Дифференцированные платежи егэ профиль

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

ГОТОВИМСЯ
К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ                         ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

                                                                                
I.           
ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЕ ПЛАТЕЖИ

Определение.

Дифференцированный
платёж – вариант ежемесячного (ежегодного) платежа по кредиту, когда сумма
долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц
(год).    

При решении экономических задач на дифференцированные
платежи примем следующие обозначения величин:

         Решение задач на дифференцированные платежи удобно
оформлять в виде таблицы. Рассмотрим примеры решения задач.

Задача 1.

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия его возврата
таковы:

§ 
каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом
предыдущего года;

§ 
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

§ 
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если
известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1, 4 млн. рублей,
а наименьший – не менее 0,6 млн. рублей?

Решение.

         Пусть S = 4,5 млн. рублей.

n = 9 лет.

r –
процентная ставка;

р = r/100.

у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Начисленные проценты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)
1	S	р S	S – у	у + р S = 1,4
2	S – у	p (S – у)	S – 2у	у + p (S – у)
3	S – 2у	p (S –2 у)	S – 3у	у + p (S – 2у)
…		…	…	…
9	S – 8у	p (S – 8у)	S – 9у = 0	у + p (S –8 у) = 0,6

1)    В выделенной
жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:

S – 9 у = 0,

из которой следует, что

S = 9 у,

у = S : 9

у = 4,5 : 9,

у = 0,5.

2)    Понятно,
что наибольший годовой платеж по кредиту будет выплачен в первый год
(так как в этот год будут начислены самые большие проценты), а наименьший – в
последний год.

По этим двум условиям составим и решим систему уравнений:

       

Вычтем из
первого уравнения второе:

8
∙ p y = 0,8

p
y = 0,1

p
= 0,1 : у

p
= 0,1 : 0,5

p = 0,2.

Из
последнего получаем, что r = 20 %/

Ответ:
20 %.

Задача 2 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей на срок 15 лет. Условия его
возврата таковы:

§ 
каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом
предыдущего года;

§ 
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

§ 
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если
известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1, 9 млн. рублей,
а наименьший – не менее 0,5 млн. рублей?

Ответ:
25 %.

Задача 3.

Пётр взял кредит в
банке на срок 12 месяцев. По договору Пётр должен вернуть кредит ежемесячными
платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы, и своим ежемесячным платежом Пётр погашает эти
добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются
так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что
общая сумма, выплаченная Петром банку за весь срок кредитования, оказалась на
13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S –
сумма кредита.

n = 12 месяцев.

r –
процентная ставка;

р = r/100.

у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый месяц.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Начисленные проценты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)
1	S	р S	S – у	у + р S
2	S – у	p (S – у)	S – 2у	у + p (S – у)
3	S – 2у	p (S –2 у)	S – 3у	у + p (S – 2у)
…		…	…	…
12	S – 11у	p (S – 11у)	S – 12у = 0	у + p (S –11 у)

1)    В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:

S – 12 у = 0,

из которой
следует, что

S = 12 у,

2)    Общая
сумма выплат составляется из суммы, взятой в кредит, и суммы начисленных
процентов за каждый месяц кредитования. Значит, общая сумма выплат больше суммы
S, взятой в
кредит, ровно на столько, сколько в сумме составляют начисленные проценты за
весь срок кредитования. Известно, что эта сумма больше суммы S, взятой в
кредит, на 13 %.

Значит,
сумма начисленных процентов как раз и составляет 13 % от суммы S.

Найдём сумму
начисленных процентов:

р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – 11у)
=

=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– 11у) =

=
р ∙
(12∙S
– ( у + 2у + … + 11у)) =

в
скобках представлена сумма 11-ти первых членов арифметической прогрессии, у
которой первый член равен у, а последний
– равен 11у.

=
р ∙
(12∙S
–  ∙
11) =

=
р ∙
(12∙S
–  ∙
12у) =

=
р ∙
(12∙S
– 5,5 ∙ 12у)
= р ∙
(12∙ S
– 5,5 ∙ S)
=
6,5 ∙
pS.

Поскольку
сумма начисленных процентов составляет 13 % от суммы S,
то

6,5
∙ pS
= 0,13 S.

Обе
части этого уравнения разделим на S (это можно сделать, так как S ≠
0):

6,5
∙ p
= 0,13,

откуда
p
= 0,02,

значит,
r
= 2 %.

Ответ:
2 %.

Задача 4 (для самостоятельного решения).

Алексей взял кредит в
банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит
ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга
добавляется r % этой суммы, и своим ежемесячным платежом Алексей
погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи
подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц.
Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок
кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Ответ:
3 %.

Задача 5.

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число
лет). Условия его возврата таковы:

§ 
каждый январь долг возрастает на 25 % по сравнению с концом
предыдущего года;

§ 
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

§ 
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.

На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его
полного погашения составит 38 млн. рублей?

Решение.

Пусть S = 16
млн. рублей.

n  лет.

r = 25%;

р = r/100 =
0,25 = 1/4.

у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.

Общая сумма выплат = 38 млн. рублей.

Тогда переплаты по кредиту (сумма начисленных
процентов за весь срок кредитования) составят сумму, равную 38 – 16 = 22 (млн.
рублей).

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Начисленные проценты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)
1	S	р S	S – у	у + р S
2	S – у	p (S – у)	S – 2у	у + p (S – у)
3	S – 2у	p (S –2 у)	S – 3у	у + p (S – 2у)
…		…	…	…
n	S – (n – 1) ∙ у	p (S – (n – 1) ∙ у)	S – nу = 0	у + p (S – (n – 1) ∙  у)

1)    В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:

S – n у = 0,

из которой следует, что

S = n у,

значит, ny
= 16.

Найдём сумму
начисленных процентов и приравняем её 22 млн. рублей:

р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – (n – 1) ∙ у)
=

=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– (n – 1) ∙
у) =

=
р ∙
(n∙S
– ( у + 2у + … + (n
– 1) ∙ у))
=

в
скобках представлена сумма n
первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен у, а последний – равен (n – 1) ∙ у.

=
р ∙
(n∙S
–  ∙
(n
– 1)) =

=
р ∙
(n∙S
–  ∙
(n
– 1)) =

=
р ∙
(n ∙
16 – 8 ∙
(n
– 1)) =

=
р ∙ (16n
– 8n + = р ∙
(8n + 8).

р
∙ (8n
+ = 22,

 ∙
(8n + = 22.

2n
+ 2 = 22

n = 10.

Ответ:
10 лет.

Задача 6 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 20 млн. рублей на некоторый срок (целое число
лет). Условия его возврата таковы:

§ 
каждый январь долг возрастает на 30 % по сравнению с концом
предыдущего года;

§ 
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

§ 
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.

На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его
полного погашения составит 47 млн. рублей?

Ответ:
8 лет.

Задача 7.

15 января планируется
взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

§ 
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с
концом предыдущего месяца;

§ 
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;

§ 
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует
взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 2,34
млн. рублей?

Решение.

Пусть S –
сумма кредита.

n = 16
месяцев.

r = 2 %;

р = r/100 =
0,02.

у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.

Общая сумма выплат = 2,34 млн. рублей.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Начисленные проценты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)
1	S	р S	S – у	у + р S
2	S – у	p (S – у)	S – 2у	у + p (S – у)
3	S – 2у	p (S –2 у)	S – 3у	у + p (S – 2у)
…		…	…	…
16	S – 15 ∙ у	p (S – 15 ∙ у)	S – 16у = 0	у + p (S – 15 ∙  у)

1)    В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:

S – 16у = 0,

из которой следует, что

S = 16 у.

Найдём сумму
начисленных процентов:

р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – 15 ∙ у)
=

=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– 15 ∙ у)
=

=
р ∙
(16∙S
– ( у + 2у + … + 15 ∙
у)) =

в
скобках представлена сумма 15 первых
членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен у, а последний – равен 15
∙ у.

=
р ∙
(16∙S –  ∙
15) =

=
р ∙
(16∙S
–  ∙
15) =

=
р ∙
(16∙S – 7,5 ∙ 16у))
=

=
р ∙ (16∙S
– 7,5∙S)
= р ∙ 8,5∙
S,

0,02
∙ 8,5∙
S
= 2,34

S = 2 млн. рублей.

Ответ:
2 млн. рублей.

Задача 8 (для самостоятельного решения).

15 января планируется
взять кредит в банке на 10 месяцев. Условия его возврата таковы:

§ 
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с
концом предыдущего месяца;

§ 
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;

§ 
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует
взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,83
млн. рублей?

Ответ:
1 500 000 рублей.

Задача 9.

В июле планируется
взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:

§ 
каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом
предыдущего года;

§ 
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

§ 
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в
соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2021	Июль 2022	Июль 2023	Июль 2024
Долг (в тыс.рублей)	S	0,7 S	0,4 S	0

Найдите наименьшее
число S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч
рублей.

Решение.

Пусть S –
сумма кредита.

n = 3 года.

r = 15 %;

р = r/100 =
0,15.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (тыс. руб.)	Начисленные проценты (тыс. руб.)	Долг после выплаты (тыс. руб.)	Выплаты (тыс. руб.)
1	S	0,15 ∙ S	0,7 ∙ S	(S – 0,7 S) + 0,15 S = = 0,45 S
2	0,7 ∙ S	0,15 ∙ 0,7 ∙ S = 0,105 S	0,4 ∙ S	(0,7S – 0,4 S) + 0,105 S = = 0,405 S
3	0,4 ∙ S	0,15 ∙ 0,4 ∙ S = 0,06 S	0	(0,4S – 0) + 0,06 S = = 0,46 S

Запишем каждую из выплат в виде обыкновенной дроби:

0,45 S =  ∙ S =   ∙ S,

0,405 S =  ∙ S =   ∙ S,

0,45 S =  ∙ S =   ∙ S.

Для того,
чтобы каждое из этих чисел было целым, число S должно делиться
на знаменатель каждой из трёх дробей, т.е. должно равняться их наименьшему
общему кратному.

S = НОК
(20, 200, 50) = 200.

Ответ:
200 тысяч рублей.

Задача 10 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:

§ 
каждый январь долг возрастает на 17,5 % по сравнению с концом
предыдущего года;

§ 
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

§ 
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в
соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2021	Июль 2022	Июль 2023	Июль 2024
Долг (в тыс.рублей)	S	0,9 S	0,4 S	0

Найдите наименьшее
число S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч
рублей.

Ответ:
400 тысяч рублей.

Задача 11.

15 января планируется
взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата
таковы:

§ 
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r
% по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);

§ 
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;

§ 
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль
Долг (в млн. рублей)	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наименьшее значение
r, при котором сумма выплат будет меньше 1,25 млн.  рублей.

Решение.

Пусть S = 1
млн. рублей.

n = 6
месяцев.

r –
процентная ставка,

р = r/100.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Начисленные проценты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)
1	1	1∙ p	0,6	(1 – 0,6) + 1∙ p = = 0,4 + 1∙ p
2	0,6	0,6∙ p	0,4	(0,6 – 0,4) + 0,6∙ p = = 0,2 +0,6∙ p
3	0,4	0,4∙ p	0,3	(0,4 – 0,3) + 0,4∙ p = = 0,1 +0,4∙ p
4	0,3	0,3∙ p	0,2	(0,3 – 0,2) + 0,3∙ p = = 0,1 +0,3∙ p
5	0,2	0,2∙ p	0,1	(0,2 – 0,1) + 0,2∙ p = = 0,1 +0,2∙ p
6	0,1	0,1∙ p	0	(0,1 – 0) + 0,1∙ p = = 0,1 +0,1∙ p

Общая
сумма выплат получается сложением суммы кредита и начисленных процентов за весь
срок кредитования.

1
+ (1∙ p
+ 0,6∙ p + 0,4∙ p
+ 0,3∙ p + 0,2∙ p
+ 0,1∙ p) = 1 + 2,6 ∙ p.

Согласно
условию, эта сумма меньше 1,25 млн. рублей.

1
+ 2,6 ∙ p < 1,25;

2,6
∙ p < 0,25;

p < 0,09615…

 < 0,09615…

r <  9,615…

r = 9 %.

Ответ:
9 %.

Задача 12 (для самостоятельного решения).

15 января планируется
взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата
таковы:

§ 
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r
% по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);

§ 
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;

§ 
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль
Долг (в млн. рублей)	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наименьшее
значение r, при котором сумма выплат будет меньше 1,2 млн.  рублей.

Ответ:
7 %.

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Решение задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ по математике

1.Дифференцированные платежи

Кредиты играют важную роль в жизни населения со средним достатком. Тем, кто не может позволить себе единовременную оплату из собственных средств при покупке недвижимости или другого дорогостоящего имущества, кредиты просто необходимы.

Какие существуют виды платежей по кредитам?

В чём же разница между аннуитетным и дифференцированным платежами и какой платёж выгоднее?

Дифференцированные платежи

При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей велики, потому что проценты по кредиту существенны.

А к концу срока выплаты будут минимальны. Дифференцированные платежи удобны для тех, у кого доход не носит характер неизменной величины, и через некоторое время может появиться возможность досрочно погасить долг. В этом случае переплата по кредиту будет меньше, чем при аннуитетном расчёте.

Аннуитетные платежи

Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц.

Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна. Таким образом банк страхует риски недополучения прибыли в случае досрочного погашения кредита заёмщиком.

При дифференцированном платеже ежемесячные платежи становятся меньше, сумма основного долга в платеже всегда будет одной и той же. А вот проценты, начисляемые на остаток основного долга, будут уменьшаться по мере выплаты кредита. Ежемесячная сумма основного долга считается следующим образом: сумма кредита делится на количество платежей.

Кредиты с дифференцированными платежами выдавались в Сбербанке до 2011 года, а сейчас выдаются только с аннуитетными.

В подавляющем большинстве случаев банки предлагают своим заемщикам аннуитетную схему погашения задолженности. Однако в некоторых случаях можно выбрать дифференцированный платеж — тип выплаты кредита, при котором размер взносов постепенно уменьшается. Для заемщика пользоваться дифференцированными платежами выгоднее, чем фактически стандартной аннуитетной схемой.

Как рассчитать дифференцированный платеж?

Платеж при дифференцированной схеме делится на две части:

• основную, которая уходит на погашение тела кредита;
• процентную, которая является чистой прибылью банка.

Основную часть платежа высчитать просто по такой формуле:

Платеж =

Так, если заемщик взял в кредит 300 тыс. рублей под 22% годовых на 5 лет, то размер основной части составит:

300000 / 60 = 5000 рублей

Вторая часть платежа — процентная — рассчитывается по такой схеме:

Платеж = остаток основного долга * годовая ставка / 12

Так, проценты за первый месяц пользования кредита составят:

300000 * 0.22 / 12 = 5500 рублей

Путем сложения определяем размер платежа на первый месяц: 5000 + 5500 = 11000 рублей.

Для того, чтобы рассчитать проценты за любой месяц, необходимо узнать остаток задолженности. Если за второй месяц размер общего долга можно узнать путем простого вычитания из 300000 рублей первого платежа в 5000 рублей, то за 10-ый или 25-ый значение можно вычислить по такой схеме:

Остаток долга = общий размер долга — (размер основного платежа * количество прошедших месяцев).

Так, за 10-ый месяц процентная часть будет равна:

(300000 — 5000 * 9) * 0.22 / 12 = 4675

общий размер платежа: 9675 рублей.

За 25-й месяц:

(300000 — 5000 * 24) * 0.22 / 12 = 3300

Общий размер платежа: 8300 рублей.

Как видите, по сравнению с первым месяцем заемщику придется платить на 1700 рублей меньше. Проценты за самый последний месяц будут минимальными:

(300000 — 5000 * 59) * 0.22 / 12 = 91.67

В целом дифференцированную схему погашения кредита используют для небольших займов или при достаточно высоком уровне дохода. Тогда первые платежи не будут столь обременительны для вашего бюджета, а сниженный размер переплат позволит сэкономить и, возможно, потратить высвободившиеся средства для досрочного погашения кредита.

2. Решение задач. 

Рассмотрим решение задач на дифференцированные платежи. Задачи можно найти в любом сборнике для подготовки к ЕГЭ по математике.

Учитывая, что платеж при дифференцированной схеме делится на две части:

основную и процентную, то при решении задач удобно составлять таблицу, в которой основная ежемесячная (ежегодная) часть платежа остается неизменной, а процентная часть меняется.

Решим несколько задач.

№1.

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=19 (число выплат).

Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму.

Долг банку:

— это ежемесячные выплаты процентов банку.

Зная, что эти выплаты составляют 30% общей суммы кредита, составим уравнение:

(сумма арифметической прогрессии, где , n=19)

Ответ: 3%.

Примечание.

Выведем формулу для вычисления переплат банку, используя формулу суммы арифметической прогрессии, где

.(формула 1)

Тогда при , r=3

№2.

15-го января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 13% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=25 (число выплат).

Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму. Тогда

Или по формуле (1)      n=25,    ,   r=1%.

Ответ: 1%

№3.

15-го января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n= 2 года=24месяца (число выплат).

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S
2
3
…….
23
24				0

Если общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит, это означает, что сумма всех ячеек в столбце “Проценты” равна 0,25 от изначального долга (S):

Ответ: 2%

№4.

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1 млн рублей?

Решение.

S-сумма кредита, n=24 месяца, r=2%, Sобщ=1млн=1000тыс рублей

Составим таблицу.

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S	0,02S
2
3
…….
23
24				0

Sобщ=1млн=1000тыс рублей

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Sобщ=S+ 0,02S (. Числа, стоящие в скобках, образуют арифметическую прогрессию.

S+0,02S (, S·(1+0,02·12,5)=1000, S=тыс рублей

Ответ: 800000 руб

№5.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решение.

S-сумма кредита, n-целое число лет, r=25%, Sобщ=28млн рублей

Составим таблицу.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	28млн	0,25·28=7млн
2
…….
n-1
n				0

Наибольший годовой платеж -первый.

7+= 9млн,  n=14

Sобщ=28+ 7 ()=28+7·+·7=80,5млн

Ответ: 80500000 рублей

№6.

15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S	0,02S
2
………
11
…….
23
24				0

По условию за 11 месяц было выплачено 44,4 тыс.рублей. Составим уравнение

Ответ: 932,4 тыс рублей

№ 7.

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.

Произведем некоторые вычисления.

1300 тыс-100 тыс=1200тыс.

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемес)	Остаток
1	1300
2
…….
15
16				0

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Ответ: r = 3%

№ 8.

15-го января планируется взять кредит в банке на 11 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен;

Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1198 тысячи рублей?

Пусть х тыс. рублей будет долг 15-го числа 10-го месяца.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	800+x
2
…….
10
11				0

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Ответ:  тыс. рублей

№ 9.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000 тысяч рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Считаем n.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	1000
2
…….
20
21

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

.

Числа в скобках образуют арифметическую прогрессию, сумму которой найдем по формуле.

Ответ: %

Давайте знакомиться. Я тот репетитор, который сделает из вас чемпиона в сфере информатики и математики

Всех приветствую! Меня зовут Александр Георгиевич. Я профессиональный репетитор по математике, информатике, базам данных, программированию и алгоритмам. Уже на протяжении свыше (10) лет я оказываю фундаментальную помощь школьникам при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике и информатике, а студентов обучаю современным востребованным и актуальным языкам программирования.

Я понимаю, что вы крайне занятой человек, но, несмотря на это, настоятельно рекомендую вам потратить несколько минут собственного времени и ознакомиться с отзывами клиентов, прошедших под моим чутким контролем подготовку. Все они достигли поставленных целей. Вы тоже сможете достичь своих целей при правильном подходе к обучению.

Также ко мне за помощью регулярно обращаются студенты, у которых возникают трудности с реализацией всевозможных работ по программированию на таких языках программирования, как C («чистый» СИ), С++, С#, Pascal. Предлагаю вашему вниманию мультимедийную презентацию, в которой я коротко и доступно поясняю все моменты нашего взаимовыгодного сотрудничества.

Обратите внимание на комментарии под данным видео. Это отзывы моих довольных клиентов.

Разумеется, что я не знаю ваших финансовых возможностей, поэтому специально для вас я разработал многофакторную систему, которая предлагает моим потенциальным клиентам (144) варианта взаимовыгодного сотрудничества. Даже самый притязательный потребитель сумеет подобрать тот вариант, который полностью удовлетворит его финансовые ограничения.

Не забывайте о том, что я достаточно востребованный репетитор, поэтому не откладывайте свое решение о записи ко мне на частную подготовку в долгий ящик, а действуйте незамедлительно. Берите сотовый телефон, набирайте мой контактный номер и записывайтесь на первый пробный урок!

Общее понятие о банковском кредите

Современная школьная математика не стоит на месте, а претерпевает поступательные изменения. В настоящий момент времени каждый одиннадцатиклассник, которому в обязательном порядке предстоит сдача ЕГЭ по математике, должен иметь устойчивые базовые знания в области финансовой математики. В частности понимать, что такое банковский кредит и вклад.

Банковский кредит – определенная сумма денег, выдаваемая банком, которую получает заемщик под определенный процент за пользование данной суммой.

Суммы, выдаваемые банком, имеют широчайший диапазон охвата  –  от нескольких тысяч рублей до сотен миллионов долларов. Также разнится и процентная ставка на выдаваемые ссуды.

В целом нужно понимать, что финансовые институты (банковские структуры) по факту существуют лишь по той причине, что им удается зарабатывать за счет денег, которые переплачивает заемщик. Ведь каждое лицо (физическое или юридическое) всегда несет переплату по взятому кредиту.

Помимо того, что заемщик полностью выплатит взятый кредит, он также дополнительно заплатит сумму денег, которая «накапала» за счет влияния процентной ставки.

Мое личное мнение: банковский кредит – зло, которое нужно избегать до последней возможности, и прибегать к кредитованию следует лишь в исключительных ситуациях. Повышайте финансовую грамотность, чтобы здраво оценивать решения по взятию кредитов на какие-либо нужды.

Понятие дифференцированного платежа

Среди разделов математики, которые необходимо знать для успешной сдачи ЕГЭ, встречается раздел «Финансовая математика». Зачастую школьники не предполагают, решая ту или иную задачу, что данная задача акцентирована на понимании дифференцированного платежа.

Модель дифференцированного платежа практически на (100%) связана с банковским кредитом, так как эта модель платежа подразумевает выплату кредита особым образом.

Давайте смоделируем ситуацию: мы взяли кредит на (480,000) рублей, сроком на (1) год с ежемесячной выплатой, процентная ставка банка равна (5%). Конечная цель – узнать, какую сумму мы в итоге заплатим банку, после погашения всего кредита.

Да, это лишь модель, и в реальной жизни подобная ситуация маловероятна, так как это «обдираловка» со стороны банка. Никакой заемщик, будучи в здравом уме и трезвой памяти, не будет ввязываться в такую закредитованность.

Хочу добавить, что сейчас проводится обобщенное исследование модели дифференцированного платежа, но мы пока не касаемся правильных методик и приемов, позволяющих максимально эффективно решать ЕГЭшные задачи подобного плана.

Также утвердим схему платежа – дифференцированный платеж. То есть мы, как заемщик, будем выплачивать в процессе всего срока кредитования суммы денег, которые подчиняются данной схеме.

При расчете дифференцированного платежа общая сумма первоначального кредита делится на абсолютно равные части. Как правило, количество частей равно количеству проводимых платежей. В нашем примере тело стартового кредита будет разбито на (12) долей, так как был взят кредит сроком на (1) год, а, как известно, один календарный год состоит из (12) месяцев.

Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита мы будем выплачивать банку ровно одну часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.

Вообще, сразу хочу заметить, что в конечном итоге нам придется заплатить банку сумму, которую грубо можно разбить на (2) составляющих.

<Общая выплата по кредиту> = <Тело кредита> + <Начисленные банком проценты>

Это очень важная формула, и надо постараться фундаментально ее понять, так как на ее понимании строится решение очень многих школьных задач из раздела «Финансовая математика».

Из этой формулы вытекает умозаключение о том, что в итоге мы переплатим банку ту сумму, которая будет равна начисленным процентам по взятой ссуде. Это именно та часть денег, которую банк дополнительно получает с лиц, которым выдает кредиты, за пользование этими кредитами.

Но необходимо понимать и не путать следующее: «разбитый» кредит – фактически тот же самый первоначальный кредит. Это одна и та же сумма денег. Просто при исследовании дифференцированного платежа для более глубокого понимания требуется разбиение первоначальной суммы на необходимое количество частей.

Давайте для удобства договоримся о том, что кредит мы взяли (1) сентября, банк начисляет свой процент в предпоследний день каждого месяца, а платеж мы проводим в последний день месяца. Небольшое дополнение: год не является високосным.

Итак, наступило (29) сентября (это предпоследний день данного месяца), следовательно, банк производит начисление процентов на текущий объем кредита. Фактически проценты начисляются на первоначальный кредит, так как нами еще ни один платеж не был проведен. Напомню, что процентная ставка банка составляет ровно (5%).

<Сумма долга> = <Сумма долга> + <Процентное начисление>

На текущий момент <Сумма долга> составляет (480,000) рублей. Рассчитаем <Процентное начисление>. В данной статье я не буду приводить формулы, используя которые можно получать процентные начисления, а сразу произведу необходимые выкладки.

<Процентное начисление> = <Сумма долга> • <Процентная ставка, выраженная в долях>
<Процентное начисление> = (480,000 • 0.05 = 24,000) рублей

То есть банк к нашему исходному кредиту-долгу добавляет (24,000) рублей. В итоге «новая» сумма долга составит:

<Новая сумма долга> = (480,000 + 24,000 = 504,000) рублей. То есть мы первоначально взяли ссуду на сумму в (480,000) рублей, а в предпоследний день сентября она стала (504,000) рублей. Так работают все кредитные модели. Приходится в итоге всегда переплачивать!

Наступило (30) сентября (последний день данного месяца), и пришла пора проводить первый платеж. Сколько мы должны заплатить банку? Ответ лежит на поверхности, если есть понимание принципа работы дифференцированного платежа.

Во-первых, мы должны погасить объем начисленных процентов. Это как минимум! Иначе тело кредита будет возрастать, и мы никогда физически не сможем погасить нашу задолженность.

Во-вторых, мы должны погасить одну часть стартового кредита. Поскольку кредитный период длится (12) месяцев, то первоначальный кредит дифференцирован (вообще, слово «дифференцировать» означает расчленять, разделять) на (12) кусков/частей. То есть нам следует проплатить (1/12) часть от взятого кредита.

Подытожим формулой:

<Размер 1-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>
<Размер 1-го платежа> = (24,000 + 1/12 • 480,000 = 24,000 + 40,000 = 64,000) рублей

Сумма внушительная! Но это одно из свойств дифференцированного платежа. Первый платеж является наиболее объемным. Последующие платежи пойдут на уменьшение. С позиции психологии для заемщика наиболее трудными выплатами являются первые, но зато под конец срока кредитования сумма платежа значительно сократится.

Что мы имеем в итоге по телу кредита. Мы были должны банку после начисления процентов (504,000) рублей, затем провели платеж на сумму (64,000) рублей, следовательно, текущий долг составит:

<Текущий долг по кредиту> = (504,000 – 64,000 = 440,000) рублей

Первоначальный кредит в размере (480,000) рублей уменьшился ровно на (1/12) часть! Это очень важно понимать в алгоритме расчета дифференцированного платежа.

С первой выплатой мы разобрались! Сейчас я также детально покажу расчеты, связанные со второй выплатой, а затем приведу исключительно математические выкладки, так как схема построения платежа является одинаковой во всех случаях.

Итак, наступило (30) октября (это предпоследний день данного месяца), следовательно, банк производит начисление процентов на текущий объем кредита. Фактически, проценты начисляются на (11/12) от первоначального кредита ((440,000) рублей), так как нами уже один платеж был проведен.

<Сумма долга> = <Сумма долга> + <Процентное начисление>

На текущий момент <Сумма долга> составляет (440,000) рублей. Рассчитаем <Процентное начисление>. Процентная ставка банка от месяца к месяцу не варьируется и составляет все те же (5%).

<Процентное начисление> = <Сумма долга> • <Процентная ставка, выраженная в долях>
<Процентное начисление> = (440,000 • 0.05 = 22,000) рублей

То есть банк к нашему текущему кредиту-долгу добавляет (22,000) рублей. В итоге «новая» сумма долга составит:

<Новая сумма долга> = (440,000 + 22,000 = 462,000) рублей

Наступило (31) октября (последний день данного месяца), и пришла пора проводить второй платеж. Сколько мы должны заплатить банку? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся алгоритмом, который мы применяли в процессе расчетов при первом платеже.

Во-первых, мы должны погасить объем начисленных процентов. Это как минимум! Иначе тело кредита будет возрастать, и мы никогда физически не сможем погасить нашу задолженность.

Во-вторых, мы должны погасить одну часть стартового кредита. Поскольку кредитный период длится (12) месяцев, то первоначальный кредит дифференцирован на (12) кусков/частей. То есть нам следует проплатить (1/12) часть от взятого кредита.

Подытожим формулой:

<Размер 2-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>
<Размер 2-го платежа> = (22,000 + 1/12 • 480,000 = 22,000 + 40,000 = 62,000) рублей

Сумма опять внушительная, но уже меньше на (2,000) рублей по сравнению с первым траншем!

Что мы имеем в итоге по телу кредита. Мы были должны банку после начисления процентов (462,000) рублей, затем провели платеж на сумму (62,000) рублей, следовательно, текущий долг составит:

<Текущий долг по кредиту> = (462,000 – 62,000 = 400,000) рублей

Текущий кредит в размере (440,000) рублей снова уменьшился ровно на (1/12) часть от первоначального кредита, то есть снизился на (40,000) рублей! Анализ построения (2-го) платеж закончен.

Дальнейшие расчеты я сведу в аналитическую таблицу, которая отразит все изменения и начисления. Также в эту таблицу я внесу абсолютно все выкладки, учитывая и (1-й), и (2-й) платеж. Внимательно изучите эту таблицу!

№ платежа	Текущий долг перед банком, рублей	Сумма начисленных процентов, рублей	Сумма платежа, рублей	«Новый» долг перед банком, рублей
1	480 000	24 000 (29 сентября)	64 000 (30 сентября)	440 000
2	440 000	22 000 (30 октября)	62 000 (31 октября)	400 000
3	400 000	20 000 (29 ноября)	60 000 (30 ноября)	360 000
4	360 000	18 000 (30 декабря)	58 000 (31 декабря)	320 000
5	320 000	16 000 (30 января)	56 000 (31 января)	280 000
6	280 000	14 000 (27 февраля)	54 000 (28 февраля)	240 000
7	240 000	12 000 (30 марта)	52 000 (31 марта)	200 000
8	200 000	10 000 (29 апреля)	50 000 (30 апреля)	160 000
9	160 000	8 000 (30 мая)	48 000 (31 мая)	120 000
10	120 000	6 000 (29 июня)	46 000 (30 июня)	80 000
11	80 000	4 000 (30 июля)	44 000 (31 июля)	40 000
12	40 000	2 000 (30 августа)	42 000 (31 августа)	0

В самой нижней правой ячейке фигурирует число (0) – это означает, что кредит полностью выплачен/погашен. Анализируя информацию из приведенной таблицы, нетрудно заметить определенную тенденцию, и, скорее всего, даже не одну! Бросается в глаза разница между первым и последним платежом. Да, это одно из свойств дифференцированного платежа.

Также замечательно прослеживается динамика изменения объема выплаты, причем динамика не только убывающая, но и подчиняется арифметической прогрессии с отрицательным шагом.

На своих частных уроках я очень детально объясняю подобные закономерности и показываю методики, позволяющие их выявлять.

Но вернемся к вопросу, поставленному в условии задачи! Вопрос звучал так: какую сумму мы в итоге заплатим банку после погашения всего кредита?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам достаточно просуммировать значения из колонки «Сумма начисленных процентов, рублей» и затем к этой величине приплюсовать первоначальный кредит. Существуют очень эффективные методики подобных вычислений, но я приведу решение в лоб:

<Общая сумма всех платежей> = (24,000 + 22,000 + … + 4,000 + 2,000 + 480,000 = 156,000 + 480,000 = 636,000) рублей

Это ответ на поставленный вопрос.

Краткий вывод: общая сумма переплат – (156,000) рублей, что составляет (32.5%) от первоначального тела кредита. Разумеется, банковский кредит на таких условиях крайне невыгоден заемщику. Но мы рассматривали лишь общую модель дифференцированного платежа. Не забывайте об этом!

Математическая модель дифференцированного платежа

А теперь мы займемся настоящей математикой!  Сосредоточьтесь. Наша цель — вывести базовые математические зависимости, описывающие схему дифференцированных платежей. Мы должны научиться отвечать математическими формулами на следующие вопросы:

• Как узнать общую величину переплаты по взятому кредиту?

• Как узнать размер (i)-го платежа, то есть платежа, проводимого в заданный отчетный период?

• Как получить общий размер всех выплат по взятому кредиту?

• Как получить размер начисленных банком процентов в заданный отчетный период?

Давайте введем следующие обозначения:

(S) — размер первоначального кредита	(r) — процентная ставка банка, выраженная в долях	(R = 1 + r) — для удобства расчетов
(n) — общее количество отчетных периодов	(i) — номер текущего отчетного периода	(%_{i}) — размер начисленных банков процентов за конкретный период
(p_{i}) — размер платежа за конкретный период	(P) — общая сумма всех выплат/платежей	(q) — ставка банка, выраженная в процентах

Сразу оговорюсь, что наиболее важными параметрами являются (S), (n) и (r), так как на их основе будет происходить формирование математической модели дифференцированных платежей.

Выше в данной статье мною было подмечено, что необходимо очень уверенно понимать следующую зависимость:

<Общая выплата по кредиту> = <Тело кредита> + <Начисленные банком проценты>

В этой зависимости <Тело кредита> нам известно и равно (S) из условия задачи. Как будет происходить банковское начисление процентов? Оно будет осуществляться каждый отчетный период на размер остатка кредита.

Кстати, давайте сразу переведем банковскую процентную ставку в доли: $r = frac{q}{100}$. Напомню, что процент — сотая часть числа, а под долей в схеме дифференцированных платежей понимается сотая часть процента.

1-й отчетный период ($i = 1$). Текущий размер долга составляет ровно (S). Следовательно, процентная ставка действует на весь стартовый кредит.

$%_{1} = frac{n}{n} · S · r$ — эта та сумма денег, которую банк прибавит к нашему займу в $1$-й отчетный период.

Затем нам в обязательном порядке следует провести платеж. Как было рассмотрено выше, платеж за любой отчетный период формируется из размера начисленных процентов за данный период и равной части первоначального кредита.

$p_{1} = %_{1} + frac{S}{n}$ — размер 1-го платежа.

В итоге первоначальный кредит $S$ уменьшается на равную часть $frac{S}{n}$ и составляет $S — frac{S}{n} = frac{n}{n} · S — frac{S}{n} = frac{S · n — S}{n} = frac{S · (n — 1)}{n} = frac{(n — 1)}{n} · S$.

2-й отчетный период ($i = 2$). Текущий размер долга составляет $frac{(n — 1)}{n} · S$. Значит, процентная ставка банка влияет на данный долг.

$%_{2} = frac{(n — 1)}{n} · S · r$ — эта та сумма денег, которую банк прибавит к нашему займу во $2$-й отчетный период.

$p_{2} = %_{2} + frac{S}{n}$ — размер $2$-го платежа.

В итоге текущий размер кредита $frac{(n — 1)}{n} · S$ уменьшается на равную часть $frac{S}{n}$ и составляет $frac{(n — 1)}{n} · S — frac{S}{n} =  frac{S · (n — 1) — S}{n} = frac{S · ((n — 1) — 1)}{n} = frac{(n — 2)}{n} · S$.

Думаю, что детальное рассмотрение двух отчетных периодов достаточно, чтобы вы уловили суть подобных преобразований. Напомню, что мы разбираем решение задачи в общем виде, и наша конечная цель — построить рабочую математическую модель. Предлагаю проанализировать $2$ последних отчетных периода.

Предпоследний отчетный период $(i = (n — 1))$. Как понять, чему равняется текущий кредитный долг? Поскольку идет предпоследний период, то нам предстоит провести $2$ платежа, следовательно, от первоначального кредита осталось на данный момент лишь $2$ части, то есть $frac{2}{n} * S$ — текущий долговой остаток.

$%_{(n — 1)} = frac{2}{n} * S * r$ — эта та сумма денег, которую банк прибавит к нашему займу в предпоследний отчетный период.

$p_{(n — 1)} = %_{n — 1} + frac{S}{n}$ — размер предпоследнего платежа.

В итоге текущий размер кредита $frac{2}{n} * S$ уменьшается на равную часть $frac{S}{n}$ и составляет $frac{2}{n} * S — frac{S}{n} =  frac{2 * S — S}{n} = frac{S}{n} = frac{1}{n} * S$.

Последний отчетный период $(i = n)$. Текущий размер долга составляет $frac{1}{n} * S$.

$%_{n} = frac{1}{n} * S * r$ — эта та сумма денег, которую банк прибавит к нашему займу в самый последний отчетный период.

$p_{n} = %_{n} + frac{S}{n}$ — размер завершающего платежа.

В итоге текущий размер кредита $frac{1}{n} * S$ уменьшается на равную часть $frac{1}{n} * S$ и составляет $frac{1}{n} * S — frac{1}{n} * S =  0$. Все, кредит полностью погашен! Ура!

Сейчас сведем все полученные выкладки в единую формулу! Давайте ответим на самый популярный вопрос в задачах, ориентированных на дифференцированные платежи: «Как получить общий размер всех выплат по взятому кредиту?«.

$P = sumlimits_{i = 1}^n (%{i}) + S = underbrace{%_{1} + %_{2} + cdots + %_{(n — 1)} + %_{n}}_{сумма процентных начислений} + S =$

$  = underbrace{frac{n}{n} * S * r + frac{(n — 1)}{n} * S * r + cdots + frac{2}{n} * S * r + frac{1}{n} * S * r}_{сумма процентных начислений} + S$ — то есть находим сумму всех банковских процентных начислений и не забываем приплюсовать размер стартовой ссуды.

Продолжим упрощение формулы, по которой можно рассчитать общий размер всех выплат.

$P = frac{S · r}{n} ·underbrace{(n + (n — 1) + cdots + 2 + 1)}_{сумма убывающей арифметической прогрессии}+ S = frac{S · r}{n} · (frac{n + 1}{2} · n) + S = frac{S · r · (n + 1)}{2} + S$.

$P = frac{S * r * (n + 1)}{2} + S$ — наиважнейшая формула, используемая в схеме дифференцированных платежей.

Рекомендую зазубрить эту формулу, как «отче наш». Благодаря этой зависимости некоторые типы задач можно решать буквально за несколько минут. При этом не придется выводить громоздкие зависимости и производить неудобные математические вычисления. Не стоит забывать, что калькулятором на официальном экзамене ЕГЭ по математике пользоваться категорически запрещено.

Теперь можно с легкостью отвечать практически на любые вопросы, ориентированные на процессы в системе дифференцированных платежей. Например, по условию задачи вас просят отыскать общую величину переплаты по взятому кредиту. В этом случае достаточно воспользоваться 1-й частью выведенной зависимости, а именно: <Переплата> = $frac{S * r * (n + 1)}{2}$. Также хочу заметить, что общая величина переплаты и общий размер начисленных банком процентов за весь период кредитования — абсолютные математические синонимы, просто формулируются по-разному.

Очень часто в условии задачи говорится о конкретном платеже, например, размер $8$-го платежа составил 120 000 рублей. Можно практически моментально получить формулу, которая описывает $8$-й платеж! Во-первых, нужно знать из каких составляющих состоит платеж как таковой:

<Размер 8-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>

Одну часть первоначального кредита получаем по формуле $frac{S}{n}$, а размер начисленных процентов можно получить из этой формулы $%_{8} = frac{n — 8 + 1}{n} * S * r = frac{n — 7}{n} * S * r$. В итоге $p_{8} = frac{n — 7}{n} * S * r + frac{S}{n}$. Все очень просто, если фундаментально понимать модель дифференцированных платежей .

На этом процесс построения математической модели дифференцированных платежей успешно завершен!

 Характеристики дифференцированного платежа

Сейчас я предлагаю вашему вниманию ключевые маркеры, которыми характеризуется дифференцированный платеж.

1. Тело первоначального кредита уменьшается равными долями, количество которых совпадает с количеством платежей (платежи проводятся еженедельно, ежемесячно, ежегодно и т. п.).

2. Первая кредитная выплата является наибольшей из всех выплат, а последняя, соответственно, наименьшей.

3. При построении математической модели дифференцированного платежа на «полную катушку» включается механизм арифметической прогрессии, который нужно суметь заметить.

4. Суммы всех выплат различны, то есть размер каждой выплаты отличается от всех остальных.

5. Современная банковская система крайне редко предлагает своим клиентам схему дифференцированного платежа, так как она наиболее выгодна заемщику, нежели банку.

Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике

В данном разделе я приведу лишь условия некоторого количества задач, которые наиболее часто встречаются на официальном экзамене ЕГЭ по математике. В каждой из задач акцентировано внимание на модели дифференцированного платежа, и только на нем.

А ведь существует масса комбинированных финансовых задач, в процессе решения которых дифференцированный платеж занимает лишь какую-то часть решения. Все подобные задачи я разбираю со своими учениками на частных занятиях.

В данной обзорной статье я балансировал между обобщенными сведениями, касающимися дифференцированного платежа, и конкретным разбором «боевой» задачи.

Разумеется, требуется прорешать минимум с десяток задач подобного класса, чтобы фундаментально прочувствовать квинтэссенцию схемы дифференцированного платежа, осознать суть математической модели.

На своих уроках я с учениками решаю задачи из раздела «Финансовая математика» абсолютно различной сложности. Начинаем с обзора элементарных задач на простые проценты и заканчиваем разбором цен на акции, находящиеся в портфеле у управляющего финансового менеджера. Регулярно приходится разбирать задачи на дифференцированный платеж олимпиадного уровня сложности, где стандартные модели перестают работать.

Чтобы записаться ко мне на частные уроки, берите сотовый телефон, дозванивайтесь до меня, задавайте любые интересующие тематические вопросы и записывайтесь на первый пробный урок.

Схема дифференцированного платежа будет крайне полезна всем школьникам, планирующим стать экономистами или связать свою трудовую деятельность с работой на фондовой бирже/рынке.

В любом случае и наука «Финансовая математика» в общем, и модель расчета погашения кредита дифференцированными платежами в частности может пригодиться вообще любому человеку, планирующему закредитоваться.

И не забывайте, что на официальном экзамене – ЕГЭ по математике вам гарантированно попадется экономическая задача, и вероятность того, что она будет ориентирована на дифференцированный платеж, крайне высока!