Баба валя сбербанк решу егэ

Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Спёрбанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Спёрбанке Баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» и открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния.

Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Спёрбанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..» Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без денег.

А каков в Спёрбанке процент годовых для пенсионеров?

Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Спёрбанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Спёрбанке Баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» и открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния.

Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Спёрбанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..» Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без денег.

А каков в Спёрбанке процент годовых для пенсионеров?

«Такой навар меня не устраивает!»

Как вы думаете, что это за текст?

«Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Сбербанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых, и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, где процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Сбербанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Сбербанке баба Валя сняла половину образовавшей суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» И открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка. Через год сумма бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела баба Валя, что год назад в Сбербанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако подумала: «А где же мы не теряли?..» Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил бабу Валю без навара! А каков в Сбербанке процент годовых для пенсионеров?»

Итак, что это такое? Рекламный проспект? Плутовской роман? Водевиль? Криминальная драма на вечный российский сюжет «Не гонялся бы ты, поп, за дешевизной»? А вот и не угадали! Это реальное задание №18.С5 №506959 из недавно написанного в Москве пробного ЕГЭ по математике.

Родители сего порождения креативщиков от математики, мягко говоря, не оценили. Кто-то сразу перешел на ненормативную лексику. Детей же задание про бабу Валю повергло в ступор:

— Получи я эту задачу в стрессовом состоянии на экзамене, она бы вызвала у меня приступ хохота, и я не смогла бы сосредоточиться, — не сомневается 11-классница Даша.

— А меня, — говорит ее подруга Люба, — испугали бы размеры задачи: дочитывая до конца, теряешь нить повествования.

Но хуже всех пришлось Лизе, которой чудо-задача досталась реально:

— Я дорешала ее до конца. Но могу сказать, что шутки в задаче должны хотя бы ограничиваться содержанием. Говоря о числовом эквиваленте, процент в коммерческом банке по вычислениям равен 200% (в Сбербанке 10%). Но я всегда боюсь ошибиться. А такие цифры меня точно выведут из душевного равновесия, и я попросту все зачеркну, убедившись в ошибочности собственного решения.

Примечательно, что использование на экзамене «банковской тематики» носит целенаправленный характер, разъяснил «МК» главный «куратор» ЕГЭ по математике, директор Центра педагогического мастерства Иван Ященко:

— В 2015 году в профильный ЕГЭ по математике обязательно включается задача практического содержания с экономическим смыслом — ситуация из жизни с нормальными числами. Отсюда в данном случае и подсчет процента в банке. Другое дело, что эта задача составлена в стиле Остера и совершенно не соответствует стилистике такого серьезного мероприятия, как ЕГЭ. Поэтому на официально проводимых Единых госэкзаменах таких задач-шуток нет и быть не может. Однако на школьном уровне при подготовке к ЕГЭ, включая пробные экзамены, могут быть использованы любые задания — в Интернете их полно. Этим и пользуются учебные заведения. К слову сказать, в последнее время вузы на «пробниках» стали практиковать такой трюк: раздают заведомо сложные задания, чтобы дети схватились от ужаса за голову, — и тут же раздают листочки с телефоном своих подготовительных курсов, где их готовят за дополнительную плату…

Короче, вузы в любом случае не остаются без навара. Совсем как баба Валя!

Опубликован в газете «Московский комсомолец» №26759 от 11 марта 2015

Заголовок в газете:
«Такой навар меня не устраивает!»

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Баба Валя — бизнесменша!
Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить своё материальное положение.
Она узнала, что в Сбербанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых
и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Сбербанка.
Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры,
есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в `43 3/4` раза выше, чем в Сбербанке.
Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх.
После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Сбербанке
баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!»
И открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка,
не теряя надежды на улучшение своего материального благосостояния.
Надежды-то оправдались: через год сумма бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 43%.
Сожалела баба Валя, что год назад в Сбербанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?.. «
Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил бабу Валю без навара!
А каков в Сбербанке процент годовых для пенсионеров?
Решение:

ЗАДАНИЕ 17 ЕГЭ.

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА. ВКЛАДЫ

1. БАНКОВСКИЕ ЗАДАЧИ НА ВКЛАДЫ

1. Нахождение срока вклада.

2. Вычисление процентной ставки по вкладу.

3. Нахождение суммы вклада.

4. Нахождение ежегодной суммы пополнения вклада.

5. Нахождение прибыли от вклада.

Разберём задачи на вклады. Обычно встречаются задачи на вклады двух типов: без ежегодного взноса определённой суммы и с внесением такой суммы.

Для определённости введём обозначения, используемые при решении задач.

– сумма первоначального вклада.

– сумма ежегодного вклада (часто ).

– временной промежуток (количество месяцев, лет).

– сумма через n лет (месяцев).

– процентная ставка.

Задачи на вклады решаются двумя способами: с помощью таблиц и с помощью формул. Рассмотрим задачу на вклад с ежегодным пополнением на определённую сумму.

I способ. Приведём пример таблицы накопления вклада. Таблицы удобны, если временной промежуток вклада невелик.

дата или № года (месяца)	% на сумму в конце года (месяца)	сумма с учётом %	сумма вклада	сумма в конце года (месяца)
0
1
2
…	………	…………….		………….

Из таблицы видно, что чем больше срок вклада, тем сложнее вычисления. Поэтому, при больших сроках удобнее пользоваться формулами.

II способ. Чтобы понять, откуда берётся формула, приведём её вывод. Воспользуемся таблицей выше. Рассмотрим сумму вклада в конце второго года (месяца).

Аналогично,

И так далее,

В последнем выражении, в квадратных скобках стоит сумма п членов геометрической прогрессии, в которой . Воспользуемся формулой для .

Тогда общая сумма вклада через п лет (с учётом пополнения) будет:

Если же в n-ом году счёт будет закрыт, то последнего пополнения не будет! Тогда формула имеет вид:

Если сумма ежегодного пополнения равна первоначальному взносу , то формула принимает более компактный вид:

В задачах на вклады без ежегодного пополнения ситуация немного проще.

дата или № года (месяца)	% на сумму в конце года (месяца)	сумма в конце года (месяца) с учётом %
0
1
2
…	………	…………….
через п лет

В виде формулы это выглядит так:

Приведём примеры.

1. Банк выплачивает 4 % годовых. Через сколько лет внесённая сумма удвоится?

Решение.

– сумма вклада, , .

По окончании первого года, после начисления процентов, на счёте станет:

По окончании второго года, после начисления процентов, на счёте станет:

………………………………………………………………….

Так как , то

Ответ: лет

1. На какой срок необходимо вложить 5000 рублей при 30% годовых, чтобы сумма дохода составила 560 рублей?

Решение.

, , .

Так как сумма дохода равна , то срок вклада будем рассчитывать в днях, и т.к. нас интересует только доход, то . Эта формула означает следующее: на первоначальный взнос назначается годовой процент р, но т.к. срок вклада меньше года, то эту сумму делят на 365 дней и умножают на количество дней, в течении которых вклад находился в банке (п). Важно, что здесь не добавляется сам первоначальный взнос, т.е. формула отражает чистую прибыль.

Так как , то

Ответ: дней

1. На какой срок необходимо вложить 15 000 рублей при 9 % годовых, чтобы сумма дохода составила 2 000 рублей?

Решение.

, , .

Так как нас интересует только доход, то

Так как , то

Ответ: дней

1. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

Решение.

– сумма вклада;

месяцев – срок начисления 5% ставки;

месяцев – срок начисления 12% ставки;

месяцев – срок начисления % ставки;

месяцев – срок начисления 12,5% ставки.

При ставке 5% через месяц сумма вклада составила . Через два месяца сумма вклада составила . И так далее, через п месяцев сумма вклада составит .

При ставке 12% через месяц сумма вклада составит:

. Через два месяца –

. И так далее, через т месяцев сумма вклада составит .

Аналогично, при ставке через k месяцев сумма вклада будет .

Так же, при ставке 12,5% через l месяцев сумма вклада будет .

По условию задачи известно, что по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на , т.е. составила .

Составляем уравнение:

Значит, весь срок вклада составляет: месяцев.

Ответ: 7 месяцев

1. Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладёт 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?

Решение. Сначала рассмотрим как происходит накопление денежных средств на счёте сына. Так как каждый год банк начисляет 20% на сумму, которая была в конце предыдущего года, то вся сумма будет составлять 120%. Затем прибавляем ежегодный взнос 1000 руб.

дата	сумма на счёте сына
01.09.2008
01.09.2009
01.09.2010
01.09.2011
……………	…………………………………………………………………………………
через n лет

Теперь рассмотрим сумму на счёте сына через n лет.

В этой сумме слагаемое (слагаемых со степенями п плюс первое слагаемое). Нетрудно заметить, что эта сумма представляет собой сумму геометрической прогрессии, у которой . Воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

Это сумма, которая будет на счёте сына через п лет.

дата	сумма на счёте дочери
01.09.2014
01.09.2015
01.09.2016
01.09.2017
……………	…………………………………………………………………………………
через n-6 лет

Рассчитаем сумму на счёте дочери. Так как каждый год банк начисляет 44% на сумму, которая была в конце предыдущего года, то вся сумма будет составлять 144%. Затем прибавляем ежегодный взнос 2200 руб. и учитываем, что срок вклада дочери будет на 6 лет меньше, чем срок вклада сына, т.е. лет.

Теперь рассмотрим сумму на счёте дочери через n — 6 лет.

В этой сумме слагаемых (слагаемых со степенями п — 6 плюс первое слагаемое). Эта сумма представляет собой сумму геометрической прогрессии, у которой . Воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

Это сумма, которая будет на счёте дочери через п — 6 лет.

В задаче поставлено условие, что суммы вкладов сына и дочери должны сравняться, поэтому приравниваем их.

Значит, суммы на счетах сына и дочери сравняются через 11 лет после открытия счёта сына. И это произойдёт в году.

Ответ: в 2019 году.

1. Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение. Рассмотрим два способа решения данной задачи.

I способ. Составим сравнительную таблицу стоимости ценной бумаги после увеличения цены и банковского процента.

№ года	стоимость ценной бумаги в начале года	сумма увеличения стоимости ценной бумаги	общая стоимость ценной бумаги в конце года	банковский процент (8%)
1	8 000	1 000	9 000	720
2	9 000	1 000	10 000	800
3	10 000	1 000	11 000	880
4	11 000	1 000	12 000	960
5	12 000	1 000	13 000	1040

Из таблицы видно, что банковский процент превысит сумму увеличения стоимости ценной бумаги через 5 лет, значит, продавать бумаги надо в течение 6 лет.

II способ. Если ценная бумага будет находится у Алексея n лет, то через n лет он получит   рублей. Если в начале го года Алексей продаст бумагу и положит деньги в банк, то по итогам года получит Это следует делать, если . Найдем, каким должно быть число n.

– число целое, значит, . Так как Алексей положил деньги в банк в течении года, то максимальную прибыль он получит, если положит деньги в банк в течении 6 года.

Ответ: в течении 6 года.

1. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х% годовых, тогда как в январе 2001 года она была у% годовых, причём известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счёт в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счёта пятую часть этой суммы. Укажите значение х, при котором сумма на счёте вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение. Пусть – первоначальный вклад. При годовых через год на счёте будет . После снятия со счёта , на нём осталось:

. На эту сумму через год начислили и на счёте стало . Так как , то . Тогда:

Мы получили функцию относительно переменной х:

Наибольшее значение эта квадратичная функция достигает в своей вершине, т.к. ветви её направлены вниз. Найдём абсциссу вершины параболы:

.

Итак, при сумма на счёте вкладчика в январе 2002 года будет максимально возможной.

Ответ: 25%

1. Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить своё материальное положение. Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под определённый процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Спёрбанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить своё материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счёта в Спёрбанке, Баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от её вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» И открыла счёт в том коммерческом банке, о котором говорила её соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния. Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила её первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Спёрбанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..» Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без навара! А каков в Спёрбанке процент годовых для пенсионеров?

Решение. Пусть – первоначальные накопления; — процентная ставка в Спёрбанке, тогда — процентная ставка в коммерческом банке. Открыв счёт в Спёрбанке, через год на нём образуется сумма . В коммерческий банк была внесена сумма, равная половине этой, т.е. . Через год в коммерческом банке на счёте, после начисления процентов, будет . По условию задачи известно, что эта сумма на 65% больше, чем первоначальные накопления, т.е. составляет 165% от и равна . Составляем уравнение:

не удовлетворяет условию задачи, значит, в Спёрбанке процентная ставка равна 10%.

Ответ: 10%

1. Банк под определённый процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счёта. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а% до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение. Обозначим первоначальный вклад через , а первоначальную процентную ставку через а%. Тогда через год, после начисления процентов на счёте станет Четверть этой суммы сняли со счёта, тогда осталось:

. На эту оставшуюся сумму через год начислили проценты в размере . В итоге, к концу года на счёте накопилась сумма: . По условию задачи известно, что она превысила первоначальный вклад в 1,44 раз, т.е. стала равной . Составим уравнение:

не удовлетворяет условию задачи. Значит, первоначальная процентная ставка составляла 20%. Поэтому новая процентная ставка равна: .

Ответ: 60%.

1. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

Решение. Обозначим через — первоначальную сумму по обоим вкладам, а через – процентную ставку вклада «Б» на третий год. Составим таблицу:

№ года	сумма в конце года с учётом процентов вклада «А»	сумма в конце года с учётом процентов вклада «Б»
0
1
2
3

Чтобы выполнялось условие задачи (вклад «Б» должен остаться более выгодным, чем вклад «А»), необходимо выполнение условия:

Т.к. должно быть целым и наименьшим, то .

Ответ: 9%.

1. По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 10% в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Решение.

№ года	сумма в конце года с учётом процентов вклада «А»	сумма в конце года с учётом процентов вклада «Б»
0
1
2
3

Чтобы выполнялось условие задачи (вклад «Б» должен остаться более выгодным, чем вклад «А»), необходимо выполнение условия:

Так как , то .

Стоит заметить, что при . Это не удовлетворяет условию, как, впрочем, и все остальные значения, меньшие 26.

Итак, наименьшее целое .

Ответ: 26%.

1. В начале года 5/6 некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось — в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у. е., к концу следующего — 749 у. е. Если первоначально 5/6 суммы было бы вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у. е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.

Решение. Обозначим – общую первоначальную сумму, тогда в банк А вложили , а в банк Б вложили . Процентную ставку банка А обозначим через р, а процентную ставку банка Б – через q. Тогда через год на счёте в банке А стало , а на счёте в банке Б — . Через два года в банке А стало , а в банке Б — . Если бы изначально в банк А вложили бы , а в банк Б — , то через год в банке А было бы , а в банке Б — . Через два года в банке А было бы , а в банке Б — . Для наглядности сведём всё это в таблицу:

№ года	сумма в конце года банка А при сумме вложения	сумма в конце года банка Б при сумме вложения	общая сумма в конце года
1			670
2			749
№ года	сумма в конце года банка А при сумме вложения	сумма в конце года банка Б при сумме вложения	общая сумма в конце года
1			710
2			?

Итак, получаем систему уравнений:

Второе уравнение умножим на -5 и сложим с первым.

Теперь мы можем найти общую сумму в конце второго года во втором случае:

Ответ: 841 у.е.

1. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.

Решение.

№ года	сумма на счёте
0
1
2
3
4

Итоговая сумма должна быть меньше 15 млн. рублей, поэтому:

Так как первоначальный вклад является целым числом и должен быть наибольшим, то млн. рублей.

Ответ: 7 млн. рублей.

1. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей.

Решение.

№ года	сумма с учётом процентов и вложений
0	млн
1
2
3
4

По условию задачи через два года сумма должна быть больше 125 млн. рублей, а через 4 года – больше 200 млн. рублей, поэтому:

Так как – наименьшее целое, то млн. рублей.

Ответ: 57 млн. рублей.

1. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырёх лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счёт одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял ко вкладу?

Решение. В данной задаче рассматривается вклад с пополнением. Обозначим через тыс. рублей ежегодную сумму пополнения. Тогда сведём данные в таблицу:

№ года	сумма на счёте
0
1
2
3
4
5

Итак, в конце пятого года, после начисления процентов на счёте оказалась сумма:

По условию задачи известно, что в конце пятого года размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%, т.е. стал составлять 825% от первоначального.. Составляем уравнение:

Значит, ежегодное пополнение составляло 210 тыс. рублей.

Ответ: 210 000 рублей

1. По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

Решение. Составим таблицу:

№ года	сумма с учётом процентов и вложений
0	10 млн
1
2
3
4

По условию задачи за два года вложения должны как минимум удвоиться, поэтому,

Значит, наименьшее целое .

Через четыре года первоначальные вложения должны утроиться, учитывая, что , получаем:

Значит, наименьшее целое

Итак, чтобы выполнялось условие задачи, первые два года необходимо добавлять по 4 млн. рублей, а в третий и четвёртый годы – по 1 млн. рублей.

Ответ: 4 млн. и 1 млн. рублей.

1. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей.

Решение. Обозначим через S млн. рублей фиксированную сумму пополнения.

№ года	сумма с учётом процентов и пополнения
0	10 млн
1
2
3
4

Итоговая сумма должна быть не меньше 30 млн. рублей, поэтому:

Так как сумма должна быть целым наименьшим числом, то млн. рублей.

Ответ: 7 млн. рублей.

1. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объёма закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив её на закупку нефти?

Решение. Обозначим сумму, которой располагала администрация в конце августа 2001 года через , а цену барреля сырой нефти через у.е. Тогда, на конец августа объём закупок нефти составил бы баррелей. Так как деньги были вложены в банк 01.09.2001, то на 01.10.2001 на счёте стало (с учётом процентов); на 01.11.2001 сумма стала равной . Эта сумма и была снята со счёта. Цена барреля снижалась каждый месяц на 10%, значит, на 01.10.2001 года баррель стоил у.е., а на 01.11.2001 года он стал стоить у.е. Значит, объём закупок нефти в ноябре 2001 года составил баррелей. Процентное отношение этого объёма к первоначально возможному составляет . Поэтому разница составляет .

Ответ: 96%.

1. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% — в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

Решение. Минимальную прибыль банк получит при соблюдении двух условий: по двум проектам получен минимальный процент прибыли и вкладчикам выплачен максимальный годовой процент. В первый проект (акции золотодобывающего комбината) банком была вложена сумма: . Через год, учитывая минимальный процент, из этого проекта выйдет сумма: . Во второй проект (строительство торгового комплекса) банком вложена сумма: . Через год, учитывая минимальный процент, из этого проекта выйдет сумма: .

Общая сумма с двух проектов составит .

Из этой суммы банк обязан отдать вкладчикам их вложения, т.е. , и тогда у банка останется . Из этих денег банку нужно выплатить вкладчикам проценты (процент должен быть максимальный – 20%), т.е. . Значит, у банка останется . В процентах это составляет . Итак, минимальная прибыль банка – 5%.

Аналогично рассчитываем максимальную прибыль.

Через год, учитывая максимальный процент, из первого проекта выйдет сумма: .

Из второго проекта выйдет сумма: .

Общая сумма с двух проектов составит .

Из этой суммы банк обязан отдать вкладчикам их вложения, т.е. , и тогда у банка останется . Из этих денег банку нужно выплатить вкладчикам проценты (процент должен быть минимальный – 10%), т.е. . Значит, у банка останется . В процентах это составляет . Итак, максимальная прибыль банка – 20%.

Ответ: 5%, 20%.

1. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год, после начисления процентов, хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а ещё через год снова внёс 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму, меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?

Решение. Обозначим вклад через . Если бы вкладчик не совершал промежуточных действий с вкладом (не снимал, не вкладывал), то через 3 года на счёте была бы сумма . Теперь рассмотрим, что происходило с вкладом в реальности.

Через год, после начисления процентов, на счёте было . Вкладчик снял 2000, значит, осталось . Ещё через год на эту сумму начислены проценты и она стала равной . Теперь к этой сумме вкладчик добавил 2000 рублей и на счёте стало . И ещё через год, после начисления процентов на эту сумму, счёт в банке составил . В итоге, вкладчик, из-за своих действий потерял 220 рублей.

Ответ: на 220 рублей.

1. Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а ещё через год снова внёс 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счёт 5000 рублей, а ещё через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?

Решение. Пусть – сумма, которую положили и Миша, и Маша в банк. Через год, после начисления процентов, у них на счетах было по . Т.к. Миша снял 5000 рублей, то у него осталось рублей. Маша доложила 5000 рублей и у неё стало рублей. Ещё через год, после начисления процентов на получившиеся суммы, у Миши на счёте было рублей, а у Маши стало рублей. Теперь Миша к своей сумме доложил 5000 рублей и у него стало руб., а Маша сняла со своей суммы 5000 руб. и у неё стало рублей. Ещё через год, после начисления процентов, у Миши на счёте было рублей, а у Маши – рублей. В итоге, через три года Маша получит сумму больше на 1100 рублей, т.к.

.

Ответ: на 1100 рублей.

1. Василий кладёт в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года) на счёт фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая сумма будет на счёте у Василия через 4 года?

Решение. Составим таблицу накопления вклада.

№ года	сумма на счёте
0	1 000 000
1	1,1∙1 000 000+133 000=1 100 000+133 000=1 233 000
2	1,1∙1 233 000+133 000=1 356 300+133 000=1 489 300
3	1,1∙1 489 300+133 000=1 638 230+133 000=1 771 230
4	1,1∙1 771 230=1 948 353

Если записать в виде формулы, то она выглядит так:

Ответ: 1 948 353 рубля.

1. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик пополняет вклад на х млн рублей, где х — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 6 млн рублей.

Решение.

№ года	сумма с учётом процентов и пополнения
0	10 млн
1
2
3
4

Чтобы найти сумму, которую банк начислит за четыре года, необходимо от итоговой суммы вклада вычесть первоначальную сумму и сумму пополнений за два года:

Так как х – наименьшее целое число млн., то млн. рублей.

Ответ: 5 млн. рублей.

1. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. (Аналог задачи 1.3.1.) Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определённый процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года? (Ответ: 749 000 рублей)

1. (Аналог задачи 1.1.6.) Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей? (Ответ: в течении 8 года)

1. (Аналог задачи 1.5.4.) Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых Однако через год и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег. Ещё через год каждый из них снял со своего счёта соответственно 20 000 рублей и 15 000 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счёте окажется большая сумма денег? На сколько рублей? (Ответ: у Саши больше на 1155 рублей)

1. (Аналог задачи 1.4.1.) Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения, после начисления процентов, он дополнительно вносил на счёт одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года, после начисления процентов, оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял ко вкладу? (Ответ: 240 000 рублей)

1. (Аналог задачи 1.2.4.) По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 21 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А». (Ответ: 19%)

1. (Аналог задачи 1.2.4.) По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 5% в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов. (Ответ: 13%)

1. (Аналог задачи 1.3.2.) Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн рублей. (Ответ: 12 млн. рублей)

1. (Аналог задачи 1.1.6.) В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 19 000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 рублей. В начале любого когда Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей? (Ответ: в начале 2005 года)

1. (Аналог задачи 1.2.4.) По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 9 % в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов. (Ответ: 11)

1. (Аналог задачи 1.4.2.) По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 13% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся. (Ответ: 7 млн. и 4 млн. рублей)

1. (Аналог задачи 1.4.3.) Вклад в размере 6 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размеров в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 15 млн рублей. (Ответ: 3 млн. рублей)

1. (Аналог задачи 1.5.6.) Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн рублей, где х — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей. (Ответ:

1. (Аналог задачи 1.5.6.) Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн рублей, где х — целое число. Найдите наибольшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей. (Ответ: 24)

1. (Аналог задачи 1.3.2.) Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 3 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 5 млн рублей. (Ответ: 9 млн. рублей)

1. (Аналог задачи 1.3.3.) По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 100 миллионов, а за четыре года станут больше 170 миллионов рублей. (Ответ: 41 млн. рублей)

1. (Аналог задачи 1.2.5.) По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 8 % в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов. (Ответ: 12%)

1. (Аналог задачи 1.1.5.) Мистер Джонсон по случаю своего тридцатилетия открыл 1 октября 2010 года в банке счёт, на который он ежегодно кладёт 6000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 30% на сумму, находящуюся на счёте. Через 7 лет 1 октября 2017 года октября, следуя примеру мистера Джонсона, мистер Браун по случаю своего тридцатилетия тоже открыл в банке счёт, на который ежегодно кладёт по 13 800 рублей, а банк начисляет 69% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов мистера Джонсона и мистера Брауна сравняются, если деньги со счетов не снимают? (Ответ: в 2023 году)

10

Практические задачи  №
19

1. За­да­ние 19 № 506090. 31 де­каб­ря 2013
года Сер­гей взял в банке 9 930 000 руб­лей в кре­дит под 10% го­до­вых. Схема
вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года
банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на 10%), затем Сер­гей пе­ре­во­дит в банк опре­делённую сумму еже­год­но­го
пла­те­жа. Какой долж­на быть сумма еже­год­но­го пла­те­жа, чтобы Сер­гей вы­пла­тил
долг тремя рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми?

2. За­да­ние 19 № 506948. За время хра­не­ния
вкла­да в банке про­цен­ты по нему на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но сна­ча­ла в раз­ме­ре
5%, затем 12%, потом  и,
на­ко­нец, 12,5% в месяц. из­вест­но, что под дей­стви­ем каж­дой новой про­цент­ной
став­ки вклад на­хо­дил­ся целое число ме­ся­цев, а по ис­те­че­нии срока хра­не­ния
пер­во­на­чаль­ная сумма уве­ли­чи­лась на  Опре­де­ли­те
срок хра­не­ния вкла­да.

3. За­да­ние 19 № 506949. В на­ча­ле года
5/6 не­ко­то­рой суммы денег вло­жи­ли в банк А, а то, что оста­лось — в банк
Б. Если вклад на­хо­дит­ся в банке с на­ча­ла года, то к концу года он воз­рас­та­ет
на опре­делённый про­цент, ве­ли­чи­на ко­то­ро­го за­ви­сит от банка. Из­вест­но,
что к концу пер­во­го года сумма вкла­дов стала равна 670 у.е., к концу сле­ду­ю­ще­го
— 749 у.е. Если пер­во­на­чаль­но 5/6 суммы было бы вло­же­но в банк Б, а остав­шу­ю­ся
вло­жи­ли бы в банк А, то по ис­те­че­нии од­но­го года сумма вы­рос­ла бы до
710 у.е. Опре­де­ли­те сумму вкла­дов по ис­те­че­нии вто­ро­го года в этом слу­чае.

4. За­да­ние 19 № 506950. В банк по­ме­ще­на
сумма 3900 тысяч руб­лей под 50% го­до­вых. В конце каж­до­го из пер­вых че­ты­рех
лет хра­не­ния после вы­чис­ле­ния про­цен­тов вклад­чик до­пол­ни­тель­но вно­сил
на счет одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму. К концу пя­то­го года после на­чис­ле­ния
про­цен­тов ока­за­лось, что раз­мер вкла­да уве­ли­чил­ся по срав­не­нию с пер­во­на­чаль­ным
на 725%. Какую сумму вклад­чик еже­год­но до­бав­лял к вкла­ду?

5. За­да­ние 19 № 506951. Банк под опре­де­лен­ный
про­цент при­нял не­ко­то­рую сумму. Через год чет­верть на­коп­лен­ной суммы
была снята со счета. Банк уве­ли­чил про­цент го­до­вых на 40 про­цент­ных пунк­тов
(то есть уве­ли­чил став­ку а% до (а + 40)%). К
концу сле­ду­ю­ще­го года на­коп­лен­ная сумма в 1,44 раза пре­вы­си­ла пер­во­на­чаль­ный
вклад. Каков про­цент новых го­до­вых?

6. За­да­ние 19 № 506952. Фер­мер по­лу­чил
кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в
счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк 3/4 от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен
банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та
он внес в банк сумму, на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та.
Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

7. За­да­ние 19 № 506953. В ян­ва­ре 2000
года став­ка по де­по­зи­там в банке «Воз­рож­де­ние» со­ста­ви­ла х %
го­до­вых, тогда как в ян­ва­ре 2001 года — у % го­до­вых, при­чем
из­вест­но, что x + y = 30%. В ян­ва­ре 2000
года вклад­чик от­крыл счет в банке «Воз­рож­де­ние», по­ло­жив на него не­ко­то­рую
сумму. В ян­ва­ре 2001 года, по про­ше­ствии года с того мо­мен­та, вклад­чик
снял со счета пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние х при
ко­то­ром сумма на счету вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2002 года ста­нет мак­си­маль­но
воз­мож­ной.

8. За­да­ние 19 № 506954. В конце ав­гу­ста
2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой
денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов
края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив
за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но,
что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца
на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена
бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов
боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло
по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную
из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

9. За­да­ние 19 № 506955. Транcна­ци­о­наль­ная
ком­па­ния Amako Inc. ре­ши­ла про­ве­сти не­дру­же­ствен­ное по­гло­ще­ние ком­па­нии
First Aluminum Company (FAC) путем скуп­ки акций ми­но­ри­тар­ных ак­ци­о­не­ров.
Из­вест­но, что Amako было сде­ла­но три пред­ло­же­ния вла­дель­цам акций FAC,
при этом цена по­куп­ки одной акции каж­дый раз по­вы­ша­лась на 1/3. В ре­зуль­та­те
вто­ро­го пред­ло­же­ния Amako су­ме­ла уве­ли­чить число вы­куп­лен­ных акций
на 20%, а в ре­зуль­та­те скуп­ки по тре­тьей цене — еще на 20%. Най­ди­те цену
тре­тье­го пред­ло­же­ния и общее ко­ли­че­ство скуп­лен­ных акций FAC, если на­чаль­ное
пред­ло­же­ние со­став­ля­ло $27 за одну акцию, а по вто­рой цене Amako ску­пи­ла
15 тысяч акций.

10. За­да­ние 19 № 506956. Два бро­ке­ра ку­пи­ли
акции од­но­го до­сто­ин­ства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции воз­рос­ла,
они про­да­ли часть акций на сумму 3927 р. Пер­вый бро­кер про­дал 75% своих
акций, а вто­рой 80% своих. При этом сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ная
вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром.
На сколь­ко про­цен­тов воз­рос­ла цена одной акции?

11. За­да­ние 19 № 506957. Сер­гей взял кре­дит
в банке на срок 9 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся
долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 12%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную
Сер­ге­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся
так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но,
то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну.

Сколь­ко про­цен­тов от суммы кре­ди­та со­ста­ви­ла общая сумма,
упла­чен­ная Сер­ге­ем банку (сверх кре­ди­та)?

12. За­да­ние 19 № 506959. Баба Валя, на­ко­пив
часть своей пен­сии, ре­ши­ла улуч­шить свое ма­те­ри­аль­ное по­ло­же­ние. Она
узна­ла, что в Зпер­бан­ке от пен­си­о­не­ров при­ни­ма­ют вкла­ды под опре­де­лен­ный
про­цент го­до­вых и на этих усло­ви­ях внес­ла свои сбе­ре­же­ния в бли­жай­шее
от­де­ле­ние Зпер­бан­ка. Но через не­ко­то­рое время со­сед­ка ей рас­ска­за­ла,
что не­да­ле­ко от той мест­но­сти, где про­жи­ва­ют пен­си­о­не­ры, есть ком­мер­че­ский
банк, в ко­то­ром про­цент го­до­вых для пен­си­о­не­ров-вклад­чи­ков в 20 раз
выше, чем в Зпер­бан­ке. Баба Валя не до­ве­ря­ла ком­мер­че­ским бан­кам, но
стрем­ле­ние улуч­шить свое ма­те­ри­аль­ное по­ло­же­ние взяло верх. После дол­гих
ко­ле­ба­ний и ровно через год после от­кры­тия счета в Зпер­бан­ке Баба Валя
сняла по­ло­ви­ну об­ра­зо­вав­шей суммы от ее вкла­да, за­явив: «Такой навар
меня не устра­и­ва­ет!» И от­кры­ла счет в том ком­мер­че­ском банке, о ко­то­ром
го­во­ри­ла ее со­сед­ка, не теряя на­деж­ды на зна­чи­тель­ное улуч­ше­ние сво­е­го
ма­те­ри­аль­но­го бла­го­со­сто­я­ния.

На­деж­ды оправ­да­лись: через год сумма Бабы Вали в ком­мер­че­ском
банке пре­вы­си­ла ее пер­во­на­чаль­ные кров­ные сбе­ре­же­ния на 65%. Со­жа­ле­ла
Баба Валя, что год назад в Зпер­бан­ке сняла не всю сумму, а лишь по­ло­ви­ну,
од­на­ко, по­ду­ма­ла: «А где же мы не те­ря­ли?..»

Ген­ди­рек­тор ком­мер­че­ско­го банка ока­зал­ся хо­ро­шим: не
оста­вил Бабу Валю без на­ва­ра!

А каков в Зпер­бан­ке про­цент го­до­вых для пен­си­о­не­ров?

13. За­да­ние 19 № 507208. 31 де­каб­ря 2014
года Пётр взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под не­ко­то­рый про­цент
го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го
года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на а%), затем Пётр пе­ре­во­дит оче­ред­ной транш. Если он
будет пла­тить каж­дый год по 2 592 000 руб­лей, то вы­пла­тит долг
за 4 года. Если по 4 392 000 руб­лей, то за 2 года. Под какой про­цент Пётр
взял день­ги в банке?

14. За­да­ние 19 № 507212. 31 де­каб­ря 2014
года Алек­сей взял в банке 6 902 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых.
Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го
года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на 12,5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банк X руб­лей.
Какой долж­на быть сумма X, чтобы Алек­сей вы­пла­тил долг че­тырь­мя
рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

15. За­да­ние 19 № 507214. 1 ян­ва­ря 2015
года Тарас Пав­ло­вич взял в банке 1,1 млн руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты
кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет
2 про­цен­та на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 2%),
затем Тарас Пав­ло­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство
ме­ся­цев Тарас Пав­ло­вич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты
были не более 220 тыс. руб­лей?

16. За­да­ние 19 № 507227. Са­ве­лий хочет
взять в кре­дит 1,4 млн руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год
рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов.
Став­ка про­цен­та 10% го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет
может Са­ве­лий взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 330
тысяч руб­лей?

17. За­да­ние 19 № 507278. 1 ян­ва­ря 2015
года Павел Ви­та­лье­вич взял в банке 1 млн руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты
кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет
1 про­цент на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 1%),
затем Павел Ви­та­лье­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. НА какое ми­ни­маль­ное
ко­ли­че­ство ме­ся­цев Павел Ви­та­лье­вич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные
вы­пла­ты были не более 125 тыс. руб­лей?

18. За­да­ние 19 № 507280. 31 де­каб­ря 2014
года Яро­слав взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под 12,5% го­до­вых.
Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го
года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга ( то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на 12,5%), затем Яро­слав пе­ре­во­дит в банк 2 132 325 руб­лей. Какую
сумму взял Яро­слав в банке, если он вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми
(то есть за че­ты­ре года)?

19. За­да­ние 19 № 507284. 31 де­каб­ря 2014
года Ти­мо­фей взял в банке 7 007 000 руб­лей в кре­дит под 20% го­до­вых.
Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го
года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на 20%), затем Ти­мо­фей пе­ре­во­дит в банк платёж. Весь долг Ти­мо­фей
вы­пла­тил за 3 рав­ных пла­те­жа. На сколь­ко руб­лей мень­ше он бы отдал
банку, если бы смог вы­пла­тить долг за 2 рав­ных пла­те­жа?

20. За­да­ние 19 № 507714. Граж­да­нин Пет­ров
по слу­чаю рож­де­ния сына от­крыл 1 сен­тяб­ря 2008 года в банке счёт, на ко­то­рый
он еже­год­но кла­дет 1000 руб­лей. По усло­ви­ям вкла­да банк еже­год­но на­чис­ля­ет
20% на сумму, на­хо­дя­щу­ю­ся на счёте. Через 6 лет у граж­да­ни­на Пет­ро­ва
ро­ди­лась дочь, и 1 сен­тяб­ря 2014 года он от­крыл в дру­гом банке счёт, на
ко­то­рый еже­год­но кладёт по 2200 руб­лей, а банк на­чис­ля­ет 44% в год. В
каком году после оче­ред­но­го по­пол­не­ния суммы вкла­дов срав­ня­ют­ся, если
день­ги со сче­тов не сни­ма­ют?

21. За­да­ние 19 № 507890. Оля хочет взять в
кре­дит 100 000 руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми
сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов.
Став­ка про­цен­та 10 % го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет
может Оля взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 24000 руб­лей?

22. За­да­ние 19 № 508214. 1 ян­ва­ря 2015
года Алек­сандр Сер­ге­е­вич взял в банке 1,1 млн руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты
кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет
1 про­цент на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 1%),
затем Алек­сандр Сер­ге­е­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное
ко­ли­че­ство ме­ся­цев Алек­сандр Сер­ге­е­вич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные
вы­пла­ты были не более 275 тыс. руб­лей?

23. За­да­ние 19 № 508215. 31 де­каб­ря 2014
года Дмит­рий взял в банке 4 290 000 руб­лей в кре­дит под 14,5% го­до­вых.
Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го
года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на 14,5%), затем Дмит­рий пе­ре­во­дит в банк X руб­лей.
Какой долж­на быть сумма X, чтобы Дмит­рий вы­пла­тил долг двумя
рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за два года)?

24. За­да­ние 19 № 508217. 31 де­каб­ря 2014
года Са­ве­лий взял в банке 7 378 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема
вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года
банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на 12,5%), затем Са­ве­лий Пе­ре­во­дит в банк платёж. Весь долг Са­ве­лий
вы­пла­тил за 3 рав­ных пла­те­жа. На сколь­ко руб­лей мень­ше он бы отдал
банку, если бы смог вы­пла­тить долг за 2 рав­ных пла­те­жа?

25. За­да­ние 19 № 508236. В 1-е клас­сы по­сту­па­ет
45 че­ло­век: 20 маль­чи­ков и 25 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам:
в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом ― 23. После рас­пре­де­ле­ния
по­счи­та­ли про­цент де­во­чек в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли.
Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма
была наи­боль­шей?

26. За­да­ние 19 № 508257. В 1-е клас­сы по­сту­па­ет
43 че­ло­ве­ка: 23 маль­чи­ка и 20 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам:
в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом ― 21. После рас­пре­де­ле­ния
по­счи­та­ли про­цент маль­чи­ков в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли.
Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма
была наи­боль­шей?

27. За­да­ние 19 № 508626. Име­ет­ся три па­ке­та
акций. Общее сум­мар­ное ко­ли­че­ство акций пер­вых двух па­ке­тов сов­па­да­ет
с общим ко­ли­че­ством акций в тре­тьем па­ке­те. Пер­вый пакет в 4 раза де­шев­ле
вто­ро­го, а сум­мар­ная сто­и­мость пер­во­го и вто­ро­го па­ке­тов сов­па­да­ет
со сто­и­мо­стью тре­тье­го па­ке­та. Одна акция из вто­ро­го па­ке­та до­ро­же
одной акции из из пер­во­го па­ке­та на ве­ли­чи­ну, за­клю­чен­ную в пре­де­лах
от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из тре­тье­го па­ке­та не мень­ше
42 тыс. руб. и не боль­ше 60 тыс. руб. Опре­де­ли­те, какой наи­мень­ший и наи­боль­ший
про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те.

28. За­да­ние 19 № 508627. Фер­мер по­лу­чил
кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в
счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк  от
всей суммы, ко­то­рую он дол­жен был банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в
счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму на 21% пре­вы­ша­ю­щую
ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в
дан­ном банке?

29. За­да­ние 19 № 508629. Из­вест­но, что
вклад, на­хо­дя­щий­ся в банке с на­ча­ла года, воз­рас­та­ет к концу года на
опре­де­лен­ный про­цент, свой для каж­до­го банка. В на­ча­ле года Сте­пан по­ло­жил
60% не­ко­то­рой суммы денег в пер­вый банк, а остав­шу­ю­ся часть суммы во вто­рой
банк. К концу года сумма этих вкла­дов стала равна 590 000 руб., а к концу сле­ду­ю­ще­го
года 701 000 руб. Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 60% своей суммы
во вто­рой банк, а остав­шу­ю­ся часть в пер­вый, то по ис­те­че­нии од­но­го
года сумма вкла­дов стала бы рав­ной 610 000 руб. Ка­ко­ва была бы сумма вкла­дов
в этом слу­чае к концу вто­ро­го года?

30. За­да­ние 19 № 508975. Алек­сей взял кре­дит
в банке на срок 12 ме­ся­цев. По до­го­во­ру Алек­сей дол­жен вер­нуть кре­дит
еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го ме­ся­ца к остав­шей­ся сумме
долга до­бав­ля­ет­ся r % этой суммы и своим еже­ме­сяч­ным
пла­те­жом Алек­сей по­га­ша­ет эти до­бав­лен­ные про­цен­ты и умень­ша­ет
сумму долга. Еже­ме­сяч­ные пла­те­жи под­би­ра­ют­ся так, чтобы долг умень­шал­ся
на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц (на прак­ти­ке такая схема на­зы­ва­ет­ся
«схе­мой с диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми»). Из­вест­но, что общая
сумма, вы­пла­чен­ная Алек­се­ем банку за весь срок кре­ди­то­ва­ния, ока­за­лась
на 13 % боль­ше, чем сумма, взя­тая им в кре­дит. Най­ди­те r.

31. За­да­ние 19 № 509004. Алек­сей взял кре­дит
в банке на срок 17 ме­ся­цев. По до­го­во­ру Алек­сей дол­жен вер­нуть кре­дит еже­ме­сяч­ны­ми
пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го ме­ся­ца к остав­шей­ся сумме долга до­бав­ля­ет­ся r %
этой суммы и своим еже­ме­сяч­ным пла­те­жом Алек­сей по­га­ша­ет эти до­бав­лен­ные
про­цен­ты и умень­ша­ет сумму долга. Еже­ме­сяч­ные пла­те­жи под­би­ра­ют­ся
так, чтобы долг умень­шал­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц (на прак­ти­ке
такая схема на­зы­ва­ет­ся «схе­мой с диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми»).
Из­вест­но, что общая сумма, вы­пла­чен­ная Алек­се­ем банку за весь срок кре­ди­то­ва­ния,
ока­за­лась на 27 % боль­ше, чем сумма, взя­тая им в кре­дит. Най­ди­те r.

32. За­да­ние 19 № 509025. Алек­сей при­обрёл
цен­ную бу­ма­гу за 7 тыс. руб­лей. Цена бу­ма­ги каж­дый год воз­рас­та­ет на
2 тыс. руб­лей. В любой мо­мент Алек­сей может про­дать бу­ма­гу и по­ло­жить
вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счёт. Каж­дый год сумма на счёте будет
уве­ли­чи­вать­ся на 10 %. В те­че­ние ка­ко­го года после по­куп­ки Алек­сей
дол­жен про­дать цен­ную бу­ма­гу, чтобы через трид­цать лет после по­куп­ки
этой бу­ма­ги сумма на бан­ков­ском счёте была наи­боль­шей?

33. За­да­ние 19 № 509046. В 1-е клас­сы по­сту­па­ет
45 че­ло­век: 20 маль­чи­ков и 25 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам:
в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом ― 23. После рас­пре­де­ле­ния
по­счи­та­ли про­цент де­во­чек в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли.
Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма
была наи­боль­шей?

34. За­да­ние 19 № 509067. В 1-е клас­сы по­сту­па­ет
43 че­ло­ве­ка: 23 маль­чи­ка и 20 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам:
в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом ― 21. После рас­пре­де­ле­ния
по­счи­та­ли про­цент маль­чи­ков в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли.
Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма
была наи­боль­шей?

35. За­да­ние 19 № 509095. Фаб­ри­ка, про­из­во­дя­щая
пи­ще­вые по­лу­фаб­ри­ка­ты, вы­пус­ка­ет блин­чи­ки со сле­ду­ю­щи­ми ви­да­ми
на­чин­ки: ягод­ная и тво­рож­ная. В дан­ной ниже таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость
и от­пуск­ная цена, а также про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти фаб­ри­ки по
каж­до­му виду про­дук­та при пол­ной за­груз­ке всех мощ­но­стей толь­ко дан­ным
видом про­дук­та.

Вид на­чин­ки	Се­бе­сто­и­мость (за 1 тонну)	От­пуск­ная цена (за 1 тонну)	Про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти
ягоды	70 тыс. руб.	100 тыс. руб.	90 (тонн в мес.)
тво­рог	100 тыс. руб.	135 тыс. руб.	75 (тонн в мес.)

Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся
тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции каж­до­го вида долж­но быть вы­пу­ще­но не
менее 15 тонн. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция фаб­ри­ки на­хо­дит спрос
(ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль,
ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков
за 1 месяц.

36. За­да­ние 19 № 509124. Кон­серв­ный
завод вы­пус­ка­ет фрук­то­вые ком­по­ты в двух видах тары — стек­лян­ной
и же­стя­ной. Про­из­вод­ствен­ные мощ­но­сти за­во­да поз­во­ля­ют вы­пус­кать
в день 90 цент­не­ров ком­по­тов в стек­лян­ной таре или 80 цент­не­ров в же­стя­ной
таре. Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся
тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции в каж­дом из видов тары долж­но быть вы­пу­ще­но
не менее 20 цент­не­ров. В таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная
цена за­во­да за 1 цент­нер про­дук­ции для обоих видов тары.

Вид тары	Се­бе­сто­и­мость, 1 ц.	От­пуск­ная цена, 1 ц.
стек­лян­ная	1500 руб.	2100 руб.
же­стя­ная	1100 руб.	1750 руб.

Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция за­во­да на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся
без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль за­во­да за один
день (при­бы­лью на­зы­ва­ет­ся раз­ни­ца между от­пуск­ной сто­и­мо­стью всей
про­дук­ции и её се­бе­сто­и­мо­стью).

37. За­да­ние 19 № 509162. Алек­сей при­обрёл
цен­ную бу­ма­гу за 8 тыс. руб­лей. Цена бу­ма­ги каж­дый год воз­рас­та­ет на
1 тыс. руб­лей. В любой мо­мент Алек­сей может про­дать бу­ма­гу и по­ло­жить
вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счёт. Каж­дый год сумма на счёте будет
уве­ли­чи­вать­ся на 8%. В те­че­ние ка­ко­го года после по­куп­ки Алек­сей дол­жен
про­дать цен­ную бу­ма­гу, чтобы через два­дцать пять лет после по­куп­ки этой
бу­ма­ги сумма на бан­ков­ском счёте была наи­боль­шей?

38. За­да­ние 19 № 509183. 1 июня 2013 года
Все­во­лод Яро­сла­во­вич взял в банке 900000 руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты
кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет
1 про­цент на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 1%),
затем Все­во­лод Яро­сла­во­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное
ко­ли­че­ство ме­ся­цев Все­во­лод Яро­сла­во­вич может взять кре­дит, чтобы
еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 300000 руб­лей?

39. За­да­ние 19 № 509184. Пер­вич­ная ин­фор­ма­ция
раз­де­ля­ет­ся по сер­ве­рам №1 и №2 и об­ра­ба­ты­ва­ет­ся на них. С сер­ве­ра
№1 при объёме Гбайт
вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит  Гбайт,
а с сер­ве­ра №2 при объёме  Гбайт
вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит  Гбайт
об­ра­бо­тан­ной ин­фор­ма­ции; 25 < t < 55. Каков наи­боль­ший
общий объём вы­хо­дя­щей ин­фор­ма­ции при общем объёме вхо­дя­щей ин­фор­ма­ции
в 3364 Гбайт?

40. За­да­ние 19 № 509205. Гри­го­рий яв­ля­ет­ся
вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся
аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром
го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те,
если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся
сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю
они про­из­во­дят 3t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де,
рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t² часов
в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 4t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Гри­го­рий пла­тит
ра­бо­че­му 500 руб­лей.

Гри­го­рий готов вы­де­лять 5 000 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту
труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти
за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

41. За­да­ние 19 № 509824. Антон яв­ля­ет­ся
вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дит­ся
аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий.
Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t² часов
в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­водт t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом
го­ро­де, Антон пла­тит ра­бо­че­му 250 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном
во вто­ром го­ро­де, — 200 руб­лей.

Антон готов вы­де­лять 900 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда
ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти
за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Практические задачи №
19  Ответы

1. За­да­ние 19 № 506090. 31 де­каб­ря 2013
года Сер­гей взял в банке 9 930 000 руб­лей в кре­дит под 10% го­до­вых. Схема
вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года
банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на 10%), затем Сер­гей пе­ре­во­дит в банк опре­делённую сумму еже­год­но­го
пла­те­жа. Какой долж­на быть сумма еже­год­но­го пла­те­жа, чтобы Сер­гей вы­пла­тил
долг тремя рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна a, еже­год­ный пла­теж
равен x руб­лей, а го­до­вые со­став­ля­ют k %.
Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент m = 1
+ 0,01k. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит: a₁ = am − x.
После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит:

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга:

По усло­вию тремя вы­пла­та­ми Сер­гей дол­жен по­га­сить кре­дит
пол­но­стью, по­это­му  от­ку­да  При a =
9 930 000 и k = 10, по­лу­ча­ем: m = 1,1
и

Ответ: 3 993 000 руб­лей.

При­ведём
дру­гое ре­ше­ние.

Пусть  —
один из трёх ра­зо­вых пла­те­жей. Тогда сумма долга после опла­ты в пер­вом
году со­ста­вит:  После
вне­се­ния вто­ро­го пла­те­жа сумма долга ста­нет рав­ной  Сумма
долга после тре­тье­го пла­те­жа:  Тре­тьим
пла­те­жом Сер­гей дол­жен по­га­сить долг, то есть долг ста­нет рав­ным нулю:

2. За­да­ние 19 № 506948. За время хра­не­ния
вкла­да в банке про­цен­ты по нему на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но сна­ча­ла в раз­ме­ре
5%, затем 12%, потом  и,
на­ко­нец, 12,5% в месяц. из­вест­но, что под дей­стви­ем каж­дой новой про­цент­ной
став­ки вклад на­хо­дил­ся целое число ме­ся­цев, а по ис­те­че­нии срока хра­не­ния
пер­во­на­чаль­ная сумма уве­ли­чи­лась на  Опре­де­ли­те
срок хра­не­ния вкла­да.

Ре­ше­ние.

Из­вест­но:

1. Про­цен­ты на вклад на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но.

2. Каж­дая по­сле­ду­ю­щая про­цент­ная над­бав­ка по ис­те­че­нии
ка­лен­дар­но­го ме­ся­ца на­чис­ля­лась с уче­том вновь об­ра­зо­ван­ной суммы
вкла­да и с уче­том преды­ду­щих над­ба­вок.

Если пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да при еже­ме­сяч­ной 5%-ной
став­ке на­чис­ле­ния про­цен­тов про­дер­жа­лась  ме­ся­цев,
то вклад еже­ме­сяч­но уве­ли­чи­вал­ся в  раз,
и этот ко­эф­фи­ци­ент будет со­хра­нен до тех пор, пока став­ка не из­ме­нит­ся.

При из­ме­не­нии про­цент­ной над­бав­ки с 5% на 12% (став­ка 12%
про­дер­жа­лась  ме­ся­цев)
пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да за  ме­ся­цев
уве­ли­чит­ся в  раз.

Пред­по­ло­жим, что про­цент­ная став­ка  про­дер­жа­лась  ме­ся­цев,
а про­цент­ная став­ка  про­дер­жа­лась  ме­ся­цев.
Тогда со­от­вет­ству­ю­щие ко­эф­фи­ци­ен­ты по­вы­ше­ния со­ста­вят:

и 

Таким об­ра­зом, ко­эф­фи­ци­ент по­вы­ше­ния суммы вкла­да в
целом за весь пе­ри­од хра­не­ния вкла­да в банке со­ста­вит:

Это — с одной сто­ро­ны. Но с дру­гой сто­ро­ны, со­глас­но усло­вию
за­да­чи пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да за это же время уве­ли­чи­лась
на  т.е.
в

 ( раз).

Зна­чит,

Со­глас­но ос­нов­ной тео­ре­ме ариф­ме­ти­ки каж­дое на­ту­раль­ное
число, боль­шее 1, можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния про­стых мно­жи­те­лей,
и это пред­став­ле­ние един­ствен­ное с точ­но­стью до по­ряд­ка их сле­до­ва­ния.
В таком слу­чае:

Решим эту си­сте­му от­но­си­тель­но на­ту­раль­ных  и 

Из по­след­не­го урав­не­ния си­сте­мы имеем:  При
этих зна­че­ни­ях  и  си­сте­ма
при­мет вид:

 

Итак,  вклад
в банке на хра­не­нии был 7 ме­ся­цев. При най­ден­ных зна­че­ни­ях  и   дей­стви­тель­но
равно нулю.

Ответ: 7.

3. За­да­ние 19 № 506949. В на­ча­ле года
5/6 не­ко­то­рой суммы денег вло­жи­ли в банк А, а то, что оста­лось — в банк
Б. Если вклад на­хо­дит­ся в банке с на­ча­ла года, то к концу года он воз­рас­та­ет
на опре­делённый про­цент, ве­ли­чи­на ко­то­ро­го за­ви­сит от банка. Из­вест­но,
что к концу пер­во­го года сумма вкла­дов стала равна 670 у.е., к концу сле­ду­ю­ще­го
— 749 у.е. Если пер­во­на­чаль­но 5/6 суммы было бы вло­же­но в банк Б, а остав­шу­ю­ся
вло­жи­ли бы в банк А, то по ис­те­че­нии од­но­го года сумма вы­рос­ла бы до
710 у.е. Опре­де­ли­те сумму вкла­дов по ис­те­че­нии вто­ро­го года в этом слу­чае.

Ре­ше­ние.

Пусть в банк А, у ко­то­ро­го ис­хо­дя из го­до­вой про­цент­ной
став­ки ко­эф­фи­ци­ент по­вы­ше­ния вкла­да равен  вло­же­но  у.е.
денег. Тогда в банк Б, у ко­то­ро­го ана­ло­гич­ный ко­эф­фи­ци­ент равен  вло­же­но у.е
денег.

В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи будем иметь:

Если бы те же суммы были вло­же­ны в банки Б и А со­от­вет­ствен­но,
то имели бы урав­не­ние  (3)

А ис­ко­мая сумма будет равна зна­че­нию вы­ра­же­ния 

Рас­смот­рим си­сте­му урав­не­ний (1) и (3):

От­сю­да: 

Под­ста­вим най­ден­ное зна­че­ние y в урав­не­ние (2):

Ис­ко­мая сумма имеет вид: 

Ответ: 841.

4. За­да­ние 19 № 506950. В банк по­ме­ще­на
сумма 3900 тысяч руб­лей под 50% го­до­вых. В конце каж­до­го из пер­вых че­ты­рех
лет хра­не­ния после вы­чис­ле­ния про­цен­тов вклад­чик до­пол­ни­тель­но вно­сил
на счет одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму. К концу пя­то­го года после на­чис­ле­ния
про­цен­тов ока­за­лось, что раз­мер вкла­да уве­ли­чил­ся по срав­не­нию с пер­во­на­чаль­ным
на 725%. Какую сумму вклад­чик еже­год­но до­бав­лял к вкла­ду?

Ре­ше­ние.

Общая сумма, при­чи­та­ю­ща­я­ся вклад­чи­ку, вклю­чая до­пол­ни­тель­ные
вкла­ды в те­че­ние че­ты­рех лет и все про­цент­ные на­чис­ле­ния, к концу пя­то­го
года хра­не­ния денег со­став­ля­ет 825 (100+725) про­цен­тов от пер­во­на­чаль­но­го
(3900 тыс. руб.). Эта сумма равна:

 (тыс.руб.)

Не­ко­то­рая часть най­ден­ной суммы об­ра­зо­ва­на хра­не­ни­ем
пер­во­на­чаль­но вло­жен­ной суммы (3900 тыс.руб.) Вы­чис­лим эту часть. По­сколь­ку
про­цент­ная над­бав­ка на­чис­ля­лась в раз­ме­ре 50% го­до­вых, то за 5 лет
хра­не­ния этой части вкла­да вло­жен­ная сумма уве­ли­чи­лась в  раза.
То есть стала:

 (тыс.
руб.)

Те­перь най­дем дру­гую часть об­ра­зо­ван­ной суммы с уче­том до­пол­ни­тель­ных
вкла­дов в те­че­ние че­ты­рех лет, а также про­цент­ных на­чис­ле­ний на эту
сумму. Эта часть равна раз­но­сти двух сумм, вы­чис­лен­ных выше.

 (тыс.
руб.)

Это — с одной сто­ро­ны. С дру­гой же сто­ро­ны эта сумма об­ра­зо­ва­лась
так:

Пусть вклад­чик в конце года и еще три раза в сле­ду­ю­щие годы
вно­сил до­пол­ни­тель­ный вклад в сумме  тыс.
руб.

В конце пер­во­го года хра­не­ния этой суммы (к концу вто­ро­го
года от от­кры­тия вкла­да) она вы­рос­ла до  тыс.
руб.

Вклад­чик до­пол­ни­тель­но внес еще  тыс.
руб. На на­ча­ло сле­ду­ю­ще­го ка­лен­дар­но­го года эта часть суммы стала:

 (тыс.руб.)

Через год эта сумма вы­рос­ла до:

 (тыс.руб.)

Но вклад­чик внес на счет еще  тыс.руб.
Сумма стала:

 (тыс.
руб.)

Через год эта сумма вы­рос­ла до:

 (тыс.
руб.)

Вклад­чик вновь внес на счет  тыс.
руб. Часть вкла­да ста­но­вит­ся рав­ной:

 (тыс.руб.)

К концу по­след­не­го года хра­не­ния всего вкла­да эта часть вы­рас­та­ет
до:

 (тыс.
руб.)

Те­перь решим урав­не­ние:

Итак, ис­ко­мая сумма равна 210 тыс. руб.

Ответ: 210 000.

5. За­да­ние 19 № 506951. Банк под опре­де­лен­ный
про­цент при­нял не­ко­то­рую сумму. Через год чет­верть на­коп­лен­ной суммы
была снята со счета. Банк уве­ли­чил про­цент го­до­вых на 40 про­цент­ных пунк­тов
(то есть уве­ли­чил став­ку а% до (а + 40)%). К
концу сле­ду­ю­ще­го года на­коп­лен­ная сумма в 1,44 раза пре­вы­си­ла пер­во­на­чаль­ный
вклад. Каков про­цент новых го­до­вых?

Ре­ше­ние.

Пусть банк пер­во­на­чаль­но при­нял вклад в раз­ме­ре  у.е.
под  го­до­вых.
Тогда к на­ча­лу вто­ро­го года сумма стала  у.е.

После сня­тия чет­вер­ти на­коп­лен­ной суммы на счету оста­лось  у.е.

С мо­мен­та уве­ли­че­ния бан­ком про­цент­ной став­ки на 40% к
концу вто­ро­го года хра­не­ния остат­ка вкла­да на­коп­лен­ная сумма стала

 у.е.

По усло­вию за­да­чи эта сумма равна  у.е.

Решим урав­не­ние 

  

; 

Этот ко­рень не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи:  Новые
го­до­вые со­став­ля­ют 20 + 40 = 60 %.

Ответ: 60.

6. За­да­ние 19 № 506952. Фер­мер по­лу­чил
кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в
счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк 3/4 от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен
банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та
он внес в банк сумму, на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та.
Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та со­став­ля­ет  у.е.,
а про­цент­ная став­ка по кре­ди­ту  К
концу пер­во­го года сумма долга фер­ме­ра в банк с уче­том на­чис­лен­ных про­цен­тов
со­ста­ви­ла  у.е.

После воз­вра­ще­ния банку 3/4 части от суммы долга долг фер­ме­ра
на сле­ду­ю­щий год со­ста­вил  у.е.

На эту сумму в сле­ду­ю­щем году вновь на­чис­ле­ны про­цен­ты.
Сумма долга фер­ме­ра к концу вто­ро­го года по­га­ше­ния кре­ди­та с уче­том
про­цент­ной став­ки со­ста­ви­ла  у.е.
По усло­вию за­да­чи эта сумма равна  у.е.

Решим урав­не­ние  на
мно­же­стве по­ло­жи­тель­ных чисел.

Ответ: 120.

7. За­да­ние 19 № 506953. В ян­ва­ре 2000
года став­ка по де­по­зи­там в банке «Воз­рож­де­ние» со­ста­ви­ла х %
го­до­вых, тогда как в ян­ва­ре 2001 года — у % го­до­вых, при­чем
из­вест­но, что x + y = 30%. В ян­ва­ре 2000
года вклад­чик от­крыл счет в банке «Воз­рож­де­ние», по­ло­жив на него не­ко­то­рую
сумму. В ян­ва­ре 2001 года, по про­ше­ствии года с того мо­мен­та, вклад­чик
снял со счета пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние х при
ко­то­ром сумма на счету вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2002 года ста­нет мак­си­маль­но
воз­мож­ной.

Ре­ше­ние.

Пусть в ян­ва­ре 2000 года вклад­чик по­ло­жил на счет  у.е.
Тогда в ян­ва­ре 2001 года на счету сумма ста­нет  у.е.
Но в ян­ва­ре же 2001 года вклад­чик снял  у.е.
На счету оста­лось:

 у.е.

В ян­ва­ре 2002 года сумма на счету будет равна:

Функ­ция  яв­ля­ет­ся
квад­ра­тич­ной от .

У нее есть наи­боль­шее зна­че­ние при 

Ответ: 25.

8. За­да­ние 19 № 506954. В конце ав­гу­ста
2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой
денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов
края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив
за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но,
что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца
на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена
бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов
боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло
по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную
из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма, ко­то­рой пер­во­на­чаль­но рас­по­ла­га­ла ад­ми­ни­стра­ция
края, со­став­ля­ла  у.е.,
а цена бар­ре­ля сырой нефти  у.е.
Тогда пер­во­на­чаль­но воз­мож­ный объем за­ку­пок со­став­лял  бар­ре­лей.
Этот объем при­мем за 100 про­цен­тов. За 2 ме­ся­ца хра­не­ния в банке по­ло­жен­ная
сумм вы­рос­ла до у.е.,
а цена бар­ре­ля сырой нефти за это же время убыла до  у.е.
Сле­до­ва­тель­но, 1 но­яб­ря 2001 г. ру­ко­вод­ство края на эту сумму могла за­ку­пить  бар­ре­лей
сырой нефти. Про­цент­ное от­но­ше­ние этого объ­е­ма к пер­во­на­чаль­но воз­мож­но­му
объ­е­му за­ку­пок со­ста­вит:

 % то
есть  %
=  %.

Зна­чит, ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить 1 но­яб­ря 2001
г. неф­тя­ные за­па­сы края на 96% боль­ше, чем 1 сен­тяб­ря того же года.

Ответ: 96.

9. За­да­ние 19 № 506955. Транcна­ци­о­наль­ная
ком­па­ния Amako Inc. ре­ши­ла про­ве­сти не­дру­же­ствен­ное по­гло­ще­ние ком­па­нии
First Aluminum Company (FAC) путем скуп­ки акций ми­но­ри­тар­ных ак­ци­о­не­ров.
Из­вест­но, что Amako было сде­ла­но три пред­ло­же­ния вла­дель­цам акций FAC,
при этом цена по­куп­ки одной акции каж­дый раз по­вы­ша­лась на 1/3. В ре­зуль­та­те
вто­ро­го пред­ло­же­ния Amako су­ме­ла уве­ли­чить число вы­куп­лен­ных акций
на 20%, а в ре­зуль­та­те скуп­ки по тре­тьей цене — еще на 20%. Най­ди­те цену
тре­тье­го пред­ло­же­ния и общее ко­ли­че­ство скуп­лен­ных акций FAC, если на­чаль­ное
пред­ло­же­ние со­став­ля­ло $27 за одну акцию, а по вто­рой цене Amako ску­пи­ла
15 тысяч акций.

Ре­ше­ние.

Пред­ло­же­ния	Цена одной акции ($)	Ко­ли­че­ство вы­куп­лен­ных акций
При дан­ном  пред­ло­же­нии	Общее ко­ли­че­ство  вы­куп­лен­ных акций
1	27		75 000
2	36	15 000	90 000
3	48		108 000

Ответ: цена тре­тьего пред­ло­же­ния со­ста­ви­ла $48 за одну
акцию; всего было вы­куп­ле­но 108 000 акций.

10. За­да­ние 19 № 506956. Два бро­ке­ра ку­пи­ли
акции од­но­го до­сто­ин­ства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции воз­рос­ла,
они про­да­ли часть акций на сумму 3927 р. Пер­вый бро­кер про­дал 75% своих
акций, а вто­рой 80% своих. При этом сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ная
вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром.
На сколь­ко про­цен­тов воз­рос­ла цена одной акции?

Ре­ше­ние.

Пер­вый
спо­соб (близ­кий к ариф­ме­ти­че­ско­му ре­ше­нию).

Пусть пер­вый бро­кер купил  акций,
а вто­рой —  акций.
Тогда пер­вый про­дал  акций,
вто­рой —  акций.

То, что сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ных вто­рым бро­ке­ром,
на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром, озна­ча­ет:
сумма, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, боль­ше суммы, по­лу­чен­ной пер­вым,
в 2,4 раза:

Так как цена одной акции у обоих бро­ке­ров оди­на­ко­ва, а по­лу­чен­ные
суммы прямо про­пор­ци­о­наль­ны ко­ли­че­ству акций, про­дан­ных каж­дым бро­ке­ром,
то

Если  —
ко­эф­фи­ци­ент про­пор­ци­о­наль­но­сти ко­ли­че­ства акций, куп­лен­ных бро­ке­ра­ми,
то ими при­об­ре­те­но  акций
на сумму 3640 р. Сле­до­ва­тель­но, на тот мо­мент цена каж­дой акции со­став­ля­ла:

 р.

Пер­вый бро­кер про­дал  акций,
вто­рой  акций.
Всего было про­да­но  акций.
К мо­мен­ту про­да­жи цена одной акции стала

(р), т.е.
на  (р)
выше.

Зна­чит, цена одной акции воз­рос­ла на 37,5%

Вто­рой
спо­соб (пре­об­ла­да­ет ал­геб­ра­и­че­ский под­ход).

Пусть  р.
— пер­во­на­чаль­ная цена одной акции,  —
ко­ли­че­ство акций, куп­лен­ных пер­вым бро­ке­ром,  —
ко­ли­че­ство акций, куп­лен­ных вто­рым бро­ке­ром. И пусть цена одной акции
воз­рос­ла на %.
Тогда: (1)

Со вре­ме­нем цена одной акции вы­рос­ла до  руб­лей.

Пер­вый бро­кер про­дал акций на сумму  руб­лей,
а вто­рой бро­кер — на  руб­лей.

Со­глас­но усло­вию за­да­чи имеем:  т.е.

 (2)

Так как сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром,
на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром, то

Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние  в
урав­не­ние (1), будем иметь:

Под­ста­вим то же зна­че­ние  в
урав­не­ние (2):

А зна­че­ние  нами
най­де­но выше.

Сле­до­ва­тель­но, 

Ответ: 37,5.

11. За­да­ние 19 № 506957. Сер­гей взял кре­дит
в банке на срок 9 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся
долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 12%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную
Сер­ге­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся
так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но,
то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну.

Сколь­ко про­цен­тов от суммы кре­ди­та со­ста­ви­ла общая сумма,
упла­чен­ная Сер­ге­ем банку (сверх кре­ди­та)?

Ре­ше­ние.

Пред­ло­же­ние «Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца,
под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась
рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну» озна­ча­ет: Сер­гей взя­тую
сумму воз­вра­щал рав­ны­ми до­ля­ми.

Общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку сверх кре­ди­та, обу­слов­ле­на
толь­ко при­ме­не­ни­ем про­цент­ной став­ки.

В пер­вом ме­ся­це эта часть за­пла­чен­ной суммы со­став­ля­ла , во
вто­ром —  в
тре­тьем —  в
вось­мом —  на­ко­нец,
в по­след­нем — 

Всего за 9 ме­ся­цев:

Ис­ко­мое про­цент­ное от­но­ше­ние есть 60 

Ответ: 60.

12. За­да­ние 19 № 506959. Баба Валя, на­ко­пив
часть своей пен­сии, ре­ши­ла улуч­шить свое ма­те­ри­аль­ное по­ло­же­ние. Она
узна­ла, что в Зпер­бан­ке от пен­си­о­не­ров при­ни­ма­ют вкла­ды под опре­де­лен­ный
про­цент го­до­вых и на этих усло­ви­ях внес­ла свои сбе­ре­же­ния в бли­жай­шее
от­де­ле­ние Зпер­бан­ка. Но через не­ко­то­рое время со­сед­ка ей рас­ска­за­ла,
что не­да­ле­ко от той мест­но­сти, где про­жи­ва­ют пен­си­о­не­ры, есть ком­мер­че­ский
банк, в ко­то­ром про­цент го­до­вых для пен­си­о­не­ров-вклад­чи­ков в 20 раз
выше, чем в Зпер­бан­ке. Баба Валя не до­ве­ря­ла ком­мер­че­ским бан­кам, но
стрем­ле­ние улуч­шить свое ма­те­ри­аль­ное по­ло­же­ние взяло верх. После дол­гих
ко­ле­ба­ний и ровно через год после от­кры­тия счета в Зпер­бан­ке Баба Валя
сняла по­ло­ви­ну об­ра­зо­вав­шей суммы от ее вкла­да, за­явив: «Такой навар
меня не устра­и­ва­ет!» И от­кры­ла счет в том ком­мер­че­ском банке, о ко­то­ром
го­во­ри­ла ее со­сед­ка, не теряя на­деж­ды на зна­чи­тель­ное улуч­ше­ние сво­е­го
ма­те­ри­аль­но­го бла­го­со­сто­я­ния.

На­деж­ды оправ­да­лись: через год сумма Бабы Вали в ком­мер­че­ском
банке пре­вы­си­ла ее пер­во­на­чаль­ные кров­ные сбе­ре­же­ния на 65%. Со­жа­ле­ла
Баба Валя, что год назад в Зпер­бан­ке сняла не всю сумму, а лишь по­ло­ви­ну,
од­на­ко, по­ду­ма­ла: «А где же мы не те­ря­ли?..»

Ген­ди­рек­тор ком­мер­че­ско­го банка ока­зал­ся хо­ро­шим: не
оста­вил Бабу Валю без на­ва­ра!

А каков в Зпер­бан­ке про­цент го­до­вых для пен­си­о­не­ров?

Ре­ше­ние.

Пусть Баба Валя внес­ла в Зпер­банк  у. е.
под  го­до­вых.
Тогда за год хра­не­ния вкла­да в Зпер­бан­ке вне­сен­ная сумма вы­рос­ла
до  у. е.
Баба Валя сняла со счета  у. е.
и по­ме­сти­ла эту сумму в ком­мер­че­ский банк. За год хра­не­ния вкла­да в
ком­мер­че­ском банке сумма вы­рос­ла до  у.е.
А эта сумма по усло­вию за­да­чи со­став­ля­ет  у. е.

Решим урав­не­ние 

По усло­вию за­да­чи нам под­хо­дит толь­ко по­ло­жи­тель­ный ко­рень  Зна­чит,
в Зпер­бан­ке про­цент го­до­вых для пен­си­о­не­ров равен 10.

Ответ: 10.

13. За­да­ние 19 № 507208. 31 де­каб­ря 2014
года Пётр взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под не­ко­то­рый про­цент
го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го
года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на а%), затем Пётр пе­ре­во­дит оче­ред­ной транш. Если он
будет пла­тить каж­дый год по 2 592 000 руб­лей, то вы­пла­тит долг
за 4 года. Если по 4 392 000 руб­лей, то за 2 года. Под какой про­цент Пётр
взял день­ги в банке?

Ре­ше­ние.

Пусть  —
сумма кре­ди­та. Обо­зна­чим еже­год­ные пла­те­жи  и  со­от­вет­ствен­но.
Сумма долга каж­дый год уве­ли­чи­ва­ет­ся на  то
есть сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент После
пер­вой вы­пла­ты сумма долга ста­нет рав­ной  после
вто­рой вы­пла­ты:  после
тре­тье вы­пла­ты:  после
четвёртой вы­пла­ты:  Причём
долг будет по­га­шен пол­но­стью, по­лу­ча­ем, то есть  Ана­ло­гич­но
по­лу­ча­ем урав­не­ние для слу­чая, когда вы­пла­ты со­вер­ша­ют­ся пла­те­жа­ми
раз­ме­ром   Имеем
си­сте­му урав­не­ний:

Под­ста­вим вы­ра­же­ние для  в
пер­вое урав­не­ние: Пре­об­ра­зу­ем
это урав­не­ние:

Под­став­ляя чис­ло­вые зна­че­ния по­лу­ча­ем:

От­ри­ца­тель­ные корни не под­хо­дят по усло­вию за­да­чи, зна­чит,  от­ку­да  то
есть Пётр взял день­ги в банке под 20%.

Ответ: 20%.

14. За­да­ние 19 № 507212. 31 де­каб­ря 2014
года Алек­сей взял в банке 6 902 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых.
Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го
года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на 12,5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банк X руб­лей.
Какой долж­на быть сумма X, чтобы Алек­сей вы­пла­тил долг че­тырь­мя
рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна  а
го­до­вые со­став­ля­ют  Тогда
31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент  После
пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит  После
вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

После чет­вер­той вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

По усло­вию че­тырь­мя вы­пла­та­ми Алек­сей дол­жен по­га­сить
кре­дит пол­но­стью, по­это­му

При  и  по­лу­ча­ем:  и

Ответ: 2 296 350.

15. За­да­ние 19 № 507214. 1 ян­ва­ря 2015
года Тарас Пав­ло­вич взял в банке 1,1 млн руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты
кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет
2 про­цен­та на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 2%),
затем Тарас Пав­ло­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство
ме­ся­цев Тарас Пав­ло­вич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты
были не более 220 тыс. руб­лей?

Ре­ше­ние.

Ясно, что чем боль­ше ме­сяч­ные вы­пла­ты, тем быст­рее будет вы­пла­чен
долг. Зна­чит, срок кре­ди­та будет ми­ни­ма­лен в том слу­чае, когда вы­пла­ты
со­став­ля­ют 220 тыс. руб­лей. Со­ста­вим таб­ли­цу, в пер­вом столб­це ко­то­рой
будем ука­зы­вать долг на пер­вое число ме­ся­ца, а во вто­ром — долг в том же
ме­ся­це, но уже после вы­пла­ты. Для упро­ще­ния расчётов будем со­хра­нять
толь­ко два знака после за­пя­той, пред­став­ляя суммы долга в тыс. руб­лей.

Месяц	Долг на пер­вое число ме­ся­ца (тыс. руб)	Долг после вы­пла­ты (тыс. руб)
1	1122	902
2	920,04	700,04
3	714,04	494,04
4	503,92	283,92
5	289,60	69,60
6	70,99	0

За­ме­тим, что в по­след­ний месяц вы­пла­та со­ста­вит менее 220
тыс. руб. Из таб­ли­цы видно, что ми­ни­маль­ный срок кре­ди­та в усло­ви­ях за­да­чи
со­став­ля­ет 6 ме­ся­цев.

Ответ: 6.

16. За­да­ние 19 № 507227. Са­ве­лий хочет
взять в кре­дит 1,4 млн руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год
рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов.
Став­ка про­цен­та 10% го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет
может Са­ве­лий взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 330
тысяч руб­лей?

Ре­ше­ние.

Ясно, что чем боль­ше го­до­вые вы­пла­ты, тем быст­рее будет вы­пла­чен
долг. Зна­чит, срок кре­ди­та будет ми­ни­ма­лен в том слу­чае, когда вы­пла­ты
со­став­ля­ют 330 тыс. руб­лей. Со­ста­вим таб­ли­цу, в пер­вом столб­це ко­то­рой
будем ука­зы­вать долг после на­чис­ле­ния про­цен­тов, а во вто­ром — долг
после вы­пла­ты. Для упро­ще­ния расчётов будем со­хра­нять толь­ко два знака
после за­пя­той, пред­став­ляя суммы долга в тыс. руб­лей.

Годы	Долг до вы­пла­ты (тыс. руб)	Долг после вы­пла­ты (тыс. руб)
1	1540	1210
2	1331	1001
3	1101,1	771,1
4	848,21	518,21
5	570,03	240,03
6	264,03	0

За­ме­тим, что в по­след­ний год вы­пла­та со­ста­вит менее 330
тыс. руб. Из таб­ли­цы видно, что ми­ни­маль­ный срок кре­ди­та в усло­ви­ях за­да­чи
со­став­ля­ет 6 лет.

Ответ: 6 лет.

17. За­да­ние 19 № 507278. 1 ян­ва­ря 2015
года Павел Ви­та­лье­вич взял в банке 1 млн руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты
кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет
1 про­цент на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 1%),
затем Павел Ви­та­лье­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. НА какое ми­ни­маль­ное
ко­ли­че­ство ме­ся­цев Павел Ви­та­лье­вич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные
вы­пла­ты были не более 125 тыс. руб­лей?

Ре­ше­ние.

Ясно, что за 8 ме­ся­цев Павел Ви­та­лье­вич не спра­вит­ся с вы­пла­той
долга, так как он вер­нет банку не более  руб­лей,
а общий долг будет боль­ше мил­ли­о­на руб­лей, так как банк еще на­чис­ля­ет
про­цен­ты. По­ка­жем, что на 9 ме­ся­цев кре­дит брать можно. Пусть еже­ме­сяч­ный
пла­теж будет равен 125000 руб­лей. Через месяц за­дол­жен­ность Павла Ви­та­лье­ви­ча
перед бан­ком со­ста­вит 1010000 руб­лей, затем Павел Ви­та­лье­вич вы­пла­чи­ва­ет
125000 и долг со­став­ля­ет 885000. Затем банк на­чис­ля­ет про­цент, но 1 про­цент
от остав­шей­ся суммы будет уже мень­ше, чем 10000 руб­лей, и в даль­ней­шем
будет тем более мень­ше. По­это­му за­дол­жен­ность через два ме­ся­ца будет
мень­ше 895000, а после оче­ред­но­го пла­те­жа — мень­ше 770000 руб­лей. Ана­ло­гич­но,
через 3 ме­ся­ца за­дол­жен­ность будет мень­ше 780000, а после пла­те­жа —
мень­ше 655000 руб­лей. Через 4 ме­ся­ца за­дол­жен­ность будет мень­ше 665000,
а после пла­те­жа — мень­ше 540000 руб­лей. Через 5 ме­ся­цев за­дол­жен­ность
будет мень­ше 550000, а после пла­те­жа — мень­ше 425000 руб­лей. Через 6 ме­ся­цев
за­дол­жен­ность будет мень­ше 435000, а после пла­те­жа — мень­ше 310000 руб­лей.
Через 7 ме­ся­цев за­дол­жен­ность будет мень­ше 320000, а после пла­те­жа —
мень­ше 195000 руб­лей. Через 8 ме­ся­цев за­дол­жен­ность будет мень­ше
205000, а после пла­те­жа — мень­ше 80000 руб­лей. Таким об­ра­зом, через 9 ме­ся­цев
за­дол­жен­ность за­ве­до­мо не будет пре­вы­шать 90000 руб­лей, и своим по­след­ним
пла­те­жом Павел Ви­та­лье­вич пол­но­стью рас­пла­тит­ся с бан­ком.

Ответ: на 9 ме­ся­цев

18. За­да­ние 19 № 507280. 31 де­каб­ря 2014
года Яро­слав взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под 12,5% го­до­вых.
Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го
года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга ( то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на 12,5%), затем Яро­слав пе­ре­во­дит в банк 2 132 325 руб­лей. Какую
сумму взял Яро­слав в банке, если он вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми
(то есть за че­ты­ре года)?

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние: За­ме­тим
сна­ча­ла, что уве­ли­чить число на 12,5% это тоже самое, что умно­жить это
число на .
Пусть Яро­слав взял в банке N руб­лей, а его еже­год­ный пла­теж
равен a (в дан­ном слу­чае а = 2132325).
Тогда из усло­вия сле­ду­ет урав­не­ние:  Рас­кры­вая
скоб­ки, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее: . От­сю­да  Скла­ды­вая
дроби и упро­щая, по­лу­ча­ем:  Под­став­ляя , по­лу­ча­ем: .

Ответ: 6409000р.

19. За­да­ние 19 № 507284. 31 де­каб­ря 2014
года Ти­мо­фей взял в банке 7 007 000 руб­лей в кре­дит под 20% го­до­вых.
Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го
года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на 20%), затем Ти­мо­фей пе­ре­во­дит в банк платёж. Весь долг Ти­мо­фей
вы­пла­тил за 3 рав­ных пла­те­жа. На сколь­ко руб­лей мень­ше он бы отдал
банку, если бы смог вы­пла­тить долг за 2 рав­ных пла­те­жа?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a%.
Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b =
1 + 0,01a. После пер­вой по­ло­ви­ны вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит S₁ = Sb − X.
После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

После тре­тей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

По усло­вию тремя вы­пла­та­ми Ти­мо­фей по­га­сил кре­дит пол­но­стью,
по­это­му  от­ку­да 

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим, что если бы Ти­мо­фей гасил
долг двумя рав­ны­ми вы­пла­та­ми, то каж­дый год он дол­жен был бы вы­пла­чи­вать  руб­лей.
Зна­чит, он отдал банку на боль­ше.

При S = 7 007 000 и a = 20, по­лу­ча­ем: b =
1,2 и

 (руб­лей).

 (руб­лей).

Зна­чит, 3X−2Y = 806400.

Ответ: 806400.

20. За­да­ние 19 № 507714. Граж­да­нин Пет­ров
по слу­чаю рож­де­ния сына от­крыл 1 сен­тяб­ря 2008 года в банке счёт, на ко­то­рый
он еже­год­но кла­дет 1000 руб­лей. По усло­ви­ям вкла­да банк еже­год­но на­чис­ля­ет
20% на сумму, на­хо­дя­щу­ю­ся на счёте. Через 6 лет у граж­да­ни­на Пет­ро­ва
ро­ди­лась дочь, и 1 сен­тяб­ря 2014 года он от­крыл в дру­гом банке счёт, на
ко­то­рый еже­год­но кладёт по 2200 руб­лей, а банк на­чис­ля­ет 44% в год. В
каком году после оче­ред­но­го по­пол­не­ния суммы вкла­дов срав­ня­ют­ся, если
день­ги со сче­тов не сни­ма­ют?

Ре­ше­ние.

Через  лет
1 сен­тяб­ря на пер­вом счёте будет сумма

В это же время на вто­ром счёте будет сумма

При­рав­ня­ем эти суммы и решим по­лу­чен­ное урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, суммы на сче­тах срав­ня­ют­ся через 11 лет после
от­кры­тия пер­во­го вкла­да то есть в в 2019 году.

Ответ: 2019.

21. За­да­ние 19 № 507890. Оля хочет взять в
кре­дит 100 000 руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми
сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов.
Став­ка про­цен­та 10 % го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет
может Оля взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 24000 руб­лей?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a %.
Тогда в по­след­ний день каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся
на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01a Со­ста­вим
таб­ли­цу вы­плат.

Год	Долг банку (руб.)	Оста­ток доли после вы­пла­ты (руб.)
0	100000	–
1	110000	86000
2	94600	70600
3	77660	53660
4	59026	35026
5	38528,6	14528,6
6	15981,46	0

Зна­чит, Оля по­га­сит кре­дит за 6 лет.

Ответ: 6.

22. За­да­ние 19 № 508214. 1 ян­ва­ря 2015 года
Алек­сандр Сер­ге­е­вич взял в банке 1,1 млн руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты
кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет
1 про­цент на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 1%),
затем Алек­сандр Сер­ге­е­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное
ко­ли­че­ство ме­ся­цев Алек­сандр Сер­ге­е­вич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные
вы­пла­ты были не более 275 тыс. руб­лей?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что за 4 ме­ся­ца Алек­сандр Сер­ге­е­вич вы­пла­тит
1,1 млн руб­лей. Таким об­ра­зом, он не по­кро­ет долг с про­цен­та­ми. Каж­дый
месяц долг уве­ли­чи­ва­ет­ся не более, чем на 1 100 000 · 0,01 =
11 000 руб­лей. Зна­чит, за пять ме­ся­цев Алек­сандр Сер­ге­е­вич дол­жен
будет вы­пла­тить не более 1 100 000 + 5 · 11 000 = 1 155 000 руб­лей,
что менее чем 5 · 275 000 = 1 375 000 руб­лей. Таким об­ра­зом, Алек­сандр
Сер­ге­е­вич смо­жет вы­пла­тить кре­дит за 5 ме­ся­цев.

Ответ: 5.

23. За­да­ние 19 № 508215. 31 де­каб­ря 2014
года Дмит­рий взял в банке 4 290 000 руб­лей в кре­дит под 14,5% го­до­вых.
Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го
года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на 14,5%), затем Дмит­рий пе­ре­во­дит в банк X руб­лей.
Какой долж­на быть сумма X, чтобы Дмит­рий вы­пла­тил долг двумя
рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за два года)?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют а%.
Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b =
1 + 0,01а. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит S₁ = Sb
− X. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

По усло­вию двумя вы­пла­та­ми Дмит­рий дол­жен по­га­сить кре­дит
пол­но­стью, по­это­му  от­ку­да 

При S = 4 290 000 и а = 14,5, по­лу­ча­ем: b =
1,145 и

 (руб­лей).

Ответ: 2 622 050.

24. За­да­ние 19 № 508217. 31 де­каб­ря 2014
года Са­ве­лий взял в банке 7 378 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых.
Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го
года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет
долг на 12,5%), затем Са­ве­лий Пе­ре­во­дит в банк платёж. Весь долг Са­ве­лий
вы­пла­тил за 3 рав­ных пла­те­жа. На сколь­ко руб­лей мень­ше он бы отдал
банку, если бы смог вы­пла­тить долг за 2 рав­ных пла­те­жа?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что уве­ли­че­ние долга на 12,5% есть уве­ли­че­ние его
в  раза.

Дата	Долг при усло­вии, что Са­ве­лий вы­пла­тил долг за 3 рав­ных пла­те­жа	Долг при усло­вии, что Са­ве­лий вы­пла­тил долг за 2 рав­ных пла­те­жа
31.12.2014	Долг: 7 378 000 руб.	Долг: 7 378 000 руб.
31.12.2015	Долг уве­ли­чен, стал  руб.	Долг уве­ли­чен, стал  руб.
До 31.12.2016	Са­ве­лий пе­ре­вел в банк х руб. Долг умень­шил­ся и стал руб.	Са­ве­лий пе­ре­вел в банк у руб. Долг умень­шил­ся и стал руб.
31.12.2016	Долг уве­ли­чен в раза, стал  руб.	Долг уве­ли­чен в раза, стал  руб.
До 31.12.2017	Са­ве­лий пе­ре­вел в банк х руб. Долг умень­шил­ся и стал  руб., т. е.  руб.	Са­ве­лий пе­ре­вел в банк у руб. Долг умень­шил­ся и стал руб., т. е.  руб. Са­ве­лий рас­пла­тил­ся за 2 рав­ных пла­те­жа. Долга нет. Т. е.
31.12.2017	Долг уве­ли­чен в  раза, стал  руб.	Долг 0 руб.
До 31.12.2018	Са­ве­лий пе­ре­вел в банк х руб. Долг умень­шил­ся и стал руб., т.е.  руб. Са­ве­лий рас­пла­тил­ся за 3 рав­ных пла­те­жа. Долга нет. Т.е.	Долг 0 руб.

Из таб­ли­цы по­лу­ча­ем, что еже­год­ные пла­те­жи в пер­вом слу­чае:  Во
вто­ром слу­чае:  Найдём
на­сколь­ко руб­лей мень­ше отдал бы Са­ве­лий банку, если бы вы­пла­чи­вал
долг двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми:

Ответ: 506 250.

25. За­да­ние 19 № 508236. В 1-е клас­сы по­сту­па­ет
45 че­ло­век: 20 маль­чи­ков и 25 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам:
в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом ― 23. После рас­пре­де­ле­ния
по­счи­та­ли про­цент де­во­чек в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли.
Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма
была наи­боль­шей?

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние 1. Вме­сто сум­мар­но­го про­цен­та будем счи­тать сум­мар­ную
долю де­во­чек ― оче­вид­но, эти числа от­ли­ча­ют­ся в 100 раз и до­сти­га­ют
сво­е­го мак­си­му­ма од­но­вре­мен­но. Каж­дая де­воч­ка в клас­се из 22 че­ло­век
со­став­ля­ет  от
об­ще­го числа уча­щих­ся в этом клас­се, а в клас­се из 23 че­ло­век ―  от
об­ще­го числа уча­щих­ся. Зна­чит, если по­ме­нять ме­ста­ми де­воч­ку из боль­ше­го
клас­са и маль­чи­ка из мень­ше­го, сум­мар­ный про­цент де­во­чек вы­рас­тет.
Таким об­ра­зом, мак­си­мум до­сти­га­ет­ся, когда все по­доб­ные пе­ре­ста­нов­ки
сде­ла­ны, то есть, когда мень­ший класс пол­но­стью со­сто­ит из де­во­чек, а
в боль­шем клас­се ― 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ре­ше­ние 2. Пусть в мень­ший класс рас­пре­де­ле­но х де­во­чек
(где ),
тогда в боль­ший класс по­па­ло  де­во­чек.
Зна­чит, сум­мар­ная доля де­во­чек в двух клас­сах равна  и
пред­став­ля­ет собой ли­ней­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том.
Зна­чит, эта функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния на пра­вом
конце про­ме­жут­ка [2; 22], то есть при  Таким
об­ра­зом, мень­ший класс пол­но­стью дол­жен со­сто­ять из де­во­чек, а в боль­шем
клас­се долж­но быть 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ответ: В одном клас­се ― 22 де­воч­ки, в дру­гом ― 3 де­воч­ки и 20
маль­чи­ков.

26. За­да­ние 19 № 508257. В 1-е клас­сы по­сту­па­ет
43 че­ло­ве­ка: 23 маль­чи­ка и 20 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам:
в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом ― 21. После рас­пре­де­ле­ния
по­счи­та­ли про­цент маль­чи­ков в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли.
Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма
была наи­боль­шей?

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние 1. Вме­сто сум­мар­но­го про­цен­та будем счи­тать сум­мар­ную
долю маль­чи­ков ― оче­вид­но, эти числа от­ли­ча­ют­ся в 100 раз и до­сти­га­ют
сво­е­го мак­си­му­ма од­но­вре­мен­но. Каж­дый маль­чик в клас­се из 22 че­ло­век
со­став­ля­ет  от
об­ще­го числа уча­щих­ся в этом клас­се, а в клас­се из 21 че­ло­век ―  от
об­ще­го числа уча­щих­ся. Зна­чит, если по­ме­нять ме­ста­ми де­воч­ку из мень­ше­го
клас­са и маль­чи­ка из боль­ше­го, сум­мар­ный про­цент маль­чи­ков вы­рас­тет.
Таким об­ра­зом, мак­си­мум до­сти­га­ет­ся, когда все по­доб­ные пе­ре­ста­нов­ки
сде­ла­ны, то есть, когда мень­ший класс пол­но­стью со­сто­ит из маль­чи­ков,
а в боль­шем клас­се ― 20 де­во­чек и 2 маль­чи­ка.

Ре­ше­ние 2. Пусть в мень­ший класс рас­пре­де­ле­но х маль­чи­ков
(где ),
тогда в боль­ший класс по­па­ло ()
маль­чи­ков. Зна­чит, сум­мар­ная доля маль­чи­ков в двух клас­сах равна  и
пред­став­ля­ет собой ли­ней­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том.
Зна­чит, эта функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния на пра­вом
конце про­ме­жут­ка [1; 21], то есть при  Таким
об­ра­зом, мень­ший класс пол­но­стью дол­жен со­сто­ять из маль­чи­ков, а в
боль­шем клас­се долж­но быть 20 де­воч­ки и 2 маль­чи­ка.

Ответ: В одном клас­се ― 21 маль­чик, в дру­гом ― 20 де­во­чек и 2
маль­чи­ка.

27. За­да­ние 19 № 508626. Име­ет­ся три па­ке­та
акций. Общее сум­мар­ное ко­ли­че­ство акций пер­вых двух па­ке­тов сов­па­да­ет
с общим ко­ли­че­ством акций в тре­тьем па­ке­те. Пер­вый пакет в 4 раза де­шев­ле
вто­ро­го, а сум­мар­ная сто­и­мость пер­во­го и вто­ро­го па­ке­тов сов­па­да­ет
со сто­и­мо­стью тре­тье­го па­ке­та. Одна акция из вто­ро­го па­ке­та до­ро­же
одной акции из из пер­во­го па­ке­та на ве­ли­чи­ну, за­клю­чен­ную в пре­де­лах
от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из тре­тье­го па­ке­та не мень­ше
42 тыс. руб. и не боль­ше 60 тыс. руб. Опре­де­ли­те, какой наи­мень­ший и наи­боль­ший
про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния так, как по­ка­за­но в таб­ли­це (вы­де­ле­но
цве­том), и затем за­пол­ним остав­ши­е­ся ячей­ки по дан­ным из усло­вия:

	Пер­вый пакет	Вто­рой пакет	Тре­тий пакет
Цена одной акции, тыс. руб.
Ко­ли­че­ство акций в па­ке­те, шт
Цена па­ке­та, тыс. руб.

За­ме­тим, что цена одной акции из вто­ро­го па­ке­та равна  тыс.
руб., а цена одной акции из тре­тье­го па­ке­та равна  тыс.
руб., при­чем из усло­вия сле­ду­ет, что  Тре­бу­ет­ся
опре­де­лить наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние ве­ли­чи­ны  вы­ра­жен­ное
в про­цен­тах. Из усло­вия имеем:

От­рез­ки [a; b] и [c; d] пе­ре­се­ка­ют­ся
тогда и толь­ко тогда, когда а ≤ d и с ≤ b од­но­вре­мен­но,
по­это­му по­лу­чен­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда:

Решим эту си­сте­му на ин­тер­ва­ле (1; 4):

Тем самым,

т.
е. ис­ко­мая доля ме­ня­ет­ся от 12,5% до 15%.

Ответ: 12,5% и 15%.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что при най­ден­ных зна­че­ни­ях l су­ще­ству­ет
такие зна­че­ния цены акций пер­во­го па­ке­тах, что цены акций вто­ро­го
и тре­тье­го па­ке­тов под­чи­ня­ют­ся ука­зан­ным в усло­вии огра­ни­че­ни­ям.
При этом ко­ли­че­ство акций в пер­вом па­ке­те может быть любым на­ту­раль­ным
чис­лом: ни усло­вие, ни ре­ше­ние от этого ко­ли­че­ства не за­ви­сят. С дру­гой
сто­ро­ны, для ре­ше­ния за­да­чи су­ще­ствен­но, что цены всех акций в каж­дом
па­ке­те оди­на­ко­вы. Об этом ав­то­рам сле­до­ва­ло на­пи­сать в усло­вии
более от­чет­ли­во.

При­ведём
ре­ше­ние И. В. Фельд­ман.

Будем счи­тать, что общая сто­и­мость акций фик­си­ро­ва­на. Да­вай­те
для на­ча­ла вве­дем пе­ре­мен­ные:

	Пер­вый пакет	Вто­рой пакет	Тре­тий пакет
Ко­ли­че­ство акций	n	m	n + m
Сто­и­мость акций	x	y	z

Тогда сто­и­мость пер­во­го па­ке­та акций равна nx,
вто­ро­го my, тре­тье­го (n + m)z.

Те­перь вни­ма­тель­но чи­та­ем за­да­чу:

1. Пер­вый пакет в 4 раза де­шев­ле вто­ро­го, сле­до­ва­тель­но,
4nx = my.

2. Сум­мар­ная сто­и­мость пер­во­го и вто­ро­го па­ке­тов сов­па­да­ет
со сто­и­мо­стью тре­тье­го па­ке­та, сле­до­ва­тель­но, 4nx + my = z(n + m).

3. Одна акция из вто­ро­го па­ке­та до­ро­же одной акции из из пер­во­го
па­ке­та на ве­ли­чи­ну, за­клю­чен­ную в пре­де­лах от 16 тыс. р. до 20 тыс.
р., сле­до­ва­тель­но, 16 ≤ y − x ≤ 20.

4. Цена акции из тре­тье­го па­ке­та не мень­ше 42 тыс. р. и не
боль­ше 60 тыс. р., сле­до­ва­тель­но, 42 ≤z ≤ 60.

По­лу­чи­ли си­сте­му усло­вий:

В первую оче­редь раз­бе­рем­ся с не­ра­вен­ства­ми. По усло­вию
за­да­чи нам нужно найти, какой наи­мень­ший и наи­боль­ший про­цент от об­ще­го
ко­ли­че­ства акций может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те.

Этот про­цент равен

Сна­ча­ла най­дем, при каких усло­ви­ях этот про­цент будет наи­мень­шим.
Общее сум­мар­ное ко­ли­че­ство акций пер­вых двух па­ке­тов сов­па­да­ет с
общим ко­ли­че­ством акций в тре­тьем па­ке­те. По­это­му чем мень­ше акций в
тре­тьем па­ке­те, тем мень­ше сум­мар­ное ко­ли­че­ство акций в пер­вых двух
па­ке­тах. Акций в тре­тьем па­ке­те тем мень­ше, чем боль­ше их сто­и­мость.
Сле­до­ва­тель­но, чтобы по­лу­чить наи­мень­ший про­цент акций из пер­во­го па­ке­та,
мы долж­ны взять наи­боль­шую сто­и­мость акций из тре­тье­го, то есть
берем z = 60.

Далее. Чем де­шев­ле акции из вто­ро­го па­ке­та, тем их боль­ше,
и тем мень­ше оста­ет­ся акций в пер­вом па­ке­те (сум­мар­ное ко­ли­че­ство
акций пер­вых двух па­ке­тов сов­па­да­ет с общим ко­ли­че­ством акций в тре­тьем
па­ке­те). Сле­до­ва­тель­но, раз­ность между сто­и­мо­стью акции из пер­во­го
па­ке­та и акции из вто­ро­го па­ке­та долж­на быть наи­мень­шей. По­это­му
берем y − x = 16.

По­лу­чи­ли си­сте­му урав­не­ний:

В этой си­стем 4 урав­не­ния и 5 не­из­вест­ных, по­это­му мы не
можем найти зна­че­ние каж­дой не­из­вест­ной ве­ли­чи­ны. Но мы можем найти их
со­от­но­ше­ние. Для этого вер­нем­ся вер­нем­ся к во­про­су за­да­чи. Нам
нужно найти зна­че­ние вы­ра­же­ния  Рас­смот­рим
дробь  Об­рат­ная
ей дробь равна  То
есть если мы най­дем от­но­ше­ние , то
за­да­ча будет ре­ше­на. Из пер­во­го, вто­ро­го и чет­вер­то­го урав­не­ний си­сте­мы
по­лу­чим  Из
тре­тье­го урав­не­ния вы­ра­зим y через x, по­лу­чим  Под­ста­вим
это вы­ра­же­ние для y в пер­вое урав­не­ние и вы­ра­зим x через n и m:

Под­ста­вим это вы­ра­же­ние для x в урав­не­ние
(2). По­лу­чим: 

Раз­де­лим обе части ра­вен­ства на 20 и умно­жим на . По­лу­чим: Рас­кро­ем
скоб­ки, при­ве­дем по­доб­ные члены и пе­ре­не­сем сла­га­е­мые в одну сто­ро­ну,
по­лу­чим:  Раз­де­лим
обе части ра­вен­ства на  и
решим квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но :

По­лу­чим 2 зна­че­ния  и 

Так как n и m — на­ту­раль­ные
числа, нам под­хо­дит толь­ко  То
есть . Под­ста­вим
это со­от­но­ше­ние в вы­ра­же­ние (1):

Итак, наи­мень­ший про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций, ко­то­рый
может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те, равен 12,5%. Ана­ло­гич­ным об­ра­зом
най­дем наи­боль­ший про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций, ко­то­рый может
со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те. По­лу­чим си­сте­му урав­не­ний:

Из пер­во­го, вто­ро­го и чет­вер­то­го урав­не­ний по­лу­чим  Из
тре­тье­го урав­не­ния вы­ра­зим y через x, по­лу­чим  Под­ста­вим
это вы­ра­же­ние для y в пер­вое урав­не­ние и вы­ра­зим x через n и m.
По­лу­чим:  Под­ста­вим
это вы­ра­же­ние для x в урав­не­ние (3). По­лу­чим:  Раз­де­лим
обе части ра­вен­ства на 2 и умно­жим на  .
По­лу­чим:  Рас­кро­ем
скоб­ки, при­ве­дем по­доб­ные члены и пе­ре­не­сем сла­га­е­мые в одну сто­ро­ну,
по­лу­чим:  Раз­де­лим
обе части ра­вен­ства на  умно­жим
на −1 и решим квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но 

По­лу­чим 2 зна­че­ния:  и  Так
как n и m — на­ту­раль­ные числа, нам под­хо­дит
толь­ко  То
есть  Под­ста­вим
это со­от­но­ше­ние в вы­ра­же­ние (1):

Итак, наи­боль­ший про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций, ко­то­рый
может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те, равен 15%.

Ответ: 12,5% и 15%.

28. За­да­ние 19 № 508627. Фер­мер по­лу­чил
кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в
счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк  от
всей суммы, ко­то­рую он дол­жен был банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в
счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму на 21% пре­вы­ша­ю­щую
ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в
дан­ном банке?

Ре­ше­ние.

Пусть фер­мер взял сумму  под  го­до­вых.
Через год он стал дол­жен банку сумму вер­нул
в банк три чет­вер­ти долга — сумму  и
остал­ся дол­жен  Еще
через год фер­мер стал дол­жен банку  внес
в банк сумму 1,21 чем
рас­счи­тал­ся с бан­ком пол­но­стью. От­сю­да имеем:

Тем самым, банк выдал фер­ме­ру кре­дит под 120% го­до­вых (это
ограб­ле­ние).

Ответ: 120.

29. За­да­ние 19 № 508629. Из­вест­но, что
вклад, на­хо­дя­щий­ся в банке с на­ча­ла года, воз­рас­та­ет к концу года на
опре­де­лен­ный про­цент, свой для каж­до­го банка. В на­ча­ле года Сте­пан по­ло­жил
60% не­ко­то­рой суммы денег в пер­вый банк, а остав­шу­ю­ся часть суммы во вто­рой
банк. К концу года сумма этих вкла­дов стала равна 590 000 руб., а к концу сле­ду­ю­ще­го
года 701 000 руб. Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 60% своей суммы
во вто­рой банк, а остав­шу­ю­ся часть в пер­вый, то по ис­те­че­нии од­но­го
года сумма вкла­дов стала бы рав­ной 610 000 руб. Ка­ко­ва была бы сумма вкла­дов
в этом слу­чае к концу вто­ро­го года?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма денег, ко­то­рые Сте­пан по­ло­жил в два раз­ных
банка, со­став­ля­ет х руб. Ко­эф­фи­ци­ент по­вы­ше­ния
суммы, обу­слов­лен­ный го­до­вой про­цент­ной став­кой на вклад, со­став­ля­ет
в пер­вом банкеu, во вто­ром v (это — не про­цент­ная
став­ка).

Тогда к концу пер­во­го года хра­не­ния (60% про­цен­тов в пер­вом
банке и 40% во вто­ром банке) вся сумма вкла­да стала  (руб.).

Если бы Сте­пан пер­во­на­чаль­но по­ло­жил 60% всей суммы во вто­рой
банк, а 40% — в пер­вый банк, то вся сумма была бы равна  (руб.).

Решим си­сте­му урав­не­ний  от­но­си­тель­но xu и xv.

Для удоб­ства в рас­че­тах за­ме­ним число 590 000 вы­ра­же­ни­ем
590t, 610 000 — вы­ра­же­ни­ем 610t, t = 1000.

Тогда при­ве­ден­ная си­сте­ма урав­не­ний после не­ко­то­рых пре­об­ра­зо­ва­ний
будет вы­гля­деть так: 

Решим ее от­но­си­тель­но xu и xv.

Те­перь вос­поль­зу­ем­ся тем, что к концу вто­ро­го года сумма
вкла­дов (в реале) стала 701 000 руб., т.е. 701t руб.

 

При 

Те­перь не­труд­но найти и ис­ко­мую сумму.

 (руб.)

Ответ: 749 000.

30. За­да­ние 19 № 508975. Алек­сей взял кре­дит
в банке на срок 12 ме­ся­цев. По до­го­во­ру Алек­сей дол­жен вер­нуть кре­дит
еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го ме­ся­ца к остав­шей­ся сумме
долга до­бав­ля­ет­ся r % этой суммы и своим еже­ме­сяч­ным
пла­те­жом Алек­сей по­га­ша­ет эти до­бав­лен­ные про­цен­ты и умень­ша­ет
сумму долга. Еже­ме­сяч­ные пла­те­жи под­би­ра­ют­ся так, чтобы долг умень­шал­ся
на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц (на прак­ти­ке такая схема на­зы­ва­ет­ся
«схе­мой с диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми»). Из­вест­но, что общая
сумма, вы­пла­чен­ная Алек­се­ем банку за весь срок кре­ди­то­ва­ния, ока­за­лась
на 13 % боль­ше, чем сумма, взя­тая им в кре­дит. Най­ди­те r.

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна  По
усло­вию долг Алек­сея дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

К концу каж­до­го ме­ся­ца к сумме долга до­бав­ля­ет­ся  Пусть  Тогда
по­сле­до­ва­тель­ность сумм долга вме­сте с про­цен­та­ми та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

Всего сле­ду­ет вы­пла­тить:

Общая сумма вы­плат ока­за­лась на 13% боль­ше суммы, взя­той в
кре­дит, по­это­му:

От­ку­да по­лу­ча­ем, что 

Ответ: 2.

31. За­да­ние 19 № 509004. Алек­сей взял кре­дит
в банке на срок 17 ме­ся­цев. По до­го­во­ру Алек­сей дол­жен вер­нуть кре­дит
еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го ме­ся­ца к остав­шей­ся сумме
долга до­бав­ля­ет­ся r % этой суммы и своим еже­ме­сяч­ным
пла­те­жом Алек­сей по­га­ша­ет эти до­бав­лен­ные про­цен­ты и умень­ша­ет
сумму долга. Еже­ме­сяч­ные пла­те­жи под­би­ра­ют­ся так, чтобы долг умень­шал­ся
на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц (на прак­ти­ке такая схема на­зы­ва­ет­ся
«схе­мой с диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми»). Из­вест­но, что общая
сумма, вы­пла­чен­ная Алек­се­ем банку за весь срок кре­ди­то­ва­ния, ока­за­лась
на 27 % боль­ше, чем сумма, взя­тая им в кре­дит. Най­ди­те r.

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна  По
усло­вию долг Алек­сея дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

К концу каж­до­го ме­ся­ца к сумме долга до­бав­ля­ет­ся  Пусть  Тогда
по­сле­до­ва­тель­ность сумм долга вме­сте с про­цен­та­ми та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

Всего сле­ду­ет вы­пла­тить:

Общая сумма вы­плат ока­за­лась на 27% боль­ше суммы, взя­той в
кре­дит, по­это­му:

От­ку­да по­лу­ча­ем, что 

Ответ: 3.

32. За­да­ние 19 № 509025. Алек­сей при­обрёл
цен­ную бу­ма­гу за 7 тыс. руб­лей. Цена бу­ма­ги каж­дый год воз­рас­та­ет на
2 тыс. руб­лей. В любой мо­мент Алек­сей может про­дать бу­ма­гу и по­ло­жить
вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счёт. Каж­дый год сумма на счёте будет
уве­ли­чи­вать­ся на 10 %. В те­че­ние ка­ко­го года после по­куп­ки Алек­сей
дол­жен про­дать цен­ную бу­ма­гу, чтобы через трид­цать лет после по­куп­ки
этой бу­ма­ги сумма на бан­ков­ском счёте была наи­боль­шей?

Ре­ше­ние.

Если Алек­сей про­даст бу­ма­гу в те­че­ние k-го года,
то через трид­цать лет после по­куп­ки сумма на его счёте будет равна  Таким
об­ра­зом, нам нужно найти номер мак­си­маль­но­го члена

по­сле­до­ва­тель­но­сти ,
где k про­бе­га­ет целые зна­че­ния от 1 до 30. Рас­смот­рим
при­ра­ще­ние

От­сю­да  при  и  при  Сле­до­ва­тель­но,
наи­боль­шее зна­че­ние по­сле­до­ва­тель­ность  при­ни­ма­ет
при 

Ответ: в те­че­ние вось­мо­го года.

———————————————————

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Про­дать цен­ную бу­ма­гу нужно в том мо­мент, когда 10% от сто­и­мо­сти
ста­нут со­став­лять не мень­ше чем 2 тыс. руб­лей, что воз­мож­но при сто­и­мо­сти
бу­ма­ги не менее 20 тыс. руб­лей.

Это про­изой­дет через семь лет после по­куп­ки цен­ной бу­ма­ги
(7 + 7 · 2 = 21).

Таким об­ра­зом цен­ную бу­ма­гу нужно про­дать в те­че­нии вось­мо­го
года (сразу по про­ше­ствии семи лет)

33. За­да­ние 19 № 509046. В 1-е клас­сы по­сту­па­ет
45 че­ло­век: 20 маль­чи­ков и 25 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам:
в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом ― 23. После рас­пре­де­ле­ния
по­счи­та­ли про­цент де­во­чек в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли.
Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма
была наи­боль­шей?

Ре­ше­ние.

Вме­сто сум­мар­но­го про­цен­та будем счи­тать сум­мар­ную долю
де­во­чек ― оче­вид­но, эти числа от­ли­ча­ют­ся в 100 раз и до­сти­га­ют сво­е­го
мак­си­му­ма од­но­вре­мен­но. Каж­дая де­воч­ка в клас­се из 22 че­ло­век со­став­ля­ет
1/22 от об­ще­го числа уча­щих­ся в этом клас­се, а в клас­се из 23 че­ло­век ―
1/23 от об­ще­го числа уча­щих­ся. Зна­чит, если по­ме­нять ме­ста­ми де­воч­ку
из боль­ше­го клас­са и маль­чи­ка из мень­ше­го, сум­мар­ный про­цент де­во­чек
вы­рас­тет. Таким об­ра­зом, мак­си­мум до­сти­га­ет­ся, когда все по­доб­ные
пе­ре­ста­нов­ки сде­ла­ны, то есть, когда мень­ший класс пол­но­стью со­сто­ит
из де­во­чек, а в боль­шем клас­се ― 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

При­ведём
дру­гое ре­ше­ние.

Пусть в мень­ший класс рас­пре­де­ле­но  де­во­чек
(где ),
тогда в боль­ший класс по­па­ло  де­во­чек.
Зна­чит, сум­мар­ная доля де­во­чек в двух клас­сах равна  и
пред­став­ля­ет собой ли­ней­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том.
Зна­чит, эта функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния на пра­вом
конце про­ме­жут­ка [2; 22], то есть при Таким
об­ра­зом, мень­ший класс пол­но­стью дол­жен со­сто­ять из де­во­чек, а в боль­шем
клас­се долж­но быть 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ответ: в одном клас­се — 22 де­воч­ки, в дру­гом — 3 де­воч­ки и 20
маль­чи­ков.

34. За­да­ние 19 № 509067. В 1-е клас­сы по­сту­па­ет
43 че­ло­ве­ка: 23 маль­чи­ка и 20 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам:
в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом ― 21. После рас­пре­де­ле­ния
по­счи­та­ли про­цент маль­чи­ков в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли.
Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма
была наи­боль­шей?

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние
1. Вме­сто сум­мар­но­го про­цен­та будем счи­тать сум­мар­ную
долю маль­чи­ков ― оче­вид­но, эти числа от­ли­ча­ют­ся в 100 раз и до­сти­га­ют
сво­е­го мак­си­му­ма од­но­вре­мен­но. Каж­дый маль­чик в клас­се из 22 че­ло­век
со­став­ля­ет 1/22 от об­ще­го числа уча­щих­ся в этом клас­се, а в клас­се из
21 че­ло­век ― 1/21 от об­ще­го числа уча­щих­ся. Зна­чит, если по­ме­нять ме­ста­ми
де­воч­ку из мень­ше­го клас­са и маль­чи­ка из боль­ше­го, сум­мар­ный про­цент
маль­чи­ков вы­рас­тет. Таким об­ра­зом, мак­си­мум до­сти­га­ет­ся, когда все
по­доб­ные пе­ре­ста­нов­ки сде­ла­ны, то есть, когда мень­ший класс пол­но­стью
со­сто­ит из маль­чи­ков, а в боль­шем клас­се ― 20 де­во­чек и 2 маль­чи­ка.

Ре­ше­ние
2. Пусть в мень­ший класс рас­пре­де­ле­но х маль­чи­ков
(где ),
тогда в боль­ший класс по­па­ло ()
маль­чи­ков. Зна­чит, сум­мар­ная доля маль­чи­ков в двух клас­сах равна  и
пред­став­ля­ет собой ли­ней­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том.
Зна­чит, эта функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния на пра­вом
конце про­ме­жут­ка [1; 21], то есть при .
Таким об­ра­зом, мень­ший класс пол­но­стью дол­жен со­сто­ять из маль­чи­ков,
а в боль­шем клас­се долж­но быть 20 де­воч­ки и 2 маль­чи­ка.

Ответ: В одном клас­се ― 21 маль­чик, в дру­гом ― 20 де­во­чек и 2
маль­чи­ка.

35. За­да­ние 19 № 509095. Фаб­ри­ка, про­из­во­дя­щая
пи­ще­вые по­лу­фаб­ри­ка­ты, вы­пус­ка­ет блин­чи­ки со сле­ду­ю­щи­ми ви­да­ми
на­чин­ки: ягод­ная и тво­рож­ная. В дан­ной ниже таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость
и от­пуск­ная цена, а также про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти фаб­ри­ки по
каж­до­му виду про­дук­та при пол­ной за­груз­ке всех мощ­но­стей толь­ко дан­ным
видом про­дук­та.

Вид на­чин­ки	Се­бе­сто­и­мость (за 1 тонну)	От­пуск­ная цена (за 1 тонну)	Про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти
ягоды	70 тыс. руб.	100 тыс. руб.	90 (тонн в мес.)
тво­рог	100 тыс. руб.	135 тыс. руб.	75 (тонн в мес.)

Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся
тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции каж­до­го вида долж­но быть вы­пу­ще­но не
менее 15 тонн. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция фаб­ри­ки на­хо­дит спрос
(ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль,
ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков
за 1 месяц.

Ре­ше­ние.

Пусть x — доля мощ­но­стей за­во­да, за­ня­тых
под про­из­вод­ство блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой, а y— доля
мощ­но­стей, за­ня­тых под про­из­вод­ство блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой.
Тогда x + y = 1, при этом блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой
про­из­во­дит­ся 90x тонн, а с тво­рож­ной на­чин­кой — 75y тонн.
Кроме того, из усло­вия ас­сор­ти­мент­но­сти сле­ду­ет, что  от­ку­да  а  от­ку­да  При­быль
за­во­да с одной тонны про­дук­ции с ягод­ной на­чин­кой равна 100 − 70 = 30
тыс. руб., при­быль с одной тонны про­дук­ции с тво­рож­ной на­чин­кой равна
135 − 100 = 35 тыс. руб., а общая при­быль с про­из­ведённой за месяц про­дук­ции
равна 30 · 90x + 35 · 75y = 2700x +
2625y.

Таким об­ра­зом, в пе­ре­во­де на ма­те­ма­ти­че­ский язык, нам не­об­хо­ди­мо
найти наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния 75 · (36x + 35y)
при вы­пол­не­нии сле­ду­ю­щих усло­вий:

Чтобы найти те x и у, для ко­то­рых
до­сти­га­ет­ся мак­си­мум вы­ра­же­ния 36x + 35y при
усло­ви­ях (*), пре­об­ра­зу­ем си­сте­му (*), вы­ра­зив у через x:

Под­став­ляя у = 1 − x в вы­ра­же­ние
36x + 35y, по­лу­ча­ем: 36x + 35(1 − x)
= 35 + x. Оче­вид­но, что вы­ра­же­ние 35 + x при
усло­ви­ях  при­ни­ма­ет
наи­боль­шее зна­че­ние при 

Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния 36x + 35y при
вы­пол­не­нии усло­вий си­сте­мы (*) до­сти­га­ет­ся при  По­это­му
мак­си­маль­но воз­мож­ная при­быль за­во­да за месяц равна:

Ответ: 2685 тыс. руб.

36. За­да­ние 19 № 509124. Кон­серв­ный
завод вы­пус­ка­ет фрук­то­вые ком­по­ты в двух видах тары — стек­лян­ной
и же­стя­ной. Про­из­вод­ствен­ные мощ­но­сти за­во­да поз­во­ля­ют вы­пус­кать
в день 90 цент­не­ров ком­по­тов в стек­лян­ной таре или 80 цент­не­ров в же­стя­ной
таре. Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся
тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции в каж­дом из видов тары долж­но быть вы­пу­ще­но
не менее 20 цент­не­ров. В таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная
цена за­во­да за 1 цент­нер про­дук­ции для обоих видов тары.

Вид тары	Се­бе­сто­и­мость, 1 ц.	От­пуск­ная цена, 1 ц.
стек­лян­ная	1500 руб.	2100 руб.
же­стя­ная	1100 руб.	1750 руб.

Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция за­во­да на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся
без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль за­во­да за один
день (при­бы­лью на­зы­ва­ет­ся раз­ни­ца между от­пуск­ной сто­и­мо­стью всей
про­дук­ции и её се­бе­сто­и­мо­стью).

Ре­ше­ние.

Пусть x — доля мощ­но­стей за­во­да, за­ня­тых
под про­из­вод­ство ком­по­тов в стек­лян­ной таре, а y — доля
мощ­но­стей, за­ня­тых под про­из­вод­ство ком­по­тов в же­стя­ной банке.
Тогда x + y = 1, при этом ком­по­тов в стек­лян­ной таре про­из­во­дит­ся
90x цент­не­ров, а в же­стя­ной таре — 80y цент­не­ров.
Кроме того, из усло­вия ас­сор­ти­мент­но­сти сле­ду­ет, что  При­быль
за­во­да с 1 цент­не­ра про­дук­ции в стек­лян­ной таре равна
2100 − 1500 = 600 руб., при­быль с 1 цент­не­ра в же­стя­ной
таре равна 1750 − 1100 = 650 руб., а общая при­быль с про­из­ведённой за день
про­дук­ции равна 600 · 90+650 · 80 = 54000 + 52000.

Таким об­ра­зом, в пе­ре­во­де на ма­те­ма­ти­че­ский язык, нам не­об­хо­ди­мо
найти наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния 2000 · ( 27 + 26) при вы­пол­не­нии
сле­ду­ю­щих усло­вий:

Чтобы найти те x, у, для ко­то­рых до­сти­га­ет­ся мак­си­мум
вы­ра­же­ния 27x + 26y при усло­ви­ях (*), пре­об­ра­зу­ем
си­сте­му (*), вы­ра­зив у через x:

Под­став­ляя у = 1 − x в вы­ра­же­ние
27x + 26y, по­лу­ча­ем: 27x + 26(1 − x) = 26 + x.
оче­вид­но, что вы­ра­же­ние 26 + x при усло­ви­ях  при­ни­ма­ет
наи­боль­шее зна­че­ние тогда, когда 

Итак, нами по­лу­че­но, что наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния
27x + 26y при вы­пол­не­нии усло­вий си­сте­мы (*) до­сти­га­ет­ся
тогда, когда  По­это­му
мак­си­маль­но воз­мож­ная при­быль за­во­да за день равна

 руб.

Ответ: 53 500 руб.

37. За­да­ние 19 № 509162. Алек­сей при­обрёл
цен­ную бу­ма­гу за 8 тыс. руб­лей. Цена бу­ма­ги каж­дый год воз­рас­та­ет на
1 тыс. руб­лей. В любой мо­мент Алек­сей может про­дать бу­ма­гу и по­ло­жить
вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счёт. Каж­дый год сумма на счёте будет
уве­ли­чи­вать­ся на 8%. В те­че­ние ка­ко­го года после по­куп­ки Алек­сей дол­жен
про­дать цен­ную бу­ма­гу, чтобы через два­дцать пять лет после по­куп­ки этой
бу­ма­ги сумма на бан­ков­ском счёте была наи­боль­шей?

Ре­ше­ние.

Если Алек­сей про­даст бу­ма­гу в те­че­ние k-го года,
то через два­дцать пять лет после по­куп­ки сумма на его счёте будет
равна  Таким
об­ра­зом, нам нужно найти номер мак­си­маль­но­го члена

по­сле­до­ва­тель­но­сти  где k про­бе­га­ет
целые зна­че­ния от 1 до 25. Рас­смот­рим при­ра­ще­ние

От­сю­да  при  и  при  Сле­до­ва­тель­но,
наи­боль­шее зна­че­ние по­сле­до­ва­тель­ность  при­ни­ма­ет
при 

Ответ: в те­че­ние ше­сто­го года.

——————————————————————-

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Про­дать цен­ную бу­ма­гу нужно в том мо­мент, когда 8% от сто­и­мо­сти
ста­нут со­став­лять не мень­ше чем 1 тыс. руб­лей, что воз­мож­но при сто­и­мо­сти
бу­ма­ги не менее 12,5 тыс. руб­лей.

Это про­изой­дет через пять лет после по­куп­ки цен­ной бу­ма­ги
(8 + 5 · 1 = 13).

Таким об­ра­зом цен­ную бу­ма­гу нужно про­дать в те­че­нии ше­сто­го
года (сразу по про­ше­ствии пяти лет)

38. За­да­ние 19 № 509183. 1 июня 2013 года
Все­во­лод Яро­сла­во­вич взял в банке 900000 руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты
кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет
1 про­цент на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 1%),
затем Все­во­лод Яро­сла­во­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное
ко­ли­че­ство ме­ся­цев Все­во­лод Яро­сла­во­вич может взять кре­дит, чтобы
еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 300000 руб­лей?

Ре­ше­ние.

Ми­ни­ми­зи­ро­вать время вы­плат можно, толь­ко мак­си­ми­зи­ро­в­вав
сами вы­пла­ты. Решим за­да­чу в общем виде. Пусть S — сумма
(в тыс. руб.) кре­ди­та; S_n — за­дол­жен­ность
в n-й месяц; s_n — вы­пла­та вn-й
месяц, S_n = S; q — ко­эф­фи­ци­ент
еже­ме­сяч­но­го по­вы­ше­ния, q > 1. Тогда

После пред­по­след­ней вы­пла­ты оста­нет­ся  и
тогда в по­след­ний раз,. N-й раз, кре­дит будет по­га­шен. Зна­чит,

От­но­си­тель­но x = q^N−1 по­лу­ча­ем
не­ра­вен­ство

По усло­вию S = 900, s = 300, q
= 1,01, т. е. 

Так как 1,01² = 1,0201 < 1,0206…, 1,01³ =
1,030301 > 1,0206…, то N − 1 = 3, N = 4.

При­ведём дру­гой ва­ри­ант ре­ше­ния.

Если бы банк не брал про­цен­тов, то долг можно было бы вер­нуть
за 3 ме­ся­ца. Банк за 3 ме­ся­ца возь­мет мень­ше, чем 3% от пер­во­на­чаль­ной
суммы в 900 тыс., т.е. мень­ше 27 тыс. По­это­му то, что за­би­ра­ет банк, точно
можно будет опла­тить в 4-й месяц, по­тра­тив мень­ше 300 тыс.

Ответ: 4.

39. За­да­ние 19 № 509184. Пер­вич­ная ин­фор­ма­ция
раз­де­ля­ет­ся по сер­ве­рам №1 и №2 и об­ра­ба­ты­ва­ет­ся на них. С сер­ве­ра
№1 при объёме Гбайт
вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит  Гбайт,
а с сер­ве­ра №2 при объёме  Гбайт
вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит  Гбайт
об­ра­бо­тан­ной ин­фор­ма­ции; 25 < t < 55. Каков наи­боль­ший
общий объём вы­хо­дя­щей ин­фор­ма­ции при общем объёме вхо­дя­щей ин­фор­ма­ции
в 3364 Гбайт?

Ре­ше­ние.

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся x²,
а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся y² Гбайт из
всей пер­вич­ной ин­фор­ма­ции. Тогда x + y =
3364, а об­ра­бо­та­но будет 20x + 21y Гбайт ин­фор­ма­ции.
Тре­бу­ет­ся найти мак­си­мум суммы 20x + 21y при усло­вии

Так как 3364 = 58², то  для
не­ко­то­ро­го угла  Так
как 20² + 21² = 29², то

для
вспо­мо­га­тель­но­го угла  с Сле­до­ва­тель­но,
наи­боль­шее зна­че­ние суммы 20x + 21y равно
58 · 29 = 1682. Оно до­сти­га­ет­ся при  т.
е. для зна­че­ний, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям 25 < x <
55, 25 < y < 55.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся x²,
а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся y² Гбайт из
всей пер­вич­ной ин­фор­ма­ции. Тогда x² + y² =
3364, а об­ра­бо­та­но будет 20x + 21y Гбайт ин­фор­ма­ции.
Вы­ра­зим y через x:  Тре­бу­ет­ся
найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции 

По­это­му x = 40 един­ствен­ная кри­ти­че­ская
точка и  Усло­вия

 вы­пол­не­ны.
Если x < 40, то x² < 1600,  и f‘(x)
> 0. Если x > 40, то f‘(x) < 0. По­это­му x =
40 есть точка мак­си­му­ма. Зна­чит, f_наиб = f(40)
= 20 · 40 + 21 · 42 = 1682.

При­ведём ещё один при­мер ре­ше­ния.

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся x²,
а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся y² Гбайт из
всей пер­вич­ной ин­фор­ма­ции. Тогда x² + y² =
3364, а об­ра­бо­та­но будет 20x + 21y Гбайт ин­фор­ма­ции.

Так как 3364 = 58², то x² + y² =
3364 за­да­ет окруж­но­стью ра­ди­у­са 58 с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат.
Про­ве­дем це­ле­вой век­тор а{20; 21) и пер­пен­ди­ку­ляр­ную ему
пря­мую l: 20x + 21y = 0, про­хо­дя­щую
через на­ча­ло ко­ор­ди­нат. Луч, кол­ли­не­ар­ный век­то­ру a(20;
21), пе­ре­сечёт окруж­ность  в
точкеA(40; 42). Пря­мая m про­хо­дя­щая через
точку A(40; 42) и пер­пен­ди­ку­ляр­ная век­то­ру a(20;21)
будет ка­сать­ся окруж­но­сти  и
за­да­вать­ся урав­не­ни­ем m: 20x + 21y = С со
зна­че­ни­ем C, наи­боль­шим среди всех пря­мых па­рал­лель­ных l и
пе­ре­се­ка­ю­щих .
Усло­вия 25 < x < 55, 25 < y < 55
для точки A(40; 42) вы­пол­не­ны. Зна­чит,

С_наиб = 20 · 40 + 21 · 42 =
1682.

Ответ: 1682.

40. За­да­ние 19 № 509205. Гри­го­рий яв­ля­ет­ся
вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся
аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром
го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те,
если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся
сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю
они про­из­во­дят 3t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де,
рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t² часов
в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 4t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Гри­го­рий пла­тит
ра­бо­че­му 500 руб­лей.

Гри­го­рий готов вы­де­лять 5 000 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту
труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти
за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Ре­ше­ние.

Тре­бу­ет­ся найти мак­си­мум суммы  при
усло­вии  или  По­сколь­ку  имеем
урав­не­ние  от­ку­да  По­лу­чен­ное
урав­не­ние имеет ре­ше­ния, если не­от­ри­ца­те­лен его дис­кри­ми­нант, а зна­чит,
и чет­верть дис­кри­ми­нан­та: Тем
самым, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние  равно
500.

41. За­да­ние 19 № 509824. Антон яв­ля­ет­ся
вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дит­ся
аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий.
Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t² часов
в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­водт t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом
го­ро­де, Антон пла­тит ра­бо­че­му 250 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном
во вто­ром го­ро­де, — 200 руб­лей.

Антон готов вы­де­лять 900 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда
ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти
за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Ре­ше­ние.

Пусть на опла­ту труда ра­бо­чих пер­во­го за­во­да вы­де­ле­но x руб.,
а вто­ро­го — остав­ши­е­ся (900 000 − x) руб. Тогда на пер­вом за­во­де
можно опла­тить  часов
ра­бо­ты, а на вто­ром —  часов
ра­бо­ты. Ко­ли­че­ство про­из­ведённого за не­де­лю то­ва­ра равно квад­рат­ным
кор­ням из этих ве­ли­чин, по­это­му для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся
найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

на
от­рез­ке  Найдём
про­из­вод­ную:

Решая урав­не­ние  по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку про­из­вод­ная не­пре­рыв­ной функ­ции f по­ло­жи­тель­на
на ин­тер­ва­ле (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и от­ри­ца­тель­на
на ин­тер­ва­ле (400 000; 900 000), функ­ция f до­сти­га­ет
наи­боль­ше­го на от­рез­ке [0; 900 000] зна­че­ния в точке 400 000.
Найдём его:

Тем самым, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство то­ва­ра, ко­то­рое
могут про­из­ве­сти ра­бо­чие за не­де­лю при за­дан­ном раз­ме­ре опла­ты
труда, равно 90 еди­ни­цам.

Ответ: 90.