Алгебраические уравнения егэ

Каталог заданий.
Линейные, квадратные, кубические уравнения

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

В этом разделе – все основные способы и приемы решения уравнений на ЕГЭ по математике.

А встретиться вам могут всевозможные уравнения – квадратные, а также уравнения высших степеней. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак корня (иррациональные) или знак модуля. Показательные и логарифмические. И для каждого из этих типов – свои методы и секреты решения.

Десятиклассникам будут особенно полезны темы: «Алгебраические уравнения», «Уравнения с модулем», «Иррациональные уравнения», «Системы алгебраических уравнений».

Квадратные уравнения

Алгебраические уравнения

Системы алгебраических уравнений

Показательные уравнения

Логарифмические уравнения

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения, 1

Простейшие тригонометрические уравнения, 2

Тригонометрические уравнения. Методы решения

Запомним главное – что нужно знать при решении уравнений:

— Корень уравнения – это такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

— Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

— Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

— Если в уравнении есть дроби, корни четной степени, логарифмы – значит, не забываем про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. 

— Если в уравнении можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Решение уравнения лучше всего оформлять в виде цепочки равносильных переходов.

— Решив уравнение, сделайте проверку. Действительно ли найденные вами ответы являются корнями уравнения?

— Если слева и справа в уравнении находятся функции разных типов – например, квадратичная и показательная, или логарифм и синус, — значит, оно решается или графически, или с использованием свойств этих функций, или методом оценки

Больше уравнений:

Задание 5 Профильного ЕГЭ по математике

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

Квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = — c$

$x_2 = {-c}/{a}$

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$

если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

Решение полного квадратного уравнения

Решение с помощью дискриминанта

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$

3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.

Устные способы

Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$

Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$

Кубические уравнения

Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3. решить получившееся целое уравнение;
4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$

Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

Например,

${2}/{x}+5x=7$ – рациональное уравнение

$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)

Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4. Решить получившееся целое уравнение;
5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b}={c}/{d}$ — пропорция, то $a·d=b·c$

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
2. Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
3. Решить полученное рациональное уравнение.
4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:

1. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
2. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n⋅a^m=a^{n+m}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

$a^n:a^m=a^{n-m}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n·m}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a·b)^n=a^n·b^n$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

$a^0=1$

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

$a^{-n}={1}/{a^n}$

${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$

Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.

Тренинг по решению алгебраических уравнений (подготовка к ЕГЭ)
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре на тему

Приведены 8 типов алгебраических уравнений, для каждого типа приведена подборка тренировочных упражнений.

Скачать:

Вложение	Размер
Тренинг. Алгебраические уравнения. Подготовка к ЕГЭ.	16.08 КБ

Предварительный просмотр:

Тренинг по теме

1. а) Приведенные алгебраические целые уравнения

х 3 – 7х 2 + 6 = 0

х 4 + 3х 3 – 13х 2 – 9х + 30 = 0

х 3 – 5х 2 + 8х – 6 = 0

х 3 – х 2 – 8х + 6 = 0

х 4 + х 3 – 4х 2 – 2х + 4= 0

х 4 + х 3 – 5х 2 + х – 6 = 0

х 5 – х 4 – 7х 3 + 7х 2 + 12х – 12 = 0

х 6 + х 5 – 7х 4 – 5х 3 +16х 2 + 6х –12 = 0

х 3 –3х 2 – 6 х + 8= 0

х 5 + 3х 4 + 2х 3 + 6х 2 + 2х + 6= 0

х 5 – 2 х 4 – 3х 3 + 6х 2 – 4 х + 8 = 0

х 6 – 2 х 5 – 2 х 4 + 6х 3 – 7х 2 + 8х –4 = 0

х 3 – 5х 2 + 6х = 0

х 3 – х 2 – 9х – 6 = 0

х 4 – 2х 3 + х 2 – 0,75 = 0

х 4 + 2х 3 + 5х 2 + 4х – 12 = 0

х 4 + 2х 3 – 4х 2 – 5х – 6 = 0

х 4 + 2х 3 – 18х 2 – 10х + 25 = 0

х 4 – 2х 2 – 400х = 9999

х 4 + 2х 3 – 18х 2 – 10х + 25 = 0

х 5 + 4х 4 – 3х 3 – 3 х 2 + 4х + 1 = 0

б) Неприведенные алгебраические целые уравнения

4х 5 + 4х 4 – 13х 3 – 6х 2 + 9х + 2 = 0

2х 3 – 5х 2 +8х – 3 = 0

6х 3 + 11х 2 – 3х – 2 = 0

4х 4 – 8х 3 + 3х 2 + 2х – 1 = 0

9х 3 + 12х 2 – 10х + 4 = 0

2х 5 – 3х 4 – 7х 3 + 8х 2 + 6х – 4 = 0

9х 6 + 6 х 5 – 17х 4 – 12х 3 + 7х 2 + 6х + 1 = 0

2х 4 + 3х 3 – 10х 2 – 5х – 6 = 0

3х 4 + 3х 3 – 8х 2 – 2х + 4 = 0

2х 4 – 2х 3 – 11х 2 – х – 6 = 0

6х 3 –5х 2 – 17 х + 6= 0

4х 6 – 4 х 5 – 5 х 4 – 3 х 3 – 7х 2 + х + 2 = 0

10х 3 – 3х 2 – 2х + 1 = 0

8х 4 + х 3 + 64х + 8 = 0

4х 4 + 8х 3 + х 2 – 3х – 1 = 0

2. Возвратные уравнения

х 4 – 2х 3 –22х 2 – 2 х + 1= 0

6х 4 – 35х 3 + 62 х 2 – 35х + 6 = 0

х 4 + 2х 3 – 22 х 2 + 2х + 1 = 0

2х 4 + 3х 3 – 16 х 2 + 3х + 2 = 0

2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13 х 2 + 5х + 2 = 0

х 4 + х 3 + х 2 + х +1 = 0

х 5 + 4х 4 – 3х 3 – 3х 2 + 4х + 1 = 0

2х 4 + 3х 3 – 4х 2 – 3х + 2 = 0

х 4 – 2х 3 – 5х 2 + 6х + 9 = 0

9х 4 – 18х 3 + 11х 2 – 18х + 9 = 0

3. Уравнения вида (х + а) 4 + (х + в) 4 = с

(х + 5) 4 + (х + 3) 4 = 2

х 4 + (х – 1) 4 = 17

(х + 3) 4 + (х + 5) 4 = 16

(х + 3) 4 + х 4 + 3 4 = 0

(х + 6) 4 + (х + 4) 4 = 82

(х –4) 4 + (х – 3) 4 = 8

(х 2 – х + 3) 2 – 3 (х 2 – х + 3) (2х 2 – х + 2) + 2 ( 2х 2 – х + 2) 2 = 0 3(х 2 – х + 1) 2 – 5(х + 1) (х 2 – х + 1) – 2 (х + 1) 2 = 0

(х–1) 4 + 9 (х + 1) 4 = 10 ( х 2 –1) 2

5. Уравнения вида (х + а) (х + в) (х + с) (х +d ) = p

(х + 1) (х + 2) (х + 3) (х +4 ) = 120

х (х + 2) (х + 3) (х + 5) = 72

(х – 4) (х –5) (х– 6) (х –7 ) = 1680

(х + 2) (х + 1) (х –3) (х +6 ) = –96

(х – 1) (х –2) (х– 3) (х –4 ) = 8

(х 2 + 4х + 3) (х 2 + 6х + = 0

х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = –0,75

6. Симметричные уравнения

2х 5 – х 4 – 6х 3 – 6х 2 – х + 2 = 0

7. Замена переменных

(2х 2 +3х – 3) 2 +3 (2х 2 + 3х + 5) 2 = 8

(х 2 +2х – 5) 2 +3 (2х 2 + 4х –1) 2 = 8

(х 2 + х – 1) (х 2 + х +1) = 2

8. Уравнения вида ƒ(ƒ(х)) = х

(х 2 – 2х + 4) 2 – 2 (х 2 – 2х +4) +4 = х

(х 2 – х – 3) 2 – (х 2 – х – 3) – 3 = х

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

решение алгебраических уравнений

дан разбор 4 уравнений типа С1 ЕГЭ по математике: дробных и иррациональных по материалам учебника Самаровой С.С.

Решение тригонометрических уравнений (подготовка к ЕГЭ)

Методы решения тригонометрических уравнений. Семинар.

Открытый урок по математике в 7 классе с применением ИКТ «Решение систем уравнений методом алгебраического сложения»

Урок-путешествие «Решение систем линейных уравнений методом алгебраического сложения» с применением ИКТ в 7 классе учебник А.Г. Мордкович.

Презентация к уроку «Решение систем уравнений методом алгебраического сложения» 7 кл

Презентация к открытому уроку-путешествию по математике в 7 классе «Решение систем уравнений методом алгебраического сложения». Учебник А.Г. Мордкович.

Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Предлагаемый урок разработан для обучения студентов специальности 230115 Программирование в компьютерных системах численным методам в программировании. Для итогового урока используется конспект-.

Рабочая программа элективного курса «Алгебра плюс: полиномиальные алгебраические уравнения. Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений, неравенств, систем»

Программа состалена на основе авторской программы элективного курса «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики».

Разработка урока математики в 11 классе «Решение алгебраических неравенств.Подготовка к ЕГЭ»

Разработка урока обобщения и систематизации знаний по теме : «Решение алгебраических неравенств.Подготовка к ЕГЭ» 11 класс. Математика.

Решение уравнений

В этом разделе – все основные способы и приемы решения уравнений на ЕГЭ по математике.

А встретиться вам могут всевозможные уравнения – квадратные, а также уравнения высших степеней. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак корня (иррациональные) или знак модуля. Показательные и логарифмические. И для каждого из этих типов – свои методы и секреты решения.

Десятиклассникам будут особенно полезны темы: «Алгебраические уравнения», «Уравнения с модулем», «Иррациональные уравнения», «Системы алгебраических уравнений».

Запомним главное – что нужно знать при решении уравнений

— Корень уравнения – это такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

— Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

— Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

— Если в уравнении есть дроби, корни четной степени, логарифмы – значит, не забываем про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

— Если в уравнении можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Решение уравнения лучше всего оформлять в виде цепочки равносильных переходов.

— Решив уравнение, сделайте проверку. Действительно ли найденные вами ответы являются корнями уравнения?

— Если слева и справа в уравнении находятся функции разных типов – например, квадратичная и показательная, или логарифм и синус, — значит, оно решается или графически, или с использованием свойств этих функций, или методом оценки

Уравнения, часть С

Теория к заданию 13 из ЕГЭ по математике (профильной)

Уравнения, часть $С$

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Схема решения сложных уравнений:

1. Перед решением уравнения надо для него записать область допустимых значений (ОДЗ).
2. Решить уравнение.
3. Выбрать из полученных корней уравнения то, которые удовлетворяют ОДЗ.

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

2. Подкоренное выражение, должно быть не отрицательным.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

Логарифмические уравнения

Для решения логарифмических уравнений необходимо знать свойства логарифмов: все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

6. Формула перехода к новому основанию

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

Проверим найденные корни по условиям $table< x^2-3x-5>0; 7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

• Метод замены переменной.

В данном методе надо:

Решите уравнение $log_<2>√x+2log_<√x>2-3=0$

1. Запишем ОДЗ уравнения:

$table< х>0,text»так как стоит под знаком корня и логарифма»; √х≠1→х≠1;$

2. Сделаем логарифмы по основанию $2$, для этого воспользуемся во втором слагаемом правилом перехода к новому основанию:

3. Далее сделаем замену переменной $log_<2>√x=t$

4. Получим дробно — рациональное уравнение относительно переменной t

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $t$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

5. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

6. Вернемся в п.3, сделаем обратную замену и получим два простых логарифмических уравнения:

Прологарифмируем правые части уравнений

Приравняем подлогарифмические выражения

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат

7. Подставим корни логарифмического уравнения в п.1 и проверим условие ОДЗ.

Первый корень удовлетворяет ОДЗ.

$<table 16 >0; 16≠1;$ Второй корень тоже удовлетворяет ОДЗ.

• Уравнения вида $log_x+log_x+c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению. После того, как корни уравнения будут найдены, надо отобрать их с учетом ОДЗ.

Дробно рациональные уравнения

• Если дробь равна нулю, то числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
• Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно-рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4. Решить получившееся целое уравнение;
5. Исключить из его корней те, которые не удовлетворяют условию ОДЗ.

• Если в уравнении участвуют две дроби и числители их равные выражения, то знаменатели можно приравнять друг к другу и решить полученное уравнение, не обращая внимание на числители. НО учитывая ОДЗ всего первоначального уравнения.

Показательные уравнения

Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

Виды показательных уравнений:

1. Простые показательные уравнения:

а) Вида $a^=a^$, где $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием ($а >0, a≠1$) равны только тогда, когда равны их показатели.

b) Уравнение вида $a^=b, b>0$

Для решения таких уравнений надо обе части прологарифмировать по основанию $a$, получается

2. Метод уравнивания оснований.

3. Метод разложения на множители и замены переменной.

• Для данного метода во всем уравнении по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^$.
• Сделать замену переменной $a^=t, t > 0$.
• Получаем рациональное уравнение, которое необходимо решить путем разложения на множители выражения.
• Делаем обратные замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

По свойству степеней преобразуем выражение так, чтобы получилась степень 2^x.

Сделаем замену переменной $2^x=t; t>0$

Получаем кубическое уравнение вида

Умножим все уравнение на $2$, чтобы избавиться от знаменателей

Разложим левую часть уравнения методом группировки

Вынесем из первой скобки общий множитель $2$, из второй $7t$

Дополнительно в первой скобке видим формулу разность кубов

Далее скобку $(t-1)$ как общий множитель вынесем вперед

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю

Решим первое уравнение

Решим второе уравнение через дискриминант

Получили три корня, далее делаем обратную замену и получаем три простых показательных уравнения

4. Метод преобразования в квадратное уравнение

• Имеем уравнение вида $А·a^<2f(x)>+В·a^+С=0$, где $А, В$ и $С$ — коэффициенты.
• Делаем замену $a^=t, t > 0$.
• Получается квадратное уравнение вида $A·t^2+B·t+С=0$. Решаем полученное уравнение.
• Делаем обратную замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

Способы разложения на множители:

• Вынесение общего множителя за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:

1. Определить общий множитель.
2. Разделить на него данный многочлен.
3. Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).

Разложить на множители многочлен: $10a^<3>b-8a^<2>b^2+2a$.

Общий множитель у данного многочлена $2а$, так как на $2$ и на «а» делятся все члены. Далее найдем частное от деления исходного многочлена на «2а», получаем:

Это и есть конечный результат разложения на множители.

Применение формул сокращенного умножения

1. Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе число и плюс квадрат второго числа.

2. Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

3. Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму.

4. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа.

5. Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа.

6. Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности.

7. Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы.

Метод группировки

Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.

Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$

Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак + и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками.

Далее из каждой группы вынесем общий множитель

После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.

Произведение данных скобок — это конечный результат разложения на множители.

С помощью формулы квадратного трехчлена.

Если имеется квадратный трехчлен вида $ax^2+bx+c$, то его можно разложить по формуле

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трехчлена

Все уравнения можно разделить на несколько групп:

— Целые рациональные уравнения

— Дробно-рациональные уравнения

— Иррациональные уравнения

— Тригонометрические уравнения

— Показательные уравнения

Каждая группа уравнений имеет свои особенности. На первый взгляд может показаться, что это очень большой материал и на его изучение понадобится много времени, однако на самом деле для подготовки в экзамену и выполнению задания номер 12 можно подготовиться достаточно быстро, используя верно подобранные материалы и разбирая примеры заданий

Комбинируя все представленные в данных материалах способы и обладая базовыми знаниями математики, можно успешно решить большинство уравнений, которые могут встретиться учащимся во время обучения в средней и старшей школе а так же успешно решить задания на данную тему в контрольно-измерительных материалах

СОВЕТ: после прохождения какой-либо темы в моём пособии, необходимо прорешать похожие уравнения (этой же группы) на одном из подобранных мной сайтов (смотрите ниже)

Часть I. Способы решения уравнений. Метод “Замена переменной”

Уравнение вида af²(x)+bf (x)+c=0 Такие уравнения (их иногда называют трехчленными) являются одними из наиболее распространенных. Скорее всего, самый известный и яркий пример этого типа уравнений — биквадратное уравнение ax⁴ + bx2 + c = 0 (здесь f (x) = x 2 ). Заменой переменной t = f (x) трехчленное уравнение сводится к квадратному относительно переменной t уравнению at² + bt + c = 0

Решить уравнение (2x² – 3x + 1) = 22x² – 33x + 1.

Решение:

Пример1

Перепишем уравнение в виде

(2x² – 3x + 1)² = 11(2x² – 3x) + 1. Произведем замену. Пусть 2x² – 3x = a, тогда уравнение примет вид:

(a + 1)² = 11a + 1.

a² + 2a + 1 = 11a + 1;

a² – 9a = 0.

В получившемся неполном квадратном уравнении вынесем общий множитель за скобки и получим следующее:

a(a – 9) = 0;

a= 0 или a= 9 (записывается как система).

2x² – 3x = 0 или 2x² – 3x = 9

x = 0 или x = 3/2 x = 3 или x = -3/2

Ответ: x=0, x=3, x=+-3/2

Пример 2

Решить уравнение (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297

Решение: Попытаемся перемножить между собой множители и получим

((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;

(x² + 5x – x – 5)(x² + 7x – 3x – 21) = 297;

(x² + 4x – 5)(x² + 4x – 21) = 297.

Замечаем замену x² + 4x = a, тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

(a – 5)(a – 21) = 297.

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:

a² – 21a – 5a + 105 = 297;

a² – 26t – 192 = 0.

По теореме Виета определяем, что корнями полученного уравнения будут числа -6 и 32.

После обратной замены будем иметь:

x² + 4x = -6 или x² + 4x = 32

x² + 4x + 6 = 0 x² + 4x – 32 = 0

D = 16 – 24 < 0 D = 16 + 128 > 0

Нет корней x1 = -8; x2 = 4

Ответ: x=-8; x=4

Метод “Применение свойств функции”

Некоторые (не обязательно целые) уравнения могут быть решены с помощью таких свойств функций, как монотонность и ограниченность. Приведем простой пример решения уравнения таким методом

Решим данное нам уравнение:

Решение.

Каждая из корней в правой части уравнения — возрастающая функция, которая при любом x будет принимать только положительные значения. Значит и их сумму тоже будет принимать значение больше или равные нулю. Значение в правой части уравнения меньше 0, из этого следует, что уравнение не будет иметь решения

Ответ: нет корней

Для дробно-рациональных уравнений метод “применения свойств” функции также будет очень эффективным

Алгебраические преобразования для решения уравнений

Одним из основных способов сведения уравнения к одному или нескольким простейшим являются алгебраические преобразования одной или обеих его частей, позволяющие свести дробно-рациональное уравнение к целому. В некоторых случаях для решения рациональных уравнений приходится применять искусственные приемы: добавление и вычитание одного и того же числа и т. п.

Тригонометрические уравнения

Основной идеей при решении тригонометрических уравнений является сведение большого многочлена к простейшему уравнению вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a. А потом они уже решаются при помощи числовой окружности. Но при этом для решения этого типа уравнений так же подходят изученные нами ранее способы: замена переменной, алгебраические преобразования и, конечно, применение свойств функции

Представленный выше пример является простейшим тригонометрическим уравнением вида tg x = a, который мы решали используя тригонометрический круг

Теперь рассмотрим пример уравнения, где необходимо выполнить преобразования для того, чтобы прийти к простейшему тригонометрическому уравнению

Теперь предлагаю разобрать одно из самых сложных заданий на эту тему по данным сайта Решуегэ.РФ

Логарифмические уравнения

Основная идея решения любого логарифмического уравнения —

сведение его к одному или нескольким простейшим уравнениям, а ос-

новными средствами реализации этой идеи являются следующие:

• равносильные преобразования,

• переход к уравнению-следствию,

• разложение на множители,

• замена переменной,

• применение свойств функций.

Решение большинства логарифмических уравнений после некото-

рых преобразований сводится к решению логарифмического уравне-

ния вида logh(x)

f (x)=logh(x)

g(x) или совокупности таких уравнений.

Приведем соответствующее равносильное преобразование:

Часть II. Решение систем уравнений. Системы целых алгебраических уравнений

Основными методами решения систем, содержащих нелинейные урав-

нения, являются следующие:

• подстановка,

• замена переменной,

• алгебраическое сложение,

• разложение на множители.

Рассмотрим пример решения систем целых алгебраических уравнений:

При возможности, нужно решать по одному уравнению день за днём. Причём я рекомендую делать так: 2 дня решать тригонометрические уравнения, 1 день показательные и 1 день логарифмические. Это будет наиболее эффективный метод подготовки к решению задания номер 12 из егэ по профильной математике

Ссылки для тренировки:

Тригонометрические уравнения

Иррациональные уравнения

Показательные уравнения

Уравнения смешанного типа

Банк заданий с уравнениями от ФИПИ

Материалы для подготовки к ЕГЭ. Онлайн-Справочник по математике.
Раздел 4 «Уравнения и системы уравнений» (§§ 14-16). Уравнения с одной переменной. Уравнения с двумя переменными. Система уравнений.

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

Раздел IV. Уравнения и системы уравнений

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

§ 14. Уравнения с одной переменной.

138. Определение уравнения. Корни уравнения.

139. Равносильность уравнений.

140. Линейные уравнения.

141. Квадратные уравнения.

142. Неполные квадратные уравнения.

143. Теорема Виета.

144. Системы и совокупности уравнений.

145. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

146. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни.

147. Уравнения с переменной в знаменателе.

148. Область определения уравнения.

149. Рациональные уравнения.

150. Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители.

151. Решение уравнений методом введения новой переменной.

152. Биквадратные уравнения.

153. Уравнения высших степеней.

154. Решение задач с помощью уравнений.

155. Иррациональные уравнения.

156. Показательные уравнения.

157. Логарифмические уравнения.

158. Показательно-логарифмические уравнения.

159. Простейшие тригонометрические уравнения.

160. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

161. Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

162. Однородные тригонометрические уравнения.

163. Универсальная подстановка.

164. Метод введения вспомогательного аргумента.

165. Графическое решение уравнений.

166. Уравнения с параметром.

§ 15. Уравнения с двумя переменными.

167. Решение уравнения с двумя переменными.

168. График уравнения с двумя переменными.

169. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

§ 16. Системы уравнений.

170. Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы.

171. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.

172. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения.

173. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных.

174. Определители второго порядка. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными.

175. Симметрические системы.

176. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными.

177. Системы трех уравнений с тремя переменными.

178. Определители третьего порядка. Исследование систем трех линейных уравнений с тремя переменными.

179. Системы показательных и логарифмических уравнений.

180. Системы тригонометрических уравнений.

 

---

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

Материалы для подготовки к ЕГЭ. Онлайн справочник по математике.
Раздел 4 «Уравнения и системы уравнений» (§§ 14-16). Уравнения с одной переменной. Уравнения с двумя переменными. Система уравнений.

Просмотров:
4 546