Аннуитетные платежи пример егэ

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

ГОТОВИМСЯ
К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ                         ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

                                                                                                         
I.           
АННУИТЕТНЫЕ ПЛАТЕЖИ

Определение.

Аннуитетный платёж –
вариант ежемесячного (ежегодного) платежа по кредиту, когда размер ежемесячного
(ежегодного) платежа остается постоянным на всем периоде кредитования..

         При решении экономических задач на
аннуитетные платежи примем следующие обозначения величин:

         Решение задач на аннуитетные платежи удобно оформлять в
виде таблицы. Рассмотрим примеры решения задач.

Задача 1.

В июле 2021 года
планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата
таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет
выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя
равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного
погашения кредита на 96500 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение.

         Пусть S
рублей – сумма кредита,

r = 20 %, тогда p
= 1 + 20/100 = 1,2.

n = 3
года.

х – годовой
платёж,

тогда 3х
– общая сумма платежа за 3 года,

3х – S = 96500.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	х	p2 S –p х – х
3	p2 S –p х – х	p3 S –p2 х – pх	x	p3 S –p2 х – pх – x = 0

         В
последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p³
S – p² х – pх – x = 0.

Подставим вместо S выражение 3х – 96500.

p³
∙ (3х –
96500) – p² х – pх – x = 0.

3p³∙ х – 96500 p³–
p² х – pх – x = 0.

Теперь выразим из этого уравнения переменную х:

х
∙ (3p³
– p² – p – 1) = 96500 p³,

х =  = .

3х = .

         Подставив p = 1,2,
получим общую сумму выплат за три года:

3х = 324000
рублей.

Ответ:
324000 рублей.

Задача 2.

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

§  ежегодные
выплаты не превышают 300 000 рублей.

На какое минимальное
число рублей сумма выплат может превышать размер кредита?

Решение.

S =
1 000 000 рублей – сумма кредита,

r = 10 %, тогда p
= 1 + 10/100 = 1,1.

Для того, чтобы переплаты были минимальными, нужно,
чтобы сумма ежегодных выплат принимала наибольшую возможную сумму. Поэтому
примем х = 300 000 рублей, за исключением последнего
платежа, сумма которого может быть меньше предыдущих платежей.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	1        000 000	1,1 ∙ 1 000 000 = =  1 100 000	300 000	1 100 000 – 300 000 = = 800 000
2	800 000	1,1 ∙ 800 000 = =  880 000	300 000	880 000 – 300 000 = = 580 000
3	580 000	1,1 ∙ 580 000 = =  638 000	300 000	638 000 – 300 000 = = 338 000
4	338 000	1,1 ∙ 338 000 = =  371 800	300 000	371 800 – 300 000 = = 71800
5	71 800	1,1 ∙ 71 800 = =  78 980	78 980	78 980 – 78 980 = 0.

         Общая сумма выплат равна:

4 ∙
300 000 + 78 980 = 1 278 980 (рублей).

Наименьшее значение переплат за весь срок кредитования:

1 278 980
– 1 000 000 = 278 980 (рублей).

Ответ:
278 980 рублей

Задача 3 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

§  ежегодные
выплаты не превышают 400 000 рублей.

На какое минимальное
число рублей сумма выплат может превышать размер кредита?

Ответ:
526 400 рублей.

Задача 4.

31 декабря 2020 года
Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5 % годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 14,5 %), затем
Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х,
чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение.

S =
4 290 000 рублей,

r = 14,5%, тогда p
= 1,145.

n = 2 года.

х – годовой
платёж,

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	х	p2 S –p х – х = 0

В
последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p² S – pх –
x = 0.

Выразим
из этого уравнения х:

p² S – х ∙ (p + 1) = 0,

p² S = х ∙ (p + 1),

х = ,

Подставим
числа, данные в условии задачи, вместо букв S и p:

х =  = 2 622 050.

Ответ:
2 622 050 рублей.

Задача 5 (для самостоятельного решения).

31 декабря 2020 года Алексей
взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты
кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты
на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 12,5 %), затем Алексей
переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х,
чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре года)?

Ответ:
2 296 350 рублей.

Задача 6.

31 декабря 2020 года Ярослав
взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты кредита
следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на
оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 12,5 %), затем Ярослав
переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав
в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре
года)?

Решение.

Пусть S рублей
– сумма, взятая в кредит,

r = 12,5%, тогда p
= 1,125.

n = 4 года.

х =
2 132 325 рублей – ежегодные платежи,

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	х	p2 S –p х – х = 0
3	p2 S –p х – х	p3 S –p2 х – pх	x	p3 S –p2 х – pх – x = 0
4	p3 S –p2 х – pх – x	p4 S –p3 х – p2 х –px	х	p4 S –p3 х – p2 х –px – x = 0

В
последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p⁴ S –p³ х – p² х –px – x = 0.

Выразим
из этого уравнения S:

p⁴
S – х ∙ (p³ + p²
+ p + 1) = 0,

p⁴
S = х ∙ (p³ + p²
+ p + 1),

S = ,

Подставим
числа, данные в условии задачи, вместо букв x и p:

х =  = 6 409 000.

Ответ:
6 409 000 рублей.

Задача 7 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга,
равную 399 300 рублей.

Сколько рублей было
взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными
платежами (т.е. за три года)?

Ответ:
993 000 рублей.

Задача 8 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга,
равную 207 360 рублей.

Сколько рублей было
взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен четырьмя равными
платежами (т.е. за четыре года)?

Ответ:
536 800 рублей.

Задача 9.

31 декабря 2020 года
Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20 % годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20 %), затем
Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных
платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, сели бы смог выплатить
долг за 2 равных платежа?

Решение.

S =
7 007 000 рублей,

r = 20%, тогда p
= 1,2.

n₁ = 3 года,

n₂ = 2 года.

х рублей –
ежегодные платежи.

1)    Заполним
таблицу для n₁ = 3:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	х	p2 S –p х – х = 0
3	p2 S –p х – х	p3 S –p2 х – pх	x	p3 S –p2 х – pх – x = 0

В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p³ S – p² х –px – x = 0.

Выразим из этого уравнения переменную х:

p³ S – х ∙ (p²
+ p + 1) = 0,

p³ S = х ∙ (p²
+ p + 1),

х = ,

3х = =  = 9 979 200.

2)    Заполним
таблицу для n₂ = 2:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	х	p2 S –p х – х = 0

В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p² S – px – x = 0.

Выразим из этого уравнения переменную х:

p² S – х ∙ (p + 1) = 0,

p² S = х ∙ (p + 1),

х = ,

2х = =  = 9 172 800.

3)    9 979 200
– 9 172 800 = 806 400 (рублей).

Ответ:
806 400 рублей.

Задача 10 (для самостоятельного решения).

31 декабря 2020 года Савелий
взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 12,5 %), затем Савелий
переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На
сколько рублей меньше он бы отдал банку, сели бы смог выплатить долг за 2
равных платежа?

Ответ:
506 250 рублей.

Задача 11.

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что кредит
был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено
75 000 рублей, а во второй год – 46 000 рублей. Найдите число r.

Решение.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	75 000	р S – 75 000
2	р S – 75 000	p2 S – 75 000 p	46 000	p2 S – 75 000 p – 46 000 = 0

В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p²
S – 75 000 p
– 46 000 = 0.

Поскольку
S
= 100 000, то получаем квадратное уравнение:

100 000
p²
– 75 000 p
– 46 000 = 0,

100
p²
– 75 p – 46 = 0,

Положительный
корень этого уравнения равен:

p
= 1,15,

откуда
r
= 15 %.

Ответ:
15 %.

Задача 12 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;

§  с февраля
по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что кредит
был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено
68 000 рублей, а во второй год – 59 000 рублей. Найдите число r.

Ответ:
18 %.

Задача 13.

Дмитрий взял кредит в
банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплаты кредита такова: в конце
каждого года банк увеличивает на 10 % оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий
переводит в банк свой очередной платёж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за
три года, причём каждый его следующий платёж был ровно втрое больше
предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.

Решение.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	3х	p2 S –p х – 3х = 0
3	p2 S –p х –3 х	p3 S –p2 х – 3pх	9x	p3 S –p2 х – 3pх – 9x = 0

В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p³
S –p²
х – 3pх
– 9x = 0.

Выразим из этого уравнения переменную х:

p³
S – х ∙ (p² +
3p + 9) = 0,

p³
S = х ∙ (p² +
3p + 9),

х = ,

х =  = 26 620.

Ответ:
26 620 рублей.

Задача 14 (для самостоятельного решения).

Георгий взял кредит в
банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплаты кредита такова: в конце
каждого года банк увеличивает на 10 % оставшуюся сумму долга, а затем Георгий
переводит в банк свой очередной платёж. Известно, что Георгий погасил кредит за
три года, причём каждый его следующий платёж был ровно вдвое меньше
предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

Ответ:
133 100 рублей.

Задача 15.

В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что если
каждый год выплачивать по 292 820 рублей, то кредит будет  полностью
погашен за четыре года, а если ежегодно выплачивать по 534 820 рублей, то
кредит будет полностью погашен за два года. Найдите число r.

Решение.

Пусть S рублей –
сумма кредита,

n₁ = 4 года, при этом
х = 292 820 рублей – ежегодные платежи,

n₂ = 2 года,
при
этом у = 534 820 рублей – ежегодные платежи.

1)    Заполним
таблицу для n₁ = 4:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	х	p2 S –p х – х = 0
3	p2 S –p х – х	p3 S –p2 х – pх	x	p3 S –p2 х – pх – x
4	p3 S –p2 х – pх – x	p4 S –p3 х – p2х – px	x	p4 S –p3 х – p2х – px – x = 0

2)    Заполним
таблицу для n₂ = 2:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	у	р S – у
2	р S – у	p2 S –p у	у	p2 S –p у – у = 0

В последних ячейках таблиц мы получили два уравнения:

p⁴ S –p³ х – p²х – px – x = 0       и      p² S –p у – у = 0.

Умножим второе уравнение на p², а затем
вычтем из него первое уравнение:

(p³ у – p³ х) + (p² у – p² х) – (pх + х) =
0,

p³ (у – х) +
p² (у – х) –
х (p + 1) = 0,

p² (у – х) (p + 1) = х
(p + 1).

Поскольку p – число
положительное, то число (p + 1) – также
является положительным числом. Поэтому обе части уравнения можно разделить на
(p + 1).

p² (у – х) =
х,

p² = ,

p² = = 1,21.

p = 1,1.

Значит,
r
= 10 %.

Ответ:
10 %.

Задача 16 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;

§  с февраля
по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что если
каждый год выплачивать по 216 000 рублей, то кредит будет  полностью
погашен за четыре года, а если ежегодно выплачивать по 366 000 рублей, то
кредит будет полностью погашен за два года. Найдите число r.

Ответ:
20 %.

Задача 17.

Планируется выдать
льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого
года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 % по сравнению с началом
года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по
кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го
годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.
Найдите наибольший размер кредита (в млн. рублей), при котором общая сумма
выплат заёмщика будет меньше 8 млн. рублей.

Решение.

r = 10%, тогда p
= 1,1.

Заполним
таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Долг после начисления процентов (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)
1	S	р S	р S — S	S
2	S	р S	р S — S	S
3	S	р S	р S — S	S
4	S	р S	x	р S – x
5	р S – x	p2х – px	x	p2х – px – x = 0

1)    Рассмотрим
уравнение в последней ячейке таблицы:

p²х
– px – x = 0.

         Выразим
из этого уравнения х:

p²х
– х (p +1) = 0,

p²х
= х (p +1),

х
=  =
 = .

2)   
Общая сумма выплат равна:

3
∙
(р S – S) + 2х
= 3 ∙ (р
S – S) + 2S ∙  = S ∙
(3p – 3 + 2 ∙ ) = … = S ∙ .

         По
условию, эта сумма меньше 8 млн. рублей, тогда

S
∙  < 8,

S
 < ≈ 5,508…

         При
этом S – целое
число миллионов рублей. Значит, S = 5 (млн. рублей).

Ответ:
5 млн. рублей.

Задача 18 (для самостоятельного решения).

Планируется выдать
льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого
года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом
года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по
кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го
годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.
Найдите наименьший размер кредита (в млн. рублей), при котором общая сумма
выплат заёмщика превысит 10 млн. рублей.

Ответ:
6 млн. рублей.

Задача 19.

Гражданин Гусев взял
кредит в банке, рассчитывая погасить долг равными ежегодными платежами, каждый
из которых (кроме, возможно, последнего) составляет половину суммы S,
взятой в кредит. Схема выплаты кредита следующая: в конце каждого года банк
увеличивает на 25 % оставшуюся сумму долга, а затем гражданин Гусев переводит в
банк очередной платёж. После двух лет выплат банк снизил процентную ставку до
20 % годовых, и гражданин Гусев внёс третий платёж. Четвёртым платежом долг был
полностью погашен. Сколько процентов от первоначальной суммы S
составлял четвёртый платёж по кредиту гражданина Гусева?

Решение.

r₁ = 25%, тогда p₁ = 1,25.

r₂ = 20%, тогда p₂ = 1,2.

Заполним
таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	1,25 S	0,5 S	1,25 S – 0,5 S = 0,75 S
2	0,75 S	1,25 ∙ 0,75 ∙ S = = 0,9375 ∙ S	0,5 S	0,9375 ∙ S – 0,5 ∙ S = = 0,4375 ∙ S
3	0,4375 ∙ S	1,2 ∙ 0,4375 ∙ S = 0,525 ∙ S	0,5 S	0,525 S — 0,5 S = = 0,025 S
4	0,025 S	1,2 ∙ 0,025 ∙ S = = 0,03 ∙ S	0,03 ∙ S	0,03 ∙ S – 0,03 ∙ S = 0

 = 0,03 = 3 %.

Ответ:
3 %.

Задание № 17. Финансовые задачи. Аннуитетные платежи

Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (месяц) равными платежами. При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов.

Пусть а руб. – сумма кредита

р – процентная ставка

коэффициент наращивания

n – период кредитования

х руб. – ежегодный платеж

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2
3
…
n

Выведем еще одну формулу для вычисления суммы ежегодного платежа:

После первой выплаты сумма долга равна

После второй выплаты

После третьей выплаты

Так как это кусочек формулы , то

Значит, Если три года кредитования, то

Для четырех лет кредитования:

Для n лет кредитования

Задача 1.

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение:

Пусть а руб. – сумма кредита (а = 9 930 000 руб.)

р = 10 % – процентная ставка

коэффициент наращивания

n = 3 года – период кредитования

х руб. – ежегодный платеж

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2
3

После третьего платежа долг равен нулю:

Ответ: 3993000 рублей.

Задача 2.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение:

Пусть а руб. – сумма кредита (а = 6 902 000 руб.)

р = 12,5 % – процентная ставка

коэффициент наращивания

n = 4 года – период кредитования

х руб. – ежегодный платеж

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2
3
4		x

После четвертого платежа долг равен нулю:

Ответ: 2296350 рублей.

Примечание. Можно было найти сумму ежегодного платежа по формуле (2):

Рассмотрим еще один способ решения задачи.

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
Проценты (p %)	Основная сумма
1
2			?
3			?
4			?

Покажем, как вычислять основную сумму платежа, то есть на что заменять знак «?».

1-й год: платеж составляет .

2-й год: Значит, основная сумма платежа составляет рублей.

3-й год: Значит, основная сумма платежа составляет рублей.

4-й год: Значит, основная сумма платежа составляет рублей.

Тогда ежегодные платежи составляют:

Ответ: 2296350 рублей.

Задача 3.

31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение:

Пусть а руб. – сумма кредита (а = 7 007 000 руб.)

р = 20 % – процентная ставка

коэффициент наращивания

х руб. – ежегодный платеж, если n = 3 года; у руб. – ежегодный платеж, если n = 2 года.

Если Тимофей выплатил за три года, то имеем:

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2
3

Значит, за 3 года Тимофей выплатил: рублей.

Если бы Тимофей смог выплатить долг за два года, то имеем:

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2

Значит, за 2 года Тимофей выплатил бы: рублей.

Тогда переплата составляет: рублей.

Ответ: на 806400 рублей.

Примечание. Рассмотрим другой способ решения:

Если выплатил за 3 года, то:

После первой выплаты сумма долга равна

После второй выплаты

После третьей выплаты

рублей – выплаты за три года.

Если выплатил за 2 года, то:

После первой выплаты сумма долга равна

После второй выплаты

рублей – выплаты за два года.

рублей – переплата.

Задача 4.

31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение:

Пусть а руб. – сумма кредита

р = 12,5 % – процентная ставка

коэффициент наращивания

n = 4 года – период кредитования

х руб. – ежегодный платеж (х = 2 132 325 рублей)

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2
3
4

Ответ: 6 409 000 рублей.

Задача 5.

31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на р%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

Решение:

Пусть а руб. – сумма кредита

р % – процентная ставка

коэффициент наращивания

n – период кредитования

х руб. – ежегодный платеж, если n = 4 года; у руб. – ежегодный платеж, если n = 2 года.

Если за 4 года, то:

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2
3
4

Если за 2 года, то:

Год	Долг (руб.)	Платеж (руб.)	Остаток
1
2

Из второго уравнения выразим :

и подставим в первое уравнение.

или

не удовлетворяет условию задачи .

или не удовлетворяет условию задачи .

Ответ: 20%.

Задания для самостоятельного решения:

1. (вариант 23 из сборника ЕГЭ 2020, Ященко И.В., 50 вариантов)

31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5 460 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ответ: 2 592 000 рублей.

2. (вариант 24)

31 декабря 2016 года Виктор взял в банке 3 972 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Виктор переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Виктор выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ответ: 1 597 200 рублей.

3. (вариант 39)

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Василий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Ответ: 2 622 050 рублей.

4. (вариант 18)

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11%), затем Василий переводит в банк 3 696 300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Ответ: 6 330 000 рублей.

5.  № (511283)

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную
69 690 821 рубль.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ответ: 124 809 100 рублей.

6. (508217)

31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Ответ: 506 250 рублей.

7. (507218)

31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на р%), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по
2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?

Ответ: 20%.

Экспресс-тренинг

Подготовка к ЕГЭ-2023 по профильной математике в кратчайшие сроки!

До экзамена осталось совсем немного времени! Закрепите свои знания! Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Ваш ребенок успеет подготовиться к экзамену!