Аналитическая геометрия мфти программа экзамена

А. Векторная алгебра. Базис и система координат

Понятие
линейного пространства, примеры линейных пространств (для потока
В.Т.Петровой). Векторы,
коллинеарные, компланарные векторы. Умножение векторов на числа, сложение
векторов. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Базис, координаты
векторов в базисе. Действия над векторами в координатах. Общая декартова
система координат, прямоугольная система. Изменение координат вектора при
замене базиса. Формулы перехода от одной общей декартовой системы координат к
другой, от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной
системе. Полярная система координат.
Скалярное
произведение, его свойства, выражение в ортонормированном базисе. Формулы для
определения расстояния между точками и угла между векторами. Ориентированные
тройки векторов. Векторное произведение, его свойства, выражение в
ортонормированном базисе. Смешанное произведение, объём ориентированного
параллелепипеда. Свойства смешанного произведения, его выражение в
произвольном базисе. Выражение условий коллинеарности и компланарности
векторов через векторное и смешанное произведения.

Для потоков Д.В.
Беклемишева и В.Т. Петровой: Взаимный базис. Свойства взаимного базиса.
Выражение векторного произведения во взаимном базисе.

Б. Прямая и плоскость

Понятие об уравнении множества. Алгебраические линии
и поверхности, их порядок, сохранение порядка при переходе от одной декартовой
системы координат к другой.
Прямая на плоскости, уравнение прямой на плоскости в
декартовой системе координат. Различные формы задания прямой, их
равносильность. Формула для расстояния от точки до прямой в прямоугольной
системе координат. Условия пересечения и параллельности двух прямых. Линейные
неравенства с двумя переменными. Пучок прямых.
Плоскость,
уравнение плоскости в декартовой системе координат в пространстве. Различные
способы задания плоскости, их равносильность. Формула для расстояния от точки
до прямой в прямоугольной системе координат. Условие параллельности двух
плоскостей.

Для потоков Д.В. Беклемишева и В.Т. Петровой: Условие пересечения трех плоскостей в одной точке. Связка
плоскостей.
Прямая
в пространстве, координатные и векторные способы заданяи прямой, их
равносильность. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Цилиндрические и коническое поверхности.

В. Линии и поверхности второго порядка

Эллипс, гипербола, парабола их канонические
уравнения. Теоремы о фокусах и директрисах. Асимптоты гиперболы. Касательные к
эллипсу, гиперболе, параболе.
Классы линий, задаваемых каноническими уравнениями
второго порядка с двумя переменными. Приведение уравнения второго порядка с
двумя переменными к каноническому виду в прямоугольной системе координат.

Для
всех потоков, кроме потока А.Е. Умнова: Центральные линии, условия
центральности. Сопряженные диаметры (кроме потока В.Т. Петровой).

Для потока Д.В. Беклемишева:
Асимптотические направления.
Поверхности
вращения. Канонические уравнения, основные сечения и внешний вид эллипсоида,
параболоидов и гиперболоидов. Прямолинейные образующие.

Для потока
В.Т. Петровой: Понятие квадрики, приведение трехмерной квадрики к
каноническому виду. Классификация трехмерных квадрик.

Г. Аффинные преобразования плоскости

Отображения и преобразования. Произведение
(композиция) отображений, обратное отображение.
Линейные
преобразования, их свойства. Аффинные преобразования, их свойства.
Ортогональные преобразования. Теорема о разложении аффинного преобразования в
произведение ортогонального и двух сжатий.

Для потоков Д.В.
Беклемишева и В.Т. Петровой: Понятие о группе.

Для потока В.Т.
Петровой: Группа преобразований множества, группа аффинных преобразований
плоскости и ее подгруппы.

Д. Матрицы, определители n-го порядка. Системы линейных уравнений

Матрицы, линейные операции с матрицами.
Определение и простейшие свойства определителя
(детерминанта). Миноры, алгебраические дополнения, разложение определителя по
строке (столбцу). Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.
Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о
ранге матрицы.
Произведение
матриц. Его свойства. Обратная матрица.

Для потока А.Е. Умнова:
Ортогональная матрица. Ее свойства.