Деление многочлена на многочлен егэ

Теорема Безу и следствия из неё

19 июля 2022

Теорема Безу позволяет решать уравнения высших степеней, которые на первый взгляд не решаются, и раскладывать на множители многочлены, которые не раскладываются.:)

Формулировка теоремы довольно проста:

Терема Безу. Остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

на двучлен $x- color{red}{a}$ равен значению этого многочлена в точке $x= color{red}{a}$:

[r=Pleft( color{red}{a} right)]

На практике нас интересует не сама теорема Безу, а некоторые следствия из неё — именно они помогают решать уравнения и раскладывать многочлены на множители. В этом уроке мы рассмотрим все такие следствия и станем настоящими мастерами в работе с многочленами.

Содержание

1. Деление с остатком
2. Разложение на множители
3. Целые корни многочленов
4. Рациональные корни многочленов
5. Доказательства

В разных учебниках теорему Безу проходят то в 9-м классе, то в 10-м. Этот урок построен так, что вы поймёте его вне зависимости от школы, класса и учебника.

1. Деление с остатком

Итак, есть многочлен $Pleft( x right)$ и двучлен $x- color{red}{a}$. Разделим $Pleft( x right)$ на $x- color{red}{a}$ с остатком:

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x- color{red}{a} right)+r]

Теперь найдём значение многочлена $Pleft( x right)$ в точке $x= color{red}{a}$:

[Pleft( color{red}{a} right)=Qleft( color{red}{a} right)cdot left( color{red}{a}- color{red}{a} right)+r=r]

Собственно, мы только что доказали теорему Безу. А заодно подготовили основу для первого важного следствия.

Следствие 1. Деление на произвольный двучлен

Теорема Безу прекрасно работает не только для двучлена $x-color{red}{a}$, но и для любого линейного выражения вида $color{blue}{k}x+color{red}{b}$.

Следствие 1. Остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

на двучлен $color{blue}{k}x+color{red}{b}$ равен значению этого многочлена в точке $x=-color{red}{b}/ color{blue}{k};$:

[r=Pleft( -frac{color{red}{b}}{color{blue}{k}} right)]

На практике для большей надёжности рекомендуется приравнять двучлен $color{blue}{k}x+color{red}{b}$ к нулю:

[begin{align} color{blue}{k}x+color{red}{b} &=0 \ x &=-frac{color{red}{b}}{color{blue}{k}} \ end{align}]

Затем подставить найденное значение $x=-{color{red}{b}}/{color{blue}{k}};$ в многочлен $Pleft( x right)$ и таким образом найти $Pleft( -{color{red}{b}}/{color{blue}{k}}; right)$:

[r=Pleft( -frac{color{red}{b}}{color{blue}{k}} right)]

Пример 1. Стандартный многочлен

Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)=4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5x-6]

на двучлен $Tleft( x right)=x-2$.

Решение. Это стандартный двучлен вида $x-color{red}{a}$, поэтому решаем по стандартной теореме Безу, согласно которой остаток от деления многочлена $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{2}$ равен $Pleft( color{red}{2} right)$:

[begin{align}r &=Pleft( color{red}{2} right)= \ &=4cdot {color{red}{2}^{3}}-3cdot {color{red}{2}^{2}}+5cdotcolor{red}{2}-6 \ &=32-12+10-6=24 end{align}]

Ответ: 24.

Пример 2. Более сложный многочлен

Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+5 right)}^{3}}{{left( 2x+1 right)}^{5}}]

на двучлен $Tleft( x right)=x+1$.

Решение. Многочлен $Pleft( x right)$ представлен в виде произведения двух других многочленов, которые ещё и возведены в степени. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, получится обычный многочлен вида

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

По свойствам степеней найдём степень такого многочлена:

[deg Pleft( x right)=3cdot 3+1cdot 5=14]

Раскрывать скобки и приводить подобные в многочлене 14-й степени долго и трудно, а главное — в этом нет никакой необходимости. Ведь по теореме Безу остаток от деления $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{a}$ всегда равен $Pleft( color{red}{a} right)$ — и не важно, как записан исходный многочлен $Pleft( x right)$.

Для надёжности, чтобы найти $color{red}{a}$, приравняем к нулю двучлен $Tleft( x right)=x+1$:

[begin{align}x+1 &=0 \ x &=color{red}{-1} \ end{align}]

Теперь подставим $x=color{red}{-1}$ в многочлен $Pleft( x right)$ и найдём остаток:

[begin{align}r &=Pleft( color{red}{-1} right)= \ &={{left( {{left( color{red}{-1} right)}^{3}}-2cdot {{left( color{red}{-1} right)}^{2}}+5 right)}^{3}}cdot {{left( 2cdot left( color{red}{-1} right)+1 right)}^{5}}= \ &={{left( -1-2+5 right)}^{3}}cdot {{left( -2+1 right)}^{5}}=-8 end{align}]

Ответ: −8.

Пример 3. Рациональные коэффициенты

Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)=3{{x}^{20}}+{{x}^{19}}-7x+1]

на двучлен $Tleft( x right)=3x+1$.

Решение. Воспользуемся Следствием 1 из теоремы Безу. Для надёжности приравняем к нулю двучлен $Tleft( x right)$ и найдём $color{red}{a}$:

[begin{align}3x+1 &=0 \ x &=color{red}{-{1}/{3};} end{align}]

Подставим найденное $x=color{red}{-{1}/{3};}$ в многочлен $Pleft( x right)$ и найдём остаток:

[begin{align} Pleft( color{red}{-frac{1}{3}} right) &=3cdot {{left( color{red}{-frac{1}{3}} right)}^{20}}+{{left( color{red}{-frac{1}{3}} right)}^{19}}-7cdot left( color{red}{-frac{1}{3}} right)+1= \ &=frac{1}{{{3}^{19}}}-frac{1}{{{3}^{19}}}+frac{7}{3}+1=frac{10}{3} end{align}]

Ответ: ${10}/{3};$.

Пример 4. Иррациональные коэффициенты

Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{x}^{6}}-12{{x}^{4}}+48{{x}^{2}}+64]

на двучлен $Tleft( x right)=left( 1-sqrt{3} right)x+2$.

Решение. Вновь воспользуемся Следствием 1 из теоремы Безу. Приравняем двучлен $Tleft( x right)$ к нулю и найдём $color{red}{a}$:

[left( 1-sqrt{3} right)x+2=0]

Это линейное уравнение с иррациональными коэффициентами. Такое уравнение решается стандартно (см. урок «Линейные уравнения»):

[x=-frac{2}{1-sqrt{3}}=frac{2}{sqrt{3}-1}]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряжённое:

[x=frac{2color{blue}{left( sqrt{3}+1 right)}}{left( sqrt{3}-1 right) color{blue}{left( sqrt{3}+1 right)}}=frac{2left( sqrt{3}+1 right)}{2}= color{red}{sqrt{3}+1}]

Степень исходного многочлена: $deg Pleft( x right)=6$. Если подставить в такой многочлен иррациональное число, то это число придётся возводить в шестую степень. Это слишком долго и трудно, поэтому перепишем многочлен $Pleft( x right)$ так:

[begin{align} Pleft( x right) &=left( {{x}^{6}}-12{{x}^{4}}+48{{x}^{2}}-64 right)+128= \ &={{left( {{x}^{2}}-4 right)}^{3}}+128 end{align}]

Мы выделили точный куб разности — классическую формулу сокращённого умножения. Как это работает — см. уроки «Формулы сокращённого умножения» и «Куб суммы и разности».

В такую формулу намного проще подставить $x=color{red}{sqrt{3}+1}$:

[begin{align}Pleft( color{red}{sqrt{3}+1} right) &={{left( {{left( color{red}{sqrt{3}+1} right)}^{2}}-4 right)}^{3}}+128= \ &={{left( {{left( sqrt{3} right)}^{2}}+2sqrt{3}+{{1}^{2}}-4 right)}^{3}}+128= \ &={{left( 2sqrt{3} right)}^{3}}+128= \ &=24sqrt{3}+128 end{align}]

Ответ получился некрасивым, но это и есть искомый остаток от деления.

Ответ: $24sqrt{3}+128$.

2. Разложение на множители

Сейчас будет немного теории, которая может показаться непонятной, но далее на примерах всё встанет на свои места.

Рассмотрим ещё раз деление многочлена $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{a}$ с остатком:

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)+r]

По теореме Безу мы легко найдём остаток $r=Pleft( color{red}{a} right)$. В частности, при $Pleft( color{red}{a} right)=0$ многочлен примет вид

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)]

А это значит, что многочлен $Pleft( x right)$ разделился на двучлен $x-color{red}{a}$ без остатка, и мы получили разложение на множители.

Кроме того, равенство $Pleft( color{red}{a} right)=0$ означает, что число $x=color{red}{a}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$. И это ещё одно замечательное следствие теоремы Безу.

Следствие 2. Корни многочлена и деление

Следствие 2. Число $x=color{red}{a}$ является корнем многочлена $Pleft( x right)$ тогда и только тогда, когда $Pleft( x right)$ делится без остатка на $left( x-color{red}{a} right)$.

На практике это означает, что для разложения многочлена на множители мы просто перебираем разные числа $x=color{red}{a}$ до тех пор, пока не окажется, что $Pleft( color{red}{a} right)=0$. В этот момент многочлен перепишется в виде

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)]

Такой перебор особенно эффективен в сочетании со схемой Горнера (см. урок «Схема Горнера»). Потому что параллельно с вычислением $Pleft( color{red}{a} right)$ мы получаем ещё и коэффициенты нового многочлена $Qleft( x right)$.

Пример 10. Обычный многочлен

Разложите на множители многочлен

[Pleft( x right)={{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-11x-6]

Решение. Для наглядности отметим синим цветом коэффициенты многочлена $Pleft( x right)$:

[Pleft( x right)= color{blue}{1}cdot {{x}^{4}}+color{blue}{3}cdot {{x}^{3}}+left( color{blue}{-3} right)cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{-11} right)cdot x+left( color{blue}{-6} right)]

Составим из них таблицу для схемы Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r} {} & color{blue}{1} & color{blue}{3} & color{blue}{-3} & color{blue}{-11} & color{blue}{-6}\ hline{} & {} & {} & {} & {} & {}\ end{array}]

Все коэффициенты целые, поэтому логично проверять целые $x=color{red}{a}$, начиная с самых простых и маленьких чисел:

[x=pm 1; pm 2; pm 3; ldots ]

Проверим $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-1}$:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{3} & color{blue}{-3} & color{blue}{-11} & color{blue}{-6}\ hline color{red}{1} & 1 & 4 & 1 & -10 & color{red}{-16}\ hline color{red}{-1} & 1 & 2 & -5 & -6 & color{green}{0}\ end{array}]

Проверка числа $x=color{red}{1}$ окончилась неудачей: остаток $r=color{red}{-16}$. Зато проверка $x=color{red}{-1}$ дала остаток $r=color{green}{0}$. Следовательно, $x=color{red}{-1}$ является корнем многочлена $Pleft( x right)$, и сам многочлен можно переписать так:

[begin{align}Pleft( x right) &=Qleft( x right)cdot left( x-left( color{red}{-1} right) right) \ &=left( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-5x-6 right)left( x+1 right) end{align}]

Теперь разложим многочлен $Qleft( x right)$ по схеме Горнера. Проверим ещё раз число $x=color{red}{-1}$:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r}{} & 1 & 3 & -3 & -11 & -6\ hline color{red}{-1} & color{blue}{1} & color{blue}{2} & color{blue}{-5} & color{blue}{-6} & color{green}{0}\ hline color{red}{-1} & 1 & 1 & -6 & color{green}{0} & {}\ end{array}]

И вновь получили $r=color{green}{0}$. Исходный многочлен примет вид

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+x-6 right){{left( x-1 right)}^{2}}]

В первой скобке стоит квадратный трёхчлен. Разложим его на множители по теореме Виета:

[{{x}^{2}}+x-6=left( x+3 right)left( x-2 right)]

Итого окончательное разложение многочлена $Pleft( x right)$:

[left( x+3 right)left( x-2 right){{left( x-1 right)}^{2}}]

Однако это было довольно простое задание: теорема Безу использовалась лишь в качестве обоснования, почему вместо $Pleft( x right)$ мы пишем $Qleft( x right)left( x-color{red}{a} right)$.

Следующее задание будет намного интереснее.:)

Пример 11. Многочлен с двумя переменными

Разложите на множители многочлен

[Pleft( x,y right)=y{{x}^{2}}+3yx+x-4y-1]

Решение. Это многочлен от двух переменных. Он квадратный относительно переменной $x$ и линейный относительно $y$. Чтобы разложить такой многочлен на множители, сгруппируем его слагаемые относительно переменной $x$:

[Pleft( x,y right)= color{blue}{y}cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{3y+1} right)cdot x+left( color{blue}{-4y-1} right)]

Составляем таблицу:

[begin{array}{c|c|c|c}{} & color{blue}{y} & color{blue}{3y+1} & color{blue}{-4y-1}\ hline {} & {} & {} & {}\ end{array}]

Чтобы воспользоваться теоремой Безу, нужно найти такое $x=color{red}{a}$, чтобы $r=Pleft( color{red}{a} right)= color{green}{0}$. Поскольку в роли коэффициентов выступают выражения, содержащие переменную $y$, вновь рассмотрим самые простые варианты, которые приходят в голову:

[x=pm 1; pm y]

Проверим, например, $x=color{red}{1}$:

[begin{array}{c|c|c|c}{} & color{blue}{y} & color{blue}{3y+1} & color{blue}{-4y-1}\ hline color{red}{1} & y & 4y+1 & color{green}{0}\ end{array}]

Первая же попытка привела к успеху: $r=color{green}{0}$, поэтому $x=color{red}{1}$ — крень многочлена $Pleft( x,y right)$. Разложим этот многочлен на множители согласно Следствию 2 теоремы Безу:

[Pleft( x,y right)=left( ycdot x+4y+1 right)cdot left( x-color{red}{1} right)]

В первой скобке стоит новый многочлен, линейный по $x$ и по $y$. Его уже нельзя разложить на множители, поэтому ответ окончательный:

[Pleft( x,y right)=left( xy+4y+1 right)left( x-1 right)]

Важное замечание. Строго говоря, линейность многочлена по каждой переменной ещё не означает, что его нельзя разложить на множители. Простой контрпример:

[xy-x+y-1=left( x+1 right)left( y-1 right)]

Однако в нашем случае дальнейшее применение теоремы Безу и проверки по схеме Горнера не даст никаких новых множителей.

3. Целые корни многочленов

До сих пор мы подставляли числа наугад. И если удавалось найти число $x=color{red}{a}$ такое, что $Pleft( color{red}{a} right)=0$, мы объявляли его корнем, а многочлен $Pleft( x right)$ переписывали в виде

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)]

Однако с помощью теоремы Безу можно значительно ускорить отыскание корней, отбросив заведомо неподходящие варианты. В этом нам поможет следующее утверждение.

Следствие 3. Целочисленные корни

Пусть $Pleft( x right)$ — приведённый многочлен с целыми коэффициентами:

[Pleft( x right)={{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

Тогда свободный член ${{a}_{0}}$ делится на любой целый корень многочлена $Pleft( x right)$.

Обратите внимание: старший коэффициент при ${{x}^{n}}$ равен единице. Именно поэтому многочлен $Pleft( x right)$ называется приведённым. Кроме того, все коэффициенты ${{a}_{n-1}},ldots ,{{a}_{0}}$ должны быть целыми числами.

И вот тогда целые корни следует искать среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}$.

Пример 5. Простое уравнение

Решите уравнение

[{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2=0]

Решение. Это приведённое кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Рассмотрим многочлен

[Pleft( x right)= color{blue}{1}cdot {{x}^{3}}+left( color{blue}{-2} right)cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{-1} right)cdot x+color{blue}{2}]

Если у него есть целые корни, то по Следствию 3 теоремы Безу все они находятся среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}=2$. Таких делителей всего четыре:

[x=pm 1; pm 2]

Подставим эти числа в схему Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{-2} & color{blue}{-1} & color{blue}{2}\ hline color{red}{1} & 1 & -1 & -2 & color{green}{0}\ hline color{red}{-1} & 1 & -2 & color{green}{0} & {}\ end{array}]

Уже на первом шаге мы получили $r=color{green}{0}$. Следовательно, $x=color{red}{1}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$, и сам многочлен можно переписать так:

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}-x-2 right)left( x-color{red}{1} right)]

Впрочем, если учесть третью строку таблицы, то можно вообще записать

[Pleft( x right)=left( x-2 right)left( x-left( color{red}{-1} right) right)left( x-color{red}{1} right)]

В любом случае, корни многочлена, как и корни уравнения — это числа 2, 1 и −1.

Ответ: $x=1$, $x=-1$, $x=2$.

Формула понижения степени

Итак, с помощью теоремы Безу мы можем:

1. Найти целый корень многочлена;
2. Разложить исходный многочлен на множители;
3. Далее искать корни многочлена степени на единицу меньше.

В самом деле, если $Pleft( color{red}{a} right)=0$, тогда по Следствию 2 теоремы Безу мы переписываем многочлен $Pleft( x right)$ в виде

[Pleft( x right)=Qleft( x right)left( x-color{red}{a} right)]

Далее мы ищем корни многочлена $Qleft( x right)$, степень которого на единицу меньше $Pleft( x right)$.

Этот приём называется понижением степени. Он помогает свести исходный многочлен к квадратному, корни которого легко считаются, например, через дискриминант.

Пример 6. Среднее уравнение

Решите уравнение

[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12=0]

Решение. Это уравнение третьей степени. Достаточно найти один корень — далее останется решить квадратное уравнение. Заметим, что многочлен

[Pleft( x right)= color{blue}{1}cdot {{x}^{3}}+left( color{blue}{-3} right)cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{-4} right)cdot x+color{blue}{12}]

является приведённым с целочисленными коэффициентами. По Следствию 3 теоремы Безу все целые корни этого многочлена содержатся среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}=12$. Таких делителей довольно много:

[x=pm 1; pm 2; pm 3; pm 4; pm 6; pm 12]

Впрочем, нам достаточно найти всего один корень. Воспользуемся схемой Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{-3} & color{blue}{-4} & color{blue}{12}\ hlinecolor{red}{1} & 1 & -2 & -7 & color{red}{5}\ hlinecolor{red}{-1} & 1 & -4 & 0 & color{red}{12}\ hlinecolor{red}{2} & 1 & -1 & -6 & color{green}{0}\ end{array}]

Проверка закончилась неудачей для $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-1}$. Но для $x=color{red}{2}$ мы нашли то, что искали: остаток $r=color{green}{0}$. Следовательно, $x=color{red}{2}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$.

Разложим многочлен на множители согласно теореме Безу:

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}-x-6 right)left( x-color{red}{2} right)]

В первой скобке стоит квадратный трёхчлен. Его корни легко найти по теореме Виета:

[Pleft( x right)=left( x-3 right)left( x+2 right)left( x-2 right)]

Приравниваем полученное произведение к нулю и решаем уравнение: $x=3$, $x=-2$, $x=2$.

Ответ: $x=2$, $x=-2$, $x=3$.

Пример 7. Сложное уравнение

Решите уравнение

[{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+3x+2=0]

Решение. Слева приведённый многочлен с целочисленными коэффициентами, поэтому все целые корни находятся среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}=2$:

[x=pm 1; pm 2]

Достаточно подобрать два корня — далее уравнение сведётся к квадратному. Воспользуемся схемой Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{-1} & color{blue}{-5} & color{blue}{3} & color{blue}{2}\ hlinecolor{red}{-1} & 1 & -2 & -3 & 6 & color{red}{-4}\ hlinecolor{red}{1} & 1 & 0 & -5 & -2 & color{green}{0}\ hlinecolor{red}{-2} & 1 & -2 & -1 & color{green}{0} & {}\ end{array}]

Получили корни $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-2}$. Разложим многочлен на множители:

[left( {{x}^{2}}-2x-1 right)left( x-color{red}{1} right)left( x-left( color{red}{-2} right) right)=0]

Решим квадратного уравнение из первой скобки:

[{{x}^{2}}-2x-1=0]

Дискриминант положителен:

[begin{align} D &={{left( -2 right)}^{2}}-4cdot 1cdot left( -1 right)= \ &=4+4=8 end{align}]

Следовательно, уравнение имеет два корня:

[x=frac{2pm 2sqrt{2}}{2}=1pm sqrt{2}]

Ответ: $x=1$, $x=-2$, $x=1pm sqrt{2}$.

4. Рациональные корни

До сих пор мы работали лишь с приведёнными многочленами, где старший коэффициент равен единице. Однако теорема Безу прекрасно работает и для неприведённых многочленов — при условии что все коэффициенты остаются целыми.

Рассмотрим уравнение

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

где ${{a}_{n}},ldots ,{{a}_{0}}$ — целые числа, причём ${{a}_{n}}ne 0$.

Следствие 4. Если рациональное число $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$, где $color{red}{p}in mathbb{Z}$, $color{blue}{q}in mathbb{N}$ и дробь $color{red}{p}/color{blue}{q};$ несократима, является корнем уравнения

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

то свободный член ${{a}_{0}}$ делится на $color{red}{p}$, а старший коэффициент ${{a}_{n}}$ делится на $color{blue}{q}$.

Это утверждение будет доказано в конце урока. Сейчас важен практический смысл, который состоит в том, что все рациональные корни уравнения

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

имеют вид $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$, где $color{red}{p}$ следует искать среди делителей ${{a}_{0}}$, а $color{blue}{q}$ — среди положительных делителей ${{a}_{n}}$.

Пример 8. Простой многочлен

Найдите рациональные корни многочлена

[Pleft( x right)=2{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+4x-2]

Решение. Делители свободного члена ${{a}_{0}}=-2$:

[p=pm 1; pm 2]

Положительные делители старшего коэффициента ${{a}_{4}}=2$:

[q=1; 2]

Возможные рациональные корни многочлена $Pleft( x right)$ по Следствию 4 теоремы Безу:

[x=pm 1; pm 2; pm {1}/{2};]

Проверять числа $x=color{red}{pm 1}$ нет смысла, поскольку все коэффициенты многочлена $Pleft( x right)$, за исключением одного, чётные. Следовательно, при подстановке нечётных чисел многочлен принимает нечётные значения, которые точно не равны нулю.

Остальные числа проверим по схеме Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}{} & color{blue}{2} & color{blue}{-1} & color{blue}{0} & color{blue}{0} & color{blue}{4} & color{blue}{-2}\ hlinecolor{red}{2} & 2 & 3 & 6 & 12 & 28 & color{red}{54}\ hlinecolor{red}{-2} & 2 & -5 & 10 & -20 & 44 & color{red}{-90}\ hline color{red}{{1}/{2};} & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & color{green}{0}\ hline color{red}{-{1}/{2};} & 2 & -2 & 1 & -{1}/{2}; & {17}/{4}; & color{red}{-{33}/{8};}\ end{array}]

Подошло лишь одно число: $x=color{red}{{1}/{2};}$. Следовательно, многочлен имеет лишь один рациональный корень.

Ответ: $x={1}/{2};$.

Обратите внимание: проверку дробных чисел можно прекращать, как только в строке таблицы появилась дробь. Потому что дальше это число будет лишь умножаться на новые дроби и складываться с другими целыми числами. При таких обстоятельствах получить $r=color{green}{0}$ уже невозможно.

Пример 9. Сложный многочлен

Найдите рациональные корни многочлена

[Pleft( x right)=3{{x}^{7}}+2{{x}^{6}}-5{{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-7x+5]

Решение. Это многочлен с целыми коэффициентами. Делители свободного члена ${{a}_{0}}=5$:

[p=pm 1; pm 5]

Положительные делители старшего коэффициента ${{a}_{7}}=3$:

[q=1; 3]

Кандидаты в корни согласно Следствию 4 теоремы Безу:

[x=pm 1; pm 5; pm {1}/{3};; pm {1}/{5};]

Всего восемь кандидатов. Проверим их все по схеме Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|c|c|c|c}{} & color{blue}{3} & color{blue}{2} & color{blue}{-5} & color{blue}{0} & color{blue}{3} & color{blue}{-1} & color{blue}{-7} & color{blue}{5}\ hlinecolor{red}{1} & 3 & 5 & 0 & 0 & 3 & 2 & -5 & color{green}{0}\ hlinecolor{red}{-1} & 3 & 2 & -2 & 2 & 1 & 1 & color{red}{-6} & {}\ hlinecolor{red}{5} & 3 & 20 & 100 & color{red}{500} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{-5} & 3 & -10 & 50 & color{red}{-250} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{{1}/{3};} & 3 & 6 & 2 & color{red}{{2}/{3};} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{-{1}/{3};} & 3 & 4 & color{red}{-{4}/{3};} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{{5}/{3};} & 3 & 10 & color{red}{{50}/{3};} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{-{5}/{3};} & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & -3 & color{green}{0} & {}\ end{array}]

Обратите внимание: для чисел $x=color{red}{5}$ и $x=color{red}{-5}$ мы прекратили вычисления досрочно, поскольку получили явно неадекватные числа, которые дальше будут только расти.

При проверке $x=color{red}{{1}/{3};}$, $x=color{red}{-{1}/{3};}$ и $x=color{red}{{5}/{3};}$ мы в какой-то момент возникли дроби, после чего дальнейшие вычисления теряют смысл.

Итого найдены два рациональных корня: $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-{5}/{3};}$. Пожалуй, это одно из самых утомительных заданий на применение теоремы Безу, которые я когда-либо решал.:)

5. Доказательства

Рассмотрим доказательства всех ключевых утверждений сегодняшнего урока.

5.1. Теорема Безу

Мы сформулировали эту теорему в самом начале урока:

Терема Безу. Остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

на двучлен $x-color{red}{a}$ равен значению этого многочлена в точке $x=color{red}{a}$:

[r=Pleft( color{red}{a} right)]

Доказательство. Разделим многочлен $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{a}$ с остатком:

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)+r]

Такое представление всегда однозначно (см. урок «Деление многочленов с остатком»). Здесь многочлен $Qleft( x right)$ — неполное частное, $r$ — остаток, причём

[begin{align}deg r lt deg left( x-color{red}{a} right) &=1 \ deg r &=0 \ end{align}]

Другими словами, остаток $r$ — это просто число.

Теперь найдём значение $Pleft( x right)$ в точке $x=color{red}{a}$:

[Pleft( color{red}{a} right)=Qleft( color{red}{a} right)cdot left( color{red}{a}-color{red}{a} right)+r=r]

Теорема Безу доказана. Однако её доказательство опирается на единственность деления с остатком.

5.2. Целочисленные корни

Целочисленные корни приведённого многочлена с целыми коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена.

Следствие 3. Пусть $Pleft( x right)$ — приведённый многочлен с целыми коэффициентами:

[Pleft( x right)={{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

Тогда свободный член ${{a}_{0}}$ делится на любой целый корень многочлена $Pleft( x right)$.

Доказательство. Пусть $color{red}{b}in mathbb{Z}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$, т.е. $Pleft( color{red}{b} right)=0$. Подставим число $x=color{red}{b}$ в формулу многочлена и получим уравнение:

[{color{red}{b}^{n}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{b}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}color{red}{b}+{{a}_{0}}=0]

Перенесём последнее слагаемое вправо, а слева из оставшихся слагаемых вынесем множитель $color{red}{b}$ за скобку:

[color{red}{b}cdot left( {color{red}{b}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{b}^{n-2}}+ldots +{{a}_{1}} right)=-{{a}_{0}}]

Поскольку $-{{a}_{0}}in mathbb{Z}$, а слева стоят два целочисленных множителя, получаем, что число $-{{a}_{0}}$ делится на $color{red}{b}$. Следовательно, свободный член ${{a}_{0}}$ тоже делится на $color{red}{b}$, что и требовалось доказать.

5.3. Рациональные корни

Рассмотрим уравнение

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

где ${{a}_{n}},ldots ,{{a}_{0}}$ — целые числа, причём ${{a}_{n}}ne 0$.

Утверждение. Если рациональное число $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$, где $color{red}{p}in mathbb{Z}$, $color{blue}{q}in mathbb{N}$ и дробь $color{red}{p}/color{blue}{q};$ несократима, является корнем уравнения $Pleft( x right)=0$, то свободный член ${{a}_{0}}$ делится на $color{red}{p}$, а старший коэффициент ${{a}_{n}}$ делится на $color{blue}{q}$.

Доказательство. Подставим число $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$ в исходное уравнение. Поскольку $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$ — корень, уравнение обратится в верное числовое равенство:

[{{a}_{n}}cdot {{left( frac{color{red}{p}}{color{blue}{q}} right)}^{n}}+{{a}_{n-1}}cdot {{left( frac{color{red}{p}}{color{blue}{q}} right)}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}cdot frac{color{red}{p}}{color{blue}{q}}+{{a}_{0}}=0]

Домножим обе части на ${color{blue}{q}^{n}}$. Получим

[{{a}_{n}}{color{red}{p}^{n}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{p}^{n-1}}color{blue}{q}+ldots +{{a}_{1}}color{red}{p}{color{blue}{q}^{n-1}}+{{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}}=0]

Перенесём последнее слагаемое ${{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}}$ вправо, а в левой части из оставшихся слагаемых вынесем множитель $color{red}{p}$ за скобку:

[color{red}{p}left( {{a}_{n}}{color{red}{p}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{p}^{n-2}}color{blue}{q}+ldots +{{a}_{1}}{color{blue}{q}^{n-1}} right)=-{{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}}]

Слева и справа от знака равенства стоят целые числа, поскольку все слагаемые и множители являются целыми. Мы видим, что левая часть делится на $color{red}{p}$. Следовательно, правая часть тоже делится на $color{red}{p}$:

[-{{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}} vdots color{red}{p}]

По условию теоремы дробь $color{red}{p}/color{blue}{q};$ несократима. Следовательно, числа $color{blue}{q}$ и $color{red}{p}$ не имеют общих делителей, и единственный возможный вариант — это когда ${{a}_{0}}$ делится на $color{red}{p}$.

Аналогично доказывается, что старший коэффициент ${{a}_{n}}$ делится на $color{blue}{q}$. Теорема доказана.

Вот и всё.:)

Смотрите также:

1. Схема Горнера
2. Деление многочленов уголком
3. Теорема Виета
4. Задача B3 — работа с графиками
5. Метод коэффициентов, часть 2
6. Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги

В этой статье рассмотрим один из способов разложения на множители многочленов высших степеней. С его помощью вы сможете решать уравнения и неравенства вида:

(x^3+6x^2+11x+6=0)
(x^3-2x-4=0)
(x^3+2x^2-5x-6<0)
(x^4-3x^3+6x-4≥0)

Пошаговый алгоритм разложения на множители с помощью деления «уголком»:

0) Запишите многочлен в стандартном виде, то есть так, чтоб степени одночленов стояли по убыванию.

Пример:
(6x^2+6+x^3+11x) записываем как (x^3+6x^2+11x+6)

1) Подбором найдите один из корней многочлена.

Для этого вместо (x) подставьте по очереди числа: (±1,±2,±3,±4,±5) и т.д. Число, которое сделает многочлен нулем и будет его корнем.

Пример:
(x^3+6x^2+11x+6)
Подставим (1). Имеем: (1^3+6 cdot 1^2+11cdot 1+6=24) — не равно нулю. Ищем дальше.
Подставим (-1). Получим: ((-1)^3+6cdot (-1)^2+11cdot (-1)+6=-1+6-11+6=0) – значит (-1) корень нашего многочлена.

Матхак! Пробуйте сначала числа, на которые свободный член делиться нацело. В данном случае свободный член (6), поэтому в первую очередь нужно пробовать числа: (±1,±2,±3) и (±6).

2) Поделите исходный многочлен на (x-x_0), где (x_0) – найденный корень. Процесс деления многочлена на многочлен сильно похож на обычное деление в столбик — поэтому и называется деление «уголком».

       а) Запишите многочлены как числа при делении столбиком:

       б) Подберите такой одночлен, чтобы при умножении его на (x), получалось первое слагаемое исходного многочлена, то есть в нашем случае (x^3). Очевидно, что таким одночленом будет (x^2).

        в) Умножьте этот одночлен на делитель и запишите результат под исходным многочленом. Таким образом, мы умножаем (x^2) на (x+1) и получаем (x^3+x^2).

        г) Теперь точно так же, как в случае деления натуральных чисел, поставьте знак минус, проведите горизонтальную черту и сделайте вычитание.

        д) Повторите шаги б) – г) только уже с новым многочленом:
                — подберите такой одночлен, чтобы при умножении на (x) первое слагаемое было таким же, как в новом многочлене: в нашем примере этим одночленом будет (5x).
              — умножьте этот одночлен на делитель: умножив (5x) на (x+1) получим (5x^2+5x).
              — вычтите получившиеся многочлены:

        е) И вновь повторяем шаги б) – г) до тех пор, пока после вычитания не останется ноль.

3) Запишите новый вид многочлена, представив его как произведение делителя и частного.
(x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x^2+5x+6))

Матхак! Если есть сомнения в правильности разложения, можно проверить его раскрытием скобок – в результате должен получиться исходный многочлен.
Проверим наш случай: ((x+1)(x^2+5x+6)=x^3+5x^2+6x+x^2+5x+6=x^3+6x^2+11x+6).
Получен исходный многочлен, значит, поделили правильно.

Матхак! Если в результате деления у вас в остатке получился не ноль, значит, скорее всего, в решении есть ошибка.

Давайте теперь решим пример с применением изученного материала.

Пример: Решите неравенство (x^4-3x^3+6x-4≥0).

Решение:

(x^4-3x^3+6x-4≥0)	Найдем один из корней многочлена слева. Проверим (1).
(1: 1^4-3·1^3+6·1-4=0)	Поделим многочлен (x^4-3x^3+6x-4) на ((x-1)) уголком. Однако замечаем, что у нас нет слагаемого с квадратом. Чтоб нам было удобнее решать, запишем вместо него выражение (0·x^2) (ведь его значение равно нулю, а значит оно ничего не меняет в исходном многочлене).
	Запишем новый вид нашего неравенства.
((x-1)(x^3-2x^2-2x+4)≥0)	С первой скобкой все хорошо, а вот вторую надо бы разложить еще. Так как высшая степень в ней — куб, то мы можем попробовать разложить методом группировки, что проще чем деление в столбик. У первых двух слагаемых вынесем за скобку (x^2), а у третьего и четвертого – минус двойку.
((x-1)(x^2 (x-2)-2(x-2))≥0)	Теперь выносим общую скобку ((x-2)) за скобку.
((x-1)(x-2)(x^2-2)≥0)	Но и это еще не все, потому что (x^2-2) можно разложить с помощью формулы сокращенного умножения «разность квадратов»: (a^2-b^2=(a-b)(a+b)).
((x-1)(x-2)(x-sqrt{2})(x+sqrt{2})≥0)	Вот сейчас все готово для применения метода интервалов.
	Запишем ответ.

Ответ: ((-∞;-sqrt{2}]∪[1;sqrt{2}]∪[2;∞)).