Дробное неравенство егэ

Дробно-рациональные неравенства

25 января 2018

Этот урок будет жёстким. Настолько жёстким, что до конца его дойдут лишь Избранные. Поэтому перед началом чтения рекомендую убрать от экранов женщин, кошек, беременных детей и…

Да ладно, на самом деле всё просто. Допустим, вы освоили метод интервалов (если не освоили — рекомендую вернуться и прочитать) и научились решать неравенства вида $Pleft( x right) gt 0$, где $Pleft( x right)$ — какой-нибудь многочлен или произведение многочленов.

Полагаю, что для вас не составит труда решить, например, вот такую дичь (кстати, попробуйте для разминки):

[begin{align} & left( 2{{x}^{2}}+3x+4 right)left( 4x+25 right) gt 0; \ & xleft( 2{{x}^{2}}-3x-20 right)left( x-1 right)ge 0; \ & left( 8x-{{x}^{4}} right){{left( x-5 right)}^{6}}le 0. \ end{align}]

Теперь немного усложним задачу и рассмотрим не просто многочлены, а так называемые рациональные дроби вида:

[frac{Pleft( x right)}{Qleft( x right)} gt 0]

где $Pleft( x right)$ и $Qleft( x right)$ — всё те же многочлены вида ${{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+…+{{a}_{0}}$, либо произведение таких многочленов.

Это и будет рациональное неравенство. Принципиальным моментом является наличие переменной $x$ в знаменателе. Например, вот это — рациональные неравенства:

[begin{align} & frac{x-3}{x+7} lt 0; \ & frac{left( 7x+1 right)left( 11x+2 right)}{13x-4}ge 0; \ & frac{3{{x}^{2}}+10x+3}{{{left( 3-x right)}^{2}}left( 4-{{x}^{2}} right)}ge 0. \ end{align}]

А это — не рациональное, а самое обычное неравенство, которое решается методом интервалов:

[frac{{{x}^{2}}+6x+9}{5}ge 0]

Забегая вперёд, сразу скажу: существует как минимум два способа решения рациональных неравенств, но все они так или иначе сводятся к уже известному нам методу интервалов. Поэтому прежде чем разбирать эти способы, давайте вспомним старые факты, иначе толку от нового материла не будет никакого.

Что уже нужно знать

Важных фактов не бывает много. Действительно потребуются нам всего четыре.

Формулы сокращённого умножения

Да, да: они будут преследовать нас на протяжении всей школьной программы математики. И в университете тоже. Этих формул довольно много, но нам потребуются лишь следующие:

[begin{align} & {{a}^{2}}pm 2ab+{{b}^{2}}={{left( apm b right)}^{2}}; \ & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=left( a-b right)left( a+b right); \ & {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=left( a+b right)left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} right); \ & {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=left( a-b right)left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} right). \ end{align}]

Обратите внимание на последние две формулы — это сумма и разность кубов (а не куб суммы или разности!). Их легко запомнить, если заметить, что знак в первой скобке совпадает со знаком в исходном выражении, а во второй — противоположен знаку исходного выражения.

Линейные уравнения

Это самые простые уравнения вида $ax+b=0$, где $a$ и $b$ — это обычные числа, причём $ane 0$. Такое уравнение решается просто:

[begin{align} & ax+b=0; \ & ax=-b; \ & x=-frac{b}{a}. \ end{align}]

Отмечу, что мы имеем право делить на коэффициент $a$, ведь $ane 0$. Это требование вполне логично, поскольку при $a=0$ мы получим вот что:

[b=0]

Во-первых, в этом уравнении нет переменной $x$. Это, вообще говоря, не должно нас смущать (такое случается, скажем, в геометрии, причём довольно часто), но всё же перед нами уже не линейное уравнение.

Во-вторых, решение этого уравнения зависит исключительно от коэффициента $b$. Если $b$ — тоже ноль, то наше уравнение имеет вид $0=0$. Данное равенство верно всегда; значит, $x$ — любое число (обычно это записывается так: $xin mathbb{R}$). Если же коэффициент $b$ не равен нулю, то равенство $b=0$ никогда не выполняется, т.е. ответов нет (записывается $xin varnothing $ и читается «множество решений пусто»).

Чтобы избежать всех этих сложностей, просто полагают $ane 0$, что нисколько не ограничивает нас в дальнейших размышлениях.

Квадратные уравнения

Напомню, что квадратным уравнением называется вот это:

[a{{x}^{2}}+bx+c=0]

Здесь слева многочлен второй степени, причём снова $ane 0$ (в противном случае вместо квадратного уравнения мы получим линейное). Решаются такие уравнения через дискриминант:

[D={{b}^{2}}-4ac]

Дальше всё зависит от знака дискриминанта:

1. Если $D gt 0$, мы получим два различных корня;
2. Если $D=0$, то корень будет один, но второй кратности (что это за кратность и как её учитывать — об этом чуть позже). Либо можно сказать, что уравнение имеет два одинаковых корня;
3. При $D lt 0$ корней вообще нет, а знак многочлена $a{{x}^{2}}+bx+c$ при любом $x$ совпадает со знаком коэффициента $a$. Это, кстати, очень полезный факт, о котором почему-то забывают рассказать на уроках алгебры.

Сами корни считаются по всем известной формуле:

[{{x}_{1,2}}=frac{-bpm sqrt{D}}{2a}]

Отсюда, кстати, и ограничения на дискриминант. Ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует. По поводу корней у многих учеников жуткая каша в голове, поэтому я специально записал целый урок: что такое корень в алгебре и как его считать — очень рекомендую почитать.:)

Действия с рациональными дробями

Всё, что было написано выше, вы и так знаете, если изучали метод интервалов. А вот то, что мы разберём сейчас, не имеет аналогов в прошлом — это совершенно новый факт.

Определение. Рациональная дробь — это выражение вида

[frac{Pleft( x right)}{Qleft( x right)}]

где $Pleft( x right)$ и $Qleft( x right)$ — многочлены.

Очевидно, что из такой дроби легко получить неравенство — достаточно лишь приписать знак «больше» или «меньше» справа. И чуть дальше мы обнаружим, что решать такие задачи — одно удовольствие, там всё очень просто.

Проблемы начинаются тогда, когда в одном выражении находятся несколько таких дробей. Их приходится приводить к общему знаменателю — и именно в этот момент допускается большое количество обидных ошибок.

Поэтому для успешного решения рациональных уравнений необходимо твёрдо усвоить два навыка:

1. Разложение многочлена $Pleft( x right)$ на множители;
2. Собственно, приведение дробей к общему знаменателю.

Как разложить многочлен на множители? Очень просто. Пусть у нас есть многочлена вида

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+…+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

Приравниваем его к нулю. Получим уравнение $n$-й степени:

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+…+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

Допустим, мы решили это уравнение и получили корни ${{x}_{1}}, …, {{x}_{n}}$ (не пугайтесь: в большинстве случаев этих корней будет не более двух). В таком случае наш исходный многочлен можно переписать так:

[begin{align} & Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+…+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}= \ & ={{a}_{n}}left( x-{{x}_{1}} right)cdot left( x-{{x}_{2}} right)cdot …cdot left( x-{{x}_{n}} right) end{align}]

Вот и всё! Обратите внимание: старший коэффициент ${{a}_{n}}$ никуда не исчез — он будет отдельным множителем перед скобками, и при необходимости его можно внести в любую из этих скобок (практика показывает, что при ${{a}_{n}}ne pm 1$ среди корней почти всегда есть дроби).

Задача. Упростите выражение:

[frac{{{x}^{2}}+x-20}{x-4}-frac{2{{x}^{2}}-5x+3}{2x-3}-frac{4-8x-5{{x}^{2}}}{x+2}]

Решение. Для начала посмотрим на знаменатели: все они — линейные двучлены, и раскладывать на множители тут нечего. Поэтому давайте разложим на множители числители:

[begin{align} & {{x}^{2}}+x-20=left( x+5 right)left( x-4 right); \ & 2{{x}^{2}}-5x+3=2left( x-frac{3}{2} right)left( x-1 right)=left( 2x-3 right)left( x-1 right); \ & 4-8x-5{{x}^{2}}=-5left( x+2 right)left( x-frac{2}{5} right)=left( x+2 right)left( 2-5x right). \end{align}]

Обратите внимание: во втором многочлене старший коэффициент «2» в полном соответствии с нашей схемой сначала оказался перед скобкой, а затем был внесён в первую скобку, поскольку там вылезла дробь.

То же самое произошло и в третьем многочлене, только там ещё и порядок слагаемых перепутан. Однако коэффициент «−5» в итоге оказался внесён во вторую скобку (помните: вносить множитель можно в одну и только в одну скобку!), что избавило нас от неудобств, связанных с дробными корнями.

Что касается первого многочлена, там всё просто: его корни ищутся либо стандартно через дискриминант, либо по теореме Виета.

Вернёмся к исходному выражению и перепишем его с разложенными на множители числителями:

[begin{matrix} frac{left( x+5 right)left( x-4 right)}{x-4}-frac{left( 2x-3 right)left( x-1 right)}{2x-3}-frac{left( x+2 right)left( 2-5x right)}{x+2}= \ =left( x+5 right)-left( x-1 right)-left( 2-5x right)= \ =x+5-x+1-2+5x= \ =5x+4. \ end{matrix}]

Ответ: $5x+4$.

Как видите, ничего сложного. Немного математики 7—8 класса — и всё. Смысл всех преобразований в том и состоит, чтобы получить из сложного и страшного выражения что-нибудь простое, с чем легко работать.

Однако так будет не всегда. Поэтому сейчас мы рассмотрим более серьёзную задачу.

Но сначала разберёмся с тем, как привести две дроби к общему знаменателю. Алгоритм предельно прост:

1. Разложить на множители оба знаменателя;
2. Рассмотреть первый знаменатель и добавить к нему множители, имеющиеся во втором знаменателе, однако отсутствующие в первом. Полученное произведение и будет общим знаменателем;
3. Выяснить, каких множителей не хватает каждой из исходных дробей, чтобы знаменатели стали равны общему.

Возможно, этот алгоритм вам покажется просто текстом, в котором «много букв». Поэтому разберём всё на конкретном примере.

Задача. Упростите выражение:

[left( frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-frac{1}{x-2} right)cdot left( frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-frac{2}{2-x} right)]

Решение. Такие объёмные задачи лучше решать по частям. Выпишем то, что стоит в первой скобке:

[frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-frac{1}{x-2}]

В отличие от предыдущей задачи, тут со знаменателями всё не так просто. Разложим на множители каждый из них.

Квадратный трёхчлен ${{x}^{2}}+2x+4$ на множители не раскладывается, поскольку уравнение ${{x}^{2}}+2x+4=0$ не имеет корней (дискриминант отрицательный). Оставляем его без изменений.

Второй знаменатель — кубический многочлен ${{x}^{3}}-8$ — при внимательном рассмотрении является разностью кубов и легко раскладывается по формулам сокращённого умножения:

[{{x}^{3}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{3}}=left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)]

Больше ничего разложить на множители нельзя, поскольку в первой скобке стоит линейный двучлен, а во второй — уже знакомая нам конструкция, которая не имеет действительных корней.

Наконец, третий знаменатель представляет собой линейный двучлен, который нельзя разложить. Таким образом, наше уравнение примет вид:

[frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+frac{{{x}^{2}}+8}{left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)}-frac{1}{x-2}]

Совершенно очевидно, что общим знаменателем будет именно $left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)$, и для приведения к нему всех дробей необходимо первую дробь домножить на $left( x-2 right)$, а последнюю — на $left( {{x}^{2}}+2x+4 right)$. Затем останется лишь привести подобные:

[begin{matrix} frac{xcdot left( x-2 right)}{left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)}+frac{{{x}^{2}}+8}{left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)}-frac{1cdot left( {{x}^{2}}+2x+4 right)}{left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)}= \ =frac{xcdot left( x-2 right)+left( {{x}^{2}}+8 right)-left( {{x}^{2}}+2x+4 right)}{left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)}= \ =frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)}= \ =frac{{{x}^{2}}-4x+4}{left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)}. \ end{matrix}]

Обратите внимание на вторую строчку: когда знаменатель уже общий, т.е. вместо трёх отдельных дробей мы написали одну большую, не стоит сразу избавляться от скобок. Лучше напишите лишнюю строчку и отметьте, что, скажем, перед третьей дробью стоял минус — и он никуда не денется, а будет «висеть» в числителе перед скобкой. Это избавит вас от множества ошибок.

Ну и в последней строчке полезно разложить на множители числитель. Тем более что это точный квадрат, и нам на помощь вновь приходят формулы сокращённого умножения. Имеем:

[frac{{{x}^{2}}-4x+4}{left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)}=frac{{{left( x-2 right)}^{2}}}{left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)}=frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}]

Теперь точно так же разберёмся со второй скобкой. Тут я просто напишу цепочку равенств:

[begin{matrix} frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-frac{2}{2-x}=frac{{{x}^{2}}}{left( x-2 right)left( x+2 right)}-frac{2}{2-x}= \ =frac{{{x}^{2}}}{left( x-2 right)left( x+2 right)}+frac{2}{x-2}= \ =frac{{{x}^{2}}}{left( x-2 right)left( x+2 right)}+frac{2cdot left( x+2 right)}{left( x-2 right)cdot left( x+2 right)}= \ =frac{{{x}^{2}}+2cdot left( x+2 right)}{left( x-2 right)left( x+2 right)}=frac{{{x}^{2}}+2x+4}{left( x-2 right)left( x+2 right)}. \ end{matrix}]

Возвращаемся к исходной задачи и смотрим на произведение:

[frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}cdot frac{{{x}^{2}}+2x+4}{left( x-2 right)left( x+2 right)}=frac{1}{x+2}]

Ответ: [frac{1}{x+2}].

Смысл этой задачи такой же, как и у предыдущей: показать, насколько могут упрощаться рациональные выражения, если подойти к их преобразованию с умом.

И вот теперь, когда вы всё это знаете, давайте перейдём к основной теме сегодняшнего урока — решению дробно-рациональных неравенств. Тем более что после такой подготовки сами неравенства вы будете щёлкать как орешки.:)

Основной способ решения рациональных неравенств

Существует как минимум два подхода к решению рациональных неравенств. Сейчас мы рассмотрим один из них — тот, который является общепринятым в школьном курсе математики.

Но для начала отметим важную деталь. Все неравенства делятся на два типа:

1. Строгие: $fleft( x right) gt 0$ или $fleft( x right) lt 0$;
2. Нестрогие: $fleft( x right)ge 0$ или $fleft( x right)le 0$.

Неравенства второго типа легко сводятся к первому, а также уравнению:

[fleft( x right)ge 0Leftrightarrow left[ begin{align} & fleft( x right) gt 0, \ & fleft( x right)=0. \ end{align} right.]

Это небольшое «дополнение» $fleft( x right)=0$ приводит к такой неприятной штуке как закрашенные точки — мы познакомились с ними ещё в методе интервалов. В остальном никаких отличий между строгими и нестрогими неравенствами нет, поэтому давайте разберём универсальный алгоритм:

1. Собрать все ненулевые элементы с одной стороны от знака неравенства. Например, слева;
2. Привести все дроби к общему знаменателю (если таких дробей окажется несколько), привести подобные. Затем по возможности разложить на числитель и знаменатель на множители. Так или иначе мы получим неравенство вида $frac{Pleft( x right)}{Qleft( x right)}vee 0$, где «галочка» — знак неравенства.
3. Приравниваем числитель к нулю: $Pleft( x right)=0$. Решаем это уравнение и получаем корни ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, … Затем требуем, чтобы знаменатель был не равен нулю: $Qleft( x right)ne 0$. Разумеется, по сути приходится решить уравнение $Qleft( x right)=0$, и мы получим корни $x_{1}^{*}$, $x_{2}^{*}$, $x_{3}^{*}$, … (в настоящих задачах таких корней вряд ли будет больше трёх).
4. Отмечаем все эти корни (и со звёздочками, и без) на единой числовой прямой, причём корни без звёзд закрашены, а со звёздами — выколоты.
5. Расставляем знаки «плюс» и «минус», выбираем те интервалы, которые нам нужны. Если неравенство имеет вид $fleft( x right) gt 0$, то в ответ пойдут интервалы, отмеченные «плюсом». Если $fleft( x right) lt 0$, то смотрим на интервалы с «минусами».

Практика показывает, что наибольшие трудности вызывают пункты 2 и 4 — грамотные преобразования и правильная расстановка чисел в порядке возрастания. Ну, и на последнем шаге будьте предельно внимательны: мы всегда расставляем знаки, опираясь на самое последнее неравенство, записанное перед переходом к уравнениям. Это универсальное правило, унаследованное ещё от метода интервалов.

Итак, схема есть. Давайте потренируемся.

Задача. Решите неравенство:

[frac{x-3}{x+7} lt 0]

Решение. Перед нами строгое неравенство вида $fleft( x right) lt 0$. Очевидно, пункты 1 и 2 из нашей схемы уже выполнены: все элементы неравенства собраны слева, к общему знаменателю ничего приводить не надо. Поэтому переходим сразу к третьему пункту.

Приравниваем к нулю числитель:

[begin{align} & x-3=0; \ & x=3. end{align}]

И знаменатель:

[begin{align} & x+7=0; \ & {{x}^{*}}=-7. \ end{align}]

В этом месте многие залипают, ведь по идее нужно записать $x+7ne 0$, как того требует ОДЗ (на ноль делить нельзя, вот это вот всё). Но ведь в дальнейшем мы будем выкалывать точки, пришедшие из знаменателя, поэтому лишний раз усложнять свои выкладки не стоит — пишите везде знак равенства и не парьтесь. Никто за это баллы не снизит.:)

Четвёртый пункт. Отмечаем полученные корни на числовой прямой:

Обратите внимание: все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое. И тут уже неважно: из числителя эти точки пришли или из знаменателя.

Ну и смотрим знаки. Возьмём любое число ${{x}_{0}} gt 3$. Например, ${{x}_{0}}=100$ (но с тем же успехом можно было взять ${{x}_{0}}=3,1$ или ${{x}_{0}}=1 000 000$). Получим:

[fleft( x right)=frac{x-3}{x+7}Rightarrow fleft( 100 right)=frac{100-3}{100+7}=frac{97}{107} gt 0]

Итак, справа от всех корней у нас положительная область. А при переходе через каждый корень знак меняется (так будет не всегда, но об это позже). Поэтому переходим к пятому пункту: расставляем знаки и выбираем нужное:

Возвращаемся к последнему неравенству, которое было перед решением уравнений. Собственно, оно совпадает с исходным, ведь никаких преобразований в этой задаче мы не выполняли.

Поскольку требуется решить неравенство вида $fleft( x right) lt 0$, я заштриховал интервал $xin left( -7;3 right)$ — он единственный отмечен знаком «минус». Это и есть ответ.

Ответ: $xin left( -7;3 right)$

Вот и всё! Разве сложно? Нет, не сложно. Правда, и задачка была лёгкая. Сейчас чуть усложним миссию и рассмотрим более «навороченное» неравенство. При его решении я уже не буду давать столь подробных выкладок — просто обозначу ключевые моменты. В общим, оформим его так, как оформляли бы на самостоятельной работе или экзамене.:)

Задача. Решите неравенство:

[frac{left( 7x+1 right)left( 11x+2 right)}{13x-4}ge 0]

Решение. Это нестрогое неравенство вида $fleft( x right)ge 0$. Все ненулевые элементы собраны слева, разных знаменателей нет. Переходим к уравнениям.

Числитель:

[begin{align} & left( 7x+1 right)left( 11x+2 right)=0 \ & 7x+1=0Rightarrow {{x}_{1}}=-frac{1}{7}; \ & 11x+2=0Rightarrow {{x}_{2}}=-frac{2}{11}. \ end{align}]

Знаменатель:

[begin{align} & 13x-4=0; \ & 13x=4; \ & {{x}^{*}}=frac{4}{13}. \ end{align}]

Не знаю, что за извращенец составлял эту задачу, но корни получились не очень: их будет трудно расставить на числовой прямой. И если с корнем ${{x}^{*}}={4}/{13};$ всё более-менее ясно (это единственное положительное число — оно будет справа), то ${{x}_{1}}=-{1}/{7};$ и ${{x}_{2}}=-{2}/{11};$ требуют дополнительного исследования: какое из них больше?

Выяснить это можно, например, так:

[{{x}_{1}}=-frac{1}{7}=-frac{2}{14} gt -frac{2}{11}={{x}_{2}}]

Надеюсь, не нужно объяснять, почему числовая дробь $-{2}/{14}; gt -{2}/{11};$? Если нужно, рекомендую вспомнить, как выполнять действия с дробями.

А мы отмечаем все три корня на числовой прямой:

Расставляем знаки. Например, можно взять ${{x}_{0}}=1$ и выяснить знак в этой точке:

[begin{align} & fleft( x right)=frac{left( 7x+1 right)left( 11x+2 right)}{13x-4}; \ & fleft( 1 right)=frac{left( 7cdot 1+1 right)left( 11cdot 1+2 right)}{13cdot 1-4}=frac{8cdot 13}{9} gt 0. \end{align}]

Последним неравенством перед уравнениями было $fleft( x right)ge 0$, поэтому нас интересует знак «плюс».

Получили два множества: один — обычный отрезок, а другой — открытый луч на числовой прямой.

Ответ: $xin left[ -frac{2}{11};-frac{1}{7} right]bigcup left( frac{4}{13};+infty right)$

Важное замечание по поводу чисел, которые мы подставляем для выяснения знака на самом правом интервале. Совершенно необязательно подставлять число, близкое к самому правому корню. Можно брать миллиарды или даже «плюс-бесконечность» — в этом случае знак многочлена стоящего в скобке, числителе или знаменателе, определяется исключительно знаком старшего коэффициента.

Давайте ещё раз посмотрим на функцию $fleft( x right)$ из последнего неравенства:

[fleft( x right)=frac{left( 7x+1 right)left( 11x+2 right)}{13x-4}]

В её записи присутствуют три многочлена:

[begin{align} & {{P}_{1}}left( x right)=7x+1; \ & {{P}_{2}}left( x right)=11x+2; \ & Qleft( x right)=13x-4. end{align}]

Все они являются линейными двучленами, и у всех старшие коэффициенты (числа 7, 11 и 13) положительны. Следовательно, при подстановке очень больших чисел сами многочлены тоже будут положительны.:)

Это правило может показаться чрезмерно сложным, но только поначалу, когда мы разбираем совсем лёгкие задачи. В серьёзных неравенствах подстановка «плюс-бесконечности» позволит нам выяснить знаки намного быстрее, нежели стандартное ${{x}_{0}}=100$.

Мы очень скоро столкнёмся с такими задачами. Но сначала разберём альтернативный способ решения дробно-рациональных неравенств.

Альтернативный способ

Этот приём мне подсказала одна из моих учениц. Сам я никогда им не пользовался, однако практика показала, что многим ученикам действительно удобнее решать неравенства именно таким способом.

Итак, исходные данные те же. Нужно решить дробно-рациональное неравенство:

[frac{Pleft( x right)}{Qleft( x right)} gt 0]

Давайте подумаем: чем многочлен $Qleft( x right)$ «хуже» многочлена $Pleft( x right)$? Из-за чего нам приходится рассматривать отдельные группы корней (со звёздочкой и без), думать о выколотых точках и т.д.? Всё просто: у дроби есть область определения, согласной которой дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель отличен от нуля.

В остальном никаких отличий между числителем и знаменателем не прослеживается: мы так же приравниваем его к нулю, ищем корни, затем отмечаем их на числовой прямой. Так почему бы не заменить дробную черту (фактически — знак деления) обычным умножением, а все требования ОДЗ прописать в виде отдельного неравенства? Например, так:

[frac{Pleft( x right)}{Qleft( x right)} gt 0Rightarrow left{ begin{align} & Pleft( x right)cdot Qleft( x right) gt 0, \ & Qleft( x right)ne 0. \ end{align} right.]

Обратите внимание: такой подход позволит свести задачу к методу интервалов, но при этом нисколько не усложнит решение. Ведь всё равно мы будем приравнивать многочлен $Qleft( x right)$ к нулю.

Давайте посмотрим, как это работает на реальных задачах.

Задача. Решите неравенство:

[frac{x+8}{x-11} gt 0]

Решение. Итак, переходим к методу интервалов:

[frac{x+8}{x-11} gt 0Rightarrow left{ begin{align} & left( x+8 right)left( x-11 right) gt 0, \ & x-11ne 0. \ end{align} right.]

Первое неравенство решается элементарно. Просто приравниваем каждую скобку к нулю:

[begin{align} & x+8=0Rightarrow {{x}_{1}}=-8; \ & x-11=0Rightarrow {{x}_{2}}=11. \ end{align}]

Со вторым неравенством тоже всё просто:

[x-11ne 0Rightarrow xne 11.]

Отмечаем точки ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$ на числовой прямой. Все они выколоты, поскольку неравенство строгое:

Обратите внимание на точку $x=11$. Получается, что она «дважды выколота»: с одной стороны, мы выкалываем её из-за строгости неравенства, с другой — из-за дополнительного требования ОДЗ.

В любом случае, это будет просто выколотая точка. Поэтому расставляем знаки для неравенства $left( x+8 right)left( x-11 right) gt 0$ — последнего, которое мы видели перед тем, как начали решать уравнения:

Нас интересуют положительные области, поскольку мы решаем неравенство вида $fleft( x right) gt 0$ — их и закрасим. Осталось лишь записать ответ.

Ответ. $xin left( -infty ;-8 right)bigcup left( 11;+infty right)$

На примере этого решения хотел бы предостеречь вас от распространённой ошибки среди начинающих учеников. А именно: никогда не раскрывайте скобки в неравенствах! Наоборот, старайтесь всё разложить на множители — это упростит решение и избавит вас от множества проблем.

Теперь попробуем кое-что посложнее.

Задача. Решите неравенство:

[frac{left( 2x-13 right)left( 12x-9 right)}{15x+33}le 0]

Решение. Это нестрогое неравенство вида $fleft( x right)le 0$, поэтому здесь нужно внимательно следить за закрашенными точками.

Переходим к методу интервалов:

[left{ begin{align} & left( 2x-13 right)left( 12x-9 right)left( 15x+33 right)le 0, \ & 15x+33ne 0. \ end{align} right.]

Переходим к уравнению:

[begin{align} & left( 2x-13 right)left( 12x-9 right)left( 15x+33 right)=0 \ & 2x-13=0Rightarrow {{x}_{1}}=6,5; \ & 12x-9=0Rightarrow {{x}_{2}}=0,75; \ & 15x+33=0Rightarrow {{x}_{3}}=-2,2. \ end{align}]

Учитываем дополнительное требование:

[15x+33ne 0Rightarrow xne -2,2.]

Отмечаем все полученные корни на числовой прямой:

Опять две точки «накладываются» друг на друга — это нормально, так будет всегда. Важно лишь понимать, что точка, отмеченная одновременно выколотой и закрашенной, на самом деле является выколотой. Т.е. «выкалывание» — более сильное действие, чем «закрашивание».

Это абсолютно логично, ведь выкалыванием мы отмечаем точки, которые влияют на знак функции, но сами не участвуют в ответе. И если в какой-то момент число перестаёт нас устраивать (например, не попадает в ОДЗ), мы вычёркиваем его из рассмотрения до самого конца задачи.

В общем, хватит философствовать. Расставляем знаки и закрашиваем те интервалы, которые отмечены знаком «минус»:

Ответ. $xin left( -infty ;-2,2 right)bigcup left[ 0,75;6,5 right]$.

И снова хотел обратить ваше внимание вот на это уравнение:

[left( 2x-13 right)left( 12x-9 right)left( 15x+33 right)=0]

Ещё раз: никогда не раскрывайте скобки в таких уравнениях! Вы только усложните себе задачу. Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение просто «разваливается» на несколько более мелких, которые мы и решали в предыдущей задаче.

Учёт кратности корней

Из предыдущих задач легко заметить, что наибольшую сложность представляют именно нестрогие неравенства, потому как в них приходится следить за закрашенными точками.

Но в мире есть ещё большее зло — это кратные корни в неравенствах. Тут уже приходится следить не за какими-то там закрашенными точками — тут знак неравенства может внезапно не поменяться при переходе через эти самые точки.

Ничего подобного мы в этом уроке ещё не рассматривали (хотя аналогичная проблема часто встречалась в методе интервалов). Поэтому введём новое определение:

Определение. Корень уравнения ${{left( x-a right)}^{n}}=0$ равен $x=a$ и называется корнем $n$-й кратности.

Собственно, нас не особо интересует точное значение кратности. Важно лишь то, чётным или нечётным является это самое число $n$. Потому что:

1. Если $x=a$ — корень чётной кратности, то знак функции при переходе через него не меняется;
2. И наоборот, если $x=a$ — корень нечётной кратности, то знак функции поменяется.

Частным случаем корня нечётной кратности являются все предыдущие задачи, рассмотренные в этом уроке: там везде кратность равна единице.

И ещё. Перед тем, как мы начнём решать задачи, хотел бы обратить ваше внимание на одну тонкость, которая покажется очевидной для опытного ученика, но вгоняет в ступор многих начинающих. А именно:

Корень кратности $n$ возникает только в том случае, когда в эту степень возводится всё выражение: ${{left( x-a right)}^{n}}$, а никак не $left( {{x}^{n}}-a right)$.

Ещё раз: скобка ${{left( x-a right)}^{n}}$ даёт нам корень $x=a$ кратности $n$, а вот скобка $left( {{x}^{n}}-a right)$ или, как часто бывает, $(a-{{x}^{n}})$ даёт нам корень (или два корня, если $n$ — чётное) первой кратности вне зависимости от того, чему равно $n$.

Сравните:

[{{left( x-3 right)}^{5}}=0Rightarrow x=3left( 5k right)]

Здесь всё чётко: вся скобка возводилась в пятую степень, поэтому на выходе мы получили корень пятой степени. А теперь:

[left( {{x}^{2}}-4 right)=0Rightarrow {{x}^{2}}=4Rightarrow x=pm 2]

Мы получили два корня, но оба они имеют первую кратность. Или вот ещё:

[left( {{x}^{10}}-1024 right)=0Rightarrow {{x}^{10}}=1024Rightarrow x=pm 2]

И пусть вас не смущает десятая степень. Главное, что 10 — это чётное число, поэтому на выходе имеем два корня, и оба они вновь имеют первую кратность.

В общем будьте внимательны: кратность возникает только тогда, когда степень относится ко всей скобке, а не только к переменной.

Задача. Решите неравенство:

[frac{{{x}^{2}}{{left( 6-x right)}^{3}}left( x+4 right)}{{{left( x+7 right)}^{5}}}ge 0]

Решение. Попробуем решить её альтернативным способом — через переход от частного к произведению:

[left{ begin{align} & {{x}^{2}}{{left( 6-x right)}^{3}}left( x+4 right)cdot {{left( x+7 right)}^{5}}ge 0, \ & {{left( x+7 right)}^{5}}ne 0. \ end{align} right.]

Разбираемся с первым неравенством методом интервалов:

[begin{align} & {{x}^{2}}{{left( 6-x right)}^{3}}left( x+4 right)cdot {{left( x+7 right)}^{5}}=0; \ & {{x}^{2}}=0Rightarrow x=0left( 2k right); \ & {{left( 6-x right)}^{3}}=0Rightarrow x=6left( 3k right); \ & x+4=0Rightarrow x=-4; \ & {{left( x+7 right)}^{5}}=0Rightarrow x=-7left( 5k right). \ end{align}]

Дополнительно решаем второе неравенство. На самом деле мы уже решали его, но чтобы проверяющие не придрались к решению, лучше решить его ещё раз:

[{{left( x+7 right)}^{5}}ne 0Rightarrow xne -7]

Обратите внимание: никаких кратностей в последнем неравенстве нет. В самом деле: какая разница, сколько раз вычёркивать точку $x=-7$ на числовой прямой? Хоть один раз, хоть пять — результат будет один и тот же: выколотая точка.

Отметим всё, что мы получили, на числовой прямой:

Как я и говорил, точка $x=-7$ в итоге будет выколота. Кратности расставлены исходя из решения неравенства методом интервалов.

Осталось расставить знаки:

Поскольку точка $x=0$ является корнем чётной кратности, знак при переходе через неё не меняется. Остальные точки имеют нечётную кратность, и с ними всё просто.

Ответ. $xin left( -infty ;-7 right)bigcup left[ -4;6 right]$

Ещё раз обратите внимание на $x=0$. Из-за чётной кратности возникает интересный эффект: слева от неё всё закрашено, справа — тоже, да и сама точка вполне себе закрашена.

Как следствие, её не нужно обособлять при записи ответа. Т.е. не надо писать что-нибудь в духе $xin left[ -4;0 right]bigcup left[ 0;6 right]$ (хотя формально такой ответ тоже будет правильным). Вместо этого сразу пишем $xin left[ -4;6 right]$.

Такие эффекты возможны только при корнях чётной кратности. И в следующей задаче мы столкнёмся с обратным «проявлением» этого эффекта. Готовы?

Задача. Решите неравенство:

[frac{{{left( x-3 right)}^{4}}left( x-4 right)}{{{left( x-1 right)}^{2}}left( 7x-10-{{x}^{2}} right)}ge 0]

Решение. В этот раз пойдём по стандартной схеме. Приравниваем к нулю числитель:

[begin{align} & {{left( x-3 right)}^{4}}left( x-4 right)=0; \ & {{left( x-3 right)}^{4}}=0Rightarrow {{x}_{1}}=3left( 4k right); \ & x-4=0Rightarrow {{x}_{2}}=4. \ end{align}]

И знаменатель:

[begin{align} & {{left( x-1 right)}^{2}}left( 7x-10-{{x}^{2}} right)=0; \ & {{left( x-1 right)}^{2}}=0Rightarrow x_{1}^{*}=1left( 2k right); \ & 7x-10-{{x}^{2}}=0Rightarrow x_{2}^{*}=5; x_{3}^{*}=2. \ end{align}]

Поскольку мы решаем нестрогое неравенство вида $fleft( x right)ge 0$, корни из знаменателя (которые со звёздочками) будут выколоты, а из числителя — закрашены.

Расставляем знаки и штрихуем области, отмеченные «плюсом»:

Перед тем, как записать окончательный ответ, внимательно посмотрим на картинку:

1. Точка $x=1$ имеет чётную кратность, но сама выколота. Следовательно, её придётся обособить в ответе: нужно записать $xin left( -infty ;1 right)bigcup left( 1;2 right)$, а никак не $xin left( -infty ;2 right)$.
2. Точка $x=3$ тоже имеет чётную кратность и при этом закрашена. Расстановка знаков свидетельствует, что сама точка нас устраивает, но шаг влево-вправо — и мы попадаем в область, которая нас точно не устраивает. Такие точки называются изолированными и записываются в виде $xin left{ 3 right}$.

Объединяем все полученные кусочки в общее множество и записываем ответ.

Ответ: $xin left( -infty ;1 right)bigcup left( 1;2 right)bigcup left{ 3 right}bigcup left[ 4;5 right)$

Прежде чем мы пойдём дальше, хотелось бы ещё раз напомнить, что означает термин «решить неравенство» (любое — не обязательно дробно-рациональное). А означает он буквально следующее:

Определение. Решить неравенство — значит найти множество всех его решений, либо доказать, что это множество пусто.

Казалось бы: что тут может быть непонятны? Да в том-то и дело, что множества можно задавать по-разному. Давайте ещё раз выпишем ответ к последней задаче:

[xin left( -infty ;1 right)bigcup left( 1;2 right)bigcup left{ 3 right}bigcup left[ 4;5 right)]

Читаем буквально, что написано. Переменная «икс» принадлежит некому множеству, которое получается объединением (значок «U») четырёх отдельных множеств:

• Интервал $left( -infty ;1 right)$, который буквально означает «все числа, меньшие единицы, но не сама единица»;
• Интервал $left( 1;2 right)$, т.е. «все числа в пределах от 1 до 2, но не сами числа 1 и 2»;
• Множество $left{ 3 right}$, состоящее из одного-единственного числа — тройки;
• Интервал $left[ 4;5 right)$, содержащий все числа в пределах от 4 до 5, а также саму четвёрку, но не пятёрку.

Интерес здесь представляет третий пункт. В отличие от интервалов, которые задают бесконечные наборы чисел и лишь обозначают лишь границы этих наборов, множество $left{ 3 right}$ задаёт строго одно число путём перечисления.

Чтобы понять, что мы именно перечисляем конкретные числа, входящие в множество (а не задаём границы или что-либо ещё), используются фигурные скобки. Например, запись $left{ 1;2 right}$ означает именно «множество, состоящее из двух чисел: 1 и 2», но никак не отрезок от 1 до 2. Ни в коем случае не путайте эти понятия.

Правило сложения кратностей

Ну и в заключение сегодняшнего урока немного жести от Павла Бердова.:)

Внимательные ученики уже наверняка задались вопросом: а что будет, если в числителе и знаменателе обнаружатся одинаковые корни? Так вот, работает следующее правило:

Кратности одинаковых корней складываются. Всегда. Даже если этот корень встречается и в числителе, и в знаменателе.

Иногда лучше решать, чем говорить. Поэтому решаем следующую задачу:

Задача. Решите неравенство:

[frac{{{x}^{2}}+6x+8}{left( {{x}^{2}}-16 right)left( {{x}^{2}}+9x+14 right)}ge 0]

Решение. Приравниваем к нулю числитель:

[begin{align} & {{x}^{2}}+6x+8=0 \ & {{x}_{1}}=-2; {{x}_{2}}=-4. \ end{align}]

Пока ничего особенного. Приравниваем к нулю знаменатель:

[begin{align} & left( {{x}^{2}}-16 right)left( {{x}^{2}}+9x+14 right)=0 \ & {{x}^{2}}-16=0Rightarrow x_{1}^{*}=4; x_{2}^{*}=-4; \ & {{x}^{2}}+9x+14=0Rightarrow x_{3}^{*}=-7; x_{4}^{*}=-2. \ end{align}]

Обнаружены два одинаковых корня: ${{x}_{1}}=-2$ и $x_{4}^{*}=-2$. Оба имеют первую кратность. Следовательно заменяем их одним корнем $x_{4}^{*}=-2$, но уже с кратностью 1+1=2.

Кроме того, есть ещё одинаковые корни: ${{x}_{2}}=-4$ и $x_{2}^{*}=-4$. Они тоже первой кратности, поэтому останется лишь $x_{2}^{*}=-4$ кратности 1+1=2.

Обратите внимание: в обоих случаях мы оставили именно «выколотый» корень, а «закрашенный» выкинули из рассмотрения. Потому что ещё в начале урока договорились: если точка одновременно и выколотая, и закрашенная, то мы всё равно считаем её выколотой.

В итоге у нас есть четыре корня, причём все оказались выколоты:

[begin{align} & x_{1}^{*}=4; \ & x_{2}^{*}=-4left( 2k right); \ & x_{3}^{*}=-7; \ & x_{4}^{*}=-2left( 2k right). \ end{align}]

Отмечаем их на числовой прямой с учётом кратности:

Расставляем знаки и закрашиваем интересующие нас области:

Всё. Никаких изолированных точек и прочих извращений. Можно записывать ответ.

Ответ. $xin left( -infty ;-7 right)bigcup left( 4;+infty right)$.

Правило умножения кратностей

Иногда встречается ещё более неприятная ситуация: уравнение, имеющее кратные корни, само возводится в некоторую степень. При этом меняются кратности всех исходных корней.

Такое встречается редко, поэтому большинство учеников не имеют опыта решения подобных задач. А правило здесь следующее:

При возведении уравнения в степень $n$ кратности всех его корней тоже увеличиваются в $n$ раз.

Другими словами, возведение в степень приводит к умножению кратностей на эту же степень. Рассмотрим это правило на примере:

Задача. Решите неравенство:

[frac{x{{left( {{x}^{2}}-6x+9 right)}^{2}}{{left( x-4 right)}^{5}}}{{{left( 2-x right)}^{3}}{{left( x-1 right)}^{2}}}le 0]

Решение. Приравниваем к нулю числитель:

[x{{left( {{x}^{2}}-6x+9 right)}^{2}}{{left( x-4 right)}^{5}}=0]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. С первым множителем всё понятно: $x=0$. А вот дальше начинаются проблемы:

[begin{align} & {{left( {{x}^{2}}-6x+9 right)}^{2}}=0; \ & {{x}^{2}}-6x+9=0left( 2k right); \ & D={{6}^{3}}-4cdot 9=0 \ & {{x}_{2}}=3left( 2k right)left( 2k right) \ & {{x}_{2}}=3left( 4k right) \ end{align}]

Как видим, уравнение ${{x}^{2}}-6x+9=0$ имеет единственный корень второй кратности: $x=3$. Затем всё это уравнение возводится в квадрат. Следовательно, кратность корня составит $2cdot 2=4$, что мы в итоге и записали.

Дальше — стандартно:

[{{left( x-4 right)}^{5}}=0Rightarrow x=4left( 5k right)]

Со знаменателем тоже никаких проблем:

[begin{align} & {{left( 2-x right)}^{3}}{{left( x-1 right)}^{2}}=0; \ & {{left( 2-x right)}^{3}}=0Rightarrow x_{1}^{*}=2left( 3k right); \ & {{left( x-1 right)}^{2}}=0Rightarrow x_{2}^{*}=1left( 2k right). \ end{align}]

В сумме у нас получилось пять точек: две выколотых и три закрашенных. Совпадающих корней в числителе и знаменателе не наблюдается, поэтому просто отмечаем их на числовой прямой:

Расставляем знаки с учётом кратностей и закрашиваем интересующие нас интервалы:

Из-за корней чётной кратности вновь получили парочку «нестандартных» элементов. Это $xin left[ 0;1 right)bigcup left( 1;2 right)$, а никак не $xin left[ 0;2 right)$, а также изолированная точка $xin left{ 3 right}$.

Ответ. $xin left[ 0;1 right)bigcup left( 1;2 right)bigcup left{ 3 right}bigcup left[ 4;+infty right)$

Как видите, всё не так сложно. Главное — внимательность. Последний раздел этого урока посвящён преобразованиям — тем самым, которые мы обсуждали в самом начале.

Предварительные преобразования

Неравенства, которые мы разберём в этом разделе, нельзя назвать сложными. Однако в отличие от предыдущих задач здесь придётся применить навыки из теории рациональных дробей — разложение на множители и приведение к общему знаменателю.

Мы детально обсуждали этот вопрос в самом начале сегодняшнего урока. Если вы не уверены, что понимаете, о чём речь — настоятельно рекомендую вернуться и повторить. Потому что нет никакого смысла зубрить методы решения неравенств, если вы «плаваете» в преобразовании дробей.

В домашней работе, кстати, тоже будет много подобных задач. Они вынесены в отдельный подраздел. И там вас ждут весьма нетривиальные примеры. Но это будет в домашке, а сейчас давайте разберём парочку таких неравенств.

Задача. Решите неравенство:

[frac{x}{x-1}le frac{x-2}{x}]

Решение. Переносим всё влево:

[frac{x}{x-1}-frac{x-2}{x}le 0]

Приводим к общему знаменателю, раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые в числителе:

[begin{align} & frac{xcdot x}{left( x-1 right)cdot x}-frac{left( x-2 right)left( x-1 right)}{xcdot left( x-1 right)}le 0; \ & frac{{{x}^{2}}-left( {{x}^{2}}-2x-x+2 right)}{xleft( x-1 right)}le 0; \ & frac{{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+3x-2}{xleft( x-1 right)}le 0; \ & frac{3x-2}{xleft( x-1 right)}le 0. \end{align}]

Теперь перед нами классическое дробно-рациональное неравенство, решение которого уже не представляет трудности. Предлагаю решить его альтернативным методом — через метод интервалов:

[begin{align} & left( 3x-2 right)cdot xcdot left( x-1 right)=0; \ & {{x}_{1}}=frac{2}{3}; {{x}_{2}}=0; {{x}_{3}}=1. \ end{align}]

Не забываем ограничение, пришедшее из знаменателя:

[xleft( x-1 right)ne 0Rightarrow xne 0;xne 1]

Отмечаем все числа и ограничения на числовой прямой:

Все корни имеют первую кратность. Никаких проблем. Просто расставляем знаки и закрашиваем нужные нам области:

Это всё. Можно записывать ответ.

Ответ. $xin left( -infty ;0 right)bigcup left[ {2}/{3};;1 right)$.

Разумеется, это был совсем уж просто пример. Поэтому сейчас рассмотрим задачу посерьёзнее. И кстати, уровень этой задачи вполне соответствует самостоятельным и контрольным работам по этой теме в 8 классе.

Задача. Решите неравенство:

[frac{1}{{{x}^{2}}+8x-9}ge frac{1}{3{{x}^{2}}-5x+2}]

Решение. Переносим всё влево:

[frac{1}{{{x}^{2}}+8x-9}-frac{1}{3{{x}^{2}}-5x+2}ge 0]

Перед тем как приводить обе дроби к общему знаменателю, разложим эти знаменатели на множители. Вдруг вылезут одинаковы скобки? С первым знаменателем легко:

[{{x}^{2}}+8x-9=left( x-1 right)left( x+9 right)]

Со вторым чуть сложнее. Не стесняйтесь вносить множитель-константу в ту скобку, где обнаружилась дробь. Помните: исходный многочлен имел целые коэффициенты, поэтому велика вероятность, что и разложение на множители будет иметь целые коэффициенты (на самом деле так будет всегда, за исключением случаев, когда дискриминант иррационален).

[begin{align} & 3{{x}^{2}}-5x+2=3left( x-1 right)left( x-frac{2}{3} right)= \ & =left( x-1 right)left( 3x-2 right) end{align}]

Как видим, есть общая скобка: $left( x-1 right)$. Возвращаемся к неравенству и приводим обе дроби к общему знаменателю:

[begin{align} & frac{1}{left( x-1 right)left( x+9 right)}-frac{1}{left( x-1 right)left( 3x-2 right)}ge 0; \ & frac{1cdot left( 3x-2 right)-1cdot left( x+9 right)}{left( x-1 right)left( x+9 right)left( 3x-2 right)}ge 0; \ & frac{3x-2-x-9}{left( x-1 right)left( x+9 right)left( 3x-2 right)}ge 0; \ & frac{2x-11}{left( x-1 right)left( x+9 right)left( 3x-2 right)}ge 0; \ end{align}]

Дальше легко. Приравниваем к нулю числитель.

[2x-11=0Rightarrow x=5,5]

Приравниваем к нулю знаменатель:

[begin{align} & left( x-1 right)left( x+9 right)left( 3x-2 right)=0; \ & x_{1}^{*}=1; x_{2}^{*}=-9; x_{3}^{*}=frac{2}{3} \ end{align}]

Никаких кратностей и совпадающих корней. Отмечаем четыре числа на прямой:

Расставляем знаки:

Записываем ответ.

Ответ: $xin left( -infty ;-9 right)bigcup left( {2}/{3};;1 right)bigcup left[ 5,5;+infty right)$.

Всё! Лайк тому, то дочитал до этой строчки.:)

Смотрите также:

1. Тест по методу интервалов для строгих неравенств
2. Особенности решения неравенств с радикалами
3. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
4. Профильный ЕГЭ-2022, задание 6. Геометрический смысл производной
5. Задача B2: лекарство и таблетки
6. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная к графику функции

(blacktriangleright) Рациональное неравенство – это неравенство, которое можно свести к виду [large{dfrac{P(x)}{Q(x)}geqslant 0}
quad (*)] где (P(x), Q(x)) – многочлены.
(на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant,
>,
<))

Способы решения данного неравенства:

1 способ: Классический. Т.к. дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака (разных знаков), то неравенство ((*)) равносильно совокупности:

[{large{left[begin{gathered}
begin{aligned}
&begin{cases} P(x)geqslant 0\ Q(x)>0 end{cases}\
&begin{cases} P(x)leqslant 0\ Q(x)<0 end{cases}
end{aligned}
end{gathered}
right.}}]

2 способ: Удобный. Метод интервалов (будем рассматривать этот метод на примере):

1 ШАГ. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Пусть после разложения неравенство примет вид [dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)(2x^2+3x+5)(2x-x^2-3)}{(x+1)^3(3-x)(2-3x)^2} geqslant0] Помним, что если квадратное уравнение:

(sim) имеет два корня (x_1) и (x_2) (дискриминант (D>0)), то (ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)).

(sim) имеет один корень (x_1) ((D=0)), то (ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2).

(sim) не имеет корней ((D<0)), то квадратный трехчлен (ax^2+bc+c) никогда не может быть равен нулю, соответственно, не разлагается на линейные множители.

2 ШАГ. Рассмотрим скобки, в которых находится квадратный трехчлен с (D<0).

Если при (x^2) находится положительный коэффициент, то эти скобки можно вычеркнуть (в нашем неравенстве это ((2x^2+3x+5))).

Если при (x^2) находится отрицательный коэффициент, то при вычеркивании такой скобки знак неравенства меняем на противоположный (в нашем неравенстве это ((2x-x^2-3))).
Заметим, что если таких скобок несколько, то вычеркиваем их последовательно по одной, каждый раз меняя знак неравенства на противоположный.

Таким образом, неравенство примет вид [dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)}{(x+1)^3(3-x)(2-3x)^2}
leqslant0]

3 ШАГ. Рассмотрим линейные скобки.

Назовем скобку хорошей, если при (x) находится положительный коэффициент (такие скобки не трогаем), и плохой, если при (x) находится отрицательный коэффициент (в таких скобках меняем все знаки на противоположные, т.е. делаем их хорошими).

Если плохих скобок было четное количество, то знак неравенства не изменится, если нечетное – то знак неравенства изменится на противоположный.

В нашем неравенстве одна скобка ((3-x)) и две скобки ((2-3x)) (т.к. ((2-3x)^2=(2-3x)(2-3x))), т.е. всего три плохих скобки, следовательно, неравенство примет вид: [dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)}{(x+1)^3(x-3)(3x-2)^2}
geqslant0quad (**)]

4 ШАГ. Отметим нули каждой скобки на числовой прямой, причем нули знаменателя – выколотые, нули числителя – закрашенные (если знак неравенства нестрогий, как у нас) или выколотые (если знак неравенства строгий).

Если мы отметили (n) точек, то числовая прямая разобьется на (n+1) промежутков.

Расставим знак на каждом промежутке справа налево.

Т.к. все скобки – хорошие, то первый знак всегда будет («+»). Если какая-то точка входит в четное количество скобок, то при переходе через нее (справа налево!) знак меняться не будет (например, точка (-1) входит в четное количество скобок: одна в числителе и три в знаменателе);

5 ШАГ. Запишем ответ. В нашем случае, т.к. знак преобразованного ((**)) неравенства (geqslant 0), то в ответ пойдут промежутки со знаком («+») и закрашенные точки: [xin
(-infty;-1)cup left(-1;frac23right)cup
left(dfrac23;1right]cup(3;+infty)]

Рациональные неравенства – подробнее

Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.

Что такое рациональное выражение? Напомню:

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной (displaystyle x) с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Например, такое рациональное неравенство: (displaystyle frac{x+1}{{x}-2}le frac{x+2}{x})

Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:

Шаг 1. Перенос. Общий знаменатель. Разложение на множители

Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители.

Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени.

Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.

Если забыл, как раскладывать выражение на множители, прочти тему «Разложение многочленов на множители».

Шаг 2. Метод интервалов

Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Метод интервалов».

Первый шаг у нас уже раньше встречался. Где? В рациональных уравнениях!

Но в отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель! 

Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем!

Это правило у нас уже было в теме «Метод интервалов». И вообще, в этой теме мы уже учились решать рациональные неравенства. Поэтому здесь ограничимся отдельными примерами.

Бонусы: Вебинары с нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 15. Решение уравнений и неравенств. Метод интервалов

В этом видео мы узнаем (вспомним) метод интервалов, поймём как и почему он работает.

Вспомним, как решать квадратные, рациональные неравенства, а также неравенства с модулем и иррациональные.

ЕГЭ 15. Смешанные неравенства. Логарифмические и тригонометрические

Задачу №15 мы на курсе уже научились решать: разобрали по косточкам и показательные, и логарифмические (в том числе с переменными основаниями), и смешанные неравенства.

Ну и системы неравенств не забыли. Бонусом прошлись по иррациональным неравенствам и неравенствам с модулем.

Но погодите, не выдыхайте пока. Поиграем в слабо! 

А слабо скрестить логарифмы с тригонометрией?  Этим и займемся в задаче на логарифмы с разными основаниями. Мы решим эту сложную задачу 2-мя способами!

Эти видео – вебинары, входящие в наш курс подготовки к ЕГЭ по математике.

По 15 задаче ЕГЭ мы также разберем как решать рациональные уравнения, уравнения с модулем, иррациональные уравнения системы уравнений с двумя неизвестными, рассмотрим тему сравнение чисел – корни.

Научившись решать отдельные неравенства, мы перейдем к системам неравенств и узнаем, как строится решение системы неравенств.

Все это нужно знать для решения 15-й задачи. Если вы будете готовиться к ЕГЭ самостоятельно, составьте план подготовки и включите в него все эти темы.

И не забудьте решить как можно больше задач по этим темам!

Методичка
по решению дробно-рациональных неравенств методом интервалов

Задание
15 (ЕГЭ)

Составила:

Мокина
Вера

Сергеевна,

учитель
математики

МАОУ
гимназия №83

г.
Тюмень

Содержание

1.   Общий метод решения неравенств вида > 0

2.    Алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов

3.     Решение дробно-рациональных неравенств.

4.    Решение неравенств смешанного типа.

5.     Задачи для самостоятельного решения.

       Данное
пособие содержит методические рекомендации по решению неравенств методом
интервалов.  На примерах раскрывается метод
интервалов при решении
неравенств, содержащих разные элементарные функции. Приводится алгоритм для решения методом интервалов,
примеры решений разнообразных неравенств и задачи для
дополнительного решения, снабженные ответами. Предназначено для учащихся старших классов.

1.   
Общий метод решения неравенств вида > 0

Пусть
заданное неравенство имеет вид > 0. Вместо знака > могут
быть знаки <,≤, ≥, а функция в знаменателе может быть постоянной, либо оно приведено
к этому виду с помощью правил преобразования неравенства в равносильное (основные
свойства неравенств):

а)
можно прибавлять (вычитать) одно и то же число к обеим частям неравенства;

б)
обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же

положительное
число. Неравенство при этом сохраняет свой знак;

в)
обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же

отрицательное
число. Неравенство при этом меняет свой знак на обратный;

г)
если для одних и тех же значений х справедливы неравенства g(x)>0, q(x)>0
и g(x)> q(x), то для тех же значений x верно неравенство

 (g
( х))ⁿ > (q (х ))ⁿ.

2.     Алгоритм
решения рациональных неравенств методом интервалов

1.           
Переносим все в левую часть, справа оставляем только ноль;

2.           
Находим ОДЗ;

3.           
Разложим числитель и знаменатель на множители;

4.           
Наносим на ось все числа, при которых каждый множитель обращается
в ноль;

5.           
Берем произвольный 𝑥 из одного из промежутков
и определяем знак в интервале, чередуем знаки, обращая внимание
на числа, при которых каждый множитель обращается в ноль, повторяющиеся в
неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их
повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет; можно не подставлять значения
из каждого интервала для определения знака, а можно определить знак в одном из
интервалов, а в остальных просто чередовать знаки;

6.           
В ответ пишем интервалы, соблюдая выколотые и не выколотые точки
(смотри ОДЗ), ставя необходимые виды скобок между ними.

Пример 1.

            ОДЗ: х 

,  

    ,      ,     ,

с          7

, 7         ,   у=                                                                                                                             

х               1                             

Ответ: (-

Пример 2

Ответ: [0;1], (3;4)

Пример 3

ОДЗ: Х, Х

Пусть с =, с

С =1                           2

 = 1                        2

Х = 0                         1

Ответ: , (1;

Пример 4

 = с, с

D = 81, с =-3, с = 6,

с

                        6

Х                          

Ответ: (-

Пример 5

ОДЗ: Х

Пусть у = ,  

 = 0

D = 64, у =7, у =15, = (у-7)(у -15)

У

                                       

                                                      

4 – х²                    4 – х²                                     
4 – х²

Х²                        —
4 — х²                                    
– х² 

Х или                   х                               
х²

Х                     х                                
х = 0

Ответ: (-

Пример 5

ОДЗ: , Х

Пусть у =

D = 25, У = 1, У = ,  -3(У-1)(У-)

D = 9, у =2,у =5, 

1                          

1                           

0                  

Ответ: [0;

Реши самостоятельно:

1.  

2. 

3. 

4.  

Литература

1. ЕГЭ.
Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов
/ под ред. И.В. Ященко. — М.: Издательство «Национальное образование», 2019
256 с.

2.Открытый
банк заданий ЕГЭ. Режим доступа: http://www.fipi.ru

Метод интервалов

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим неравенство:

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида  .

, где  и  — корни квадратного уравнения .

Получим:

Рисуем ось X и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя и  — выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя).

Напомним, что мы изображаем точку на числовой прямой выколотой (пустой), если соответствующее значение переменной никак не может быть решением неравенства. В нашем примере точки и выколотые, потому что в них знаменатель обращается в ноль.

Нули числителя и  — закрашены, так как неравенство нестрогое. При  и  наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось X на 5 промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из «скобок» отрицательная. Левая часть имеет знак .

Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .

. Возьмем . При выражение положительно — следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .

При  левая часть неравенства отрицательна. 

И, наконец, . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая «скобочка» положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .

Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:

Ответ: .

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

, или , или , или

(в левой части — дробно-рациональная функция, в правой — нуль).

Затем — отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого — записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

2. Рассмотрим еще одно неравенство:

Решение:

Снова расставляем точки на оси X. Точки и  — выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка  — тоже выколота, поскольку неравенство строгое, и значение переменной не может быть решением неравенства.

При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :

При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :

При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :

Наконец, при все множители положительны, и левая часть имеет знак :

Ответ: .

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку 2 «ответственный» за неё множитель не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель  стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку  знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

Решение:

Левая часть та же, что и в предыдущем примере. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю — следовательно, эта точка является решением.

Ответ: .

В задачах на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

Решение:

Квадратный трехчлен  на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно — положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции.

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех .

Придём к равносильному неравенству:

Решим неравенство методом интервалов. Действуем по алгоритму: числитель левой части равен нулю при а знаменатель обращается в ноль при . Отметим эти точки на координатной прямой. Точки выколоты, потому что неравенство строгое. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Найдем знаки на каждом из интервалов. На крайнем правом знак положителен, а дальше знаки чередуются.

Нам нужен «интервал со знаком минус», то есть такой, где Выпишем ответ.

Ответ:

Обратите внимание — мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

Решение:

Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину — знак неравенства меняется.

Мы поступим по-другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

Применим метод интервалов.

Действуем по алгоритму. Отметим на координатной прямой точки и . Они выколотые, потому что неравенство строгое. Эти точки разбивают ось Х на три интервала. Расставим знаки на каждом из них.

Ответ:

6. Решите неравенство:

Решение:

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю и преобразуем числитель:

Применим метод интервалов:

Числитель равен нулю при Знаменатель обращается в ноль при или . Неравенство строгое, поэтому все эти точки на числовой оси отмечаем как пустые.

Если , то . Далее знаки чередуются.

Нам нужны «интервалы со знаком минус». Выпишем их и получим ответ.

Ответ:

7. Решите неравенство

Решение:

Приведем неравенство к виду:

Для этого все перенесем в левую часть, приведем к общему знаменателю и разложим числитель и знаменатель на множители. Применяем формулу разности квадратов и формулу разложения квадратного трехчлена на множители

Получим:

Найдем нули числителя и знаменателя и отметим их на числовой оси:

Выпишем интервалы, где неравенство выполняется, и получим ответ.

Ответ:

8. Решите неравенство:

Решение:

Разложим левую часть неравенства на множители.

Для этого вынесем общий множитель за скобки, а затем воспользуемся формулой:

Получим:

Применим метод интервалов.

Левая часть неравенства обращается в ноль, если , или . Нанесем эти точки на координатную прямую. Все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое, в нем присутствует знак «меньше или равно».

Ответ:

9. Решите неравенство:

Решение:

Разложим числитель на множители с помощью группировки:

Знаменатель тоже разложим на множители:

Неравенство примет вид:

Мы видим, что числитель равен нулю при

Знаменатель равен нулю при . Множитель стоит в числителе и в знаменателе, и он не может равняться нулю.

Отметим полученные точки на координатной прямой. Две из них закрашены (это 3 и 1), а две нет (это -1 и -2). Найдем знаки на каждом промежутке.

При переходе через точку знак не меняется, так как множитель присутствует и в числителе, и в знаменателе.

Выпишем ответ.

Ответ:

10. Решите неравенство:

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Напомним, что выражение мы разложили на множители, решив квадратное уравнение:

Неравенство примет вид:

Воспользуемся методом интервалов.

Числитель дроби в левой части неравенства равен нулю, если Знаменатель обращается в ноль, если или . Отметим эти точки на координатной прямой и определим знаки на интервалах.

Ответ:

11. Решите неравенство:

Решение:

Можно сразу применить метод интервалов.

Но лучше, чтобы не запутаться со знаками, умножить обе части неравенства на (-1) и не забыть поменять знак неравенства на противоположный.

Теперь применим метод интервалов.

Отметим на координатной прямой нули числителя и знаменателя и определим знаки на интервалах.

Обратите внимание, что знак не меняется при переходе через точку , так как множитель входит в выражение в левой части неравенства в четной степени.

Ответ:

12. Решите неравенство:

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Сократим на множитель при условии, что .

Здесь мы действуем чуть иначе, чем в задаче 9.

Неравенство равносильно системе:

Решаем второе неравенство системы методом интервалов:

Второму неравенству удовлетворяют точки .

Точка в этот промежуток не входит.

Ответ:

13. Решите неравенство:

Решение:

Разложив числитель на множители, получим:

Применим метод интервалов.

Отметим на числовой оси точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль. Обратите внимание, что точки -1 и 5 закрашены, а точки 2 и 4 пустые.

Определим знаки на интервалах.

Знак не меняется при переходе через точку , так как множитель входит в выражение в левой части неравенства в четной степени. При переходе через точку 4 знак меняется, степень соответствующего множителя нечетная.

В ответе запишем интервалы, на которых неравенство выполняется.

Ответ:

14. Решите неравенство:

Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения: суммы и разности кубов, разности квадратов.

Кажется, что неравенство сложное. Попробуем разложить на множители выражения и

Оказывается, что дискриминанты соответствующих квадратных уравнений отрицательны, поэтому и при всех х.

Разделим обе части неравенства на эти положительные выражения.

Получим:

Неравенство равносильно системе:

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

Его решением является промежуток [1;4], причем точка в этот промежуток не входит.

Ответ:

Мы показали на различных примерах, как применяется метод интервалов.

Сделаем вывод:
Метод интервалов помогает решать дробно-рациональные неравенства по алгоритму. Правила просты: приводим неравенство к такому виду, что в его левой части – произведение множителей или дробь, а в правой – ноль. Находим точки, в которых левая часть обращается в ноль или не определена. Отмечаем на числовой оси эти точки. Они разбивают числовую ось (или координатную прямую) на интервалы, на каждом из которых функция в левой части неравенства сохраняет свой знак. Определяем знаки на интервалах, помня о правилах чередования знаков. И записываем ответ.

---