Дифференцированный платеж по кредиту егэ профильная математика - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Источник

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.

Таким образом, если кредит взят на (n) лет, то это значит, что сумму кредита (A) разделили на (n) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на (dfrac1n A) по сравнению с долгом на начало года.

Пример: Александр взял в банке кредит на (50,000) рублей на (3) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке (10%)?

Т.к. кредит взят на (3) месяца, то после первой выплаты долг должен составить (A-frac13A=frac23 A), после второй (frac23A-frac13A=frac13A), а после третьей — (frac13A-frac13A=0) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после выплаты}&\
hline 1&50&50+0,1cdot 50&frac23cdot 50&0,1cdot 50+frac13cdot 50\
hline 2&frac23cdot 50&frac23cdot 50+0,1cdotfrac23cdot 50&frac13cdot 50&0,1cdot frac23cdot 50+frac13cdot50\
hline 3&frac13cdot 50&frac13cdot 50+0,1cdot frac13cdot
50&0&0,1cdot frac13cdot 50+frac13cdot 50\
hline
end{array}]

Таким образом, всего Александр заплатил банку (big(0,1cdot
50+dfrac13cdot 50big)+big(0,1cdot dfrac23cdot
50+dfrac13cdot50big)+big(0,1cdot dfrac13cdot 50+dfrac13cdot
50big)) тыс.рублей.

Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:

(0,1cdot 50 left(1+dfrac23+dfrac13right)+3cdot dfrac13cdot
50=0,1cdot 50cdot 2+50)

Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:

(big(0,1cdot 50cdot 2+50big)-50=10) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила (10,000) рублей.

Заметим,

I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это (0,1cdot 50), во второй — (0,1cdot big(frac23cdot
50big)) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это (frac13cdot 50)).

Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна (A)). А далее он еще вносит (frac 1n) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на (frac 1n) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.

II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.

В нашем примере переплата как раз равна (0,1cdot 50+0,1cdot
frac23cdot 50+0,1cdot frac13cdot 50).

Формула для выплаты в (i)-ый год: [{Large{x_i=dfrac{r}{100}cdot dfrac{n-i+1}{n}A+dfrac1n A}}] где (n) – количество лет, на которое взят кредит, (A) – сумма кредита, (r%) – процентная ставка.

Задание
1

#1194

Уровень задания: Легче ЕГЭ

(16) августа на покупку телефона стоимостью (60,000) рублей в банке был взят кредит на (3) месяца. Условия пользования кредитом таковы:
– (10) числа каждого месяца, начиная с сентября, банк начисляет на остаток долга (10%);
– с (11) по (15) числа каждого месяца, начиная с сентября, клиент обязан внести в банк платеж;
– суммы платежей подбираются так, чтобы долг каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину (так называемый дифференцированный платеж). Сколько рублей в итоге составит переплата по данному кредиту?

Т.к. кредит был взят на (3) месяца, то долг каждый месяц должен уменьшаться на (dfrac{1}{3}) часть.

Составим таблицу, все суммы будем вычислять в тыс.руб.: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц}&text{Долг до} & text{Долг после} & text{Сумма}& text{Долг после}\
& text{начисления }%& text{начисления }% &text{платежа}& text{платежа} \
hline &&&&\
1& dfrac{3}{3}cdot 60=60&60+0,1cdot 60 &0,1cdot 60+dfrac{1}{3}cdot 60& dfrac{2}{3}cdot 60\
&&&&\
hline &&&&\
2&dfrac{2}{3}cdot 60 & dfrac{2}{3}cdot 60+0,1cdot dfrac{2}{3}cdot 60&0,1cdot dfrac{2}{3}cdot 60+dfrac{1}{3}cdot 60&dfrac{1}{3}cdot 60 \
&&&&\
hline &&&&\
3&dfrac{1}{3}cdot 60 &dfrac{1}{3}cdot 60+0,1cdot dfrac{1}{3}cdot 60 &0,1cdot dfrac{1}{3}cdot 60+dfrac{1}{3}cdot 60&0 \
&&&&\
hline
end{array}]

Заметим, что каждый платеж состоит из (dfrac{1}{3}cdot 60) и из процентов, начисленных на остаток долга (т.е. все платежи – разные). Именно поэтому удобнее долг после начисления процентов записывать в виде (A+0,1cdot A), а не в виде (1,1cdot A).

Общая выплата по кредиту равна сумме всех платежей по кредиту, т.е.

(0,1cdot 60+dfrac{1}{3}cdot 60+0,1cdot dfrac{2}{3}cdot
60+dfrac{1}{3}cdot 60+0,1cdot dfrac{1}{3}cdot
60+dfrac{1}{3}cdot 60=60+0,1cdot 60cdot
(1+dfrac{2}{3}+dfrac{1}{3}))

Следовательно, переплата составит: (60+0,1cdot 60cdot
(1+frac{2}{3}+frac{1}{3})-60=0,1cdot 60cdot 2=12) тыс.руб.

Ответ:

(12,000) рублей.

Задание
2

#1196

Уровень задания: Равен ЕГЭ

(10) лет назад Григорий брал в банке кредит на (4) года, причем Григорий помнит, что выплачивал он кредит дифференцированными платежами и переплата по кредиту составила (32,5%) от кредита. Под какой годовой процент был взят тогда кредит?

Обозначим за (y) — годовой процент по кредиту, а за (A) руб. – сумму кредита. Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Долг до} & text{Долг после} & text{Сумма}& text{Долг после}\
& text{начисления }%& text{начисления }% &text{платежа}& text{платежа} \
hline &&&&\
1& A&A+dfrac{y}{100}cdot A &dfrac{y}{100}cdot A+dfrac{1}{4}cdot A& dfrac{3}{4}cdot A\
&&&&\
hline &&&&\
2&dfrac{3}{4}cdot A & dfrac{3}{4}cdot A+dfrac{y}{100}cdot dfrac{3}{4}cdot A&dfrac{y}{100}cdot dfrac{3}{4}cdot A+dfrac{1}{4}cdot A&dfrac{2}{4}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
3&dfrac{2}{4}cdot A &dfrac{2}{4}cdot A+dfrac{y}{100}cdot dfrac{2}{4}cdot A &dfrac{y}{100}cdot dfrac{2}{4}cdot A+dfrac{1}{4}cdot A&dfrac{1}{4}A \
&&&&\
hline &&&&\
4&dfrac{1}{4}cdot A &dfrac{1}{4}cdot A+dfrac{y}{100}cdot dfrac{1}{4}cdot A &dfrac{y}{100}cdot dfrac{1}{4}cdot A+dfrac{1}{4}cdot A&0 \
&&&&\
hline
end{array}]

Переплата по кредиту составит:

(dfrac{y}{100}cdot A +dfrac{y}{100}cdot dfrac{3}{4}cdot
A+dfrac{y}{100}cdot dfrac{2}{4}cdot A+dfrac{y}{100}cdot
dfrac{1}{4}cdot A=dfrac{y}{100}cdot Acdot
dfrac{5}{2}=dfrac{yA}{40})

Т.к. переплата в итоге составила (32,5%) от суммы кредита, то (dfrac{yA}{40}=0,325A Rightarrow y=13%)

Ответ:

(13 %).

Задание
3

#2890

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Родион хочет взять кредит на некоторую сумму и выбирает между двумя банками. Первый банк предлагает кредит на 15 лет под (6%) годовых, второй – на 6 лет под (14%) годовых, причем в обоих банках дифференцированная система платежей. Определите, в какой банк выгоднее обратиться Родиону и сколько процентов от кредита составляет эта выгода.

Выгоднее будет предложение от того банка, по которому будет меньше переплата. Пусть (A) – сумма, которую Родион хочет взять в кредит. Заметим, что так как система выплат дифференцированная, то переплата по кредиту равна сумме “набежавших” на долг процентов на начало каждого года.

1) Первый банк предлагает кредит на 15 лет, следовательно, каждый год после платежа основной долг уменьшается на (frac1{15}) часть. То есть если в начале 1-ого года долг равен (A), то в начале 2-ого — (A-frac1{15}A=frac{14}{15}A), в начале 3-его — (frac{13}{15}A), в начале 4-ого — (frac{12}{15}A) и т.д. Значит, “набежавшие” в 1-ый год проценты — это (0,06cdot A), во 2-ой год — это (0,06cdot frac{14}{15}A), в 3-ий — это (0,06cdot
frac{13}{15}A) и т.д. Следовательно, переплата: [begin{aligned}&Per_1=0,06cdot A+0,06cdot frac{14}{15}A+dots+
0,06cdot frac2{15}A+0,06cdot frac1{15}A=\[2ex] &=0,06Acdot
left(1+frac{14}{15}+dots+frac2{15}+frac1{15}right)=0,06Acdot
8=0,48Aend{aligned}]

2) Второй банк предлагает кредит на 6 лет, следовательно, применяя те же рассуждения, получим: [Per_2=0,14Acdot left(1+frac56+frac46+frac36+frac26+frac16right)=
0,14Acdot 3,5=0,49A]

Следовательно, в первом банке переплата меньше, значит, обратиться в этот банк будет более выгодно.

Выгода равна (0,49A-0,48A=0,01A), значит, она составляет (1%) от суммы кредита.

Ответ: 1

Задание
4

#3147

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Банк выдает кредит на следующих условиях:
— раз в год банк начисляет на текущий долг некоторый процент годовых;
— раз в год после начисления процентов клиент обязан внести платеж в счет погашения кредита, причем платежи вносятся таким образом, чтобы сумма долга уменьшалась каждый год на одну и ту же величину;
— отношение наибольшего платежа к наименьшему платежу равно (17:9).
Сколько процентов составит переплата от кредита, если взять такой кредит на 9 лет?

Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть в банке взято (A) рублей в кредит. Если (r%) – процентная ставка в банке, то обозначим величину (0,01r=p). Тогда можно составить таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} & text{Долг до начисления проц.} & text{Долг
после
начисления проц.} & text{Платеж}\
hline 1 & A & A+pA & pA+frac19A\
hline 2 & frac89A & frac89A+pcdot frac89A & pcdot
frac89A+frac19A\
hline … &… & … & …\
hline 9 & frac19A & frac19A+pcdot frac19A & pcdot
frac19A+frac19A\ hline end{array}]

Так как система выплат дифференцированная, то наибольший платеж – первый, а наименьший – последний. Следовательно, [dfrac{pA+frac19A}{pcdot frac19A+frac19A}=dfrac{17}9 quadLeftrightarrow
quad p=dfrac18] Тогда переплата по кредиту равна [pA+pcdot dfrac89A+pcdot dfrac79A+dots+pcdot dfrac19A=
pcdot Acdot left(1+dfrac89+dfrac79+dots+dfrac19right)=5pA] Следовательно, переплата составила от кредита [dfrac{5pA}{A}cdot 100%=500p%=62,5%.]

Ответ: 62,5

Задание
5

#2016

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Павлу банком был предложен кредит на следующих условиях:
– сумма кредита не должна превышать (150,000) рублей;
– раз в месяц банк начисляет на остаток долга (22%);
– после начисления процентов Павел вносит в банк некоторый платеж, причем весь кредит должен быть выплачен тремя платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно.
Помогите посчитать Павлу, сколько процентов от первоначального долга составит переплата по данному кредиту?

Т.к. долг должен уменьшаться равномерно, то схема выплаты кредита – дифференцированные платежи. Т.к. платежей должно быть (3), значит, кредит дается на (3) месяца, следовательно, долг каждый месяц должен уменьшаться на (dfrac{1}{3}) часть. Составим таблицу, обозначив за (A) – сумму кредита:

Таким образом, переплата по кредиту составит:

(left(0,22cdot A+dfrac{1}{3}cdot A+0,22cdot dfrac{2}{3}cdot
A+dfrac{1}{3}cdot A+0,22cdot dfrac{1}{3}cdot
A+dfrac{1}{3}cdot Aright) — A=)

(=0,22cdot Acdot
left(1+dfrac{2}{3}+dfrac{1}{3}right)=0,44A)

Следовательно, процент, который составит переплата относительно первоначального долга, равен:

(dfrac{0,44A}{A}cdot 100% = 44 %).

Заметим, что информация о том, что сумма кредита не должна превышать (150,000) рублей, на самом деле не нужна для того, чтобы ответить на вопрос задачи.

Ответ:

(44 %).

Задание
6

#2929

Уровень задания: Равен ЕГЭ

15-го января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условие его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на (3%) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно сделать платеж в размере 29,6 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

(Задача от подписчиков)

Пусть (A) тыс. рублей – сумма, взятая в кредит. Фраза “долг должен быть на одну и ту же величину меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая часть всегда одинаковая – это (dfrac1{31}) часть от (A); вторая часть состоит из процентов, “набежавших” на долг в этом месяце.

Составим таблицу:

[begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц} &text{Долг до} & text{Долг после} & text{Сумма} & text{Долг после}\
& text{начисления }%& text{начисления }% &text{платежа} & text{платежа} \
hline &&&&\
1& A&A+0,03cdot A &0,03cdot A+dfrac{1}{31}cdot A& dfrac{30}{31}cdot A\
&&&&\
hline &&&&\
2&dfrac{30}{31}cdot A & dfrac{30}{31}cdot A+0,03cdot dfrac{30}{31}cdot A
&0,03cdot dfrac{30}{31}cdot A+dfrac{1}{31}cdot A&dfrac{29}{31}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
3&dfrac{29}{31}cdot A &dfrac{29}{31}cdot A+0,03cdot
dfrac{29}{31}cdot A
&0,03cdot dfrac{29}{31}cdot A+dfrac{1}{31}cdot A&dfrac{28}{31}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
…&… &… &…&… \
&&&&\
hline &&&&\
16&dfrac{16}{31}cdot A &dfrac{16}{31}cdot A+0,03cdot dfrac{16}{31}cdot A
&0,03cdot dfrac{16}{31}cdot A+dfrac{1}{31}cdot A=29,6&dfrac{15}{31}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
…&… &… &…&… \
&&&&\
hline &&&&\
31&dfrac{1}{31}cdot A &dfrac{1}{31}cdot A+0,03cdot dfrac{1}{31}cdot A
&0,03cdot dfrac{1}{31}cdot A+dfrac{1}{31}cdot A&0 \
&&&&\
hline
end{array}]

Из полученного уравнения (0,03cdot dfrac{16}{31}cdot
A+dfrac{1}{31}cdot A=29,6) можно найти [A=620.]

Тогда за все месяцы кредитования будет выплачено банку:

(0,03cdot A+dfrac1{31}A+0,03cdot
dfrac{30}{31}A+dfrac1{31}A+dots+0,03cdot
dfrac1{31}A+dfrac1{31}A= 31cdot dfrac1{31}A+0,03cdot Acdot
left(1+dfrac{30}{31}+dfrac{29}{31}+dots+dfrac1{31}right)=)

(=A+0,03cdot Acdot dfrac{1+frac1{31}}2cdot
31=dfrac{37}{25}A=dfrac{37}{25}cdot 620=917,6) тыс. рублей.

Ответ: 917,6

Задание
7

#3871

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле планируется взять кредит в банке на сумму (14) млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на (25%) по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась (24,5) млн. рублей?

Пусть (n) – число лет, на которое взят кредит. Так как годовой процент в банке равен (25%), то это значит, что каждый год долг увеличивается на четверть. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на (frac 1n) часть, то есть на (frac{14}n) млн. рублей. Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} & text{Долг до начисления }% & text{Долг после
начисления
} % & text{Выплата}\
hline 1 & 14 & 14+frac14cdot 14 & frac{14}n+frac14cdot 14\
hline 2 & frac{n-1}ncdot 14 & frac{n-1}ncdot 14+frac14cdot
frac{n-1}ncdot 14 & frac{14}n + frac14cdot frac{n-1}ncdot
14\
hline … & … & … & …\
hline n & frac{14}n & frac{14}n+frac14cdot frac{14}n &
frac{14}n +frac14cdot frac{14}n \
hline end{array}] Таким образом, общая сумма выплат составляет [begin{aligned}
&dfrac{14}n+dfrac14cdot 14+dfrac{14}n + dfrac14cdot
dfrac{n-1}ncdot 14+dots+dfrac{14}n +dfrac14cdot
frac{14}n=\[1ex]
&=dfrac14cdot 14cdot left(1+dfrac{n-1}n+dots+dfrac1nright)+
ncdot dfrac{14}n=\[1ex]
&=dfrac14cdot 14cdot dfrac{1+frac1n}2cdot
n+14=dfrac74(n+1)+14 end{aligned}] (в скобках мы получили сумму арифметической прогрессии, где первый член равен (frac1n), (n)-ый равен (1), соответственно, количество членов равно (n))

Таким образом, так как общая сумма выплат равна по условию (24,5) млн. рублей, то получаем: [dfrac74(n+1)+14=24,5quadLeftrightarrowquad n=5]

Ответ: 5

Курс современной математики, которая преподается будущим выпускникам в старших классах, регулярно меняется. В настоящее время учащийся, который готовится к сдаче ЕГЭ по этому предмету, должен уметь правильно решать задачи на дифференцированные платежи. В аттестационном испытании профильного уровня задания, затрагивающие сферу финансовой математики, встречаются регулярно. Решение задач ЕГЭ по дифференцированным платежам за кредит предполагает наличие у школьника базовых навыков анализа числовых данных и осуществление практических расчетов по формулам.

Вместе с образовательным порталом «Школково» вы сможете восполнить пробелы в знаниях и отточить необходимое умение. Базовый теоретический и практический материал по данной теме представлен в соответствующих разделах сайта таким образом, чтобы все учащиеся могли без особых затруднений справляться с задачами ЕГЭ на дифференцированные платежи.

Основные моменты

При выполнении заданий из области финансовой математики необходимо запомнить несколько важных нюансов:

Общая выплата по кредиту состоит из тела кредита и процентов, которые начисляются банком. Эта важная формула лежит в основе практически всех задач по данной тематике.
В процессе расчета дифференцированного платежа общая сумма первоначального кредита должна быть поделена на равные части. Как правило, их количество соответствует числу проводимых платежей.
Если в условии задачи фигурируют словосочетания «равными частями», «долг уменьшается на одну и ту же величину» и т. п., вероятнее всего, речь идет именно о дифференцированном платеже.

Для того чтобы выпускник мог не только усвоить теоретический материал, но и отточить навык выполнения практических заданий, рекомендуем сделать соответствующие упражнения. Для каждого из них специалисты «Школково» прописали алгоритм решения и привели правильный ответ. Тренироваться в решении задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ выпускники могут в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Экспресс-тренинг

Подготовка к ЕГЭ-2023 по профильной математике в кратчайшие сроки!

До экзамена осталось совсем немного времени! Закрепите свои знания! Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Ваш ребенок успеет подготовиться к экзамену!

Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей

Здравствуйте!

Текстовые задачи с экономическим содержанием, темой которых являются банковские кредиты, сравнительно недавно появились в содержании экзамена по математике. Тем не менее, в реальных вариантах КИМ ЕГЭ они встречаются чаще других.

Для решения таких задач вам необходимо познакомиться с двумя математическими моделями, лежащими в основе наиболее распространенных схем выплат по банковским кредитам — дифференцированной и аннуитетной. Эти модели представлены на слайдах.

Рекомендуем вам перед тем, как изучать теоретический материал по теме «Банковские кредиты», повторить определения арифметической и геометрической прогрессий и формулы суммы n последовательных членов каждой из прогрессий – они вам понадобятся.

Арифметическая прогрессия

Последовательность чисел a_n такая, что

где d — разность арифметической прогрессии.

Сумма Sn=a1+a2+…+an n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Sn=a1+an2⋅n=2a1+d(n−1)2⋅n.

Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел b_n такая, что

где q — знаменатель геометрической прогрессии.

Сумма Sn=b1+b2+…+bn n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Формула бесконечной суммы при q∈(−1,1):

S=b11−q

На слайдах также представлены примеры разобранных задач. Обратите внимание на два различных подхода, которые чаще всего используются при решении задач.

Первый подход состоит в использовании готовых формул, полученных при исследовании математической модели.

Второй — в пошаговом вычислении размеров каждого из очередных платежей при выплате кредита и размеров оставшихся задолженностей.

Следите за обновлениями на сайте и подписывайтесь на наш канал в Ютьюбе и группу Вконтакте!

Источник

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.

Источник: Интеллект-центр. Репетиционные варианты ЕГЭ 2015.

Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?

1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 122.

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами ( то есть за три года)?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 131.

Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.

По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).

По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Решение задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ по математике

1.Дифференцированные платежи

Кредиты играют важную роль в жизни населения со средним достатком. Тем, кто не может позволить себе единовременную оплату из собственных средств при покупке недвижимости или другого дорогостоящего имущества, кредиты просто необходимы.

Какие существуют виды платежей по кредитам?

В чём же разница между аннуитетным и дифференцированным платежами и какой платёж выгоднее?

Дифференцированные платежи

При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей велики, потому что проценты по кредиту существенны.

А к концу срока выплаты будут минимальны. Дифференцированные платежи удобны для тех, у кого доход не носит характер неизменной величины, и через некоторое время может появиться возможность досрочно погасить долг. В этом случае переплата по кредиту будет меньше, чем при аннуитетном расчёте.

Аннуитетные платежи

Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц.

Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна. Таким образом банк страхует риски недополучения прибыли в случае досрочного погашения кредита заёмщиком.

При дифференцированном платеже ежемесячные платежи становятся меньше, сумма основного долга в платеже всегда будет одной и той же. А вот проценты, начисляемые на остаток основного долга, будут уменьшаться по мере выплаты кредита. Ежемесячная сумма основного долга считается следующим образом: сумма кредита делится на количество платежей.

Кредиты с дифференцированными платежами выдавались в Сбербанке до 2011 года, а сейчас выдаются только с аннуитетными.

В подавляющем большинстве случаев банки предлагают своим заемщикам аннуитетную схему погашения задолженности. Однако в некоторых случаях можно выбрать дифференцированный платеж — тип выплаты кредита, при котором размер взносов постепенно уменьшается. Для заемщика пользоваться дифференцированными платежами выгоднее, чем фактически стандартной аннуитетной схемой.

Как рассчитать дифференцированный платеж?

Платеж при дифференцированной схеме делится на две части:

основную, которая уходит на погашение тела кредита;
процентную, которая является чистой прибылью банка.

Основную часть платежа высчитать просто по такой формуле:

Платеж =

Так, если заемщик взял в кредит 300 тыс. рублей под 22% годовых на 5 лет, то размер основной части составит:

300000 / 60 = 5000 рублей

Вторая часть платежа — процентная — рассчитывается по такой схеме:

Платеж = остаток основного долга * годовая ставка / 12

Так, проценты за первый месяц пользования кредита составят:

300000 * 0.22 / 12 = 5500 рублей

Путем сложения определяем размер платежа на первый месяц: 5000 + 5500 = 11000 рублей.

Для того, чтобы рассчитать проценты за любой месяц, необходимо узнать остаток задолженности. Если за второй месяц размер общего долга можно узнать путем простого вычитания из 300000 рублей первого платежа в 5000 рублей, то за 10-ый или 25-ый значение можно вычислить по такой схеме:

Остаток долга = общий размер долга — (размер основного платежа * количество прошедших месяцев).

Так, за 10-ый месяц процентная часть будет равна:

(300000 — 5000 * 9) * 0.22 / 12 = 4675

общий размер платежа: 9675 рублей.

За 25-й месяц:

(300000 — 5000 * 24) * 0.22 / 12 = 3300

Общий размер платежа: 8300 рублей.

Как видите, по сравнению с первым месяцем заемщику придется платить на 1700 рублей меньше. Проценты за самый последний месяц будут минимальными:

(300000 — 5000 * 59) * 0.22 / 12 = 91.67

В целом дифференцированную схему погашения кредита используют для небольших займов или при достаточно высоком уровне дохода. Тогда первые платежи не будут столь обременительны для вашего бюджета, а сниженный размер переплат позволит сэкономить и, возможно, потратить высвободившиеся средства для досрочного погашения кредита.

2. Решение задач.

Рассмотрим решение задач на дифференцированные платежи. Задачи можно найти в любом сборнике для подготовки к ЕГЭ по математике.

Учитывая, что платеж при дифференцированной схеме делится на две части:

основную и процентную, то при решении задач удобно составлять таблицу, в которой основная ежемесячная (ежегодная) часть платежа остается неизменной, а процентная часть меняется.

Решим несколько задач.

№1.

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=19 (число выплат).

Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму.

Долг банку:

— это ежемесячные выплаты процентов банку.

Зная, что эти выплаты составляют 30% общей суммы кредита, составим уравнение:

(сумма арифметической прогрессии, где , n=19)

Ответ: 3%.

Примечание.

Выведем формулу для вычисления переплат банку, используя формулу суммы арифметической прогрессии, где

.(формула 1)

Тогда при , r=3

№2.

15-го января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 13% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=25 (число выплат).

Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму. Тогда

Или по формуле (1) n=25, , r=1%.

Ответ: 1%

№3.

15-го января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n= 2 года=24месяца (число выплат).

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S
2
3
…….
23
24				0

Если общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит, это означает, что сумма всех ячеек в столбце “Проценты” равна 0,25 от изначального долга (S):

Ответ: 2%

№4.

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1 млн рублей?

Решение.

S-сумма кредита, n=24 месяца, r=2%, Sобщ=1млн=1000тыс рублей

Составим таблицу.

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S	0,02S
2
3
…….
23
24				0

Sобщ=1млн=1000тыс рублей

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Sобщ=S+ 0,02S (. Числа, стоящие в скобках, образуют арифметическую прогрессию.

S+0,02S (, S·(1+0,02·12,5)=1000, S=тыс рублей

Ответ: 800000 руб

№5.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решение.

S-сумма кредита, n-целое число лет, r=25%, Sобщ=28млн рублей

Составим таблицу.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	28млн	0,25·28=7млн
2
…….
n-1
n				0

Наибольший годовой платеж -первый.

7+= 9млн, n=14

Sобщ=28+ 7 ()=28+7·+·7=80,5млн

Ответ: 80500000 рублей

№6.

15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S	0,02S
2
………
11
…….
23
24				0

По условию за 11 месяц было выплачено 44,4 тыс.рублей. Составим уравнение

Ответ: 932,4 тыс рублей

№ 7.

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.

Произведем некоторые вычисления.

1300 тыс-100 тыс=1200тыс.

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемес)	Остаток
1	1300
2
…….
15
16				0

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Ответ: r = 3%

№ 8.

15-го января планируется взять кредит в банке на 11 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен;

Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1198 тысячи рублей?

Пусть х тыс. рублей будет долг 15-го числа 10-го месяца.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	800+x
2
…….
10
11				0

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Ответ: тыс. рублей

№ 9.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000 тысяч рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Считаем n.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	1000
2
…….
20
21

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Числа в скобках образуют арифметическую прогрессию, сумму которой найдем по формуле.

Ответ: %

Источник

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2016-05-11

11
Май 2016

16 Задание (2022)

В этой статье мы выведем общую формулу для решения экономических задач, условие которых предполагает погашение задолженности по кредиту с использованием дифференцированного платежа.

Дифференцированный платеж – это способ погашения кредита, при котором заемщиком выплачивается основная сумма займа («тело кредита») равными частями, а начисление процентов осуществляется только на остаток задолженности в каждый конкретный момент времени.

Если в задаче присутствуют слова «равными частями», или «долг уменьшается на одну и ту же величину» , то, скорее всего, речь идет о дифференцированном платеже.

Отметим, что в этом случае платежи отличаются между собой.

Внимание! Следует отличать эти задачи от тех, в которых долг отдается равными платежами.

Пусть заемщик взял в кредит рублей на лет при годовой процентной ставке, равной %.

В случае дифференцированного платежа ежегодный платеж состоит из двух частей и равен

1) — часть долга, выплачиваемая ежегодно. Это та составляющая ежегодной выплаты, которая остается постоянной.

2) Проценты на оставшуюся часть долга. Это составляющая ежегодного платежа, которая меняется с каждой выплатой и зависит от порядкового номера этой выплаты.

В первый год выплата процентов по кредиту равна ,

во второй —

в третий —

Выплата процентов по кредиту в — ый год равна .

Тогда общий платеж в первый год равен

Во второй:

В — ый:

Выплаты по процентам представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, в которой

Суммарно выплаты по процентам равны:

Сумма слагаемых в скобках находится по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

В итоге, если клиент берет в кредит рублей на лет при годовой процентной ставке, равной %, то при дифференцированном платеже он выплатит за лет всего

рублей.

В этом случае переплата банку составляет рублей или процентов (считаем, сколько процентов составляет переплата от суммы долга, для этого сумму переплаты делим на сумму долга и умножаем на 100%).

Например, если клиент берет ипотеку на квартиру 10 млн руб. сроком на 20 лет под 10% годовых (фантастически низкий процент), то по истечении этого срока он заплатит за квартиру:

млн. руб. То есть сумму, более чем в два раза превышающую сумму кредита.

Решим задачу:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Решение.

По условию задачи процентная ставка % годовых.

Пусть кредит взят на лет. Наибольший годовой платеж будет в первый год, когда невыплаченный остаток максимальный, он равен сумме, взятой в кредит. Годовой платеж в первый год равен млн руб.

По условию наибольший годовой платеж равен 9 млн руб.

Получаем уравнение:

Следовательно, кредит взят на 14 лет.

Тогда общая сумма выплат равна млн руб.

Ответ: млн руб.

И.В. Фельдман, репетитор по математике

|
Отзывов (13)

Источник