Дроби проценты рациональные числа егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Видеоурок: Десятичные дроби и проценты

Лекция: Дроби, проценты, рациональные числа

Рациональные числа — это те, которые можно выразить в виде обыкновенной дроби.

Несмотря на то, что все мы очень не любим дроби, они широко распространены в быту. Например, Вы делитесь со своим братом шоколадкой пополам, это означает, что каждому из Вас досталось по половине. Математическая запись «половины» — это 1/2. Если Вы решили поделиться тортом с тремя друзьями, это означает, что Вам его следует разделить на четыре части. Математически это можно записать так — каждый получит 1/4 от торта.

Итак, что же все-таки такое дроби?

Дробь — число, которое показывает некоторое количество долей целого, то есть единицы.

Дроби могут быть десятичные и обыкновенные. В качестве математического действия, дробь — это, ничто иное, как деление. Любая дробь состоит из числителя (делимого), который находится вверху, знаменателя (делителя), который находится внизу, и черты дроби, которая выполняет непосредственно функцию деления. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей делят некоторое целое. Числитель показывает, сколько равных частей из целого было взято.

Дробь может быть смешанной, то есть иметь и дробную и целую часть.

Например, 1; 5,03.

Обыкновенная дробь может иметь произвольный числитель и знаменатель.

Например, 1/5, 4/7, 7/11 и т.д.

Десятичная дробь в знаменателе всегда имеет числа 10, 100, 1000, 10000 и т.д.

Например, 1/10 = 0,1; 6/100 = 0,06 и т.д.

Над дробями можно производить те же математические действия, что и над целыми числами:

1. Сложение и вычитание дробей

Нельзя складывать и вычитать те дроби, что имеют разные знаменатели. Чтобы произвести данное действие следует привести слагаемые к общему знаменателю. Для этого следует найти наименьшее общее кратное. Например,

Для данных дробей наименьшим числом, которое делится на один и второй знаменатель, является число 30.

Чтобы привести обе дроби к знаменателю 30, следует найти дополнительный множитель. Чтобы в первой дроби получить знаменатель 30, её следует умножить на 6. Чтобы во второй дроби получить знаменатель 30, её следует умножить на 5. Чтобы значение дроби не изменилось, на данные числа умножаем и числитель, и знаменатель. В результате этого получаем:

Чтобы сложить или вычесть числа с одинаковыми знаменателями, следует в результате оставить знаменатель 30, а числители сложить:

2. Умножение дробей

При умножении двух дробей, следует перемножить их числители, после чего перемножить знаменатели, и записать результат:

3. Деление дробей

При делении двух дробей необходимо вторую дробь перевернуть и выполнить действие умножение:

4. Сокращение дробей

Если числитель и знаменатель кратный некоторому одинаковому числу, то такую дробь можно сократить, разделив и числитель, и знаменатель на данное число.

В первоначальной дроби и числитель, и знаменатель делится на число 3, поэтому всю дробь можно сократить на данное число.

5. Сравнение дробей

При сравнении дробей необходимо пользоваться несколькими правилами:

— Если происходит сравнение дробей, которые имеют одинаковый знаменатель, но разный числитель, то больше будет та дробь, у которой больше числитель. То есть данное сравнение сводится к сравнению числителей.

— Если дроби имеют одинаковые числители, но различные знаменатели, то необходимо сравнить знаменатели. Та дробь будет больше, чей знаменатель меньше.

— Если дроби имеют разные и числители, и знаменатели, то их необходимо привести к общему знаменателю.

Общий знаменатель — 42, следовательно, дополнительный множитель первой дроби — это 7, а дополнительный множитель для второй дроби — это 6. Получаем:

Теперь сравнение сводится к первому правилу. Больше та дробь, у которой больше числитель:

Проценты

Любое число, которое составляет одну сотую часть от некоторого целого, называют одним процентом.

1% = 1/100 = 0,01.

Чтобы перевести некоторую дробь в процентную запись, её следует перевести в десятичную дробь, а после этого умножить на 100%.

Например,

Проценты используют в трех основных случаях:

1. Если необходимо найти некоторый процент от числа. Представьте себе, что ежемесячно вы получаете 10% от заработной платы Ваших родителей. Однако, если Вы не знаете математики, то не сможете рассчитать, чему будут равны Ваши ежемесячные доходы. Итак, это сделать достаточно просто.

Представим, что Ваши родители ежемесячно получают 100000 рублей. Чтобы найти сумму, которую Вы должны получать ежемесячно, необходимо прибыль родителей разделить на 100 и умножить на 10%, которые Вы должны получить:

100000 : 100 * 10 = 10000 (рублей).

2. Если Вам нужно узнать, какую сумму получают Ваши родители ежемесячно, если Вы знаете, что они Вам дают 6000 рублей, а это, в свою очередь, 3%, то данное действие с процентами называется нахождением числа по его проценту. Для этого необходимо получаемую сумму умножить на 100 и разделить на Ваши проценты:

6000 * 100 : 3 = 200000 (рублей).

3. Если Вы в течение дня выпиваете 1 л воды, а Вам, например, необходимо выпить 2 литра воды, то Вы с легкостью можете найти значение процента выпитой воды. Для этого необходимо 1 л разделить на 2 л и умножить на 100%.

1 : 2 * 100% = 50%.

Источник

Поиск

Всего: 305 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Найдите корень уравнения

Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Найдите корень уравнения

Раздел: Алгебра

Найдите корень уравнения

Раздел: Алгебра

Найдите корень уравнения

Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Найдите корень уравнения

Найдите значение выражения

Всего: 305 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Начинаем с вами подготовку к обязательному экзамену – ЕГЭ по математике. Мы будем с вами рассматривать поэтапно темы всех заданий экзаменационной работы начиная с самых простейших тем и заканчивая началом математического анализа и высшей геометрией. Сегодня начнем рассматривать задания ЕГЭ по математике, касающиеся одних из самых простых тем, но вместе с тем очень часто они вызывают затруднения у экзаменующихся (зачастую по невнимательности или излишней самоуверенности). Регулярно изучая материал в нашем блоге, вы сможете подготовиться к ЕГЭ по математике эффективно и за короткий срок. А наши преподаватели смогут объяснить Вам самые трудные темы и устранить проблемы в знаниях. Итак, начнем!

Целые числа

Что такое целые числа? Это натуральные числа, то есть от 1 до бесконечности, это 0, это противоположные натуральным числам. Всё вместе – целые числа. Например, -5,0,5,10,-10 и так далее.

При округлении количество впоследствии запятой играет огромную роль. В случае если 1-ое количество впоследствии запятой более или же точно также 5, то количество, которое слева от запятой,растет на единицу, в случае если же количество впоследствии запятой меньше 5, то количество слева от запятой не меняется.

Приступим к практике

Задание 1

Обучающихся в группе меньше 50 студентов. За индивидуальную работу часть студентов получила оценку «5», «4», а половина студентов получила оценку «3». Остальные работы были оценены оценкой «2», Сколько было студентов, индивидуальные работы которых были оценены неудовлетворительной оценкой?

Решение

Число студентов всегда выражается целым числом. Значит, надо найти натуральное число меньшее 50 и одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственно возможным таким числом будет число 42.

Заключение пишем так: пусть x – количество учащихся. По условию задачки имеем – учащихся возымели оценку «5»; – учащихся возымели оценку «4»; – учащихся возымели оценку «3». Например как x обязан в одно и тоже время распределяться на 7, 3, 2, то этим количеством, наименьшим 50, станет количество 42.

Решение этой задачи можно оформить и так:

Числитель дроби – число 41 показывает, какое количество студентов получили оценки «5», «4», «3», а знаменатель – число 42 показывает общее количество студентов. И отсюда можно заключить, что оценку «2» получил 1 студент.

Ответ: 6 студентов получили оценку «5»; 14 студентов получили оценку «4»; 21 студент получил оценку «3»; 1 студент получил оценку «2».

Корни чисел и степени

Очень трудное содержание, в ней надобно разобраться. уровень – количество, показывающее сколько одно количество множится на себя. К примеру, а2 = а*а. Корень количества – количество, равное на себя себя, возведённому в квадрат, то есть, если корень количества взвести в квадрат, то выйдет само количество. К примеру, (√a)2=a.

Важны несколько моментов со степенями

а²=а*а

а⁰=1

а^-х=1/a^х, где х – абсолютно любое число

(a^m)ⁿ = a^m*n

С корнями:

^x√а^х = а

ⁿ√a^m = a^m/n

^mn√a^mk= ⁿ√a^k

Пример задания

Задание 9 № 26798

Найди значение выражения: (7*(m⁵)⁶+11(m³)¹⁰)/(3m¹⁵)²

Преобразуем по свойству степеней

7m³⁰ + 11m³⁰/9m³⁰ = m³⁰*(11+7) / 9m³⁰ = 18m³⁰/9m³⁰. Сократим на 9 и на m³⁰. Получим 2

Ответ: 2

Степень с натуральным показателем

Что такое степень с натуральным показателем? Перейдём к теории:

Существует короткая запись для умножения числа несколько раз на себя, пример:

4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4=4 в 7 степени = 7раз.

Под an, где n=2,3,4,5…, подразумевают произведение n равных множителей,

Любой множитель дает собой число a.

Выражение an представляют степенью, число a — основанием степени,
число n — показателем степени.

Число n в урезании именуют естественным показателем, вследствие того собственно что это естественное число (подсчёт символов)

Не забудь!

a⋅a⋅a⋅…⋅a=an – n раз

an — степень с натуральным показателем;

a — основа степени;

n — показатель степени.

Запись an читается так: «a в n-й степени» или «a в степени n».
a2 читается: «a в квадрате» или «a во второй степени».

a3 — «a в кубе» или «a в третьей степени».

Задание: записать степень произведения 2⋅2⋅2⋅2⋅2 и использовать термины.
Решение.
Дано произведение пяти равных множителей, каждый равен 2, имеем:
2⋅2⋅2⋅2⋅2=2 в 5;

2 в 5 — степень;

2 — основание степени;

5 — показатель степени.

Дроби
Дробь – количество, показывающее доля чего-нибудь. К примеру, имеется пицца, её разрезали на 3 части и взяли 1 кусок. Можно 1/3 записать, то есть 1 из 3-х частей. Количество над чертой – именуется числитель, а под – знаменатель. Дробь может быть верной – числитель меньше знаменателя и неверной – числитель больше знаменателя.
Практика
Отыскать смысл выражения (-2 ¾ – 3/8) * 160
Заключение
-11/4 – 3/8 = (-22 – 3)/8 = -25/8
-25/8 *160 = -25 * 20 = -500
Ответ: -500

Процент

Процент – сотая часть какого-либо числа. Например, 1% = 0,01; 50% = 0,5

Как найти х процентов из а числа? Нужно число а умножить на x/100, тогда вы получите число из х процентов, помните, х и а – это любые числа.

Как перевести какое-либо число в проценты? умножьте на 100.

Приступим к практике
Задание
В 2008 году в городе проживало 40000 человек. В 2009 году, из-за строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько жителей проживало в 2010 году?
Решение
Найдём, сколько человек жило в 2009 году. 40000 * 8/100 = 3200 человек – на столько число жителей выросло в 2009 году, то есть 43200 человек. Подсчитаем, какое количество человек жило 2010 году. 43200 * 9/100 = 3888 – на столько выросло число жителей в 2010 году, то есть 47088 человек.
Ответ: 47088

Рациональные числа

Рациональные числа — это целые и дробные числа (обыкновенные, конечные десятичные, бесконечные дроби).

Важно знать!

Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.

Поэтому число «Пи» (π= 3,14…), основание натурального логарифма
e (e = 2,718..) или √2 НЕ являются рациональными числами.

Множество рациональных чисел пишется с заглавной английской буквой «Q».

Множество «Q» имеет множество целых чисел «Z» и натуральных чисел «N».

Каждое рациональное число можно представить дробью, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным.

где a ∈ Z (a принадлежит целым числам), b∈N (b принадлежит натуральным числам).

Задачи:

Среди всех отрицательных чисел, не превышающих по абсолютной величине 5/2, указать:

а) меньшее рациональное число;

б) большее рациональное число;

в) меньшее целое число.

Ответ: А) -5/2 Б) нет В) -2

Степень с рациональным показателем

Дробь, в её показателе находится конечная обыкновенная или же десятичная дробь. Любую уровень с оптимальным показателем возможно представить корнем, уровень которого равна знаменателю дроби, находящемуся там в показателе степени, числитель – уровень подкоренного выражения.

Свойства

Если нужно умножить две степени с рациональными показателями, имеющие равные основания, то основание оставляем без изменения, показатели складываем.

a^p * a^q = a^p+q. – формула

пример:

Основание оставляем без изменений, а показатели вычтем. a^p/ a^q= a^p-q.

пример:

При необходимости возведения степени в другую степень, основание остаётся то же число, показатели степени перемножаем. (a^p)^q = a^p*q

Пример:

Если в некоторую степень надо возвести произведение произвольных чисел, пользуемся распределительным законом, из него получаем произведение разных оснований в одной степени.

(a * b)^p = a^p * b^p

Похожее свойство применяем для деления степеней

(a / b)^p = a^p / b^q

Если дробь имеет отрицательный рациональный показатель степени, избавиться от знака минуса, можно переворотом дроби.

Не забудь! Знак степени не влияет на знак выражения при возведении в степень.

Источник

Взрослым: Skillbox, Хекслет, Eduson, XYZ, GB, Яндекс, Otus, SkillFactory.
8-11 класс: Умскул, Лектариум, Годограф, Знанио.
До 7 класса: Алгоритмика, Кодланд, Реботика.
Английский: Инглекс, Puzzle, Novakid.

Дроби, проценты, рациональные числа

Рассмотрение темы дробных частей начинается с определения доли целого, которое даёт понимание смысла дроби.

Дроби

Доля — это каждая из равнозначных частей, составляющих вместе целый объект. Доли могут отличаться. Одно яблоко может быть разделено на 2, 4, 5 долей, их размеры будут отличны по размеру. Некоторые виды долей имеют дополнительные названия:

половина – одна вторая (½) доля объекта;
треть – одна третья (⅓) доля объекта;
четверть – одна четвертая (¼) доля объекта.

Для описания долей используются числовые обыкновенные дроби.

Обыкновенная дробь — это число, записанное в виде «m/n» или «m,n», в котором m и n — любые натуральные числа. Примеры обыкновенных дробей: 6/8, 11/35, 916/1154. В математике дробь изображается диагональной или горизонтальной чертой, а также запятой.

У каждой дроби есть числитель и знаменатель.

Числитель — число, находящееся над чертой или слева от неё. Этот показатель равен числу долей, которые имеются.

Знаменатель — число, находящееся под чертой или справа от неё. Этот показатель равен общему числу долей объекта.

Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен 1. В этом случае подразумевается, что объект неделим. Числитель в такой дроби указывает на количество рассматриваемых объектов, то есть верно равенство: m/1 = m. Исходя из этого утверждения, можно сделать следующий вывод: любое натуральное число можно записать в виде обыкновенной дроби, и наоборот.

Пример: 75 = 75/1.

Обыкновенную дробь используют для обозначения деления предмета на заданные части, что позволяет равнозначно заменить черту на знак деления, и наоборот: m/n = m : n. Обыкновенные дроби можно считать равными, если произведение числителя первой дроби и знаменателя второй равно произведению знаменателя первой дроби и числителя второй: m/n = a/b если m * b = n * a.

Пример: 3/12 = ¼, так как 3 * 4 = 1 * 12.

Дроби с разными знаменателями при решении уравнений и примеров для упрощения вычислений приводят к одному знаменателю. В математике и сопутствующих дисциплинах часто встречается понятие дробное число, значительных отличий от дроби оно не имеет, поэтому в большинстве случаев оба понятия объединяются в единое определение, разделяясь в геометрии (опять-таки для удобства выполнения вычислений).

Дробные числа расположены на координатном луче, каждое в собственной уникальной точке. Для нахождения точки расположения дробного числа m/n на луче необходимо от начала координат отложить m отрезков в положительную сторону, каждый из которых будет равен 1/n. Например, точка дроби 14/10 находится на расстоянии 14 отрезков от начала координат, равных 1/10.

Равные дроби расположены в одной точке.

Правильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Такая дробь всегда меньше единицы. Пример: m < n.

Неправильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Такая дробь равна или больше единицы. Пример: m ≥ n.

Неправильные дроби в некоторых случаях (когда числитель делится на знаменатель без остатка) возможно заменить натуральными числами. Например, 7/7 = 7, 24/4 = 6. Для удобства вычисления любую неправильную дробь можно записать в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Для этого числитель делится на знаменатель, и целое число записывается отдельно, а остаток выносится как числитель правильной дроби. Например, 35/6 = 5 +5/6. Такой способ носит название выделение целой части из неправильной дроби.

Дроби со знаком + называются положительными. Они характеризуют прибавление, увеличение, на системе координат расположены справа от начальной точки. Все обыкновенные дроби относятся к положительным. Дроби со знаком — носят название отрицательных. Эти дроби соответствуют расходу, уменьшению, на системе координат располагаются слева от начала. Равнозначные дроби с разными знаками считаются противоположными.

К основным действиям с дробями относятся следующие манипуляции:

сравнение;
сложение;
вычитание;
умножение;
деление.

Проценты

Процент — это 1/100 часть числа. В математике обозначается знаком %.

Для того чтобы выразить дробь в процентах, необходимо её известную часть разделить на 100. Для перевода натурального числа или десятичной дроби в проценты необходимо умножить дробь на 100 и добавить знак определения процента.

Выражение дроби в процентах:

перевести дробь в десятичный вид;
умножить полученное число на 100.

Примеры:

⅖ = 0,4

0,4 * 100 = 40 %.

Для нахождения процента от числа используют несколько основных методов:

Через нахождение 1% (сначала вычисляют, чему равен 1%, полученный результат умножают на количество искомых процентов).
Через десятичную дробь (проценты переводятся в десятичную дробь, на которую умножается искомое число).
Через составление пропорции (a = b и x = d, ⇒ a * d = x * d, в которой x – искомое число процентов).
Соотношение чисел и использование простых дробей (10 % — десятая часть, 25 % — четверть, 50 % — половина).

Рациональные числа: определения, примеры

Рациональное число (от лат. число, расчёт, разум) — это число, которое представляется в виде положительной, отрицательной обыкновенной дроби или числа 0. В математике общее количество рациональных чисел обозначается литерой Q. Если число делится на два целых числа, то оно точно относится к рациональным.

К основным свойствам рациональных чисел относятся следующие утверждения:

Все натуральные числа являются рациональными, так как каждое из них можно записать в виде n/1.
Целые числа (в том числе и 0) считаются рациональными, так как каждое из них можно представить в виде положительной или отрицательной дроби.
Все обыкновенные дроби являются рациональными.
Все смешанные числа являются рациональными, так как их можно записать в виде неправильной дроби.
Конечные и периодические десятичные дроби можно записать в виде обыкновенных дробей, что позволяет все эти дробные числа отнести к рациональным.
Бесконечные и непериодическое десятичные дроби не относятся к рациональным, так как их нельзя записать в виде обыкновенных дробей.

К основным свойствам действий рациональных чисел относятся следующие примеры:

переместительное свойство при сложении и умножении;
сочетательное свойство при сложении и умножении;
неизменность рационального числа при сложении с 0;
неизменность рационального числа при умножении на 1;
наличие противоположного числа, сумма с которым равна 0;
наличие обратного числа, произведение с которым равно 1;
распределительное свойство умножения относительно сложения.

Помимо основных свойств, существуют правила умножения рациональных чисел, относящихся к переносу знаков:

при умножении рациональных чисел с разными знаками произведение будет иметь знак -;
при умножении отрицательных рациональных чисел произведение будет иметь знак +;
при умножении любого рационального числа на 0 произведение будет равно 0.

У рациональных чисел на месте числителя находится целое число, а на месте знаменателя — натуральное. Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Иррациональное число — это действительное число, которое нельзя получить путём деления двух целых чисел. К таким относятся бесконечные периодические десятичные дроби, в которых знаки после запятой повторяются до бесконечности. В математике обозначаются литерой I.

Все рациональные и иррациональные числа относятся к множеству действительных, или вещественных чисел.

Взрослым: Skillbox, Хекслет, Eduson, XYZ, GB, Яндекс, Otus, SkillFactory.
8-11 класс: Умскул, Лектариум, Годограф, Знанио.
До 7 класса: Алгоритмика, Кодланд, Реботика.
Английский: Инглекс, Puzzle, Novakid.

Решение
→

Источник

Курс

Меня зовут Реутская Татьяна Дмитриевна.
Я репетитор по Математике

Вам нужны консультации по Математике по Skype?
Если да, подайте заявку. Стоимость договорная.
Чтобы закрыть это окно, нажмите «Нет».

Чтобы пройти курс — зарегистрируйтесь, заполнив поля ниже.

1

(№ 2475) Флакон шампуня стоит 200 рублей Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?

2

(№ 2491) Шариковая ручка стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 700 рублей после повышения цены на 15%?

3

(№ 2503) Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 550 рублей после понижения цены на 15%?

4

(№ 2513) Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 100 рублей за штуку. Торговая наценка составляет 15%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1300 рублей?

5

(№ 2595) Железнодорожный билет для взрослого стоит 550 рублей. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 18 школьников и 4 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

6

(№ 2601) Цена на электрический чайник была повышена на 21% и составила 3025 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

7

(№ 2617) Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

8

(№ 6193) В городе N живет 250000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых работает?

9

(№ 6235) Клиент взял в банке кредит 3000 руб. на год под 12%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько он должен вносить в банк ежемесячно?

10

(№ 24285) Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 13050 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

11

(№ 24261) Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 14500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

12

(№ 2587) Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

Подведение итогов

Поздравляем, вы прошли тест до конца!

Теперь нажмите на кнопку
Сдать тест для того, чтобы
окончательно сохранить ваши ответы и получить оценку.
Внимание! После нажатия на кнопку вы не сможете внести изменения.

Сдать тест

Подведение итогов

%
ваша оценка

Результаты теста были сохранены.
На панели навигации красным отмечены слайды, на которых допущена хотя бы одна ошибка.

Загрузка упражнения …

Источник

Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых нужно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.

Например, задание №6 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.

И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.

Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения

Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета

Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!

1. Найдите значение выражения $frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}.$

Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.

$frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}=frac{2,88cdot 44,5}{2,88cdot 0,445}=frac{44,5}{0,445}=100.$

Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10, просто передвинув запятую.

Ответ: 100.

2. Найдите значение выражения $7frac{9}{13}:frac{5}{13}.$

$7frac{9}{13}:frac{5}{13}=frac{100}{13}cdot frac{13}{5}=20.$

Ответ: 20.

Корни и степени. Иррациональные выражения

Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

$left ( sqrt{a} right )^{2}=a;;sqrt{a}geq 0;;ageq 0$ .

3. Вычислите .

Применили одну из формул сокращенного умножения.

Ответ: 8.

4. Вычислите:

Упростим множители:

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7} right )^{2}+2sqrt{3}cdot sqrt{7}+left ( sqrt{3} right )^{2}}=$

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7}+sqrt{3}right )^{2}}=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )left ( sqrt{7}+sqrt{3} right )=$

Ответ: 8.

Действия со степенями

Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.

$a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

$frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

$left ( a^{m} right )^{n}=left ( a^{n} right )^{m}=a^{mn}.$

$a^{n}b^{n}=left ( ab right )^{n}.$

$frac{a^{n}}{b^{n}}=left ( frac{a}{b} right )^{n}.$

5. Найдите значение выражения: $frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}$ при a=4.

$frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}=a^{8,9-4,9}=a^{4}=4^{4}=256.$

Применили формулу частного степеней $frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

Ответ: 256.

6. Вычислите $left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}.$

$left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}=left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{2^{frac{1}{12}}} right )^{2}=left ( 2^{frac{1}{3}+frac{1}{4}-frac{1}{12}} right )^{2}=left ( 2^{frac{4}{12}+frac{3}{12}-frac{1}{12}} right )^{2}=$

$=left (2^{frac{1}{2}} right )^{2}=2.$

Ответ: 2.

7. Вычислите $frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}$ , если .

Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение m=3,7. Сначала упростим выражение.

$frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}=frac{5m^{30}+13m^{30}}{4m^{30}}=frac{18m^{30}}{4m^{30}}=4,5.$

Ответ: 4,5.

8. Вычислите $0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}.$

$0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}=left ( frac{3}{4} right )^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot left ( 3cdot 4 right )^{frac{7}{8}}=frac{3^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 3^{frac{7}{8}}cdot 4^{frac{7}{8}}}{4^{frac{1}{8}}}=3cdot 4=12.$

Применили формулу для произведения степеней: $a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

Ответ: 12.

9. Вычислите $frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}.$

$frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}=frac{3^{frac{1}{28}}cdot 3cdot 3^{frac{1}{21}}}{3^{frac{1}{12}}}=3^{frac{1}{28}+1+frac{1}{21}-frac{1}{12}}=3^{frac{3}{84}+1+frac{4}{84}-frac{7}{84}}=3.$

Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.

Ответ: 3.

Логарифмические выражения

Темы для повторения:
Логарифмы

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

$log _{a}b=cLeftrightarrow a^{c}=b$ .

При этом > 0, > 0, aneq 1.

Основные логарифмические формулы:

Основное логарифмическое тождество: $boldsymbol{log _{a}a^{c}=c, ; a^{log _{a}b}=b}.$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( bc right )=log _{a}b+log _{a}c}.$

Логарифм частного равен разности логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( frac{b}{c} right )=log _{a}b-log _{a}c}.$

Формула для логарифма степени: $boldsymbol{log _{a}b^{m}=mlog_{a}b}.$

Формула перехода к новому основанию: $boldsymbol{log _{a}b=frac{1}{log _{b}a},; log _{a}b=frac{log _{c}b}{log _{c}a}}.$

10. Вычислите: $log _{5}7cdot log _{7}25$ .

$log _{5}7cdot log _{7}25=log _{5}7cdot log _{7}5^{2}=2log _{5}7cdot log _{7}5=2.$

Снова формула перехода к другому основанию.

$log _{a}b=frac{1}{log _{b}a}$ , поэтому
$log _{a}bcdot log _{b};a=1.$

11. Найдите $log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}$ , если $log _{a}b=-2$ .

$log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}=log _{a}a^{6}-log _{a}b^{6}=6-4log _{a}b=6-4cdot left ( -2 right )=6+8=14.$

12. Найдите значение выражения $frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}$ .

$frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}left (8cdot 10 right )}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}8+log _{2}10}{3+log _{2}10}=frac{3+log _{2}10}{3+log _{2}10}=1.$

13. Найдите значение выражения $frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}$ .

$frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}=frac{log _{9}8^{frac{1}{10}}}{log _{9}8}=frac{1}{10}=0,1$ .

14. Найдите значение выражения $left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )$ .

$left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )=-left ( log _{3}18-log _{3}3 right )cdot left ( log _{6}54-log _{6}6 right )=-log _{3}6cdot log _{6}9=-2log _{3}6cdot log _{6}3=-2.$

Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения

Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.

15. Вычислите: $44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right ).$

$44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right )=44sqrt{3}cdot frac{sin left ( -480^{circ} right )}{cos left ( -480^{circ} right )}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 480^{circ}}{cos 480^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 120^{circ}}{cos 120^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}:left ( -frac{1}{2} right )=132.$

16. Найдите , если $sin alpha =-frac{2sqrt{2}}{3}$ и $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ .

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{2sqrt{2}}{3} right )^{2}=1-frac{8}{9}=frac{1}{9}.$

Т.к. $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ , то $cos alpha =frac{1}{3}.$
$3cos alpha =3cdot frac{1}{3}=1.$

17. Найдите , если $sin alpha =-frac{1}{sqrt{5}}$ и

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{1}{sqrt{5}} right )^{2}=1-frac{1}{5}=frac{4}{5}.$

Т.к. , то
$cos alpha =frac{2}{sqrt{5}}.$

$tgalpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=-frac{1}{sqrt{5}}:frac{2}{sqrt{5}}=-2.$

18. Найдите значение выражения: $frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}.$

$frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{13cdot 2sin 76^{circ}cdot cos 76^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{26sin 76^{circ}}{cos 14^{circ}}=frac{26sin left ( 90^{circ}-14^{circ} right )}{cos 14^{circ}}=$

$=frac{26cos 14^{circ}}{cos 14^{circ}}=26.$

Применили формулу приведения.

19. Упростите выражение: $frac{3cos(pi - beta)+sin(frac{pi}{2}+beta)}{cos(beta+3pi)}.$

$frac{3cos left ( pi -beta right )+sin left ( frac{pi }{2}+beta right )}{cos left ( beta +3pi right )}=frac{-3cos beta +cos beta }{-cos beta }=frac{-2cos beta }{-cos beta }=2.$

Применили формулу приведения.

20. Найдите , если .

$2cos 2alpha =2left ( 1-2sin ^{2}alpha right )=2-4sin ^{2}alpha =2-4cdot left ( -0,7 right )^{2}=0,04.$

21. Вычислите $frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }$ , если

$frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }=frac{1-cos ^{2}alpha +sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{1+cos ^{2}alpha -sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=$

$=frac{2sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{2cos ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=frac{sin alpha left ( sin alpha +cos alpha right )}{cos alpha left ( cos alpha +sin alpha right )}=frac{sin alpha }{cos alpha }=tgalpha =0,3.$

Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 6 Профильного ЕГЭ по математике?

Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти $sqrt{a^{2}}$ .

Другие типы заданий

Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.

22. Найдите значение выражения
$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}$ при .

Запомним: $sqrt{a^{2}}=left | a right |.$

$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}=left | a-2 right |+left | a-4 right |$ .

Если , то и .

При этом и .

При получаем: .

Ответ: 2.

23. Найдите значение выражения

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}$ при xleq 12 .

При xleq 12 получим:

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}=x+sqrt{left ( x-12 right )^{2}}=x+left | x-12 right |=x+12-x=12.$

Ответ: 12.

24. Найдите $frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}$ , если , при .

Что такое ? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число . Например, ;

Тогда:

Заметим, что .

Значит, при
$frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}=1$ .

25. Найдите $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ , если $pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ , при .

$pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ — функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
$left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ .

Тогда при bneq 0.

$pleft ( frac{1}{b} right )=left ( frac{1}{b}-9b right )left ( -frac{9}{b} +bright )=left ( b-frac{9}{b} right )left (-9b +frac{1}{b} right )=pleft ( b right )$ , и значение выражения $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ равно 1.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 6 ЕГЭ по математике. Вычисления и преобразования» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник