Что нужно знать по геометрии для егэ по профильной математике - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

15 января 2013

В закладки

Обсудить

Жалоба

Теория по геометрии для сдачи ЕГЭ по математике

Немного теории, которая непременно пригодится на ЕГЭ.

Другие материалы смотрите в разделе ЕГЭ по математике.

Источник

Формулы для профильного ЕГЭ-2022 по математике

Формулы сокращённого умножения
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Вероятность
Свойства степеней
Свойства логарифмов
Тригонометрия
Производные
Первообразные
Геометрия

Формулы сокращённого умножения

`(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2`
`(a − b)^2=a^2 − 2ab + b^2`
`a^2 − b^2=(a + b)(a − b)`

`a^3 + b^3=(a + b)(a^2 − ab + b^2)`
`a^3 − b^3=(a − b)(a^2 + ab + b^2)`

`(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`
`(a − b)^3=a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3`

Прогрессии

Арифметическая прогрессия:

`a_n=a_(n-1)+d`

`a_n=a_1+(n-1)*d`

`S_n=((a_1+a_n)*n)/2`

Геометрическая прогрессия:

`b_n=b_(n-1)*q`

`b_n=b_1*q^(n-1)`

`S_n=((q^n-1)*b_1)/(q-1)`

Бесконечно убывающая: `S=b_1/(1-q)`

Вероятность

Вероятность события A:	`P(A)=m/n`

События происходят A и B происходят одновременно	`A*B`
Независимые события:	`P(AB)=P(A)P(B)`
Зависимые события:	`P(AB)=P(A)P(B\|A)`

Происходит или событие A, или B	`A+B`
Несовместные события:	`P(A+B)=P(A)+P(B)`
Совместные события:	`P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)`

Свойства степеней

`a^0=1`	`a^1=a`
`a^(-1)=1/a`	`a^(-n)=1/a^n`
`a^(1/2)=sqrt(a)`	`a^(1/n)=root(n)(a)`
`a^m*a^n=a^(m+n)`	`a^m/a^n=a^(m-n)`
`(ab)^n=a^nb^n`	`(a/b)^n=a^n/b^n`
`(a^m)^n=a^(m*n)`	`a^(m/n)=root(n)(a^m)`

Свойства логарифмов

`log_ab=c``a^c=b`
`log_a1=0`
`log_aa=1`
`log_a(b*c)=log_ab+log_ac`
`log_a(b/c)=log_ab-log_ac`
`log_ab^n=n*log_ab`
`log_(a^m)b=1/m*log_ab`
`log_ab=1/(log_ba)`
`log_ab=(log_cb)/(log_ca)`
`a^(log_cb)=b^(log_ca)`
`a^(log_ab)=b`

Тригонометрия

`alpha`	`0`	`pi/6`	`pi/4`	`pi/3`	`pi/2`	`pi`	`(3pi)/2`	`2pi`
`0^circ`	`30^circ`	`45^circ`	`60^circ`	`90^circ`	`180^circ`	`270^circ`	`360^circ`
`sinalpha`	`0`	`1/2`	`sqrt(2)/2`	`sqrt(3)/2`	`1`	`0`	`-1`	`0`
`cosalpha`	`1`	`sqrt(3)/2`	`sqrt(2)/2`	`1/2`	`0`	`-1`	`0`	`1`
`text(tg)alpha`	`0`	`sqrt(3)/3`	`1`	`sqrt(3)`	`infty`	`0`	`infty`	`0`
`text(ctg)alpha`	`infty`	`sqrt(3)`	`1`	`sqrt(3)/3`	`0`	`infty`	`0`	`infty`

Основные соотношения

`sin^2alpha+cos^2alpha=1`
`text(tg)alpha=sinalpha/cosalpha=1/(text(ctg)alpha)`

Формулы двойного угла

`cos2alpha={(cos^2alpha-sin^2alpha),(1-2sin^2alpha),(2cos^2alpha-1):}`
`sin2alpha=2sinalphacosalpha`
`text(tg)2alpha=(2text(tg)alpha)/(1-text(tg)^2alpha)`

Формулы суммы и разности аргументов

`sin(alpha+-beta)=sinalphacosbeta+-cosalphasinbeta`

`cos(alpha+-beta)=cosalphacosbeta∓sinalphasinbeta`

`text(tg)(alpha+-beta)=(text(tg)alpha+-text(tg)beta)/(1∓text(tg)alpha*text(tg)beta)`

Преобразование суммы и разности в произведение

`sinalpha+-sinbeta=2sin((alpha+-beta)/2)cos((alpha∓beta)/2)`

`cosalpha+cosbeta=2cos((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)`

`cosalpha-cosbeta=-2sin((alpha+beta)/2)sin((alpha-beta)/2)`

Формулы половинного аргумента

`sin(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/2)`
`cos(alpha/2)=+-sqrt((1+cosalpha)/2)`
`text(tg)(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/(1+cosalpha))=(1-cosalpha)/sinalpha=sinalpha/(1+cosalpha)`

Обратные тригонометрические функции

`sinx=A`	`x=(-1)^k*arcsinA + pik` или `{(x=arcsinA + 2pik),(x=pi-arcsinA+2pik):}`	`kinZZ`
`cosx=A`	`x=±arccosA + 2pik`	`kinZZ`
`tg x=A`	`x=text(arctg) A + pik`	`kinZZ`
`ctg x=A`	`x=text(arcctg) A + pik`	`kinZZ`

Также некоторые тригонометрические соотношения смотрите в разделе Геометрия.

Производные

Основные правила дифференцирования

`(u+-v)’=u’+-v’`
`(uv)’=u’v+u*v’`
`(u/v)^’=(u’v-uv’)/v^2`
`[f(g(x))]’=f'(g(x))*g'(x)`

Уравнение касательной

`y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)`

Производные элементарных функций

`C’=0`	`(C*x)’=C`
`(x^m)’=mx^(m-1)`	`(sqrtx)’=1/(2sqrtx)`
`(1/x)^’=-1/x^2`
`(e^x)’=e^x`	`(lnx)’=1/x`
`(a^x)’=a^x*lna`	`(log_ax)’=1/(xlna)`
`(sinx)’=cosx`	`(cosx)’=-sinx`
`(text(tg)x)’=1/cos^2x`	`(text(ctg)x)’=-1/sin^2x`
`(arcsinx)’=1/sqrt(1-x^2)`	`(arccosx)’=-1/sqrt(1-x^2)`
`(text(arctg))=1/(1+x^2)’`	`(text(arcctg))’=-1/(1+x^2)`

Также некоторые сведения про производные смотрите в описании задач
№14 (база), №7 (профиль), №12 (профиль).

Первообразные

Первообразная:	`F'(x)=f(x)`
Неопределённый интеграл:	`intf(x)dx=F(x)+C`
Определённый интеграл (формула Ньютона-Лейбница):	`int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)`

Таблица первообразных

`f(x)`	`F(x)`	`f(x)`	`F(x)`
`a`	`ax`
`x^n`	`x^(n+1)/(n+1)`	`1/x`	`lnx`
`e^x`	`e^x`	`a^x`	`a^x/lna`
`sinx`	`-cosx`	`cosx`	`sinx`
`1/cos^2x`	`text(tg)x`	`1/sin^2x`	`-text(ctg)x`
`1/(x^2+a^2)`	`1/atext(arctg)x/a`	`1/(x^2-a^2)`	`1/(2a)ln\|(x-a)/(x+a)\|`
`1/sqrt(a^2-x^2)`	`text(arcsin)x/a`	`1/sqrt(x^2+a)`	`ln\|x+sqrt(x^2+a)\|`

Геометрия

Планиметрия (2D)

Площади фигур:

Окружность:	`S=pir^2`
Треугольник:	`S=1/2ah`
Параллелограмм:	`S=ah`
Четырёхугольник:	`S=1/2d_1d_2sinvarphi`
Трапеция:	`S=(a+b)/2*h`

Стереометрия (3D)

Призма:	`V=S_(осн)h`
Пирамида:	`V=1/3S_(осн)h`
Конус:	`V=1/3S_(осн)h`
	`S_(бок)=pirl`
Цилиндр:	`V=pir^2h`
	`S_(бок)=2pirh`
Шар:	`V=4/3pir^3`
	`S=4pir^2`

Этапы закрепощения крестьян в России

Крепостное право на Руси появилось позже, чем во многих средневековых европейских королевствах. Это было связано с объективными причинами – низкая плотность населения, зависимость от ордынского ига.

Задания 12-18 досрочного ЕГЭ по математике

3 примера по каждому заданию. Досрочный ЕГЭ по математике прошёл 28 марта.

ОГЭ по математике. Тренировочный вариант СтатГрад

Видеоуроки ОГЭ | Вчера, 21:46

Решение тестовой части (№1-19) тренировочной работы по математике от 18 апреля 2022 года.

Факт 1.
(bullet) Множество натуральных чисел (mathbb{N}) – это числа (1,
2, 3, 4 ) и т.д.
(bullet) Множество целых чисел (mathbb{Z}) состоит из натуральных чисел, противоположных им ((-1, -2, -3 ) и т.д.) и нуля (0).
(bullet) Рациональные числа (mathbb{Q}) – числа вида (dfrac ab), где (ain mathbb{Z}), (bin mathbb{N}).

Таким образом, существует включение: (mathbb{N}) содержится в (mathbb{Z}), а (mathbb{Z}) содержится в (mathbb{Q}).

Факт 2.
(bullet) Правила сложения дробей: [begin{aligned} &dfrac ab+dfrac cb=dfrac{a+c}b[2ex]
&dfrac ab+dfrac cd=dfrac{ad+bc}{bd}end{aligned}] Пример: (dfrac {31}6+dfrac {67}6=dfrac{31+67}6=dfrac{98}6)

(bullet) Правила умножения дробей: [dfrac abcdot dfrac cd=dfrac{ac}{bd}] Пример: (dfrac 47cdot dfrac{14}5=dfrac{4cdot 14}{7cdot 5})

(bullet) Правила деления дробей: [dfrac ab: dfrac cd=dfrac abcdot dfrac dc] Пример: (dfrac 45 :dfrac 67=dfrac 45cdot dfrac 76)

Факт 2.
(bullet) Сокращение дробей – деление числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от нуля.
Пример:

(begin{aligned} &dfrac{98}6=dfrac{49cdot
2llap{/}}{3cdot
2llap{/}}=dfrac{49}3[2ex]
&dfrac{4cdot 14}{7cdot 5}=dfrac{4cdot 2cdot
7llap{/}}{7llap{/}cdot
5}=dfrac 85[2ex]
&dfrac{4cdot 7}{5cdot 6}=dfrac {2llap{/}cdot 2cdot 7}{5cdot
3cdot
2llap{/}}=dfrac{14}{15}end{aligned})

(bullet) Если (dfrac ab) – несократимая дробь, то ее можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель (b) делится только на числа (2) и (5).
Пример: дробь (dfrac2{65}) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как (65=5cdot 13), то есть (dfrac2{65}=0,0307…)
дробь (dfrac3{160}) можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как (160=2^5cdot 5), то есть (dfrac3{160}=0,01875).

Факт 3.
(bullet) Формулы сокращенного умножения:
(blacktriangleright) Квадрат суммы и квадрат разности: [(a+b)^2=a^2+2ab+b^2] [(a-b)^2=a^2-2ab+b^2]

(blacktriangleright) Куб суммы и куб разности: [(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3quad {small{text{или}}}quad
(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)] [(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3quad {small{text{или}}}quad
(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)]

Заметим, что применение данных формул справа налево часто помогает упростить вычисления:
(13^3+3cdot 13^2cdot 7+3cdot 13cdot 49+7^3=(13+7)^3=20^3=8000)

(blacktriangleright) Разность квадратов: [a^2-b^2=(a-b)(a+b)]

(blacktriangleright) Сумма кубов и разность кубов: [a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)] [a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)]

Заметим, что не существует формулы суммы квадратов (a^2+b^2).
Заметим, что применение данных формул слева направо часто помогает упростить вычисления:

(dfrac{7^6-2^6}{7^4+14^2+16}=
dfrac{(7^2-2^2)(7^4+7^2cdot2^2+2^4)}
{7^4+(7cdot2)^2+2^4}=7^2-2^2=45)

Факт 4.
(bullet) Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых и удвоенных попарных произведений: [begin{aligned}
&(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc[2ex]
&(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd[2ex]
&{small{text{и т.д.}}}end{aligned}]

Геометрия на профильном ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.

Геометрия на профильном ЕГЭ — это три в части 1 (сюда входит и планиметрия, и стереометрия), а также задача 14 (стереометрия) и для многих недосягаемая 16 (геометрия) из второй части. Как же научиться их решать?

Начнем с планиметрии. Прежде всего, выучите основные формулы геометрии.

На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части 1.

Для решения задач по геометрии из части 2 нужна более серьезная подготовка.

Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Программа по геометрии.

1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).

2. Построение треугольника: практические задания.
а) Три стороны треугольника ABC равны 4,6 и сантиметров соответственно. Постройте треугольник ABC с помощью циркуля и линейки.
б) В треугольнике ABC угол равен градусов, сторона равна двум, равна . Постройте треугольник ABC .
в) В треугольнике ABC сторона равна , угол равен $26^{circ}$ , угол равен $58^{circ}$ . Постройте треугольник ABC .

3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.

4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.

5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.

6. Теорема о сумме углов треугольника.

7. Внешний угол треугольника.

8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) три биссектрисы.
в) три медианы.

9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.

10. Средняя линия треугольника и ее свойства.

11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

12. Определения синуса, косинуса и тангенса
— для острого угла прямоугольного треугольника
— для произвольного угла.

13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.

14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.

15. Виды параллелограммов и их свойства. (ромб, прямоугольник, квадрат).

16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.

17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.

18. Площадь треугольника. Формулы $S=frac{1}{2}ah$ и $S=frac{1}{2}absin C$ .

19. Теоремы синусов и косинусов.

20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.

21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)

22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)

23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.

24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.

25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.

26. Теоремы о вписанных углах.

27. Теорема о пересекающихся хордах.

28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.

29. Теорема о секущей и касательной.

30. Дан треугольник ABC . Постройте
а) окружность, вписанную в данный треугольник
б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.
Где находятся центры этих окружностей?

31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).

32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?

Программа по стереометрии

Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.

Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:

«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».

Источник

3621

На ЕГЭ по профильной математике с собой можно взять только черные гелевые ручки и линейку. На экзамене профильного уровня, в отличие от базового, не выдаются справочные материалы – выпускникам не предоставляются формулы, необходимые для решения задач. Исключение составляют лишь 5 формул по тригонометрии, но, естественно, они не помогут набрать максимальные баллы, если экзаменуемые не будут знать об остальных важных сведениях и математических свойствах.

Содержание

Формулы для ЕГЭ по профильной математике. Алгебра

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат разности: (a – b)² = a² – 2ab + b²

Разность квадратов: a² – b² = (a + b)(a – b)

Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Разность кубов: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Прогрессия

Арифметическая

Геометрическая

Таблица степеней

Свойства степеней

Таблица квадратов

Интенсивы по подготовке к региональному этапу ВсОШ

Все, что нужно знать
для победы, за 7 дней!

Свойства корней

Тригонометрия

Таблица значений тригонометрических функций

Тригонометрическая окружность

Тригонометрические формулы

Обратные тригонометрические функции

Преобразование суммы и разности в произведение

Регулярные курсы по подготовке к олимпиадам и ЕГЭ

Поступаем в вуз мечты без проблем!