Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
17. Сложные задачи прикладного характера
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж
Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.
Таким образом, если кредит взят на (n) лет, то это значит, что сумму кредита (A) разделили на (n) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на (dfrac1n A) по сравнению с долгом на начало года.
Пример: Александр взял в банке кредит на (50,000) рублей на (3) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке (10%)?
Т.к. кредит взят на (3) месяца, то после первой выплаты долг должен составить (A-frac13A=frac23 A), после второй (frac23A-frac13A=frac13A), а после третьей — (frac13A-frac13A=0) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после выплаты}&\
hline 1&50&50+0,1cdot 50&frac23cdot 50&0,1cdot 50+frac13cdot 50\
hline 2&frac23cdot 50&frac23cdot 50+0,1cdotfrac23cdot 50&frac13cdot 50&0,1cdot frac23cdot 50+frac13cdot50\
hline 3&frac13cdot 50&frac13cdot 50+0,1cdot frac13cdot
50&0&0,1cdot frac13cdot 50+frac13cdot 50\
hline
end{array}]
Таким образом, всего Александр заплатил банку (big(0,1cdot
50+dfrac13cdot 50big)+big(0,1cdot dfrac23cdot
50+dfrac13cdot50big)+big(0,1cdot dfrac13cdot 50+dfrac13cdot
50big)) тыс.рублей.
Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:
(0,1cdot 50 left(1+dfrac23+dfrac13right)+3cdot dfrac13cdot
50=0,1cdot 50cdot 2+50)
Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:
(big(0,1cdot 50cdot 2+50big)-50=10) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила (10,000) рублей.
Заметим,
I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это (0,1cdot 50), во второй — (0,1cdot big(frac23cdot
50big)) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это (frac13cdot 50)).
Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна (A)). А далее он еще вносит (frac 1n) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на (frac 1n) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.
II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.
В нашем примере переплата как раз равна (0,1cdot 50+0,1cdot
frac23cdot 50+0,1cdot frac13cdot 50).
Формула для выплаты в (i)-ый год: [{Large{x_i=dfrac{r}{100}cdot dfrac{n-i+1}{n}A+dfrac1n A}}] где (n) – количество лет, на которое взят кредит, (A) – сумма кредита, (r%) – процентная ставка.
Задание
1
#1194
Уровень задания: Легче ЕГЭ
(16) августа на покупку телефона стоимостью (60,000) рублей в банке был взят кредит на (3) месяца. Условия пользования кредитом таковы:
– (10) числа каждого месяца, начиная с сентября, банк начисляет на остаток долга (10%);
– с (11) по (15) числа каждого месяца, начиная с сентября, клиент обязан внести в банк платеж;
– суммы платежей подбираются так, чтобы долг каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину (так называемый дифференцированный платеж). Сколько рублей в итоге составит переплата по данному кредиту?
Т.к. кредит был взят на (3) месяца, то долг каждый месяц должен уменьшаться на (dfrac{1}{3}) часть.
Составим таблицу, все суммы будем вычислять в тыс.руб.: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц}&text{Долг до} & text{Долг после} & text{Сумма}& text{Долг после}\
& text{начисления }%& text{начисления }% &text{платежа}& text{платежа} \
hline &&&&\
1& dfrac{3}{3}cdot 60=60&60+0,1cdot 60 &0,1cdot 60+dfrac{1}{3}cdot 60& dfrac{2}{3}cdot 60\
&&&&\
hline &&&&\
2&dfrac{2}{3}cdot 60 & dfrac{2}{3}cdot 60+0,1cdot dfrac{2}{3}cdot 60&0,1cdot dfrac{2}{3}cdot 60+dfrac{1}{3}cdot 60&dfrac{1}{3}cdot 60 \
&&&&\
hline &&&&\
3&dfrac{1}{3}cdot 60 &dfrac{1}{3}cdot 60+0,1cdot dfrac{1}{3}cdot 60 &0,1cdot dfrac{1}{3}cdot 60+dfrac{1}{3}cdot 60&0 \
&&&&\
hline
end{array}]
Заметим, что каждый платеж состоит из (dfrac{1}{3}cdot 60) и из процентов, начисленных на остаток долга (т.е. все платежи – разные). Именно поэтому удобнее долг после начисления процентов записывать в виде (A+0,1cdot A), а не в виде (1,1cdot A).
Общая выплата по кредиту равна сумме всех платежей по кредиту, т.е.
(0,1cdot 60+dfrac{1}{3}cdot 60+0,1cdot dfrac{2}{3}cdot
60+dfrac{1}{3}cdot 60+0,1cdot dfrac{1}{3}cdot
60+dfrac{1}{3}cdot 60=60+0,1cdot 60cdot
(1+dfrac{2}{3}+dfrac{1}{3}))
Следовательно, переплата составит: (60+0,1cdot 60cdot
(1+frac{2}{3}+frac{1}{3})-60=0,1cdot 60cdot 2=12) тыс.руб.
Ответ:
(12,000) рублей.
Задание
2
#1196
Уровень задания: Равен ЕГЭ
(10) лет назад Григорий брал в банке кредит на (4) года, причем Григорий помнит, что выплачивал он кредит дифференцированными платежами и переплата по кредиту составила (32,5%) от кредита. Под какой годовой процент был взят тогда кредит?
Обозначим за (y) — годовой процент по кредиту, а за (A) руб. – сумму кредита. Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Долг до} & text{Долг после} & text{Сумма}& text{Долг после}\
& text{начисления }%& text{начисления }% &text{платежа}& text{платежа} \
hline &&&&\
1& A&A+dfrac{y}{100}cdot A &dfrac{y}{100}cdot A+dfrac{1}{4}cdot A& dfrac{3}{4}cdot A\
&&&&\
hline &&&&\
2&dfrac{3}{4}cdot A & dfrac{3}{4}cdot A+dfrac{y}{100}cdot dfrac{3}{4}cdot A&dfrac{y}{100}cdot dfrac{3}{4}cdot A+dfrac{1}{4}cdot A&dfrac{2}{4}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
3&dfrac{2}{4}cdot A &dfrac{2}{4}cdot A+dfrac{y}{100}cdot dfrac{2}{4}cdot A &dfrac{y}{100}cdot dfrac{2}{4}cdot A+dfrac{1}{4}cdot A&dfrac{1}{4}A \
&&&&\
hline &&&&\
4&dfrac{1}{4}cdot A &dfrac{1}{4}cdot A+dfrac{y}{100}cdot dfrac{1}{4}cdot A &dfrac{y}{100}cdot dfrac{1}{4}cdot A+dfrac{1}{4}cdot A&0 \
&&&&\
hline
end{array}]
Переплата по кредиту составит:
(dfrac{y}{100}cdot A +dfrac{y}{100}cdot dfrac{3}{4}cdot
A+dfrac{y}{100}cdot dfrac{2}{4}cdot A+dfrac{y}{100}cdot
dfrac{1}{4}cdot A=dfrac{y}{100}cdot Acdot
dfrac{5}{2}=dfrac{yA}{40})
Т.к. переплата в итоге составила (32,5%) от суммы кредита, то (dfrac{yA}{40}=0,325A Rightarrow y=13%)
Ответ:
(13 %).
Задание
3
#2890
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Родион хочет взять кредит на некоторую сумму и выбирает между двумя банками. Первый банк предлагает кредит на 15 лет под (6%) годовых, второй – на 6 лет под (14%) годовых, причем в обоих банках дифференцированная система платежей. Определите, в какой банк выгоднее обратиться Родиону и сколько процентов от кредита составляет эта выгода.
Выгоднее будет предложение от того банка, по которому будет меньше переплата. Пусть (A) – сумма, которую Родион хочет взять в кредит. Заметим, что так как система выплат дифференцированная, то переплата по кредиту равна сумме “набежавших” на долг процентов на начало каждого года.
1) Первый банк предлагает кредит на 15 лет, следовательно, каждый год после платежа основной долг уменьшается на (frac1{15}) часть. То есть если в начале 1-ого года долг равен (A), то в начале 2-ого — (A-frac1{15}A=frac{14}{15}A), в начале 3-его — (frac{13}{15}A), в начале 4-ого — (frac{12}{15}A) и т.д. Значит, “набежавшие” в 1-ый год проценты — это (0,06cdot A), во 2-ой год — это (0,06cdot frac{14}{15}A), в 3-ий — это (0,06cdot
frac{13}{15}A) и т.д. Следовательно, переплата: [begin{aligned}&Per_1=0,06cdot A+0,06cdot frac{14}{15}A+dots+
0,06cdot frac2{15}A+0,06cdot frac1{15}A=\[2ex] &=0,06Acdot
left(1+frac{14}{15}+dots+frac2{15}+frac1{15}right)=0,06Acdot
8=0,48Aend{aligned}]
2) Второй банк предлагает кредит на 6 лет, следовательно, применяя те же рассуждения, получим: [Per_2=0,14Acdot left(1+frac56+frac46+frac36+frac26+frac16right)=
0,14Acdot 3,5=0,49A]
Следовательно, в первом банке переплата меньше, значит, обратиться в этот банк будет более выгодно.
Выгода равна (0,49A-0,48A=0,01A), значит, она составляет (1%) от суммы кредита.
Ответ: 1
Задание
4
#3147
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Банк выдает кредит на следующих условиях:
— раз в год банк начисляет на текущий долг некоторый процент годовых;
— раз в год после начисления процентов клиент обязан внести платеж в счет погашения кредита, причем платежи вносятся таким образом, чтобы сумма долга уменьшалась каждый год на одну и ту же величину;
— отношение наибольшего платежа к наименьшему платежу равно (17:9).
Сколько процентов составит переплата от кредита, если взять такой кредит на 9 лет?
Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть в банке взято (A) рублей в кредит. Если (r%) – процентная ставка в банке, то обозначим величину (0,01r=p). Тогда можно составить таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} & text{Долг до начисления проц.} & text{Долг
после
начисления проц.} & text{Платеж}\
hline 1 & A & A+pA & pA+frac19A\
hline 2 & frac89A & frac89A+pcdot frac89A & pcdot
frac89A+frac19A\
hline … &… & … & …\
hline 9 & frac19A & frac19A+pcdot frac19A & pcdot
frac19A+frac19A\ hline end{array}]
Так как система выплат дифференцированная, то наибольший платеж – первый, а наименьший – последний. Следовательно, [dfrac{pA+frac19A}{pcdot frac19A+frac19A}=dfrac{17}9 quadLeftrightarrow
quad p=dfrac18] Тогда переплата по кредиту равна [pA+pcdot dfrac89A+pcdot dfrac79A+dots+pcdot dfrac19A=
pcdot Acdot left(1+dfrac89+dfrac79+dots+dfrac19right)=5pA] Следовательно, переплата составила от кредита [dfrac{5pA}{A}cdot 100%=500p%=62,5%.]
Ответ: 62,5
Задание
5
#2016
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Павлу банком был предложен кредит на следующих условиях:
– сумма кредита не должна превышать (150,000) рублей;
– раз в месяц банк начисляет на остаток долга (22%);
– после начисления процентов Павел вносит в банк некоторый платеж, причем весь кредит должен быть выплачен тремя платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно.
Помогите посчитать Павлу, сколько процентов от первоначального долга составит переплата по данному кредиту?
Т.к. долг должен уменьшаться равномерно, то схема выплаты кредита – дифференцированные платежи. Т.к. платежей должно быть (3), значит, кредит дается на (3) месяца, следовательно, долг каждый месяц должен уменьшаться на (dfrac{1}{3}) часть. Составим таблицу, обозначив за (A) – сумму кредита:
[begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц}&text{Долг до} & text{Долг после} & text{Сумма}& text{Долг после}\
& text{начисления }%& text{начисления }% &text{платежа}& text{платежа} \
hline &&&&\
1& A&A+0,22cdot A &0,22cdot A+dfrac{1}{3}cdot A& dfrac{2}{3}cdot A\
&&&&\
hline &&&&\
2&dfrac{2}{3}cdot A & dfrac{2}{3}cdot A+0,22cdot dfrac{2}{3}cdot A&0,22cdot dfrac{2}{3}cdot A+dfrac{1}{3}cdot A&dfrac{1}{3}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
3&dfrac{1}{3}cdot A &dfrac{1}{3}cdot A+0,22cdot dfrac{1}{3}cdot A &0,22cdot dfrac{1}{3}cdot A+dfrac{1}{3}cdot A&0 \
&&&&\
hline
end{array}]
Таким образом, переплата по кредиту составит:
(left(0,22cdot A+dfrac{1}{3}cdot A+0,22cdot dfrac{2}{3}cdot
A+dfrac{1}{3}cdot A+0,22cdot dfrac{1}{3}cdot
A+dfrac{1}{3}cdot Aright) — A=)
(=0,22cdot Acdot
left(1+dfrac{2}{3}+dfrac{1}{3}right)=0,44A)
Следовательно, процент, который составит переплата относительно первоначального долга, равен:
(dfrac{0,44A}{A}cdot 100% = 44 %).
Заметим, что информация о том, что сумма кредита не должна превышать (150,000) рублей, на самом деле не нужна для того, чтобы ответить на вопрос задачи.
Ответ:
(44 %).
Задание
6
#2929
Уровень задания: Равен ЕГЭ
15-го января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условие его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на (3%) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно сделать платеж в размере 29,6 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
(Задача от подписчиков)
Пусть (A) тыс. рублей – сумма, взятая в кредит. Фраза “долг должен быть на одну и ту же величину меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая часть всегда одинаковая – это (dfrac1{31}) часть от (A); вторая часть состоит из процентов, “набежавших” на долг в этом месяце.
Составим таблицу:
[begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц} &text{Долг до} & text{Долг после} & text{Сумма} & text{Долг после}\
& text{начисления }%& text{начисления }% &text{платежа} & text{платежа} \
hline &&&&\
1& A&A+0,03cdot A &0,03cdot A+dfrac{1}{31}cdot A& dfrac{30}{31}cdot A\
&&&&\
hline &&&&\
2&dfrac{30}{31}cdot A & dfrac{30}{31}cdot A+0,03cdot dfrac{30}{31}cdot A
&0,03cdot dfrac{30}{31}cdot A+dfrac{1}{31}cdot A&dfrac{29}{31}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
3&dfrac{29}{31}cdot A &dfrac{29}{31}cdot A+0,03cdot
dfrac{29}{31}cdot A
&0,03cdot dfrac{29}{31}cdot A+dfrac{1}{31}cdot A&dfrac{28}{31}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
…&… &… &…&… \
&&&&\
hline &&&&\
16&dfrac{16}{31}cdot A &dfrac{16}{31}cdot A+0,03cdot dfrac{16}{31}cdot A
&0,03cdot dfrac{16}{31}cdot A+dfrac{1}{31}cdot A=29,6&dfrac{15}{31}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
…&… &… &…&… \
&&&&\
hline &&&&\
31&dfrac{1}{31}cdot A &dfrac{1}{31}cdot A+0,03cdot dfrac{1}{31}cdot A
&0,03cdot dfrac{1}{31}cdot A+dfrac{1}{31}cdot A&0 \
&&&&\
hline
end{array}]
Из полученного уравнения (0,03cdot dfrac{16}{31}cdot
A+dfrac{1}{31}cdot A=29,6) можно найти [A=620.]
Тогда за все месяцы кредитования будет выплачено банку:
(0,03cdot A+dfrac1{31}A+0,03cdot
dfrac{30}{31}A+dfrac1{31}A+dots+0,03cdot
dfrac1{31}A+dfrac1{31}A= 31cdot dfrac1{31}A+0,03cdot Acdot
left(1+dfrac{30}{31}+dfrac{29}{31}+dots+dfrac1{31}right)=)
(=A+0,03cdot Acdot dfrac{1+frac1{31}}2cdot
31=dfrac{37}{25}A=dfrac{37}{25}cdot 620=917,6) тыс. рублей.
Ответ: 917,6
Задание
7
#3871
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В июле планируется взять кредит в банке на сумму (14) млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на (25%) по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась (24,5) млн. рублей?
Пусть (n) – число лет, на которое взят кредит. Так как годовой процент в банке равен (25%), то это значит, что каждый год долг увеличивается на четверть. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на (frac 1n) часть, то есть на (frac{14}n) млн. рублей. Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} & text{Долг до начисления }% & text{Долг после
начисления
} % & text{Выплата}\
hline 1 & 14 & 14+frac14cdot 14 & frac{14}n+frac14cdot 14\
hline 2 & frac{n-1}ncdot 14 & frac{n-1}ncdot 14+frac14cdot
frac{n-1}ncdot 14 & frac{14}n + frac14cdot frac{n-1}ncdot
14\
hline … & … & … & …\
hline n & frac{14}n & frac{14}n+frac14cdot frac{14}n &
frac{14}n +frac14cdot frac{14}n \
hline end{array}] Таким образом, общая сумма выплат составляет [begin{aligned}
&dfrac{14}n+dfrac14cdot 14+dfrac{14}n + dfrac14cdot
dfrac{n-1}ncdot 14+dots+dfrac{14}n +dfrac14cdot
frac{14}n=\[1ex]
&=dfrac14cdot 14cdot left(1+dfrac{n-1}n+dots+dfrac1nright)+
ncdot dfrac{14}n=\[1ex]
&=dfrac14cdot 14cdot dfrac{1+frac1n}2cdot
n+14=dfrac74(n+1)+14 end{aligned}] (в скобках мы получили сумму арифметической прогрессии, где первый член равен (frac1n), (n)-ый равен (1), соответственно, количество членов равно (n))
Таким образом, так как общая сумма выплат равна по условию (24,5) млн. рублей, то получаем: [dfrac74(n+1)+14=24,5quadLeftrightarrowquad n=5]
Ответ: 5
Курс современной математики, которая преподается будущим выпускникам в старших классах, регулярно меняется. В настоящее время учащийся, который готовится к сдаче ЕГЭ по этому предмету, должен уметь правильно решать задачи на дифференцированные платежи. В аттестационном испытании профильного уровня задания, затрагивающие сферу финансовой математики, встречаются регулярно. Решение задач ЕГЭ по дифференцированным платежам за кредит предполагает наличие у школьника базовых навыков анализа числовых данных и осуществление практических расчетов по формулам.
Вместе с образовательным порталом «Школково» вы сможете восполнить пробелы в знаниях и отточить необходимое умение. Базовый теоретический и практический материал по данной теме представлен в соответствующих разделах сайта таким образом, чтобы все учащиеся могли без особых затруднений справляться с задачами ЕГЭ на дифференцированные платежи.
Основные моменты
При выполнении заданий из области финансовой математики необходимо запомнить несколько важных нюансов:
- Общая выплата по кредиту состоит из тела кредита и процентов, которые начисляются банком. Эта важная формула лежит в основе практически всех задач по данной тематике.
- В процессе расчета дифференцированного платежа общая сумма первоначального кредита должна быть поделена на равные части. Как правило, их количество соответствует числу проводимых платежей.
- Если в условии задачи фигурируют словосочетания «равными частями», «долг уменьшается на одну и ту же величину» и т. п., вероятнее всего, речь идет именно о дифференцированном платеже.
Для того чтобы выпускник мог не только усвоить теоретический материал, но и отточить навык выполнения практических заданий, рекомендуем сделать соответствующие упражнения. Для каждого из них специалисты «Школково» прописали алгоритм решения и привели правильный ответ. Тренироваться в решении задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ выпускники могут в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Экспресс-тренинг
Подготовка к ЕГЭ-2023 по профильной математике в кратчайшие сроки!
До экзамена осталось совсем немного времени! Закрепите свои знания! Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Ваш ребенок успеет подготовиться к экзамену!
Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей
Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей
Здравствуйте!
Текстовые задачи с экономическим содержанием, темой которых являются банковские кредиты, сравнительно недавно появились в содержании экзамена по математике. Тем не менее, в реальных вариантах КИМ ЕГЭ они встречаются чаще других.
Для решения таких задач вам необходимо познакомиться с двумя математическими моделями, лежащими в основе наиболее распространенных схем выплат по банковским кредитам — дифференцированной и аннуитетной. Эти модели представлены на слайдах.
Рекомендуем вам перед тем, как изучать теоретический материал по теме «Банковские кредиты», повторить определения арифметической и геометрической прогрессий и формулы суммы n последовательных членов каждой из прогрессий – они вам понадобятся.
Арифметическая прогрессия
Последовательность чисел an такая, что
где d — разность арифметической прогрессии.
Сумма Sn=a1+a2+…+an n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Sn=a1+an2⋅n=2a1+d(n−1)2⋅n.
Геометрическая прогрессия
Последовательность чисел bn такая, что
где q — знаменатель геометрической прогрессии.
Сумма Sn=b1+b2+…+bn n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Формула бесконечной суммы при q∈(−1,1):
S=b11−q
На слайдах также представлены примеры разобранных задач. Обратите внимание на два различных подхода, которые чаще всего используются при решении задач.
Первый подход состоит в использовании готовых формул, полученных при исследовании математической модели.
Второй — в пошаговом вычислении размеров каждого из очередных платежей при выплате кредита и размеров оставшихся задолженностей.
Следите за обновлениями на сайте и подписывайтесь на наш канал в Ютьюбе и группу Вконтакте!
ГОТОВИМСЯ
К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
I.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЕ ПЛАТЕЖИ
Определение.
Дифференцированный
платёж – вариант ежемесячного (ежегодного) платежа по кредиту, когда сумма
долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц
(год).
При решении экономических задач на дифференцированные
платежи примем следующие обозначения величин:
S – сумма кредита,
х – ежегодный (ежемесячный)
платёж,
r –
процентная ставка,
p = 
.
n – срок кредитования.
Решение задач на дифференцированные платежи удобно
оформлять в виде таблицы. Рассмотрим примеры решения задач.
Задача 1.
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия его возврата
таковы:
§
каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если
известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1, 4 млн. рублей,
а наименьший – не менее 0,6 млн. рублей?
Решение.
Пусть S = 4,5 млн. рублей.
n = 9 лет.
r –
процентная ставка;
р = r/100.
у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
S |
р S |
S – у |
у + р S = 1,4 |
|
2 |
S – у |
p (S |
S – 2у |
у + p (S – у) |
|
3 |
S – 2у |
p (S |
S – 3у |
у + p (S – 2у) |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
9 |
S – 8у |
p (S |
S – 9у = 0 |
у + p (S –8 у) = 0,6 |
1) В выделенной
жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
S – 9 у = 0,
из которой следует, что
S = 9 у,
у = S : 9
у = 4,5 : 9,
у = 0,5.
2) Понятно,
что наибольший годовой платеж по кредиту будет выплачен в первый год
(так как в этот год будут начислены самые большие проценты), а наименьший – в
последний год.
По этим двум условиям составим и решим систему уравнений:
Вычтем из
первого уравнения второе:
8
∙ p y = 0,8
p
y = 0,1
p
= 0,1 : у
p
= 0,1 : 0,5
p = 0,2.
Из
последнего получаем, что r = 20 %/
Ответ:
20 %.
Задача 2 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей на срок 15 лет. Условия его
возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если
известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1, 9 млн. рублей,
а наименьший – не менее 0,5 млн. рублей?
Ответ:
25 %.
Задача 3.
Пётр взял кредит в
банке на срок 12 месяцев. По договору Пётр должен вернуть кредит ежемесячными
платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы, и своим ежемесячным платежом Пётр погашает эти
добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются
так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что
общая сумма, выплаченная Петром банку за весь срок кредитования, оказалась на
13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть S –
сумма кредита.
n = 12 месяцев.
r –
процентная ставка;
р = r/100.
у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый месяц.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
S |
р S |
S – у |
у + р S |
|
2 |
S – у |
p (S – у) |
S – 2у |
у + p (S – у) |
|
3 |
S – 2у |
p (S –2 у) |
S – 3у |
у + p (S – 2у) |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
12 |
S – 11у |
p (S – 11у) |
S – 12у = 0 |
у + p (S –11 у) |
1) В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
S – 12 у = 0,
из которой
следует, что
S = 12 у,
2) Общая
сумма выплат составляется из суммы, взятой в кредит, и суммы начисленных
процентов за каждый месяц кредитования. Значит, общая сумма выплат больше суммы
S, взятой в
кредит, ровно на столько, сколько в сумме составляют начисленные проценты за
весь срок кредитования. Известно, что эта сумма больше суммы S, взятой в
кредит, на 13 %.
Значит,
сумма начисленных процентов как раз и составляет 13 % от суммы S.
Найдём сумму
начисленных процентов:
р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – 11у)
=
=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– 11у) =
=
р ∙
(12∙S
– ( у + 2у + … + 11у)) =
в
скобках представлена сумма 11-ти первых членов арифметической прогрессии, у
которой первый член равен у, а последний
– равен 11у.
=
р ∙
(12∙S
– 
∙
11) =
=
р ∙
(12∙S
– 
∙
12у) =
=
р ∙
(12∙S
– 5,5 ∙ 12у)
= р ∙
(12∙ S
– 5,5 ∙ S)
=
6,5 ∙
pS.
Поскольку
сумма начисленных процентов составляет 13 % от суммы S,
то
6,5
∙ pS
= 0,13 S.
Обе
части этого уравнения разделим на S (это можно сделать, так как S ≠
0):
6,5
∙ p
= 0,13,
откуда
p
= 0,02,
значит,
r
= 2 %.
Ответ:
2 %.
Задача 4 (для самостоятельного решения).
Алексей взял кредит в
банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит
ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга
добавляется r % этой суммы, и своим ежемесячным платежом Алексей
погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи
подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц.
Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок
кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Ответ:
3 %.
Задача 5.
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число
лет). Условия его возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на 25 % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его
полного погашения составит 38 млн. рублей?
Решение.
Пусть S = 16
млн. рублей.
n лет.
r = 25%;
р = r/100 =
0,25 = 1/4.
у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.
Общая сумма выплат = 38 млн. рублей.
Тогда переплаты по кредиту (сумма начисленных
процентов за весь срок кредитования) составят сумму, равную 38 – 16 = 22 (млн.
рублей).
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
S |
р S |
S – у |
у + р S |
|
2 |
S – у |
p (S |
S – 2у |
у + p (S – у) |
|
3 |
S – 2у |
p (S |
S – 3у |
у + p (S – 2у) |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
n |
S – (n – 1) ∙ у |
p (S |
S – nу = 0 |
у + p (S – (n – 1) ∙ у) |
1) В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
S – n у = 0,
из которой следует, что
S = n у,
значит, ny
= 16.
Найдём сумму
начисленных процентов и приравняем её 22 млн. рублей:
р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – (n – 1) ∙ у)
=
=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– (n – 1) ∙
у) =
=
р ∙
(n∙S
– ( у + 2у + … + (n
– 1) ∙ у))
=
в
скобках представлена сумма n
первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен у, а последний – равен (n – 1) ∙ у.
=
р ∙
(n∙S
– 
∙
(n
– 1)) =
=
р ∙
(n∙S
– 
∙
(n
– 1)) =
=
р ∙
(n ∙
16 – 8 ∙
(n
– 1)) =
=
р ∙ (16n
– 8n + 
= р ∙
(8n + 8).
р
∙ (8n
+ = 22,
∙
(8n + = 22.
2n
+ 2 = 22
n = 10.
Ответ:
10 лет.
Задача 6 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 20 млн. рублей на некоторый срок (целое число
лет). Условия его возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на 30 % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его
полного погашения составит 47 млн. рублей?
Ответ:
8 лет.
Задача 7.
15 января планируется
взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
§
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с
концом предыдущего месяца;
§
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
§
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует
взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 2,34
млн. рублей?
Решение.
Пусть S –
сумма кредита.
n = 16
месяцев.
r = 2 %;
р = r/100 =
0,02.
у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.
Общая сумма выплат = 2,34 млн. рублей.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
S |
р S |
S – у |
у + р S |
|
2 |
S – у |
p (S |
S – 2у |
у + p (S – у) |
|
3 |
S – 2у |
p (S |
S – 3у |
у + p (S – 2у) |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
16 |
S – 15 ∙ у |
p (S |
S – 16у = 0 |
у + p (S – 15 ∙ у) |
1) В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
S – 16у = 0,
из которой следует, что
S = 16 у.
Найдём сумму
начисленных процентов:
р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – 15 ∙ у)
=
=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– 15 ∙ у)
=
=
р ∙
(16∙S
– ( у + 2у + … + 15 ∙
у)) =
в
скобках представлена сумма 15 первых
членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен у, а последний – равен 15
∙ у.
=
р ∙
(16∙S – 
∙
15) =
=
р ∙
(16∙S
– 
∙
15) =
=
р ∙
(16∙S – 7,5 ∙ 16у))
=
=
р ∙ (16∙S
– 7,5∙S)
= р ∙ 8,5∙
S,
0,02
∙ 8,5∙
S
= 2,34
S = 2 млн. рублей.
Ответ:
2 млн. рублей.
Задача 8 (для самостоятельного решения).
15 января планируется
взять кредит в банке на 10 месяцев. Условия его возврата таковы:
§
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с
концом предыдущего месяца;
§
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
§
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует
взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,83
млн. рублей?
Ответ:
1 500 000 рублей.
Задача 9.
В июле планируется
взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в
соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
Июль 2021 |
Июль 2022 |
Июль 2023 |
Июль 2024 |
|
Долг (в тыс.рублей) |
S |
0,7 S |
0,4 S |
0 |
Найдите наименьшее
число S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч
рублей.
Решение.
Пусть S –
сумма кредита.
n = 3 года.
r = 15 %;
р = r/100 =
0,15.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (тыс. руб.) |
Начисленные проценты (тыс. руб.) |
Долг после выплаты (тыс. руб.) |
Выплаты (тыс. руб.) |
|
1 |
S |
0,15 ∙ S |
0,7 ∙ S |
(S – 0,7 S) + 0,15 = 0,45 S |
|
2 |
0,7 ∙ S |
0,15 ∙ 0,7 ∙ S = |
0,4 ∙ S |
(0,7S – 0,4 S) + 0,105 S = = 0,405 S |
|
3 |
0,4 ∙ S |
0,15 ∙ 0,4 ∙ S = 0,06 S |
0 |
(0,4S – 0) + 0,06 S = = 0,46 S |
Запишем каждую из выплат в виде обыкновенной дроби:
0,45 S = 
∙ S = 
∙ S,
0,405 S = 
∙ S = 
∙ S,
0,45 S = 
∙ S = 
∙ S.
Для того,
чтобы каждое из этих чисел было целым, число S должно делиться
на знаменатель каждой из трёх дробей, т.е. должно равняться их наименьшему
общему кратному.
S = НОК
(20, 200, 50) = 200.
Ответ:
200 тысяч рублей.
Задача 10 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на 17,5 % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в
соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
Июль 2021 |
Июль 2022 |
Июль 2023 |
Июль 2024 |
|
Долг (в тыс.рублей) |
S |
0,9 S |
0,4 S |
0 |
Найдите наименьшее
число S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч
рублей.
Ответ:
400 тысяч рублей.
Задача 11.
15 января планируется
взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата
таковы:
§
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r
% по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);
§
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
§
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
январь |
февраль |
март |
апрель |
май |
июнь |
июль |
|
Долг (в млн. рублей) |
1 |
0,6 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0 |
Найдите наименьшее значение
r, при котором сумма выплат будет меньше 1,25 млн. рублей.
Решение.
Пусть S = 1
млн. рублей.
n = 6
месяцев.
r –
процентная ставка,
р = r/100.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
1 |
1∙ p |
0,6 |
(1 – 0,6) + 1∙ p = = 0,4 + |
|
2 |
0,6 |
0,6∙ p |
0,4 |
(0,6 – 0,4) + 0,6∙ p = = 0,2 +0,6∙ p |
|
3 |
0,4 |
0,4∙ p |
0,3 |
(0,4 – 0,3) + 0,4∙ p = = 0,1 +0,4∙ p |
|
4 |
0,3 |
0,3∙ p |
0,2 |
(0,3 – 0,2) + 0,3∙ p = = 0,1 +0,3∙ p |
|
5 |
0,2 |
0,2∙ p |
0,1 |
(0,2 – 0,1) + 0,2∙ p = = 0,1 +0,2∙ p |
|
6 |
0,1 |
0,1∙ p |
0 |
(0,1 – 0) + 0,1∙ p = = 0,1 +0,1∙ p |
Общая
сумма выплат получается сложением суммы кредита и начисленных процентов за весь
срок кредитования.
1
+ (1∙ p
+ 0,6∙ p + 0,4∙ p
+ 0,3∙ p + 0,2∙ p
+ 0,1∙ p) = 1 + 2,6 ∙ p.
Согласно
условию, эта сумма меньше 1,25 млн. рублей.
1
+ 2,6 ∙ p < 1,25;
2,6
∙ p < 0,25;
p < 0,09615…
< 0,09615…
r < 9,615…
r = 9 %.
Ответ:
9 %.
Задача 12 (для самостоятельного решения).
15 января планируется
взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата
таковы:
§
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r
% по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);
§
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
§
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
январь |
февраль |
март |
апрель |
май |
июнь |
июль |
|
Долг (в млн. рублей) |
1 |
0,6 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0 |
Найдите наименьшее
значение r, при котором сумма выплат будет меньше 1,2 млн. рублей.
Ответ:
7 %.
Содержание:
-
Давайте знакомиться. Я тот репетитор, который сделает из вас чемпиона в сфере информатики и математики
-
Общее понятие о банковском кредите
-
Понятие дифференцированного платежа
-
Математическая модель дифференцированного платежа
-
Характеристики дифференцированного платежа
-
Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике
-
Остались вопросы, недопонимание? Записывайтесь ко мне на частные уроки!
Давайте знакомиться. Я тот репетитор, который сделает из вас чемпиона в сфере информатики и математики
Всех приветствую! Меня зовут Александр Георгиевич. Я профессиональный репетитор по математике, информатике, базам данных, программированию и алгоритмам. Уже на протяжении свыше (10) лет я оказываю фундаментальную помощь школьникам при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике и информатике, а студентов обучаю современным востребованным и актуальным языкам программирования.
Я понимаю, что вы крайне занятой человек, но, несмотря на это, настоятельно рекомендую вам потратить несколько минут собственного времени и ознакомиться с отзывами клиентов, прошедших под моим чутким контролем подготовку. Все они достигли поставленных целей. Вы тоже сможете достичь своих целей при правильном подходе к обучению.
Также ко мне за помощью регулярно обращаются студенты, у которых возникают трудности с реализацией всевозможных работ по программированию на таких языках программирования, как C («чистый» СИ), С++, С#, Pascal. Предлагаю вашему вниманию мультимедийную презентацию, в которой я коротко и доступно поясняю все моменты нашего взаимовыгодного сотрудничества.
Обратите внимание на комментарии под данным видео. Это отзывы моих довольных клиентов.
Разумеется, что я не знаю ваших финансовых возможностей, поэтому специально для вас я разработал многофакторную систему, которая предлагает моим потенциальным клиентам (144) варианта взаимовыгодного сотрудничества. Даже самый притязательный потребитель сумеет подобрать тот вариант, который полностью удовлетворит его финансовые ограничения.
Не забывайте о том, что я достаточно востребованный репетитор, поэтому не откладывайте свое решение о записи ко мне на частную подготовку в долгий ящик, а действуйте незамедлительно. Берите сотовый телефон, набирайте мой контактный номер и записывайтесь на первый пробный урок!
Общее понятие о банковском кредите
Современная школьная математика не стоит на месте, а претерпевает поступательные изменения. В настоящий момент времени каждый одиннадцатиклассник, которому в обязательном порядке предстоит сдача ЕГЭ по математике, должен иметь устойчивые базовые знания в области финансовой математики. В частности понимать, что такое банковский кредит и вклад.
Банковский кредит – определенная сумма денег, выдаваемая банком, которую получает заемщик под определенный процент за пользование данной суммой.
Суммы, выдаваемые банком, имеют широчайший диапазон охвата – от нескольких тысяч рублей до сотен миллионов долларов. Также разнится и процентная ставка на выдаваемые ссуды.
В целом нужно понимать, что финансовые институты (банковские структуры) по факту существуют лишь по той причине, что им удается зарабатывать за счет денег, которые переплачивает заемщик. Ведь каждое лицо (физическое или юридическое) всегда несет переплату по взятому кредиту.
Помимо того, что заемщик полностью выплатит взятый кредит, он также дополнительно заплатит сумму денег, которая «накапала» за счет влияния процентной ставки.
Мое личное мнение: банковский кредит – зло, которое нужно избегать до последней возможности, и прибегать к кредитованию следует лишь в исключительных ситуациях. Повышайте финансовую грамотность, чтобы здраво оценивать решения по взятию кредитов на какие-либо нужды.
Понятие дифференцированного платежа
Среди разделов математики, которые необходимо знать для успешной сдачи ЕГЭ, встречается раздел «Финансовая математика». Зачастую школьники не предполагают, решая ту или иную задачу, что данная задача акцентирована на понимании дифференцированного платежа.
Модель дифференцированного платежа практически на (100%) связана с банковским кредитом, так как эта модель платежа подразумевает выплату кредита особым образом.
Давайте смоделируем ситуацию: мы взяли кредит на (480,000) рублей, сроком на (1) год с ежемесячной выплатой, процентная ставка банка равна (5%). Конечная цель – узнать, какую сумму мы в итоге заплатим банку, после погашения всего кредита.
Да, это лишь модель, и в реальной жизни подобная ситуация маловероятна, так как это «обдираловка» со стороны банка. Никакой заемщик, будучи в здравом уме и трезвой памяти, не будет ввязываться в такую закредитованность.
Хочу добавить, что сейчас проводится обобщенное исследование модели дифференцированного платежа, но мы пока не касаемся правильных методик и приемов, позволяющих максимально эффективно решать ЕГЭшные задачи подобного плана.
Также утвердим схему платежа – дифференцированный платеж. То есть мы, как заемщик, будем выплачивать в процессе всего срока кредитования суммы денег, которые подчиняются данной схеме.
При расчете дифференцированного платежа общая сумма первоначального кредита делится на абсолютно равные части. Как правило, количество частей равно количеству проводимых платежей. В нашем примере тело стартового кредита будет разбито на (12) долей, так как был взят кредит сроком на (1) год, а, как известно, один календарный год состоит из (12) месяцев.
Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита мы будем выплачивать банку ровно одну часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.
Вообще, сразу хочу заметить, что в конечном итоге нам придется заплатить банку сумму, которую грубо можно разбить на (2) составляющих.
<Общая выплата по кредиту> = <Тело кредита> + <Начисленные банком проценты>
Это очень важная формула, и надо постараться фундаментально ее понять, так как на ее понимании строится решение очень многих школьных задач из раздела «Финансовая математика».
Из этой формулы вытекает умозаключение о том, что в итоге мы переплатим банку ту сумму, которая будет равна начисленным процентам по взятой ссуде. Это именно та часть денег, которую банк дополнительно получает с лиц, которым выдает кредиты, за пользование этими кредитами.
Но необходимо понимать и не путать следующее: «разбитый» кредит – фактически тот же самый первоначальный кредит. Это одна и та же сумма денег. Просто при исследовании дифференцированного платежа для более глубокого понимания требуется разбиение первоначальной суммы на необходимое количество частей.
Давайте для удобства договоримся о том, что кредит мы взяли (1) сентября, банк начисляет свой процент в предпоследний день каждого месяца, а платеж мы проводим в последний день месяца. Небольшое дополнение: год не является високосным.
Итак, наступило (29) сентября (это предпоследний день данного месяца), следовательно, банк производит начисление процентов на текущий объем кредита. Фактически проценты начисляются на первоначальный кредит, так как нами еще ни один платеж не был проведен. Напомню, что процентная ставка банка составляет ровно (5%).
<Сумма долга> = <Сумма долга> + <Процентное начисление>
На текущий момент <Сумма долга> составляет (480,000) рублей. Рассчитаем <Процентное начисление>. В данной статье я не буду приводить формулы, используя которые можно получать процентные начисления, а сразу произведу необходимые выкладки.
<Процентное начисление> = <Сумма долга> • <Процентная ставка, выраженная в долях>
<Процентное начисление> = (480,000 • 0.05 = 24,000) рублей
То есть банк к нашему исходному кредиту-долгу добавляет (24,000) рублей. В итоге «новая» сумма долга составит:
<Новая сумма долга> = (480,000 + 24,000 = 504,000) рублей. То есть мы первоначально взяли ссуду на сумму в (480,000) рублей, а в предпоследний день сентября она стала (504,000) рублей. Так работают все кредитные модели. Приходится в итоге всегда переплачивать!
Наступило (30) сентября (последний день данного месяца), и пришла пора проводить первый платеж. Сколько мы должны заплатить банку? Ответ лежит на поверхности, если есть понимание принципа работы дифференцированного платежа.
Во-первых, мы должны погасить объем начисленных процентов. Это как минимум! Иначе тело кредита будет возрастать, и мы никогда физически не сможем погасить нашу задолженность.
Во-вторых, мы должны погасить одну часть стартового кредита. Поскольку кредитный период длится (12) месяцев, то первоначальный кредит дифференцирован (вообще, слово «дифференцировать» означает расчленять, разделять) на (12) кусков/частей. То есть нам следует проплатить (1/12) часть от взятого кредита.
Подытожим формулой:
<Размер 1-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>
<Размер 1-го платежа> = (24,000 + 1/12 • 480,000 = 24,000 + 40,000 = 64,000) рублей
Сумма внушительная! Но это одно из свойств дифференцированного платежа. Первый платеж является наиболее объемным. Последующие платежи пойдут на уменьшение. С позиции психологии для заемщика наиболее трудными выплатами являются первые, но зато под конец срока кредитования сумма платежа значительно сократится.
Что мы имеем в итоге по телу кредита. Мы были должны банку после начисления процентов (504,000) рублей, затем провели платеж на сумму (64,000) рублей, следовательно, текущий долг составит:
<Текущий долг по кредиту> = (504,000 – 64,000 = 440,000) рублей
Первоначальный кредит в размере (480,000) рублей уменьшился ровно на (1/12) часть! Это очень важно понимать в алгоритме расчета дифференцированного платежа.
С первой выплатой мы разобрались! Сейчас я также детально покажу расчеты, связанные со второй выплатой, а затем приведу исключительно математические выкладки, так как схема построения платежа является одинаковой во всех случаях.
Итак, наступило (30) октября (это предпоследний день данного месяца), следовательно, банк производит начисление процентов на текущий объем кредита. Фактически, проценты начисляются на (11/12) от первоначального кредита ((440,000) рублей), так как нами уже один платеж был проведен.
<Сумма долга> = <Сумма долга> + <Процентное начисление>
На текущий момент <Сумма долга> составляет (440,000) рублей. Рассчитаем <Процентное начисление>. Процентная ставка банка от месяца к месяцу не варьируется и составляет все те же (5%).
<Процентное начисление> = <Сумма долга> • <Процентная ставка, выраженная в долях>
<Процентное начисление> = (440,000 • 0.05 = 22,000) рублей
То есть банк к нашему текущему кредиту-долгу добавляет (22,000) рублей. В итоге «новая» сумма долга составит:
<Новая сумма долга> = (440,000 + 22,000 = 462,000) рублей
Наступило (31) октября (последний день данного месяца), и пришла пора проводить второй платеж. Сколько мы должны заплатить банку? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся алгоритмом, который мы применяли в процессе расчетов при первом платеже.
Во-первых, мы должны погасить объем начисленных процентов. Это как минимум! Иначе тело кредита будет возрастать, и мы никогда физически не сможем погасить нашу задолженность.
Во-вторых, мы должны погасить одну часть стартового кредита. Поскольку кредитный период длится (12) месяцев, то первоначальный кредит дифференцирован на (12) кусков/частей. То есть нам следует проплатить (1/12) часть от взятого кредита.
Подытожим формулой:
<Размер 2-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>
<Размер 2-го платежа> = (22,000 + 1/12 • 480,000 = 22,000 + 40,000 = 62,000) рублей
Сумма опять внушительная, но уже меньше на (2,000) рублей по сравнению с первым траншем!
Что мы имеем в итоге по телу кредита. Мы были должны банку после начисления процентов (462,000) рублей, затем провели платеж на сумму (62,000) рублей, следовательно, текущий долг составит:
<Текущий долг по кредиту> = (462,000 – 62,000 = 400,000) рублей
Текущий кредит в размере (440,000) рублей снова уменьшился ровно на (1/12) часть от первоначального кредита, то есть снизился на (40,000) рублей! Анализ построения (2-го) платеж закончен.
Дальнейшие расчеты я сведу в аналитическую таблицу, которая отразит все изменения и начисления. Также в эту таблицу я внесу абсолютно все выкладки, учитывая и (1-й), и (2-й) платеж. Внимательно изучите эту таблицу!
|
№ платежа |
Текущий долг перед банком, рублей |
Сумма начисленных процентов, рублей |
Сумма платежа, рублей |
«Новый» долг перед банком, рублей |
|
1 |
480 000 |
24 000 |
64 000 |
440 000 |
|
2 |
440 000 |
22 000 |
62 000 |
400 000 |
|
3 |
400 000 |
20 000 |
60 000 |
360 000 |
|
4 |
360 000 |
18 000 |
58 000 |
320 000 |
|
5 |
320 000 |
16 000 |
56 000 |
280 000 |
|
6 |
280 000 |
14 000 |
54 000 |
240 000 |
|
7 |
240 000 |
12 000 |
52 000 |
200 000 |
|
8 |
200 000 |
10 000 |
50 000 |
160 000 |
|
9 |
160 000 |
8 000 |
48 000 |
120 000 |
|
10 |
120 000 |
6 000 |
46 000 |
80 000 |
|
11 |
80 000 |
4 000 |
44 000 |
40 000 |
|
12 |
40 000 |
2 000 |
42 000 |
0 |
В самой нижней правой ячейке фигурирует число (0) – это означает, что кредит полностью выплачен/погашен. Анализируя информацию из приведенной таблицы, нетрудно заметить определенную тенденцию, и, скорее всего, даже не одну! Бросается в глаза разница между первым и последним платежом. Да, это одно из свойств дифференцированного платежа.
Также замечательно прослеживается динамика изменения объема выплаты, причем динамика не только убывающая, но и подчиняется арифметической прогрессии с отрицательным шагом.
На своих частных уроках я очень детально объясняю подобные закономерности и показываю методики, позволяющие их выявлять.
Но вернемся к вопросу, поставленному в условии задачи! Вопрос звучал так: какую сумму мы в итоге заплатим банку после погашения всего кредита?
Чтобы ответить на этот вопрос, нам достаточно просуммировать значения из колонки «Сумма начисленных процентов, рублей» и затем к этой величине приплюсовать первоначальный кредит. Существуют очень эффективные методики подобных вычислений, но я приведу решение в лоб:
<Общая сумма всех платежей> = (24,000 + 22,000 + … + 4,000 + 2,000 + 480,000 = 156,000 + 480,000 = 636,000) рублей
Это ответ на поставленный вопрос.
Краткий вывод: общая сумма переплат – (156,000) рублей, что составляет (32.5%) от первоначального тела кредита. Разумеется, банковский кредит на таких условиях крайне невыгоден заемщику. Но мы рассматривали лишь общую модель дифференцированного платежа. Не забывайте об этом!
Математическая модель дифференцированного платежа
А теперь мы займемся настоящей математикой! 
Сосредоточьтесь. Наша цель — вывести базовые математические зависимости, описывающие схему дифференцированных платежей. Мы должны научиться отвечать математическими формулами на следующие вопросы:
-
Как узнать общую величину переплаты по взятому кредиту?
-
Как узнать размер (i)-го платежа, то есть платежа, проводимого в заданный отчетный период?
-
Как получить общий размер всех выплат по взятому кредиту?
-
Как получить размер начисленных банком процентов в заданный отчетный период?
Давайте введем следующие обозначения:
| (S) — размер первоначального кредита | (r) — процентная ставка банка, выраженная в долях | (R = 1 + r) — для удобства расчетов |
| (n) — общее количество отчетных периодов | (i) — номер текущего отчетного периода | (%_{i}) — размер начисленных банков процентов за конкретный период |
| (p_{i}) — размер платежа за конкретный период | (P) — общая сумма всех выплат/платежей | (q) — ставка банка, выраженная в процентах |
Сразу оговорюсь, что наиболее важными параметрами являются (S), (n) и (r), так как на их основе будет происходить формирование математической модели дифференцированных платежей.
Абстрактный пример (условие задачи в общем виде)
В январе планируется взять кредит в банке на сумму (S) миллионов рублей для покупки элитной недвижимости на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:
-
Каждый июнь долг возрастает на (q%) по сравнению с концом предыдущего года.
-
С июля по декабрь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В январе каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на январь предыдущего года.
Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?
Выше в данной статье мною было подмечено, что необходимо очень уверенно понимать следующую зависимость:
<Общая выплата по кредиту> = <Тело кредита> + <Начисленные банком проценты>
В этой зависимости <Тело кредита> нам известно и равно (S) из условия задачи. Как будет происходить банковское начисление процентов? Оно будет осуществляться каждый отчетный период на размер остатка кредита.
Кстати, давайте сразу переведем банковскую процентную ставку в доли: $r = frac{q}{100}$. Напомню, что процент — сотая часть числа, а под долей в схеме дифференцированных платежей понимается сотая часть процента.
1-й отчетный период ($i = 1$). Текущий размер долга составляет ровно (S). Следовательно, процентная ставка действует на весь стартовый кредит.
$%_{1} = frac{n}{n} · S · r$ — эта та сумма денег, которую банк прибавит к нашему займу в $1$-й отчетный период.
Затем нам в обязательном порядке следует провести платеж. Как было рассмотрено выше, платеж за любой отчетный период формируется из размера начисленных процентов за данный период и равной части первоначального кредита.
$p_{1} = %_{1} + frac{S}{n}$ — размер 1-го платежа.
В итоге первоначальный кредит $S$ уменьшается на равную часть $frac{S}{n}$ и составляет $S — frac{S}{n} = frac{n}{n} · S — frac{S}{n} = frac{S · n — S}{n} = frac{S · (n — 1)}{n} = frac{(n — 1)}{n} · S$.
2-й отчетный период ($i = 2$). Текущий размер долга составляет $frac{(n — 1)}{n} · S$. Значит, процентная ставка банка влияет на данный долг.
$%_{2} = frac{(n — 1)}{n} · S · r$ — эта та сумма денег, которую банк прибавит к нашему займу во $2$-й отчетный период.
$p_{2} = %_{2} + frac{S}{n}$ — размер $2$-го платежа.
В итоге текущий размер кредита $frac{(n — 1)}{n} · S$ уменьшается на равную часть $frac{S}{n}$ и составляет $frac{(n — 1)}{n} · S — frac{S}{n} = frac{S · (n — 1) — S}{n} = frac{S · ((n — 1) — 1)}{n} = frac{(n — 2)}{n} · S$.
Думаю, что детальное рассмотрение двух отчетных периодов достаточно, чтобы вы уловили суть подобных преобразований. Напомню, что мы разбираем решение задачи в общем виде, и наша конечная цель — построить рабочую математическую модель. Предлагаю проанализировать $2$ последних отчетных периода.
Предпоследний отчетный период $(i = (n — 1))$. Как понять, чему равняется текущий кредитный долг? Поскольку идет предпоследний период, то нам предстоит провести $2$ платежа, следовательно, от первоначального кредита осталось на данный момент лишь $2$ части, то есть $frac{2}{n} * S$ — текущий долговой остаток.
$%_{(n — 1)} = frac{2}{n} * S * r$ — эта та сумма денег, которую банк прибавит к нашему займу в предпоследний отчетный период.
$p_{(n — 1)} = %_{n — 1} + frac{S}{n}$ — размер предпоследнего платежа.
В итоге текущий размер кредита $frac{2}{n} * S$ уменьшается на равную часть $frac{S}{n}$ и составляет $frac{2}{n} * S — frac{S}{n} = frac{2 * S — S}{n} = frac{S}{n} = frac{1}{n} * S$.
Последний отчетный период $(i = n)$. Текущий размер долга составляет $frac{1}{n} * S$.
$%_{n} = frac{1}{n} * S * r$ — эта та сумма денег, которую банк прибавит к нашему займу в самый последний отчетный период.
$p_{n} = %_{n} + frac{S}{n}$ — размер завершающего платежа.
В итоге текущий размер кредита $frac{1}{n} * S$ уменьшается на равную часть $frac{1}{n} * S$ и составляет $frac{1}{n} * S — frac{1}{n} * S = 0$. Все, кредит полностью погашен! Ура!
Сейчас сведем все полученные выкладки в единую формулу! Давайте ответим на самый популярный вопрос в задачах, ориентированных на дифференцированные платежи: «Как получить общий размер всех выплат по взятому кредиту?«.
$P = sumlimits_{i = 1}^n (%{i}) + S = underbrace{%_{1} + %_{2} + cdots + %_{(n — 1)} + %_{n}}_{сумма процентных начислений} + S =$
$ = underbrace{frac{n}{n} * S * r + frac{(n — 1)}{n} * S * r + cdots + frac{2}{n} * S * r + frac{1}{n} * S * r}_{сумма процентных начислений} + S$ — то есть находим сумму всех банковских процентных начислений и не забываем приплюсовать размер стартовой ссуды.
Продолжим упрощение формулы, по которой можно рассчитать общий размер всех выплат.
$P = frac{S · r}{n} ·underbrace{(n + (n — 1) + cdots + 2 + 1)}_{сумма убывающей арифметической прогрессии}+ S = frac{S · r}{n} · (frac{n + 1}{2} · n) + S = frac{S · r · (n + 1)}{2} + S$.
$P = frac{S * r * (n + 1)}{2} + S$ — наиважнейшая формула, используемая в схеме дифференцированных платежей.
Рекомендую зазубрить эту формулу, как «отче наш». Благодаря этой зависимости некоторые типы задач можно решать буквально за несколько минут. При этом не придется выводить громоздкие зависимости и производить неудобные математические вычисления. Не стоит забывать, что калькулятором на официальном экзамене ЕГЭ по математике пользоваться категорически запрещено.
Теперь можно с легкостью отвечать практически на любые вопросы, ориентированные на процессы в системе дифференцированных платежей. Например, по условию задачи вас просят отыскать общую величину переплаты по взятому кредиту. В этом случае достаточно воспользоваться 1-й частью выведенной зависимости, а именно: <Переплата> = $frac{S * r * (n + 1)}{2}$. Также хочу заметить, что общая величина переплаты и общий размер начисленных банком процентов за весь период кредитования — абсолютные математические синонимы, просто формулируются по-разному.
Очень часто в условии задачи говорится о конкретном платеже, например, размер $8$-го платежа составил 120 000 рублей. Можно практически моментально получить формулу, которая описывает $8$-й платеж! Во-первых, нужно знать из каких составляющих состоит платеж как таковой:
<Размер 8-го платежа> = <Сумма начисленных процентов> + <Одна часть первоначального кредита>
Одну часть первоначального кредита получаем по формуле $frac{S}{n}$, а размер начисленных процентов можно получить из этой формулы $%_{8} = frac{n — 8 + 1}{n} * S * r = frac{n — 7}{n} * S * r$. В итоге $p_{8} = frac{n — 7}{n} * S * r + frac{S}{n}$. Все очень просто, если фундаментально понимать модель дифференцированных платежей 
.
На этом процесс построения математической модели дифференцированных платежей успешно завершен!
Характеристики дифференцированного платежа
Сейчас я предлагаю вашему вниманию ключевые маркеры, которыми характеризуется дифференцированный платеж.
-
Тело первоначального кредита уменьшается равными долями, количество которых совпадает с количеством платежей (платежи проводятся еженедельно, ежемесячно, ежегодно и т. п.).
-
Первая кредитная выплата является наибольшей из всех выплат, а последняя, соответственно, наименьшей.
-
При построении математической модели дифференцированного платежа на «полную катушку» включается механизм арифметической прогрессии, который нужно суметь заметить.
-
Суммы всех выплат различны, то есть размер каждой выплаты отличается от всех остальных.
-
Современная банковская система крайне редко предлагает своим клиентам схему дифференцированного платежа, так как она наиболее выгодна заемщику, нежели банку.
Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике
В данном разделе я приведу лишь условия некоторого количества задач, которые наиболее часто встречаются на официальном экзамене ЕГЭ по математике. В каждой из задач акцентировано внимание на модели дифференцированного платежа, и только на нем.
А ведь существует масса комбинированных финансовых задач, в процессе решения которых дифференцированный платеж занимает лишь какую-то часть решения. Все подобные задачи я разбираю со своими учениками на частных занятиях.
Пример №1
В мае планируется взять кредит в банке на сумму $10$ миллионов рублей на $5$ лет.
Условия его возврата таковы:
-
Каждый декабрь долг возрастает на $10%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С января по март каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.
Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?
Перейти к текстовому решению
Пример №2
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:
-
Каждый январь долг возрастает на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил $1.8$ миллиона рублей?
Перейти к текстовому решению
Пример №3
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $20$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
-
Каждый январь долг возрастает на $30%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $47$ миллионов рублей?
Перейти к текстовому решению
Пример №4
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $16$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
-
Каждый январь долг возрастает на $25%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $38$ миллионов рублей?
Перейти к текстовому решению
Пример №5
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей на срок $15$ лет.
Условия его возврата таковы:
-
Каждый январь долг возрастает на $q%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найти $q$, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более $1.9$ миллиона рублей, а наименьший не менее $0.5$ миллиона рублей.
Перейти к текстовому решению
Пример №6
$15$ января планируется взять кредит в банке на покупку нового автомобиля на $39$ месяцев.
Условия его возврата таковы:
-
$1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $q%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.
-
Со $2$-го по $14$-е число месяца необходимо выплатить часть долга.
-
$15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на $20%$ больше суммы, взятой в кредит. Найдите $q$.
Перейти к текстовому решению
Пример №7
Анатолий взял банковский кредит сроком на $9$ лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на $17%$, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?
Перейти к текстовому решению
Пример №8
Анна взяла кредит в банке на срок $12$ месяцев ($1$ календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется $q%$ этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.
Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на $13%$ больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть $q$.
Перейти к текстовому решению
Пример №9
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $28$ миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
-
Каждый январь долг возрастает на $25%$ по сравнению с концом предыдущего года.
-
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
-
В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит $9$ миллионов рублей?
Перейти к текстовому решению
Пример №10
(15) января планируется взять кредит в банке на $15$ месяцев.
Условия его возврата таковы:
-
$1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $1%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.
-
Со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.
-
$15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила $108,000$ рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Перейти к текстовому решению
Вы, наверное, удивитесь, но приведенные задачи решаются достаточно просто, если у вас присутствует детальнейшее понимание анатомии дифференцированного платежа. Я даже скажу больше, ответы для некоторых из приведенных мною задач можно посчитать в уме, не прибегая к каким-либо записям и вычислениям на бумаге/компьютере.
Хотите научиться безошибочно решать подобный класс упражнений? Тогда записывайтесь ко мне на индивидуальную подготовку! Я – репетитор-практик, и главная цель моих занятий – выработать у вас навыки успешного решения экономических задач.
Остались вопросы, недопонимание? Записывайтесь ко мне на частные уроки!
В данной обзорной статье я балансировал между обобщенными сведениями, касающимися дифференцированного платежа, и конкретным разбором «боевой» задачи.
Разумеется, требуется прорешать минимум с десяток задач подобного класса, чтобы фундаментально прочувствовать квинтэссенцию схемы дифференцированного платежа, осознать суть математической модели.
На своих уроках я с учениками решаю задачи из раздела «Финансовая математика» абсолютно различной сложности. Начинаем с обзора элементарных задач на простые проценты и заканчиваем разбором цен на акции, находящиеся в портфеле у управляющего финансового менеджера. Регулярно приходится разбирать задачи на дифференцированный платеж олимпиадного уровня сложности, где стандартные модели перестают работать.
Чтобы записаться ко мне на частные уроки, берите сотовый телефон, дозванивайтесь до меня, задавайте любые интересующие тематические вопросы и записывайтесь на первый пробный урок.
Схема дифференцированного платежа будет крайне полезна всем школьникам, планирующим стать экономистами или связать свою трудовую деятельность с работой на фондовой бирже/рынке.
В любом случае и наука «Финансовая математика» в общем, и модель расчета погашения кредита дифференцированными платежами в частности может пригодиться вообще любому человеку, планирующему закредитоваться.
И не забывайте, что на официальном экзамене – ЕГЭ по математике вам гарантированно попадется экономическая задача, и вероятность того, что она будет ориентирована на дифференцированный платеж, крайне высока!