Цилиндр конус шар решу егэ

а) По формуле площади произвольного четырехугольника имеем:

Следовательно, если — диаметры сферы и
то есть Следовательно, — квадрат.

Расстояние от точки до плоскости наибольшее, если
и — радиус сферы. Тогда объем пирамиды равен

Что и требовалось доказать.

б) Проведем где Тогда и

Так как то следовательно, по теореме о трех
перпендикулярах где

Далее имеем:

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике

Так как , то площадь треугольника равна

Сечение шара многоугольником — окружность с центром в точке ,
и все вершины этого многоугольника лежат на этой окружности, следовательно,
он вписанный. Аналогично вписан в окружность с центром
.

Пусть — центр шара. Проведем и
Следовательно, лежат на одной прямой, перпендикулярной основаниям
(так как основания параллельны). Рассмотрим — прямоугольник,
так как , , . Следовательно,
, то есть перпеникулярна основаниям призмы. Значит, призма
прямая.

б) , — центры оснований. Проведем . Тогда
следовательно, — проекция на плоскость
. Значит, . Получили прямоугольный равнобедренный
, значит, . Пусть , Тогда

— середина , следовательно, из

Объем призмы равен

Следовательно, площадь поверхности шара равна

Ответ:

а) Боковые ребра пирамиды равны, так как это образующие конуса.
Так как плоские углы при вершине равны, то пирамида правильная,
следовательно, равносторонний. Рассмотрим основание. Наибольший
объем пирамида имеет тогда, когда наибольшую площадь имеет
. Так как основание этого треугольника фиксировано, то наибольшую
площадь он имеет, когда высота к наибольшая. Следовательно, точка —
середина дуги . Тогда , следовательно,
следовательно, — диаметр.

Если — радиус окружности, описанной около правильного треугольникав, то
сторона треугольника равна . Следовательно,

Найдем — высоту. Пусть . Тогда .

, следовательно, из :

Следовательно, объем

Чтд.

б) — перпендикуляр на . Пусть . Тогда если
, то по подобию .

следовательно, , следовательно,
то есть

Таким образом,

Пусть . Тогда для :

Следовательно,

Тогда

Так как , то следовательно,

Ответ:

а) Боковые ребра пирамиды равны, так как это образующие конуса.
Так как плоские углы при вершине равны, то пирамида правильная,
следовательно, равносторонний. Рассмотрим основание. Наибольший
объем пирамида имеет тогда, когда наибольшую площадь имеет
. Так как основание этого треугольника фиксировано, то наибольшую
площадь он имеет, когда высота к наибольшая. Следовательно, точка —
середина дуги . Тогда , следовательно,
следовательно, — диаметр. Чтд.

б) — перпендикуляр на . Пусть . Тогда ессли
, то по подобию .

следовательно, , следовательно,
то есть

Таким образом,

У правильного треугольника со стороной радиус описанной окружности
равен от высоты треугольника, то есть Следовательно, . Из
прямоугольного равнобедренного треугольника

Тогда

Ответ:

а) По условию центр описанной сферы лежит на . Следовательно, так как он
равноудален от точек и , то центр — середина . Также имеем
. Если медиана треугольника равна половине стороны, к
которой она проведена, то она проведена из прямого угла треугольника,
следовательно, Чтд.

б) Отметим — середину . Тогда .
Если провести перпендикуляр из точки на плоскость , то его основание
будет лежать на (так как плоскости и перпендикулярны).
Следовательно, — проекция на . Тогда из
следует, что

Проведем и восстановим из точки перпендикуляр к ,
который пересечет в точке . Тогда точка лежит в плоскости,
перпендикулярной и проходящей через его середину, следовательно,
любая точка этой плоскости равноудалена от и , следовательно,

По теореме Пифагора ;
Тогда

, следовательно,

Следовательно,

Площадь сферы равна , следовательно, Тогда
, откуда Подставляя это значение в выражение
объема получаем

Ответ:

а) Так как , то , . Проведем через
точку — середину отрезка , прямую , .
Проведем , тогда . Следовательно, ,
следовательно, — плоскость, проведенная через середину отрезка
перпендикулярно ему. Значит, любая точка этой плоскости равноудалена от
концов этого отрезка. Следовательно, равноудалена от точек и
.

Если , то , следовательно, — угол между
прямой и плоскостью . Тогда , тогда ,
. Тогда , . , следовательно,
. Чтд.

б) , следовательно, если , то

Из по теореме Пифагора получаем
. Следовательно,

Так как центр описанной сферы лежит в основании , то центр сферы —
точка пересечения диагоналей и . Следовательно,

Ответ:

а) Так как пирамида правильная, то центр сферы, описанной около пирамиды,
лежит на перпендикуляре, проведенном через центр основания. В нашем случае
центр основания и есть центр этой сферы. Следовательно, и
. Следовательно, прямоугольный и равнобедренный„ то есть
. Это и есть угол между ребром и плоскостью основания.
Аналогично доказывается для других боковых ребер пирамиды.

б) Пусть — середина . Проведем , .
Следовательно, так как , то . Таким образом, в
плоскости любая точка равноудалена от точек и , так как лежит
на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Продлим до пересечения с
получим точку . и .

Рассомтрим основание . Пусть , , ,
. Следовательно, по теореме Фалеса .
Следовательно, по теореме Фалеса , откуда (
— радиус сферы).

.

Следовательно, получаем

Ответ:

а) Имеем

Следовательно, , если — диаметры сферы,
, то есть . Следовательно, — квадрат.
Расстояние от до наибольшее, если , — радиус
сферы. Тогда

Чтд.

б) Проведем , . Тогда
. Так как , то , следовательно, по ТТП
(). , следовательно, ,
, следовательно, по теореме Пифагора

Так как , то

Ответ:

а) Пусть — перпендикуляр к плоскости , следовательно, — центр
окружности, описанной около . Наибольшее расстоние от точки
, лежащей на сфере, до достигается, если один из концом
диаметра сферы, проходящего через , причем .
наибольшая, если — равнобедренный прямоугольный, то есть
. Тогда имеем: , следовательно, ,
чтд.

б) Пусть . По ТТП (так как ) имеем
.

По теореме Пифагора из

Следовательно, по теореме Пифагора из :

Так как , то

Ответ:

а) Рассмотрим плоскость . Треугольник прямоугольный,
, так как опирается на диаметр. Его площадь наибольшая в том случае,
если он равнобедренный, то есть . Расстояние от точки до
наибольшее, если , то есть — прямоугольный
равнобедренный. Тогда , , следовательно, по ТТП
. Чтд.

б) Проведем , , . Тогда если — радиус
сферы, то ,

Тогда

Следовательно,

Ответ:

а) Так как , то — точка касания сферы с . Проведем
. Следовательно, , ,
— точка касания сферы и . Заметим, что — квадрат, так как
это прямоугольник с равными смежными сторонами, и его стороны равны радиусу
сферы. Следовательно, если , то .

Рассмотрим . , следовательно,

Следовательно, , чтд.

б) Так как , то . Следовательно,

Ответ:

а) Рассмотрим диаметральное сечение сферы плоскостью, проходящей через
диаметр . Прямая касается этой окружности в точке .
пересекает окружность в точке . — касательная к окружности,
. По свойству касательной, проведенной из одной точки к окружности,
.

Пусть , .
Тогда .

Заметим, что , то . Следовательно,
. Следовательно, радиус основания конуса .

б) Проведем , . Рассмотрим : .
, следовательно,

Следовательно, , следовательно,

Ответ: