513098 решу егэ математика

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  4 и BC  =  3. Длины боковых рёбер пирамиды

а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды.

б)  Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны и Значения этих сторон удовлетворяют равенству следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SA ⊥ AB.

Рассмотрим треугольник SAD со сторонами Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.

Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA  — высота пирамиды.

б)  Из п а) кроме того, следовательно, Таким образом, проекцией SC на плоскость SAB будет прямая SB. Значит, нужно найти угол между прямыми SC и SB, то есть угол φ = ∠CSB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла φ равен

Ответ: 30°.

Примечание.

Можно было бы найти косинусы углов DAS и BAS из треугольников DAS и BAS, применив по теорему косинусов. Оба косинуса равны нулю, из чего следует, что прямая SA перпендикулярна двух пересекающимся прямым DA и BA, лежащим в одной плоскости. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна плоскости основания, а ребро SA  — высота пирамиды.

Примечание 2.

Рекомендуем сравнить эту задачу с задачей 637818.

Критерии проверки:

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  4 и BC  =  3. Длины боковых рёбер пирамиды

а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды.

б)  Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны и Значения этих сторон удовлетворяют равенству следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SA ⊥ AB.

Рассмотрим треугольник SAD со сторонами Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.

Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA  — высота пирамиды.

б)  Из п а) кроме того, следовательно, Таким образом, проекцией SC на плоскость SAB будет прямая SB. Значит, нужно найти угол между прямыми SC и SB, то есть угол φ = ∠CSB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла φ равен

Ответ: 30°.

Примечание.

Можно было бы найти косинусы углов DAS и BAS из треугольников DAS и BAS, применив по теорему косинусов. Оба косинуса равны нулю, из чего следует, что прямая SA перпендикулярна двух пересекающимся прямым DA и BA, лежащим в одной плоскости. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна плоскости основания, а ребро SA  — высота пирамиды.

Примечание 2.

Рекомендуем сравнить эту задачу с задачей 637818.

Критерии проверки:

1

ЕГЭ по математике — Профиль 2023. Открытый банк заданий с ответами.