Алекс ларин егэ по математике 2022 профильный уровень вариант

Задание 1

Решите уравнение $$cosfrac{pi(x-7)}{3}=frac{1}{2}.$$ В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Ответ: -4

Скрыть

$$frac{pi(x-7)}{3}=pmfrac{pi}{3}+2pi n$$

$$x-7=pm1pm6n$$

$$left{begin{matrix} x=8+6n\ x=6+6n, nin Z end{matrix}right.$$

Заметим, что значениям $$ngeq0$$ соответствуют только положительные корни, поэтому они сразу отбрасываются. Теперь последовательно переберем отрицательные значения $$n,$$ получим:

— при $$n=-1$$ имеем $$x=2$$ и $$x=0;$$

— при $$n=-2$$ имеем $$x=8-12=-4$$ и $$x=6-12=-6;$$

— при $$nleq-3$$ корни будут убывать.

Таким образом, наибольший отрицательный корень равен $$-4.$$

Задание 2

В коробке 6 красных и 4 синих карандашей. По очереди из коробки извлекают два случайных карандаша. Найдите вероятность того, что сначала появится красный, а затем — синий карандаш. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,27

Задание 3

Ответ: 4

Скрыть

$$tg A=frac{CB}{CA}$$

По т. Пифагора:

$$7^2=(4sqrt{33}x)^2+(33x)^2$$

$$49 = 528x^2 + 1089x^2$$

$$1617x^2=49$$

$$x^2=frac{1}{33}$$

$$x=frac{1}{sqrt{33}}$$

$$АH=4sqrt{33}cdotfrac{1}{sqrt{33}}=4$$

Задание 4

Найдите значение выражения $$frac{sin(a-pi)-3cos(-frac{3pi}{2}+a)}{sin(a-3pi)}.$$

Ответ: -2

Скрыть

$$frac{sin(a-pi)-3cos(-frac{3pi}{2}+a)}{sin(a-3pi)}=frac{sin(-pi+a)+3sin a}{sin(-3pi+a)}=frac{-sin a+3sin a}{-sin a}=frac{2sin a}{-sin a}=$$

$$=-2$$

Задание 5

Ответ: 4

Скрыть

$$V_1=frac{1}{3}S_{осн}cdot h=frac{1}{3}S_{осн}cdot CC_1$$

$$V_2=S_{осн}cdot h=S_{осн}cdot CC_1$$

$$V_1=frac{1}{3}V_2=frac{1}{3}cdot6=2$$

$$V_2-V_1=6-2=4$$

Задание 6

Ответ: -3

Задание 7

Ответ: 20

Скрыть

Найдём высоту, на которой наблюдатель видит горизонт на расстоянии 6,4 километра.

$$6,4=sqrt{frac{6400cdot h}{500}}=sqrt{frac{64cdot h}{5}} $$

$$frac{64^2}{10^2}=frac{64h}{5}$$

$$h=3,2$$ м

Найдём высоту, на которой наблюдатель видит горизонт на расстоянии 8 километров.

$$9,6=sqrt{frac{6400cdot h}{500}}=sqrt{frac{64cdot h}{5}}$$

$$9,6^2=frac{64h}{5}$$

$$h=7,2$$ м

Найдём высоту, на которую нужно подняться наблюдателю:

$$7,2-3,2=4$$ (м).

По условию высота ступеньки 20 см = 0,2 м. Найдём наименьшее количество ступенек, на которое нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 9,6 километров.

$$frac{4}{0,2}=20$$

Задание 8

Из первого бака перелили 30% имевшейся в нем воды во второй бак, а затем из второго перелили 40% имеющейся в нем воды в третий бак. В итоге количество воды в третьем баке увеличилось на 32%. Сколько воды отлили из первого бака, если известно, что первоначально в первом и третьем баках воды было поровну, а во втором баке было 60 л.?

Ответ: 36

Скрыть

$$0,4(60+0,3x)=x+0,32x$$

$$x+24+0,12x=1,32x$$

$$0,2x=24 |:0,2$$

$$x=120$$ л — было в I и III баках.

30% от $$120 = 120cdot0,3=36$$ л — отлили из I бака

Задание 9

Ответ: 81

Скрыть

График проходит через $$(1;-2)$$ и $$(3;-1).$$ Тогда:

$$left{begin{matrix} -2=b+log_a 1\ -1=b+log_a 3 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} b=-2\ log_a 3=1 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} b=-2\ a=3 end{matrix}right.$$

Получим:

$$-2+log_3 x=2Leftrightarrow log_3 x=4Leftrightarrow x=81$$

Задание 10

В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в каждом отдельном автомате, равна 0,3. В обоих автоматах кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,21. Вечером пришёл мастер, чтобы обслужить автоматы, и обнаружил, что в первом кофе закончился. Какова теперь вероятность того, что во втором автомате кофе тоже закончился?

Ответ: 0,7

Скрыть

Пусть A — 1-й автомат; B — 2-й автомат,

Тогда:

$$P(A) = 0,3$$ — вероятность что кофе закончилось в 1 автомате

$$P(B) = 0,3$$ — вероятность что кофе закончилось в 2 автомате

$$P(Acap B) = 0,21$$ — вероятность, что кофе закончилось в обоих автоматах

$$P(frac{B}{A})$$ — условная вероятность, что кофе закончится в «В» при условии, что он закончился в «А»

По правилу совместного события (пересечение вероятностей) $$P(Acap B) = P(A)cdot P(frac{B}{A})$$

Отсюда:

$$P(frac{B}{A}) = frac{P(Acap B)}{P(A)}$$

$$P(frac{B}{A}) = frac{0,21}{0,3} = 0,7$$

Задание 11

Найдите точку максимума функции $$y=(2x^2-30x+30)cdot e^{x+30}.$$

Ответ: 0

Скрыть

$$y=(2x^2-30x+30)e^{x+30}$$

$$y’=(4x-30)e^{x+30}+(2xx^2-30x+30)e^{x+30}$$

$$y’=e^{x+30}(4x-30+2x^2-30x+30)$$

$$y’=e^{x+30}(2x^2-26x)$$

$$e^{x+30}neq0;$$ $$e^{x+10}>0$$

Найдём нули производной:

$$2x^2-26x=0$$

$$2x(x-13)=0$$

$$2x=0$$ и $$x-13=0$$

$$x=0$$ — точка максимума

А) Решите уравнение $$sin^2x+0,5sin 2x+x^{ln1}=1$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-frac{3pi}{2};0]$$

В правильной треугольной призме $$АВСА_1В_1С_1$$ сторона основания равна 3 и боковое ребро равно 9. Точка М — середина ребра $$А_1С_1,$$ точка О — точка пересечения диагоналей грани $$АВВ_1А_1$$

А) Докажите, что точка пересечения $$ОС_1$$ с четырехугольником, являющимся сечением призмы плоскостью АВМ, совпадает с точкой пересечения диагоналей этого четырехугольника

Б) Найдите угол между $$ОС_1$$ и сечением призмы плоскостью АВМ

Зависимость количества Q (в шт., $$0leq Qleq30000$$) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой $$Q = 30000 — P.$$ Затраты на производство Q единиц товара составляют $$5000Q + 3000000$$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей $$(0 < t < 15000)$$ с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $$PQ-5000Q-3000000-tQ$$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $$tQ$$ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что АВ=АЕ. Отрезок ВЕ пересекает АС в точке М, а отрезок AD в точке N.

А) Докажите, что точки C, D, M, N лежат на одной окружности

Б) Точка О — центр описанной вокруг треугольника CMD окружности. Найдите радиус этой окружности, если АО = 12, АВ = 4.

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$a|x+8|+(2-a)|x-8|+6=0$$

имеет ровно два различных решения.

Для каждого натурального числа $$n$$ обозначим через $$a_n$$ максимальный делитель числа $$n,$$ являющийся квадратом натурального числа, и $$b=frac{n}{a_n}.$$

А) Может ли у числа $$b_n$$ быть 18 делителей?

Б) Для скольких натуральных чисел $$n (1leq nleq 1000)$$ выполняется равенство $$a_n=25?$$

В) Последняя цифра числа $$n$$ равна 9. Чему равна сумма последних цифр чисел $$a_n$$ и $$b_n?$$