Всего: 36 1–20 | 21–36
Добавить в вариант
Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб. и не больше 60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Источник: Варианты вступительных экзаменов в МГУ, экономический ф-т, 1997
Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 91., А. Ларин: Тренировочный вариант № 91.
Транcнациональная компания Amako Inc. решила провести недружественное поглощение компании First Aluminum Company (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что Amako было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на 1/3. В результате второго предложения Amako сумела увеличить число выкупленных акций на 20% (после второй скупки общее число выкупленных акций увеличилось на 20%), а в результате скупки по третьей цене — еще на 20%. Найдите цену за одну акцию при третьем предложении и общее количество скупленных акций, если начальное предложение составляло $27 за одну акцию, а по второй цене Amako скупила 15 тысяч акций.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 90., А. Ларин: Тренировочный вариант № 90.
Билл несколько лет назад вложил деньги в акции некоего предприятия. Ежегодно он получал прибыль по акциям сначала 
% в год, потом 37,5% в год и, наконец, 
% в год и сразу же вкладывал деньги в те же акции. Известно, что одинаковые процентные ставки сохранялись равное число лет, в результате стоимость акций увеличилась на 156%. Определите, сколько лет Билл получал прибыль по акциям.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 362.
Брокерская фирма выставила на торги пакет акций, состоящий из акций двух компаний: нефтяной компании (по 100 долларов за акцию) и газовой компании (по 65 долларов 60 центов за акцию). Всего было выставлено 200 акций. Все акции газовой компании были проданы, а часть акций нефтяной компании осталась непроданной. Общая сумма выручки оказалась равной 13120 долларов. Определите процент акций газовой компании в выставленном на продажу пакете и найдите сумму выручки, полученной за акции газовой компании.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 219.
На графике представлено изменение биржевой стоимости акций газодобывающей компании в первые две недели ноября. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — стоимость акции в рублях. 2 ноября бизнесмен приобрел 10 акций этой компании. Шесть из них он продал 6 ноября, а 13 ноября — остальные 4. Известно, что цена акций убывала линейно. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?
Трейдер потратил треть своих денег на приобретение акций одного акционерного общества (АО), а остальные деньги — на акции второго АО. Спустя три месяца цены акций обоих АО выросли на определенные для каждого АО проценты, а еще через три месяца цены акций выросли на столько же процентов, что и в предыдущий период. В результате за полгода общая стоимость акций трейдера выросла на 98%. Если бы после первых трех месяцев трейдер продал все акции первого АО по новой цене и на все полученные деньги приобрел бы акции второго АО, то общий прирост инвестиций за полгода составил бы 110%. Какой процент прибыли получит трейдер за полгода, вложив всю сумму в акции первого АО?
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 367.
Вновь созданное акционерное общество продало населению 1000 своих акций, установив скидку 10% на каждую пятую продаваемую акцию и 25% на каждую тринадцатую продаваемую акцию. В случае, если на одну акцию выпадают обе скидки, то применяется большая из них. Определите сумму, вырученную от продажи всех акций, если цена акции составляет 1000 рублей.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 258.
На рисунке жирными точками показано изменение биржевой стоимости акций целлюлозно-бумажного завода в первой половине апреля. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — стоимость акции в рублях. 2 апреля бизнесмен приобрёл 250 акций этого завода. 6 апреля он продал 150 акций, а оставшиеся акции продал 11 апреля. Сколько рублей составили убытки бизнесмена в результате этих операций?
На рисунке жирными точками показано изменение биржевой стоимости акций горно-обогатительного комбината во второй половине октября. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — стоимость акции в рублях. 18 октября бизнесмен приобрёл 480 акций этого комбината. Треть своих акций он продал 25 октября, а оставшиеся акции — 27 октября. Сколько рублей составила прибыль бизнесмена в результате этих операций?
Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 2.
Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тысяч рублей до 20 тысяч рублей, а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тысяч рублей и не больше 60 тысяч рублей. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 229.
Сергей хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Сергея не было денег на покупку акций, а пакет стоил 160 000 рублей. В середине каждого месяца Сергей откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 25%. Какую наименьшую сумму (в рублях) нужно откладывать Сергею каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 346.
Источник/автор: Сборник заданий ФИПИ под редакцией И. В. Ященко, 2021
Наблюдая за курсом акций АО «Наш газ — для Вас», брокер заметил, что в понедельник стоимость этих акций всегда падает на 15%, во вторник — всегда растёт на 20%, в среду — всегда падает на 10%, в четверг — никогда не меняется, в пятницу — всегда растёт на 5%, в субботу и воскресенье торги не проводятся (Изменение стоимости в течение дня всегда происходит равномерно, причем цена продажи акций равна цене ее покупки в любой момент времени).
а) Как изменится стоимость акций за неделю (уменьшится, увеличится или останется на прежнем уровне)?
б) Какую наибольшую прибыль может получить брокер за неделю, покупая и продавая эти акции (это можно делать в любое время любого рабочего дня), если в начале недели он имеет 1 000 000 рублей?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 118.
Евгений хочет купить пакет акций компании. 15 февраля он отложил определённую сумму денег и планирует откладывать такую же сумму денег 15 числа каждого месяца. Первого февраля пакет акций стоил 195 000 рублей. Первого числа каждого месяца пакет акций дорожает на 40%. Какую наименьшую сумму нужно Евгению откладывать каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
Михаил хочет купить пакет акций компании. 15 февраля он отложил определённую сумму денег и планирует откладывать такую же сумму денег 15 числа каждого месяца. Первого февраля пакет акций стоил 160 000 рублей. Первого числа каждого месяца пакет акций дорожает на 25%. Какую наименьшую сумму нужно Михаилу откладывать каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
Александр хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Александра не было денег на покупку акций, а пакет стоил 100 000 рублей. В середине каждого месяца Александр откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 30%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Александру каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ
В среду акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а в четверг подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?
Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
Источник: Пробный экзамен МЦНМО, Москва, 2017
В среду акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а в четверг подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 64% дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?
В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 49% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Всего: 36 1–20 | 21–36
B вариантах ЕГЭ по математике 2022 года задача с экономическим содержанием, № 15, оценивалась в 2 первичных балла. B прошлые годы она стоила дороже –целых 3 первичных балла.
Зато и набор тем в задании 15 в этом году был сокращенным: только задачи на кредиты. И никаких заданий на оптимизацию.
Напоминаем, что задачи на кредиты бывают двух основных типов. О решении «экономических» задач – читайте в этом разделе.
Первый тип, аннуитет. Кредит погашается равными платежами или есть информация о платежах.
Подробно об этой схеме погашения кредита – здесь.
Bторой тип, схема с дифференцированными платежами. Сумма долга уменьшается равномерно, или же есть информация об изменении суммы долга. B задачах этого типа часто применяются формулы суммы арифметической прогрессии.
Подробно о схеме с дифференцированными платежами здесь.
На этой странице мы разберем задачи по финансовой математик, предложенные на ЕГЭ-2022 в разных регионах России.
1. ЕГЭ-2022, Москва
B июле 2022 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите сумму кредита, если известно, что кредит будет полностью выплачен за 3 года, причем в первый и второй год будет выплачено по 300 тыс. руб., а в третий 417,6 тыс. руб.
Решение:
Пусть S — сумма кредита,
р — процент банка,
— коэффициент, показывающий во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов,
x=300 тыс. руб. – платеж в первый и второй годы,
– платеж в третий год.
Составим схему погашения кредита.
– сумма долга после первого начисления процентов,
— сумма долга после первого платежа,
— сумма долга после второго начисления процентов,
— сумма долга после второго платежа,
— сумма долга после третьего начисления процентов,
— сумма долга после третьего платежа.
отсюда
Будем вести расчеты в тысячах рублей.
тыс.руб.
Ответ: 700 000 рублей
2. Дальний Bосток
B июле 2016 г. планируется взять кредит на 5 лет в размере 1050 тысяч рублей.
Условия его возврата таковы:
— Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— B июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 1050 тысяч рублей,
— выплаты в 2020 и 2021 годах равны по X тысяч рублей,
— к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за 5 лет.
Решение:
Пусть A = 1050 тыс. рублей – сумма кредита,
, 
B 2017 – 2019 годы долг остается равен 1050 тыс. рублей,
B 2020 и 2021 годы выплаты равны по X тыс. рублей.
Составим таблицу погашения долга.
| Год | Долг | Долг после начисления процентов | Выплаты | Остаток долга |
| 2017 |  |
 |
 |
|
| 2018 | |
|
|
|
| 2019 | |
|
|
|
| 2020 | |
|
 |
 |
| 2021 | |
 |
|
 |
Поскольку к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью, то
отсюда найдем X
605 ( тыс. рублей).
Общая сумма выплат за 5 лет составит:
тыс рублей.
Ответ: 1525тыс. рублей.
3. Досрочная волна, Санкт-Петербург
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 18-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 19-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 18-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1209 тысяч рублей?
Решение:
Обозначим S — сумму кредита,
n = 19 месяцев,
p = 2%,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов,
x — сумма, на которую уменьшается долг с 1-го и по 18-й месяц; x=50тыс. руб.
составим схему погашения кредита.
Общая сумма выплат B = 1209 тыс. рублей.
Bыплаты:
Общая сумма выплат:
Найдем сумму арифметической прогрессии.
тыс.руб.
По условию, 
тыс. руб.
Ответ: 100 тысяч рублей.
4. Основная волна, Bосток
B июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 3,3 млн руб. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле 2027, 2028 и 2029 годах долг остаётся равен 3,3 млн руб.;
– платежи в 2030 и 2031 годах должны быть равны;
– к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите разницу между первым и последним платежами.
Решение:
Bведем переменные:
S=3,3 млн. руб. – сумма кредита;
p=20% — процентная ставка;
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Рисуем схему погашения кредита:
Общая сумма выплат:
Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .
Это значит, что 
и тогда первая выплата: 
а последняя выплата Y, и разница между последней и первой выплатами:
млн. рублей
Ответ: 1,5 млн. рублей
5. Основная волна, Bосток
B июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2023, 2024 и 2025 годах сумма долга остается равной 1050 тыс. руб.;
– выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
– к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Решение:
Bведем переменные:
S=1050 тыс. руб. – сумма кредита;
p=10% — процентная ставка;
— коэффициент, показывающий во сколько раз, увеличивается долг после начисления процентов
Рисуем схему погашения кредита:
Общая сумма выплат: 
Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .
Это значит, что
и тогда первая выплата: 
а последняя выплата Y, и разница между последним и первым платежами:
тысяч рублей.
Ответ: 500 тысяч рублей
6. Санкт-Петербург, Москва
B июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. руб.;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. B условии сказано, что кредит будет выплачен сначала двумя равными платежами, а затем третьим платежом выплачивается остаток долга.
Bведем обозначения:
S тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
p=20% — процент банка,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
X=300 тыс. руб – сумма ежегодного платежа в 2027 и 2028 годах;
Y=417,6 тыс. руб. — платеж в 2029 году
Составим схему погашения кредита.
Sk — сумма долга увеличивается в k раз,
Клиент вносит на счет сумму X в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается: 
Снова долг увеличивается в k раз 
и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается: left(Sk-Xright)k-X
И в третий раз увеличивается долг в k раз 
и сумма долга уменьшается на Y. Bот что получается:
Раскроем скобки:
Что же, можно подставить численные данные.
тыс. руб.
Ответ: 700 тысяч рублей
7. Основная волна, Москва, Санкт-Петербург
B июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 634,5 тыс. руб. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– платёж в 2027 и 2028 годах должен быть по 100 тыс. руб.;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
Решение:
Это задача первого типа. Есть информация о платежах. B условии сказано, что кредит будет выплачен двумя равными платежами и третьим весь остаток долга.
Bведем обозначения:
S=634,5 тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
p=10% — процент банка,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
X=100 тыс. руб – сумма ежегодного платежа в 2027 и 2028 годах;
Y тыс. руб. — платеж в 2029 году
Составим схему погашения кредита.
Sk — сумма долга увеличивается в k раз,
Клиент вносит на счет сумму X в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается:
Снова долг увеличивается в k раз и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается: 
И в третий раз увеличивается долг в k раз и сумма долга уменьшается на Y. Bот что получается:
Раскроем скобки:
Подставим численные данные.
тыс. руб.
Сумма всех платежей: 
тыс. руб.
Ответ: 813,5195тыс.рублей = 813519,5 рублей.
Эта задача отличается от предыдущих только вычислительными трудностями. Получается, что задачи неравноценны: в одних вариантах удачные численные данные, в других – нет. Не повезло тем, кому она досталась. Пришлось считать сумму выплат с точностью до 50 копеек.
8. ЕГЭ, резервная волна
15-го января планируется взять кредит в банке на девять месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение:
Это задача на дифференцированные платежи с равномерным погашением долга.
Пусть S тыс. рублей – сумма кредита;
n=9 месяцев – срок кредита;
r% — процент банка,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
— ежемесячная выплата основного долга
— сумма выплат
Составим схему погашения кредита.
Ежемесячные выплаты:
Общая сумма выплат:
Найдём
Мы нашли суммы арифметических прогрессий:
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит.
Ответ: 5
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Финансовая математика на ЕГЭ-2022. Задача 15» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.03.2023
Описание видеоурока:
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями!
Выбор видеоурока
Подготовка к ЕГЭ
Подготовка к ОГЭ
© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.
Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.
Фотографии предоставлены 
В 2018 году на ЕГЭ по математике появились задачи, напугавшие многих выпускников. «Это страшно, — говорили они после экзамена. — Никогда такого не было. Решить невозможно».
Конечно же, я сочувствую абитуриентам, для которых ЕГЭ – все-таки большой стресс. Экзамен – это испытание не только знаний, но и хладнокровия, и способности действовать в сложной ситуации. И может быть, сказать себе: «Да, задача необычная, но я знаю общий подход к решению таких задач – справлюсь и на этот раз».
Действительно ли настолько страшны были «банковские» задачи на ЕГЭ по математике 2018 года? Они своеобразны. Их невозможно решить без подготовки, без знания того, как вообще устроены задачи ЕГЭ на кредиты.
Запомним: есть всего два характерных типа «банковских» задач, или задач на кредиты.
1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет». К первому типу относятся также все задачи, где известны платежи (или дана закономерность именно для платежей).
2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами». Ко второму типу относятся также задачи, где известна закономерность уменьшения суммы долга.
О двух схемах решения задач на кредиты – мой краткий теоретический материал.
Более подробно я рассказываю теорию и решаю такие задачи на своих мастер-классах и интенсивах. Чтобы узнать о них, подпишись на нашу рассылку.
Посмотрим с этой точки зрения на «банковские» задачи ЕГЭ-2018.
1.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?
Прежде всего, введем переменные. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
Пусть S – сумма, которую планируется взять в кредит,
Z – общая сумма выплат, Z = 1604 (тыс. рублей).
Х — ежемесячное уменьшение суммы долга, Х = 30 (тысяч рублей),
p=3% — процент, начисляемый банком ежемесячно. После первого начисления процентов сумма долга равна 
После каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в 
раза. В нашей задаче k = 1,03.
Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца). Значит, это задача второго типа. А в задачах второго типа мы рисуем следующую схему:
После первого начисления процентов сумма долга равна kS. Затем, после первой выплаты, сумма долга равна S – X, где Х = 30 (тысяч рублей).
Значит, первая выплата равна kS – (S – X) (смотри схему).
Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).
…
Последняя выплата: k ( S – 20 X).
Найдем общую сумму выплат Z.
Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – 20X) =
= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X).
Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель k, и те, в которых нет k.
Упростим выражения в скобках:
k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) = Z.
В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется формула для суммы арифметической прогрессии: 
В этой задаче мы тоже ее используем.
Получим:
k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z.
Осталось подставить числовые значения.
S ( 21⋅ 1,03 – 20) – 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.
Отсюда S = 1100 тысяч рублей = 1 100 000 рублей.
Следующая задача относится к тому же типу. Математическая модель та же самая. Только найти нужно другую величину – процент, начисляемый банком. К тому же количество месяцев, на которое взят кредит, неизвестно.
2.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.
S = 1000000 рублей = 1000 (тыс. рублей) – сумма кредита,
Х = 40 (тыс. рублей) – ежемесячное уменьшение суммы долга,
Z = 1378 (тыс. рублей) – общая сумма выплат,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.
Рисуем уже знакомую схему погашения кредита.
Первая выплата: kS – (S – X).
Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).
…
Последняя выплата: k ( S – n X).
По условию, 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей.
Значит, S – nX = 200. Подставим числовые данные:
1000 – 40 n = 200; тогда n = 20, n + 1 = 21, то есть кредит был взят на 21 месяц. Очень удобно – количество месяцев в этой задаче оказалось таким же, как в предыдущей. Поэтому очень кратко повторим основные моменты решения
Общая сумма выплат Z:
Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – X) =
= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X) =
= k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) =
= k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1).
Мы снова использовали ту же формулу для суммы арифметической прогрессии:
По условию, Z = 1378 (тыс. рублей).
Выразим k из формулы S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z:
Подставим данные из условия задачи.
Ответ: r = 3%.
Третья задача из числа «кошмаров» ЕГЭ-2018 по математике. Та же схема!
3.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Тоже задача второго типа – есть информация об уменьшении суммы долга. Точно также будем вести расчеты в тысячах рублей.
Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.
S = 300 (тыс. рублей) – сумма кредита,
n = 21 – количество месяцев,
r = 2%; 
;
Х – ежемесячное уменьшение суммы долга,
Z – общая сумма выплат.
Рисуем ту же схему, что и в предыдущей задаче. По условию, 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей.
Значит, S – 20 X = 100. Подставив данные из условия, найдем, что Х = 10.
Точно так же считаем сумму выплат (смотри задачи 1 и 2).
Z = S (21k – 20) – 210 X (k-1).
Подставляем данные из условия: Z = 300 (21 ⋅ 1,02 – 20) – 210 ⋅ 10 ⋅ 0,02 = 384 (тыс. рублей).
Ответ: 384000 рублей.
Хочешь узнать решения всех сложных задач ЕГЭ? Подпишись на нашу рассылку.
Содержание
-
Я – репетитор по математике, хорошо разбирающийся в финансах
-
Общие сведения об акциях, вращающихся на рынке ценных бумаг
-
Два основных типа акций. Их преимущества и недостатки
-
Сравнительная характеристика акций и банковских вкладов
-
Список задач на акции, встречающихся на официальном экзамене
-
Остались вопросы, недопонимание? Берите мобильный телефон и записывайтесь на пробный урок
Я – репетитор по математике, хорошо разбирающийся в финансах
Всем здравствуйте! Меня зовут Александр Георгиевич. Я – профессиональный московский рейтинговый репетитор по математике, информатике, базам данных, алгоритмам и программированию.
Уже в течение (10) лет я помогаю школьникам (9-11) классов подготовиться к успешной сдаче рубежных экзаменов – ОГЭ и ЕГЭ по математике. Также взаимодействую со студентами вузов из всех уголков России, помогая им решать высшую математику.
Я прекрасно понимаю, что вы деловой, целеустремленный человек, который заранее планирует свои действия, но, несмотря на это, я настоятельно рекомендую вам потратить (2-3) минуты собственного времени и ознакомиться с отзывами учеников, прошедших под моим чутким контролем подготовку. Каждый из них достиг поставленных целей и стал сильнее! Чем вы хуже? Правильно! Ничем!
Специально для своих будущих клиентов я разработал многофункциональную систему тарификации моих услуг. В этом параметрическом фильтре вы сможете подобрать для себя из (144) вариантов именно тот, который полностью удовлетворит ваши запросы. Даже самый взыскательный потребитель останется доволен предлагаемым выбором.
Поскольку я себя всецело посвящаю репетиторской деятельности, мой доход достаточно высок. За годы преподавания мне удалось скопить сумму в несколько миллионов рублей. В итоге я начал заниматься валютными и сырьевыми рынками, акциями компаний, инвестированием, трейдерством. Поэтому я не понаслышке знаком с акциями предприятий, знаю принцип их функционирования, а также могу легко проводить математические операции над ними.
Поэтому именно я смогу вам максимально доступно объяснить и продемонстрировать основные моменты, касающиеся акций. Вы поймете, каким образом можно зарабатывать на акциях, почему акции одних компаний более ликвидные, чем акции других. А самое главное, вы научитесь решать задачи, ориентированные на акции, которые можно встретить в разделе «Финансовая математика».
Мои индивидуальные занятия проходят в различных территориальных форматах. В настоящий момент наиболее приемлемый формат для моих учеников – дистанционное взаимодействие посредством компьютерных программ «Скайп» и «Team Viewer».
Также не забывайте о том, что я достаточно востребованный репетитор по математике и информатике, так как мои ученики в среднем набирают по (91.35) балла из (100) возможных и поступают в заветные вузы. Зачастую ко мне обращаются летом, чтобы встать в очередь и начать заниматься с начала учебного года. Поэтому действуйте немедленно, набирайте мой контактный номер и записывайтесь на первый пробный урок.
Общие сведения об акциях, вращающихся на рынке ценных бумаг
Многие считают рынок ценных бумаг нечеловечески сложным механизмом, даже более сложным, чем высшая математика или программирование. Отчасти это правда, но, если не погружаться в хитросплетения подводных течений мировых рынков и бирж, все оказывается достаточно простым.
Во-первых, акции не появляются из ниоткуда, а их выпускают компании, которые прошли IPO (первое публичное размещение акций компании или эмиссия). Мы не будем вдаваться в суть процедуры IPO. Кому будет интересно, поговорим об этом на частном занятии.
Во-вторых, акции признаны ценными бумагами, то есть они являются документами, составленными по установленной форме, и к ним прилагаются реквизиты, которые удостоверяют права на их владение.
Зачем компании выпускают акции? Ответ предельно прост – чтобы получить деньги на свое дальнейшее развитие. Если у предприятия сложные финансовые времена, то она выпустит пакет акций, который смогут купить инвесторы. После продажи акций у компании появляются деньги на развитие.
Купив акции, инвесторы получают долю компании, а в зависимости от количества купленных акций они могут даже влиять на организационную структуру компании, принятие решений. Обычно этим любят заниматься инвесторы-активисты, которых, если честно, недолюбливают топ-менеджеры тех фирм, у которых акции были приобретены.
Покупать акции могут как физические, так и юридические лица. Например, в моем портфеле несколько акций крупных авторитетных компаний, мировых брендов. Такие акции называют «голубыми фишками». Разумеется, что я являюсь частным мини-инвестором, то есть выступаю как физическое лицо.
На фондовом рынке происходит ежесекундная торговля акциями всевозможных типов. Это рынок в рынке. Каждый может купить у каждого, и аналогично каждый может продать каждому. Без соответствующих знаний сложно успешно торговать/спекулировать акциями на подобных биржах.
«Зачем покупать акции?» – спросите вы. Если не брать в расчет фанатичных людей, которые не представляют свою жизнь без торговли на мировых рынках акциями, то большинство приобретает акции с двумя целями. Первая – сохранение своих сбережений, вторая – попытка заработать на акциях больше, чем могут предложить банки по своим вкладам.
Об акциях я могу рассказывать долго, так как постоянно с ними сталкиваюсь, поэтому, если вы хотите повысить свою грамотность в отношении ценных бумаг, срочно записывайтесь ко мне на частную подготовку. Помимо теории, мы с вами рассмотрим колоссальное количество задач, связанных с торговлей акциями.
Два основных типа акций. Их преимущества и недостатки
На самом деле их больше, но коснуться стоит именно этих двух, так как именно данного типа акции периодически возникают в условиях задач из категории «Финансовая математика».
Итак, акции бывают обычные и привилегированные. Даже из названия понятно, что привилегированные акции более могущественные, чем обыкновенные.
Если вы владеете пакетом обычных акций, то вы можете участвовать в собрании акционеров, а также получать дивиденды на купленные ценные бумаги. Только загвоздка в том, что на обычные акции дивиденды не гарантируются. А участие в собрании акционеров зачастую чисто формальное, не имеющее каких-либо плюсов.
Если вы собственник привилегированных акций, то не можете участвовать в формальном собрании акционеров (но вы можете скооперироваться с другими лицами, владеющими привилегированными акциями, и образовать собственную страту акционеров). Не будем вдаваться в нюансы реорганизации или ликвидации предприятия.
Также владельцам привилегированных акций выплачивается фиксированный доход, независящий от колебания рынка и позиции фирмы на этом рынке.
То есть владельцы обычных акций могут остаться без дивидендов, а владельцы привилегированных акций со (100%)-ной гарантией получат определенный доход. Пусть и не очень значительный.
Также огромное влияние оказывает процент купленных вами акций от общего объема всех акций, выпущенных в обращение.
-
Если у вас на руках (1%) акций, то вы имеете право запросить список прочих акционеров. Для многих профессиональных инвесторов – крайне важный фактор.
-
Если у вас на руках (2%) акций, то вы можете вносить вопросы в повестку общего собрания акционеров, предлагать сторонние кандидатуры в совет директоров и ревизионную комиссию.
-
Владея (10%) акций, вы имеете право организовать внеочередной созыв акционеров и провести аудиторскую проверку. Всем передает привет Карл Айкан – один из самых опасных и профессиональных инвесторов-активистов, который стремится заполучить пакет именно в (10%) объема. Но цели у него, как правило, крайне недоброжелательные по отношению к предприятию. Его состояние оценивается в (20) миллиардов долларов. Ох, непростой человек, очень непростой!
-
Владея (25% + 1) акцией, вы имеете так называемый блокирующий пакет. Начиная с этого объема, вы имеете право принимать активное участие в деятельности компании.
-
Если приобрели (50% + 1) акцию, то у вас на руках образуется контрольный пакет. В этом случае вы становитесь крайне влиятельной фигурой в компании, чуть ли ни ее владельцем. Большинство решений будет воплощаться в жизнь только после вашего согласия. Приятно, не правда ли?
-
И наконец-таки вы скупили почти всю компанию, а именно приобрели пакет (75% + 1) акцию. Вы становитесь самой генеральной фигурой в компании, если хотите – королевой и королем в одном лице на шахматной доске. Теперь вы можете принимать любые решения в отношении данной фирмы. На практике портфель объемом в (75% + 1) акцию оценивается в десятки, если не сотни миллиардов долларов. Разумеется, мы говорим сейчас о крупных корпорациях. Совершить такую сделку одному человеку крайне проблематично!
Я стараюсь приобретать привилегированные акции, так как мне абсолютно неинтересны собрания акционеров, а зачастую добраться до места их проведения не представляется возможным из-за территориального месторасположения. Также лучше получать небольшой постоянный пассивный доход, чем ждать выплату дивидендов как манны небесной.
Но, как говорится, каждому свое, и существует огромное количество людей, предпочитающих обычные ценные бумаги привилегированным.
Сравнительная характеристика акций и банковских вкладов
Наверняка, у неискушенного читателя в целом и среднестатистического школьника в частности, никогда не принимающего участия в торгах на бирже, возникает вопрос: а зачем, собственно, нужны все эти манипуляции с акциями, когда деньги можно положить в банк, то есть открыть банковский вклад. Ведь депозиты тоже прибыльны, банки начисляют проценты на вложенные суммы!
Все дело в том, что, «играя» на рынке ценных бумаг, можно получить доходность более высокую, чем инвестировать аналогичную сумму в банк. Не всегда это получается. Скажу больше, быть успешным на мировых торговых рынка получается у меньшинства! В своем роде – это настоящее искусство. Нужно скрупулезно учиться многие годы, чтобы в конечном счете правильно пользоваться различными финансовыми инструментами инвестирования.
Давайте проведем краткое обзорное сравнение банковских вкладов и акций. Так сказать, «пощупаем» их преимущества и недостатки.
-
Средства, отданные в банк на хранение, обычно невозможно снять до определенного срока. Держатели акций могут продавать свои активы в любое удобное для них время. То есть свобода действий.
-
Банковские вклады страхуются до суммы (1,400,000) рублей. Если на вашем счете была большая сумма, то в случае разорения и банкротства банковской структуры вам приходится рассчитывать лишь на частичное возмещение утраченных средств. Акциями же можно торговать в любом объеме. Совокупная стоимость вашего пакета может превышать миллиард долларов, и в случае проблем вы можете продать свой пакет, пока акции полностью не обесценились. То есть вы страхуете все купленные акции, а не только их часть. Тут имеет место быть волатильность рынка, но сейчас не об этом.
-
Несмотря на то, что доход с акций облагается налогом в (13,%), та прибыль, которую они могут принести, может многократно превысить прибыль, полученную из-за влияния процентной ставки банка. Здесь важно сочетание слов «могут принести», следовательно, можно диаметрально сменить акцент и сказать: а могут и не принести. Покупая акции неизвестных компаний, инвесторы идут на определенный риск. С позиции хеджирования, конечно, спокойнее держать деньги в сберегательной кассе. Каждому свое!
-
Ну и, пожалуй, один из важнейших факторов, из которого вытекает преимущество покупки акций, – акции непостоянны в цене. Если вы «угадали» (читай – правильно выбрали) компанию, которая была недооценена, и приобрели у нее акции, а потом начался интенсивный рост производства этой фирмы, то вы можете получить доход в (100) или (1,000%) годовых. Очевидно, что ни один банк в мире не сможет похвастаться аналогичной процентной ставкой. Но и здесь палка о двух концах, так как акции «умеют» и стремительно дешеветь.
Однозначно можно сказать следующее, что, становясь держателем акций, вы выбираете достаточно рискованный вектор сохранения собственного капитала. Ваши шансы получить хорошую прибыль высоки, но также есть вероятность того, что вы полностью потеряете собственные инвестиции.
С банковскими вкладами все достаточно прозаично. Открыли счет, положили деньги, по истечении отчетного периода получили определенный доход. Но доход является настолько незначительным, что он не покрывает даже инфляцию, царящую в стране на протяжении всех последних лет.
Резюмируем: акции – риск и возможность получения хорошей прибыли, банковский вклад – стабильность и низкая прибыль. Выбирайте!
Список задач на акции, встречающихся на официальном экзамене
|
Пример №1 Доходность портфеля доверительного управляющего менеджера выросла с (8%) до (14%) в год. а) В процентах. Смотреть текстовое решение |
|
Пример №2 В среду на фондовом рынке акции корпорации Microsoft подорожали на некоторое количество процентов, а в четверг подешевели на то же самое количество процентов. В результате акции компании стали стоить на (4%) дешевле, чем при торгах в среду. На какой процент повысились в цене акции Microsoft в среду? Смотреть текстовое решение |
|
Пример №3 В течение торговой сессии курс акций компании IBM повысился на (26%), а курс акций компании Apple снизился на (10%), в результате чего стоимости акций данных компаний сравнялись в цене. На сколько процентных пунктов курс акций корпорации Apple был выше курса акций компании IBM до начала сессии? Смотреть текстовое решение |
|
Пример №4 До начала торгов на Лондонской бирже металлов (London Metal Exchange) курс акций ОАО ВСМПО «Ависма» был больше курса акций компании BAOSTEEL на (20%). В течение торговой сессии курс акций ВСМПО понизился на (10%). На сколько процентов должна вырасти стоимость ценных бумаг BAOSTEEL, чтобы эти два курса сравнялись? Смотреть текстовое решение |
|
Пример №5 Под доверительным управлением у менеджера находится три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в (4) раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от (16,000) рублей до (20,000) рублей, а цена акции из третьего пакета не меньше (42,000) рублей и не больше (60,000) рублей. Какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете? |
|
Пример №6 Уставный капитал компании составляют $400$ тыс. обыкновенных и $100$ тыс. привилегированных акций. Прибыль компании до уплаты налогов равна $9$ млн. руб., а величина налога на прибыль – $3$ млн. руб. Величина дивиденда по привилегированным акциям составляет $4$ руб. на одну акцию. Рассчитайте значение показателя EPS. Смотреть текстовое решение |
|
Пример №7 Два начинающих брокера купили акции одного достоинства на сумму (3,640) рублей. Когда цена на эти ценные бумаги возросла, они продали часть акций на сумму (3,927) рублей. Первый брокер продал (75%) акций своего пакета, а второй – (80%) своего. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на (140%) превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов и процентных пунктов возросла цена одной акции? Смотреть текстовое решение |
Как вы можете заметить, практически в каждом из приведенных условий задач так или иначе фигурирует понятие процента. Поэтому я вам настоятельно рекомендую детально ознакомиться с понятием простых и сложных процентов.
Выражу свое субъективное мнение относительно сложности заданий, связанных с акциями. Это, пожалуй, наиболее хитрые и сложные задания во всем разделе финансовой математики. Достаточно нетривиально порою строятся математические модели, описывающие изменения курса акций. Также желательно быть подкованным в области ценных бумаг и понимать квинтэссенцию акций как таковых.
Остались вопросы, недопонимание? Берите мобильный телефон и записывайтесь на пробный урок
Как я понимаю, у вас накопилось немало вопросов, связанных с акциями, так как данная статья является обзорной, ознакомительной, то есть материал лишь поверхностно описывает базовые понятия, не вдаваясь в их глубинный мир.
Для дифференцированного исследования мира акций вам надо записаться ко мне на частные уроки, так как именно в процессе общения с вами тет-а-тет я смогу пояснить тот фронт материала, который нужен вам в первую очередь. Это крайне важно! Так как статейный материал строится для каждого читателя, не учитывая особенности индивидуальности и подготовку конкретного школьника в области ценных бумаг.
На официальном экзамене — ЕГЭ по математике достаточно высока вероятность того, что вам попадется задача, связанная с акциями, но все-таки наиболее вероятно развитие событий, когда комитет ФИПИ утвердит задачи, ориентированные на банковские вклады или кредиты с аннуитетной или дифференцированной схемой платежей.
Напомню еще раз, что я действующий трейдер, инвестор и частично аналитик рынка ценных бумаг и не понаслышке знаком с финансовыми инструментами и деривативами. Мне часто приходится пересматривать свой акционный портфель, чтобы попытаться увеличить потенциальную доходность.
Подписывайтесь на мой образовательный YouTube-канал, на котором я регулярно выкладываю мультимедийные решения заданий по математике в целом и по финансовой математике, информатике и программированию в частности.
Пришло время навсегда ликвидировать пробелы в знаниях относительно акций! Справимся с этой проблемой вместе!
Да, кстати, если вы хорошо владеете каким-либо языком программирования, то мы с вами можем даже проводить реализацию математических моделей, кодируя их на соответствующем языке. Это очень интересный процесс, с какой стороны на него ни посмотреть!
У меня очень плотный график проводимых занятий, поэтому действуйте немедленно, подготовьте список тематических вопросов, выберите тарифный план, продумайте наиболее удобное для вас время занятий, звоните мне на мобильный телефон и записывайтесь на первый пробный урок!
На чтение 12 мин Просмотров 33.3к. Опубликовано 7 февраля, 2019
Для решения таких задач необходимо понимать алгоритм решения экономических задач
За задание №17 по математике ЕГЭ профильный уровень можно получить 3 балла. Мы рассмотрим как решать экономические задачи ЕГЭ по математике, которые в каждом варианте профильного уровня по математике идут под номером 17.
Решение №17 включает в себя обязательное построение математической модели, то есть это обычная текстовая задача, но с экономическим (финансовым) уклоном и чаще всего с большим количеством вычислений.
Можно выделить несколько блоков заданий:
1. Вклады и кредиты
2. Акции и другие ценные бумаги
3. Методы оптимальных решений
Рассмотрим каждый из вышеперечисленных блоков.
Содержание
- Вклады и кредиты
- Акции и другие ценные бумаги
- Методы оптимальных решений
- Примеры решения задач
Вклады и кредиты
Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.
Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Начисление по этой формуле предполагает, что каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов.
Формула выглядит следующим образом:
где FV – будущая сумма.
PV – текущая сумма.
p – процент, в соответствии с которым происходит начисление
n – количество лет начисления процента.
Если начисления происходят не ежегодно, а чаще, например, ежеквартально, формула модифицируется в следующий вид:
,
где
FV – будущая сумма
PV – текущая сумма
p – процент, в соответствии с которым происходит начисление
n – количество лет начисления процента
m – количество начислений в год (например, m=4, если начисления ежеквартальные).
Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.
Задача 1
Алексей положил 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какая сумма будет у Алексея через год? Через 2 года? Через 3 года?
Решение:
Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:
Теперь сумму через 2 года:
Теперь сумму через 3 года:
Более того, вам придётся работать со схемами кредитов/вкладов, поэтому решим более сложную задачу, в которой нужно будет переводить текст в таблицы и уравнения/неравенства.
Задача 2
Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 28 млн рублей.
Решение:
Пусть искомая сумма составит a млн рублей.
Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.
По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство
14,641 + 2,31a ≥ 28
a ≥ 
Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.
Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.
Ответ: 6 млн рублей.
Акции и другие ценные бумаги
Следующий блок, который мы рассмотрим, затрагивает относительно новое понятие ценной бумаги. Что вам нужно знать о ценной бумаге, чтобы решать подобные задания, не вдаваясь в экономические особенности, это то, как она может приносить доход.
Тип 1: когда вы получаете доход от того, что ценная бумага, которую вы купили ранее, растет в цене. Например, сначала ценная бумага стоила 3 000, а через год стала стоить 4 000. Непосредственно этих 4 000 у вас нет, но вы можете продать ценную бумагу за 4 000 и получите больше, чем потратили за год до этого.
Тип 2: когда вы получаете некий процент от прибыли компании за то, что ранее приобрели ценную бумагу этой компании. Если вы являетесь владельцем акции, то доход данного типа вы получаете в форме дивидендов.
Помимо этого дохода вы также можете продать эту ценную бумагу и, если она теперь стоит больше, чем когда вы ее покупали, вы также получите прибыль. Это не все пути получения дохода от ценных бумаг, но других особенностей вам знать не нужно. При необходимости все дополнительные условия будут описаны в самой задаче.
Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.
Задача 3.
Григорий приобрёл ценную бумагу компании за 9000 рублей в начале 2016 года. Компания находится на стадии активного роста, поэтому цена данной бумаги каждый год возрастает на 2000 рублей. В любой момент Григорий может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 12 %. В начале какого года Григорий должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Решение:
Продать бумагу нужно тогда, когда прирост стоимости ценной бумаги станет меньше, чем банковский процент. Пусть это случится в год n.
К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:
9000 + 2000n
Чтобы получить прирост, который Григорий получит, если хранить деньги в форме акции, необходимо ежегодный прирост (в данной задаче – 2000 рублей) поделить на накопленную к данному моменту сумму.
Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.
Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:
По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.
Ответ: 2020
Методы оптимальных решений
Это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.
Основные типы заданий в этом блоке:
1. Оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;
2. Многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);
3. Транспортная задача.
Разберём несколько задач с основными методами решения.
Задача.
У фермера есть 2 поля, площадь каждого из которых составляет 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать пшеницу и ячмень. Урожайность пшеницы на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором поле – 300 ц/га. Урожайность ячменя, наоборот, на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором поле – 500 ц/га. При этом известно, что между данными злаками поля можно делить в любом соотношении.
Если известно, что на рынке установилась цена на пшеницу 7000 рублей за центнер, а цена на ячмень 9000 рублей за центнер, то какой наибольший доход фермер может получить?
Решение:
Имеем 2 поля с различными характеристиками.
В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9000 > 7000 рублей.
Более того, известно, что на втором поле урожайность ячменя выше, чем урожайность пшеницы (500 ц/га против 300 ц/га). Тогда очевидно, что второе поле полностью фермер займёт ячменём, откуда получит:
10·500· 9000= 45000000 рублей
Ситуация с первым полем не так очевидна.
Продавать ячмень, как и прежде, выгоднее, чем продавать пшеницу. Однако на первом поле урожайность ячменя ниже, чем урожайность пшеницы (300 ц/га против 500 ц/га).
Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:
Тогда получается, что засеять первое поле пшеницей выгоднее, так как низкая цена компенсируется высокой урожайностью.
Доход с первого поля:
10 · 500 ·7000 = 35000000 рублей
Суммарный доход составит:
35000000 рублей + 45000000 рублей = 80000000 рублей
Ответ: 80000000 рублей
Есть и другие типы заданий, в которых необходимо будет применить не житейские знания, а навыки составления уравнений и нахождения наименьшего/ наибольшего значений функций.
Задача.
На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда.
Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?
Решение:
Как и дано в условии, 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов, что означает, что металлы взаимозаменяемы в пропорции 1:1.
Пусть на втором заводе t рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда (360-t) рабочих обрабатывают цветные металлы.
Знаем, что x2 человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у2 человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.
На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов, однако чёрные и цветные металлы для заказчика равнозначны, из чего сделаем вывод, что все 360 рабочих обрабатывают чёрные металлы, то есть 108*5 = 540 кг в день.
Имея соотношение на втором заводе и производительность рабочих на первом заводе, составим функцию возможного количества обработанных металлов:
Необходимо найти наибольшее значение этой функций. Последовательность действий мы уже знаем из темы «Анализ функций». Необходимо:
1. Найти производную функции;
2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;
3. Определить знаки производной на полученных промежутках и проверить, какие точки являются точкой максимума, а какие – точкой минимума.
Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.
Приведём к общему знаменателю. 
Приравняем числитель к 0.
Возведём в квадрат.
Получили единственную точку экстремума.- Проверим, является ли она точкой максимума.
Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с + на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.
Ответ: 600 кг
Видим, что экономическая задача достаточно разнообразна, но и решать вы её можете абсолютно разными способами – через производные, составление таблиц, схем, выведение формул и простой перебор вариантов.
Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.
Примеры решения задач
Задача 1. В 2019 году клиент планирует открыть вклад в банке 1 ноября сроком на 1 месяц под 11% годовых. Какая сумма денег окажется на счёте вклада 1 декабря того же года, если планируемая сумма вклада равна 100 000 рублей? Ответ округлите до двух знаков после запятой.
Решение: При однократном начислении процентов через дней на вклад под годовых в невисокосный год получим сумму 
Воспользуемся этой формулой, считаяS0= 100 000, r = 11 , m = 30 (так как в ноябре 30 дней).
Получим:
Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0090411, значит, S=100 904,11Таким образом, на счёте вклада будет 100 904 рубля 11 копеек.
Задача 2. Через сколько полных лет у клиента на счету будет не менее 950 000 рублей, если он намерен открыть вклад 31 декабря и планирует каждый год класть на счет 260 000 рублей при условии, что банк раз в год (начиная со следующего года) 31 декабря будет начислять 10% на имеющуюся сумму?
Решение:
Будем последовательно вычислять сумму на счете и упорядочивать данные с помощью таблицы.
Задача 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет, а на третий год начисляемые проценты изменяются. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором по истечении трёх лет этот вклад всё ещё будет выгоднее вклада «А».
Решение:
Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма По вкладу «А» сумма каждый год увеличивается на 
умножается на коэффициент 1,1.
Тогда по вкладу «А» после первого года сумма станет равна ;
после второго года: 1,21S;
после третьего года: 1,331S.
По вкладу «Б» после первого года сумма станет равна1,11S;
после второго года 1,2321S.
Пусть на третий год по вкладу «Б» банк увеличивает сумму на r%. Тогда после третьего года по вкладу «Б» сумма станет равна
, где r— натуральное число,
коэффициент повышения в третий год.
По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Составим неравенство:
Так как r— натуральное число, то наименьший процент равен 9%.
Задача 4. Сергей планирует приобрести ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год будет возрастать на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей сможет продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете стала наибольшей?
Решение.
Во второй год цена ценной бумаги составит: (7+2) тысячи рублей
В третий год (7+2)+2= 7+2∙2 тысячи рублей
В четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2∙3 тысячи рублей
.
Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.
10% от цены бумаги на 
Ценную бумагу стоит продать тогда, когда 10% от цены бумаги станут больше, чем 2 тысячи рублей.
Получаем неравенство:
Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 8.
Задача 5.
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце тридцатого года сумма на его счёте была наибольшей?
Решение:
Решение:
Пусть х десятичная запись количества процентов на которые дорожали и дешевели акции.
100% = 1 – первоначальная стоимость акций;
100 – 4 = 96% = 0,96 – конечная стоимость акций;
Составим уравнение по условию задачи:
1·(1 + х)·(1 – х) = 0,96
1 – х2 = 0,96
–х2 = 0,96 – 1
–х2 = –0,04
х2 = 0,04
х = ±√0,04
х = ±0,2
Количество процентов должно быть положительным, значит акции дорожали и дешевели на 0,2 = 20%.
Ответ: 20.