8 sin 27п 4 cos 31п 4 решу егэ

(-135^°=-90^°-45^°)

Получается (-18sqrt{2} sin⁡(-135^° )=-18sqrt{2}cdot-frac{sqrt{2}}{2}=)(frac{18cdotsqrt{2}cdotsqrt{2}}{2}=9cdot 2=18.)
Ответ: (18).

(510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)

(54sqrt{3}cos⁡(510^°)=54sqrt{3}cdot(-frac{sqrt{3}}{2})=)(-frac{54cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}}{2}=-27cdot 3=-81.)
Ответ: (-81).

(24sqrt{2},cos⁡(-frac{π}{3}),sin⁡(-frac{π}{4})=)(-24sqrt{2},cos⁡frac{π}{3},sin⁡frac{π}{4}).

Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений (frac{1}{2}), (frac{sqrt{2}}{2}), (frac{sqrt{3}}{2}) принимает наименьшее т.е. (cos,⁡frac{π}{3}=frac{1}{2}). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. (sin⁡,frac{π}{4}=frac{sqrt{2}}{2}). Получается:

(-24sqrt{2},cos⁡frac{π}{3},sin⁡frac{π}{4}=-24sqrt{2}cdot)(frac{1}{2})(cdot)(frac{sqrt{2}}{2})(=)(frac{-24sqrt{2}cdotsqrt{2}}{4})(=)(frac{-24cdot 2}{4})(=-6cdot2=-12)

Ответ: (-12).

(-frac{27π}{4}=-frac{28π}{4}+frac{π}{4}=-7π+frac{π}{4}).
(frac{31π}{4}=frac{32π}{4}-frac{π}{4}=8π-frac{π}{4}).

(sin⁡(-frac{27π}{4})=-frac{sqrt{2}}{2}),      (cos⁡(frac{31π}{4})=frac{sqrt{2}}{2}).

(frac{8}{sin⁡(-frac{27π}{4}) cos⁡(frac{31π}{4})})(=) (frac{ 8}{-frac{sqrt{2}}{2}cdotfrac{sqrt{2}}{2}})(=-8:frac{2}{4}=-8cdotfrac{2}{1}=-16).

Ответ: (-16).

(44sqrt{3},tg(-480^° )=-44sqrt{3},tg(480^° )=)(-44sqrt{3},tg(360^°+120^° )=)(-44sqrt{3},tg(360^°+90^°+30^°)).

Находим (480^°) на окружности:

Соединяем точку, соответствующую (480^°) и центр окружности, и продляем до оси тангенсов:

Мы попадаем в самое маленькое (из стандартных) значение тангенса.
Значит, (tg(480^° )=-sqrt{3}).
В итоге имеем: (44sqrt{3} tg(-480^° )=-44sqrt{3}cdot(-sqrt{3})=)(44cdot 3=132).
Ответ: (132).

(-300^°=-360^°+60^°).

(2sqrt{3}tg(-300^° )=2sqrt{3}cdotsqrt{3}=2cdot 3=6).
Ответ: (6).

(36sqrt{6}cdotfrac{sqrt{2}}{2}cdotfrac{1}{sqrt{3}}=)(frac{36sqrt{6}sqrt{2}}{2sqrt{3}}=frac{18sqrt{12}}{sqrt{3}}=)(frac{18sqrt{4}}{1}=18cdot2=36).

Ответ: (36).

Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:

(sin^2α+cos^2⁡α=1).

Подставим вместо косинуса его значение:

(sin^2⁡α+)((frac{2sqrt{6}}{5}))(^2=1)
(sin^2⁡α+)(frac{4cdot 6}{25})(=1)
(sin^2⁡α+)(frac{24}{25})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{24}{25})
(sin^2⁡α=)(frac{1}{25})
(sin⁡α=±)(frac{1}{5})

Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида (x^2=a) (при (a>0)) два корня (x_1=sqrt{a})  и (x_2=-sqrt{a}). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»

Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение (frac{1}{5}), а может (-)(frac{1}{5}). И какое значение нам надо выбрать — с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что (α∈(frac{3π}{2};2π)). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок ((frac{3π}{2};2π)).

Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).

Значит, в нашем случае (sinα=-frac{1}{5}) т.е. (5sin⁡α=5cdot(-frac{1}{5})=-1).

Ответ: (-1).

Есть 2 пути решения этой задачи:

— напрямую вычислить тангенс через формулу (tg^2α+1=)(frac{1}{cos^2⁡α});
— сначала с помощью тождества (sin^2⁡α+cos^2⁡α=1) найти (sin⁡,α), а потом через формулу (tg,α=)(frac{sin⁡,α}{cos⁡,α}) получить тангенс.

В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.

Вычисляем синус:

(sin^2⁡α+)((frac{sqrt{10}}{10})^2)(=1)
(sin^2⁡α+)(frac{10}{100})(=1)
(sin^2⁡α+)(frac{1}{10})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{1}{10})
(sin^2⁡α=)(frac{9}{10});
(sin⁡,α=±)(frac{3}{sqrt{10}})

Опять (α∈(frac{3π}{2};2π)), значит в итоге синус может быть только отрицательным. То есть, (sin⁡,α=-)(frac{3}{sqrt{10}}).
А теперь вычисляем тангенс: (tg,α=-)(frac{3}{sqrt{10}})(:)(frac{sqrt{10}}{10})(=)(-frac{3}{sqrt{10}}cdotfrac{10}{sqrt{10}})(=-)(frac{30}{10})(=-3).

Ответ: (-3).

Давайте пойдем от того, что известно. В равенстве (5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6) синус заменим на косинус:

(5(1-cos^2⁡α)+13 cos^2⁡α=6)
(5-5 cos^2⁡α+13 cos^2⁡α=6)
(5+8 cos^2⁡α=6)
(8 cos^2⁡α=1)
(cos^2⁡α=)(frac{1}{8})

Поняли почему именно синус заменили на косинус, а не наоборот? И почему не надо извлекать корень, досчитывая до «чистого» косинуса? Потому что для нахождения (tg^2α) хорошо подходит формула (tg^2α+1=)(frac{1}{cos^2⁡α}) :

(tg^2 α+1=1:)(frac{1}{8})
(tg^2 α+1=1cdot)(frac{8}{1})
(tg^2 α+1=8)
(tg^2 α=7)

Ответ: (7).

Очевидно, что к исходному выражению можно применить формулу приведения (26cos⁡(frac{3π}{2}+α)=26sin⁡α). Задача свелась к нахождению синуса по косинусу, много похожих заданий было разобрано в статье «формулы связи».

(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1)
(sin^2⁡α+(frac{12}{13})^2=1)
(sin^2⁡α+frac{144}{169}=1)
(sin^2⁡α=1-frac{144}{169})
(sin^2⁡α=frac{169-144}{169})
(sin^2⁡α=frac{25}{169})
(sin⁡,α=±frac{5}{13})

С учетом того, что (α∈(frac{3π}{2};2π)), то есть в четвертой четверти, (sin,⁡α=-frac{5}{13}).

(26cos⁡(frac{3π}{2}+α)=26sin⁡α=26cdot (-frac{5}{13})=-frac{26cdot 5}{13}=-2cdot 5=-10).

Ответ:  (-10).

(sqrt{3}cos^2frac{5π}{12}-sqrt{3}sin^2frac{5π}{12}=sqrt{3}(cos^2frac{5π}{12}-sin^2frac{5π}{12})=sqrt{3}cos(2cdotfrac{5π}{12})=sqrt{3}cosfrac{5π}{6})

Вычислим (cos⁡frac{5π}{6}) с помощью тригонометрического круга. Сначала найдем (frac{5π}{6}) на круге:

(frac{5π}{6}=frac{6π-π}{6}=π-frac{π}{6})

Теперь видно, что (cos⁡frac{5π}{6}=-frac{sqrt{3}}{2})
(sqrt{3}cos⁡ frac{5π}{6}=sqrt{3}cdot(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{3}{2}=-1,5).