564556 решу егэ математика

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Предприниматель Александр Шкуратов не мог найти для ребёнка подходящий детский сад в Лимассоле и создал собственный, а к 2024 году планировал открыть и частную школу. Но после начала «спецоперации» на Кипр релоцировалось много семей, и потребность в школе выросла — тогда команда решила ускориться и успеть за полгода.

Историю создания школы рассказывает её директор по маркетингу и коммуникациям Мария Рапопорт. В 2016 году муж Марии получил предложение о работе на Кипре и, посоветовавшись, семья переехала — из Москвы в Лимассол.

До переезда Мария занималась благотворительностью, например, основала проект «Уютка», в котором волонтёры шили шапки, шарфы и другую одежду, а затем передавали её нуждающимся или фондам для продажи за пожертвования. После переезда она устроилась в фонд помощи детям с неврологическими заболеваниями Together Forever. Они собирали деньги на операции и реабилитацию детей с проблемами со спинным мозгом.

Позже она познакомилась с ИТ-предпринимателем Александром Шкуратовым, который хотел создать частную школу. Мария сначала помогала с соцсетями, а после глубже погрузилась в организацию. В интервью «Аутсайду» она рассказала об:

Об идее школы

Когда мы приехали на Кипр, не могли найти здесь кружок робототехники для ребёнка. Так возникла идея создать центр дополнительных активностей для детей. И мы с другом его сделали — это были занятия по робототехнике, культуре, искусству и так далее. Во время пандемии Covid-19 мы свернули проект, в том числе из-за карантина. Но создание центра дало мне опыт в организации, работе с родителями, с сообществом и соцсетями.

С похожей проблемой столкнулся предприниматель Александр Шкуратов, который впоследствии основал The Island Private School. Он переехал на Кипр с семьёй раньше нас и не мог найти здесь детский сад для ребёнка, который бы понравился после московского. Поэтому создал собственный, который позже развился до школы, где было несколько классов и групп детсада. Юридически он работал на территории местной школы — под её брендом и лицензией. Я устроилась туда вести их соцсети.

Школа работала по вальдорфской системе — это интересное направление, но подходит не всем. В планах было сделать школу универсальной, чтобы каждая семья могла выбирать образовательное направление, исходя из интересов. Мы планировали открыть большую школу в 2024 году, но после начала «спецоперации» решили ускориться и поставили срок открыть её в сентябре 2022 года. А я тем временем постепенно из ведения соцсетей переключилась на организацию проекта.

Шкуратов выбрал вальдорфскую систему, потому что вдохновлялся школами в Кремниевой долине, выпускники которой часто поступают в ведущие университеты мира. Направление вальдорфской педагогики появилось больше 100 лет назад, её идеолог Рудольф Штайнер жил и трудился в Германии. Он основал направление философской мысли и педагогики — антропософию, это база, на которой работает вальдорфское направление.

Ребёнок рассматривается целиком как личность. В отличие от классического образования, нет задачи впихнуть в него знания, а скорее раскрыть весь потенциал, не только интеллектуальную составляющую. Есть три основных центра, которые в вальдорфском направлении пытаются соединить между собой:

Мы привыкли, что детей учат читать уже в детском саду. В вальдорфской педагогике это делают в очень мягкой форме и в соответствии с естественным ритмом развития ребёнка. Поэтому если мы смотрим на прирост знаний, он похож на экспоненту. В начале главная задача — адаптировать ребенка, дать ему мягкую среду и возможность развития. За счёт того, что учиться ему нравится — происходит большой прирост по знаниям ближе к 4-6 классу. Это похоже на стрельбу из лука — оттягиваем, оттягиваем, а затем отпускаем, и знания ребёнка, как стрела, быстро продвигается вперёд.

Об образовании и школах на Кипре

На Кипре довольно много русскоязычных школ. Это связано с тем, что здесь очень много русскоговорящих, особенно в Лимассоле, где самый большой процент русскоговорящего населения среди всех городов Кипра.

Переезд русскоязычных на Кипр можно условно поделить на три волны: те, кто живут здесь давно — они приехали лет 20 назад. Вторая большая волна началась семь-десять лет назад, потому что здесь много ИТ-компаний, которые релоцировали сотрудников. И третья — самая большая, связана с нынешней политической ситуацией.

Не факт, что все приезжие именно из России — они из разных стран, и нет достоверно точного числа, но это около 20 000 человек. Для небольшого острова — ощутимое количество. Ну и спрос рождает предложение — как минимум в Лимассоле, где мы находимся, три русскоязычные школы и много русскоязычных детсадов.

На Кипре образование обязательное, и ребёнок по достижении 4 лет и 8 месяцев обязан ходить в школу, а в случае нарушений родителям может грозить уголовная ответственность. Из-за того, что обучение в начальных классах не так сильно регламентировано, у школ есть достаточно большая свобода, как давать программу и принимать экзамены. Школа может ориентироваться на свои взгляды или на запросы родителей.

Обучение с четырёх лет в одних школах выглядит как наш привычный детский сад, в других — как нулевой класс, в третьих — как занятия в игровой форме с лайтовыми домашними заданиями. А в полноценный первый класс дети идут, когда им исполняется шесть лет.

На Кипре есть разные категории школ. В государственных нужно носить школьную форму, есть деление на ступени, требования по дисциплине и так далее. В целом похоже на российскую систему.

Частные школы — большинство из них работают по британской системе. Кипр долгое время был британской колонией и часть территории острова — до сих пор территория Великобритании. В таких школах можно сдать экзамены в мировые вузы по британской системе, диплом котируется практически везде. Педагоги соответствующие — они прошли необходимую подготовку, есть как местные жители, так и приглашённые специалисты.

Существуют и специализированные школы. Например, есть русско-, франко-, немецкоязычные школы, есть армянская, ещё израильская, которая больше привязана к сообществу, живущему на острове. В русскоязычных школах учатся 11 классов, сдают ОГЭ, ЕГЭ, тогда как в местных школах образование — 12-13 лет.

Дети учатся до 18 лет, потому что многие британские или в целом европейские университеты не принимают студентов до 18 или есть ограничения, связанные с пребыванием в другой стране, поэтому нужны сопровождающие, и с этим возникают неудобства.

О создании школы и как она устроена

Мы решили открыть школу в сентябре 2022 года, а не в 2024-м, как планировали. Одна из главных причин — на Кипр релоцировались много ИТ-компаний, людей вывозили буквально самолётами из разных стран. К основателю Александру Шкуратову стали обращаться коллеги с вопросами, что можно сделать, чтобы школа открылась быстрее. Спрос был огромный.

Постройка

В министерстве образования нам сразу сказали, что дадут лицензию и разрешат работать, только если мы подготовим все документы и сделаем это быстро. Проверяли нас как команду, проверяли наши документы — не было такого, что ставили палки в колеса, но и не было попустительства, мол, делайте что хотите. Обычно получение лицензии занимает год и больше, у нас получилось за шесть месяцев. Нам пошли навстречу — иногда быстрее рассматривали документы.

Под школу у нас уже была земля в собственности. В стране нельзя открыть школу в любом здании, в офисном центре или в арендованном доме. Есть разные требования к земле, например, по площади, а одно из самых жёстких — это наличие спортивных полей.

То есть не получится найти объект и на его основе построить школу, только с нуля. У нас было в собственности просто чистое поле и для того, чтобы начать стройку, мы срыли часть горы. Большую часть времени работала спецтехника — выравнивала поверхность, рыла траншеи под коммуникации, подготовила фундамент и так далее.

У нас был изначальный проект, по которому мы бы построили несколько больших красивых основательных зданий. Но это невозможно сделать за полгода, поэтому план пришлось полностью переделывать.

Мы нашли технологию сэндвич-панелей, с её помощью здание собирается как гигантский конструктор. То есть на производстве сразу готовят стены, полы, потолки, привозят на место и собирают их в комнаты за один-два дня. И они пригодны по всем нормам, к примеру, там есть слой термоизоляции, в них комфортно по температуре.

Единственное, чем это отличается от полноценной школы, — всё наше заведение равномерно размазано по площади. У нас нет этажей, вся школа плоско стоит на земле. Непосредственно стройка заняла 85 дней.

Панели привезли из Греции и столицы Кипра — Никосии, доставили на пароме. Вся мебель плыла к нам в контейнере из Германии. На территории школы, помимо классных комнат, есть дворы, где лежат игрушки и инвентарь — их везли из Чехии в Грецию на машине, а оттуда — морем. Для Кипра это было местное чудо, потому что здесь в целом довольно спокойный темп ведения бизнеса и развития всех процессов. И это было очень удивительное явление для местных жителей.

Команда

У нас около 100 сотрудников — это и операционная команда, и образовательная со всеми педагогами. Получилась сборная солянка, например, глава школы из Южной Африки, который много лет жил в Шотландии и Греции.

Часть команды была уже здесь, но тоже собралась из разных стран: педагоги из Великобритании и США, а также из России — люди из московских школ, которые переехали. Они работали Европейской гимназии, школах «Летово», Рожкова и других. Это русскоязычные люди с опытом преподавания на английском языке по системе международного бакалавриата.

Приезжать сюда никого не уговаривали, мы ничего не скрывали и говорили, что школу будем создавать с нуля — на чистом поле. Наём был огромным проектом, боюсь предположить, сколько собеседований в день проводила команда. Приехали только те, у кого была достаточная степень безумия.

Программы

Как я упоминала, образование на Кипре обязательное, его можно получить только в той школе, которая обладает лицензией, государственной или частной. То есть нельзя открыть частную семейную школу и сказать, что ребенок туда ходит. Это не будет засчитано. В том числе это важно, когда получаешь визу, ведь ты должен предоставить справку из школы.

У нас две программы — вальдорф и международный бакалавриат. Есть вальдорфские дошкольное образования и первые шесть классов. Сейчас мы предлагаем тем, кто учится по вальдорфской программе, переходить в классы международного бакалавриата (IB) — это связано с тем, что диплом IB котируется ведущими вузами мира, тогда как вальдорфский признаётся в основном в Австралии. А экзамены, которые ребята сдают в конце обучения в IB, часто засчитываются как вступительные экзамены в университет.

Мы предлагаем выбрать базу, с которой начать, а после присоединиться к программе международного бакалавриата, чтобы увеличить шансы на поступление в ведущий вуз.

В 2023 году у нас самый старший класс в направлении IB — это девятиклассники, мы осознанно не брали 10-12 классы по двум причинам. Первая — чтобы самим успеть подготовиться, потому что программа довольно сложная, и дать подготовиться детям. К нам пришли ребята из разных программ и нужно синхронизировать знания, потому что у всех они разные — кто-то учился по постсоветской программе, кто-то по британской, по греческой и так далее.

Вторая — мы героическими усилиями получили местную лицензию на образование по всем программам, но по IB нужна ещё одна аккредитация. Чтобы её получить, нужно пройти дополнительную проверку, как правило, она занимает полтора-два года, это регламентация процессов, работы учителей и дополнительного образования. У нас сейчас статус кандидата — проходим проверку. Мы планируем завершить её до того, как ребята закончат школу, поэтому, грубо говоря, у нас есть несколько лет на получение статуса IB-школы.

Обучение

Прежде всего мы прогрессивная школа. Мы не просто хотим дать базовые академические знания, но и научить навыкам 21 века: взаимодействовать между собой, вести проектную деятельность, придумывать продукты и презентовать себя.

В современном мире быть просто академически подкованным недостаточно, особенно сильно это показал 2022 год. А вот умение быстро ориентироваться, оставаться стабильным в эпоху быстрых перемен — часто оказывается гораздо более важным, чем обладать энциклопедическими знаниями.

Соответственно всё, что есть в нашей школе, направлено на то, чтобы ребёнок развивался целиком. И нам кажется, что жизнь ребёнка начнётся не потом, когда он выпустится в 18 лет, — а уже сейчас. Поэтому всё, что есть, любой из предметов, любая деятельность, которая есть в школе, в идеале связана с тем, что происходит с нами вокруг.

Помимо нашей идеи школы, есть программа — в ней определённый список компетенций и предметов, которым нужно обучать, это обязательная часть. А всё, что дополнительно — можно выбирать.

Обучение в школе делится на две части. Первая половина дня — с фиксированным расписанием уроков: математика, английский, обязательный на Кипре греческий, «саенс» — смесь биологии и окружающего нас мира, драма, музыка, дизайн и так далее.

На уроках языка или математики мы разбиваем детей на группы в зависимости от уровня знаний. Иногда делим группы по желанию учеников — например, если они хотят учить русский или украинский. Мы планируем ввести дополнительные языки для тех сообществ, которые у нас есть — следующим, скорее всего, будет иврит.

У ребят постарше в расписании есть проектная работа, где они что-то создают. Это может быть экологический или лексический проект, видео, какой-то продукт, например, условный бренд конфет, и мы как школа помогаем им ресурсами.

Если говорить про вальдорф, там есть экзотические уроки, где они учатся вязать, вышивать, готовить. Каждый класс учится играть на музыкальном инструменте. Первый-второй класс — это флейта, третий-четвёртый и старше, если я не путаю, укулеле. И это обязательно — весь класс идёт в кабинет музыки и играет.

Во второй половине дня — система клубов и кружков. Занятия практически на любой вкус: работа по дереву, разные виды спорта, видеоблогинг, продюсирование и так далее. Нам кажется одинаково важным развивать у ребенка, хард- и софт-скиллы и всё, что связано с креативностью, чтобы это было на должном уровне, не по остаточному принципу.

У нас школа полного дня — до 6 вечера, это с учётом первой и второй половины дня. Первая половина у младшей школы до 14:30, у старшей — до 15:30, а после кто-то идёт в кружок, а кто-то домой.

Работа с родителями

Для меня это не было новым опытом. В России много приходилось общаться и договариваться — с волонтёрами и партнёрами. Когда у нас начался тут свой бизнес, я точно так же много общалась, но уже с родителями.

И я понимаю многих родителей, большая часть из них недавно на острове. Это большой стресс — не просто отдать ребёнка в новую школу, а поменять страну, привычную систему и язык. И школа может стать источником ещё большего стресса, когда там происходит что-то непонятное, странное, особенно если это незнакомая система с большим количеством новых терминов.

Ещё накладывается предыдущий опыт обучения, иногда отличный от того, что происходит у нас. Поэтому адаптация занимает какое-то время, и мы стараемся с пониманием к этому относиться: очень много разговариваем с родителями, пытаемся выстроить с ними хорошие доверительные отношения.

Для меня самое сложное — это сохранить внутренний позитивный настрой, и поскольку я трудоголик, поддерживать себя в таком активном ресурсном состоянии. Потому что для меня важно дать не только сухую информацию, но и поделиться кусочком своего внимания. Если нет на это ни сил, ни времени, сделать это сложно. И для родителей это тоже очень важно — они доверяют одно из самых дорогих, что у них есть, своего ребенка, причём часто на целый день.

Я рада, что в школе формируется тёплое сообщество — это связано в том числе с тем, что у нас есть стипендиальная программа, и некоторое количество студентов обучаются за счёт пожертвований других родителей. Пока мы не делаем из этого масштабную историю, но мой опыт в благотворительности тут всё равно немного прорвался.

Для нас было огромным кредитом доверия, когда родители записались в школу, приняли решение ещё до того, как мы физически её достроили. Мы проводили экскурсии по недостроенной школе, и они видели эти одноэтажные домики, сделанные по не очень понятной технологии. Спасибо родителям, которые поверили в нас.

У нас много русскоязычных родителей. Это и те, кто жил здесь давно, и те, кто переехал недавно из России, Украины, Беларуси, Казахстана, Болгарии. В школе 30 национальностей родителей или даже больше.

Привлечение новых учеников и стоимость обучения

Школа рассчитана на 700 учеников, но сейчас их где-то 460. У нас всё ещё идёт набор на текущий учебный год, скоро начнём на следующий. Спрос достаточно большой — к нам идут не только те, кто переехал на остров, но и из местных школ — разноязычные дети.

Помимо этого, мы продвигаемся в соцсетях, есть реклама — работаем с агентствами, были публикации в местных СМИ. На Кипре хорошо работает сарафанное радио — остров небольшой, все друг друга знают и всё обсуждают.

Обучение в детском саду стоит €8400 в год, чем выше класс, тем больше стоимость. Самая высокая цена за академический год составляет €15 600. А на постройку самой школы ушло €10 млн — это деньги основателя, сторонних инвесторов нет.

О жизни и на Кипре и что нужно знать тем, кто только собирается туда переехать

До сих пор удивляет умение местных сохранять суперрасслабленное доброжелательное состояние практически всегда. Для нас, приезжих из России, это непривычно. Мы привыкли, что мы — суровые сосредоточенные трудоголики, а здесь умеют наслаждаться жизнью. Прямо во время работы, во время встреч, они спокойно собираются вместе, чтобы спеть песни, потанцевать местные танцы. И они умеют этим наслаждаться, это удивительно прекрасно в хорошем смысле слова.

Быт

В целом жизнь на Кипре дороже, чем в России. Аренда очень зависит от города, но цены на уровне центра Москвы, особенно после массовой релокации очень сильно выросли цены на аренду.

В Лимассоле в пределах €1500 реально снять студию, раньше за эти деньги можно было снять дом. Цены ощутимо выросли, в два-три раза. Есть много случаев, когда ты снимаешь квартиру, а твой хозяин стремится закончить с тобой отношения, чтобы сдать ту же квартиру в два раза дороже. У нас четыре члена семьи — на неделю в среднем можно потратить €100–150. При желании можно уложиться в меньшую сумму, а можно и больше.

Есть всякие необычные вещи в жизни на Кипре после Москвы. Например, на острове нет центрального отопления. Большую часть года нужны кондиционеры, чтобы охладить помещение, а не батареи, чтобы нагреть. Зима короткая, но тем не менее, январь и февраль — самые холодные месяцы. Ночью на побережье температура никогда не опускается ниже нуля и редко доходит до +5°С. Есть некоторые дома с индивидуальным отоплением, как правило — газовым или дизельным.

Вода, как правило, греется от солнца. На крыше каждого дома есть бочка, и она нагревается от солнечной панели. Если у тебя дождливый день, то нужно заранее, за 30-40 минут до того, как собираешься принять душ, помыть посуду, ещё что-то сделать, нужно включить нагрев воды. Если день пасмурный, что бывает редко, надо включить электрический нагрев воды. Это занимает какое-то время.

Что нужно сделать перед поездкой на Кипр

Часто Кипр воспринимается как райское место, где тепло, солнце светит, море плещется и всё прекрасно. Кажется, что ты сюда приедешь и у тебя автоматически, просто по факту твоего приезда, всё наладится — бананы будут падать в руки.

Если есть такая опция — приехать на разведку, надо ей воспользоваться. У Кипра свои особенности и если ты к ним готов, они тебя устраивают, это прекрасно. Если не готов, а я встречала много таких историй, людям может быть некомфортно.

Зима. На Кипре может быть сыро, ветрено, а дома холодно. Местные привыкли спать в шапке в некоторых домах. Это не для всех комфортно.

Супержаркое лето. Не всем подходит. Очень жарко, очень влажно, не каждому комфортно.

Не самое дешёвое место для жизни. Даже среди европейских стран. Надо понять, что финансово человек или семья готовы к этому — только на аренду небольшого жилья будет уходить около €1500.

Работа. ИТ — очень развито, чуть меньше финансы и маркетинг и везде нужен английский. Очень сложно найти работу, если у тебя специальность, которая требует получения местной аккредитации, разрешения на работу: учитель или врач.

С учителем, может быть, в частной школе найдётся решение. Но если мы говорим про врача или психолога, то нужно сдать все экзамены на греческом, часто в Греции, и пройти все круги ада, чтобы получить лицензию и право на работу. Плюс если какая-то экзотическая специальность, здесь может просто не быть такой направленности. То есть надо убедиться, что правда можно найти работу.

Услуги. Если переезд из какого-то крупного города, надо понимать, что Кипр довольно маленький остров с маленьким населением. И тут нет такого разнообразия услуг, как в Москве, Киеве, Минске и других городах. Это шаг на много лет назад. Доставка готовой еды появилась во время пандемии, до этого не было вообще.

Мы переехали сюда шесть лет назад, и местный банк, в котором обслуживаемся, суперновинку презентовал — возможность подтверждения платежа по SMS. До этого моему супругу в банке выдали брелочек, который генерил код, который нужно вводить при подтверждении интернет-платежей. Шесть лет назад, не 20.

В выходные закрыты почти все магазины. В целом количество людей, которые предоставляют услуги, маленькое. Ты можешь ждать электриков и сантехников очень долго.

Но если к этому готов, осознанно на это идёшь, прекрасно. На Кипре отличный климат, очень красивая природа, это одно из самых лучших мест, где можно растить детей, потому что здесь тепло, солнечно, и доброе отношение к ним. Им можно практически всё, их обожают, любят, угощают всем на свете. Поэтому если ты знаешь, на что идешь, то всё получится.

«Аутсайд» — медиа о россиянах, которые уехали в другие страны. Мы рассказываем истории: как они строят свою жизнь заново и продолжают делать то, что любят. Запускают стартап, открывают кофейню, проводят выставку, делают бизнес или просто пытаются найти новое место.

Вчера, 22:23

В закладки

Обсудить

Жалоба

Теория и практика.

Содержание

1) Прямые
2) Параболы
3) Как искать пересечение параболы и прямой, двух парабол
4) Гипербола. Асимптотические точки гиперболы
5) Пересечение гиперболы и прямой
6) Иррациональные функции
7) Пересечение корня и прямой
Тригонометрические функции
9) Показательные функции
10) Логарифмические функции

10_zadacha.pdf

Источник: vk.com/profimatika

Новые тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике базовый и профильный уровень с ответами и решением для 10 и 11 класса, больше 100 вариантов в формате реального экзамена ФИПИ вы можете решать онлайн или скачать.

Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике база и профиль

13.09.2022 Тренировочный вариант №1 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

20.09.2022 Тренировочный вариант №2 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

27.09.2022 Математика 11 класс профиль входная мониторинговая работа 3 варианта с ответами

28.09.2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

28 сентября 2022 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль варианты и ответы

29 сентября 2022 Тренировочный вариант №3 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

1 октября 2022 Ларин вариант 399 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

6 октября Тренировочный вариант №4 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

8 октября Ларин вариант 400 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

12 октября Тренировочный вариант №5 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

14 октября Вариант 1 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

14 октября Вариант 2 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

15 октября Ларин вариант 401 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

15 октября Ларин вариант 402 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

16 октября Вариант 3 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

16 октября Вариант 4 Ященко ЕГЭ 2023 математика профиль с ответами и решением

23 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

24 октября Тренировочный вариант №6 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

25 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

26 октября Тренировочный вариант №7 ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

28 октября Ларин вариант 403 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

29 октября Ларин вариант 404 ЕГЭ 2023 по математике профиль решение с ответами

1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

1 ноября 2022 Тренировочный вариант №8 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

5 ноября 2022 Вариант 1-2 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

6 ноября 2022 Ларин вариант 405 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

9 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 база по математике с ответами

12 ноября 2022 Тренировочный вариант №9 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

13 ноября 2022 Ларин вариант 406 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

15 ноября 2022 Тренировочный вариант №10 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

21 ноября 2022 Ларин вариант 407 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

23 ноября 2022 Тренировочный вариант №11 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

27 ноября 2022 Ларин вариант 408 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

28 ноября 2022 Вариант 3-4 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

30 ноября 2022 Мониторинговая работа по математике 11 класс ЕГЭ 2023 профиль 1 полугодие

3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

3 декабря 2022 Тренировочный вариант №12 решу ЕГЭ 2023 по математике профиль с ответами

3 декабря 2022 Пробник ЕГЭ 2023 Москва по математике профиль задания и ответы

5 декабря 2022 Ларин вариант 409 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

9 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

10 декабря 2022 Тренировочный вариант №13 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

12 декабря 2022 Ларин вариант 410 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

13 декабря 2022 Статград математика 11 класс профиль ЕГЭ 2023 варианты МА2210209-МА2210212 и ответы

13 декабря 2022 Математика 11 класс база ЕГЭ 2023 статград варианты и ответы

15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

15 декабря 2022 Тренировочный вариант №14 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

20 декабря 2022 Вариант 5-6 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

20 декабря 2022 Ларин вариант 411 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

3 января 2023 Ларин вариант 412 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение с ответами

6 января 2023 Тренировочный вариант 1-2 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы

8 января 2023 Вариант 3-4 ЕГЭ 2023 профиль математика задания и ответы

9 января 2023 Вариант 7-8 распечатай и реши ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

10 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

11 января 2023 ЕГЭ 2023 математика тренировочные задания и ответы Ященко, Семенов

11 января 2023 Тренировочный вариант №15 и №16 база ЕГЭ 2023 по математике 11 класс с ответами

19 января 2023 Тренировочные варианты №17 и №18 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

22 января 2023 Ларин вариант 413 и 414 ЕГЭ 2023 профиль по математике решение и ответы

22 января 2023 Тренировочный 19 вариант решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

22 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 19 с ответами

25 января 2023 База ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант 20 с ответами

27 января 2023 Тренировочный вариант №20 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

28 января 2023 Вариант 415 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

2 февраля 2023 Вариант 21 база ЕГЭ 2023 математика 11 класс тренировочный вариант с ответами

2 февраля 2023 Тренировочный вариант №21 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

8 февраля 2023 Математика 10-11 класс ЕГЭ 2023 статград варианты база и профиль МА2200101-МА2200110 и ответы

11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

11 февраля 2023 Тренировочный вариант №22 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

12 февраля 2023 Вариант 416 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

12 февраля 2023 Вариант 417 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

13 февраля 2023 Вариант 9 и вариант 10 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши задания

13 февраля 2023 Вариант 11 и вариант 12 ЕГЭ 2023 база математика распечатай и реши

16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 база по математике 11 класс с ответами

16 февраля 2023 Тренировочный вариант №23 решу ЕГЭ 2023 профиль по математике 11 класс с ответами

18 февраля 2023 Вариант 418 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 база по математике 11 класс с ответами

22 февраля 2023 Пробный ЕГЭ 2023 вариант 24 профиль по математике 11 класс с ответами

25 февраля 2023 Вариант 419 Ларина ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

28 февраля 2023 Статград математика 11 класс ЕГЭ 2023 база и профиль и ответы

4 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 база по математике 11 класс с ответами

4 марта 2023 Вариант 420 Ларин ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

5 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 25 профиль по математике 11 класс с ответами

8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 профиль по математике 11 класс с ответами

8 марта 2023 Пробник ЕГЭ 2023 вариант 26 база по математике 11 класс 100 баллов с ответами

Смотрите также на нашем сайте:

Сборник Ященко ЕГЭ 2023 математика профильный уровень 36 вариантов

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы

Стереометрия на ЕГЭ. Вычисление объемов и площадей поверхности

Стереометрия на ЕГЭ по математике присутствует и в 1 части, и во второй. Чтобы решать задачи, для начала надо выучить формулы. Все они есть в наших таблицах:

• Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Объем и площадь поверхности
• Цилиндр, конус, шар. Объем и площадь поверхности

Часто в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии, требуется посчитать объем тела или площадь его поверхности. Или как-то использовать эти данные. Поэтому заглянем в толковый словарь русского языка и уточним понятия.

Объем — величина чего-нибудь в длину, ширину и высоту, измеряемая в кубических единицах.
Другими словами, чем больше объем, тем больше места тело занимает в трехмерном пространстве.

Площадь — величина чего-нибудь в длину и ширину, измеряемая в квадратных единицах.
Представьте себе, что вам нужно оклеить всю поверхность объемного тела. Сколько квадратных сантиметров (или метров) вы бы обклеили? Это и есть его площадь поверхности.

Объемные тела — это многогранники (куб, параллелепипед, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар).
Если в задаче по стереометрии речь идет о многограннике, вам встретятся термины «вершины», «грани» и «ребра». Вот они, на картинке.

Чтобы найти площадь поверхности многогранника, сложите площади всех его граней.

Вам могут также встретиться понятия «прямая призма», правильная призма», «правильная пирамида».

Прямой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию.
Если призма — прямая и в ее основании лежит правильный многоугольник, призма будет называться правильной.
А правильная пирамида — такая, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

---

Перейдем к практике.

1. Одна из распространенных задач в части 1 — такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например, такого:

Что тут нарисовано? Очевидно, это большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка». Если вы увидели на рисунке что-то другое — обратите внимание на сплошные и штриховые линии. Сплошные линии — видимы. Штриховыми линиями показываются те ребра, которые мы не видим, потому что они находятся сзади.

Объем найти просто. Из объема большого «кирпича» вычитаем объем маленького. Получаем:

А как быть с площадью поверхности? Почему-то многие школьники пытаются посчитать ее по аналогии с объемом, как разность площадей большого и малого «кирпичей». В ответ на такое «решение» я обычно предлагаю детскую задачу — если у четырехугольного стола отпилить один угол, сколько углов у него останется?

На самом деле нам нужно посчитать сумму площадей всех граней — верхней, нижней, передней, задней, правой, левой, а также сумму площадей трех маленьких прямоугольников, которые образуют «полочку». Можно сделать это «в лоб», напрямую. Но есть и способ попроще.

Прежде всего, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна . А как повлияет на него вырезанная «полочка»?

Давайте посчитаем сначала площадь всех горизонтальных участков, то есть «дна», «крыши» и нижней поверхности «полочки». С дном — все понятно, оно прямоугольное, его площадь равна .

А вот сумма площадей «крыши» и горизонтальной грани «полочки» тоже равна ! Посмотрите на них сверху.
…В этот момент и наступает понимание. Кому-то проще нарисовать вид сверху. Кому-то — представить, что мы передвигаем дно и стенки полочки и получаем целый большой параллелепипед, площадь поверхности которого равна . Каким бы способом вы ни решали, результат один — площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали.

Ответ: .

---

2. Следующую задачу, попроще, вы теперь решите без труда. Здесь тоже надо найти площадь поверхности многогранника:

. Из площади поверхности «целого кирпича» вычитаем площади двух квадратиков со стороной — на верхней и нижней гранях.

Ответ: 92.

---

3. А здесь нарисована прямоугольная плитка с «окошком». Задание то же самое — надо найти площадь поверхности.

Сначала посчитайте сумму площадей всех граней. Представьте, что вы дизайнер, а эта штучка — украшение. И вам надо оклеить эту штуку чем-то ценным, например, бриллиантами Сваровски. И вы их покупаете на свои деньги. (Я не знаю почему, но эта фраза мгновенно повышает вероятность правильного ответа!) Оклеивайте все грани плитки. Но только из площадей передней и задней граней вычтите площадь «окошка». А затем — само «окошко». Оклеивайте всю его «раму».
Ответ: .

---

Следующий тип задач — когда одно объемное тело вписано в другое.

4.  Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны . Найдите объем параллелепипеда.

Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник — на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности. Итак, площадь основания параллелепипеда равна , высота равна , объем равен .

Ответ: 4.

---

5. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами и . Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите .

Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть . Осталось найти радиус его основания.
Рисуем вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Где будет находиться радиус этой окружности? Правильно, посередине гипотенузы. Гипотенузу находим по теореме Пифагора, она равна . Тогда радиус основания цилиндра равен пяти. Находим объем цилиндра по формуле и записываем ответ: .

Ответ: 100.

---

6. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса . Найдите объем параллелепипеда.

Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же — круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.

Ответ: .

---

Следующий тип задач — такие, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. А узнать нужно, как изменится объем или площадь поверхности.

7. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании — правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого. Мы уже говорили о том, что площадь этого треугольника будет больше в раза. Объем воды остался неизменным. Следовательно, в раза уменьшится высота.
Ответ: .

---

8. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Давайте вспомним, как мы решали стандартные задачи, на движение и работу. Мы рисовали таблицу, верно? И здесь тоже нарисуем таблицу. Мы помним, что объем цилиндра равен .

	Высота	Радиус	Объем
Первая кружка
Вторая кружка

Считаем объем второй кружки. Он равен . Получается, что он в два раза больше, чем объем первой.

---

Следующая задача тоже решается сразу и без формул.

9. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен , проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Высота меньшей призмы такая же, как и у большой. А какой же будет ее площадь основания? Очевидно, в раза меньше. Вспомните свойство средней линии треугольника — она равна половине основания. Значит, объем отсеченной призмы равен .

---

И еще одна классическая задача. Никаких формул!

10. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в раза?

Только не надо обмирать от ужаса при слове «октаэдр». Тем более — он здесь нарисован и представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. А мы уже говорили — если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в раз, поскольку .
Ответ: .

---

Следующий тип задач — такие, в которых надо найти объем части конуса, или части пирамиды. Они тоже решаются элементарно.

11. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. Радиус цилиндра равен 15, высота равна 5. В ответе укажите .

Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра».
Какая же часть цилиндра изображена? Вырезан кусок с углом градусов, а — это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых. Находим объем всего цилиндра, умножаем на пять шестых, делим на , записываем ответ: .

Продолжение:   другие типы задач по стереометрии. Удачи вам в подготовке к ЕГЭ!

---

ЕГЭ по математике — Профиль 2022. Открытый банк заданий с ответами.admin2022-08-27T23:17:48+03:00