Арифметическая прогрессия егэ задачи


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

2

Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

3

Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

4

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

5

Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник
Skip to content

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессии

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессииadmin2022-11-08T21:41:31+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессии

Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Пусть бригада в первый день покрасила а1 метров забора, во второй – а2, …, в последний – аn метров забора. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} + {a_n} = 60,)  а  ({S_n} = 240.)  Тогда:  (240 = frac{{60}}{2} cdot n,,,, Leftrightarrow ,,,,,30n = 240,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 8.)  Следовательно, бригада покрасит забор за 8 дней.

Ответ: 8.
Задача 2. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Пусть рабочие в первый день прокладывают а1 метров тоннеля, во второй – а2, …, в последний десятый день – а10 метров тоннеля. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 3,)  а  ({S_{10}} = 500.)  Тогда:  (500 = frac{{3 + {a_{10}}}}{2} cdot 10,,,, Leftrightarrow ,,,,,3 + {a_{10}} = 100,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{10}} = 97.)  Следовательно, в последний день рабочие проложили 97 метров тоннеля.

Ответ: 97.
Задача 3. Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

Пусть в первый день Вася решил а1 задач, во второй – а2, …, в последний четырнадцатый день – а14 задач. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 5,)  а  ({S_{14}} = 490.)  Тогда:  (490 = frac{{5 + {a_{14}}}}{2} cdot 14,,,, Leftrightarrow ,,,,,5 + {a_{14}} = 70,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{14}} = 65.)  Следовательно, в последний день Вася решил 65 задач.

Ответ: 65.
Задача 4. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Пусть в первый день турист прошёл а1 км, во второй – а2, …, в последний шестой день – а6 км. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 10,)  а  ({S_6} = 120.)  Тогда:  (120 = frac{{10 + {a_6}}}{2} cdot 6,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 + {a_6} = 40,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_6} = 30.)  Следовательно, в последний день турист прошёл 30 км. Чтобы определить, сколько километров турист прошёл за третий день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько километров турист проходил в день больше чем в предыдущий день. Тогда:  ({a_6} = {a_1} + 5d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30 = 10 + 5d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 4)   и   ({a_3} = {a_1} + 2d = 10 + 2 cdot 4 = 18.) Следовательно, за третий день турист прошёл 18 км.

Ответ: 18.
Задача 5. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Пусть в первый день грузовик перевёз а1 тонн, во второй – а2, …, в последний четырнадцатый день – а14 тонн. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 2,)  а  ({S_{14}} = 210.)  Тогда:  (210 = frac{{2 + {a_{14}}}}{2} cdot 14,,,, Leftrightarrow ,,,,,2 + {a_{14}} = 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{14}} = 28.)  Следовательно, в последний день грузовик перевёз 28 тонн. Чтобы определить, сколько грузовик перевёз за девятый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько тонн грузовик перевёз в день больше чем в предыдущий день. Тогда:  ({a_{14}} = {a_1} + 13d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,28 = 2 + 13d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 2)   и   ({a_9} = {a_1} + 8d = 2 + 8 cdot 2 = 18.) Следовательно, за девятый день грузовик перевёз 18 тонн.

Ответ: 18.
Задача 6. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Пусть в первый день улитка проползла а1 метров, во второй – а2, …, в последний день – аn метров. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} + {a_n} = 10,)  а  ({S_n} = 150.)  Тогда:  (150 = frac{{10}}{2} cdot n,,,, Leftrightarrow ,,,,,5n = 150,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 30.)  Следовательно, на весь путь улитка потратила 30 дней.

Ответ: 30.
Задача 7. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Пусть в первый день Вера подписала а1 открыток, во второй – а2, …, в последний шестнадцатый день – а16 открыток. Сумма арифметической прогрессии:  ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.)  По условию задачи: ({a_1} = 10,)  а  ({S_{16}} = 640.)  Тогда:  (640 = frac{{10 + {a_{16}}}}{2} cdot 16,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 + {a_{16}} = 80,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{16}} = 70.)  Следовательно, в последний день Вера подписала 70 открыток. Чтобы определить, сколько открыток Вера подписала за четвёртый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько открыток подписала Вера за день больше чем в предыдущий день. Тогда:  ({a_{16}} = {a_1} + 15d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,70 = 10 + 15d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 4)   и   ({a_4} = {a_1} + 3d = 10 + 3 cdot 4 = 22.) Следовательно, за четвёртый день Вера подписала 22 открытки.

Ответ: 5.
Задача 8. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Так как прибыль каждый год увеличивалась на 300%, то она становилась 400% от прибыли предыдущего года. Поэтому в 2001 году прибыль составила:  (5,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 20,,000) рублей;  2002 году (20,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 80,,000) рублей;  в 2003 году  (80,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 320,,000) рублей.

Ответ: 320 000.
Задача 9. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась.

Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2002 году её капитал составлял:  (5,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 15,,000)  долларов;  в 2003 году  (15,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 45,,000)  долларов; в 2004 году  (45,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 135,,000)  долларов; в 2005 году  (135,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 405,,000)  долларов; в 2006 году  (405,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 1,,215,,000)  долларов. 

Каждый год прибыль компании «Бета» составляла 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2004 году её капитал составлял:  (10,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 50,,000)  долларов;  в 2005 году  (50,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 250,,000)  долларов; в 2006 году  (250,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 1,,250,,000)  долларов.

Таким образом, капитал компании «Бета» был на (1,,250,,000 — 1,,215,,000 = 35,,000) долларов больше, чем капитал компании «Альфа».

Ответ:  35000.

Источник

16
Июл 2013

Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи

09. Задачи на прогрессию

2013-07-16
2022-09-11

«Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия

Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 630 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 140 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение: + показать

Задача 2. Олегу надо решить 315 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.

Решение: + показать

Задача 3. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 9 километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за 9 дней, а расстояние между городами составляет 189 километров.

Решение: + показать

Задача 4. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 1000000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?

Решение: + показать

Задача 5. Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3500 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение: + показать

тест

Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию

Автор: egeMax |

комментария 2

Источник

Тема 18.

Задачи на теорию чисел

18

.

15

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

задачи на теорию чисел

18.01Задачи из ЕГЭ прошлых лет

18.02Задачи формата ЕГЭ

18.03Делимость чисел и признаки делимости

18.04Основная теорема арифметики (ОТА)

18.05НОК, НОД и взаимная простота чисел

18.06Остатки

18.07Десятичная запись числа

18.08Четность и нечетность

18.09Последняя цифра числа

18.10Составление уравнений

18.11Формулы сокращенного умножения

18.12Теорема Безу

18.13Квадратный трехчлен

18.14Среднее арифметическое и минимальная сумма

18.15Арифметическая и геометрическая прогрессии

18.16Произвольные последовательности чисел

18.17Инварианты и полуинварианты

18.18Принцип Дирихле

18.19Принцип крайнего

18.20Задачи на построение конструкций/примеров по заданным условиям

18.21Оценка + пример

18.22Уравнения в целых числах

18.23Комбинаторика

Решаем задачи

Найдите сумму 7 + 77 + 777 + ...+ 777...7 , где запись последнего числа содержит 2n семёрок.

Показать ответ и решение

Данную сумму можно переписать в виде

7(1 + 11 + 111 + ...+ 111...1),

где
запись последнего числа в скобках содержит 2n единиц.

Последнюю сумму можно переписать в виде

7(1 + (10 + 1) + (100 + 10 + 1) + ...+ (100...0 + ...+ 1)) = 0 1 2 2n−1 = 7(10 ⋅ 2n + 10 ⋅ (2n − 1) + 10 ⋅ (2n − 2) + ...+ 10 ⋅ 1) = = 7((1 + 10 + 102 + ...+ 102n− 1) + (1 + 10 + 102 + ...+ 102n− 2) + ...+ (1 + 10) + 1))

Суммы в скобках есть суммы геометрических прогрессий. Например, 2 2n−1 102n-−-1- 1 + 10 + 10 + ...+ 10 = 10 − 1 ,
тогда последнее выражение равно

( ) 102n-−-1- 102n−-1 −-1 102-−-1- 10 −-1- 7 10 − 1 + 10 − 1 + ...+ 10 − 1 + 10 − 1 = = 7((102n − 1) + (102n −1 − 1 ) + ...+ (102 − 1) + (10 − 1)) = 9 ( ) 7- 2n 2n−1 2 7- 10 ⋅-(102n-−-1) = 9(10 + 10 + ...+ 10 + 10 − 2n ) = 9 10 − 1 − 2n = = 70-⋅ (102n − 1) − 14-⋅ n 81 9

Ответ:

70 14 ---⋅ (102n − 1 ) −---⋅ n 81 9

Известно, что в геометрической прогрессии первый и третий члены — целые числа. Значит ли это, что второй член этой прогрессии
— рациональное число?

Показать ответ и решение

В качестве контрпримера достаточно взять прогрессию

√- √- 1, 2, 2, 2 2, ...

Найдите сумму первых 19 членов арифметической прогрессии, десятый член которой равен 1000.

Показать ответ и решение

По формуле суммы арифметической прогрессии

a + a S19 = -192--1-⋅19

Также

a10 = a1+ 9da a19 = a1 +18da

Тогда

a +a =2a + 18d = 2⋅(a + 9d) =2 ⋅a 19 1 1 a 1 a 10

Значит, искомая сумма равна

S19 = a10⋅19= 19000

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 1000 общих членов?

Показать ответ и решение

Рассмотрим две последовательности:

− 2015, −2013, −2011, −2009, ...

−17, − 19, −21, − 23, ...

В самом деле, общий член первой последовательности имеет вид a = − 2017 +2n, n а общий член второй последовательности
имеет вид bn = −15− 2n.

Остаётся понять, сколько решений есть у уравнения ak =bm в натуральных числах.

−2017+ 2k = −15− 2m ⇔ m + k = 1001 ⇔ m = 1001− k

Таким образом, m, k ∈ℕ тогда и только тогда, когда k ∈ {1;2;...;1000}, то есть выписанное уравнение имеет ровно 1000
решений в натуральных числах, что и требовалось.

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 2 общих члена?

Показать ответ и решение

Подходят две прогрессии:

−1, 1, 3, 5, ...

1, −1, − 3, −5, ...

Показать ответ и решение

Покажем, что последовательность a1, ...,an, ... – арифметическая прогрессия.

Введём обозначение d = a2 − a1 , тогда

a1-+-a3 a1 + d = a2 = 2 ⇒ 2(a1 + d) = a1 + a3 ⇒ a3 = a1 + 2d.

Докажем при помощи полной индукции, что an+1 = an + d :

1) При n = 1 имеем a2 = a1 + d – верно.

2) Пусть утверждение верно для всех n ≤ N , покажем, что тогда оно верно и для n = N + 1 :

a + a a1 + (N − 1 )d = aN = -N+1----N-−1- ⇒ 2(a1 + (N − 1)d) = aN+1 + aN− 1, 2

откуда

aN+1 = 2(a1 + (N − 1)d) − aN −1 = 2(a1 + (N − 1)d) − (a1 + (N − 2)d) = a1 + N d,

что и
требовалось доказать.

Сумма ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с a100 , есть

a99+1 + ...+ a99+100 = a100 + ...+ a199 = S199 − S99 = π − S99.

a1-+-a99 S99 = 2 ⋅ 99 .

a50 = a1 + 49d ,

a99 = a1 + 98d ,
следовательно,

a99 + a1 = 2a1 + 98d = 2(a1 + 49d ) = 2 ⋅ a50,

тогда
S99 = a50 ⋅ 99 = 9900 .

В итоге a + ...+ a = π − 9900 100 199 .

Ответ:

π − 9900

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел иметь ровно 2 общих
члена?

Показать ответ и решение

Пусть первая прогрессия имеет вид a1,...,an,... ,

пусть вторая прогрессия имеет вид b1,...,bn,... .

∙ Рассмотрим сначала случай, когда разности da и db прогрессий отличны от 0 .

Пусть существуют пары натуральных чисел (k1;m1 ) и (k2;m2 ) такие что ak1 = bm1 и ak2 = bm2 .
Так как обе последовательности состоят только из положительных чисел, то обе они возрастают,
следовательно, можно считать, что k1 < k2 , m1 < m2 .

Тогда

ak1 + da (k2 − k1) = ak2 = bm2 = bm1 + db(m2 − m1 ),

но ak1 = bm1 , следовательно,

d (k − k ) = d (m − m ) ⇒ d ⋅ 2(k − k ) = d ⋅ 2(m − m ). a 2 1 b 2 1 a 2 1 b 2 1

Так как k > k > 0 2 1 , то 2k − k > 0 2 1 , тогда (2k − k ) ∈ ℕ 2 1 и существует

a2k2− k1 = ak1 + da((2k2 − k1) − k1) = ak1 + da ⋅ 2(k2 − k1).

Так
как m2 > m1 > 0 , то 2m2 − m1 > 0 , тогда (2m2 − m1 ) ∈ ℕ и существует

b2m2−m1 = bm1 + db((2m2 − m1 ) − m1) = bm1 + db ⋅ 2(m2 − m1).

Но da ⋅ 2(k2 − k1) = db ⋅ 2 (m2 − m1 ) , следовательно,

a = b , 2k2−k1 2m2 −m1

то
есть эти прогрессии имеют минимум 3 общих члена. (На самом деле у них бесконечно много общих
членов, что показывается аналогично).

∙ Рассмотрим теперь случай, когда одна из разностей da и db равна 0 .

Пусть da = 0 , db ⁄= 0 , тогда db > 0 (последовательности из положительных чисел), тогда
b1,...,bn,... – возрастает, а a1,...,an,... – постоянна, следовательно, у уравнения ak = bm может
быть не более одного решения, но по условию их должно быть два, то есть этот случай не
подходит.

Пусть da = 0 , db = 0 , тогда обе последовательности – постоянны, следовательно, у уравнения
ak = bm не может быть ровно двух решений.

В итоге, две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел не могут иметь ровно 2
общих члена.

Дана геометрическая прогрессия длины 3 с натуральным первым членом и натуральным знаменателем, большим
единицы.

а) Может ли произведение всех трех членов прогрессии быть равно 9261?

б) Может ли третий член прогрессии быть равен 210?

в) Какое наименьшее значение может принимать первый член, если сумма всех трех членов равна 189?

Показать ответ и решение

Обозначим члены прогрессии через b1, b2, b3, знаменатель через m, тогда b2 = b1m, 2 b3 = b1m .

а) Запишем условие о том, что произведение членов равно 9261

√ ---- b1 ⋅b2⋅b3 = b1⋅b1m ⋅b1m2 = b31m3 = 9261 ⇔ b1m = 39261 = 21

Такое возможно, например, при b1 = 3, m = 7.

б) Допустим, такое возможно и b3 = b1m2 = 210. Разложим число 210 на простые множители

210= 2 ⋅3 ⋅5⋅7

Число m — натуральное, причем 2 m является делителем числа 210. В разложение числа 210 все простые множители
входят в первой степени, значит, единственное подходящее натуральное m =1. Однако по условию m > 1, получаем
противоречие.

в) Запишем условие на сумму трех членов

b +b + b = b + bm + bm2 = b (1 +m + m2) = 189 = 33 ⋅7 1 2 3 1 1 1 1

Все числа натуральные, следовательно, b1 должно быть делителем числа 189. Мы хотим найти минимальное
допустимое значение для первого члена, поэтому будем перебирать делители числа 189, начиная с наименьших.

  • b1 = 1, тогда

    1 +m + m2 = 189 ⇔ m2+ m − 188= 0

    Дискриминант D = 1 +188⋅4 =753 не является полным квадратом, следовательно, уравнение точно не имеет
    натуральных решений, и b1 не может принимать такое значение.

  • b1 = 3, тогда

    2 189 2 1+ m+ m = 3 ⇔ m + m − 62 = 0

    Дискриминант D = 1 +62 ⋅4 = 249 не является полным квадратом, следовательно, уравнение точно не имеет
    натуральных решений, и b1 не может принимать такое значение.

  • b1 = 7, тогда

    1+ m+ m2 = 189 ⇔ m2 + m − 26 = 0 7

    Дискриминант D = 1 +26 ⋅4 = 105 не является полным квадратом, следовательно, уравнение точно не имеет
    натуральных решений, и b1 не может принимать такое значение.

  • b1 = 9, тогда

    1+ m + m2 = 189 ⇔ m2 +m − 20= 0 ⇔ m = − 5; 4 9

    Уравнение имеет натуральное решение m =4, следовательно, b1 = 9 — минимальное подходящее значение
    первого члена.

Дана арифметическая прогрессия с натуральной разностью d, кратной 5. Все члены прогрессии — натуральные
числа.

а) Может ли сумма первых десяти членов этой прогрессии быть равна 600?

б) Может ли сумма первых десяти членов этой прогрессии быть равна 625, если не все из них кратны 5?

в) Сумма первых n членов прогрессии равна 7756. Какое наибольшее значение может принимать n?

Показать ответ и решение

а) Обозначим первый член прогрессии через a1. Запишем условие о том, что сумма S10 первых 10 членов равна
600.

a + a 2a + 9d 600 = S10 = -12--10-⋅10 = --12---⋅10 ⇔ 2a1+ 9d= 120

Этому равенству удовлетворяют, например, d =10 и a1 = 15.

б) Обозначим первый член прогрессии через a1. Запишем условие о том, что сумма S10 первых 10 членов равна
625.

a1+-a10- 2a1+-9d- 625 = S10 = 2 ⋅10 = 2 ⋅10 ⇔ 2a1+ 9d= 125

9d делится на 5,125 делится на 5, следовательно 2a1 и a1 тоже делятся на 5. Получили, что и первый член
прогрессии, и ее разность кратны 5, следовательно, все члены прогрессии кратны 5. Получаем противоречие с
условием.

в) Обозначим первый член прогрессии через a1. Запишем условие о том, что сумма Sn первых n членов равна
7756

a1-+an- 2a1+-d(n−-1) 7756= Sn = 2 ⋅n= 2 ⋅n ⇔

⇔ 15512= (2a1+ d(n − 1))⋅n

Из условия a1 ≥ 1, d≥ 5, тогда

(2a1+ d(n− 1))⋅n≥ (2+ 5(n − 1))⋅n =5n2 − 3n

Очевидно, что оценка снизу правой части не должна превышать число 15512, откуда получаем

[ 277 ] 5n2 − 3n ≤ 15512 ⇔ n ∈ −-5-;56

Таким образом, мы доказали, что число n не должно превышать 56. Пример на 56 очевиден, так как неравенство
обратится в равенство. Проверим, что сумма первых 56 членов арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью 5
действительно равна 7756

a1+ a56 1+ (1+ 5⋅55) S56 = --2----⋅56 = -----2------⋅56= 7756

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Верно получены все перечисленные
(см. критерий на 1 балл) результаты

4

Верно получены три
из перечисленных (см. критерий на 1
балл) результатов.

3

Верно получены два
из перечисленных (см. критерий на 1
балл) результатов.

2

Верно получен один из следующий
результатов:

— пример в пункте а);

— обоснованное решение в пункте б);

— искомая оценка в пункте в);

—
пример в пункте в), обеспечивающий
точность предыдущей оценки.

1

Решение не соответствует ни одному
из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4
Источник

19. Задачи на теорию чисел


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Арифметическая и геометрическая прогрессии


Задание
1

#2217

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 2 общих члена?

Например, прогрессия (-1, 1, 3, 5, …)

и прогрессия (1, -1, -3, -5, …).

Ответ:

Да


Задание
2

#2219

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите сумму первых 19 членов арифметической прогрессии, десятый член которой равен 1000.

(S_{19} = dfrac{a_{19} + a_1}{2}cdot 19).

(a_{10} = a_1 + 9d_a).

(a_{19} = a_1 + 18d_a), тогда (a_{19} + a_1 = 2a_1 + 18d_a = 2cdot(a_1 + 9d_a) = 2cdot a_{10}), тогда (S_{19} = a_{10}cdot 19 = 19000).

Ответ:

(19000)


Задание
3

#2263

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Известно, что в геометрической прогрессии первый и третий члены – целые числа. Значит ли это, что второй член этой прогрессии – рациональное число?

В качестве контрпримера достаточно взять прогрессию [1,, sqrt{2},, 2,, 2sqrt{2},,dots]

Ответ:

Нет


Задание
4

#2218

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 1000 общих членов?

Например, прогрессия (-2015, -2013, -2011, -2009, …)

и прогрессия (-17, -19, -21, -23, …).

В самом деле, общий член первой последовательности имеет вид (a_n = -2017 + 2n), а общий член второй последовательности имеет вид (b_n = -15 — 2n).

Остаётся понять, сколько решений есть у уравнения (a_k = b_m) в натуральных числах.

[-2017 + 2k = -15 — 2mqquadLeftrightarrowqquad m + k = 1001qquadLeftrightarrowqquad m = 1001 — k.]

Таким образом, (m, kinmathbb{N}) тогда и только тогда, когда (kin{1; 2; …; 1000}), то есть выписанное уравнение имеет ровно 1000 решений в натуральных числах, что и требовалось.

Ответ:

Да


Задание
5

#2220

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел иметь ровно 2 общих члена?

Пусть первая прогрессия имеет вид (a_1, …, a_n, …),

пусть вторая прогрессия имеет вид (b_1, …, b_n, …).

(bullet) Рассмотрим сначала случай, когда разности (d_a) и (d_b) прогрессий отличны от (0).

Пусть существуют пары натуральных чисел ((k_1; m_1)) и ((k_2; m_2)) такие что (a_{k_1} = b_{m_1}) и (a_{k_2} = b_{m_2}). Так как обе последовательности состоят только из положительных чисел, то обе они возрастают, следовательно, можно считать, что (k_1 < k_2), (m_1 < m_2).

Тогда

[a_{k_1} + d_a(k_2 — k_1) = a_{k_2} = b_{m_2} = b_{m_1} + d_b(m_2 — m_1),]

но (a_{k_1} = b_{m_1}), следовательно,

[d_a(k_2 — k_1) = d_b(m_2 — m_1)qquadRightarrowqquad d_acdot 2(k_2 — k_1) = d_bcdot 2(m_2 — m_1).]

Так как (k_2 > k_1 > 0), то (2k_2 — k_1 > 0), тогда ((2k_2 — k_1)inmathbb{N}) и существует [a_{2k_2 — k_1} = a_{k_1} + d_a((2k_2 — k_1) — k_1) = a_{k_1} + d_acdot 2(k_2 — k_1).] Так как (m_2 > m_1 > 0), то (2m_2 — m_1 > 0), тогда ((2m_2 — m_1)inmathbb{N}) и существует [b_{2m_2 — m_1} = b_{m_1} + d_b((2m_2 — m_1) — m_1) = b_{m_1} + d_bcdot 2(m_2 — m_1).]

Но (d_acdot 2(k_2 — k_1) = d_bcdot 2(m_2 — m_1)), следовательно, [a_{2k_2 — k_1} = b_{2m_2 — m_1},] то есть эти прогрессии имеют минимум 3 общих члена. (На самом деле у них бесконечно много общих членов, что показывается аналогично).

(bullet) Рассмотрим теперь случай, когда одна из разностей (d_a) и (d_b) равна (0).

Пусть (d_a = 0), (d_bneq 0), тогда (d_b > 0) (последовательности из положительных чисел), тогда (b_1, …, b_n, …) – возрастает, а (a_1, …, a_n, …) – постоянна, следовательно, у уравнения (a_k = b_m) может быть не более одного решения, но по условию их должно быть два, то есть этот случай не подходит.

Пусть (d_a = 0), (d_b = 0), тогда обе последовательности – постоянны, следовательно, у уравнения (a_k = b_m) не может быть ровно двух решений.

В итоге, две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел не могут иметь ровно 2 общих члена.

Ответ:

Нет


Задание
6

#2221

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Известно, что в последовательности (a_1, …, a_n, …) каждый член, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов последовательности. Также известно, что (a_{50} = 100), (S_{199} = pi). Найдите сумму ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с (a_{100}).

Покажем, что последовательность (a_1, …, a_n, …) – арифметическая прогрессия.

Введём обозначение (d = a_2 — a_1), тогда [a_1 + d = a_2 = dfrac{a_1 + a_3}{2}qquadRightarrowqquad 2(a_1 + d) = a_1 + a_3qquadRightarrowqquad a_3 = a_1 + 2d.]

Докажем при помощи полной индукции, что (a_{n + 1} = a_n + d):

1) При (n = 1) имеем (a_2 = a_1 + d) – верно.

2) Пусть утверждение верно для всех (n leq N), покажем, что тогда оно верно и для (n = N + 1):

[a_1 + (N — 1)d = a_N = dfrac{a_{N + 1} + a_{N — 1}}{2}qquadRightarrowqquad 2(a_1 + (N — 1)d) = a_{N + 1} + a_{N — 1},]

откуда [a_{N + 1} = 2(a_1 + (N — 1)d) — a_{N — 1} = 2(a_1 + (N — 1)d) — (a_1 + (N — 2)d) = a_1 + Nd,] что и требовалось доказать.

Сумма ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с (a_{100}), есть [a_{99 + 1} + … + a_{99 + 100} = a_{100} + … + a_{199} = S_{199} — S_{99} = pi — S_{99}.]

(S_{99} = dfrac{a_1 + a_{99}}{2}cdot 99).

(a_{50} = a_1 + 49d),

(a_{99} = a_1 + 98d),
следовательно, [a_{99} + a_1 = 2a_1 + 98d = 2(a_1 + 49d) = 2cdot a_{50},] тогда (S_{99} = a_{50}cdot 99 = 9900).

В итоге (a_{100} + … + a_{199} = pi — 9900).

Ответ:

(pi — 9900)


Задание
7

#2264

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите сумму (7 + 77 + 777 + … + 777…7), где запись последнего числа содержит (2n) семёрок.

Данную сумму можно переписать в виде [7(1 + 11 + 111 + … + 111…1),,] где запись последнего числа в скобках содержит (2n) единиц.

Последнюю сумму можно переписать в виде

[begin{aligned}
&7Bigl(1 + (10 + 1) + (100 + 10 + 1) + … + (100…0 + … + 1)Bigr) =\
= &7Bigl(10^0cdot 2n + 10^1cdot (2n — 1) + 10^2cdot (2n — 2) + … + 10^{2n — 1}cdot 1Bigr) =\
= &7Bigl((1 + 10 + 10^2 + … + 10^{2n — 1}) + (1 + 10 + 10^2 + … + 10^{2n — 2}) + … + (1 + 10) + 1)Bigr)
end{aligned}]

Суммы в скобках есть суммы геометрических прогрессий. Например, (1 + 10 + 10^2 + … + 10^{2n — 1} = dfrac{10^{2n} — 1}{10 — 1}), тогда последнее выражение равно

[begin{aligned}
&7left(dfrac{10^{2n} — 1}{10 — 1} + dfrac{10^{2n — 1} — 1}{10 — 1} + … + dfrac{10^{2} — 1}{10 — 1} + dfrac{10 — 1}{10 — 1}right) =\
= &dfrac{7}{9}Bigl((10^{2n} — 1) + (10^{2n — 1} — 1) + … + (10^{2} — 1) + (10 — 1)Bigr) =\
= &dfrac{7}{9}Bigl(10^{2n} + 10^{2n — 1} + … + 10^{2} + 10 — 2nBigr) = dfrac{7}{9}left(dfrac{10cdot (10^{2n} — 1)}{10 — 1} — 2nright) =\
= &dfrac{70}{81}cdot (10^{2n} — 1) — dfrac{14}{9}cdot n
end{aligned}]

Ответ:

(dfrac{70}{81}cdot (10^{2n} — 1) — dfrac{14}{9}cdot n)

Многие ученики при сдаче ЕГЭ по математике сталкиваются с трудностями в решении задач на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессия». Такие задания встречаются в бланках довольно часто, поэтому им стоит уделить особое внимание. Наш портал поможет вам узнать, как быстро найти правильный ответ. Вы можете ознакомиться с примерами, предназначенными для учеников разного уровня подготовки.

«Школково» ― залог успешной сдачи заключительного тестирования

На нашем образовательном портале вы найдете материалы, необходимые для легкого прохождения Единого государственного экзамена. Благодаря преподавателям «Школково» на сайте собрана и систематизирована вся информация по тематическим рубрикам. Они изложили материал в наиболее простой и понятной форме, поэтому после повторения формул и правил выпускники смогут быстро выполнить задания на нахождение суммы и разности в арифметической и геометрической прогрессии даже повышенного уровня сложности.

Мы предлагаем наиболее удобный подход к повторению и усвоению большого количества информации. Для эффективности занятий рекомендуем начинать с более простых упражнений и постепенно переходить к сложным. Таким образом вы можете определить свои слабые стороны и уделить больше внимания заданиям на нахождение чисел, чтобы улучшить навыки и увеличить скорость их решения.

Прочитайте данный материал в разделе «Теоретическая справка», изучите условия и потренируйтесь в выполнении типовых задач. После этого вы можете переходить в раздел «Каталоги», где представлено множество примеров различного уровня сложности.

Если у школьника возникнут сложности с решениями упражнений с общими членами, он может добавить их в «Избранное» и вернуться к ним позже, повторив формулы арифметической прогрессии или заручившись помощью преподавателя.

База заданий «Школково» постоянно обновляется и дополняется, поэтому вы каждый день можете выполнять новые задачи. Чтобы занятия давали еще большую результативность, советуем обращаться к нашему сайту ежедневно.

Не откладывайте подготовку к ЕГЭ на потом. Начните заниматься вместе со «Школково» уже сегодня!

Обратите внимание, что на нашем портале могут попробовать свои силы в выполнении разных задач все желающие. Для того чтобы начать повторение материалов и решать уравнения с арифметической и геометрической прогрессией, зарегистрируйтесь на официальном сайте shkolkovo.net.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Арифметические и геометрические прогрессии»

Открытый банк заданий по теме арифметические и геометрические прогрессии. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1106

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Наташе надо изготовить 300 бумажных журавликов. Ежедневно она делает на одно и то же количество журавликов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день Наташа сделала 6 журавликов. Сколько журавликов было сделано в последний день, если на всю работу потребовалось 15 дней?

Показать решение

Решение

Из условия следует, что количество бумажных «журавликов» ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно сделанных бумажных «журавликов» образует арифметическую прогрессию, при этом первый член прогрессии равен 6. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии имеем

a_1+a_2+a_3+…+a_{15}= frac{a_1+a_{15}}{2}cdot15= 300,

6+a_{15}=40,

a_{15}=40-6=34.

Наташа в последний день изготовила 34 бумажных «журавлика»

Ответ

34

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1104

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Коле надо посадить 350 кустов роз. Ежедневно он сажает на одно и то же количество кустов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день он посадил 8 кустов роз. Сколько кустов было посажено в последний день, если на всю работу потребовалось 20 дней?

Показать решение

Решение

Из условия следует, что количество посаженных кустов роз ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно посаженных роз образует арифметическую прогрессию, при этом первый член равен 8. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии получаем a_1+a_2+a_3+…+a_{20}= frac{a_1+a_{20}}{2}cdot20= 350,

8+a_{20}=35,

a_{20}=35-8=27.

Коля в последний день посадил 27 кустов роз.

Ответ

27

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №334

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Плиточник должен уложить 320 м2 плитки. Если он будет укладывать на 6 м2 в день больше, чем запланировал, то работа будет выполнена на 12 дней раньше. Определите, сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник.

Показать решение

Решение

Пусть x (м2) — планируемая норма укладки в день. Тогда, согласно условию, получаем:

frac{320}{x}-frac{320}{x+6}=12,

frac{320(x+6)-320cdot x}{x(x+6)}=12,

frac{320cdot6}{x(x+6)}=12,

frac{160}{x(x+6)}=1,

x^2+6x-160=0.

x_{1,2}=-3pmsqrt{9+160}=-3pm13.

Так как x не является отрицательным числом, то x = 10.

Ответ

10

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №333

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Грузовой автомобиль перевозит технику из одного города в другой, проезжая в каждый последующий день на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. В первый день пути водитель проехал расстояние 520 км. Известно, что расстояние между городами 3270 км и на весь путь потребовалось ровно 5 дней. Определите, сколько километров проехал водитель за третий день пути.

Показать решение

Решение

Расстояние увеличивается каждый день на одну и ту же величину d, а значит, последовательность таких расстояний — арифметическая прогрессия.

За 5 дней пройденный путь равен frac{(a_1+a_5)}{2}cdot5=3270, где a_1, a_3 и a_5 — путь, пройденный в первый, третий и пятый дни соответственно.

По свойству арифметической прогрессии a_3=a_1+2d, a_5=a_1+4d, значит, a_3=frac{a_1+a_5}{2}. Тогда a_3=3270:5=654 (км).

Ответ

654

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Аристотель сочинения в четырех томах т 1 ред в ф асмус м мысль 1976
  • Аристотель сочинения в 4 томах том 1
  • Аристотель собрание сочинений в 4 томах скачать
  • Аристотель собрание сочинений в 4 томах купить
  • Аристотель полное собрание сочинений