 00:14 
Не в сети
Аватар пользователя
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 23 янв 2014, 20:36
Сообщений: 1463
Откуда: г. Дубна МО

13, 15, 16

Подробности:

Вложения:


13, 15, 16 вар 420.pdf [1.97 MIB]

Скачиваний: 684
Вернуться наверх 

netka

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: Вчера, 00:46 
Не в сети
Аватар пользователя
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 20 мар 2011, 22:29
Сообщений: 2788
Откуда: Казань

Всем здравствуйте! %%- %%- %%-

Решение заданий 12 и 14.

Подробности:

Решение задания 17.

Подробности:

Вложения:


420-17.pdf [438.22 KIB]

Скачиваний: 675


420-12;14.pdf [474.44 KIB]

Скачиваний: 681
Вернуться наверх 

netka

Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №420

Сообщение Добавлено: Вчера, 00:58 
Не в сети
Аватар пользователя
  • Центр пользователя



Зарегистрирован: 20 мар 2011, 22:29
Сообщений: 2788
Откуда: Казань

Решение задания 13.

Вложение:



420-13.ggb [14.19 KIB]

Скачиваний: 22

скрин решения

Подробности:

Вернуться наверх 

Показать сообщения за:  Сортировать по:  

 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ] На страницу 1, 2  След.

Текущее время: 10 мар 2023, 12:33 | Часовой пояс: UTC + 3 часа

Удалить cookies форума | Наша команда | Вернуться наверх

Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14
 

 

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Перейти:  

Источник

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

Раскроем скобки.

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$

$х=-{17}/{5}$

$х = — 3,4$

Ответ: $- 3,4$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • $a$ — старший коэффициент;
  • $b$ — средний коэффициент;
  • $c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$

$4х^2 — 5х = 0$

Вынесем х как общий множитель за скобки:

$х (4х — 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х — 5 = 0$

$х_1 = 0   х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = — c$

$x_2 = {-c}/{a}$

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$

если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

$x^2 — 16 = 0$

$x^2 = 16$

$x = ±4$

Ответ: $х_1 = 4, х_2 = — 4$

Решение полного квадратного уравнения

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение

$b^2 — 4ac$.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$

3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.

$3х^2 — 11 = -8х$

Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней

$3х^2 + 8х — 11 = 0$

$a = 3 ,b = 8, c = — 11$

$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$

$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$

$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$

Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$

Устные способы

Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$

$4х^2+ 3х — 7 = 0$

$4 + 3 — 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$

Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$

Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$

$5х^2+ 7х + 2 = 0$

$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$

Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$

Кубические уравнения

Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

$(x — 3)^3 = 27$

Представим обе части как основания в третьей степени

$(x — 3)^3 = $33

Извлечем кубический корень из обеих частей

$х — 3 = 3$

Соберем известные слагаемые в правой части

$x = 6$

Ответ: $х = 6$

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

  1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  3. решить получившееся целое уравнение;
  4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

$4x + 1 — {3}/{x} = 0$

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x + 1 — {3}/{x}= 0¦· x$

$4x · x + 1 · x — {3·x}/{x} = 0$

3. решаем полученное уравнение

$4x^2 + x — 3 = 0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

Тогда $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$

${3х-5}/{-2}={1}/{х}$

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

Воспользуемся основным свойством пропорции

$х (3х — 5) = -2$

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

$3х^2- 5х + 2 = 0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

$a + b + c = 0$

$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

Например,

${2}/{x}+5x=7$ – рациональное уравнение

$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)

Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

  1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
  2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

Решить уравнение: $4x+1-{3}/{x}=0$

Решение:

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x ≠ 0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x+1-{3}/{x}=0|·x$

$4x·x+1·x-{3·x}/{x}=0$

3. решаем полученное уравнение

$4x^2+x-3=0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$

Тогда, $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$

При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b}={c}/{d}$ — пропорция, то $a·d=b·c$

Решить уравнение ${3x-5}/{-2}={1}/{x}$

Решение:

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

Воспользуемся основным свойством пропорции

$х(3х-5)=-2$

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне

$3х^2-5х+2=0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$

$x_1=1, x_2={2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1=1, x_2={2}/{3}$

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

  1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
  2. Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
  3. Решить полученное рациональное уравнение.
  4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

Решите уравнение $√{4х-3}=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.

Решение:

Обе части уравнение возведем в квадрат:

$√{4х-3}^2=х^2$

Получаем квадратное уравнение:

$4х-3=х^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

${-х}^2+4х-3=0$

Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как

$a+b+c=0$

$-1+4-3=0$, следовательно $х_1 = 1; х_2={с}/{а}={-3}/{-1}=3$

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$√{4·1-3}=1$

$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.

$√{4·(3)-3}=3$

$√9=3$

$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит

$х_1=1$ наименьший корень.

Ответ: $1$

Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:

  1. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  2. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Решить уравнение: $х-6=√{8-х}$

Возведем обе части уравнения в квадрат

$(х-6)^2=8-х$

В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение

$х^2-2·6·х+6^2=8-х$

$х^2-12х+36=8-х$

Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.

$х^2-12х+36-8+х=0$

Приводим подобные слагаемые:

$х^2-11х+28=0$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$D=b^2-4ac=121-4·28=121-112=9=3^2$

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}={11±3}/{2}$

$x_1=7; x_2=4$

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$x_1=7$

$7-6=√{8-7}$

$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.

$x_2=4$

$4-6=√{8-4}$

$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.

Ответ: $7$

Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

$a^x=b$

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n⋅a^m=a^{n+m}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

$a^n:a^m=a^{n-m}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n·m}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a·b)^n=a^n·b^n$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

$a^0=1$

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

$a^{-n}={1}/{a^n}$

${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$

Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение $25·5^х=1$

Решение:

В левой части уравнения необходимо сделать одну степень с основанием $5$ и в правой части уравнения представить число $1$ в виде степени с основанием $5$

$5^2·5^х=5^0$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются

$5^{2+х}=5^0$

Далее проговариваем: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели

$2+х=0$

$х=-2$

Ответ: $-2$

Решить уравнение $2^{3х+2}-2^{3х-2}=30$

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, вынесем степень с наименьшим показателем как общий множитель

$2^{3x+2}-2^{3x-2}=30$

$2^{3x-2}({2^{3x+2}}/{2^{3x-2}}-{2^{3x-2}}/{2^{3x-2}})=30$

$2^{3x-2}(2^{3x+2-(3x-2)}-1)=30$

$2^{3x-2}(2^4-1)=30$

$2^{3x-2}·15=30$

Разделим обе части уравнения на $15$

$2^{3х-2}=2$

$2^{3х-2}=2^1$

$3х-2=1$

$3х=3$

$х=1$

Ответ: $1$

Источник

Like this post? Please share to your friends:
  • 507646 решу егэ математика
  • 507636 решу егэ математика
  • 507634 решу егэ математика
  • 507612 решу егэ математика
  • 507611 решу егэ