Демоверсия егэ 2018 по математике

Демо вариант Профильного ЕГЭ 2018admin2019-03-26T23:02:12+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

2018-02-13
2020-05-24

2018

Задание 1

Поезд оправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (время московское) и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?

Решение

Учитывая тот факт, что в сутках 24 часа, и начинается день в 00 часов 00 минут, а заканчивается в 24 часа, то поезд находится в пути 10 минут предыдущего дня и 7 часов 50 минут следующего.

7 ч 50 мин + 10 мин = 8 часов

Ответ: 8.

Задание 2

На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 г. По горизонтали указаны номера месяцев; по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

Сколько месяцев средняя температура была выше 18 градусов Цельсия?

Решение

Ответ: 4.

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

Решение

где h – высота, a – сторона, к которой высота проведена.

S∆ =	1	ha =	1	· 2 · 6 = 6
2	2

Ответ: 6.

Задание 4

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достается один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.

Решение

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов:

где n – общее число равновозможных исходов, m – число исходов, благоприятствующих событию А.

Всего 25 билетов, значит всего исходов – 25.

Благоприятных исходов – 2.

Вероятность =	2	= 0,08
25

Ответ: 0,08.

Смотрите также: Разбор заданий ЕГЭ-2018 по математике (профильный уровень)

Задание 5

Найдите корень уравнения 3^x – 5 = 81.

Решение

3^x – 5 = 81

3^x – 5 = 3⁴

x – 5 = 4

x = 9

Ответ: 9.

Задание 6

Треугольник ABC вписан в окружность с центром О. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение

∠COB – центральный угол, ∠COB = дуге CB

∠CАB – вписанный угол, ∠CАB =	1	дугиCB
2

∠COB = 64°

Ответ: 64.

Смотрите также: Вебинар «Подготовка к математике. базовый уровень» состоится 2 апреля

Задание 7

На рисунке изображен график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, … , x₉.

Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.

Решение

Производная функции отрицательна там, где функция убывает.

В данные промежутки попадают точки x₃, x₄, x₅, x₉. Всего 4 точки.

Ответ: 4.

Задание 8

В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ выразите в см.

Решение

Формула для вычисления объема цилиндра:

V = πR²H,

где R – радиус цилиндра, H – его высота.

Т.к. уровень жидкости достигает 16 см, значит высота равна 16.

V = πR²H = πR²16

Диаметр второго сосуда в два раза больше диаметра первого.

Т.к. d = 2R, тогда радиус второго сосуда также в два раза больше радиуса первого, и равен 2R.

h – высота жидкости во втором сосуде.

Найдем объем жидкости во втором сосуде:

V = π(2R)²h = π4R²h

При переливании жидкости в другой сосуд, ее объем не изменился.

Приравняем объемы жидкости первого и второго сосудов:

πR²16 = π4R²h

4h = 16.

h = 4.

Ответ: 4 см.

Задание 9

Найдите sin2α, если cosα = 0,6 и π < α < 2π.

Решение

sin2α = 2sinα · cosα

(sinα)² + (cosα)² = 1

(sinα)² + (0,6)² = 1

(sinα)² = 1 – 0,36

(sinα)² = 0,64

(sinα)² = ±0,8

Т.к. α ∈ 3 или 4 четверти, значит

sinα = –0,8

sin2α = 2 · (–0,8) · (0,6)

sin2α = –0,96

Ответ: –0,96.

Задание 10

Локатор батискафа, равномерно погружающего вертикально вниз, испускает ультразвуковые сигналы частотой 749 МГц. Приемник регистрирует частоту сигнала, отраженного от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

где c = 1500 м/с – скорость звука в воде, f₀ – частота испускаемого сигнала (в МГц), f – частота отраженного сигнала (в МГц). Найдите частоту отраженного сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

Решение

Из условия следует, что

v = 2 м/с

с = 1500 м/с

f₀ = 749 МГц

Подставим эти данные в формулу

Подставим эти данные в формулу v = c	f – f0
f + f0

2 = 1500 ·	f – 749
f + 749

f + 749 = 750 · (f – 749)

f + 749 = 750f – 750 · 749

f – 750f = –750 · 749 – 749

–749f = –749(750 + 1)

Ответ: 751.

Задание 11

Весной катер идет против течения реки в 1²/₃ раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идет против течения в 1½ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Решение

	Весна	Лето
Собственная скорость катера	x (км/ч)
Скорость реки	y (км/ч)	y – 1 (км/ч)
По течению	x + y (км/ч)	x + y – 1
Против течения	x – y (км/ч)	x – y + 1

Т.к. весной катер идет против течения медленнее, чем по течению, составим уравнение

Летом катер идет против течения медленнее, чем по течению в 1½, тогда имеем уравнение:

x + y – 1	= 1	1
x – y + 1	2

Составим систему:

	x + y	=	5
x – y	3
x + y – 1	=	3
x – y + 1	2

	3(x + y) = 5(x – y)
2(x + y – 1) = 3(x – y + 1)

	2x = 8y
x = 5y – 5

	x = 20
y = 5

5 км/ч – скорость течения весной.

Ответ: 5.

Задание 12

Найдите точку максимума функции y = ln(x + 4)² + 2x + 7.

Решение

Учитывая, что ln(x + 4)² = 2ln │x + 4│ имеем:

y =		2ln(x + 4) + 2x + 7,	x > –4
2ln(–x – 4) + 2x + 7,	x < –4

(lnf(x))′ =	1	· (f(x))′
f(x)

y′ =		2	+ 2,	x > –4
x + 4
2	· (–x –4)′ + 2,	x < –4
–x – 4

y′ =		2	+ 2,	x > –4
x + 4
2	+ 2,	x < –4
x + 4

Найдем критические точки функции (точки, в которых производная либо равна нулю, либо не существует), для этого приравняем y′ к 0.

y′ = 0.

	x = –5
x ≠ –4

На промежутке (–4; ∞) производная положительна, критических точек нет.

На промежутке (–∞; –4) в точке –5 производная меняет свой знак с «+» на «–», значит точка х = –5 является точкой максимума функции.

Ответ: –5.

Задание 13

а) Решить уравнение cos2x = 1 – cos(	π	– x)
2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  –	5π	; – π).
2

Решение

Преобразуем левую и правую части уравнения:

cos2x = 1 – 2sin²x (формула двойного угла для косинуса)

cos(	π	– x) = sinx (формула приведения)
2

1 – 2sin²x = 1 – sinx

2sin²x – sinx = 0

sinx(2sinx – 1)= 0

	sinx = 0
2sinx = 1

	x = πn,		n ∈ Ζ
x =	π	+ 2πn,	n ∈ Ζ
6
x =	5π	+ 2πn,	n ∈ Ζ
6

Б) Найдем корни, принадлежащие данному промежутку  –	5π	; – π)
2

с помощью тригонометрического круга.

Получили корни	–7π	;	–11π	; 2π
6	6

Ответ: а)	π	+ 2πn, n ϵ Ζ;	5π	+ 2πn, n ϵ Ζ; πn, n ϵ Ζ;
6	6
б)	–7π	;	–11π	; 2π.
6	6

Задание 14

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

Решение

1) Проведем высоту NB₁ в ∆A₁B₁C₁. BN₁ = √B₁C₁² – NC₁² = √6² – 3² = 3√3

2) ∆NB₁B – прямоугольный с прямым ∠BB₁N.

3) Из ∆NB₁N по теореме Пифагора: NB² = NB₁² + BB₁² = 6² + (3√3)² = 63.

4) Из прямоугольного ∆MAB по теореме Пифагора: MB² = MA² + BA² = 6² + 3² = 45.

5) Из прямоугольного ∆MA₁Nпо теореме Пифагора: NM² = NA₁² + MA₁² = 3² + 3² = 18.

6) Рассмотрим ∆MNB:

NB² = NM² + MB²

63 = 45 + 18

Тогда по теореме обратной теореме Пифагора получаем, что ∆MNB прямоугольный, с прямым ∠BMN. Значит BM ⊥ MN. Ч.т.д.

Б) 

1) Проведем NK ⊥ A₁B₁.

2) NK ⊥ A₁B₁, NK ⊥ A₁A, значит NK ⊥ (A₁B₁B)

3) NK перпендикуляр к плоскости, NM – наклонная, KM – проекция наклонной NM на плоскость (A₁B₁B). По теореме обратной теореме о трех перпендикулярах имеем:

BM ⊥ MN		BM ⊥ KM
BM ⊥ NK

Тогда ∠KMN линейный угол искомого двугранного угла.

Из прямоугольного ∆NA₁K:

MN = 3√2

Т.к. NK ⊥ (A₁B₁B), а MK ∈ (A₁B₁B), NK ⊥ MK и ∆MNK прямоугольный.

Задание 15

Решите неравенство:

9x – 2 · 3x + 1 + 4	+	2 · 3x + 1 – 51	≤ 3x + 5
3x – 5	3x – 9

Решение

Пусть 3^x = y, 9^x = y²

y2 – 6y + 4	+	6y – 51	≤ y + 5
y – 5	y – 9

y2 – 6y + 5 – 1	+	6y – 54 + 3	≤ y + 5
y – 5	y – 9

y2 – 6y + 5	–	1	+	6y – 54	+	3	≤ y + 5
y – 5	y – 5	y – 9	y – 9

Разложим трехчлен y² – 6y + 5 на множители

y² – 6y + 5 = 0

D = (–6)² – 4 · 1 · 5 = 16

y² – 6y + 5 = (y – 5)(y – 1)

(y – 5)(y – 1)	–	1	+	6(y – 9)	+	3	≤ y + 5
y – 5	y – 5	y – 9	y – 9

y – 1 –	1	+ 6 +	3	≤ y + 5
y – 5	y – 9

y –	1	+ 5 +	3	≤ y + 5
y – 5	y – 9

–	1	+	3	≤ 0
y – 5	y – 9

–1(y – 9) + 3(y – 5)	≤ 0
(y – 5)(y – 9)

–y + 9 + 3y – 15	≤ 0
(y – 5)(y – 9)

2y – 6	≤ 0
(y – 5)(y – 9)

	3 ≤ 3x
5 < 3x < 9

	1 ≤ x
log35 < x < 2

Ответ: (–∞; 1] ∪ (log₃5; 2)

Задание 16

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке С.

а) докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение

1. Проведем общую касательную к окружностям в точке K. Она пересекает AB в точке H.
2. AH = HK, HK = HB (по свойству касательных, проведенных из одной точке к окружности)
3. В ∆AKB, медиана KH равна половине стороны AB, значит он прямоугольный, с ∠AKB = 90°.
4. ∠AKB = ∠AKD = 90° (как смежные), значит ∠AKD опирается на диаметр AD. Тогда AD ⊥ AB.
5. ∠AKB = ∠CKB = 90° (как смежные), значит ∠BKCопирается на диаметр BC. Тогда BC ⊥ AB.
6. ледовательно AD || BC.

б) Пусть R = 4 радиус первой окружности с центром O₁, а r = 1 – радиус второй окружности с центром O₂.

1) Рассмотрим ∆СKB и ∆AKD: углы при вершине K прямые, ∠DAK = ∠ACB, как накрест лежащие при AD || BC и секущей AC. Значит ∆СKB ~ ∆AKD по двум углам.

2)	AK	=	KD	=	AD	=	2R	=	4	= k
KC	BK	BC	2r	1

3) Отношение площадей подобных треугольников равно k₂ (k – коэффициент подобия)

SAKD	= 16, SAKD = 16SBKC
SBKC

4) ∆AKB и ∆AKD имеют общую высоту AK, значит их площади относятся, как основания, к которым эта высота проведена.

5)

SAKD

=

DK

=

AD

=

4

, SBKA=

1

SAKD =

1

· 16SBKC = 4SBKC

SBKA

KB

BC

1

4

4

6) ∆DCK и ∆CKB имеют общую высоту CK, значит их площади относятся, как основания, к которым эта высота проведена.

SDKC	=	DK	=	4	, SDKC = 4SBKC
SBKC	KB	1

7) Найдем площадь трапеции ABCD:

S_ABCD = S_DKA + S_AKB + S_CKB + S_DCK

S_ABCD = 16S_BKC + 4S_CKB + S_CKB + 4S_CKB

S_ABCD = 25S_CKB

Проведем к AD перпендикуляр O₂S (высоту трапеции)

9) Из прямоугольного ∆O₂SO₁ по теореме Пифагора найдем O₂S:

O₂S = √(O₂O₁)² – (O₁S)²

O₂S = √5² – 3² = 4

O₂S = AB = 4

S_ABCD = 25S_CKB

20= 25S_CKB

S_CKB = 0,8

S_BKA = 4S_BKC = 4 · 0,8 = 3,2.

Ответ: 3,2.

Задание 17

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн рублей)	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Решение

Долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля по следующей схеме:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

Тогда долг на 1-е число каждого месяца (вместе с процентами) равен:

1 + 1 ·

r

; 0,6 + 0,6 ·

r

; 0,4 + 0,4 ·

r

; 0,3 + 0,3 ·

r

; 0,2 + 0,2 ·

r

; 0,1 + 0,1 ·

r

;

100

100

100

100

100

100

1 ·

r

; 0,6(1 +

r

); 0,4(1 +

r

); 0,3(1 +

r

); 0,2(1 +

r

); 0,1(1 +

r

)

100

100

100

100

100

100

Выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:

1 · (1 +	r	– 0,6; 0,6 · (1 +	r	– 0,4; 0,4 · (1 +	r	– 0,3;
100	100	100

0,3 · (1 +	r	– 0,2; 0,2 · (1 +	r	– 0,1; 0,1 · (1 +	r	)
100	100	100

Общая сумма выплат составляет:

1 · (1 +	r	– 0,6 +0,6 · (1 +	r	– 0,4 + 0,4 · (1 +	r	– 0,3 +
100	100	100

+ 0,3 · (1 +	r	– 0,2 + 0,2 · (1 +	r	– 0,1 + 0,1 · (1 +	r	) =
100	100	100

= 1 · (1 +	r	+ 0,6 · (1 +	r	+ 0,4 · (1 +	r	+ 0,3 · (1 +	r	+
100	100	100	100

+ 0,2 · (1 +	r	+ 0,1 · (1 +	r	) – 0,6 – 0,4 – 0,3 – 0,2 – 0,1 =
100	100

= (1 +	r	) (1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) – (0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) = 2,6(1 +	r	) – 1,6.
100	100

По условию, общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей, тогда

2,6(1 +	r	) – 1,6 < 1,2
100

Наибольшее целое r = 7.

Ответ: 7.

Задание 18

Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система

	(|x| – 5)2 + (y – 4)2 = 9,
(x + 2)2 + y2 = a2.

Имеет единственное решение.

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

1) При x ≥ 0, имеем уравнение (x – 5)² + (y – 4)² = 9, это уравнение задает окружность d с центром в точке G(5; 4) и радиусом 3.

2)При x ≤ 0, имеем уравнение (–x – 5)² + (y – 4)² = 9, (x + 5)² + (y – 4)² = 9, это уравнение задает окружность с с центром в точке F(–5; 4) и радиусом 3.

3) Уравнение (x + 2)² + y² = a² задает окружность kс центром в точке H(–2; 0) и радиусом a, где a > 0.

Найдем при каких значениях а окружность k имеет единственную общую точку с окружностями d и c.

4) Проведем из точки H луч HG, он пресекает окружность d в точках O и P, точка О лежит между точками H и G. Расстояние между точками найдем по формуле |HG|= √(x_G – x_H)² + (y_G – y_H)²

|HG|= √(5 + 2)² + (4 – 0)² = √65

HG = GO + OH

OH = HG – GO = √65 – 3

HP = √65 + 3

Если а < HO или a > HP окружности d и k не пересекаются.

Если HO < a < HP, то окружности d и k имеют две общие точки.

При a = HOилиa = HPокружности d и k касаются друг друга в одной точке.

5) Проведем луч HF из точки H, он пересекает окружность cв точках M и N, при этом M лежит между H и F. Найдем расстояние между точками HF,

|HF| = √(–5 + 2)² + 4² = 5

HM = 5 – 3 = 2

HN = 5 + 3 = 8

Если а < HM или a > HN окружности c и k не пересекаются.

Если HM < a < HN, то окружности c и k имеют две общие точки.

При a = HM или a = HN окружности c и k касаются друг друга в одной точке.

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность kкасается ровно одной из двух окружностей d и cи не пересекается с другой.

Из решения видно, что HM < HO < HN < HP.

Тогда условию задачи удовлетворяют длины отрезков HO = √65 + 3 и HM = 2.

Ответ: √65 + 3; 2.

Задание 19

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение

А) Пусть среди написанных чисел

x – положительных

y – отрицательных

z – нулей

Среднее арифметическое чисел =	сумма чисел
количество чисел

Тогда имеем, что

• сумма положительных чисел равна 4x
• сумма отрицательных чисел равна –8y
• сумма всех чисел ряда 4x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z)

4(x – 2y + 0z) = –3(x + y + z)

Т.к. левая часть равенства кратна 4, то и правая часть равенства должна быть кратна 4, значит

x + y + z (количество чисел) кратно 4.

40 < x + y + z < 48,

x + y + z = 44

Значит на доске написано 44 числа.

Б) Рассмотрим равенство 4x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z)

4x – 8y = – 3x – 3y – 3z

4x + 3x + 3z = 8y – 3y

7x + 3z = 5y

Отсюда получаем, т.к. z ≥ 0 (количество нулей в ряду)

7x < 5y

x < y

Значит положительных чисел меньше, чем отрицательных.

В) Т.к. x + y + z = 44,подставим это значение в равенство 4x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z),

получим

4x – 8y = (–3 · 44)/4

x – 2y = –33

x = 2y – 33

Учитывая, что x + y + z = 44, имеем x + y ≤ 44, подставим x = 2y – 33 в данное неравенство

2y – 33 +y ≤ 44

3y ≤ 77

y ≤ 25, учитывая, что x = 2y – 33 получаем x ≤ 17.

Тогда положительных чисел не больше 17.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Единый государственный экзамен по математике. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2018 года по математике (профильный уровень) подготовлен Федеральным государственным бюджетным научным учреждением «Федеральный институт педагогических измерений» (ФИПИ)

13. а) Решите уравнение $cos 2x = 1 — cosleft(dfrac{pi}{2} — xright)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $left[ -dfrac{5pi}{2}; -pi right)$.

14. Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ имеют длину 6. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AA_1$ и $A_1C_1$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $BM$ и $MN$ перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями $BMN$ и $ABB_1$.

15. Решите неравенство $dfrac{9^x — 2cdot3^{x+1}+4}{3^x−5} + dfrac{2cdot3^{x+1}−51}{3^x−9} leqslant 3^x+5$.

16. Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй — $в$ точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

17. 15-го января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн рублей)	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

18. Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система $$begin{cases} (|x| — 5)^2 + (y − 4)^2 = 9, \ (x + 2)^2 + y^2 = a^2end{cases}$$ имеет единственное решение.

19. На доске написано более $40$, но менее $48$ целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно $−3$, среднее арифметическое всех положительных из них равно $4$, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно $−8$.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

21.08.2017

Демоверсия по базовой математике ЕГЭ 2018 от 21 августа 2017 года с кодификатором и спецификацией от ФИПИ.

Изменения по базовой математике в 2018 году:

ИЗМЕНЕНИЙ НЕТ

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.