Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.
Таким образом, если кредит взят на (n) лет, то это значит, что сумму кредита (A) разделили на (n) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на (dfrac1n A) по сравнению с долгом на начало года.
Пример 1. Клиент взял в банке кредит на (2) года под (15%) годовых. Выплачивать кредит он должен ежегодными платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно. Какую сумму он взял в банке, если оказалось, что в итоге он заплатил банку (490,000) рублей?
Пусть кредит составил (A) рублей. Т.к. кредит взят на (2) года, значит после первой выплаты долг должен составлять (A-frac12
A=frac12 A) рублей, после второй выплаты (frac12 A-frac12 A=0) рублей. Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после выплаты}&\
hline 1&A&A+0,15A½ A&0,15A+frac12A\
hline 2½A½A+0,15cdotfrac12A&0&0,15cdotfrac12A+frac12A\
hline
end{array}] То, что клиент в итоге заплатил банку, есть не что иное, как сумма всех выплат по кредиту.
Т.е. (0,15A+frac12A+0,15cdotfrac12A+frac12A=490,000 Rightarrow
A=dfrac{490,000cdot 2}{2,45}=400,000) рублей.
Пример 2. Александр взял в банке кредит на (50,000) рублей на (3) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке (10%)?
Т.к. кредит взят на (3) месяца, то после первой выплаты долг должен составить (A-frac13A=frac23 A), после второй (frac23A-frac13A=frac13A), а после третьей — (0) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после выплаты}&\
hline 1&50&50+0,1cdot 50&frac23cdot 50&0,1cdot 50+frac13cdot 50\
hline 2&frac23cdot 50&frac23cdot 50+0,1cdotfrac23cdot 50&frac13cdot
50&0,1cdot frac23cdot 50+frac13cdot50\
hline 3&frac13cdot 50&frac13cdot 50+0,1cdot frac13cdot
50&0&0,1cdot frac13cdot 50+frac13cdot 50\
hline
end{array}]
Таким образом, всего Александр заплатил банку (big(0,1cdot
50+dfrac13cdot 50big)+big(0,1cdot dfrac23cdot
50+dfrac13cdot50big)+big(0,1cdot dfrac13cdot 50+dfrac13cdot
50big)) тыс.рублей.
Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:
(0,1cdot 50 left(1+dfrac23+dfrac13right)+3cdot dfrac13cdot
50=0,1cdot 50cdot 2+50)
Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:
(big(0,1cdot 50cdot 2+50big)-50=10) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила (10,000) рублей.
Заметим,
I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это (0,1cdot 50), во второй — (0,1cdot big(frac23cdot
50big)) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это (frac13cdot 50)).
Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна (A)). А далее он еще вносит (frac 1n) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на (frac 1n) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.
II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.
В нашем примере переплата как раз равна (0,1cdot 50+0,1cdot
frac23cdot 50+0,1cdot frac13cdot 50).
Пример 3. Банк предлагает клиентам кредит на (1) млн рублей на следующих условиях:
– каждый год банк начисляет на оставшуюся часть долга (10%);
– после начисления процентов клиент обязан внести платеж;
– через (5) лет кредит должен быть выплачен полностью;
– система выплат дифференцированная.
Сколько процентов от первоначального долга составит переплата по такому кредиту?
Т.к. кредит выдается на (5) лет, это значит, что долг должен уменьшаться каждый год на (frac15cdot 1) млн рублей, то есть после первой выплаты долг составит (1-frac15cdot 1=frac45) млн рублей, после второй (frac45-frac15=frac35) млн рублей и т.д.
Составим таблицу, причем все вычисления будем производить в млн рублей: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после
выплаты}&\
hline 1&1&1+0,1&frac45&0,1+frac15\
hline 2&frac45&frac45+0,1cdotfrac45&frac35&0,1cdot
frac45+frac15\
hline 3&frac35&frac35+0,1cdotfrac35&frac25&0,1cdot
frac35+frac15\
hline 4&frac25&frac25+0,1cdotfrac25&frac15&0,1cdot
frac25+frac15\
hline 5&frac15&frac15+0,1cdotfrac15&0&0,1cdot
frac15+frac15\
hline
end{array}]
Таким образом, переплата по кредиту составила:
(big(0,1+frac15big)+big(0,1cdot
frac45+frac15big)+big(0,1cdot
frac35+frac15big)+big(0,1cdot
frac25+frac15big)+big(0,1cdot
frac15+frac15big)-1=dfrac3{10}) млн рублей.
Для того, чтобы посчитать, сколько процентов составила переплата относительно кредита, необходимо переплату разделить на сумму кредита и умножить на (100%):
(dfrac{frac3{10}}{1}cdot 100%=30%)
Выведем несколько формул:
Вывод формулы для выплаты по кредиту:
Пусть взят кредит на (A) рублей, на (n) лет, годовая ставка (r%).
Значит, каждый год долг должен уменьшаться на (frac1n A) рублей. К тому же, например, в первый год после начисления процентов долг составит (A+frac r{100}A), поэтому обозначим для удобства (frac
r{100}=y) и составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после
выплаты}&\[1ex]
hline 1&A&A+yA&frac {n-1}n A& yA+frac 1n
A\[1ex]
hline 2&frac{n-1}n A&frac{n-1}n A+ycdot frac{n-1}n A&
frac{n-2}n A&ycdot frac{n-1}n A+frac 1n A\[1ex]
hline 3&frac{n-2}n A&frac{n-2}n A+ycdot frac{n-2}n
A&frac{n-3}n A&ycdot frac{n-2}n A+frac 1nA\[1ex]
hline 4&frac{n-3}n A&frac{n-3}n A+ycdot frac{n-3}n
A&frac{n-4}n A&ycdot frac{n-3}n A+frac 1nA\[1ex]
hline dots&dots&dots&dots&dots\[1ex]
hline n-1& frac 2nA&frac 2nA+ycdot frac 2nA&frac
1nA&ycdot frac 2nA+frac 1nA\[1ex]
hline n&frac 1nA&frac 1nA+ycdot frac 1nA&0&ycdot frac
1nA+frac 1nA\[1ex]
hline
end{array}]
Таким образом, если (i) — номер года, то выплата в (i)-ый год будет равна:
(x_i=ycdot frac{n-(i-1)}nA+dfrac 1nA), или: [{large{x_i=dfrac{r}{100}cdot dfrac{n-i+1}{n}A+dfrac1n A}}]
Вывод формулы для переплаты по кредиту:
Для того, чтобы посчитать переплату, необходимо просто сложить все данные из последнего столбца и отнять (A):
(big(yA+frac 1n Abig)+big(ycdot frac{n-1}n A+frac 1n
Abig)+big(ycdot frac{n-2}n A+frac 1nAbig)+big(ycdot
frac{n-3}n A+frac 1nAbig)+dots+big(ycdot frac 2nA+frac
1nAbig)+)
(+big(ycdot frac 1nA+frac 1nAbig)-A=big(yA+ycdot
frac{n-1}nA+ycdot frac{n-2}nA+ycdot frac{n-3}nA+dots+ycdot
frac 2nA+ycdot frac 1nAbig)+)
(+big(frac
1nA+frac1nA+frac1nA+frac1nA+dots+frac1nA+frac1nAbig)-A=yA
big(1+frac{n-1}n+frac{n-2}n+frac{n-3}n+dots+frac
2n+frac 1nbig)+)
(+ncdot frac 1n
A-A=yAbig(1+frac{n-1}n+frac{n-2}n+frac{n-3}n+dots+frac
2n+frac 1nbig))
В скобках находится арифметическая прогрессия, первый член которой (a_1=1), последний (a_n=dfrac 1n), разность (d=-dfrac 1n), а количество членов равно (n). Сумма такой прогрессии равна:
(S_n=dfrac{a_1+a_n}{2}cdot n=dfrac{1+frac1n}{2}cdot
n=dfrac{n+1}2)
Значит, вся переплата равна (yAcdot dfrac{n+1}2), или [{large{P=dfrac r{100}cdot dfrac{n+1}2A}}]
Экспресс-тренинг
Подготовка к ЕГЭ-2023 по профильной математике в кратчайшие сроки!
До экзамена осталось совсем немного времени! Закрепите свои знания! Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Ваш ребенок успеет подготовиться к экзамену!
Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей
Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей
Здравствуйте!
Текстовые задачи с экономическим содержанием, темой которых являются банковские кредиты, сравнительно недавно появились в содержании экзамена по математике. Тем не менее, в реальных вариантах КИМ ЕГЭ они встречаются чаще других.
Для решения таких задач вам необходимо познакомиться с двумя математическими моделями, лежащими в основе наиболее распространенных схем выплат по банковским кредитам — дифференцированной и аннуитетной. Эти модели представлены на слайдах.
Рекомендуем вам перед тем, как изучать теоретический материал по теме «Банковские кредиты», повторить определения арифметической и геометрической прогрессий и формулы суммы n последовательных членов каждой из прогрессий – они вам понадобятся.
Арифметическая прогрессия
Последовательность чисел an такая, что
где d — разность арифметической прогрессии.
Сумма Sn=a1+a2+…+an n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Sn=a1+an2⋅n=2a1+d(n−1)2⋅n.
Геометрическая прогрессия
Последовательность чисел bn такая, что
где q — знаменатель геометрической прогрессии.
Сумма Sn=b1+b2+…+bn n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Формула бесконечной суммы при q∈(−1,1):
S=b11−q
На слайдах также представлены примеры разобранных задач. Обратите внимание на два различных подхода, которые чаще всего используются при решении задач.
Первый подход состоит в использовании готовых формул, полученных при исследовании математической модели.
Второй — в пошаговом вычислении размеров каждого из очередных платежей при выплате кредита и размеров оставшихся задолженностей.
Следите за обновлениями на сайте и подписывайтесь на наш канал в Ютьюбе и группу Вконтакте!
B вариантах ЕГЭ по математике 2022 года задача с экономическим содержанием, № 15, оценивалась в 2 первичных балла. B прошлые годы она стоила дороже –целых 3 первичных балла.
Зато и набор тем в задании 15 в этом году был сокращенным: только задачи на кредиты. И никаких заданий на оптимизацию.
Напоминаем, что задачи на кредиты бывают двух основных типов. О решении «экономических» задач – читайте в этом разделе.
Первый тип, аннуитет. Кредит погашается равными платежами или есть информация о платежах.
Подробно об этой схеме погашения кредита – здесь.
Bторой тип, схема с дифференцированными платежами. Сумма долга уменьшается равномерно, или же есть информация об изменении суммы долга. B задачах этого типа часто применяются формулы суммы арифметической прогрессии.
Подробно о схеме с дифференцированными платежами здесь.
На этой странице мы разберем задачи по финансовой математик, предложенные на ЕГЭ-2022 в разных регионах России.
1. ЕГЭ-2022, Москва
B июле 2022 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите сумму кредита, если известно, что кредит будет полностью выплачен за 3 года, причем в первый и второй год будет выплачено по 300 тыс. руб., а в третий 417,6 тыс. руб.
Решение:
Пусть S — сумма кредита,
р — процент банка,
— коэффициент, показывающий во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов,
x=300 тыс. руб. – платеж в первый и второй годы,
– платеж в третий год.
Составим схему погашения кредита.
– сумма долга после первого начисления процентов,
— сумма долга после первого платежа,
— сумма долга после второго начисления процентов,
— сумма долга после второго платежа,
— сумма долга после третьего начисления процентов,
— сумма долга после третьего платежа.
отсюда
Будем вести расчеты в тысячах рублей.
тыс.руб.
Ответ: 700 000 рублей
2. Дальний Bосток
B июле 2016 г. планируется взять кредит на 5 лет в размере 1050 тысяч рублей.
Условия его возврата таковы:
— Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— B июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 1050 тысяч рублей,
— выплаты в 2020 и 2021 годах равны по X тысяч рублей,
— к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за 5 лет.
Решение:
Пусть A = 1050 тыс. рублей – сумма кредита,
, 
B 2017 – 2019 годы долг остается равен 1050 тыс. рублей,
B 2020 и 2021 годы выплаты равны по X тыс. рублей.
Составим таблицу погашения долга.
| Год | Долг | Долг после начисления процентов | Выплаты | Остаток долга |
| 2017 |  |
 |
 |
|
| 2018 | |
|
|
|
| 2019 | |
|
|
|
| 2020 | |
|
 |
 |
| 2021 | |
 |
|
 |
Поскольку к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью, то
отсюда найдем X
605 ( тыс. рублей).
Общая сумма выплат за 5 лет составит:
тыс рублей.
Ответ: 1525тыс. рублей.
3. Досрочная волна, Санкт-Петербург
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 18-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 19-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 18-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1209 тысяч рублей?
Решение:
Обозначим S — сумму кредита,
n = 19 месяцев,
p = 2%,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов,
x — сумма, на которую уменьшается долг с 1-го и по 18-й месяц; x=50тыс. руб.
составим схему погашения кредита.
Общая сумма выплат B = 1209 тыс. рублей.
Bыплаты:
Общая сумма выплат:
Найдем сумму арифметической прогрессии.
тыс.руб.
По условию, 
тыс. руб.
Ответ: 100 тысяч рублей.
4. Основная волна, Bосток
B июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 3,3 млн руб. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле 2027, 2028 и 2029 годах долг остаётся равен 3,3 млн руб.;
– платежи в 2030 и 2031 годах должны быть равны;
– к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите разницу между первым и последним платежами.
Решение:
Bведем переменные:
S=3,3 млн. руб. – сумма кредита;
p=20% — процентная ставка;
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Рисуем схему погашения кредита:
Общая сумма выплат:
Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .
Это значит, что 
и тогда первая выплата: 
а последняя выплата Y, и разница между последней и первой выплатами:
млн. рублей
Ответ: 1,5 млн. рублей
5. Основная волна, Bосток
B июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2023, 2024 и 2025 годах сумма долга остается равной 1050 тыс. руб.;
– выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
– к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Решение:
Bведем переменные:
S=1050 тыс. руб. – сумма кредита;
p=10% — процентная ставка;
— коэффициент, показывающий во сколько раз, увеличивается долг после начисления процентов
Рисуем схему погашения кредита:
Общая сумма выплат: 
Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .
Это значит, что
и тогда первая выплата: 
а последняя выплата Y, и разница между последним и первым платежами:
тысяч рублей.
Ответ: 500 тысяч рублей
6. Санкт-Петербург, Москва
B июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. руб.;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. B условии сказано, что кредит будет выплачен сначала двумя равными платежами, а затем третьим платежом выплачивается остаток долга.
Bведем обозначения:
S тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
p=20% — процент банка,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
X=300 тыс. руб – сумма ежегодного платежа в 2027 и 2028 годах;
Y=417,6 тыс. руб. — платеж в 2029 году
Составим схему погашения кредита.
Sk — сумма долга увеличивается в k раз,
Клиент вносит на счет сумму X в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается: 
Снова долг увеличивается в k раз 
и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается: left(Sk-Xright)k-X
И в третий раз увеличивается долг в k раз 
и сумма долга уменьшается на Y. Bот что получается:
Раскроем скобки:
Что же, можно подставить численные данные.
тыс. руб.
Ответ: 700 тысяч рублей
7. Основная волна, Москва, Санкт-Петербург
B июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 634,5 тыс. руб. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– платёж в 2027 и 2028 годах должен быть по 100 тыс. руб.;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
Решение:
Это задача первого типа. Есть информация о платежах. B условии сказано, что кредит будет выплачен двумя равными платежами и третьим весь остаток долга.
Bведем обозначения:
S=634,5 тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
p=10% — процент банка,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
X=100 тыс. руб – сумма ежегодного платежа в 2027 и 2028 годах;
Y тыс. руб. — платеж в 2029 году
Составим схему погашения кредита.
Sk — сумма долга увеличивается в k раз,
Клиент вносит на счет сумму X в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается:
Снова долг увеличивается в k раз и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается: 
И в третий раз увеличивается долг в k раз и сумма долга уменьшается на Y. Bот что получается:
Раскроем скобки:
Подставим численные данные.
тыс. руб.
Сумма всех платежей: 
тыс. руб.
Ответ: 813,5195тыс.рублей = 813519,5 рублей.
Эта задача отличается от предыдущих только вычислительными трудностями. Получается, что задачи неравноценны: в одних вариантах удачные численные данные, в других – нет. Не повезло тем, кому она досталась. Пришлось считать сумму выплат с точностью до 50 копеек.
8. ЕГЭ, резервная волна
15-го января планируется взять кредит в банке на девять месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение:
Это задача на дифференцированные платежи с равномерным погашением долга.
Пусть S тыс. рублей – сумма кредита;
n=9 месяцев – срок кредита;
r% — процент банка,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
— ежемесячная выплата основного долга
— сумма выплат
Составим схему погашения кредита.
Ежемесячные выплаты:
Общая сумма выплат:
Найдём
Мы нашли суммы арифметических прогрессий:
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит.
Ответ: 5
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Финансовая математика на ЕГЭ-2022. Задача 15» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.03.2023
Решение задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ по математике
1.Дифференцированные платежи
Кредиты играют важную роль в жизни населения со средним достатком. Тем, кто не может позволить себе единовременную оплату из собственных средств при покупке недвижимости или другого дорогостоящего имущества, кредиты просто необходимы.
Какие существуют виды платежей по кредитам?
В чём же разница между аннуитетным и дифференцированным платежами и какой платёж выгоднее?
Дифференцированные платежи
При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей велики, потому что проценты по кредиту существенны.
А к концу срока выплаты будут минимальны. Дифференцированные платежи удобны для тех, у кого доход не носит характер неизменной величины, и через некоторое время может появиться возможность досрочно погасить долг. В этом случае переплата по кредиту будет меньше, чем при аннуитетном расчёте.
Аннуитетные платежи
Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц.
Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна. Таким образом банк страхует риски недополучения прибыли в случае досрочного погашения кредита заёмщиком.
При дифференцированном платеже ежемесячные платежи становятся меньше, сумма основного долга в платеже всегда будет одной и той же. А вот проценты, начисляемые на остаток основного долга, будут уменьшаться по мере выплаты кредита. Ежемесячная сумма основного долга считается следующим образом: сумма кредита делится на количество платежей.
Кредиты с дифференцированными платежами выдавались в Сбербанке до 2011 года, а сейчас выдаются только с аннуитетными.
В подавляющем большинстве случаев банки предлагают своим заемщикам аннуитетную схему погашения задолженности. Однако в некоторых случаях можно выбрать дифференцированный платеж — тип выплаты кредита, при котором размер взносов постепенно уменьшается. Для заемщика пользоваться дифференцированными платежами выгоднее, чем фактически стандартной аннуитетной схемой.
Как рассчитать дифференцированный платеж?
Платеж при дифференцированной схеме делится на две части:
- основную, которая уходит на погашение тела кредита;
- процентную, которая является чистой прибылью банка.
Основную часть платежа высчитать просто по такой формуле:
Платеж = 
Так, если заемщик взял в кредит 300 тыс. рублей под 22% годовых на 5 лет, то размер основной части составит:
300000 / 60 = 5000 рублей
Вторая часть платежа — процентная — рассчитывается по такой схеме:
Платеж = остаток основного долга * годовая ставка / 12
Так, проценты за первый месяц пользования кредита составят:
300000 * 0.22 / 12 = 5500 рублей
Путем сложения определяем размер платежа на первый месяц: 5000 + 5500 = 11000 рублей.
Для того, чтобы рассчитать проценты за любой месяц, необходимо узнать остаток задолженности. Если за второй месяц размер общего долга можно узнать путем простого вычитания из 300000 рублей первого платежа в 5000 рублей, то за 10-ый или 25-ый значение можно вычислить по такой схеме:
Остаток долга = общий размер долга — (размер основного платежа * количество прошедших месяцев).
Так, за 10-ый месяц процентная часть будет равна:
(300000 — 5000 * 9) * 0.22 / 12 = 4675
общий размер платежа: 9675 рублей.
За 25-й месяц:
(300000 — 5000 * 24) * 0.22 / 12 = 3300
Общий размер платежа: 8300 рублей.
Как видите, по сравнению с первым месяцем заемщику придется платить на 1700 рублей меньше. Проценты за самый последний месяц будут минимальными:
(300000 — 5000 * 59) * 0.22 / 12 = 91.67
В целом дифференцированную схему погашения кредита используют для небольших займов или при достаточно высоком уровне дохода. Тогда первые платежи не будут столь обременительны для вашего бюджета, а сниженный размер переплат позволит сэкономить и, возможно, потратить высвободившиеся средства для досрочного погашения кредита.
2. Решение задач.
Рассмотрим решение задач на дифференцированные платежи. Задачи можно найти в любом сборнике для подготовки к ЕГЭ по математике.
Учитывая, что платеж при дифференцированной схеме делится на две части:
основную и процентную, то при решении задач удобно составлять таблицу, в которой основная ежемесячная (ежегодная) часть платежа остается неизменной, а процентная часть меняется.
Решим несколько задач.
№1.
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=19 (число выплат).
Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму.
Долг банку: 
— это ежемесячные выплаты процентов банку.
Зная, что эти выплаты составляют 30% общей суммы кредита, составим уравнение:
(сумма арифметической прогрессии, где 
, n=19)
Ответ: 3%.
Примечание.
Выведем формулу для вычисления переплат банку, используя формулу суммы арифметической прогрессии
, где 
.
(формула 1)
Тогда при 
, r=3
№2.
15-го января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 13% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=25 (число выплат).
Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму. Тогда
Или по формуле (1) n=25, 
, r=1%.
Ответ: 1%
№3.
15-го января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n= 2 года=24месяца (число выплат).
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж по кредиту (ежемесячный) |
Остаток |
|
1 |
S |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
23 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
0 |
Если общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит, это означает, что сумма всех ячеек в столбце “Проценты” равна 0,25 от изначального долга (S):
Ответ: 2%
№4.
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1 млн рублей?
Решение.
S-сумма кредита, n=24 месяца, r=2%, Sобщ=1млн=1000тыс рублей
Составим таблицу.
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж по кредиту (ежемесячный) |
Остаток |
|
1 |
S |
0,02S |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
23 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
0 |
Sобщ=1млн=1000тыс рублей
Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.
Sобщ=S+ 0,02S (
. Числа, стоящие в скобках, образуют арифметическую прогрессию.
S+0,02S (
, S·(1+0,02·12,5)=1000, S=
тыс рублей
Ответ: 800000 руб
№5.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решение.
S-сумма кредита, n-целое число лет, r=25%, Sобщ=28млн рублей
Составим таблицу.
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж |
Остаток |
|
1 |
28млн |
0,25·28=7млн |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
n-1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
0 |
Наибольший годовой платеж -первый.
7+
= 9млн, 
n=14
Sобщ=28+ 7 (
)=28+7·
+
·7=80,5млн
Ответ: 80500000 рублей
№6.
15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж по кредиту (ежемесячный) |
Остаток |
|
1 |
S |
0,02S |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……… |
||||
|
11 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
23 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
0 |
По условию за 11 месяц было выплачено 44,4 тыс.рублей. Составим уравнение
Ответ: 932,4 тыс рублей
№ 7.
15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.
Произведем некоторые вычисления.
1300 тыс-100 тыс=1200тыс.
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж по кредиту (ежемес) |
Остаток |
|
1 |
1300 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
15 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
0 |
Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.
Ответ: r = 3%
№ 8.
15-го января планируется взять кредит в банке на 11 месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен;
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1198 тысячи рублей?
Пусть х тыс. рублей будет долг 15-го числа 10-го месяца.
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж |
Остаток |
|
1 |
800+x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
10 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
0 |
Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.
Ответ: тыс. рублей
№ 9.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000 тысяч рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
Считаем n. 
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж |
Остаток |
|
1 |
1000 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
20 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.
.
Числа в скобках образуют арифметическую прогрессию, сумму которой найдем по формуле.
Ответ: %
Содержание:
-
Давайте знакомиться. Я тот репетитор, который сделает из вас чемпиона в сфере информатики и математики
-
Общее понятие о банковском кредите
-
Понятие дифференцированного платежа
-
Математическая модель дифференцированного платежа
-
Характеристики дифференцированного платежа
-
Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике
-
Остались вопросы, недопонимание? Записывайтесь ко мне на частные уроки!
Давайте знакомиться. Я тот репетитор, который сделает из вас чемпиона в сфере информатики и математики
Всех приветствую! Меня зовут Александр Георгиевич. Я профессиональный репетитор по математике, информатике, базам данных, программированию и алгоритмам. Уже на протяжении свыше (10) лет я оказываю фундаментальную помощь школьникам при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике и информатике, а студентов обучаю современным востребованным и актуальным языкам программирования.
Я понимаю, что вы крайне занятой человек, но, несмотря на это, настоятельно рекомендую вам потратить несколько минут собственного времени и ознакомиться с отзывами клиентов, прошедших под моим чутким контролем подготовку. Все они достигли поставленных целей. Вы тоже сможете достичь своих целей при правильном подходе к обучению.
Также ко мне за помощью регулярно обращаются студенты, у которых возникают трудности с реализацией всевозможных работ по программированию на таких языках программирования, как C («чистый» СИ), С++, С#, Pascal. Предлагаю вашему вниманию мультимедийную презентацию, в которой я коротко и доступно поясняю все моменты нашего взаимовыгодного сотрудничества.
Обратите внимание на комментарии под данным видео. Это отзывы моих довольных клиентов.
Разумеется, что я не знаю ваших финансовых возможностей, поэтому специально для вас я разработал многофакторную систему, которая предлагает моим потенциальным клиентам (144) варианта взаимовыгодного сотрудничества. Даже самый притязательный потребитель сумеет подобрать тот вариант, который полностью удовлетворит его финансовые ограничения.
Не забывайте о том, что я достаточно востребованный репетитор, поэтому не откладывайте свое решение о записи ко мне на частную подготовку в долгий ящик, а действуйте незамедлительно. Берите сотовый телефон, набирайте мой контактный номер и записывайтесь на первый пробный урок!
Общее понятие о банковском кредите
Современная школьная математика не стоит на месте, а претерпевает поступательные изменения. В настоящий момент времени каждый одиннадцатиклассник, которому в обязательном порядке предстоит сдача ЕГЭ по математике, должен иметь устойчивые базовые знания в области финансовой математики. В частности понимать, что такое банковский кредит и вклад.
Банковский кредит – определенная сумма денег, выдаваемая банком, которую получает заемщик под определенный процент за пользование данной суммой.
Суммы, выдаваемые банком, имеют широчайший диапазон охвата – от нескольких тысяч рублей до сотен миллионов долларов. Также разнится и процентная ставка на выдаваемые ссуды.
В целом нужно понимать, что финансовые институты (банковские структуры) по факту существуют лишь по той причине, что им удается зарабатывать за счет денег, которые переплачивает заемщик. Ведь каждое лицо (физическое или юридическое) всегда несет переплату по взятому кредиту.
Помимо того, что заемщик полностью выплатит взятый кредит, он также дополнительно заплатит сумму денег, которая «накапала» за счет влияния процентной ставки.
Мое личное мнение: банковский кредит – зло, которое нужно избегать до последней возможности, и прибегать к кредитованию следует лишь в исключительных ситуациях. Повышайте финансовую грамотность, чтобы здраво оценивать решения по взятию кредитов на какие-либо нужды.
Понятие дифференцированного платежа
Среди разделов математики, которые необходимо знать для успешной сдачи ЕГЭ, встречается раздел «Финансовая математика». Зачастую школьники не предполагают, решая ту или иную задачу, что данная задача акцентирована на понимании дифференцированного платежа.
Модель дифференцированного платежа практически на (100%) связана с банковским кредитом, так как эта модель платежа подразумевает выплату кредита особым образом.
Давайте смоделируем ситуацию: мы взяли кредит на (480,000) рублей, сроком на (1) год с ежемесячной выплатой, процентная ставка банка равна (5%). Конечная цель – узнать, какую сумму мы в итоге заплатим банку, после погашения всего кредита.
Да, это лишь модель, и в реальной жизни подобная ситуация маловероятна, так как это «обдираловка» со стороны банка. Никакой заемщик, будучи в здравом уме и трезвой памяти, не будет ввязываться в такую закредитованность.
Хочу добавить, что сейчас проводится обобщенное исследование модели дифференцированного платежа, но мы пока не касаемся правильных методик и приемов, позволяющих максимально эффективно решать ЕГЭшные задачи подобного плана.
Также утвердим схему платежа – дифференцированный платеж. То есть мы, как заемщик, будем выплачивать в процессе всего срока кредитования суммы денег, которые подчиняются данной схеме.
При расчете дифференцированного платежа общая сумма первоначального кредита делится на абсолютно равные части. Как правило, количество частей равно количеству проводимых платежей. В нашем примере тело стартового кредита будет разбито на (12) долей, так как был взят кредит сроком на (1) год, а, как известно, один календарный год состоит из (12) месяцев.
Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита мы будем выплачивать банку ровно одну часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.
Вообще, сразу хочу заметить, что в конечном итоге нам придется заплатить банку сумму, которую грубо можно разбить на (2) составляющих.
<Общая выплата по кредиту> = <Тело кредита> + <Начисленные банком проценты>
Это очень важная формула, и надо постараться фундаментально ее понять, так как на ее понимании строится решение очень многих школьных задач из раздела «Финансовая математика».
Из этой формулы вытекает умозаключение о том, что в итоге мы переплатим банку ту сумму, которая будет равна начисленным процентам по взятой ссуде. Это именно та часть денег, которую банк дополнительно получает с лиц, которым выдает кредиты, за пользование этими кредитами.
Но необходимо понимать и не путать следующее: «разбитый» кредит – фактически тот же самый первоначальный кредит. Это одна и та же сумма денег. Просто при исследовании дифференцированного платежа для более глубокого понимания требуется разбиение первоначальной суммы на необходимое количество частей.
Давайте для удобства договоримся о том, что кредит мы взяли (1) сентября, банк начисляет свой процент в предпоследний день каждого месяца, а платеж мы проводим в последний день месяца. Небольшое дополнение: год не является високосным.
Итак, наступило (29) сентября (это предпоследний день данного месяца), следовательно, банк производит начисление процентов на текущий объем кредита. Фактически проценты начисляются на первоначальный кредит, так как нами еще ни один платеж не был проведен. Напомню, что процентная ставка банка составляет ровно (5%).
<Сумма долга> = <Сумма долга> + <Процентное начисление>
На текущий момент <Сумма долга> составляет (480,000) рублей. Рассчитаем <Процентное начисление>. В данной статье я не буду приводить формулы, используя которые можно получать процентные начисления, а сразу произведу необходимые выкладки.
<Процентное начисление> = <Сумма долга> • <Процентная ставка, выраженная в долях>
<Процентное начисление> = (480,000 • 0.05 = 24,000) рублей
То есть банк к нашему исходному кредиту-долгу добавляет (24,000) рублей. В итоге «новая» сумма долга составит:
<Новая сумма долга> = (480,000 + 24,000 = 504,000) рублей. То есть мы первоначально взяли ссуду на сумму в (480,000) рублей, а в предпоследний день сентября она стала (504,000) рублей. Так работают все кредитные модели. Приходится в итоге всегда переплачивать!
Наступило (30) сентября (последний день данного месяца), и пришла пора проводить первый платеж. Сколько мы должны заплатить банку? Ответ лежит на поверхности, если есть понимание принципа работы дифференцированного платежа.
Во-первых, мы должны погасить объем начисленных процентов. Это как минимум! Иначе тело кредита будет возрастать, и мы никогда физически не сможем погасить нашу задолженность.
Во-вторых, мы должны погасить одну часть стартового кредита. Поскольку кредитный период длится (12) месяцев, то первоначальный кредит дифференцирован (вообще, слово «дифференцировать» означает расчленять, разделять) на (12) кусков/частей. То есть нам следует проплатить (1/12) часть от взятого кредита.
Подытожим формулой:
<Размер 1-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>
<Размер 1-го платежа> = (24,000 + 1/12 • 480,000 = 24,000 + 40,000 = 64,000) рублей
Сумма внушительная! Но это одно из свойств дифференцированного платежа. Первый платеж является наиболее объемным. Последующие платежи пойдут на уменьшение. С позиции психологии для заемщика наиболее трудными выплатами являются первые, но зато под конец срока кредитования сумма платежа значительно сократится.
Что мы имеем в итоге по телу кредита. Мы были должны банку после начисления процентов (504,000) рублей, затем провели платеж на сумму (64,000) рублей, следовательно, текущий долг составит:
<Текущий долг по кредиту> = (504,000 – 64,000 = 440,000) рублей
Первоначальный кредит в размере (480,000) рублей уменьшился ровно на (1/12) часть! Это очень важно понимать в алгоритме расчета дифференцированного платежа.
С первой выплатой мы разобрались! Сейчас я также детально покажу расчеты, связанные со второй выплатой, а затем приведу исключительно математические выкладки, так как схема построения платежа является одинаковой во всех случаях.
Итак, наступило (30) октября (это предпоследний день данного месяца), следовательно, банк производит начисление процентов на текущий объем кредита. Фактически, проценты начисляются на (11/12) от первоначального кредита ((440,000) рублей), так как нами уже один платеж был проведен.
<Сумма долга> = <Сумма долга> + <Процентное начисление>
На текущий момент <Сумма долга> составляет (440,000) рублей. Рассчитаем <Процентное начисление>. Процентная ставка банка от месяца к месяцу не варьируется и составляет все те же (5%).
<Процентное начисление> = <Сумма долга> • <Процентная ставка, выраженная в долях>
<Процентное начисление> = (440,000 • 0.05 = 22,000) рублей
То есть банк к нашему текущему кредиту-долгу добавляет (22,000) рублей. В итоге «новая» сумма долга составит:
<Новая сумма долга> = (440,000 + 22,000 = 462,000) рублей
Наступило (31) октября (последний день данного месяца), и пришла пора проводить второй платеж. Сколько мы должны заплатить банку? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся алгоритмом, который мы применяли в процессе расчетов при первом платеже.
Во-первых, мы должны погасить объем начисленных процентов. Это как минимум! Иначе тело кредита будет возрастать, и мы никогда физически не сможем погасить нашу задолженность.
Во-вторых, мы должны погасить одну часть стартового кредита. Поскольку кредитный период длится (12) месяцев, то первоначальный кредит дифференцирован на (12) кусков/частей. То есть нам следует проплатить (1/12) часть от взятого кредита.
Подытожим формулой:
<Размер 2-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>
<Размер 2-го платежа> = (22,000 + 1/12 • 480,000 = 22,000 + 40,000 = 62,000) рублей
Сумма опять внушительная, но уже меньше на (2,000) рублей по сравнению с первым траншем!
Что мы имеем в итоге по телу кредита. Мы были должны банку после начисления процентов (462,000) рублей, затем провели платеж на сумму (62,000) рублей, следовательно, текущий долг составит:
<Текущий долг по кредиту> = (462,000 – 62,000 = 400,000) рублей
Текущий кредит в размере (440,000) рублей снова уменьшился ровно на (1/12) часть от первоначального кредита, то есть снизился на (40,000) рублей! Анализ построения (2-го) платеж закончен.
Дальнейшие расчеты я сведу в аналитическую таблицу, которая отразит все изменения и начисления. Также в эту таблицу я внесу абсолютно все выкладки, учитывая и (1-й), и (2-й) платеж. Внимательно изучите эту таблицу!
|
№ платежа |
Текущий долг перед банком, рублей |
Сумма начисленных процентов, рублей |
Сумма платежа, рублей |
«Новый» долг перед банком, рублей |
|
1 |
480 000 |
24 000 |
64 000 |
440 000 |
|
2 |
440 000 |
22 000 |
62 000 |
400 000 |
|
3 |
400 000 |
20 000 |
60 000 |
360 000 |
|
4 |
360 000 |
18 000 |
58 000 |
320 000 |
|
5 |
320 000 |
16 000 |
56 000 |
280 000 |
|
6 |
280 000 |
14 000 |
54 000 |
240 000 |
|
7 |
240 000 |
12 000 |
52 000 |
200 000 |
|
8 |
200 000 |
10 000 |
50 000 |
160 000 |
|
9 |
160 000 |
8 000 |
48 000 |
120 000 |
|
10 |
120 000 |
6 000 |
46 000 |
80 000 |
|
11 |
80 000 |
4 000 |
44 000 |
40 000 |
|
12 |
40 000 |
2 000 |
42 000 |
0 |
В самой нижней правой ячейке фигурирует число (0) – это означает, что кредит полностью выплачен/погашен. Анализируя информацию из приведенной таблицы, нетрудно заметить определенную тенденцию, и, скорее всего, даже не одну! Бросается в глаза разница между первым и последним платежом. Да, это одно из свойств дифференцированного платежа.
Также замечательно прослеживается динамика изменения объема выплаты, причем динамика не только убывающая, но и подчиняется арифметической прогрессии с отрицательным шагом.
На своих частных уроках я очень детально объясняю подобные закономерности и показываю методики, позволяющие их выявлять.
Но вернемся к вопросу, поставленному в условии задачи! Вопрос звучал так: какую сумму мы в итоге заплатим банку после погашения всего кредита?
Чтобы ответить на этот вопрос, нам достаточно просуммировать значения из колонки «Сумма начисленных процентов, рублей» и затем к этой величине приплюсовать первоначальный кредит. Существуют очень эффективные методики подобных вычислений, но я приведу решение в лоб:
<Общая сумма всех платежей> = (24,000 + 22,000 + … + 4,000 + 2,000 + 480,000 = 156,000 + 480,000 = 636,000) рублей
Это ответ на поставленный вопрос.
Краткий вывод: общая сумма переплат – (156,000) рублей, что составляет (32.5%) от первоначального тела кредита. Разумеется, банковский кредит на таких условиях крайне невыгоден заемщику. Но мы рассматривали лишь общую модель дифференцированного платежа. Не забывайте об этом!
Математическая модель дифференцированного платежа
А теперь мы займемся настоящей математикой! 
Сосредоточьтесь. Наша цель — вывести базовые математические зависимости, описывающие схему дифференцированных платежей. Мы должны научиться отвечать математическими формулами на следующие вопросы:
-
Как узнать общую величину переплаты по взятому кредиту?
-
Как узнать размер (i)-го платежа, то есть платежа, проводимого в заданный отчетный период?
-
Как получить общий размер всех выплат по взятому кредиту?
-
Как получить размер начисленных банком процентов в заданный отчетный период?
Давайте введем следующие обозначения:
| (S) — размер первоначального кредита | (r) — процентная ставка банка, выраженная в долях | (R = 1 + r) — для удобства расчетов |
| (n) — общее количество отчетных периодов | (i) — номер текущего отчетного периода | (%_{i}) — размер начисленных банков процентов за конкретный период |
| (p_{i}) — размер платежа за конкретный период | (P) — общая сумма всех выплат/платежей | (q) — ставка банка, выраженная в процентах |
Сразу оговорюсь, что наиболее важными параметрами являются (S), (n) и (r), так как на их основе будет происходить формирование математической модели дифференцированных платежей.
Абстрактный пример (условие задачи в общем виде)
В январе планируется взять кредит в банке на сумму (S) миллионов рублей для покупки элитной недвижимости на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:
-
Каждый июнь долг возрастает на (q%) по сравнению с концом предыдущего года.
-
С июля по декабрь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В январе каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на январь предыдущего года.
Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?
Выше в данной статье мною было подмечено, что необходимо очень уверенно понимать следующую зависимость:
<Общая выплата по кредиту> = <Тело кредита> + <Начисленные банком проценты>
В этой зависимости <Тело кредита> нам известно и равно (S) из условия задачи. Как будет происходить банковское начисление процентов? Оно будет осуществляться каждый отчетный период на размер остатка кредита.
Кстати, давайте сразу переведем банковскую процентную ставку в доли: $r = frac{q}{100}$. Напомню, что процент — сотая часть числа, а под долей в схеме дифференцированных платежей понимается сотая часть процента.
1-й отчетный период ($i = 1$). Текущий размер долга составляет ровно (S). Следовательно, процентная ставка действует на весь стартовый кредит.
$%_{1} = frac{n}{n} · S · r$ — эта та сумма денег, которую банк прибавит к нашему займу в $1$-й отчетный период.
Затем нам в обязательном порядке следует провести платеж. Как было рассмотрено выше, платеж за любой отчетный период формируется из размера начисленных процентов за данный период и равной части первоначального кредита.
$p_{1} = %_{1} + frac{S}{n}$ — размер 1-го платежа.
В итоге первоначальный кредит $S$ уменьшается на равную часть $frac{S}{n}$ и составляет $S — frac{S}{n} = frac{n}{n} · S — frac{S}{n} = frac{S · n — S}{n} = frac{S · (n — 1)}{n} = frac{(n — 1)}{n} · S$.
2-й отчетный период ($i = 2$). Текущий размер долга составляет $frac{(n — 1)}{n} · S$. Значит, процентная ставка банка влияет на данный долг.
$%_{2} = frac{(n — 1)}{n} · S · r$ — эта та сумма денег, которую банк прибавит к нашему займу во $2$-й отчетный период.
$p_{2} = %_{2} + frac{S}{n}$ — размер $2$-го платежа.
В итоге текущий размер кредита $frac{(n — 1)}{n} · S$ уменьшается на равную часть $frac{S}{n}$ и составляет $frac{(n — 1)}{n} · S — frac{S}{n} = frac{S · (n — 1) — S}{n} = frac{S · ((n — 1) — 1)}{n} = frac{(n — 2)}{n} · S$.
Думаю, что детальное рассмотрение двух отчетных периодов достаточно, чтобы вы уловили суть подобных преобразований. Напомню, что мы разбираем решение задачи в общем виде, и наша конечная цель — построить рабочую математическую модель. Предлагаю проанализировать $2$ последних отчетных периода.
Предпоследний отчетный период $(i = (n — 1))$. Как понять, чему равняется текущий кредитный долг? Поскольку идет предпоследний период, то нам предстоит провести $2$ платежа, следовательно, от первоначального кредита осталось на данный момент лишь $2$ части, то есть $frac{2}{n} * S$ — текущий долговой остаток.
$%_{(n — 1)} = frac{2}{n} * S * r$ — эта та сумма денег, которую банк прибавит к нашему займу в предпоследний отчетный период.
$p_{(n — 1)} = %_{n — 1} + frac{S}{n}$ — размер предпоследнего платежа.
В итоге текущий размер кредита $frac{2}{n} * S$ уменьшается на равную часть $frac{S}{n}$ и составляет $frac{2}{n} * S — frac{S}{n} = frac{2 * S — S}{n} = frac{S}{n} = frac{1}{n} * S$.
Последний отчетный период $(i = n)$. Текущий размер долга составляет $frac{1}{n} * S$.
$%_{n} = frac{1}{n} * S * r$ — эта та сумма денег, которую банк прибавит к нашему займу в самый последний отчетный период.
$p_{n} = %_{n} + frac{S}{n}$ — размер завершающего платежа.
В итоге текущий размер кредита $frac{1}{n} * S$ уменьшается на равную часть $frac{1}{n} * S$ и составляет $frac{1}{n} * S — frac{1}{n} * S = 0$. Все, кредит полностью погашен! Ура!
Сейчас сведем все полученные выкладки в единую формулу! Давайте ответим на самый популярный вопрос в задачах, ориентированных на дифференцированные платежи: «Как получить общий размер всех выплат по взятому кредиту?«.
$P = sumlimits_{i = 1}^n (%{i}) + S = underbrace{%_{1} + %_{2} + cdots + %_{(n — 1)} + %_{n}}_{сумма процентных начислений} + S =$
$ = underbrace{frac{n}{n} * S * r + frac{(n — 1)}{n} * S * r + cdots + frac{2}{n} * S * r + frac{1}{n} * S * r}_{сумма процентных начислений} + S$ — то есть находим сумму всех банковских процентных начислений и не забываем приплюсовать размер стартовой ссуды.
Продолжим упрощение формулы, по которой можно рассчитать общий размер всех выплат.
$P = frac{S · r}{n} ·underbrace{(n + (n — 1) + cdots + 2 + 1)}_{сумма убывающей арифметической прогрессии}+ S = frac{S · r}{n} · (frac{n + 1}{2} · n) + S = frac{S · r · (n + 1)}{2} + S$.
$P = frac{S * r * (n + 1)}{2} + S$ — наиважнейшая формула, используемая в схеме дифференцированных платежей.
Рекомендую зазубрить эту формулу, как «отче наш». Благодаря этой зависимости некоторые типы задач можно решать буквально за несколько минут. При этом не придется выводить громоздкие зависимости и производить неудобные математические вычисления. Не стоит забывать, что калькулятором на официальном экзамене ЕГЭ по математике пользоваться категорически запрещено.
Теперь можно с легкостью отвечать практически на любые вопросы, ориентированные на процессы в системе дифференцированных платежей. Например, по условию задачи вас просят отыскать общую величину переплаты по взятому кредиту. В этом случае достаточно воспользоваться 1-й частью выведенной зависимости, а именно: <Переплата> = $frac{S * r * (n + 1)}{2}$. Также хочу заметить, что общая величина переплаты и общий размер начисленных банком процентов за весь период кредитования — абсолютные математические синонимы, просто формулируются по-разному.
Очень часто в условии задачи говорится о конкретном платеже, например, размер $8$-го платежа составил 120 000 рублей. Можно практически моментально получить формулу, которая описывает $8$-й платеж! Во-первых, нужно знать из каких составляющих состоит платеж как таковой:
<Размер 8-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>
Одну часть первоначального кредита получаем по формуле $frac{S}{n}$, а размер начисленных процентов можно получить из этой формулы $%_{8} = frac{n — 8 + 1}{n} * S * r = frac{n — 7}{n} * S * r$. В итоге $p_{8} = frac{n — 7}{n} * S * r + frac{S}{n}$. Все очень просто, если фундаментально понимать модель дифференцированных платежей 
.
На этом процесс построения математической модели дифференцированных платежей успешно завершен!
Характеристики дифференцированного платежа
Сейчас я предлагаю вашему вниманию ключевые маркеры, которыми характеризуется дифференцированный платеж.
-
Тело первоначального кредита уменьшается равными долями, количество которых совпадает с количеством платежей (платежи проводятся еженедельно, ежемесячно, ежегодно и т. п.).
-
Первая кредитная выплата является наибольшей из всех выплат, а последняя, соответственно, наименьшей.
-
При построении математической модели дифференцированного платежа на «полную катушку» включается механизм арифметической прогрессии, который нужно суметь заметить.
-
Суммы всех выплат различны, то есть размер каждой выплаты отличается от всех остальных.
-
Современная банковская система крайне редко предлагает своим клиентам схему дифференцированного платежа, так как она наиболее выгодна заемщику, нежели банку.
Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике
В данном разделе я приведу лишь условия некоторого количества задач, которые наиболее часто встречаются на официальном экзамене ЕГЭ по математике. В каждой из задач акцентировано внимание на модели дифференцированного платежа, и только на нем.
А ведь существует масса комбинированных финансовых задач, в процессе решения которых дифференцированный платеж занимает лишь какую-то часть решения. Все подобные задачи я разбираю со своими учениками на частных занятиях.
Пример №1
В мае планируется взять кредит в банке на сумму $10$ миллионов рублей на $5$ лет.
Условия его возврата таковы:
-
Каждый декабрь долг возрастает на $10%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.
Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?
Перейти к текстовому решению
Пример №2
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:
-
Каждый январь долг возрастает на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил $1.8$ миллиона рублей?
Перейти к текстовому решению
Пример №3
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $20$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
-
Каждый январь долг возрастает на $30%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $47$ миллионов рублей?
Перейти к текстовому решению
Пример №4
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $16$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
-
Каждый январь долг возрастает на $25%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $38$ миллионов рублей?
Перейти к текстовому решению
Пример №5
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на срок $15$ лет.
Условия его возврата таковы:
-
Каждый январь долг возрастает на $q%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найти $q$, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более $1.9$ миллиона рублей, а наименьший не менее $0.5$ миллиона рублей.
Перейти к текстовому решению
Пример №6
$15$ января планируется взять кредит в банке на покупку нового автомобиля на $39$ месяцев.
Условия его возврата таковы:
-
$1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $q%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.
-
Со $2$-го по $14$-е число месяца необходимо выплатить часть долга.
-
$15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на $20%$ больше суммы, взятой в кредит. Найдите $q$.
Перейти к текстовому решению
Пример №7
Анатолий взял банковский кредит сроком на $9$ лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на $17%$, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?
Перейти к текстовому решению
Пример №8
Анна взяла кредит в банке на срок $12$ месяцев ($1$ календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется $q%$ этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.
Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на $13%$ больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть $q$.
Перейти к текстовому решению
Пример №9
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $28$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
-
Каждый январь долг возрастает на $25%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит $9$ миллионов рублей?
Перейти к текстовому решению
Пример №10
(15) января планируется взять кредит в банке на $15$ месяцев.
Условия его возврата таковы:
-
$1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $1%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.
-
Со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.
-
$15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила $108,000$ рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Перейти к текстовому решению
Вы, наверное, удивитесь, но приведенные задачи решаются достаточно просто, если у вас присутствует детальнейшее понимание анатомии дифференцированного платежа. Я даже скажу больше, ответы для некоторых из приведенных мною задач можно посчитать в уме, не прибегая к каким-либо записям и вычислениям на бумаге/компьютере.
Хотите научиться безошибочно решать подобный класс упражнений? Тогда записывайтесь ко мне на индивидуальную подготовку! Я – репетитор-практик, и главная цель моих занятий – выработать у вас навыки успешного решения экономических задач.
Остались вопросы, недопонимание? Записывайтесь ко мне на частные уроки!
В данной обзорной статье я балансировал между обобщенными сведениями, касающимися дифференцированного платежа, и конкретным разбором «боевой» задачи.
Разумеется, требуется прорешать минимум с десяток задач подобного класса, чтобы фундаментально прочувствовать квинтэссенцию схемы дифференцированного платежа, осознать суть математической модели.
На своих уроках я с учениками решаю задачи из раздела «Финансовая математика» абсолютно различной сложности. Начинаем с обзора элементарных задач на простые проценты и заканчиваем разбором цен на акции, находящиеся в портфеле у управляющего финансового менеджера. Регулярно приходится разбирать задачи на дифференцированный платеж олимпиадного уровня сложности, где стандартные модели перестают работать.
Чтобы записаться ко мне на частные уроки, берите сотовый телефон, дозванивайтесь до меня, задавайте любые интересующие тематические вопросы и записывайтесь на первый пробный урок.
Схема дифференцированного платежа будет крайне полезна всем школьникам, планирующим стать экономистами или связать свою трудовую деятельность с работой на фондовой бирже/рынке.
В любом случае и наука «Финансовая математика» в общем, и модель расчета погашения кредита дифференцированными платежами в частности может пригодиться вообще любому человеку, планирующему закредитоваться.
И не забывайте, что на официальном экзамене – ЕГЭ по математике вам гарантированно попадется экономическая задача, и вероятность того, что она будет ориентирована на дифференцированный платеж, крайне высока!
Краткая
теория решения банковских задач
(математика
профильного уровня, ЕГЭ №17)
I.
Задачи на дифференцированные платежи
Одной из основных
целей при решении «банковских» задач является то, что нужно выбрать к какому
виду относится данная задача. Для этого нужно выделить «ключевую» фразу: долг
уменьшается на одну и ту же величину, каждый раз клиент выплачивает набежавшие
проценты за период и 1/n часть основного
долга(n—
срок, на который берется кредит).
Чаще всего
периодом является месяц, причем
-если кредит взят
на 1 год, то выплачиваются проценты за период и 1/12 часть основного долга;
— если кредит взят
на 2 года, то выплачивается 1/24 часть основного долга.
Получается, что
наибольший платеж приходится на первый месяц и разумеется, наименьший платеж –
на последний месяц. Можно легко вычислить, как будет погашаться основной
долг. Надо сумму кредита разделить на число месяцев. Например, если кредит
составляет 1200000 рублей на два года, то получим 1200000:24 = 50000 руб.
ежемесячное погашение основного долга. Но к этой сумме нужно еще прибавить
набежавшие проценты. Если кредит взят под 10% годовых, то проценты будут
1200000 · 0,1 = 120000 рублей. Отсюда получим сумму наибольшего платежа 50000 +
120000 = 170000 рублей.
Схема
решения
А- первоначальная сумма кредита (основной
долг)
n-период (количество
месяцев , лет)
р- проценты (годовая ставка)
S— сумма платежей за
определенный период
Таблица
|
Период |
Основной |
Набежавший |
Платежи |
Остаток |
|
1 |
А |
Ар |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
———— |
———— |
—————- |
—————— |
—————- |
|
n |
|
|
|
0 |
|
Формула |
S%= |
S= |
Запомнить
следующие формулы
|
Формула Нахождение процентов |
S%= |
|
Формула Нахождение кредита |
n= |
|
Формула Нахождение |
P= |
|
Формула Нахождение |
A= |
1.Для того, чтобы найти сумму всех
процентов выплаченных по кредиту, нужно найти сумму в столбике «Набежавшие %».
2.Прибыль банка
будет равна сумме выплаченных процентов.
3.Для того , чтобы
найти сумму всех выплат по кредиту, нужно найти сумму в столбике «Платежи»
(Можно сделать проще: к«Набежавшим %» прибавить основной долг.
4. Для того, чтобы
найти наибольший или наименьший платеж, нужно знать, что максимальный платеж
это первый платеж, а минимальный платеж это последний платеж.
Задача 1.
Анна взяла в
кредит 12 млн. руб. на 24 месяца. По договору она должна возвращать часть денег
в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга должна возрастать на 3%,
а затем уменьшаться на сумму, оплаченной Анной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые
Анной, подбираются так, что сумма долга уменьшалась равномерно, т.е. на одну и
ту же величину каждый месяц. На сколько рублей больше Анна вернет банку в
течение первого года кредитования по сравнению со вторым годом?
Дано:
А=12
P=3%
n=24
Решение:
|
Период |
Основной |
Набежавший |
Платежи |
Остаток |
|
1 |
А |
Ар |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
———— |
—————— |
———————— |
—————— |
—————- |
|
12 |
|
|
|
|
|
———— |
—————- |
———————— |
————— |
——— |
|
24 |
|
|
|
0 |
1.Найдем сумму
процентов за первый год по сумме третьего столбца «Набежавший %»
Ар +
+ 
+ ——+ 
=A р (1+
+
+——-+
)= =
= A p∙
= 
= =3,33 за первый год.
24+23+22+——+13 сумма арифметической
прогрессии (
=
)
2
найдем, используя
формулу S%=
= 
(за 24 месяца)
=4,5-3,33=1,17 за второй
год.
Разница 3,33-1,17=2,16
Ответ:2,16
2.Задачи
на аннуитетные платежи
Аннуитетные
платежи – это гашение долга равными порциями, в
эту сумму входит набежавший процент за определенный период времени и плюс
гашение основного долга . В результате должна получиться одна и та же сумма.
Этот кредит не очень выгоден, т.к. основной долг погашается очень медленно. В
первую очередь снимают набежавшие проценты, а во вторую очередь часть основного
долга, дополняющую до некоторой суммы , поэтому проценты погашаются большие. Но
банки должны предупреждать об этом клиентов и клиент выбирает вид платежа.
Аннуитетный
платеж имеет и плюсы, т.к. клиент платит каждый месяц некоторую умеренную
сумму, например 3000 рублей, а при дифференцированном — в первый месяц 5000
рублей, а потом постепенно уменьшается.
Схема
решения
|
Долг |
Остаток |
||
|
Кредит |
А |
A |
|
|
Платеж ежегодный |
S |
S |
|
|
Процент |
Р |
||
|
1год |
А(1+р) |
А(1+р)-S |
|
|
2год |
А |
А |
|
|
згод |
|
|
|
|
——- |
——- |
———————- |
|
|
n год |
|
0 |
Используем формулу из таблицы «столбик» —
долг:
-(1+p+
и
обозначим (1+р)=g
,то получим формулу:
Это формула для нахождения:
n
– срок кредита, S – ежегодная сумма
выплаты кредита, А-сумма взятого кредита.
Задача 1. Определение срока кредитования
Кате нужно взять
в кредит 100000 рублей. Погашение происходит 1 раз в год равными платежами
(кроме последнего) после начисления процента (ставка – 10% годовых). На какое
максимальное количества лет может она взять кредит, чтобы платить не более
24000 рублей?
Дано:
А=100000
Р=10%
S
24000
Найти: n
Решение:
Применим формулу для нахождения — n
из таблицы:
. Пусть 
=Х, тогда получим
уравнение
; 
; n=6
Ответ: 6
Некоторые
Задачи
на дифференцированные платежи.
Задача 1. Определение суммы кредита
Источник:
ЕГЭ 2017. Математика. 50 вариантов экзаменационных
работ. Профильный уровень. Под ред. Ященко И.В./ М.: Издательство «Экзамен»,
2017.- 247 с.
Вариант 2.
15-го января
планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа
каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
-со 2-го по14 –е
число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
-15-го числа
каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 –е
число предыдущего месяца.
Известно, что
восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в
течение всего срока кредитования?
Дано:
Р
=1%
n=15
Найти: S.
Решение
1 способ
Пользуясь таблицей — столбик «платежи»
восьмой выплаты имеем:
тыс.
А(8р+1)=1620тыс.
А=
=1500тыс=1500000 руб.
взят кредит 1,5 млн. руб.
Пользуясь таблицей — столбик «платежи»
суммой всех выплат имеем:
S=A
S=1,5+
= 1,5+0,12=1,62млн. руб.
выплата банку в течении всего срока кредитования.
Ответ: 1620000 руб.
2-й способ
Пусть ежемесячные
выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.
Тогда сумма кредита составляет 15Х рублей (без процентов).
Процентная ставка p% составляет
1% или 0,01.
S-сумма выплаты кредита в
течение всего срока
S=15Х+(15Х+14Х+13Х+….+Х)·0,01=15Х+
+15·0,01·(15Х+Х)/2)=15Х+1,2Х=16,2Х, где
15Х+14Х+13Х+….+Х
– сумма
арифметической прогрессии (=)
Пусть S8– сумма,
которую составляют проценты на восьмой месяц кредитования.
Тогда по условию задачи восьмая
выплата будет равна: 108 000 = Х + S8,
За восемь месяцев сумма кредита
составит 8Х руб.
На восьмой месяц проценты
составят S8 =
8Х·0,01 = 0,08Х (руб.).
Тогда 108 000 = Х +
0,08Х;
108 000 = 1,08Х;
Х =
100 000 (руб.) составляет сумма ежемесячных выплат (без процентов).
Сумма кредита составляет
100 000·15 = 1 500 000(руб.)
3) Следовательно,
S=16,2·X=16,2·1000000=1620000 руб.
Ответ: 1620 000
Задача 2. Определение процентной ставки
банка
Источник: ЕГЭ
2017. Математика. 50 вариантов экзаменационных работ. Профильный уровень. Под
ред. Ященко И.В./ М.: Издательство «Экзамен», 2017.- 247.
Вариант 3
31 декабря 2014 года Евгений взял в банке
1млн. в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего
года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает
долг на a%),
затем Евгений переводит очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша,
переведя в первый раз 540 тыс. рублей, во второй 649,6 тыс. рублей. Найдите a.
Дано:
А=1 млн. рублей
1 выплата =540 тыс. рублей
2 выплата=649,6 тыс. рублей
n=2
Найти: a
Решение:
1. К
концу первого года долг становится: 1000000+1000000·0,01a
– 540000= 1000000+10000a— 540000=460000 +
10000a.
2. Через
год остаток после выплаты будет: (460000 + 10000a)
+ ( 460000 + 10000a)·0,01a
– 649600=0
460000+10000 a+4600a+100
— 649600 =0
100+14600a-189600 =0
+146a -1896=0
-73 ±
= -73±
= -73 ±85
=12
Задача 3.Определение срока кредитования
В июле планируется
взять кредит на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия
возврата таковы:
— 1-го числа
каждого месяца долг возрастает на 25% по cравнению
данных предыдущего года;
— с февраля по
июнь каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого
года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего
года.
На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что выплаченная за весь срок
кредитования сумма выплат составит 38 млн. рублей?
Дано:
А=16 млн.
Р=25%
Найти: n
Решение:
Пользуясь таблицей — столбик «платежи»
всей выплаты кредита имеем:
S=
38=16+ 
38=16+2n+2
n= 10
Ответ:10
лет
2.Задачи
на аннуитетные платежи
Задача 1. Определение
процентной ставки банка
Источник: ЕГЭ
2017. Математика. 50 вариантов экзаменационных работ. Профильный уровень. Под
ред. Ященко И.В./ М.: Издательство «Экзамен», 2017.- 247.
Вариант 11.
31 декабря 2014 года Олег взял в
банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты
кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты
на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a%), затем Олег
переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328050 рублей,
то выплатит долг за 4 года. Если по 587250 рублей, то за 2 года. Найдите a.
Дано:
1) Платеж-
328050 рублей
n=4
Найти:a
2) Платеж- 587250 рублей
n=2
Найти:a
Решение:
— формула из
таблицы,
Применим эту формулу для нахождения a
при n=4
и при n=2
,где A-основной долг ( то есть кредит) и g=1+a ,то есть a=g-1.
1) n=4, то
2) n=2, то
. Получим систему:
Умножим обе части первого уравнения
на 
. Получим систему:
Получили уравнение:
259200
g=1,125
a=g-1
a=1,125-1
a=0,125
Ответ: 12,5%
Задача2. Определение
срока кредитования
Источник: ЕГЭ 2017.
Математика. 50 вариантов экзаменационных работ. Профильный уровень. Под ред.
Ященко И.В./ М.: Издательство «Экзамен», 2017.- 247.
Вариант
36
1 января 2015 года
Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты
кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент
на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр
Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев
Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более
275 тыс. рублей?
Дано:
А=1,1 млн. рублей
Р=1%
S275000 рублей
Найти: n
Решение:
100%+1%=101%=1,01
|
Долг |
Остаток |
|
|
Кредит |
1100000 |
|
|
1месяц |
1100000·1,01=1111000 |
1111000-275000=836000 |
|
2 месяц |
836000·1,01=844360 |
844360-275000=569360 |
|
3 месяц |
569360·1,01=575053,6 |
575053,6-275000=300053,6 |
|
4 месяц |
300053,6·1,01=303054,136 |
303054,136-275000=28054,136 |
|
5 месяц |
28054,136·1,01=28334,67736 |
0 |
Ответ: 5 месяцев
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.
Источник: Интеллект-центр. Репетиционные варианты ЕГЭ 2015.
2
Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?
3
1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 122.
4
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами ( то есть за три года)?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 131.
5
Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137.
Пройти тестирование по этим заданиям