Чему равен тупой вписанный угол опирающийся на хорду равную радиусу окружности ответ в градусах егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 1 № 27859

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Спрятать решение

Решение.

Вписанный угол дополняет половину центрального угла, опирающегося на ту же хорду, до 180°. Треугольник AOB является равносторонним, т. к. AO = OB = AB = R, поэтому угол AOB  =  60°. Тогда

Ответ: 150.

Аналоги к заданию № 27859: 27855 26205 Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника, 5.5.1 Величина угла, градусная мера угла

Спрятать решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Источник

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду

Дата: 2015-11-23

8160

Категория: Вписанный угол

Метка: ЕГЭ-№1ОкружностьУглы

27859. Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Построим центральный и вписанный угол на указанной хорде, обозначим вершины:

Известно, что сумма противоположных углов четырёхугольника вписанного в окружность равна 180⁰. Поэтому определив угол ADB мы сможем вычислить искомый угол.

В условии сказано, что хорда равна радиусу окружности, следовательно треугольник АОВ равносторонний, то есть центральный угол АОВ равен 60⁰.

Так как вписанный угол равен половине центрального (по свойству вписанного угла), то

Таким образом:

Ответ: 150

Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.

Источник

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду

: Категория: Задачи по планиметрии

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Ответ: 150^°.

Источник

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Ответ: 150

Источник

Окружность. Центральный и вписанный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хорда.

Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.

На рисунках — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Угол beta тоже можно назвать центральным. Только он опирается на дугу, которая больше 180 ^circ .

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, центральный угол величиной в градусов будет опираться на дугу, равную 90^circ , то есть $displaystyle frac{1}{4}$ круга. Центральный угол, равный 60^circ , опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.

Докажем, что величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Пусть угол AOC — центральный и опирается на дугу АС, тогда ОА и ОС — радиусы окружности.

Пусть angle ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу АС,

АВ и ВС — хорды окружности.

Первый случай: Точка O лежит на BC, то есть ВС — диаметр окружности.

Треугольник AOB — равнобедренный, АО = ОВ как радиусы. Значит,

— внешний угол а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Получили, что

Второй случай: Центр окружности точка О не лежит на ВС. Построим диаметр BК:

Если точка О лежит внутри вписанного угла АВС, как на рисунке слева, то

Если О лежит вне вписанного угла АВС, как на рисунке справа, то

Мы получили, что в каждом из этих случаев величина центрального угла в два раза больше, чем величина вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Теорема доказана.

При решении задач по геометрии также применяются следующие теоремы:

1. Равные центральные углы опираются на равные хорды.

2. Равные вписанные углы опираются на равные хорды.

3. Равные хорды стягивают равные дуги.

Докажем теорему 3.

Пусть хорды AB и CD равны. Докажем, что AMB дуги CND имеют одинаковую градусную меру, то есть равны.

Доказательство:

По условию, AB = CD. Соединим концы хорд с центром окружности. Получим: AO = BO = CO = DO = r.

по трем сторонам, отсюда следует, что центральные углы равны, т.е. Значит, и дуги, на которые они опираются, также равны, т.е. дуги AMB и CND имеют одинаковую градусную меру.

Теорема доказана.

Верна и обратная теорема:

Если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

Пусть дуги AMB и CND равны. Тогда как центральные углы, опирающиеся на эти дуги. Значит, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, и тогда AB=CD, что и требовалось доказать.

Эти две теоремы можно объединить в одну, которая формулируется так:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда равны дуги, которые они стягивают.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Окружность, центральный угол, вписанный угол.

Задача 1, ЕГЭ. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Ответ: 90.

Задача 2, ЕГЭ. Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .

Мы знаем, что x=2y.

Отсюда

y=36.

Ответ: 36.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть хорда AB равна Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим alpha. В треугольнике AOB стороны AO и OB равны 1, сторона AB равна Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник AOB — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол AOB равен 90 ${}^circ .$ Тогда дуга ACB равна 90 ${}^circ ,$ а дуга AKB равна $360{}^circ - 90{}^circ = 270 {}^circ .$ Вписанный угол alpha опирается на дугу AKB и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135.

Ответ: 135.

Задача 4, ЕГЭ. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки С?»

Представьте, что вы сидите в точке С и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде AB. Так, как будто хорда AB — это экран в кинотеатре
Очевидно, что найти нужно угол ACB.
Сумма двух дуг, на которые хорда AB делит окружность, равна то есть

Отсюда и тогда вписанный угол ACB опирается на дугу, равную Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол ACB равен

Ответ: 105.

Задача 5, ЕГЭ.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32 ${}^circ .$

Решение:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

$angle BAC=displaystyle frac{1}{2}angle BOC.$

Значит, $angle BOC=2cdot angle BAC=2cdot 32{}^circ =64{}^circ.$

Ответ: 64.

Задача 6, ЕГЭ. Найдите центральный угол AOB, если он на $15{}^circ$ больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть величина угла АОВ равна градусов. Величина вписанного угла АСВ равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть $displaystyle frac{x}{2}$ градусов.

Получим уравнение: $displaystyle x-frac{1}{2} x = 15{}^circ,$ откуда $x ={30}^circ.$

Ответ: 30.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, так как AO = OB = AB = R.

Поэтому угол AOB = 60. Вписанный угол ACB равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 30 ${}^circ.$

Ответ: 30.

Задача 8, ЕГЭ.

Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 200 ${}^circ.$ А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 80 ${}^circ.$ Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Дуга АВ равна $360{}^circ -200{}^circ -80{}^circ -80{}^circ .$ Тогда $angle ACB=40{}^circ.$

Ответ: 40.

Задачи ОГЭ по теме: Центральный и вписанный угол, градусная мера дуги.

Задача 9, ОГЭ. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен ${60}^circ.$ Найдите радиус окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу окружности.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен , тогда $x + 60{}^circ + 60{}^circ = 180{}^circ,$ где $x = 60{}^circ.$ Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10, ОГЭ. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен ${30}^circ.$ Найдите величину угла OAB.

Решение.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны, угол $OAB ={30}^circ.$

Ответ: 30.

Задача 11, ОГЭ. Найдите градусную меру центрального angle MON, если известно, что NP — диаметр, а градусная мера angle MNP равна 18 ${}^circ.$

Решение:

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда $angle MON = 180{}^circ$ − $2cdot 18{}^circ = 144{}^circ.$

Ответ: 144.

Задача 12, ОГЭ.

Найдите angle DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны ${150}^circ$ и ${68}^circ$ соответственно.

Решение.

Дуга FD, не содержащая точку Е, равна ${360}^circ - {150}^circ - 68{}^circ = 142{}^circ.$ Вписанный угол DEF, опирающийся на эту дугу, равен половине ее угловой величины, $angle DEF = 71{}^circ.$

Ответ: 71.

Задача 13, ОГЭ. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен ${26}^circ.$ Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть AОВ = 52 ${}^circ.$ Угол ВОD — развернутый, поэтому угол AOD равен ${180}^circ - 52{}^circ = 128{}^circ.$

Ответ: 128.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Окружность. Центральный и вписанный угол» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

ЕГЭ Профиль №1. Центральные и вписанные углы

ЕГЭ Профиль №1. Центральные и вписанные углыadmin2022-08-28T09:28:59+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №1. Центральные и вписанные углы

Задача 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 30.
Задача 2. Найдите хорду, на которую опирается угол 30°, вписанный в окружность радиуса 3. Ответ ОТВЕТ: 3.
Задача 3. Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 150.
Задача 4. Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса (sqrt 3 ). Ответ ОТВЕТ: 3.
Задача 5. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна (frac{1}{5}) длины окружности. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 36.
Задача 6. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 200°, а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 80°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 40.
Задача 7. Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 105.
Задача 8. Точки A, B, C расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1:3:5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 100.
Задача 9. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 104.
Задача 10. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 110°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 35.
Задача 11. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 45.
Задача 12. Найдите градусную меру дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 45.

Источник