Аналитическая механика мфти программа экзамена

Билеты к экзамену по аналитической механике ЛФИ (поток А.П. Маркеева)

Осенний семестр

1. Скорость и ускорение точки. Естественный трехгранник. Разложение ускорения точки на тангенциальное и нормальное. Криволинейные координаты. Основной и взаимный базисы. Коэффициенты Ламе. Ковариантные и контравариантные компоненты вектора скорости точки в криволинейных координатах.

2. Задание движения твердого тела. Углы Эйлера. Теорема Эйлера о конечном перемещении твердого тела, имеющего неподвижную точку.

3. Скорости и ускорения точек твердого тела в общем случае его движения. Угловая скорость. Угловое ускорение. Частные случаи: вращение твердого тела вокруг неподвижной оси, вращение вокруг неподвижной точки. Плоское движение твердого тела. Мгновенный центр скоростей.

4. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки. Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки.

5. Сложение мгновенных вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей. Пара вращений.

6. Кинематические инварианты. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось. Общий случай сложения нескольких мгновенных движений твердого тела. Приведение общего случая к случаям простейших мгновенных движений.

7. Свободные и несвободные системы. Связи, их классификация. Системы голономные и неголономные. Действительные и виртуальные перемещения. Число степеней свободы системы. Идеальные связи. Выражение реакций идеальных связей при помощи их уравнений и неопределенных множителей Лагранжа.

8. Элементарная работа сил системы. Работа сил, приложенных к твердому телу. Силовое поле. Силовая функция. Потенциальная энергия. Элементарная работа сил системы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их вычисление.

9. Центр масс (центр инерции) системы. Понятие о движении системы относительно центра масс, кениговы системы координат. Количество движения. Теорема об изменении количества движения системы в инерциальной системе отсчета. Теорема о движении центра масс.

10. Тензор и эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси или вокруг неподвижной точки. Кинетическая энергия твердого тела в частных случаях: поступательного движения, вращения вокруг неподвижной оси, вращения вокруг неподвижной точки, произвольного свободного движения, плоского движения.

11. Момент количества движения (кинетический момент) относительно заданного центра. Соотношение между его значениями для различных центров. Теорема Кенига о вычислении кинетического момента. Теорема об изменении кинетического момента в инерциальной системе отсчета.

12. Кинетическая энергия системы, теорема Кенига о вычислении кинетической энергии. Теорема об изменении кинетической энергии в инерциальной системе отсчета. Вириал, теорема о вириале.

13. Основные теоремы динамики в неинерциальной системе отсчета. Переносная и кориолисова силы инерции. Основные теоремы динамики для движения относительно центра масс.

14. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Уравнения плоского движения твердого тела.

15. Дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера. Случай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки: первые интегралы динамических уравнений, перманентные вращения, геометрическая интерпретация Пуансо.

16. Регулярная прецессия твердого тела в случае Эйлера. Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного твердого тела, основная формула гироскопии. Понятие об элементарной теории гироскопов.

17. Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Дифференциальные уравнения Эйлера–Пуассона и их первые интегралы. Понятие о случаях интегрируемости Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.

18. Анализ движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случае Лагранжа.

19. Движение свободной материальной точки под действием центральных сил: закон площадей, формулы Бине.

20. Задача двух тел. Уравнения движения. Интеграл площадей, второй закон Кеплера. Интеграл энергии. Интеграл Лапласа.

21. Задача двух тел. Уравнение орбиты, первый закон Кеплера. Зависимость характера орбиты от величины начальной скорости. Третий закон Кеплера.

22. Сплошная среда. Объёмные и поверхностные силы. Напряжения. Тензор напряжений.

23. Задание положения и движения сплошной среды. Переменные Лагранжа и Эйлера. Перемещения, скорости и ускорения точек сплошной среды в переменных Лагранжа. Ускорения точек среды в переменных Эйлера.

24. Бесконечно малое перемещение элементарного объема сплошной среды. Теорема Гельмгольца. Тензоры деформаций и скоростей деформаций.

25. Уравнения динамики сплошной среды. Уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости. Уравнения Навье–Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости.

26. Уравнения Лагранжа первого рода.

27. Принцип Даламбера–Лагранжа (общее уравнение динамики) — необходимое и достаточное условие, выделяющее действительные движения системы из ее кинематически возможных движений.

28. Принцип виртуальных перемещений (общее уравнение статики) — необходимое и достаточное условие равновесия системы с идеальными удерживающими связями.

29. Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах. Принцип виртуальных перемещений в случае потенциального поля сил.

30. Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения). Физический смысл принципа Гаусса. Экстремальное свойство реакций связей. Принцип прямейшего пути Герца.

31. Общее уравнение динамики в обобщенных координатах. Уравнения Лагранжа второго рода.

32. Уравнения Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно обобщенных ускорений.

33. Теорема об изменении полной механической энергии голономной системы. Случай консервативной системы. Гироскопические силы. Диссипативные силы, функция Релея.

34. Обобщенный потенциал. Натуральные и ненатуральные системы. Первые интегралы лагранжевых систем.

35. Интеграл Якоби. Уравнения Якоби.

36. Принцип Гамильтона–Остроградского: прямой и окольный пути голономной системы, принцип Гамильтона–Остроградского, случай потенциального поля. Действие по Гамильтону, понятие о характере экстремума действия по Гамильтону.

37. Ковариантность уравнений Лагранжа второго рода в общем случае, когда производится замена и обобщенных координат, и времени.

38. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы. 

39. Теоремы Ляпунова об обращении теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы.

40. Изоэнергетическое варьирование, принцип Мопертюи–Лагранжа, понятие о характере экстремума действия по Лагранжу.

41. Принцип Якоби и геодезические линии в координатном пространстве. Сопоставление оптического принципа Ферма и принципа Мопертюи–Лагранжа.

Весенний семестр

1. Понятие об устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости движения. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению для установившихся движений. Критерий Рауса-Гурвица. Понятие о критических случаях в теории устойчивости.


2. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы. Теоремы Ляпунова об обращении теоремы Лагранжа.

3. Линеаризация уравнений движения консервативной системы в окрестности ее положения равновесия. Нормальные координаты и нормальные колебания.


4. Колебания консервативной системы под действием внешних периодических сил. Резонанс в вынужденных колебаниях. Влияние внешних периодических сил на малые колебания склерономной системы.


5. Классификация особых точек на плоскости. Предельные циклы. Понятие об автоколебаниях.


6. Фазовая плоскость консервативной системы с одной степенью свободы. Равновесия, периодические движения, сепаратрисы.


7. Элементы теории бифуркаций: бифуркации «смена устойчивости» и «седло–узел», бифуркация «вилки».


8. Элементы теории бифуркаций: бифуркация Андронова–Хопфа рождения (исчезновения) цикла.


9. Понятие о методе нормальных форм в теории нелинейных колебаний.


10. Понятие о методе усреднения. Построение первого приближения по малому параметру для дифференциальных уравнений в стандартной форме.


11. Канонические уравнения Гамильтона. Физический смысл функции Гамильтона. Обобщенно консервативные системы. Интеграл Якоби.


12. Уравнения Уиттекера для консервативных и обобщенно консервативных систем. Время и энергия как канонически сопряженные переменные.


13. Уравнения Рауса. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения при помощи уравнений Рауса в случае существования циклических координат. Приведенный потенциал.


14. Скобки Лагранжа. Скобки Пуассона и их свойства. Скобки Пуассона и первые интегралы. Теорема Якоби–Пуассона.


15. Понятие канонического преобразования. Симплектичность (или обобщенная симплектичность) матрицы Якоби преобразования – необходимое и достаточное условие его каноничности. Критерии каноничности преобразования, выраженные через скобки Лагранжа, скобки Пуассона и посредством дифференциальной формы.


16. Канонические преобразования и процесс движения. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Инвариантность скобок Пуассона при канонических преобразованиях.


17. Свободное каноническое преобразование и его производящая функция. Каноническое преобразование с производящей функцией, зависящей от старых координат и новых импульсов. Получение новой функции Гамильтона при каноническом преобразовании.


18. Уравнение Гамильтона–Якоби. Полный интеграл. Теорема Якоби.

19. Разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби. Примеры.


20. Переменные действие–угол для системы с одной степенью свободы. Понятие о переменных действие–угол для систем с несколькими степенями свободы.


21. Понятие интегрируемости гамильтоновых систем. Теорема Лиувилля об интегрируемости гамильтоновых систем в квадратурах. Представление движения на инвариантных торах.

22. Классическая теория возмущений. Нерезонансный и резонансный случаи в теории возмущений. Проблема малых знаменателей.


23. Преобразование Биркгофа.


24. Канонические преобразования, близкие к тождественным и их применение в теории возмущений (на примере маятника, точка подвеса которого совершает периодические вертикальные вибрации).


25. Параметрический резонанс в гамильтоновой системе с одной степенью свободы (на примере уравнения Матье).


26. Понятие адиабатического инварианта. Теорема Арнольда о вечном сохранении адиабатического инварианта в периодической по времени гамильтоновой системе с одной степенью свободы (без доказательства).


27. Понятие интегрального инварианта. Теорема об универсальном интегральном инварианте Пуанкаре и ее обращение. Теорема Ли Хуа-чжуна о единственности интегрального инварианта Пуанкаре (без доказательства).


28. Теорема об интегральном инварианте Пуанкаре–Картана и ее обращение.


29. Регулярные и хаотические аттракторы. Детерминированный хаос. Метод поверхностей сечения Пуанкаре. Понятие о фрактале и фрактальной размерности множеств.


30. Логистическое (квадратичное) отображение. Сценарий перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Универсальности Фейгенбаума.


31. Интегрируемые системы Гамильтона. Понятие об их невырожденности и изоэнергетической невырожденности.


32. Формулировка основной теоремы КАМ-теории (теории Колмогорова–Арнольда–Мозера) для гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. Понятие о механизме разрушения инвариантных торов.


33. Замена обобщенных координат и времени в уравнениях Лагранжа второго рода. Теорема Э. Нетер.


34. Теорема Э. Нетер. Связь законов сохранения (первых интегралов) со свойствами пространства и времени

Билеты к экзамену по аналитической механике ФПМИ (поток А.П. Иванова)

Осенний семестр

1. Аксиомы классической механики (законы Ньютона). Преобразования Галилея. Понятие об инвариантности и ковариантности уравнений механики.

2. Кинематика точки. Проекция скорости и ускорения точки на оси сопровождающего трехгранника.

3. Криволинейные координаты точки. Разложение скорости и ускорения в локальном базисе криволинейной системы координат. Второй закон Ньютона в общековариантной форме (уравнения Лагранжа для свободной материальной точки).

4. Способы задания ориентации твердого тела: углы Эйлера, направляющие косинусы.

5. Теорема Эйлера о конечном повороте. Алгебра кватернионов. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела.

6. Формулы сложения поворотов твердого тела в кватернионах. Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона).

7. Угловая скорость твердого тела. Формула Эйлера для распределения скоростей в твердом теле. Формула Ривальса для распределения ускорений в твердом теле.

8. Кинематика сложного движения. Законы сложения скоростей и ускорений точек в сложном движении. Формула Кориолиса.

9. Формулы для угловой скорости и углового ускорения тела в сложном движении.

10. Кинематические уравнения Эйлера.

11. Теоремы об изменении импульса и момента импульса системы материальных точек в инерциальном базисе.

12. Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема Кёнига.

13. Работа и мощность силы. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек в инерциальном базисе. Потенциальное поле. Теорема об изменении полной энергии. Случай консервативной системы.

14. Движение материальной точки в центральном поле. Первые интегралы. Компланарность орбиты. Уравнение Бине. Случай ньютоновского гравитационного поля.

15. Задача двух тел. Законы Кеплера.

16. Cилы инерции. Применение основных теорем динамики в неинерциальных системах отсчета.

17. Геометрия масс твёрдого тела:  тензор инерции и эллипсоид инерции, главные оси инерции, теорема Гюйгенса-Штейнера для тензора инерции. 

18. Формулы для кинетической энергии и кинетического момента твёрдого тела.

19. Динамические уравнения Эйлера твёрдого тела с неподвижной точкой.

20. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера). Первые интегралы уравнений движения. Геометрические интерпретации Пуансо и Мак-Куллага.

21. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Параметры свободной регулярной прецессии.

22. Момент, поддерживающий вынужденную регулярную прецессию динамически симметричного тела с неподвижной точкой. Основная формула гироскопии. Приближенная формула гироскопии. Прецессионная теория гироскопа.

23. Случай Лагранжа. Первые интегралы уравнений движения. Геометрическая интерпретация движения.

24. Механические связи и их классификация. Число степеней свободы системы. Возможные и виртуальные перемещения. Общее уравнение динамики для системы материальных точек с идеальными связями.

25. Вывод уравнений Лагранжа для системы материальных точек с голономными связями.

26. Подсчет обобщенных сил. Случай, когда обобщенные силы потенциальны.

27. Свойства уравнений Лагранжа: структура кинетической энергии, разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных.

28. Первые интегралы лагранжевых систем: циклические интегралы; обобщенный интеграл энергии (интеграл Пенлеве-Якоби). Применение уравнений Лагранжа в неинерциальных системах отсчета.

29. Система переменного состава. Основные теоремы динамики. Формулы Мещерского и Циолковского.

Весенний семестр

1. Положения равновесия. Принцип виртуальных перемещений. Условия равновесия голономной системы в терминах обобщенных сил. Случай потенциальных сил.
2. Устойчивость. Прямой метод Ляпунова. Теорема  Ляпунова об  устойчивости и асимптотической устойчивости  равновесия  стационарной  системы. Теорема Четаева о неустойчивости.

3. Теорема Красовского об устойчивости и неустойчивости равновесия.
4. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной системы. 1-я теорема Ляпунова о неустойчивости равновесия консервативной системы.

5. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость (теоремы Кельвина–Четаева)
6. Асимптотическая устойчивость. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.
7. Критерий  Рауса–Гурвица асимптотической устойчивости линейных систем.
8. Малые колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения равновесия.
9. Главные (нормальные) координаты консервативной системы.
10. Вынужденные колебания линейных систем под действием гармонической вынуждающей силы. Частотные характеристики.
11. Канонические уравнения Гамильтона. Переход от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона при помощи преобразования Лежандра. Теорема Донкина. Физический смысл функции Гамильтона в случае консервативной системы.
12. Первые интегралы уравнений движения гамильтоновых систем. Циклические координаты. Обобщённо консервативные  системы. Теорема Якоби–Пуассона.
13. Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат. Уравнения Рауса.
14. Понижение порядка уравнений Гамильтона для обобщенно консервативных систем. Уравнения Уиттекера.
15. Действие по Гамильтону. Вариационный принцип Гамильтона.

16. Изменение функции Лагранжа при замене координат и времени. Теорема Нетер.

17. Общая формула для вариации действия по Гамильтону.
18. Изменение функции Гамильтона при каноническом преобразовании.
19. Критерий каноничности преобразований в терминах производящих функций.
20. Фазовый поток гамильтоновых систем как семейство унивалентных канонических преобразований.
21. Свободные канонические преобразования. Задание свободных канонических  преобразований с помощью производящих функций.
22. Преобразования функции Гамильтона при канонических преобразованиях.
23. Уравнение Гамильтона–Якоби.
24. Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби и его использование для интегрирования уравнений движения гамильтоновых систем.
25. Случаи разделения переменных  в  уравнении Гамильтона–Якоби.
26. Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре–Картана гамильтоновых систем.
27. Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуа-чжуна об универсальных интегральных инвариантах гамильтоновых систем.
28. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.

29. Понятие о бифуркации. Случаи потери устойчивости в консервативной системе с одной степенью свободы и потенциалом, зависящим от параметра.
30. Два случая потери устойчивости: дивергенция и флаттер. Бифуркация Хопфа.