Алгоритм решения задач с параметрами егэ

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Анна Малкова

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №17.

И знать здесь действительно нужно много.

Лучше всего начать с темы «Элементарные функции и их графики».

Повторить, что такое функция, что такое четные и нечетные функции, периодические, взаимно обратные.

Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

Освоить преобразования графиков функций и приемы построения графиков.

И после этого – учимся решать сами задачи №17 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Базовые элементы для решения задач с параметрами

Графический способ решения задач с параметрами

Квадратичные уравнения и неравенства с параметрами

Использование четности функций в задачах с параметрами

Условия касания в задачах с параметрами

Метод оценки в задачах с параметрами 

Вот пример решения и оформления задачи с параметром

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 18

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».

3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 17 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

23 апреля 2017

В закладки

Обсудить

Жалоба

Параметры. От простого к сложному. Практикум по решению задач

Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики и требует большого количества времени на их изучение.

Теоретическое изучение физических процессов, решение экономических задач часто приводит к различным уравнениям или неравенствам, содержащим параметры, и необходимой частью их решения является исследование характера процесса в зависимости от значений параметров. Таким образом, задачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи.

Автор: Агашкова Надежда Анатольевна.

pr-sl-p.pdf

Доклад  на
ШМО

 «Задачи с
параметрами  на ЕГЭ».

Определение. Параметром
называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным
фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим
заранее оговоренному множеству.

Что означает «решить задачу с
параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если,
например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность,
то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения
параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному
множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при
которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет
объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных
значений параметра.

Более прозрачное понимание того, что означает решить
задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами
решения задач на последующих страницах.

 Какие основные типы задач с
параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их
системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения
параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее
оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой
«Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при
решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их
системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в
зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаю внимание на то, что при решении задач данного
типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и
совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве
случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным
затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда
прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем
получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их
системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра,
при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют
заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество
решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле
обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их
системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество
решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения
переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества
решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с
параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии),
но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к
одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы
основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром —
задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает
основные способы решения задач именно этого класса.

 Каковы основные способы
(методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ
так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения
ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в
хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий.  Аналитический способ
решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой
грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости
от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в
координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная
наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько
увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать
другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их
авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и
с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии
изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра).
При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и
выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается
более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу
переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейду теперь к демонстрации указанных способов
решения задач с параметром, так как это мой любимый метод решения заданий
данного типа.

Проанализировав
все задания с параметрами, решаемыми графическим методом, я знакомство с
параметрами начинаю с заданий ЕГЭ   2018 года :

 При
каком целом значении к уравнение 45х – 3х² – х³ + 3к =
0 имеет ровно два корня ?

Эти
задания позволяют, во первых, вспомнить как строить графики с использованием
производной, а во-вторых, объяснить смысл прямой у = к.

Подготовку такого ученика учитель проводит в несколько
этапов, выделяя для тренировки отдельных навыков, необходимых для поиска и
реализации длинных решений, отдельные уроки. Эта подборка подходит для стадии
формирования представлений о плавающих рисунках в зависимости от параметра..
Задачи выстроены в порядок возрастания их сложности.

Задание  из
ЕГЭ-2020

При каких значениях
параметра a уравнение имеет не
менее двух корней.

Решим эту задачу
графически. Построим график левой части уравнения:  
и график правой части:   и сформулируем вопрос
задачи так: при каких значениях параметра  a графики функций  и  имеют две или более
общих точки.

В левой части
исходного уравнения параметр отсутствует, поэтому мы можем построить график
функции .

Будем строить это
график с помощью линейных
преобразований графика функции :

1. Сдвинем график
функции  на 3 единицы вниз вдоль оси OY,
получим график функции :

2. Построим график
функции . Для этого часть
графика функции , расположенную ниже оси ОХ,
отобразим симметрично относительно этой оси:

Итак, график
функции  имеет вид:

График функции  представляет собой семейство прямых с переменным
коэффициентом наклона, равным а, сдвинутых на 1 единицу вниз вдоль оси OY. То
есть точка с координатами (0;1) представляет собой центр вращения этого
семейства прямых:

Рассмотрим положения
прямой , в которых она имеет более
одной точки пересечения с графиком функции :

Прямые АВ и АС имеют
две точки пересечения с графиком функции. Все прямые, расположенные между ними
имеют 3 точки пересечения с графиком функции  .

Чтобы найти
коэффициент наклона прямой АВ, найдем абсциссу  точки  В.

Точка В – это точка
пересечения графика функции  с осью ОХ. В этой
точке у=0. Получим уравнение: , отсюда . Коэффициент а наклона прямой АВ равен тангенсу угла BAD
треугольника ABD и равен 

Найдем коэффициент
наклона прямой АС. Точка С – это точка, в которой прямая 
касается графика функции  (точка С принадлежит части графика
функции , отображенной симметрично относительно
оси ОХ). То есть это точка, в которой графики функции  
 и  имеют одну общую точку.

Теперь нам нужно
найти значение параметра а, при котором уравнение   имеет
одно решение.

Умножим обе части
уравнения на х и перенесем все слагаемые влево. Получим квадратное
уравнение  Это уравнение  имеет
единственный корень, если дискриминант равен нулю.

,    Таким образом, уравнение  имеет два решения, если 
или

Уравнение
имеет три решения, если 

 Задание из ЕГЭ 2021

Найдите все значения a, при каждом из которых
уравнение

имеет ровно два различных корня.

Решение:

Корнями
исходного уравнения являются корни уравнения для которых выполнено
условие 
Поскольку уравнение задаёт
на плоскости Oxa пару прямых l₁ и l₂,
заданных уравнениями a=2x и a=−2x соответственно. Значит, это уравнение имеет
один корень при a=0 и имеет два корня при a≠0.
Поскольку

уравнение задаёт пару прямых m₁ и m₂,заданных
уравнениями a=x+3 и a=−x−3 соответственно.
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m_1, являются
решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₁ пересекаются в точке
(3;6).
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₂ являются
решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₂ пересекаются в точке
(−1;−2).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₁ являются
решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₁ пересекаются в точке
(1;−2).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₂ являются
решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₂ пересекаются в точке
(3;−6).
Следовательно, условие выполнено для корней уравненияпри всех a , кроме
a=−6, a =−2, a=2 и a=6 . Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два
корня при 

Ответ:

Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.

Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.

«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.

Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.

Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;

применение теоремы Виета в задачах с параметром;

расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;

более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.

Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром

Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.

На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:

• Начать заниматься бесплатно.
• 
  Купить доступ к этой задаче в составе
  экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.