Дифференцируемая функция егэ

Каталог заданий.
Применение производной к исследованию функций

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

1. Найти производную функции $f'(х)$
2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
3. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
5. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

1. Найти производную функции $f'(х)$
2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
3. Разложить производную функции на множители.
4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^{n-1}, n∈N$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
${1}/x{^n}, n∈N$	$-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$
$√^n{x}, n∈N$	${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	${1}/{x}$
$log_{a}x$	${1}/{xlna}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

2. Производная произведения.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает.

Если ось ( Ox) направить вдоль дороги горизонтально, а ( Oy) – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Ось ( Ox) – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря. Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз.

Также мы можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат).

А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина?

Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние.

Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим ( displaystyle Delta x) (читается «дельта икс»).

Греческую букву ( displaystyle Delta ) (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение».

То есть ( displaystyle Delta x) – это изменение величины ( displaystyle x), ( displaystyle Delta y) – изменение ( displaystyle y); тогда что такое ( displaystyle Delta f)? Правильно, изменение величины ( displaystyle f).

Важно: выражение ( displaystyle Delta x) – это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы!

То есть, например, ( displaystyle frac{Delta x}{Delta y}ne frac{x}{y})

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на ( displaystyle Delta x). Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции ( displaystyle fleft( x right)), то как мы обозначим подъем?

Конечно, ( displaystyle Delta f). То есть, при продвижении вперед на ( displaystyle Delta x) мы поднимаемся выше на ( displaystyle Delta f).

Величину ( displaystyle Delta f) посчитать легко: если в начале мы находились на высоте ( displaystyle {{f}_{1}}), а после перемещения оказались на высоте ( displaystyle {{f}_{2}}), то ( displaystyle Delta f={{f}_{2}}-{{f}_{1}}).

Если конечная точка оказалась ниже начальной, ( displaystyle Delta f) будет отрицательной – это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

( displaystyle K=frac{Delta f}{Delta x}).

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на ( 1) км дорога поднимается вверх на ( 1) км. Тогда крутизна в этом месте равна ( 1).

А если дорога при продвижении на ( 100) м опустилась на ( 0,5)км?

Тогда крутизна равна ( displaystyle K=frac{-text{500м}}{text{100м}}=-5).

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма.

Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности.

Просто на расстоянии в ( 1) км может очень многое поменяться.

Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны.

Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить.

Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр?

Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до миллиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству.

Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать.

Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше?

А ты подели это число на ( 2) – и будет еще меньше. И так далее.

Если хотим написать, что величина ( x) бесконечно мала, пишем так: ( displaystyle xto 0) (читаем «икс стремится к нулю»).

Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому – бесконечно большое (( displaystyle xto infty )).

Ты уже наверняка сталкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать.

Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится.

Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при ( displaystyle xto 0:text{ }frac{1}{x}to infty ), и наоборот: при ( displaystyle xto infty :text{ }frac{1}{x}to 0).

Теперь вернемся к нашей дороге.

Идеально посчитанная крутизна – это крутизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

( displaystyle K=frac{Delta f}{Delta x}text{ при }Delta xto 0).

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало.

Но напомню, бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число.

Например, ( displaystyle 2). То есть одна малая величина может быть ровно в ( displaystyle 2) раза больше другой.

К чему все это?

Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Давай посмотрим как.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение.

То, насколько изменился аргумент (( displaystyle x)) при продвижении вдоль оси ( displaystyle Ox), называется приращением аргумента и обозначается ( displaystyle Delta x.)

То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси ( displaystyle Ox) на расстояние ( displaystyle Delta x), называется приращением функции и обозначается ( displaystyle Delta f).

Итак, производная функции ( displaystyle fleft( x right)) – это отношение ( displaystyle Delta f) к ( displaystyle Delta x) при ( displaystyle Delta xto 0).

Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: ( displaystyle {f}’left( x right)) или просто ( displaystyle {f}’).

Как и в аналогии с дорогой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

так как приращение такой функции равно нулю при любом ( Delta x).

А еще?

Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси ( Ox):

Но большие отрезки – признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой.

Но при этом он остался параллелен оси ( Ox), то есть разность высот на его концах ( displaystyle Delta f) равна нулю (не стремится, а именно равна).

Значит, производная

( displaystyle {f}’left( {{x}_{text{вершины}}} right)=frac{Delta f}{Delta x}=frac{0}{Delta x}=0).

Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее – убывает.

Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко).

Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть ( displaystyle 0). Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает – в точке вершины.

То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа – возрастает):

Итак, мы меняем аргумент на величину ( Delta x).

Меняем от какого значения?

Каким он (аргумент) теперь стал?

Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

Рассмотрим точку с координатой ( displaystyle {{x}_{0}}). Значение функции в ней равно ( fleft( {{x}_{0}} right)).

Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату ( {{x}_{0}}) на ( Delta x).

Чему теперь равен аргумент?

Очень легко: ( {{x}_{0}}+Delta x).

А чему теперь равно значение функции?

Куда аргумент, туда и функция: ( fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)).

А что с приращением функции?

Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

( Delta f=fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)-fleft( {{x}_{0}} right)).

Производные степенной функции

Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

Причем – в любой степени: ( fleft( x right)={{x}^{a}},text{ }ain mathbb{R}).

Производная функции первой степени

Итак, аргумент меняется с ( {{x}_{0}}) до ( {{x}_{0}}+Delta x). Каково приращение функции?

Приращение – это ( Delta f=fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)-fleft( {{x}_{0}} right)). Но функция в любой точке равна своему аргументу.

Поэтому:

( Delta f=left( {{x}_{0}}+Delta x right)-{{x}_{0}}=Delta x).

Производная равна:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)=frac{Delta f}{Delta x}=frac{Delta x}{Delta x}=1)

Производная от ( displaystyle x) равна ( displaystyle 1): ( displaystyle {x}’=1)

Производная функции больших степеней

Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

( begin{array}{l}{{left( {{x}^{4}} right)}^{prime }}=4{{x}^{3}}\{{left( {{x}^{5}} right)}^{prime }}=5{{x}^{4}}\{{left( {{x}^{6}} right)}^{prime }}=6{{x}^{5}}\…\{{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=n{{x}^{n-1}}end{array})

Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

( {{left( {{x}^{a}} right)}^{prime }}=a{{x}^{a-1}},text{ }ain mathbb{R}) (2)

Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на ( displaystyle 1)».

Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров.

Производная тригонометрических функций

Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

При ( xto 0) выражение ( frac{sin x}{x}to 1).

Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ 😉 ).

Сейчас только покажу это графически:

Видим, что при ( displaystyle x=0) функция не существует – точка на графике выколота. Но чем ближе ( displaystyle x) к значению ( displaystyle0), тем ближе функция к ( displaystyle 1). Это и есть то самое «стремится».

Впредь будем считать, что при ( xto 0) это выражение равно ( displaystyle 1): ( frac{sin x}{x}=1).

Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

Итак, пробуем: ( x=0,1:text{ }frac{sin x}{x}=frac{sin 0,1}{0,1}approx 0,9983);

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

Попробуй теперь сам для ( displaystyle xtext{ }=text{ }0,01;text{ }0,001;text{ }0,0001) и так далее.

( frac{sin 0,01}{0,01}approx 0,999983…;text{ }frac{sin 0,001}{0,001}approx 0,99999983…) и т.д. Видим, что чем меньше ( displaystyle x), тем ближе значение отношения к ( displaystyle 1).

Убедился? Идем дальше.

Производная синуса

Рассмотрим функцию ( y=sin x). Как обычно, найдем ее приращение:

( Delta y=sin left( x+Delta x right)-sin x).

Превратим разность синусов в произведение.

Для этого используем формулу (вспоминаем тему «Формулы тригонометрии»): ( sin alpha -sin beta =2sin frac{alpha -beta }{2}cdot cos frac{alpha +beta }{2}).

( Delta y=sin left( x+Delta x right)-sin x=2sin frac{x+Delta {x} -x}{2}cdot cos frac{x+Delta x+x}{2}=2sin frac{Delta x}{2}cdot cos left( x+frac{Delta x}{2} right))

Теперь производная:

( {y}’=frac{Delta y}{Delta x}=frac{2sin frac{Delta x}{2}cdot cos left( x+frac{Delta x}{2} right)}{Delta x}=frac{sin frac{Delta x}{2}}{frac{Delta x}{2}}cdot cos left( x+frac{Delta x}{2} right)).

Сделаем замену: ( t=frac{Delta x}{2}).

Тогда при бесконечно малом ( Delta xtext{ }left( Delta xto 0 right)) ( displaystyle t) также бесконечно мало: ( tto 0). Выражение для ( displaystyle {y}’) принимает вид:

( {y}’=frac{sin frac{Delta x}{2}}{frac{Delta x}{2}}cdot cos left( x+frac{Delta x}{2} right)=frac{sin t}{t}cdot cos left( x+t right)).

А теперь вспоминаем, что при ( tto 0) выражение ( frac{sin t}{t}=1). А также, что если бесконечно малой величиной ( displaystyle t) можно пренебречь в сумме ( x+t) (то есть ( x+tto x) при ( tto 0)).

( {y}’=underbrace{frac{sin t}{t}}_{to text{1}}cdot cos underbrace{left( x+t right)}_{to x}=1cdot cos x=cos x).

Итак, получаем следующее правило:

Производная синуса равна косинусу: ( {{left( sin x right)}^{prime }}=cos x)

Производная экспоненты и натурального логарифма

Есть в математике такая функция, производная которой при любом ( displaystyle  x) равна значению самой функции при этом же ( displaystyle  x). Называется она «экспонента», и является показательной функцией

( displaystyle  fleft( x right)={{e}^{x}}).

Основание этой функции – константа ( displaystyle  eapprox 2,7183…) – это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как ( displaystyle  pi )). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой ( displaystyle  mathbf{e}).

Итак, правило:

( displaystyle  {{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}={{e}^{x}})

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

Чему равен ( displaystyle  ln left( {{e}^{a}} right))? Конечно же, ( displaystyle  a).

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

( displaystyle  {{left( ln x right)}^{prime }}=frac{1}{x})

1. Константа выносится за знак производной

Если ( displaystyle  c) – какое-то постоянное число (константа), тогда.

( displaystyle  {{left( ccdot f right)}^{prime }}=ccdot {f}’)

Это правило употребляется чаще всех. Докажем его:

Пусть ( displaystyle  yleft( x right)=ccdot fleft( x right)), или проще ( displaystyle  y=cf).

( displaystyle  Delta y=yleft( x+Delta x right)-yleft( x right)=cfleft( x+Delta x right)-cfleft( x right)=cunderbrace{left( fleft( x+Delta x right)-fleft( x right) right)}_{text{Это} text{же}Delta f}=cDelta f).

( displaystyle  {y}’=frac{Delta y}{Delta x}=frac{cDelta f}{Delta x}=ccdot underbrace{frac{Delta f}{Delta x}}_{text{Это }{f}’}=ccdot {f}’), ч.т.д.

Пример 1

Найдите производную функции ( displaystyle  y=3{{x}^{2}}) в точке ( displaystyle  {{x}_{0}}=2).

Ты сперва сам попробуй решить, а потом посмотри решение:

3. Производная произведения

( displaystyle  {{left( fcdot y right)}^{prime }}={f}’cdot y+fcdot {y}’)

Хм, все сложнее и сложнее. Ну, давай разбираться.

Снова введем новую функцию: ( displaystyle  gleft( x right)=fleft( x right)cdot yleft( x right)), или проще ( displaystyle  g=fcdot y).

( displaystyle  Delta g=gleft( x+Delta x right)-gleft( x right)=fleft( x+Delta x right)cdot yleft( x+Delta x right)-fleft( x right)cdot yleft( x right)).

Вспомним, о чем говорили в самом начале этого раздела:

( displaystyle  {g}’={f}’y+f{y}’text{ }Rightarrow text{ }{{left( fy right)}^{prime }}={f}’y+f{y}’), ч.т.д.

5 Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак, ( displaystyle fleft( x right)={{a}^{x}}), где ( displaystyle a) – это какое-то число ( displaystyle left( a>0,text{ }ane 1 right)).

Мы уже знаем производную функции ( displaystyle {{e}^{x}}), поэтому давай попробуем привести нашу функцию ( displaystyle {{a}^{x}}) к новому основанию ( displaystyle e):

Для этого воспользуемся простым правилом: ( displaystyle a={{e}^{ln a}}). Тогда:

( displaystyle {{a}^{x}}={{left( {{e}^{ln a}} right)}^{x}}={{e}^{xcdot ln a}}).

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция – сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

( displaystyle {{left( {{a}^{x}} right)}^{prime }}={{left( {{e}^{xcdot ln a}} right)}^{prime }}={{e}^{xcdot ln a}}cdot {{left( xcdot ln a right)}^{prime }}underset{т.к. ln a это константа}{mathop{=}},{{e}^{xcdot ln a}}cdot ln a={{a}^{x}}cdot ln a.).

( displaystyle {{left( {{a}^{x}} right)}^{prime }}={{a}^{x}}cdot ln a)

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было ( displaystyle {{a}^{x}}), так и осталось, появился только множитель ( displaystyle na), который является просто числом, но не переменной.

6. Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

( displaystyle {{left( ln x right)}^{prime }}=frac{1}{x}),

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, ( displaystyle a):

( displaystyle y={{log }_{a}}x),

Нужно привести этот логарифм к основанию ( displaystyle e). А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

( displaystyle {{log }_{a}}b=frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}).

Только теперь вместо ( displaystyle {{log }_{c}}) будем писать ( displaystyle ln):

( displaystyle y={{log }_{a}}x=frac{ln x}{ln a}),

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной ( displaystyle )). Производная получается очень просто:

( displaystyle {y}’={{left( {{log }_{a}}x right)}^{prime }}={{left( frac{ln x}{ln a} right)}^{prime }}=frac{1}{ln a}cdot {{left( ln x right)}^{prime }}=frac{1}{ln a}cdot frac{1}{x})

( displaystyle {{left( {{log }_{a}}x right)}^{prime }}=frac{1}{xcdot ln a})

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

7. Производная сложной функции

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат.

Итак, нам дают число ( displaystyle  x) (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось?

Функция ( displaystyle  y={{cos }^{2}}x). Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Другими словами, сложная функция – это функция, аргументом которой является другая функция: ( displaystyle  yleft( fleft( x right) right)).

Для нашего примера ( displaystyle  fleft( x right)=cos x), ( displaystyle  yleft( x right)={{x}^{2}}).

Тогда ( displaystyle yleft( fleft( x right) right)={{left( fleft( x right) right)}^{2}}={{left( cos x right)}^{2}}={{cos }^{2}}x).

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь ( displaystyle  x) в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: ( displaystyle  f=cos left( {{x}^{2}}right)). Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Второй пример: ( displaystyle  yleft( x right)={{x}^{2}};text{ }fleft( x right)=cos x)(то же самое). ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)=cos yleft( x right)=cos left({{x}^{2}}right)).

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией, а действие, совершаемое первым – соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

1. Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. 

Значит, внутренняя функция ( displaystyle  yleft( x right)=sin x), а внешняя ( displaystyle  fleft( x right)={{x}^{3}}).

А исходная функция является их композицией: ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)={{y}^{3}}left( x right)={{sin }^{3}}x).

1. Внутренняя: ( displaystyle  yleft( x right)=sqrt{x}); внешняя:( displaystyle  f(x)=tg x).

Проверка:( displaystyle  f(y(x))=tg(y(x))=tgsqrt{x}).

1. Внутренняя: ( displaystyle  yleft( x right)=cos x); внешняя: ( displaystyle  fleft( x right)=sqrt{x}).

Проверка: ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)=sqrt{yleft( x right)}=sqrt{cos x}).

1. Внутренняя: ( displaystyle  yleft( x right)={{x}^{3}}+2x+1); внешняя: ( displaystyle  fleft( x right)={{x}^{5}}).

Проверка: ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)={{left( yleft( x right) right)}^{5}}={{left( {{x}^{3}}+2x+1 right)}^{5}}).

1. Внутренняя: ( displaystyle  yleft( x right)=2{{x}^{2}}+3); внешняя: ( displaystyle  fleft( x right)=sqrt[3]{x}).

Проверка: ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)=sqrt[3]{yleft( x right)}=sqrt[3]{left( 2{{x}^{2}}+3 right)}).

( displaystyle  fleft( x right)=sqrt{cos x}) производим замену переменных ( displaystyle  y=cos x) и получаем функцию ( displaystyle  fleft( y right)=sqrt{y}).

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку – искать производную.

Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции.

Применительно к исходному примеру это выглядит так:

( displaystyle  {{left[ fleft( yleft( x right) right) right]}^{prime }}={f}’left( yleft( x right) right)cdot {y}’left( x right))

или проще:

( displaystyle  {{left[ fleft( y right) right]}^{prime }}={f}’left( y right)cdot {y}’)

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Алгоритм	Пример: ( displaystyle  sqrt{sin x})
1. Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.	Внутренняя функция: ( displaystyle  y=sin x).( displaystyle  {y}’=cos x)
2. Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.	Внешняя функция:( displaystyle  fleft( y right)=sqrt{y}={{y}^{frac{1}{2}}}).( displaystyle  {f}’left( y right)=frac{1}{2}{{y}^{-frac{1}{2}}}=frac{1}{2sqrt{y}}=frac{1}{2sqrt{sin x}})
3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.	( displaystyle  {f}’left( x right)=frac{cos x}{2sqrt{sin x}}).

Вроде бы всё просто, да?

Проверим на примерах:

Производная на ЕГЭ 2022. Урок 1 из 5. Геометрический смысл производной – основы

Знаете, с чего начнётся ваша учёба в универе? Я имею в виду не общагу, а первые лекции по математике. 

С производной (ну, почти сразу).

Но чтобы в этот самый универ поступить, нужно сдать ЕГЭ, в котором, оказывается, тоже есть производная. И если мы уже привыкли, что в первой части есть две задачи на неё, то во второй мы её не ожидаем увидеть.

Но она там частенько бывает нужна: в экономической задаче №16 (бывшая 17). А иногда и в 18 на параметр (бывшая 19).  Поэтому, плохо зная производную, вы рискуете лишиться 4 первичных баллов!

На этом курсе я вам очень просто и понятно расскажу, что такое производная, и вы научитесь решать задачи из ЕГЭ без ошибок!

Производная на ЕГЭ 2022. Урок 2 из 5. Более сложные задачи

На прошлом уроке мы познакомились с производной, узнали, что это такое, в чём её смысл и где она применяется.

А также мы научились решать один из самых распространённых типов задач № 6 из профильного ЕГЭ (бывший №7).

Теперь мы возьмёмся за более сложные типы задач, и увидим, что если мы поняли, что такое производная и в чём её “геометрический смысл” (если ещё не знаете – посмотрите первый урок), то любая задача №6 нам по зубам.

Производная на ЕГЭ 2022. Урок 3 из 5. Формулы производных и правила дифференцирования

Геометрический (а также физический) смысл производной мы с вами уже поняли, задачу №6 научились решать вдоль и поперёк. В основном это задачи с рисунками: по рандомному графику нужно определить, где функция возрастает, а где убывает.

Теперь же пришло время рассмотреть конкретные функции (заданные формулой, а не графиком) и научиться находить их производные. 

Мы с вами выучим формулы производных всех элементарных функций, а также все базовые правила дифференцирования. Это поможет нам научиться решать половину всех задач №11 (бывшая №12) из профиля.

Более того, вы узнаете, откуда все эти правила и формулы появились! Мало в какой школе это объясняют на уроках математики. Но это помогает очень хорошо понять и “почувствовать” производную, чтобы она уже никогда не казалась чем-то сложным и пугающим.

Производная на ЕГЭ 2022. Урок 5 из 5. Задача на оптимизацию с применением производной

Окей, вот мы и натренировались искать производные данных нам функций, понимаем, что это такое и как с их помощью находить минимумы и максимумы.

Но зачем?

Банальный ответ “чтобы решать задачи №6 и 11” звучит довольно глупо, если вспомнить, сколько я распрягал про смысл и понимание производной. Можно было бы просто зазубрить пару формул, запомнить схему решения задач и благополучно забыть их, выйдя с экзамена.

Но оказывается, что производная бывает нужна ещё и в других задачах, например – в экономической №15 (бывшая 17). А без понимания производной будет просто нереально догадаться, что её нужно в этой задаче применять!

Как не лишиться 2 первичных баллов – смотрите в этом видео на примере задачи №15 на оптимизацию.

ЕГЭ №6 (бывшая №7) Производная функции – геометрический смысл, дифференцирование (ЕГЭ – 2021)

На этом видео мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5. 

Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ. Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.  

Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.

Экономическая задача на производную (ЕГЭ №15, бывшая 17-я задача)

В 2017 году, придя на экзамен, выпускники облегченно выдохнули: они увидели под 17 номером стандартную задачу на кредиты. Они боялись, что им попадется такая же задача, как на пробном ЕГЭ.

Задача-убийца, которая была чуть ли не сложнее, чем 18 и 19 вместе взятые. Кстати, те, кто сдавал в резервный день, халявы уже не получили, им тоже досталась сложная задача.

На ЕГЭ можно ожидать чего угодно, поэтому готовьтесь с нами к самым сложным задачам. Смотрите это видео и вы научитесь решать самую сложную задачу на оптимизацию и подобные ей.

Производная функции на ЕГЭ

08.11.2013

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике на тему: «Производная функции».

Содержание темы:

17.  ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 
17.1.  Правила дифференцирования 
17.2.  Таблица производных элементарных и сложных функций
17.3.  Геометрический и физический смысл производной 
Тест для проверки теоретических знаний 
Примеры 
Задачи для самостоятельного решения
Контрольный тест 

Рекомендуем использовать этот материал при тщательной подготовке к сдаче ЕГЭ на высокий балл.

В теме содержатся теория и практические задания различного уровня сложности.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: Скачайте в pdf файле.

Блок 1. Физический смысл производной

1	Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t^3 — 9t^2 + 2t +30 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени её скорость была равна 50 м/с?	Смотреть видеоразбор
2	Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=−t^4+6t^3+5t+23, где x−расстояние от точки отсчета в метрах, t−время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.	Смотреть видеоразбор

Блок 2. Анализ графика функции, касательные

3	На графике дифференцируемой функции у=f(x) отмечены семь точек: х1 ,…,  х7. Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответе укажите количество этих точек.	Смотреть видеоразбор
4	На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.	Смотреть видеоразбор
5	На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной функции f(x) в точке X0.	Смотреть видеоразбор
6	На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной функции f(x) в точке X0.	Смотреть видеоразбор
7	На рисунке изображен график функции y = f(x) и отмечены точки -7, -3, 1, 5. В какой из этих точек значение производной этой функции наибольшее? В ответе укажите эту точку.	Смотреть видеоразбор
8	На рисунке изображен график функции y = f(x), одна из первообразных которой равна F(x). Найдите разность F(4) — F(-1).	Смотреть видеоразбор
9	На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).	Смотреть видеоразбор
10	На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.	Смотреть видеоразбор
11	На рисунке изображен график функции y = f(x). Касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой -1, проходит через начало координат. Найдите значение производной функции f(x) в точке -1.	Смотреть видеоразбор
12	На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке x0. Уравнение касательной y=-2x-7. Найдите значение производной функции y=-frac{1}{4}f(x)+5x-3 в точке x0.	Смотреть видеоразбор
13	На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.	Смотреть видеоразбор
14	На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.	Смотреть видеоразбор
15	На рисунке изображен график функции и шесть точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?	Смотреть видеоразбор
16	Функция f(x) определена на интервале (-4; 6). На рисунке изображен ее график. В скольких целых точках ее производная положительна?	Смотреть видеоразбор

Блок 3. Анализ графика производной

17	На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-13;1].	Смотреть видеоразбор
18	На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9].	Смотреть видеоразбор
19	На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение?	Смотреть видеоразбор
20	На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7; -3] функция f(x) принимает наименьшее значение?	Смотреть видеоразбор
21	На рисунке изображён график y = f′(x) производной функции f(x) и шесть точек на оси абсцисс: x1 , x2 , . . . , x6. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает?	Смотреть видеоразбор
22	На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-3; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-2; 15].	Смотреть видеоразбор
23	На рисунке изображен график производной функции f(x) и отмечены одиннадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает?	Смотреть видеоразбор
24	На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-2x-11 или совпадает с ней.	Смотреть видеоразбор
25	На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-17; 2). Найдите число точек минимума функции y=f(x).	Смотреть видеоразбор
26	На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 4). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-3x-11 или совпадает с ней.	Смотреть видеоразбор
27	На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество таких чисел x, что касательная к графику функции f(x) в точке x параллельна прямой y=2x-5 или совпадает с ней.	Смотреть видеоразбор
28	На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7; -2] функция f(x) принимает наибольшее значение?	Смотреть видеоразбор
29	Функция f(x) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке изображен график ее производной. Найдите наибольшую длину промежутка возрастания функции f(x).	Смотреть видеоразбор
30	Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-5; 5]. На рисунке изображен график её производной. Найдите точку x, в которой функция принимает наименьшее значение, если f(-5) больше либо равна f(5).	Смотреть видеоразбор

Блок 4. Задачи на производную без готовых графиков

31	Прямая y=-4x-11 является касательной к графику функции y=x^3+7x^2+7x-6. Найдите абсциссу точки касания.	Смотреть видеоразбор
32	Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x^2+6x-8. Найдите абсциссу точки касания.	Смотреть видеоразбор

Блок 5. Первообразная, интеграл

33	На рисунке изображен график функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3-21x^2-144x-frac{11}{4} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.	Смотреть видеоразбор
34	На рисунке изображен график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-5; 5].	Смотреть видеоразбор
35	На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислить F(8)-F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).	Смотреть видеоразбор
36	На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите intlimits_{-7}^{-1} f(x)dx	Смотреть видеоразбор
37	На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x) = x^3+30x^2+302x-frac{15}{8} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.	Смотреть видеоразбор
38	На рисунке изображен график одной из первообразных некоторой функции, определенной на интервале (-3;5). Пользуясь рисунком, определите число корней уравнения на отрезке [-2;4]	Смотреть видеоразбор
39	На рисунке изображен график функции y = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) — F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).	Смотреть видеоразбор
40	На рисунке изображен график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-3; 5). Пользуясь графиком, определите число корней уравнения f(x)=0 на отрезке [-2; 4].	Смотреть видеоразбор
41	На рисунке изображен график функции y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-3; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [1; 4].	Смотреть видеоразбор
42	Значение первообразной F(x) функции f(x)=frac{7}{x} в точке 1 равно -11. Найдите F(e^2)	Смотреть видеоразбор

Блок 6. Нестандартные задачи