Решение ПРОЕКТа (перспективная модель) ЕГЭ 2022 по математике (профильный уровень). Демоверсия ФИПИ для 11 класса. Комплексные числа.
Задание 1.
Найдите корень уравнения 3x–5 = 81
ИЛИ
Найдите корень уравнения 
ИЛИ
Найдите корень уравнения log8 (5x + 47) = 3
ИЛИ
Решите уравнение . Если корней окажется несколько, то в ответ запишите наименьший из них.
Задание 2.
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.
ИЛИ
Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, равна 0,8, а вероятность того, что он прослужит более 2 лет, равна 0,6. Какова вероятность того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет?
Задание 3.
На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax2 + bx + c, где числа a, b и c – целые. Найдите значение f(−12).
Задание 4.
Треугольник ABC вписан в окружность с центром О. Угол ВАС равен 32°. Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.
ИЛИ
Площадь треугольника ABC равна 24, DE — средняя линия, параллельная стороне АВ. Найдите площадь треугольника CDE.
ИЛИ
В ромбе ABCD угол DBA равен 13°. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.
ИЛИ
Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
Задание 5.
Найдите sin2α, ecли cosα = 0,6 и π < a < 2π.
ИЛИ
Найдите значение выражения 16·log74√7
ИЛИ
Найдите значение выражения 41/5·169/10
Задание 6.
В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.
ИЛИ
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
ИЛИ
Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1:2, считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?
Задание 7.
На рисунке изображён график дифференцируемой функции у = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, … x9. 
Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.
ИЛИ
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
ИЛИ
На рисунке изображён график y = f ‘(x) – производной функции f (x), определённой на интервале (−9;12) . В какой точке отрезка [−8;11] функция f (x) принимает f (x) наибольшее значение?
Задание 8.
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением
где с = 1500 м/с — скорость звука в воде, f0 – частота испускаемого сигнала (в МГц), f – частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.
Задание 9.
Весной катер идёт против течения реки в 1 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
ИЛИ
Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?
ИЛИ
Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 15 минут после обгона?
Задание 10.
Симметричную игральную кость бросили три раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало три очка»?
ИЛИ
В городе 48% взрослого населения мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причем доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для проведения исследования социологи случайным образом выбрали взрослого мужчину, проживающего в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Задание 11.
Про комплексное число z известно, что |z − 4 − 7i| = |z + 4 − i|. Найдите наименьшее значение |z|.
Задание 12.
Найдите наименьшее значение функции
y = 9x – 9ln(x + 11) + 7
на отрезке [–10,5 ; 0].
ИЛИ
Найдите точку максимума функции y = (x + 
2 ∙ e3–x
ИЛИ
Найдите точку минимума функции
Задание 13.
Решите уравнение
Задание 15.
а) Решите неравенство
ИЛИ
б) Решите уравнение
ИЛИ
в) Решите систему
Задание 16.
15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
Задание 18.
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Источник варианта: fipi.ru
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 4
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
Каким был ЕГЭ по математике в 2022 году?
Мы знаем, что в 2022 году формат ЕГЭ по математике изменился. Поменялась нумерация заданий. Добавились новые задачи: №9 (Функции и графики) и № 10 (Теория вероятностей). И в первой части стало на 1 задачу меньше.
Во второй части ЕГЭ также произошли изменения.
«Экономическая» задача, которая теперь под № 15, оценивается уже не в 3, а только в 2 первичных балла.
А вот задача по стереометрии, №13, наоборот, «подорожала» и теперь оценивается в 3 балла.
Расскажем о заданиях 2 части ЕГЭ, задачах 13-18, а затем подробно разберем различные типы таких задач.
Задание 12, уравнения. Все стандартно, просто тригонометрия.
Задание 13, стереометрия. По сравнению с прошлыми годами сложность значительно выше. Здесь и теорема Менелая, и произвольная призма, и пересечение сфер.
Задача 14, неравенство. Все стандартно – показательное неравенство, замена переменной. Помним о секретах решения таких задач! Сделав замену, сначала полностью решаем неравенство для новой переменной, затем возвращаемся к первоначальной.
Задача 15, экономическая. В 2022 году были только кредиты и вклады. Обошлись без задач на оптимизацию.
Задача 16, планиметрия. Простые задания, без затей. Подобные треугольники, теорема косинусов, свойство биссектрисы треугольника, в общем, обязательная школьная программа по геометрии.
Задание 17, задачи с параметрами. Составители вариантов порадовали разнообразием: был и графический метод, и аналитический. И решение квадратных уравнений с параметрами. И в каждом задании присутствовали модули, так что кто эту тему не знает, надо повторить!
Изучить «параметры» с нуля можно с помощью Видеокурса Анны Малковой
Полный курс, 26 часов видео, 13 видеоуроков. 11 методов решения задач с параметрами.
И наконец, задание 18, задачи на числа и их свойства. Все типы заданий – новые, нестандартные. Числа на круге, использование делимости и остатков.
Освоить эту необычную задачу можно с помощью видеокурса Анны Малковой.
Полный курс, 10 видеоуроков по 2 часа. 11 методов решения задач на числа и их свойства.
А теперь подробно о каждом задании ЕГЭ-2022, 2 часть.
Уравнения на EГЭ -2022 по математике, задача 12
Cтереометрия на EГЭ-2022 по математике, задача 13
Hеравенства на EГЭ-2022 по математике, задача 14
Экономические задачи и финансовая математика на ЕГЭ-2022, задача 15
Планиметрия на EГЭ-2022 по математике, задача 16
Задачи с параметрами на ЕГЭ-2022: модули, окружности, квадратные уравнения
Задача 18 на числа и их свойства на ЕГЭ-2022 по математике
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «ЕГЭ-2022, математика. Все задачи с решениями» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.
Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.
1 способ – находим формулу по точкам
Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.
Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:
Алгоритм:
1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:
2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.
3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.
4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.
Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:
2 способ – преобразование графиков функций
Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).
Вот как выглядит применение этого способа:
Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:
И понимать, как меняются функции от преобразований:
Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:
Пример:
3 способ – гибридный
Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).
По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).
Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.
Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию
— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:
— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:
— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:
— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:
— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:
В 2022 задание 9 по математике профильного уровня изменилось — появился новый формат, проверяющий знание свойств параболы. Номер вызывает вопросы у учеников, но на деле решается просто. В статье разберем правила выполнения задания 9 ЕГЭ по математике.
Способы решения номера
9 задание по математике профильного уровня 2022 получится решить четырьмя методами.
Первый вариант
Начнем с простого способа, не требующего глубокого понимания темы. Условие выглядит следующим образом:
Присмотревшись к картинке задания 9 по профильной математике, видим: график содержит целочисленные точки. Отметим их на изображении (экзамен разрешает использовать текст КИМа). Решение требует минимум три точки:
Видим: в точке «-4» ордината равна «-3». Запишем уравнение, подставив значения значения абсциссы и ординаты:
16a — 4b + c = -3
Аналогичным образом записываем выражение, используя две остальные точки:
9a — 3b + c = -2
4a — 2b + c = 1
Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными. Решить достаточно легко. Простейший вариант: вычесть последнюю строчку из первых двух, избавившись от коэффициента “c”. После первое уравнение сокращаем на «2», вычитаем из него второе. Находим: a = 1. Подставляем далее, получаем:
b = 8;
c = 13.
Имея коэффициенты, переписываем уравнение, подставляем значение абсциссы:
f(x) = x2 + 8x + 13
f(-12) = 144 — 96 + 13 = 61
Второй вариант
Мы решили 9 задание по математике профилю наиболее простым способом. Однако вычисления получится сократить. Построим локальную систему координат около вершины параболы:
Видим особенность параболы: в точке «1» ордината равна 1, в точке «2» — 4. Представленный график отражает классическое выражение: y = x2, сдвинутое в системе координат. Известно: преобразования не меняют старший коэффициент. Делаем вывод, “a” равно “1”. Теперь найдем “b”. Используем выражение вершины параболы: x0 = -b / 2a. По рисунку видно: x0 = -4. Поставляя это число, найденное значение “a”, находим: b = 8. Дальнейшее решение требует одного уравнения из первого способа. Теперь выполнить номер проще.
Третий вариант
9 задание по математике профильного уровня реально упростить еще сильнее. Изучим способ образования данной параболы. Она получилась путем смещения исходной на “4” налево и на “3” вниз. Запишем уравнения. Изначальный пример:
y = x2
Сдвиг влево записывается:
y = (x + 4)2
Сдвиг вниз:
y = (x + 4)2 — 3
Получаем готовое уравнение, достаточно подставить “-12”. Ответ аналогичный: 61.
Четвертый вариант
Рассмотрим последний способ выполнения задания 9 по профильной математике 2022, требующий логического мышления. Снова изучим локальную систему координат:
Сравнивая с изначальной, получим: абсцисса «-12» из условия представляет собой значение «-8» локальной системы. Это связано со сдвигом. Ордината соответственно равна “64”. Не забываем: парабола сдвинута также на три пункта вниз. Получается, итоговое значение будет на 3 меньше найденного. Ответ снова 61!
В статье мы разобрали способы решения нового 9 задания из ЕГЭ по математике. Хотите изучить принципы выполнения остальных номеров? Записывайтесь на курсы «Уникум» Российского университета дружбы народов. Обучение проходит под руководством опытных преподавателей, форматы — очный, дистанционный. Для закрепления материала существует учебный портал Unikum.
Содержание данной статьи носит ознакомительный характер. При подготовке к сдаче ЕГЭ пользуйтесь дополнительными источниками информации!
В прошлые годы мы его встречали в экзаменационных работах под пятым номером.
Данная опорная таблица по сути является кратким информационным конспектом. С её помощью вы легко сможете:
— Вспомнить какие виды уравнений входят в блок первого задания;
— Наглядно увидеть основные особенности каждого вида;
— Проанализировать процесс решения уравнений;
-На основание разобранного решения составить для себя «алгоритм» действий при решении простейших уравнений;
-Повторить основные темы из курса математики, которые используются при решении заданий первого блока.
Скачать опорный конспект
27 августа 2021
В закладки
Обсудить
Жалоба
Разбираем задачи 1-18 демоверсии профильного уровня.
00:00 — что изменилось и почему вариант стал сложнее.
06:20 — первая часть.
51:28 — вторая часть.
Источник: t.me/hyperuliia/22
Задание 1
| 1.1 | Найдите корень уравнения 3^{x-5}=81. | Смотреть видеоразбор |
| 1.2 | Найдите корень уравнения sqrt{3x+49}=10. | Смотреть видеоразбор |
| 1.3 | Найдите корень уравнения log_8(5x+47)=3. | Смотреть видеоразбор |
| 1.4 | Решите уравнение sqrt{2x+3}=x. | Смотреть видеоразбор |
Задание 2
| 2.1 | В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене выпускнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах. | Смотреть видеоразбор |
| 2.2 | Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, равна 0,8, а вероятность того, что он прослужит более 2 лет, равна 0,6. Какова вероятность того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет? | Смотреть видеоразбор |
Задание 3
| 3.1 | Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах. | Смотреть видеоразбор |
| 3.2 | Площадь треугольника ABC равна 24; DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE. | Смотреть видеоразбор |
| 3.3 | В ромбе ABCD угол DBA равен 13°. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах. | Смотреть видеоразбор |
| 3.4 | Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма. | Смотреть видеоразбор |
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
| 7.1 | Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением
v=c cdot frac{f-f_0}{f+f_0}
, где c = 1500 м/с – скорость звука в воде, f0 – частота испускаемого сигнала (в МГц), f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с. |
Смотреть видеоразбор |
Задание 8
| 8.1 | Весной катер идёт против течения реки в 1 frac{2}{3} раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 frac{1}{2} раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч). | Смотреть видеоразбор |
| 8.2 | Смешав 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 72%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-ного раствора использовали для получения смеси? | Смотреть видеоразбор |
| 8.3 | Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 15 минут после обгона? | Смотреть видеоразбор |
Задание 9
| 9.1 | На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax^2+bx+c=0, где числа a, b, c — целые. Найдите значение f(-12). |
Смотреть видеоразбор |
Задание 10
| 10.1 | Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»? | Смотреть видеоразбор |
| 10.2 | В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером». | Смотреть видеоразбор |
Задание 11