Дробные показательные неравенства егэ

Поиск

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 216    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 216    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Показательные неравенства

В этой статье есть все о показательных неравенствах.

Для тех, кто ничего не знает, мы начнем с самых азов, с самых простейших примеров. И постепенно научим вам решать любые показательные неравенства, которые могут встретиться вам на ЕГЭ.

Если вы продвинутый школьник, вы можете пропустить азы и переходить сразу… к методу декомпозиции или к анализу монотонности функций. 🙂

А если серьезно, даже если вы уже хорошо знаете тему, вы точно найдете для себя что-то новое!

Или же хорошо потренируетесь, если решите все 44 неравенства этой статьи самостоятельно.

Показательные неравенства – коротко о главном

Определение:

Простейшими показательными неравенствами являются неравенства следующего вида:
({{a}^{fleft( x right)}}>{{a}^{gleft( x right)}},~{{a}^{fleft( x right)}}<{{a}^{gleft( x right)}},~{{a}^{fleft( x right)}}ge {{a}^{gleft( x right)}},~{{a}^{fleft( x right)}}le {{a}^{gleft( x right)}}),
Где (a) – основание, (fleft( x right),~gleft( x right)) – показатели.

Правило решения показательных неравенств:

({{a}^{fleft( x right)}}>{{a}^{gleft( x right)}}=>~fleft( x right)>gleft( x right)) (left(при ~a>1 right))
({{a}^{fleft( x right)}}>{{a}^{gleft( x right)}}=>~fleft( x right)<gleft( x right)) ((при ~0<a<1))

Методы решения показательных неравенств:

• Метод группировки.
• Метод интервалов.
• Преобразование оснований.
• Разложение на множители.
• Замена переменной.
• Метод декомпозиции.
• Анализ монотонности функции.

Темы на повторение

• Вспомнить простейшие свойства степеней;
• Вспомнить, как решаются линейные неравенства и квадратичные неравенства;
• Вспомнить, как решаются показательные уравнения;
• Метод интервалов (будем разбирать в этой статье);
• Свойства логарифмов.

Показательные неравенства – самые азы

Этот раздел для тех, кто “ничего не знает” про показательные неравенства.

Начнем с самого начала, чтобы вы разобрались в базовых вещах и далее понимали что вы делаете. Обязательно решите все примеры самостоятельно!

Если вы продвинутый читатель, можете его пропустить. Но лучше просмотреть и решить все примеры.

Это займет у вас 5 минут.

Если (displaystyle {{5}^{x}}~=25), то (displaystyle x=2). А если (displaystyle 5x>25), каким же должен быть (displaystyle x)? 

Я думаю, что ты без труда понял, что (displaystyle x>5).

А если (displaystyle {{5}^{x}}~>25 )?

Так как (displaystyle 25={{5}^{2}}), то ты вполне резонно можешь предположить, что (displaystyle x>2).

А вот пример позабористее: (displaystyle {{0,1}^{x}}~>~0,01).

Опять таки, легко сосчитать, что (displaystyle 0,01={{0,1}^{2}}). И у нас получится (displaystyle {{0,1}^{x}}~>{{0,1}^{2}}).

И какой можно из этого сделать вывод? Может быть, как и в предыдущем примере, (displaystyle x>2)?

На первый взгляд, это кажется вполне очевидным. Но, увы, это не правильно.

Потому что, как ни парадоксально, из (displaystyle {{0,1}^{x}}~>{{0,1}^{2}}) следует, что (displaystyle x<2)!!

Неожиданно, правда?

Я бы мог долго распространяться, почему это так, умничая направо и налево, и бросаясь такими словами, как «монотонное возрастание» и «показательная функция», но я пожалею твое время и объясню простое правило.

Если основание в неравенстве больше (displaystyle 1), то знак неравенства выполняется и для его показателей. 

Если же основание больше (displaystyle 0) и меньше (displaystyle 1), то знак неравенства между его показателями меняется на противоположный. 

Кратко это правило можно записать так:

(displaystyle {{a}^{x}}>{{a}^{y}}=>~x>y) (при (displaystyle a>1))

(displaystyle {{a}^{x}}>{{a}^{y}}=>~x<y) (при (displaystyle 0<a<1))

Такие же правила ты можешь получить для трех оставшихся знаков неравенств: (displaystyle <),(displaystyle le ),(displaystyle ge ).

Я сказал «можешь»?

Нет, я ошибся: должен составить! Так тебе легче будет запомнить это нехитрое (самое нехитрое) правило.

Да, кстати, если ты внимательно читал мое изложение, то у тебя вполне могли появиться вопросы: а что если:

• Основание (displaystyle a=1)?
• Основание (displaystyle a<0)?
• Правая часть неравенства меньше нуля, например: (displaystyle {{2}^{x}}>-2)?

Ответы вот:

• во-первых, не принято и не умеют решать показательные неравенства в которых (displaystyle a=1) потому, что сколько единицу не умножай саму на себя (а именно это и делает степень), ничего кроме самой единицы ты все равно не получишь.
• То же самое касается и неравенств, в которых основание меньше нуля – просто забудь о них.
• Отдельного разговора (и абзаца) заслуживает последний случай.

Давай вместо основания возьмем число (displaystyle 2) и будем возводить его во всевозможные степени:

(displaystyle n)	(displaystyle 0)	(displaystyle 1)	(displaystyle -1)	(displaystyle 2)	(displaystyle -2)	(displaystyle 3)	(displaystyle -3)	(displaystyle 4)	(displaystyle -4)
(displaystyle {{2}^{n}})	(displaystyle 1)	(displaystyle 2)	(displaystyle frac{1}{2})	(displaystyle 4)	(displaystyle frac{1}{4})	(displaystyle	(displaystyle frac{1}{8})	(displaystyle 16)	(displaystyle frac{1}{16})

Ты понял, как я заполнил эту таблицу? Нет!?

Стыд и позор, я же просил повторить свойства степени. Вернись и перечитай, а потом возвращайся к нам.

Итак, все стало понятно? Ну что же, продолжим.

Что мы видим в этой таблице?

Чем больше степень, тем больше значение выражения (displaystyle {{2}^{n}}), и наоборот: чем меньше степень, тем это значение меньше.

Но, тем не менее, видно что, (displaystyle {{2}^{n}}) всегда больше нуля.

ВСЕГДА. Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!!

(displaystyle {{a}^{x}}>0) (для любых (displaystyle a) и (displaystyle x)).

Таким образом, уравнения вида (displaystyle {{a}^{x}}>0,{{a}^{x}}ge 0) имеют решения для любых (displaystyle x) (это, как ты помнишь, записывается, (displaystyle xin left( -infty ;+infty right))).

А вот неравенствам (displaystyle {{a}^{x}}<0,{{a}^{x}}le 0) повезло куда меньше: они не имеют решений.

Ну вот, все приличия соблюдены, теперь можно переходить уже к некоторым примерам:

• (displaystyle {{2}^{x}}<32)
• (displaystyle {{4}^{x+2}}le 64)
• (displaystyle {{27}^{x+2}}le 81)
• (displaystyle {{left( frac{1}{3} right)}^{2x}}>9) (Правая часть неравенства меньше нуля (displaystyle {{2}^{x}}>-2)?)
• (displaystyle {{left( frac{1}{5} right)}^{-4x}}>frac{1}{sqrt{5}})

Решил? Честно? Ну хорошо, давай проверять вместе:

Пример 1. (displaystyle {{2}^{x}}<32,~{{2}^{x}}<{{2}^{5}}), так как (displaystyle 2>1), то (displaystyle x<5).

Ответ, как ты помнишь, мы записываем следующим образом: (displaystyle xin left( -infty ;5 right)).

Так как знак неравенства «строгий», то скобки будут «круглыми».

Пример 2. Здесь уже чуточку посложнее, но я уверен, ты тоже справился без проблем.

Сверяемся:

(displaystyle {{4}^{x+2}}le 64)

(displaystyle {{4}^{x+2}}le {{4}^{3}})

так как (displaystyle 4>1), то

(displaystyle x+2le 3), откуда (displaystyle xle 1),

Поэтому ответ:

(displaystyle xin left( -infty ;1 right]).

Пример 3. (displaystyle {{27}^{x+2}}le 81).

Продолжаем нагромождать: в третьем примере нас ждет беда: так получилось, что (displaystyle 81) это не целая степень числа (displaystyle 27), (в чем несложно убедиться, возводя число (displaystyle 81) в различные целые степени (displaystyle 0), (displaystyle 1), (displaystyle -1)…).

И что же теперь делать? Бросать решение примера?

Нет! Этого не одобрю ни я, ни твой школьный учитель по математике.

Давай немного напряжемся и заметим, что и (displaystyle 27) и (displaystyle 81) это степени одного и того же числа. Какого? Конечно, это степени тройки ((displaystyle 27={{3}^{3}},~81={{3}^{4}})).

Тогда все становится сразу понятным:

(displaystyle {{27}^{x+2}}le 81)
(displaystyle {{3}^{3left( x+2 right)}}le {{3}^{4}}) (напомню, что при такой «замене» степени умножаются!).

Так как (displaystyle 3>1), то знак неравенства не меняется и мы получаем:

(displaystyle 3left( x+2 right)le 4).

Раскроем скобки:

(displaystyle 3x+6le 4,~3xle -2,~xle -frac{2}{3}).

Отсюда, ответ:

(displaystyle xin left( -infty ;~-frac{2}{3} right]).

Пример 4. Теперь мы решим еще более «навороченный» пример:

(displaystyle {{left( frac{1}{3} right)}^{2x}}>9)

На самом деле, у нас есть аж два способа решить данное неравенство:

Во-первых, представить (displaystyle frac{1}{3}) как (displaystyle {{3}^{-1}})

(Если для тебя это «превращение» показалось магическим, перечитай свойства степени с отрицательным показателем)

Либо представить (displaystyle 9) как (displaystyle {{left( frac{1}{3} right)}^{-2}}).

Мне хочется сейчас пойти именно вторым путем, ну а ты сам можешь применить первый. Как ты понимаешь, ответы должны совпасть.

(displaystyle {{left( frac{1}{3} right)}^{2x}}>{{left( frac{1}{3} right)}^{-2}})

Теперь слева и справа в неравенстве мы имеем одинаковые основания, значит мы можем перейти к неравенству относительно их показателей.

Однако, можно (и нужно!) заметить, что (displaystyle frac{1}{3}<1), поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

Итого, мы получим: (displaystyle 2x<-2),

Откуда простым делением на (displaystyle 2) обеих частей неравенства очевидно следует, что (displaystyle x<-1).

Записываем ответ: (displaystyle xin left( -infty ;~-1 right)).

Пример 5. (displaystyle {{left( frac{1}{3} right)}^{2x}}>9)

Ну что же, здесь все нам тоже более-менее знакомо, единственно, что нужно вспомнить, так это то, что (displaystyle frac{1}{sqrt{5}}=sqrt{frac{1}{5}}={{left( frac{1}{5} right)}^{frac{1}{2}}}).

Теперь окончательно получим:

(displaystyle {{left( frac{1}{5} right)}^{-4x}}>{{left( frac{1}{5} right)}^{frac{1}{2}}}).

Опять-таки (displaystyle left( frac{1}{5} right)<1), а значит знак неравенства меняется на противоположный:

(displaystyle -4x<frac{1}{2}).

Данное линейное неравенство решается делением левой и правой стороны на число, стоящее перед иксом: то есть делением на (displaystyle -4).

Но мы ведь с тобой уже грамотные люди? Конечно! А потому мы помним, что при делении (или умножении) обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства МЕНЯЕТСЯ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ.

А это значит, что

(displaystyle x>frac{1}{2}:left( -4 right))
(displaystyle x>-frac{1}{8})

Нам осталось лишь записать полученный правильный ответ:

(displaystyle xin left( -frac{1}{8};~+infty right)).

Задачки для совсем самостоятельного решения:

(displaystyle ~{{(frac{1}{3})}^{({x} – 1)}}le frac{1}{9});

(displaystyle {{5}^{{x} – 1}}le sqrt{5});

(displaystyle {{7}^{{x} – 2}}>sqrt[3]{49});

(displaystyle {{3}^{-2x}}<27);

(displaystyle {{left( frac{1}{25} right)}^{-2{x} – 4}}<{{625}^{-3x+5}}).

А вот и ответы, заданные в измененном порядке, сверяйся!

(displaystyle left( 2frac{1}{3};~+infty right),~left( -infty ;~frac{3}{4} right),~left[ 3;~+infty right),~left[ 1frac{1}{2};~+infty right),~left( -1frac{1}{2};~+infty right))

Нашел свои ответы в приведенном списке? Ничего лишнего и ничего не потерялось?

Прекрасно! Это значит, что теперь ты умеешь решать почти все показательные неравенства из первой части профильного ЕГЭ!

Но мы ведь с тобой хотим стать еще лучше и уметь решать еще более сложные неравенства?

Как ты без труда (или почти без труда) заметил, каждый раз, когда мы решали показательное неравенство, оно сводилось к некоторому линейному неравенству для показателей. Более того, каждая из частей (правая и левая) неравенства состояла ровно из одного выражения.

Что же запрещает природе вмешаться и сделать, например, с каждой стороны неравенства, скажем, не по одному выражению, а по три или даже четыре? Или же что ей запрещает составить такое неравенство, которое сводится уже не к линейному, а к квадратичному?

Правильно, ничего не запрещает. Поэтому мы должны быть готовы к решению и таких неравенств тоже. Давай вначале посмотрим на некоторые примеры:

(displaystyle {{5}^{{{x}^{2}}-5x+4}}>frac{1}{25})

Применим к нему уже знакомую не понаслышке технику. Что же мы получим в итоге?

Верно:

(displaystyle {{x}^{2}}-5x+4>-2).

Кто знает, что это такое? Конечно это квадратное неравенство! А теперь быстренько вспоминаем, как они решаются!

Да почти что как квадратные уравнения. А вот уж их ты точно умеешь решать, я не сомневаюсь.

(displaystyle {{x}^{2}}-5x+4=-2),

(displaystyle {{x}^{2}}-5x+4+2=0),

(displaystyle {{x}^{2}}-5x+6=0).

Вычисляем дискриминант: (displaystyle D={{left( -5 right)}^{2}}-4cdot 1cdot 6=1)

Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня:

(displaystyle {{x}_{1}}=frac{-left( -5 right)+sqrt{1}}{2cdot 1}=3), (displaystyle {{x}_{2}}=frac{-left( -5 right)-sqrt{1}}{2cdot 1}=2).

Если бы мы решали уравнение, то на этом можно было бы и остановиться. Но у нас с тобой более «высокая цель» – решение неравенства.

Поэтому далее нам нужен метод интервалов.

Метод интервалов

Метод интервалов – самый универсальный способ решения неравенств. Но он особенно эффективен при решении квадратных неравенств.

В этом разделе разберем алгоритм решения квадратных неравенств с помощью метода интервалов. И конечно же решим пару-тройку примеров.

Поехали!

Отметим эти точки на координатной прямой и разделим эту прямую на три интервала, затем выберем какое-нибудь число в любом из интервалов и вычислим, чему равно наше исходное выражение (displaystyle {{x}^{2}}-5x+6) в этой точке.

Мне нравится брать такое число, чтобы нужно было как можно меньше считать. Догадался, какое же это число? Верно, это ноль.

Ноль принадлежит самому левому интервалу.

Наше выражение, если подставить в него ноль вместо икса, будет равно (displaystyle 6), (displaystyle 6>0).

Поэтому в левом интервале я ставлю знак (displaystyle +). Далее чередую.

Поскольку мы решаем неравенство (displaystyle {{x}^{2}}-5x+6>0), то нас интересуют те промежутки, где это выражение положительно (то есть стоит (displaystyle +)).

Таким образом, наш ответ будет:

(displaystyle xin left( -infty ;2 right)mathop{cup }^{}left( 3;+infty right)).

Теперь мне кажется, что ты без особого труда решишь следующие примеры:

(displaystyle {{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<frac{121}{169});

(displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}>{{left( frac{1}{2} right)}^{2{x} – 3}}).

Давай сверяться вместе:

Пример 1. (displaystyle {{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<frac{121}{169});

(displaystyle {{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<{{left( frac{11}{13} right)}^{2}});

(displaystyle text{ }!!~!!text{ }{{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<{{left( frac{13}{11} right)}^{-2}})

Так как (displaystyle frac{13}{11}>1), то (displaystyle {{x}^{2}}-3x<-2)

Пример 2. Второе неравенство тоже решается элементарно, давай проверим:

(displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}>{{left( frac{1}{2} right)}^{2{x} – 3}})

(displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}>{{left( {{2}^{-1}} right)}^{2{x} – 3}})

(displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}>{{2}^{-left( 2{x} – 3 right)}}).

Откуда (displaystyle {{x}^{2}}>-left( 2{x} – 3 right)).

Что эквивалентно следующему квадратному неравенству:

Как видишь, решение подобных примеров чуть сложнее, чем тех, которые мы решали в самом начале.

Но тем не менее здесь нам уже требуется использовать такой мощный метод, как МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ.

Вообще говоря, большинство неравенств именно с его помощью и решается. Так что можно сказать, что в начале нам просто «везло» и мы обходились без него.

Метод группировки

Впервые ты столкнулся с методом группировки в 7 классе, когда раскладывал сложные выражения на простые множители, например:

(displaystyle 3ab+{{b}^{2}}+6{{a}^{3}}+2{{a}^{2}}b=bleft( 3a+b right)+2{{a}^{2}}left( 3a+b right)=left( b+2{{a}^{2}} right)left( 3a+b right))

Как ни парадоксально, но что-то подобное может применяться и при решении таких монстров как показательные неравенства.

Да и что сказать, их используют, чтобы справиться с такими чудовищами, по сравнению с которыми наши неравенства покажутся белыми и пушистыми.

Но перейдем от слов к делу.

Допустим, нам требуется решить следующее неравенство:

(displaystyle {{3}^{x+2}}+{{3}^{{x} – 1}}<28)

Согласись, до этих пор мы ни с чем подобным не сталкивались. Однако не время унывать. Давай подумаем, что общего есть у слагаемых слева?

Верно, все они – это тройка в некоторой степени. Со свойствами степени мы уже давно на «ты», я ведь прав? Отлично!

Тогда давай вынесем, например (displaystyle {{3}^{x}}) из каждого выражения. Что мы получим?

(displaystyle {{3}^{x}}{{3}^{2}}+{{3}^{x}}{{3}^{-1}}<28)

Эврика! У нас есть общий множитель! Так чего же мы ждем? Срочно выносим его за скобки!

(displaystyle {{3}^{x}}({{3}^{2}}+{{3}^{-1}})<28)

Теперь вычисляем значение выражения внутри скобок:

(displaystyle {{3}^{2}}+{{3}^{-1}}=9+frac{1}{3}=frac{9cdot 3+1}{3}=frac{28}{3});

Ну теперь осталась самая малость: подставим полученное выражение в наше неравенство:

Давай решим следующее неравенство, но теперь я буду менее многословен, так что тебе придется многое додумывать самому:

(displaystyle 8cdot {{2}^{{x} – 1}}-{{2}^{x}}>48)

Вынесем за скобку множитель (displaystyle {{2}^{{x} – 1}}):

Предварительные выводы

Разумеется, описанные в данной статье методы решений показательных неравенств далеко не исчерпывают весь спектр методов, которые применяются при решении такого вида неравенств.

Да и сами неравенства далеко не всегда легки и понятны. Более того, к некоторым неравенствам даже математик не всегда сразу знает, «как подступиться».

Неравенства бывают самыми разнообразными. Насколько хватит твоего полета фантазии. Здесь же я описал подход к решению самых простейших.

Надеюсь, прочтение этих разделов было для тебя если не полезным, то по крайней мере не утомительным. Желаю тебе не останавливаться на достигнутом и двигаться дальше! Навстречу новым рубежам!

Ну а пока несколько примеров на повторение пройденного материала!

Показательные неравенства – повторение пройденного (решение 10 неравенств)

Пример 1. ({{left( 0,3 right)}^{frac{x}{{x} – 2}}}<{{left( 0,3 right)}^{frac{6}{{x} – 1}}});

Пример 2. ({{0,1}^{2{{x}^{2}}-3x+6}}<0,0001);

Пример 3. ({{3}^{frac{2{x} – 1}{{x} – 2}}}<1);

Пример 4. ({{5}^{4x+2}}<frac{125}{sqrt{{{5}^{-6}}}});

Пример 5. (displaystyle {{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} – 7 right)}}{{left( frac{49}{4} right)}^{2x+0,5}}ge 1);

Пример 6. ({{sqrt{7}}^{{x} – 1}}>frac{1}{{{49}^{x}}});

 Пример 7. ({{0,4}^{2{x} – 1}}le {{0,16}^{3x+2}}); 

 Пример 8. ({{2}^{3-x}}+{{2}^{1-x}}>40); 

 Пример 9. ({{3}^{x+2}}+{{3}^{x+1}}+{{3}^{x}}le 39); 

Пример 10. ({{2}^{3}}{{2}^{x+5}}>16).

Решения:

Пример 1. ({{left( 0,3 right)}^{frac{x}{{x} – 2}}}<{{left( 0,3 right)}^{frac{6}{{x} – 1}}}), т.к. (0,3<1), то (frac{x}{{x} – 2}>frac{6}{{x} – 1})

Приведем дроби к общему знаменателю:

(frac{xleft( {x} – 1 right)}{left( {x} – 2 right)left( {x} – 1 right)}>frac{6left( {x} – 2 right)}{left( {x} – 2 right)left( {x} – 1 right)},~frac{xleft( {x} – 1 right)-6left( {x} – 2 right)}{left( {x} – 2 right)left( {x} – 1 right)}>0),

(frac{{{x}^{2}}-{x} – 6x+12}{left( {x} – 2 right)left( {x} – 1 right)}>0,~frac{{{x}^{2}}-7x+12}{left( {x} – 2 right)left( {x} – 1 right)}>0)

Разложим ({{x}^{2}}-7x+12) на множители:

Пример 2. ({{0,1}^{2{{x}^{2}}-3x+6}}<0,0001)

Тогда

({{0,1}^{2{{x}^{2}}-3x+6}}<{{0,1}^{4}})

Значит

(2{{x}^{2}}-3x+6>4),

(2{{x}^{2}}-3x+2>0).

Дискриминант уравнения (2{{x}^{2}}-3x+2=0) равен (D={{left( -3 right)}^{2}}-4cdot 2cdot 2=-7<0)

Значит, уравнение не имеет корней.

Пример 3. ({{3}^{frac{2{x} – 1}{{x} – 2}}}<1)

Тогда

(frac{2{x} – 1}{{x} – 2}<0) данное неравенство снова решается методом интервалов.

Нанесем корни числителя и знаменателя на координатную ось, расставим знаки и получим ответ:

Пример 4. ({{5}^{4x+2}}<frac{125}{sqrt{{{5}^{-6}}}})

Преобразуем выражение справа:

(frac{125}{sqrt{{{5}^{-6}}}}=frac{{{5}^{3}}}{{{5}^{frac{-6}{2}}}}=frac{{{5}^{3}}}{{{5}^{-3}}}={{5}^{3-left( -3 right)}}={{5}^{6}})

Подставим полученное выражение в правую часть неравенства:

Пример 5. ({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} – 7 right)}}{{left( frac{49}{4} right)}^{2x+0,5}}ge 1),

({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} – 7 right)}}{{left( frac{{{7}^{2}}}{{{2}^{2}}} right)}^{2x+0,5}}ge 1),

({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} – 7 right)}}{{left( frac{7}{2} right)}^{2left( 2x+0,5 right)}}ge 1),

так как ({{left( frac{2}{7} right)}^{-1}}=frac{7}{2}), то

Пример 6. ({{sqrt{7}}^{{x} – 1}}>frac{1}{{{49}^{x}}}),

так как (sqrt{7}={{7}^{0,5}}), а (frac{1}{{{49}^{x}}}={{left( frac{1}{49} right)}^{x}}={{left( frac{1}{7} right)}^{2x}}={{7}^{-2x}}), то

({{7}^{0,5left( {x} – 1 right)}}>{{7}^{-2x}}), что эквивалентно:

Пример 7. ({{0,4}^{2{x} – 1}}le {{0,16}^{3x+2}}), откуда

({{0,4}^{2{x} – 1}}le {{0,4}^{2left( 3x+2 right)}}),

так как (0,4<1), то

Пример 8. ({{2}^{3-x}}+{{2}^{1-x}}>40),

({{2}^{-x}}left( {{2}^{3}}+2 right)>40),

({{2}^{-x}}>4),

(-x>2,~x<-2)

Ответ: (xin left( -infty ;~-2 right)).

Пример 9. ({{3}^{x+2}}+{{3}^{x+1}}+{{3}^{x}}le 39),

({{3}^{x}}left( {{3}^{2}}+3+1 right)le 39),

({{3}^{x}}cdot 13le 39),

({{3}^{x}}le 3), откуда ({{3}^{x}}le 3).

Ответ: (xin left( -infty ;1 right])

Пример 10. ({{2}^{3}}{{2}^{x+5}}>16),

({{2}^{x+8}}>{{2}^{4}}),

(x+8>4,~x>-4).

Ответ: (xin left( -4;~+infty right)).

Подведем итоги

Методы решения показательных неравенств во многом дублируют способы решения показательных уравнений.

Вот только что мы ищем при решении уравнения? Верно, корни соответствующего уравнения. Или же показываем, что их нет.

В неравенстве мы будем искать промежутки (то есть те множества значений переменной, на которой данное неравенство выполняется).

Для этого используют различные методы.

Вспомни, к чему сводилось решение показательного уравнения? Да, мы сводили его к такому виду:

({{a}^{fleft( x right)}}={{a}^{gleft( x right)}})

После чего делали вывод, что (fleft( x right)=gleft( x right)) и решали уже полученное уравнение. Практически аналогичным образом мы поступаем и с показательным неравенством.

Определение:

Простейшими показательными неравенствами являются неравенства следующего вида:

({{a}^{fleft( x right)}}>{{a}^{gleft( x right)}},~{{a}^{fleft( x right)}}<{{a}^{gleft( x right)}},~{{a}^{fleft( x right)}}ge {{a}^{gleft( x right)}},~{{a}^{fleft( x right)}}le {{a}^{gleft( x right)}}),

где (a) – основание, (fleft( x right),~gleft( x right)) – показатели.

Например, в неравенстве ({{3}^{3left( x+2 right)}}le {{3}^{4}}) (a=3) – основание, (fleft( x right)=3left( x+2 right)), (gleft( x right)=4) – показатели.

Существует основное правило решения показательных неравенств.

Обрати на него особое внимание. Незнание этого правила является очень частой причиной глупейших (и оттого еще более обидных ошибок).

Правило:({{a}^{fleft( x right)}}>{{a}^{gleft( x right)}}=>~fleft( x right)>gleft( x right)) (left(text{при} ~a>1 right))
({{a}^{fleft( x right)}}>{{a}^{gleft( x right)}}=>~fleft( x right)<gleft( x right)) (left(~0<a<1 right))

Аналогичные законы справедливы и для трех оставшихся знаков неравенств.

Сформулируй правила самостоятельно.

Теперь перейдем к методам решения показательных неравенств. Я могу выделить 5 методов их решения.

5 методов решения показательных неравенств

• Метод №1. Преобразование оснований
• Метод №2. Разложение на множители
• Метод №3. Замена переменной
• Метод №4 Метод декомпозиции
• Метод №5. Анализ монотонности функций

Первые три метода относительно простые, а последние два… да тоже простые ).

Метод декомпозиции поможет разобраться с показательными неравенствами с переменным основанием.

А анализ монотонности функций – со смешанными неравенствами, которые никак иначе не решаются.

Начнем?

Метод №1. Преобразование оснований

Если неравенство имеет вид: ({{a}^{fleft( x right)}}>{{b}^{gleft( x right)}}), то работаем с основаниями.

Преобразовываем их к такому виду, чтобы они являлись степенями одного и того же числа. (a={{c}^{q}},~b={{c}^{t}}), а затем решаем простейшее неравенство ({{с}^{qfleft( x right)}}>{{c}^{tgleft( x right)}}).

Кажется немного непонятно, не так ли? Однако дай мне пару минут, и все встанет на свои места. Реши следующие неравенства.

Пример 1. ({{27}^{x+2}}le 81)

Решение:

Заметим, что (27={{3}^{3}},~81={{3}^{4}}). Таким образом, левая и правая часть неравенства – есть степени тройки. Тогда все становится сразу понятным: исходное неравенство равносильно такому: ({{3}^{3left( x+2 right)}}le {{3}^{4}}), так как (3>1), то получаем, что (3left( x+2 right)le 4), раскроем скобки:

(3x+6le 4,~3xle -2,~xle -frac{2}{3}).

Отсюда, ответ: (xin left( -infty ;~-frac{2}{3} right]).

Теперь еще один пример, немного посложнее.

Пример 2. ({{5}^{4x+2}}<frac{125}{sqrt{{{5}^{-6}}}})

Ну и для закрепления последний пример на первый метод решения.

Пример 3. ({{2}^{{{x}^{2}}}}>{{left( frac{1}{2} right)}^{2{x} -3}})

Решение:

({{2}^{{{x}^{2}}}}>{{left( {{2}^{-1}} right)}^{2{x} -3}}),

({{2}^{{{x}^{2}}}}>{{2}^{-left( 2{x} -3 right)}}), откуда

({{x}^{2}}>-left( 2{x} -3 right)), что эквивалентно следующему квадратному неравенству:

Метод №2. Разложение на множители

Вторым методом решения неравенств является хорошо тебе знакомое разложение на множители.

Много слов не нужно. Просто решай примеры.

Пример 1. ({{3}^{x+2}}+{{3}^{{x} -1}}<28)

Решение:

Вынесем общий множитель в выражении слева за скобки. Какое выражение является этим множителем?

Конечно же, это ({{3}^{{x} -1}})

Тут стоит не кривить душой и сказать, что вы бы могли вынести и просто ({{3}^{x}}), и результат бы совпал, но принято выносить за скобки наименьшую из возможных степеней.

Итого, получим:

({{3}^{{x} -1}}({{3}^{3}}+{{3}^{1}})<28),

({{3}^{{x} -1}}cdot 28<28),

({{3}^{{x} -1}}<1={{3}^{0}}),

(x<1).

Ответ: (xin left( -infty ;1 right)).

Ничего сложного, правда? Все почти как в 7 классе, с той лишь разницей, что тут объекты немного другие.

Пример 2. ({{3}^{x+2}}+{{3}^{x+1}}+{{3}^{x}}le 39)

Решение:

({{3}^{x}}left( {{3}^{2}}+3+1 right)le 39),

({{3}^{x}}cdot 13le 39),

({{3}^{x}}le 3),

откуда (xle 1).

Ответ: (xin left( -infty ;1 right]).

Пример 3. ({{left( 0,3 right)}^{frac{x}{{x} -2}}}<{{left( 0,3 right)}^{frac{6}{{x} -1}}})

 ({{left( 0,3 right)}^{frac{x}{{x} -2}}}<{{left( 0,3 right)}^{frac{6}{{x} -1}}}), т.к. (0,3<1), то

(frac{x}{{x} -2}>frac{6}{{x} -1}),

приведем дроби к общему знаменателю:

Пример 4. ({{3}^{frac{2{x} -1}{{x} -2}}}<1)

({{3}^{frac{2{x} -1}{{x} -2}}}<1), тогда (frac{2{x} -1}{{x} -2}<0).

Данное неравенство снова решается методом интервалов:

Нанесем корни числителя и знаменателя на координатную ось, расставим знаки и получим ответ: (xin left( frac{1}{2};2 right))

Пример 5. ({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} -7 right)}}{{left( frac{49}{4} right)}^{2x+0,5}}ge 1)

({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} -7 right)}}{{left( frac{49}{4} right)}^{2x+0,5}}ge 1),

({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} -7 right)}}{{left( frac{{{7}^{2}}}{{{2}^{2}}} right)}^{2x+0,5}}ge 1),

({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} -7 right)}}{{left( frac{7}{2} right)}^{2left( 2x+0,5 right)}}ge 1), 

так как ({{left( frac{2}{7} right)}^{-1}}=frac{7}{2}), то

Пример 6. ({{2}^{3-x}}+{{2}^{1-x}}>40)

({{2}^{-x}}left( {{2}^{3}}+2 right)>40),

({{2}^{-x}}>4),

(-x>2,~x<-2)

Ответ: (xin left( -infty ;~-2 right)).

Пример 7. ({{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<frac{121}{169})

({{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<frac{121}{169}),

({{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<{{left( frac{11}{13} right)}^{2}}),

({{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<{{left( frac{13}{11} right)}^{-2}}), так как (frac{13}{11}>1), то

Метод №3. Замена переменной

Еще одним приемом является замена переменной.

В таком случае мы сразу же сводим показательное неравенство к более простому виду: например, к квадратичному.

Затем решаем это «простое» неравенство и делаем обратную замену.

Вспомни, например, как решается уравнение

({{x}^{4}}+{{x}^{2}}-6=0),

Вспомнил?

Ты делал простую замену (t={{x}^{2}}), не забывая, что (tge 0), а затем уже решал совсем простое уравнение ({{t}^{2}}+t-6=0), находил его корни ({{t}_{1}}=-3) (этот корень нам не подходит, так как он меньше нуля), ({{t}_{2}}=2), а затем делал обратную замену: (2={{x}^{2}})

Последнее уравнение имеет корни ({{x}_{1}}=sqrt{2},~{{x}_{2}}=-sqrt{2}), которые и являются корнями нашего исходного уравнения.

При решении неравенств мы тоже можем прибегнуть к приему замены переменной. Но здесь есть один подводный камень… Заинтригован? Тогда решаем вместе!

Пример 1. (3cdot {{5}^{x}}-5cdot {{25}^{x}}+2>0)

Решение:

Перепишем данное неравенство в следующем виде:

(3cdot {{5}^{x}}-5cdot {{5}^{2x}}+2>0)

Теперь пора задуматься, а что дальше? Ясно, что первый метод решения здесь не поможет: у нас есть «противная» двойка, от которой нам никак не избавиться.

Это же мешает применить разложение на множители: от двойки мы никак не избавимся. Да и вынести выражение так, чтобы только одно выражение содержало (x), также не получится.

Надо придумать замену. 

Какую? Обычно принято заменять выражение, содержащее минимальную степень (x).

В нашем случае это ({{5}^{x}}). Если мы введем замену (t={{5}^{x}}), то чем же будет являться ({{25}^{x}}={{5}^{2x}})?

Да, ты абсолютно правильно понял, ({{5}^{2x}}={{t}^{2}}). Тогда исходное выражение будет равносильно следующему:

(3cdot t-5cdot {{t}^{2}}+2>0)

Решим данное неравенство, предварительно умножив его на (left( -1 right)):

(5cdot {{t}^{2}}-3cdot t-2<0)

Решениями соответствующего уравнения будут числа:

({{t}_{1}}=1,~{{t}_{2}}=-frac{2}{5}).

Нас интересует знак “(–)“, поэтому решениями соответствующего неравенства будет промежуток (-frac{2}{5}<t<1). (конечный !!!!)

Данное двойное неравенство равносильно системе:

(left{ begin{array}{l}t>-frac{2}{5}\t<1end{array} right.).

Теперь вспомним о том, что такое (t): (t={{5}^{x}}). Тогда получим систему уже относительно (x):

(displaystyle left( 1 right) left{ begin{array}{l}{{5}^{x}}>-frac{2}{5}\{{5}^{x}}<1end{array} right.)

Известен факт, что выражение

({{a}^{x}}>0) (для любых (a) и (x)).

Таким образом, что можно сказать про наше первое неравенство в системе?

Да! Нам несказанно повезло, оно имеет решения при всех (x)!!!!

Так что решение системы будет равносильно решению второго ее неравенства! Здорово, правда?

Теперь разберемся со вторым неравенством.

Пример 2. (displaystyle 4cdot {{4}^{x}}-29cdot {{10}^{x}}+25cdot {{25}^{x}}le 0)

Решение:

Здесь мы столкнулись с тем, что сделать замену напрямую не представляется возможным – четверка – это степень двойки, а (displaystyle 25) – степень пятерки.

Однако у нас есть еще одно слагаемое посередине – (displaystyle {{10}^{x}}), которое равно (displaystyle {{5}^{x}}{{2}^{x}}).

Также представим (displaystyle {{4}^{x}}={{2}^{2x}},~{{25}^{x}}={{5}^{2x}}):

(displaystyle 4cdot {{2}^{2x}}-29cdot {{5}^{x}}{{2}^{x}}+25cdot {{5}^{2x}}le 0)

Теперь у нас есть одно слагаемое, содержащее степень двойки, одно – степень пятерки, и еще одно посередине – содержит произведение степеней.

Прием, который позволяет решать такие неравенства заключается в делении обеих его частей на либо (displaystyle {{2}^{2x}}) либо (displaystyle {{5}^{2x}}).

Что же у нас получится? Я разделю на (displaystyle {{5}^{2x}}):

(displaystyle 4cdot frac{{{2}^{2x}}}{{{5}^{2x}}}-29cdot frac{{{5}^{x}}{{2}^{x}}}{{{5}^{2x}}}+25le 0)

Преобразую, используя свойства степеней:

(displaystyle 4cdot {{left( frac{2}{5} right)}^{2x}}-29cdot {{left( frac{2}{5} right)}^{x}}+25le 0)

Теперь замена очевидна, правда?

(displaystyle 4cdot {{t}^{2}}-29cdot t+25le 0), где (displaystyle t={{left( frac{2}{5} right)}^{x}})

Решаю последнее неравенство, получу (а ты получи сам!!) систему:

Не так уж все и страшно, правда?

Пример 3. (displaystyle sqrt{{{9}^{x}}-{{3}^{x+2}}}>{{3}^{x}}-9)

(displaystyle sqrt{{{9}^{x}}-{{3}^{x+2}}}>{{3}^{x}}-9Rightarrow )

(displaystyle sqrt{{{3}^{2x}}-9cdot {{3}^{x}}}>{{3}^{x}}-9, t={{3}^{x}}Rightarrow )

(displaystyle sqrt{{{t}^{2}}-9cdot t}>t-9), откуда:

(displaystyle left{ begin{array}{l}{{t}^{2}}-9tge 0~left( ОДЗ квадратного корня right)\t>0~left( из-за замены right)\{{t}^{2}}-9cdot t>{{left( t-9 right)}^{2}}end{array} right.)

Решение полученной системы, а так же обратную замену я предоставляю тебе в качестве упражнения.

Ответ: (left(2; +infty right)).

Пример 4. (displaystyle 3cdot {{2}^{2x}}-5cdot {{6}^{x}}+2cdot {{3}^{2x}}>0)

Делим обе части на (displaystyle {{3}^{2x}}), получим:

(displaystyle 3{{left( frac{2}{3} right)}^{2x}}-5{{left( frac{2}{3} right)}^{x}}+2>0),

замена (displaystyle t={{left( frac{2}{3} right)}^{x}}) приводит к неравенству:

(displaystyle 3{{t}^{2}}-5t+2>0),

Которое я опять-таки доверяю решить тебе самостоятельно. Уверен, ты меня не подведешь!

Ответ: (displaystyle xin left( -infty ;0 right)mathop{cup }^{}left( 1;+infty right))

Пример 5. (displaystyle {{left( frac{1}{36} right)}^{x}}-5cdot {{6}^{-x}}-6<0)

(displaystyle {{left( frac{1}{36} right)}^{x}}-5cdot {{6}^{-x}}-6<0),

сделаем замену (displaystyle t={{6}^{-x}}), получим:

(displaystyle {{t}^{2}}-5t-6<0) и т. д.

Ответ: (displaystyle xin left( -1;+infty right))

Пример 6. (displaystyle {{2}^{x+2}}-{{2}^{x+3}}-{{2}^{x+4}}>{{5}^{x+1}}+{{5}^{x+2}})

Вынесем общий множитель из левой и правой части:

(displaystyle {{2}^{x}}left( 4-8-16 right)>{{5}^{x}}left( 5+25 right))

(displaystyle -20cdot {{2}^{x}}>30cdot {{5}^{x}})

Левая часть неравенства всегда меньше нуля, а правая – всегда больше, значит, левая часть никогда не превосходит правую, и неравенство не имеет решений.

Пример 7. (displaystyle {{6}^{frac{{x} -7}{3}}}-{{6}^{frac{13-x}{3}}}-35>0)

(displaystyle {{6}^{frac{{x} -7}{3}}}-{{6}^{frac{13-x}{3}}}-35>0Rightarrow )

(displaystyle Rightarrow {{6}^{frac{x}{3}}}{{6}^{frac{-7}{3}}}-{{6}^{-frac{x}{3}}}{{6}^{frac{13}{3}}}-35>0,)

(displaystyle {{6}^{frac{x}{3}}}{{6}^{frac{-7}{3}}}-frac{1}{{{6}^{frac{x}{3}}}}{{6}^{frac{13}{3}}}-35>0),

замена (displaystyle t={{6}^{frac{x}{3}}}) и умножение обеих частей неравенства на (displaystyle t) приводит к неравенству 

(displaystyle {{6}^{frac{-7}{3}}}{{t}^{2}}-{{6}^{frac{13}{3}}}-35t>0), решение которого остается на твоей совести.

Ответ: (displaystyle xin left(13;+infty right)).

Теперь мы с тобой владеем всеми необходимыми знаниями для решения таких неподступных «монстров», как неравенства повышенной сложности из ЕГЭ.

Конечно, те неравенства в которых есть пока что «непонятные» логарифмы, я здесь не привожу (приведу далее, так что от них ты тоже никуда не денешься), а вот с показательными мы вполне в состоянии справиться!

Здесь нет ничего сложного, вся техника для их решения уже у тебя в руках!

Давай посмотрим еще на один совсем простой пример (ума не приложу, почему он считается сложным?!)

Пример 8. (displaystyle left{ begin{array}{l}{{5}^{x}}+{{left( frac{1}{5} right)}^{x}}>2\{{2}^{{{x}^{2}}}}le 64cdot {{2}^{x}}end{array} right.)

Решение:

Не так страшен черт, как его малюют 🙂 Берем первое неравенство:

(displaystyle {{5}^{x}}+{{left( frac{1}{5} right)}^{x}}>2).

Перепишем его в виде: (displaystyle {{5}^{x}}+{{5}^{-x}}>2) и домножим обе части на положительное выражение (displaystyle {{5}^{x}}), тогда получим:

(displaystyle {{5}^{2x}}+1-2cdot {{5}^{x}}>0).

Я думаю, ты догадался, что дальше)

Пример 9. Вверху у нас – показательное неравенство, а снизу – дробно-рациональное:

(displaystyle left{ begin{array}{l}frac{2}{{{5}^{x}}-1}+frac{{{5}^{x}}-2}{{{5}^{x}}-3}ge 2\{{left( frac{2}{25{{x}^{2}}-10{x} -8}+frac{25{{x}^{2}}-10{x} -8}{2} right)}^{2}}ge 4end{array} right.)

Очередная помесь «бульдога с носорогом». Вверху у нас – показательное неравенство, а снизу – дробно-рациональное, причем устрашающего вида.

Вот с него бы мне и хотелось начать.

Решение:

Конечно, ничто не мешает нам решить его, как говорится, в «лоб». Только сам его вид должен отталкивать тебя от такой неразумной мысли. Все на самом деле довольно просто.

Давай заметим, что первое слагаемое скобки – перевернутое второе и наоборот. Таким образом, я могу сказать, что внутри у нас написана сумма величин вида: (displaystyle a+frac{1}{a}).

Знаешь, как называются такие величины? Они называются взаимно-обратными. 

Кстати, посмотри на первое уравнение предыдущего примера. Увидел? Да, там тоже сумма подобного вида. В том случае мы доказали, что неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме нуля. При нуле мы получали двойку.

Таким образом, я утверждаю, что для всех сумм вида: (displaystyle a+frac{1}{a}) выполняется следующее неравенство:

(displaystyle a+frac{1}{a}ge 2), при (displaystyle a>0);
(displaystyle a+frac{1}{a}le -2), при (displaystyle a<0).

Ты можешь сам без труда доказать это утверждение. А что же из него следует? А вот что:

(displaystyle {{left( a+frac{1}{a} right)}^{2}}ge 4), при всех (displaystyle ane 0)!!!

Таким образом, нам лишь нужно «откинуть» те значения, при которых выражение (displaystyle 25{{x}^{2}}-10{x} -8) равно нулю (иначе оно обнулит знаменатель!).

Мы без труда найдем такие числа:

(displaystyle {{x}_{1}}=frac{4}{5},{{x}_{2}}=-frac{2}{5}).

Тогда второе неравенство имеет место при всех действительных (displaystyle x), кроме (displaystyle frac{4}{5}), (displaystyle -frac{2}{5}).

Теперь решим первое неравенство: (displaystyle frac{2}{{{5}^{x}}-1}+frac{{{5}^{x}}-2}{{{5}^{x}}-3}ge 2).

Сразу же сделаем замену переменных: (displaystyle t={{5}^{x}}). Тогда получим:

(displaystyle frac{2}{t-1}+frac{t-2}{t-3}ge 2)

Приведем выражение к общему знаменателю и получим:

(displaystyle frac{left( t-5 right)left( t-2 right)}{left( t-1 right)left( t-3 right)}le 0)

Решим данное неравенство методом интервалов, тогда получим:

Метод №4. Метод декомпозиции при решении показательных неравенств

В заключение я бы хотел рассмотреть еще один мощный метод решения показательных неравенств – метод декомпозиции.

Он особенно тебе пригодится, когда тебе придется иметь дело с показательными неравенствами с переменным основанием. Например, с вот таким:

(displaystyle {{left| {x} -3 right|}^{frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}}}>1)

В чем вся беда? А неприятность в том, что переменная в основании влияет на знак неравенства между показателями.

В самом деле, если основание больше единицы, то знак неравенства сохраняется, а если же оно больше нуля и меньше единицы, то знак неравенства меняется на противоположный.

Однако, существует универсальный метод решения таких сложных неравенств. Это метод декомпозиции, сводящий одно сложное неравенство к куче мелких, но попроще.

Вначале я рассмотрю формулы, а потом применю их к нашему примеру.

Неравенство (displaystyle h{{left( x right)}^{gleft( x right)}}~vee ~h{{left( x right)}^{fleft( x right)}}~left( 1 right)) равносильно следующей системе: (displaystyle left{ begin{array}{l}left( hleft( x right)-1 right)left( gleft( x right)-fleft( x right) right) vee ~0\hleft( x right)>0end{array} right.)

Неравенство (displaystyle h{{left( x right)}^{gleft( x right)}}-1~vee ~0 left( 2 right)) равносильно следующей системе: (displaystyle left{ begin{array}{l}left( hleft( x right)-1 right)gleft( x right)~ vee ~0\hleft( x right)>0end{array} right.)

Неравенство (displaystyle f{{left( x right)}^{hleft( x right)}}~vee ~g{{left( x right)}^{hleft( x right)}} left( 3 right)) равносильно следующей системе: (displaystyle left{ begin{array}{l}left( fleft( x right)-gleft( x right) right)hleft( x right)~vee ~0\fleft( x right)>0\gleft( x right)>0end{array} right.)

Я объясню тебе, откуда берутся эти правила. Например, рассмотрим первое из перечисленных неравенств.

(displaystyle h{{left( x right)}^{gleft( x right)}}~vee ~h{{left( x right)}^{fleft( x right)}})

То, что (displaystyle hleft( x right)>0) следует непосредственно из определения основания. Как же получилось первое неравенство?

В частности, если (displaystyle 0<hleft( x right)<1), то неравенство (displaystyle h{{left( x right)}^{gleft( x right)}}>~h{{left( x right)}^{fleft( x right)}}) влечет за собой (displaystyle gleft( x right)<fleft( x right)).

С другой стороны, так как (displaystyle hleft( x right)-1<0), то неравенство

(displaystyle left(gleft( x right)-fleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) имеет место только тогда, когда (displaystyle gleft( x right)-fleft( x right)<0) или (displaystyle gleft( x right)<fleft( x right)).

Получили, что при (displaystyle 0<hleft( x right)<1) неравенства (displaystyle h{{left( x right)}^{gleft( x right)}}>~h{{left( x right)}^{fleft( x right)}}) и (displaystyle left( gleft( x right)-fleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) равносильны (учитывая, конечно, ОДЗ на основание).

Аналогично ты можешь получить, что эти же неравенства будут равносильны и при (displaystyle hleft( x right)>1). Аналогичным образом получаются и все другие системы неравенств.

Давай вернемся к нашему примеру. Я напомню тебе его:

(displaystyle {{left| {x} -3 right|}^{frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}}}>1)

Смотрим, к неравенству какого типа он относится? А к вот такому: (displaystyle h{{left( x right)}^{gleft( x right)}}-1>~0). Значит, решить его, это все равно, что решить вот такую систему

(displaystyle left{ begin{array}{l}left( left| {x} -3 right|-1 right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\left| {x} -3 right|>0end{array} right.)

Давай вначале решим нижнее неравенство: так как по определению модуль – число неотрицательное, то (displaystyle left| {x} -3 right|>0) всюду, кроме (displaystyle x=3) – та точка, где модуль нулевой. Тогда исходная система равносильна

(displaystyle left{ begin{array}{l}left( left| {x} -3 right|-1 right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\xne 3end{array} right.)

Теперь нужно решить сложное первое неравенство. Опять-таки, нам нужно разбить его, анализируя два случая. Каких? Что у нас дает эти случаи?

Это опять-таки модуль! Если (displaystyle x>3), то (displaystyle left| {x} -3 right|=left( {x} -3 right)), а если же (displaystyle x<3), то (displaystyle left| {x} -3 right|=-left( {x} -3 right)=3-x).

Объединим эти условия, записав новую систему:

(displaystyle left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}left( {x} -4 right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x>3end{array} right.\left{ begin{array}{l}left( 2-x right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x<3end{array} right.end{array} right.\xne 3end{array} right.)

Ну что же, теперь наша цель – решить каждую из этих систем в совокупности. Начнем?

(displaystyle left{ begin{array}{l}left( {x} -4 right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x>3end{array} right.)

(displaystyle {{x}^{2}}-8x+15=left( {x} -3 right)left( {x} -5 right))

(displaystyle frac{left( {x} -3 right)left( {x} -5 right)left( {x} -4 right)}{{x} -2}>0)

Решим неравенство методом интервалов:

(displaystyle xin left( -infty ;2 right)mathop{cup }^{}left( 3;4 right)mathop{cup }^{}left( 5;+infty right))

Однако, надо учесть, что (displaystyle x>3). Тогда первая система имеет следующее множество решений:

(displaystyle xin left( 3;4 right)mathop{cup }^{}left( 5;+infty right))

Теперь черед второй системы.

(displaystyle left{ begin{array}{l}left( 2-x right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x<3end{array} right.)

Так как (displaystyle 2-x) и (displaystyle {x} -2) отличаются только знаком, то при любых (displaystyle xne 2) имеем:

(displaystyle frac{2-x}{{x} -2}=-1). Тогда систему я перепишу в следующем виде:

(displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}-8x+15<0\x<3\xne 2end{array} right.)

Решаю методом интервалов:

(displaystyle {{x}^{2}}-8x+15<0)

(displaystyle xin left( 3;5 right))

В то же время второе неравенство говорит нам о том, что (displaystyle x<3)! Тогда делаем вывод: данная система решений не имеет. Отсюда решением совокупности

(displaystyle left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}left( {x} -4 right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x>3end{array} right.\left{ begin{array}{l}left( 2-x right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x<3end{array} right.end{array} right.)

будет решение первой системы:

(displaystyle xin left( 3;4 right)mathop{cup }^{}left( 5;+infty right))

Поскольку здесь уже учтено, что (displaystyle xne 3), то решение системы

(displaystyle left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}left( {x} -4 right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x>3end{array} right.\left{ begin{array}{l}left( 2-x right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x<3end{array} right.end{array} right.\xne 3end{array} right.)

Совпадает с решением совокупности и будет

(displaystyle xin left( 3;4 right)mathop{cup }^{}left( 5;+infty right))

Ответ: (displaystyle xin left( 3;4 right)mathop{cup }^{}left( 5;+infty right)).

Теперь попробуй проделать похожие выкладки вот для такого примера (он покажется тебе легким по сравнению с предыдущим):

(displaystyle {{left( x+2 right)}^{x}}>{{left( x+2 right)}^{{{x}^{2}}+2}})

и сравни свой ответ с моим:

(displaystyle xin left( -2;-1 right)).

Теперь ты вполне можешь справиться с решением многих, очень многих примеров 19 задачи.

Решай, не боясь их внешнего вида, на самом деле стоит лишь немного подумать, и все окажется простым! Я уверен, теперь у тебя все получится!

Сравнивай ответы и гордись своими приобретенными знаниями!

Метод №5. Анализ монотонности функций

Последним по номеру, но не по значимости, является решение неравенства методом анализа монотонности функции. Данный метод достаточно хитер: не всегда ясно, когда его следует применять. Я бы прибегал к нему в последнюю очередь.

Однако, если твое неравенство является смешанным то данного метода уже, увы, не избежать.

Например ({{2}^{x}}>1-x) – смешанное неравенство.

Оно включает в себя не только степени, но и линейное выражение (1-x)).

В дополнение к уже изложенному выше материалу, рассмотрим такие неравенства, которые не удается решать обыкновенными методами.

К «обыкновенным» обычно относят разложение на множители, замену переменных, элементарные преобразования оснований и т. д.

Далеко не все неравенства можно решить таким образом. Я бы сказал, что большинство тех неравенств, с которыми математики сталкиваются в реальности, не поддаются такому простому решению.

И здесь мы и рассмотрим один из методов решения таких «непростых» неравенств.

Все мои дальнейшие рассуждения будут основаны на таком понятии, как монотонность функции.

Ты уже не раз сталкивался с этим термином. Например, функция (displaystyle ~fleft( x right)=2x+1) монотонно возрастает на всей числовой прямой, а (displaystyle fleft( x right)=-{{x}^{0,5}}) – монотонно убывает. Еще раз напомню, что это значит.

Определение:

(displaystyle fleft( x right)) монотонно возрастает на (displaystyle left[ a,b right]), если для любых (displaystyle {{x}_{1}}) и (displaystyle {{x}_{2}}) из этого промежутка из того, что (displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}) следует, что (displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)) и наоборот, из того, что (displaystyle {{x}_{1}}>{{x}_{2}}) следует, что (displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right)).

Определение:

(displaystyle fleft( x right)) монотонно убывает на (displaystyle left[ a,b right]), если для любых (displaystyle {{x}_{1}}) и (displaystyle {{x}_{2}}) из этого промежутка из того, что (displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}) следует, что (displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right)) и наоборот, из того, что (displaystyle {{x}_{1}}>{{x}_{2}}) следует, что(displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)).

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

Функция на рисунке слева – монотонно возрастающая, а справа – монотонно убывающая. Теперь обратимся к показательной функции (displaystyle fleft( x right)={{a}^{x}}), известно, что выполняется следующая теорема:

Если (displaystyle a>1), то функция (displaystyle fleft( x right)={{a}^{x}}) является монотонно возрастающей, если (displaystyle 0<a<1), то функция (displaystyle fleft( x right)={{a}^{x}}) является монотонно убывающей.

Также хорошо известно, что имеет место следующее утверждение:

Если (displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)) и (displaystyle fleft( x right)) – монотонно возрастающая (или постоянная), а (displaystyle gleft( x right)) – монотонно убывающая функции (или постоянная) , то уравнение (displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)) имеет не более одного корня.

Как нам это перефразировать на язык неравенств? Ведь мы решаем именно их, а не уравнения. А делается это довольно просто:

Давай посмотрим на картинку и все сразу поймем:

Например, пусть нам необходимо решить неравенство: (displaystyle {{2}^{-x}}>frac{x}{2}),

Мы видим, что левая часть неравенства есть убывающая функция (displaystyle fleft( x right)={{2}^{-x}}={{0,5}^{x}}) , а правая – возрастающая.

Тогда находим их (единственную!) точку пересечения. Нашли, это (displaystyle x=1).

Что же мы видим на рисунке? А то, что после того, как (displaystyle x>1) возрастающая функция всюду больше, чем убывающая (график возрастающей лежит выше), а значит, неравенство (displaystyle {{2}^{-x}}>frac{x}{2}) имеет место при всех (displaystyle x<1).

Мы получаем следующий алгоритм:

Пусть дано неравенство(displaystyle fleft( x right)>gleft( x right)), где (displaystyle fleft( x right)) – убывающая, а (displaystyle gleft( x right)) – возрастающая. Тогда:

Правило 1. Ищем корень (максимум единственный) уравнения (displaystyle fleft( x right)=gleft( x right))
Если корня нет, то сразу делаем вывод, что всюду (displaystyle gleft( x right)>fleft( x right)), а потому исходное неравенство не имеет решений.
Если нашелся корень (displaystyle {{x}_{0}}), то исходное неравенство имеет место при (displaystyle xin left( -infty ;{{x}_{0}} right))

Попробуй сам привести алгоритмы для других случаев неравенств. Я уверен, у тебя это без проблем получится. Стоит только нарисовать картинки и внимательно посмотреть на них. Готово? Отлично, тогда у нас есть мощный арсенал для решения самых различных показательных неравенств.

Пример 1:

Решите неравенство: (displaystyle {{2}^{x}}+{{3}^{x}}>{{5}^{x}}).

Разделим обе части на (displaystyle {{5}^{x}}), получим, что:

(displaystyle {{left( frac{2}{5} right)}^{x}}+{{left( frac{3}{5} right)}^{x}}>1)

Слева мы с тобой получили сумму двух убывающих функций. Как ты думаешь, какой будет сумма двух убывающих функций? Правильно, она снова будет убывающей!!

Запомни правило, оно часто помогает выйти из очень затруднительных ситуаций!!

Правило 2. (displaystyle Убывающая+убывающая=убывающая)
(displaystyle Возрастающая+возрастающая=возрастающая)
(displaystyle Возрастающая-убывающая=возрастающая)
(displaystyle Убывающая-возрастающая=убывающая)

Итак, слева у нас сумма двух убывающих функций, а справа – постоянная (displaystyle 1).

Уравнение (displaystyle {{left( frac{2}{5} right)}^{x}}+{{left( frac{3}{5} right)}^{x}}=1) имеет единственный корень (displaystyle {{x}_{0}}=1). Тогда в соответствии с правилом 1 получим (displaystyle xin left( -infty ;1 right)).

Теперь рассмотрим еще один пример.

Пример 2: 

(displaystyle x{{4}^{x}}>4)

Рассмотрим 2 случая:

1) Пусть (displaystyle x>0), тогда разделим обе части неравенства на положительный (displaystyle x):

(displaystyle {{4}^{x}}>frac{4}{x})

Слева у нас стоит возрастающая функция, а справа – убывающая при (displaystyle x>0).

Корень уравнения (displaystyle {{4}^{x}}=frac{4}{x}) равен (displaystyle 1) и является единственным. Тогда при (displaystyle x>0) неравенство имеет решение: (displaystyle x>1).

2) Теперь пусть (displaystyle x<0), разделю обе части (displaystyle x{{4}^{x}}>4) на отрицательный (displaystyle x). Получу (displaystyle {{4}^{x}}<frac{4}{x}).

При (displaystyle x<0), но левая часть неравенства всегда положительна, в то время как правая – всегда отрицательна. Тогда (displaystyle {{4}^{x}}<frac{4}{x}) не имеет решений при отрицательных (displaystyle x). И ответом будет (displaystyle xin left( 1;+infty right)).

Самостоятельно реши примеры на анализ монотонности функций

• (displaystyle {{2}^{sqrt{x}}}+{{3}^{sqrt{x}+1}}+{{4}^{sqrt{2}+2}}>20)
• (displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}-4x+9}}<frac{1}{1+left| x-3 right|})

Решение:

Пример 1. Давай разберемся. Первый пример достаточно легкий и решается технично и быстро.

Сразу заметим, что (displaystyle xge 0) (свойство корня).

Ясно, что слева записана сумма возрастающих функций, поэтому все выражение слева возрастает, тогда как справа – постоянно.

Единственная точка, в которой они совпадают – (displaystyle x=0).

Ответ: (displaystyle xin left( 0;+infty right)).

Пример 2. Второй пример потруднее, здесь появляется выражение, зависящее от модуля. Рассмотрим его подробнее.

Во-первых, ясно, что выражение справа всегда не больше, чем (displaystyle 1). Причем равенство достигается при (displaystyle x=3).

Далее, при (displaystyle x>3) выражение принимает форму (displaystyle frac{1}{x-2}), а при (displaystyle x<3) мы имеем:

(displaystyle frac{1}{4-x}), таким образом, всюду правая часть не больше (displaystyle 1), причем при (displaystyle x>3) функция монотонно возрастает, а при (displaystyle x<3) – монотонно убывает.

Рассмотрим теперь показатель выражения слева:

(displaystyle {{x}^{2}}-4x+9), ясно, что дискриминант данного выражения равен (displaystyle -20<0), но (displaystyle gleft( x right)=~{{x}^{2}}-4x+9) – парабола с ветвями, направленными вверх с вершиной (displaystyle {{x}_{0}}=frac{4}{2}=2).

В этой точке функция достигает своего наименьшего значения (displaystyle gleft( 2 right)=~{{2}^{2}}-4cdot 2+9=5), а значит наименьшее значение (displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}-4x+9}}) равно (displaystyle {{2}^{5}}=32).

В то время, как наибольшее значение правой части равно (displaystyle 1).

Таким образом, левая часть всюду больше правой части и исходное неравенство не имеет решений.

Бонусы. Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №15. Показательные уравнения и неравенства. Сравнение чисел. Логарифмы

В этом видео мы научимся решать сложные показательные уравнения и неравенства.

Чаще всего они сводятся к квадратным или рациональным.

В сложных неравенствах нам никто не гарантирует, что концы интервалов получатся “красивыми” – частенько там возникают логарифмы.

Поэтому, чтобы знать, как эти точки располагаются на числовой прямой, нам необходимо уметь сравнивать значения логарифмов (друг с другом и с “обычными” числами). Это мы также научимся делать.

ЕГЭ №15. Смешанные неравенства. Логарифмические и тригонометрические

“Задачу №15 мы на курсе уже научились решать: разобрали по косточкам и показательные, и логарифмические (в том числе с переменными основаниями), и смешанные неравенства.

Ну и системы неравенств не забыли.

Бонусом прошлись по иррациональным неравенствам и неравенствам с модулем.

Но погодите, не выдыхайте пока. Поиграем в слабо! А слабо скрестить логарифмы с тригонометрией? 

Этим и займемся в задаче на логарифмы с разными основаниями. Мы решим эту сложную задачу 2-мя способами!”

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж – c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Решение показательных неравенств: основные способы

3 января 2017

Многие считают, что показательные неравенства — это что-то такое сложное и непостижимое. И что научиться их решать — чуть ли не великое искусство, постичь которое способны лишь Избранные…

Полная брехня! Показательные неравенства — это просто. И решаются они всегда просто. Ну, почти всегда.:)

Сегодня мы разберём эту тему вдоль и поперёк. Этот урок будет очень полезен тем, кто только начинает разбираться в данном разделе школьной математики. Начнём с простых задач и будем двигаться к более сложным вопросам. Никакой жести сегодня не будет, но того, что вы сейчас прочитаете, будет достаточно, чтобы решить большинство неравенств на всяких контрольных и самостоятельных работах. И на этом вашем ЕГЭ тоже.

Как всегда, начнём с определения. Показательное неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе показательную функцию. Другими словами, его всегда можно свести к неравенству вида

[{{a}^{x}} gt b]

Где в роли $b$ может быть обычное число, а может быть и что-нибудь пожёстче. Примеры? Да пожалуйста:

[begin{align} & {{2}^{x}} gt 4;quad {{2}^{x-1}}le frac{1}{sqrt[3]{2}};quad {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} lt 16; \ & {{0,1}^{1-x}} lt 0,01;quad {{2}^{frac{x}{2}}} lt {{4}^{frac{4}{x}}}. \end{align}]

Думаю, смысл понятен: есть показательная функция ${{a}^{x}}$, её с чем-то сравнивают, а затем просят найти $x$. В особо клинических случаях вместо переменной $x$ могут засунуть какую-нибудь функцию $fleft( x right)$ и тем самым чуть-чуть усложнить неравенство.:)

Конечно, в некоторых случаях неравенство может выглядеть более сурово. Вот, например:

[{{9}^{x}}+8 gt {{3}^{x+2}}]

Или даже вот:

[5cdot {{4}^{x}}+2cdot {{25}^{x}} gt 7cdot {{10}^{x}}]

В целом, сложность таких неравенств может быть самой разной, но в итоге они всё равно сводятся к простой конструкции ${{a}^{x}} gt b$. А уж с такой конструкцией мы как-нибудь разберёмся (в особо клинических случаях, когда ничего не приходит в голову, нам помогут логарифмы). Поэтому сейчас мы научимя решать такие простые конструкции.

Решение простейших показательных неравенств

Рассмотрим что-нибудь совсем простое. Например, вот это:

[{{2}^{x}} gt 4]

Очевидно, что число справа можно переписать в виде степени двойки: $4={{2}^{2}}$. Таким образом, исходное неравенство перепишется в очень удобной форме:

[{{2}^{x}} gt {{2}^{2}}]

И вот уже руки чешутся «зачеркнуть» двойки, стоящие в основаниях степеней, дабы получить ответ $x gt 2$. Но перед тем как что там зачёркивать, давайте вспомним степени двойки:

[{{2}^{1}}=2;quad {{2}^{2}}=4;quad {{2}^{3}}=8;quad {{2}^{4}}=16;…]

Как видим, чем большее число стоит в показателе степени, тем больше получается число на выходе. «Спасибо, кэп!» — воскликнет кто-нибудь из учеников. Разве бывает по-другому? К сожалению, бывает. Например:

[{{left( frac{1}{2} right)}^{1}}=frac{1}{2};quad {{left( frac{1}{2} right)}^{2}}=frac{1}{4};quad {{left( frac{1}{2} right)}^{3}}=frac{1}{8};…]

Тут тоже всё логично: чем больше степень, тем больше раз число 0,5 умножается само на себя (т.е. делится пополам). Таким образом, полученная последовательность чисел убывает, а разница между первой и второй последовательностью состоит лишь в основании:

• Если основание степени $a gt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ тоже будет расти;
• И наоборот, если $0 lt a lt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ будет убывать.

Суммируя эти факты, мы получаем самое главное утверждение, на котором и основано всё решение показательных неравенств:

Если $a gt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x gt n$. Если $0 lt a lt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x lt n$.

Другими словами, если основание больше единицы, его можно просто убрать — знак неравенства при этом не поменяется. А если основание меньше единицы, то его тоже можно убрать, но при этом придётся поменять и знак неравенства.

Обратите внимание: мы не рассмотрели варианты $a=1$ и $ale 0$. Потому что в этих случаях возникает неопределённость. Допустим, как решить неравенство вида ${{1}^{x}} gt 3$? Единица в любой степени снова даст единицу — мы никогда не получим тройку или больше. Т.е. решений нет.

С отрицательными основаниями всё ещё интереснее. Рассмотрим для примера вот такое неравенство:

[{{left( -2 right)}^{x}} gt 4]

На первый взгляд, всё просто:

[4={{2}^{2}}Rightarrow {{left( -2 right)}^{x}} gt {{2}^{2}}Rightarrow x gt 2]

Правильно? А вот и нет! Достаточно подставить вместо $x$ парочку чётных и парочку нечётных чисел, чтобы убедиться что решение неверно. Взгляните:

[begin{align} & x=4Rightarrow {{left( -2 right)}^{4}}=16 gt 4; \ & x=5Rightarrow {{left( -2 right)}^{5}}=-32 lt 4; \ & x=6Rightarrow {{left( -2 right)}^{6}}=64 gt 4; \ & x=7Rightarrow {{left( -2 right)}^{7}}=-128 lt 4. \end{align}]

Как видите, знаки чередуются. А ведь есть ещё дробные степени и прочая жесть. Как, например, прикажете считать ${{left( -2 right)}^{sqrt{7}}}$ (минус двойка в степени корень из семи)? Да никак!

Поэтому для определённости полагают, что во всех показательных неравенствах (и уравнениях, кстати, тоже) $1ne a gt 0$. И тогда всё решается очень просто:

[{{a}^{x}} gt {{a}^{n}}Rightarrow left[ begin{align} & x gt nquad left( a gt 1 right), \ & x lt nquad left( 0 lt a lt 1 right). \end{align} right.]

В общем, ещё раз запомните главное правило: если основание в показательном уравнении больше единицы, его можно просто убрать; а если основание меньше единицы, его тоже можно убрать, но при этом поменяется знак неравенства.

Примеры решения

Итак, рассмотрим несколько простых показательных неравенств:

[begin{align} & {{2}^{x-1}}le frac{1}{sqrt[3]{2}}; \ & {{0,1}^{1-x}} lt 0,01; \ & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} lt 16; \ & {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}ge frac{1}{25}. \end{align}]

Первостепенная задача во всех случаях одна и та же: свести неравенств к простейшему виду ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$. Именно это мы сейчас и сделаем с каждым неравенством, а заодно повторим свойства степеней и показательной функции. Итак, поехали!

[{{2}^{x-1}}le frac{1}{sqrt[3]{2}}]

Что здесь можно сделать? Ну, слева у нас и так стоит показательное выражение — ничего менять не надо. А вот справа стоит какая-то хрень: дробь, да ещё и в знаменателе корень!

Однако вспомним правила работы с дробями и степенями:

[begin{align} & frac{1}{{{a}^{n}}}={{a}^{-n}}; \ & sqrt[k]{a}={{a}^{frac{1}{k}}}. \end{align}]

Что это значит? Во-первых, мы легко можем избавиться от дроби, превратив её в степень с отрицательным показателем. А во-вторых, поскольку в знаменателе стоит корень, было бы неплохо превратить и его в степень — на этот раз с дробным показателем.

Применим эти действия последовательно к правой части неравенства и посмотрим, что получится:

[frac{1}{sqrt[3]{2}}={{left( sqrt[3]{2} right)}^{-1}}={{left( {{2}^{frac{1}{3}}} right)}^{-1}}={{2}^{frac{1}{3}cdot left( -1 right)}}={{2}^{-frac{1}{3}}}]

Не забываем, что при возведении степени в степень показатели этих степеней складываются. И вообще, при работе с показательными уравнениями и неравенствами совершенно необходимо знать хотя бы простейшие правила работы со степенями:

[begin{align} & {{a}^{x}}cdot {{a}^{y}}={{a}^{x+y}}; \ & frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}; \ & {{left( {{a}^{x}} right)}^{y}}={{a}^{xcdot y}}. \end{align}]

Собственно, последнее правило мы только что и применили. Поэтому наше исходное неравенство перепишется следующим образом:

[{{2}^{x-1}}le frac{1}{sqrt[3]{2}}Rightarrow {{2}^{x-1}}le {{2}^{-frac{1}{3}}}]

Теперь избавляемся от двойки в основании. Поскольку 2 > 1, знак неравенства останется прежним:

[begin{align} & x-1le -frac{1}{3}Rightarrow xle 1-frac{1}{3}=frac{2}{3}; \ & xin left( -infty ;frac{2}{3} right]. \end{align}]

Вот и всё решение! Основная сложность — вовсе не в показательной функции, а в грамотном преобразовании исходного выражения: нужно аккуратно и максимально быстро привести его к простейшему виду.

Рассмотрим второе неравенство:

[{{0,1}^{1-x}} lt 0,01]

Так, так. Тут нас поджидают десятичные дроби. Как я уже много раз говорил, в любых выражениях со степенями следует избавляться от десятичных дробей — зачастую только так можно увидеть быстрое и простое решение. Вот и мы избавимся:

[begin{align} & 0,1=frac{1}{10};quad 0,01=frac{1}{100}={{left( frac{1}{10} right)}^{2}}; \ & {{0,1}^{1-x}} lt 0,01Rightarrow {{left( frac{1}{10} right)}^{1-x}} lt {{left( frac{1}{10} right)}^{2}}. \end{align}]

Перед нами вновь простейшее неравенство, да ещё и с основанием 1/10, т.е. меньшим единицы. Что ж, убираем основания, попутно меняя знак с «меньше» на «больше», и получаем:

[begin{align} & 1-x gt 2; \ & -x gt 2-1; \ & -x gt 1; \& x lt -1. \end{align}]

Получили окончательный ответ: $xin left( -infty ;-1 right)$. Обратите внимание: ответом является именно множество, а ни в коем случае не конструкция вида $x lt -1$. Потому что формально такая конструкция — это вовсе не множество, а неравенство относительно переменной $x$. Да, оно очень простое, но это не ответ!

Важное замечание. Данное неравенство можно было решить и по-другому — путём приведения обеих частей к степени с основанием, большим единицы. Взгляните:

[frac{1}{10}={{10}^{-1}}Rightarrow {{left( {{10}^{-1}} right)}^{1-x}} lt {{left( {{10}^{-1}} right)}^{2}}Rightarrow {{10}^{-1cdot left( 1-x right)}} lt {{10}^{-1cdot 2}}]

После такого преобразования мы вновь получим показательное неравенство, но с основанием 10 > 1. А это значит, что можно просто зачеркнуть десятку — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

[begin{align} & -1cdot left( 1-x right) lt -1cdot 2; \ & x-1 lt -2; \ & x lt -2+1=-1; \ & x lt -1. \end{align}]

Как видите, ответ получился точь-в-точь такой же. При этом мы избавили себя от необходимости менять знак и вообще помнить какие-то там правила.:)

Идём далее. Рассмотрим чуть более сложное неравенство — в нём в показателе появляется квадратичная функция:

[{{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} lt 16]

Однако пусть вас это не пугает. Чтобы ни находилось в показателях, технология решения самого неравенства остаётся прежней. Поэтому заметим для начала, что 16 = 2⁴. Перепишем исходное неравенство с учётом этого факта:

[begin{align} & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} lt {{2}^{4}}; \ & {{x}^{2}}-7x+14 lt 4; \ & {{x}^{2}}-7x+10 lt 0. \end{align}]

Ура! Мы получили обычное квадратное неравенство! Знак нигде не менялся, поскольку в основании стоит двойка — число, большее единицы.

Далее можно воспользоваться теоремой Виета, либо просто решить уравнение ${{x}^{2}}-7x+10=0$ через дискриминант. В любом случае корни будут ${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=5$. Отметим их на числовой прямой:

Расставляем знаки функции $fleft( x right)={{x}^{2}}-7x+10$ — очевидно, её графиком будет парабола ветвями вверх, поэтому по бокам будут «плюсы». Нас интересует та область, где функция меньше нуля, т.е. $xin left( 2;5 right)$ — это и есть ответ к исходной задаче.

Наконец, рассмотрим ещё одно неравенство:

[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}ge frac{1}{25}]

Опять видим показательную функцию с десятичной дробью в основании. Переводим эту дробь в обыкновенную:

[begin{align} & 0,2=frac{2}{10}=frac{1}{5}={{5}^{-1}}Rightarrow \ & Rightarrow {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}={{left( {{5}^{-1}} right)}^{1+{{x}^{2}}}}={{5}^{-1cdot left( 1+{{x}^{2}} right)}}end{align}]

В данном случае мы воспользовались приведённым ранее замечанием — свели основание к числу 5 > 1, чтобы упростить себе дальнейшее решение. Точно так же поступим и с правой частью:

[frac{1}{25}={{left( frac{1}{5} right)}^{2}}={{left( {{5}^{-1}} right)}^{2}}={{5}^{-1cdot 2}}={{5}^{-2}}]

Перепишем исходное неравенство с учётом обоих преобразований:

[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}ge frac{1}{25}Rightarrow {{5}^{-1cdot left( 1+{{x}^{2}} right)}}ge {{5}^{-2}}]

Основания с обеих сторон одинаковы и превосходят единицу. Никаких других слагаемых справа и слева нет, поэтому просто «зачёркиваем» пятёрки и получаем совсем простое выражение:

[begin{align} & -1cdot left( 1+{{x}^{2}} right)ge -2; \ & -1-{{x}^{2}}ge -2; \ & -{{x}^{2}}ge -2+1; \ & -{{x}^{2}}ge -1;quad left| cdot left( -1 right) right. \ & {{x}^{2}}le 1. \end{align}]

Вот тут надо быть аккуратнее. Многие ученики любят просто извлечь квадратный корень их обеих частей неравенства и записать что-нибудь в духе $xle 1Rightarrow xin left( -infty ;-1 right]$. Делать этого ни в коем случае нельзя, поскольку корень из точного квадрата — это модуль, а ни в коем случае не исходная переменная:

[sqrt{{{x}^{2}}}=left| x right|]

Однако работать с модулями — не самое приятное занятие, правда? Вот и мы не будем работать. А вместо этого просто перенесём все слагаемые влево и решим обычное неравенство методом интервалов:

$begin{align} & {{x}^{2}}-1le 0; \ & left( x-1 right)left( x+1 right)le 0 \ & {{x}_{1}}=1;quad {{x}_{2}}=-1; \end{align}$

Вновь отмечаем полученные точки на числовой прямой и смотрим знаки:

Поскольку мы решали нестрогое неравенство, все точки на графике закрашены. Поэтому ответ будет такой: $xin left[ -1;1 right]$ — не интервал, а именно отрезок.

В целом хотел бы заметить, что ничего сложного в показательных неравенствах нет. Смысл всех преобразований, которые мы сегодня выполняли, сводится к простому алгоритму:

• Найти основание, к которому будем приводить все степени;
• Аккуратно выполнить преобразования, чтобы получилось неравенство вида ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$. Разумеется вместо переменных $x$ и $n$ могут стоять гораздо более сложные функции, но смысл от этого не поменяется;
• Зачеркнуть основания степеней. При этом может поменяться знак неравенства, если основание $a lt 1$.

По сути, это универсальный алгоритм решения всех таких неравенств. А всё, что вам ещё будут рассказывать по этой теме — лишь конкретные приёмы и хитрости, позволяющие упростить и ускорить преобразования. Вот об одном из таких приёмов мы сейчас и поговорим.:)

Метод рационализации

Рассмотрим ещё одну партию неравенств:

[begin{align} & {{text{ }!!pi!!text{ }}^{x+7}} gt {{text{ }!!pi!!text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}}; \ & {{left( 2sqrt{3}-3 right)}^{{{x}^{2}}-2x}} lt 1; \ & {{left( frac{1}{3} right)}^{{{x}^{2}}+2x}} gt {{left( frac{1}{9} right)}^{16-x}}; \ & {{left( 3-2sqrt{2} right)}^{3x-{{x}^{2}}}} lt 1. \end{align}]

Ну и что в них такого особенного? Они же лёгкие. Хотя, стоп! Число π возводится в какую-то степень? Что за бред?

А как возвести в степень число $2sqrt{3}-3$? Или $3-2sqrt{2}$? Составители задач, очевидно, перепили «Боярышника» перед тем, как сесть за работу.:)

На самом деле ничего страшного в этих задачах нет. Напомню: показательной функцией называется выражение вида ${{a}^{x}}$, где основание $a$ — это любое положительное число, за исключением единицы. Число π положительно — это мы и так знаем. Числа $2sqrt{3}-3$ и $3-2sqrt{2}$ тоже положительны — в этом легко убедиться, если сравнить их с нулём.

Получается, что все эти «устрашающие» неравенства ничем не отличаются решаются от простых, рассмотренных выше? И решаются точно так же? Да, совершенно верно. Однако на их примере я хотел бы рассмотреть один приём, который здорово экономит время на самостоятельных работах и экзаменах. Речь пойдёт о методе рационализации. Итак, внимание:

Всякое показательное неравенство вида ${{a}^{x}} gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $left( x-n right)cdot left( a-1 right) gt 0$.

Вот и весь метод.:) А вы думали, что будет какая-нибудь очередная дичь? Ничего подобного! Но этот простой факт, записанный буквально в одну строчку, значительно упростит нам работу. Взгляните:

[begin{matrix} {{text{ }!!pi!!text{ }}^{x+7}} gt {{text{ }!!pi!!text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}} \ Downarrow \ left( x+7-left( {{x}^{2}}-3x+2 right) right)cdot left( text{ }!!pi!!text{ }-1 right) gt 0 \end{matrix}]

Вот и нет больше показательных функций! И не надо помнить: меняется знак или нет. Но возникает новая проблема: что делать с грёбаным множителем [left( text{ }!!pi!!text{ }-1 right)]? Мы ведь не знаем, чему равно точное значение числа π. Впрочем, капитан очевидность как бы намекает:

[text{ }!!pi!!text{ }approx 3,14… gt 3Rightarrow text{ }!!pi!!text{ }-1 gt 3-1=2]

В общем, точное значение π нас особо-то и не колышет — нам лишь важно понимать, что в любом случае $text{ }!!pi!!text{ }-1 gt 2$, т.е. это положительная константа, и мы можем разделить на неё обе части неравенства:

[begin{align} & left( x+7-left( {{x}^{2}}-3x+2 right) right)cdot left( text{ }!!pi!!text{ }-1 right) gt 0 \ & x+7-left( {{x}^{2}}-3x+2 right) gt 0; \ & x+7-{{x}^{2}}+3x-2 gt 0; \ & -{{x}^{2}}+4x+5 gt 0;quad left| cdot left( -1 right) right. \ & {{x}^{2}}-4x-5 lt 0; \ & left( x-5 right)left( x+1 right) lt 0. \end{align}]

Как видите, в определённый момент пришлось разделить на минус единицу — при этом знак неравенства поменялся. В конце я разложил квадратный трёхчлен по теореме Виета — очевидно, что корни равны ${{x}_{1}}=5$ и ${{x}_{2}}=-1$. Дальше всё решается классическим методом интервалов:

Все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое. Нас интересует область с отрицательными значениями, поэтому ответ: $xin left( -1;5 right)$. Вот и всё решение.:)

Перейдём к следующей задаче:

[{{left( 2sqrt{3}-3 right)}^{{{x}^{2}}-2x}} lt 1]

Тут вообще всё просто, потому что справа стоит единица. А мы помним, что единица — это любое число в нулевой степени. Даже если этим числом является иррациональное выражение, стоящее в основании слева:

[begin{align} & {{left( 2sqrt{3}-3 right)}^{{{x}^{2}}-2x}} lt 1={{left( 2sqrt{3}-3 right)}^{0}}; \ & {{left( 2sqrt{3}-3 right)}^{{{x}^{2}}-2x}} lt {{left( 2sqrt{3}-3 right)}^{0}}; \end{align}]

Что ж, выполняем рационализацию:

[begin{align} & left( {{x}^{2}}-2x-0 right)cdot left( 2sqrt{3}-3-1 right) lt 0; \ & left( {{x}^{2}}-2x-0 right)cdot left( 2sqrt{3}-4 right) lt 0; \ & left( {{x}^{2}}-2x-0 right)cdot 2left( sqrt{3}-2 right) lt 0. \end{align}]

Осталось лишь разобраться со знаками. Множитель $2left( sqrt{3}-2 right)$ не содержит переменной $x$ — это просто константа, и нам необходимо выяснить её знак. Для этого заметим следующее:

[begin{matrix} sqrt{3} lt sqrt{4}=2 \ Downarrow \ 2left( sqrt{3}-2 right) lt 2cdot left( 2-2 right)=0 \end{matrix}]

Получается, что второй множитель — не просто константа, а отрицательная константа! И при делении на неё знак исходного неравенства поменяется на противоположный:

[begin{align} & left( {{x}^{2}}-2x-0 right)cdot 2left( sqrt{3}-2 right) lt 0; \ & {{x}^{2}}-2x-0 gt 0; \ & xleft( x-2 right) gt 0. \end{align}]

Теперь всё становится совсем очевидно. Корни квадратного трёхчлена, стоящего справа: ${{x}_{1}}=0$ и ${{x}_{2}}=2$. Отмечаем их на числовой прямой и смотрим знаки функции $fleft( x right)=xleft( x-2 right)$:

Нас интересуют интервалы, отмеченные знаком «плюс». Осталось лишь записать ответ:

[xin left( -infty ;0 right)bigcup left( 2;+infty right)]

Переходим к следующему примеру:

[{{left( frac{1}{3} right)}^{{{x}^{2}}+2x}} gt {{left( frac{1}{9} right)}^{16-x}}]

Ну, тут совсем всё очевидно: в основаниях стоят степени одного и того же числа. Поэтому я распишу всё кратко:

[begin{matrix} frac{1}{3}={{3}^{-1}};quad frac{1}{9}=frac{1}{{{3}^{2}}}={{3}^{-2}} \ Downarrow \ {{left( {{3}^{-1}} right)}^{{{x}^{2}}+2x}} gt {{left( {{3}^{-2}} right)}^{16-x}} \end{matrix}]

Далее «причёсываем» выражения с обеих частей неравенства и применяем метод рационализации:

[begin{align} & {{3}^{-1cdot left( {{x}^{2}}+2x right)}} gt {{3}^{-2cdot left( 16-x right)}}; \ & {{3}^{-{{x}^{2}}-2x}} gt {{3}^{-32+2x}}; \ & left( -{{x}^{2}}-2x-left( -32+2x right) right)cdot left( 3-1 right) gt 0; \ & -{{x}^{2}}-2x+32-2x gt 0; \ & -{{x}^{2}}-4x+32 gt 0;quad left| cdot left( -1 right) right. \ & {{x}^{2}}+4x-32 lt 0; \ & left( x+8 right)left( x-4 right) lt 0. \end{align}]

Как видите, в процессе преобразований пришлось умножать на отрицательное число, поэтому поменялся знак неравенства. В самом конце я вновь применил теорему Виета для разложения на множители квадратного трёхчлена. В итоге ответ будет следующий: $xin left( -8;4 right)$ — желающие могут убедиться в этом, нарисовав числовую прямую, отметив точки и посчитав знаки. А мы тем временем перейдём к последнему неравенству из нашего «комплекта»:

[{{left( 3-2sqrt{2} right)}^{3x-{{x}^{2}}}} lt 1]

Как видим, в основании снова стоит иррациональное число, а справа снова стоит единица. Поэтому перепишем наше показательное неравенство следующим образом:

[{{left( 3-2sqrt{2} right)}^{3x-{{x}^{2}}}} lt {{left( 3-2sqrt{2} right)}^{0}}]

Применяем рационализацию:

[begin{align} & left( 3x-{{x}^{2}}-0 right)cdot left( 3-2sqrt{2}-1 right) lt 0; \ & left( 3x-{{x}^{2}}-0 right)cdot left( 2-2sqrt{2} right) lt 0; \ & left( 3x-{{x}^{2}}-0 right)cdot 2left( 1-sqrt{2} right) lt 0. \end{align}]

Однако совершенно очевидно, что $1-sqrt{2} lt 0$, поскольку $sqrt{2}approx 1,4… gt 1$. Поэтому второй множитель — вновь отрицательная константа, на которую можно разделить обе части неравенства:

[begin{matrix} left( 3x-{{x}^{2}}-0 right)cdot 2left( 1-sqrt{2} right) lt 0 \ Downarrow \end{matrix}]

[begin{align} & 3x-{{x}^{2}}-0 gt 0; \ & 3x-{{x}^{2}} gt 0;quad left| cdot left( -1 right) right. \ & {{x}^{2}}-3x lt 0; \ & xleft( x-3 right) lt 0. \end{align}]

Далее всё просто: находим корни, отмечаем их на числовой прямой, смотрим знаки. Ответ будет следующим: $xin left( 0;3 right)$.

Переход к другому основанию

Отдельной проблемой при решении показательных неравенств является поиск «правильного» основания. К сожалению, далеко не всегда при первом взгляде на задание очевидно, что брать за основание, а что делать степенью этого основания.

Но не переживайте: здесь нет никакой магии и «секретных» технологий. В математике любой навык, который нельзя алгоритмизировать, можно легко выработать с помощью практики. Но для этого придётся решать задачи разного уровня сложности. Например, вот такие:

[begin{align} & {{2}^{frac{x}{2}}} lt {{4}^{frac{4}{x}}}; \ & {{left( frac{1}{3} right)}^{frac{3}{x}}}ge {{3}^{2+x}}; \ & {{left( 0,16 right)}^{1+2x}}cdot {{left( 6,25 right)}^{x}}ge 1; \ & {{left( frac{27}{sqrt[3]{3}} right)}^{-x}} lt {{9}^{4-2x}}cdot 81. \end{align}]

Сложно? Страшно? Да это же проще, чем цыплёнка об асфальт! Давайте попробуем. Первое неравенство:

[{{2}^{frac{x}{2}}} lt {{4}^{frac{4}{x}}}]

Ну, я думают, тут и ежу всё понятно:

[4={{2}^{2}}Rightarrow {{4}^{frac{4}{x}}}={{left( {{2}^{2}} right)}^{frac{4}{x}}}={{2}^{2cdot frac{4}{x}}}={{2}^{frac{8}{x}}}]

Переписываем исходное неравенство, сводя всё к основанию «два»:

[{{2}^{frac{x}{2}}} lt {{2}^{frac{8}{x}}}Rightarrow left( frac{x}{2}-frac{8}{x} right)cdot left( 2-1 right) lt 0]

Да, да, вы всё правильно поняли: я только что применил метод рационализации, описанный выше. Теперь нужно работать аккуратно: у нас получилось дробно-рациональное неравенство (это такое, у которого в знаменателе стоит переменная), поэтому прежде чем что-то приравнивать к нулю, необходимо привести всё к общему знаменателю и избавиться от множителя-константы.

[begin{align} & left( frac{x}{2}-frac{8}{x} right)cdot left( 2-1 right) lt 0; \ & left( frac{{{x}^{2}}-16}{2x} right)cdot 1 lt 0; \ & frac{{{x}^{2}}-16}{2x} lt 0. \end{align}]

Теперь используем стандартный метод интервалов. Нули числителя: $x=pm 4$. Знаменатель обращается в ноль только при $x=0$. Итого три точки, которые надо отметить на числовой прямой (все точки выколоты, т.к. знак неравенства строгий). Получим:

Как нетрудно догадаться, штриховкой отмечены те интервалы, на которых выражение слева принимает отрицательные значения. Поэтому в окончательный ответ пойдут сразу два интервала:

[xin left( -infty ;-4 right)bigcup left( 0;4 right)]

Концы интервалов не входят в ответ, поскольку исходное неравенство было строгим. Никаких дополнительных проверок этого ответа не требуется. В этом плане показательные неравенства намного проще логарифмических: никаких ОДЗ, никаких ограничений и т.д.

Переходим к следующей задаче:

[{{left( frac{1}{3} right)}^{frac{3}{x}}}ge {{3}^{2+x}}]

Здесь тоже никаких проблем, поскольку мы уже знаем, что $frac{1}{3}={{3}^{-1}}$, поэтому всё неравенство можно переписать так:

[begin{align} & {{left( {{3}^{-1}} right)}^{frac{3}{x}}}ge {{3}^{2+x}}Rightarrow {{3}^{-frac{3}{x}}}ge {{3}^{2+x}}; \ & left( -frac{3}{x}-left( 2+x right) right)cdot left( 3-1 right)ge 0; \ & left( -frac{3}{x}-2-x right)cdot 2ge 0;quad left| :left( -2 right) right. \ & frac{3}{x}+2+xle 0; \ & frac{{{x}^{2}}+2x+3}{x}le 0. \end{align}]

Обратите внимание: в третьей строчке я решил не мелочиться и сразу разделить всё на (−2). Минул ушёл в первую скобку (теперь там везде плюсы), а двойка сократилась с множителем-константой. Именно так и стоит поступать при оформлении реальных выкладок на самостоятельных и контрольных работах — не надо расписывать прям каждое действие и преобразование.

Далее в дело вступает знакомый нам метод интервалов. Нули числителя: а их нет. Потому что дискриминант будет отрицательный. В свою очередь знаменатель обнуляется лишь при $x=0$ — как и в прошлый раз. Ну и понятно, что справа от $x=0$ дробь будет принимать положительные значения, а слева — отрицательные. Поскольку нас интересуют именно отрицательные значения, то окончательный ответ: $xin left( -infty ;0 right)$.

Идём далее. В следующем задании нас поджидают десятичные дроби:

[{{left( 0,16 right)}^{1+2x}}cdot {{left( 6,25 right)}^{x}}ge 1]

А что нужно делать с десятичными дробями в показательных неравенствах? Правильно: избавляться от них, переводя в обыкновенные. Вот и мы переведём:

[begin{align} & 0,16=frac{16}{100}=frac{4}{25}Rightarrow {{left( 0,16 right)}^{1+2x}}={{left( frac{4}{25} right)}^{1+2x}}; \ & 6,25=frac{625}{100}=frac{25}{4}Rightarrow {{left( 6,25 right)}^{x}}={{left( frac{25}{4} right)}^{x}}. \end{align}]

Ну и что мы получили в основаниях показательных функций? А получили мы два взаимно обратных числа:

[frac{25}{4}={{left( frac{4}{25} right)}^{-1}}Rightarrow {{left( frac{25}{4} right)}^{x}}={{left( {{left( frac{4}{25} right)}^{-1}} right)}^{x}}={{left( frac{4}{25} right)}^{-x}}]

Таким образом исходное неравенство можно переписать так:

[begin{align} & {{left( frac{4}{25} right)}^{1+2x}}cdot {{left( frac{4}{25} right)}^{-x}}ge 1; \ & {{left( frac{4}{25} right)}^{1+2x+left( -x right)}}ge {{left( frac{4}{25} right)}^{0}}; \ & {{left( frac{4}{25} right)}^{x+1}}ge {{left( frac{4}{25} right)}^{0}}. \end{align}]

Разумеется, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, что и произошло во второй строчке. Кроме того, мы представили единицу, стоящую справа, тоже в виде степени по основанию 4/25. Осталось лишь выполнить рационализацию:

[{{left( frac{4}{25} right)}^{x+1}}ge {{left( frac{4}{25} right)}^{0}}Rightarrow left( x+1-0 right)cdot left( frac{4}{25}-1 right)ge 0]

Заметим, что $frac{4}{25}-1=frac{4-25}{25} lt 0$, т.е. второй множитель является отрицательной константой, и при делении на неё знак неравенства поменяется:

[begin{align} & x+1-0le 0Rightarrow xle -1; \ & xin left( -infty ;-1 right]. \end{align}]

Наконец, последнее неравенство из текущего «комплекта»:

[{{left( frac{27}{sqrt[3]{3}} right)}^{-x}} lt {{9}^{4-2x}}cdot 81]

В принципе, идея решения тут тоже ясна: все показательные функции, входящие в состав неравенства, необходимо свести к основанию «3». Но для этого придётся немного повозиться с корнями и степенями:

[begin{align} & frac{27}{sqrt[3]{3}}=frac{{{3}^{3}}}{{{3}^{frac{1}{3}}}}={{3}^{3-frac{1}{3}}}={{3}^{frac{8}{3}}}; \ & 9={{3}^{2}};quad 81={{3}^{4}}. \end{align}]

С учётом этих фактов исходное неравенство можно переписать так:

[begin{align} & {{left( {{3}^{frac{8}{3}}} right)}^{-x}} lt {{left( {{3}^{2}} right)}^{4-2x}}cdot {{3}^{4}}; \ & {{3}^{-frac{8x}{3}}} lt {{3}^{8-4x}}cdot {{3}^{4}}; \ & {{3}^{-frac{8x}{3}}} lt {{3}^{8-4x+4}}; \ & {{3}^{-frac{8x}{3}}} lt {{3}^{4-4x}}. \end{align}]

Обратите внимание на 2-ю и 3-ю строчку выкладок: прежде чем что-то делать с неравенством, обязательно приведите его к тому виду, о котором мы говорили с самого начала урока: ${{a}^{x}} lt {{a}^{n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.

Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

[begin{align} & -frac{8x}{3} lt 4-4x; \ & 4x-frac{8x}{3} lt 4; \ & frac{4x}{3} lt 4; \ & 4x lt 12; \ & x lt 3. \end{align}]

Вот и всё. Окончательный ответ: $xin left( -infty ;3 right)$.

Выделение устойчивого выражения и замена переменной

В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников. Чтобы справиться с ними, необходимо вспомнить правила работы со степенями. В частности — вынесение общих множителей за скобки.

Но самое главное — научиться понимать: что именно можно вынести за скобки. Такое выражение называется устойчивым — его можно обозначить новой переменной и таким образом избавиться от показательной функции. Итак, посмотрим на задачи:

[begin{align} & {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}ge 6; \ & {{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}ge 90; \ & {{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} gt 2500; \ & {{left( 0,5 right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} gt 768. \end{align}]

Начнём с самой первой строчки. Выпишем это неравенство отдельно:

[{{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}ge 6]

Заметим, что ${{5}^{x+2}}={{5}^{x+1+1}}={{5}^{x+1}}cdot 5$, поэтому правую часть можно переписать:

[5cdot {{5}^{x+1}}+{{5}^{x+1}}ge 6]

Заметим, что никаких других показательных функций, кроме ${{5}^{x+1}}$, в неравенстве нет. И вообще, нигде больше не встречается переменная $x$, поэтому введём новую переменную: ${{5}^{x+1}}=t$. Получим следующую конструкцию:

[begin{align} & 5t+tge 6; \ & 6tge 6; \ & tge 1. \end{align}]

Возвращаемся к исходной переменной ($t={{5}^{x+1}}$ ), а заодно вспоминаем, что 1=5⁰. Имеем:

[begin{align} & {{5}^{x+1}}ge {{5}^{0}}; \ & x+1ge 0; \ & xge -1. \end{align}]

Вот и всё решение! Ответ: $xin left[ -1;+infty right)$. Переходим ко второму неравенству:

[{{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}ge 90]

Здесь всё то же самое. Заметим, что ${{3}^{x+2}}={{3}^{x}}cdot {{3}^{2}}=9cdot {{3}^{x}}$. Тогда левую часть можно переписать:

[begin{align} & {{3}^{x}}+9cdot {{3}^{x}}ge 90;quad left| {{3}^{x}}=t right. \ & t+9tge 90; \ & 10tge 90; \ & tge 9Rightarrow {{3}^{x}}ge 9Rightarrow {{3}^{x}}ge {{3}^{2}}; \ & xge 2Rightarrow xin left[ 2;+infty right). \end{align}]

Вот примерно так и нужно оформлять решение на настоящих контрольных и самостоятельных работах.

Что ж, попробуем что-нибудь посложнее. Например, вот такое неравенство:

[{{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} gt 2500]

В чём тут проблема? Прежде всего, основания показательных функций, стоящих слева, разные: 5 и 25. Однако 25 = 5², поэтому первое слагаемое можно преобразовать:

[begin{align} & {{25}^{x+1,5}}={{left( {{5}^{2}} right)}^{x+1,5}}={{5}^{2x+3}}; \ & {{5}^{2x+3}}={{5}^{2x+2+1}}={{5}^{2x+2}}cdot 5. \end{align}]

Как видите, сначала мы всё привели к одинаковому основанию, а затем заметили, что первое слагаемое легко сводится ко второму — достаточно лишь разложить показатель. Теперь можно смело вводить новую переменную: ${{5}^{2x+2}}=t$, и всё неравенство перепишется так:

[begin{align} & 5t-tge 2500; \ & 4tge 2500; \ & tge 625={{5}^{4}}; \ & {{5}^{2x+2}}ge {{5}^{4}}; \ & 2x+2ge 4; \ & 2xge 2; \ & xge 1. \end{align}]

И вновь никаких трудностей! Окончательный ответ: $xin left[ 1;+infty right)$. Переходим к заключительному неравенству в сегодняшнем уроке:

[{{left( 0,5 right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} gt 768]

Первое, на что следует обратить внимание — это, конечно, десятичная дробь в основании первой степени. От неё необходимо избавиться, а заодно привести все показательные функции к одному и тому же основанию — числу «2»:

[begin{align} & 0,5=frac{1}{2}={{2}^{-1}}Rightarrow {{left( 0,5 right)}^{-4x-8}}={{left( {{2}^{-1}} right)}^{-4x-8}}={{2}^{4x+8}}; \ & 16={{2}^{4}}Rightarrow {{16}^{x+1,5}}={{left( {{2}^{4}} right)}^{x+1,5}}={{2}^{4x+6}}; \ & {{2}^{4x+8}}-{{2}^{4x+6}} gt 768. \end{align}]

Отлично, первый шаг мы сделали — всё привели к одному и тому же основанию. Теперь необходимо выделить устойчивое выражение. Заметим, что ${{2}^{4x+8}}={{2}^{4x+6+2}}={{2}^{4x+6}}cdot 4$. Если ввести новую переменную ${{2}^{4x+6}}=t$, то исходное неравенство можно переписать так:

[begin{align} & 4t-t gt 768; \ & 3t gt 768; \ & t gt 256={{2}^{8}}; \ & {{2}^{4x+6}} gt {{2}^{8}}; \ & 4x+6 gt 8; \ & 4x gt 2; \ & x gt frac{1}{2}=0,5. \end{align}]

Естественно, может возникнуть вопрос: каким это образом мы обнаружили, что 256 = 2⁸? К сожалению, тут нужно просто знать степени двойки (а заодно степени тройки и пятёрки). Ну, или делить 256 на 2 (делить можно, поскольку 256 — чётное число) до тех пор, пока не получим результат. Выглядеть это будет примерно так:

[begin{align} & 256=128cdot 2= \ & =64cdot 2cdot 2= \ & =32cdot 2cdot 2cdot 2= \ & =16cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2= \ & =8cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2= \ & =4cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2= \ & =2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2= \ & ={{2}^{8}}.end{align}]

То же самое и с тройкой (числа 9, 27, 81 и 243 являются её степенями), и с семёркой (числа 49 и 343 тоже было бы неплохо запомнить). Ну, и у пятёрки тоже есть «красивые» степени, которые нужно знать:

[begin{align} & {{5}^{2}}=25; \ & {{5}^{3}}=125; \ & {{5}^{4}}=625; \ & {{5}^{5}}=3125. \end{align}]

Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.

Надеюсь, этот урок помог вам в освоении данной темы. Если что-то непонятно — спрашивайте в комментариях. И увидимся в следующих уроках.:)

Смотрите также:

1. Простейшие показательные уравнения
2. Преобразование показательных уравнений
3. Сравнение дробей
4. Задача B8: отрезки и углы в треугольниках
5. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора
6. Задача B4: строительные бригады

Определение показательных неравенств

Для изучения этой темы стоит повторить:

• показательные уравнения;

• метод интервалов;

• разложение многочлена на множители;

• свойства степенной функции.

И, конечно, для решения смешанных неравенств, включающих в себя тригонометрические и логарифмические, также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.

Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а положительно, но не равно единице. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна.

При этом заметьте — значения функции всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число (большее нуля) во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: 2^-2 = 4, 2^-4 = 1/16 и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля.

Для любых а и х

верно неравенство a^x > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.

Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:

• , когда функция возрастает, т. е.

  ;

• , когда функция убывает, т. е.

  .

На этом свойстве показательных неравенств так или иначе основываются все методы решения, и сейчас мы разберемся, как им пользоваться.

Как решать показательные неравенства

Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости…

Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:

3^х > 9

Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:

3^х > 3²

х > 2

Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:

0,5^х > 0,5²

Проверим, верно ли в таком случае х > 2.

0,5² = 0,25;

0,5³ = 0, 125 и т. д.

Как видите, на самом деле в этом случае х < 2. Неудивительно, если вспомнить, о чем мы писали в самом начале, когда рисовали графики возрастающей и убывающей показательной функции.

Для ясности всегда предполагается, что основание степени — положительное число.

Это были общие правила, а сейчас рассмотрим разные виды показательных неравенств и примеры с решениями.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Решая показательные уравнения, вы наверняка первым делом исследовали их на возможность приведения к одинаковым основаниям или одинаковым степенным функциям. Так вот, с неравенствами можно делать то же самое! Помните лишь о смене знака, если основание степени меньше единицы. 😎

Попробуем на примере несложного показательного неравенства с разными основаниями.

Пример 1

3^х < 243

3^х < 3⁵

Поскольку 3 больше 1, знак не меняем:

х < 5

Ответ: х ∈ (−∞; 5).

Пример 2

, обратите внимание — мы поменяли знак, поскольку

.

Ответ:

.

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Снова давайте вспомним, как аналогичный метод применялся к показательным уравнениям. Если все переменные имели общий множитель, его можно было обозначить новой переменной — в итоге у нас, как правило, получалось квадратное уравнение. Нужно было лишь найти дискриминант и произвести обратную замену. И снова алгоритм решения показательных неравенств будет совершенно таким же.

Пример 1

9^х + 27 < 12 × 3^х

Наименьший общий множитель в данном случае будет 3^х, обозначим его новой переменной у и перенесем все слагаемые в левую сторону.

9^х + 27 < 12 × 3^х

(3^х)²— 12 × 3^х + 27 < 0

3^х = у при y > 0

y² — 12y + 27 < 0

3 < y < 9

Пришло время выполнить обратную замену.

3 < 3^х < 9

3¹ < 3^х < 3²

Поскольку 3 > 1, мы не меняем знак.

1 < х < 2

Ответ: х ∈ (1;2).

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Как вы, наверное, помните из предыдущего курса алгебры, рациональные показательные неравенства — это такие, в которых левая и правая часть представляют собой дробно-рациональные функции. Метод их решения таков: нужно перенести все в левую часть, чтобы в правой остался лишь ноль, и привести к общему знаменателю. Далее решаем уравнение, отмечаем все корни на оси и применяем метод интервалов (если забыли, что это такое — повторите).

Важно помнить: если в числителе и знаменателе встретятся одинаковые множители с переменной, сокращать их нельзя.

Пример 1

Преобразуем неравенство:

(обратите внимание, мы избавились от минуса в числителе и поменяли знак неравенства).

Поскольку выражение 2^х + 2 всегда больше нуля, мы можем домножить на него все неравенство и сократить.

и

Ответ:

Пример 2

Обозначим 3^х через новую переменную y:

3^х = y, при условии что y > 0.

Применим метод интервалов и получим:

Произведем обратную замену:

Поскольку 3 больше 1, знаки не меняем:

Ответ:

.

Однородные показательные неравенства

Иногда такие выражения бывают очень длинными и запутанными, но не стоит этого пугаться. Практически все неравенства с однородными показательными функциями решаются по одному принципу: стараемся упростить выражение, разделив его на одночлен, а затем при необходимости делаем замену переменных.

Пример 1

В левой части неравенства мы видим однородные функции относительно 2^х и 5^х. Следовательно, можно разделить обе части на 2^2х или 5^2х. Выберем 5^2х, т. е. 25^х. В итоге у нас получится:

Если обозначить

новой переменной y (при условии, что y > 0), получим квадратное неравенство:

y²— y — 2 > 0

y₁ > 2

y₂ < -1

Исходя из этого, у нас образуется следующее неравенство:

Поскольку

меньше 1, функция убывающая и мы должны поменять знак:

Ответ:

.

Пример 2

Но где здесь одинаковая сумма степеней? Сейчас будет:

Ответ:

Неравенства, решаемые графическим методом

Этот метод решения показательных неравенств — самый наглядный, и для многих он может показаться самым простым. Нужно лишь построить графики функций, заданных в левой и правой части выражения, а затем посмотреть, в какой точке они пересекаются. Но для использования данного метода точки пересечения должны быть целыми числами. Если бы мы имели дело с уравнением, такие точки стали бы его корнями.

Но поскольку мы рассматриваем неравенства, нужно будет выделить искомую область. Для неравенства f(x) > g(x) это будет та область, где график функции f(x) находится выше.

Пример 1

Итак, нам нужны графики двух функций:

и

, а также точка их пересечения.

Очевидно, что абсциссой точки пересечения является х = 1, при этом график функции

ниже в области

.

Ответ:

.

Пример 2

Начертим графики этих двух функций, чтобы найти точку пересечения.

Искомой точкой будет х = -1, а областью, где функция

находится выше — диапазон значений х от -∞ до -1.

Ответ:

.

Посмотрите на еще одну таблицу. В ней представлены степени (frac{1}{3}):

$$left(frac{1}{3}right)^0=1;$$
$$left(frac{1}{3}right)^1=frac{1}{3};$$
$$left(frac{1}{3}right)^2=frac{1}{9};$$
$$left(frac{1}{3}right)^3=frac{1}{27};$$
$$left(frac{1}{3}right)^4=frac{1}{81};$$
$$left(frac{1}{3}right)^5=frac{1}{243};$$

Оказывается, чем в большую степень мы будем возводить (frac{1}{3}), тем МЕНЬШЕЕ значение будем получать. Показательная функция с основанием (frac{1}{3}) будет убывающей. Более того, если возводить в степень любую дробь меньшую единицы, с увеличением степени вы всегда будете получать всё меньшие и меньшие значения. Чтобы наглядно это продемонстрировать, нарисуем еще один график функции (y=(frac{1}{3})^x):

Из всего этого занудства следует очень важное общее правило:
Если основание у степени больше единицы (a>1), то показательная функция будет возрастающей, а если меньше единицы (0 lt a lt 1), то убывающей. Это ключевой момент при решении показательных неравенств!

Решение показательных (степенных) неравенств похоже на решение показательных уравнений с некоторыми оговорками. Начнем изучение с простейшего примера:

Пример 1
$$ 2^x>2^3; $$
Это неравенство решается интуитивно. Понятное дело, что чем в большую степень мы будем возводить двойку, тем большее значение будем получать. Основание больше единицы, а значит, показательная функция возрастающая!

Основания у нас одинаковые. Значит, если вместо (x) подставить любое число большее 3, мы получим верное неравенство. Решением нашего первого показательного неравенства будет:
$$ x>3;$$

Пример 2
$$3^{x+4}<3^{3x-10};$$
Основания одинаковые, большие единицы, а значит, у нас опять возрастающие функции — чем больше степень, тем больше значение показательной функции. Логично, что наше неравенство в таком случае сводится к сравнению степеней с сохранением знака неравенства:
$$x+4<3x-10;$$
$$-2x<-14;$$
При делении на отрицательное число не забываем поменять знак неравенства:
$$x>7;$$

Пример 3
$$ left(frac{1}{2}right)^x>left(frac{1}{2}right)^5;$$

Очень похожее неравенство, основания опять одинаковые, но они меньше единицы. Что это меняет? Знак неравенства!
Раз основание показательной функции меньше единицы, значит она убывающая — чем больше степень, тем меньше значение показательной функции. Поэтому для того, чтобы неравенство выполнялось, необходимо опять сравнить степени, но с противоположным знаком:
$$x<5;$$

Пример 4
$$left(frac{2}{3}right)^{2x-5}geleft(frac{2}{3}right)^{x+1};$$
Основания одинаковые и меньше единицы, значит избавляемся от основания (frac{2}{3}) и сравниваем степени, не забывая при этом изменить знак неравенства:
$$2x-5 le x+1;$$
$$x le 6;$$

Пример 5

$$2^{x+2} le 8^{2x-1};$$

Этот пример немного сложнее — здесь разные основания (слева 2, справа 8). Чтобы решить по аналогии с предыдущими примерами, нужно привести к одинаковым основаниям. Заметим, что восемь можно представить в виде степени двойки: (8=2^3). Подставим в исходное неравенство:
$$2^{x+2} le (2^3)^{2x-1};$$
Из свойства степеней: $$(a^n)^m=a^{n*m}.$$
$$2^{x+2} le 2^{3*(2x-1)};$$
Теперь основания одинаковые и больше единицы, избавляемся от них, оставляя знак неравенства неизменным:
$$x+2 le 3*(2x-1);$$
$$x+2 le 6x-3;$$
$$-5x le -5;$$
$$x ge 1.$$

Общий алгоритм

Сформулируем еще раз общие правила решения простых показательных неравенств:

1. Необходимо привести показательные функции слева и справа к одинаковому основанию
2. Избавляемся от оснований
3. Если основание больше единицы, то знак неравенства сохраняется
4. Если основание меньше единицы, то меняем знак неравенства на противоположный
5. Решаем получившееся неравенство

Схема решения

$$a^{f(x)}>a^{g(x)};$$
где (a>0; ; aneq1) — некоторое положительное число, а (f(x)) и (g(x)) какие-то зависящие от (x) выражения.
Если (a>1): то (f(x)>g(x));
Если (0 lt a lt 1:) то (f(x) lt g(x)).

В принципе, схема решения простых показательных неравенств очень похожа на решение показательных уравнений. За исключением необходимости внимательно следить за основаниями и знаком неравенства.

Разберем еще несколько интересных и важных примеров.

Пример 6
$$2^{x+1} ge 4;$$
Справа от знака неравенства стоит не показательная функция, а просто число. Но его легко представить в виде степени двойки:
$$2^{x+1} ge 2^2;$$
Основания одинаковые, большие единицы. Избавляемся от них, знак неравенства сохраняем.
$$ x+1 ge 2;$$
$$x ge 1.$$

Как приводить степени к одному основанию

Пример 7
$$5^x le 3;$$

На первый взгляд, пример аналогичен предыдущему. Чтобы решить неравенство, нужно привести к одинаковому основанию. Так и есть, но вот как представить (3-ку) в виде степени (5-ки)?

Ничего сложного в этом нет. Оказывается, любое число (a) можно представить в виде степени с нужным нам основанием (b). Правда, без логарифмов тут не обойтись. Это можно сделать при помощи формулы:
$$ a=b^{log_{b}(a)}; qquad (*)$$
Например: (3=5^{log_{5}(3)};)

Кто забыл, что такое логарифмы, вам обязательно нужно посмотреть сюда.

Мы уже пользовались этой формулой в главе про показательные уравнения. На самом деле, для решения неравенств ее необязательно понимать, можно в лоб подставлять числа в формулу. Но я бы настоятельно рекомендовал разбираться во всем, чем вы пользуетесь. Поэтому подумайте самостоятельно, почему эта формула верна?

Посмотрим на правую часть формулы (*). В степени у нас стоит логарифм (log_{b}(a)). Логарифм — это число, в которое нужно возвести основание (b), чтобы получить (a). И в итоге, в правой части формулы (*) мы (b) возводим в степень, в которую нужно возвести (b), чтобы получить число (a). Так немного запутанно эта формула и работает. Но, если подумать, все не так сложно.

Возвращаемся к примеру 7. Теперь мы знаем, как (3-ку) представить в виде степени (5-ки):
$$3=5^{log_{5}(3)};$$
Подставляем в исходное неравенство
$$5^x le 5^{log_{5}(3)};$$
Наши основания одинаковые, избавляемся от них
$$x le log_{5}(3);$$
Ответ оставляем с некрасивым логарифмом. Мы его не сможем посчитать без калькулятора. На ЕГЭ именно так и поступаем.

Пример 8
$$left(frac{1}{81}right)^{-4x} < 27^{x+8};$$
Здесь привести к одному основанию несколько сложнее. Обратите внимание, что числа 27 и (frac{1}{81}) являются степенями (3-ки):
$$ 27=3^3; $$
$$ frac{1}{81}=3^{-4}; $$
Кто забыл, как работать со степенями, посмотрите главу про свойства степеней. Приведем к основанию (3) левую и правую части неравенства:
$$(3^{-4})^{-4x} < (3^3)^{x+8};$$
$$3^{16x} < 3^{3x+24};$$
Основания одинаковые, избавляемся от них:
$$16x<3x+24;$$
$$ 13x<24;$$
$$x<frac{24}{13};$$

Пример 9
$$ 5^x <-3;$$
Казалось бы, пример ничем не отличается от примера №7 — приводи себе ((-3)) к основанию (5) по формуле и решай.

Но здесь проблема кроется в определении показательной функции. Показательная функция ВСЕГДА больше нуля!
А значит, (5^x>0) и никак не может быть меньше ((-3)), какие бы (x) вы не подставляли.
Попробуйте подставить вместо (x) минус миллион, что вы получите? По определению отрицательной степени:
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
$$ 5^{-1000000}=frac{1}{5^{1000000}};$$
Это, несомненно, будет очень маленькое, но положительное число.
Итак, в этом примере корней нет. Запомните это!

Пример 10
$$ 7^x >-6;$$
Неравенство аналогичное примеру №9, но с другим знаком неравенства.
Что меняется? Теперь нас просят найти такие (x), при которых показательная функция (7^x) будет больше отрицательного числа ((-7)). Но так как показательная функция больше (0) при любых (x), то она уже точно будет больше ((-7)).
Что бы вы не подставили, всегда будете получать верное неравенство.
Ответом здесь будет любое число.

Теперь разберем пример посложнее.

Пример 11
$$ 25^{x^2-2x+10}-0,2^{2x^2-4x-80} le 0;$$

Постараемся привести данное неравенство к виду, аналогичному предыдущим примерам. Для этого перенесем вправо второе слагаемое (0,2^{2x^2-4x-80}):
$$ 25^{x^2-2x+10} le 0,2^{2x^2-4x-80};$$
Приведем к одному основанию. Советую десятичные дроби записывать в виде обыкновенных дробей, так вы сразу увидите, к какому основанию удобно привести:
$$0,2=frac{2}{10}=frac{1}{5};$$
$$ 25^{x^2-2x+10} le left(frac{1}{5}right)^{2x^2-4x-80};$$
Слева и справа в основаниях стоят числа, которые легко можно представить в виде степени (5-ки):
$$25=5^2;$$
$$ frac{1}{5}=5^{-1};$$
Подставим
$$ (5^2)^{x^2-2x+10} le (5^{-1})^{2x^2-4x-80};$$
$$ 5^{2*(x^2-2x+10)} le 5^{-1*(2x^2-4x-80)};$$
$$ 5^{2*x^2-4x+20} le 5^{-2x^2+4x+80};$$
Основания одинаковые, избавляемся от них:
$$ 2x^2-4x+20 le -2x^2+4x+80; $$
$$4x^2-8x-60 le 0;$$
Через дискриминант раскладываем квадратный многочлен на множители:
$$ 4(x+3)(x-5) le 0;$$
И решаем методом интервалов:

Замена в показательных неравенствах

Мы разобрали все виды простейших степенных неравенств. Опираясь на эти знания, можно перейти к более сложным неравенствам, которые решаются при помощи замены переменной. В ЕГЭ по профильной математике такие примеры попадаются довольно часто.

Если вы раньше решали любые уравнения или неравенства на замену переменной, то разобраться будет совсем не трудно. Давайте посмотрим на примерах:

Пример 12
$$ 4^x-29*2^x+168le 0. $$
Согласно обычной логике в показательных неравенствах, приведем все показательные функции к одинаковому основанию. Здесь это сделать довольно легко:

$$ (2^2)^x-29*2^x+168 le 0$$
$$ 2^{2x}-29*2^x+168 le 0$$
Готово. Теперь обратите внимание, что (2^{2x}=(2^x)^2), согласно свойству степеней. Подставим:
$$ (2^x)^2-29*2^x+168 le 0$$
В любом примере на замену переменной нужно найти одинаковые конструкции (выражения), зависящие от (x). В нашем примере есть такая конструкция — (2^x).

Обозначим за (t=2^x), и подставим в наше неравенство:
$$ t^2-29t+168 le 0 $$
В итоге получили обыкновенное квадратное неравенство, которое я обычно решаю при помощи универсального метода интервалов:
$$ D=29^2-4*168=841-672=169;$$
$$t_{1}=frac{29+13}{2}=21;$$
$$t_{2}=frac{29-13}{2}=8;$$
Зная корни, раскладываем квадратный многочлен на множители:
$$(t-8)(t-21) le 0;$$
Для метода интервалов рисуем числовую прямую, отмечаем нули функции (корни) и исследуем промежутки. Кто не помнит метод интервалов, настоятельно рекомендую его повторить, без него решать показательные неравенства бесполезно.

Получаем промежутки для переменной (t):
$$ t in [8;21];$$
И тут частая ошибка в том, что школьники заканчивают на этом решение. Но нас же не просят в условии задачи найти (t), нас просят найти (x)!

Поэтому обязательно нужно сделать обратную замену, чтобы вернуться к исходной переменной (x).
Для этого будем пользоваться простой логикой: раз (tin[8;21]), значит (t) может принимать такие значения, которые больше либо равны 8, но и не больше 21. Перепишем то же самое в виде системы (система, потому что эти условия должны выполняться одновременно):
$$ begin{cases}
t ge 8, \
t le 21.
end{cases}$$
Теперь нужно вспомнить, а что такое собственно (t). Это же переменная, за которую мы обозначили (2^x=t). Подставим вместо (t) (2^x).

Обратная замена:
$$ begin{cases}
2^x ge 8, \
2^x le 21.
end{cases}$$
Получили систему из двух простейших показательных неравенств, которые выше мы уже научились с вами решать.
$$ begin{cases}
2^x ge 2^3, \
2^x le 2^{log_{2}(21)}.
end{cases}$$
Основания везде одинаковые, можно от них избавиться:
$$ begin{cases}
x ge 3, \
x le log_{2}(21).
end{cases}$$
Запишем эту систему в виде промежутка
Ответ: (x in [3;log_{2}(21)].)

Как видите, все не так уж сложно. Разберем еще примеры на замену переменной в показательных неравенствах.

Пример 13
$$ 2^x+6*2^{-x} le 7$$
Этот пример тоже на замену. Хотя основания у показательных функций у нас одинаковые — двойка, но вот степень у них отличаются, а значит, делать замену пока нельзя. Нужно сделать так, чтобы одинаковым было абсолютно все — и степени, и основания.

Вспомним свойство степени с отрицательным показателем:
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
И применим его в нашем неравенстве:
$$ 2^x+6*frac{1}{2^x} le 7$$
Обозначим за (t=2^x) и подставим:
$$ t+6*frac{1}{t} le 7 $$
Для того, чтобы тут воспользоваться методом интервалов, нужно перекинуть все в левую часть и привести к общему знаменателю.
$$ frac{t^2-7t+6}{t} le 0 $$
Я не рекомендую избавляться в неравенствах от знаменателя, как вы привыкли это делать в уравнениях. В неравенствах в подавляющем большинстве случаев ни в коем случае этого делать нельзя, он тоже влияет на знак всей функции. Это одна из самых частых ошибок на ЕГЭ.
Поэтому я рекомендую всегда в неравенствах тащить знаменатель за собой, не убирать его. Подробнее про это можно почитать в теории обыкновенных неравенств.

Но я вынужден отметить, что именно в этом примере убрать знаменатель (t) можно, так как (t=2^x>0). Показательная функция у нас ВСЕГДА больше нуля, поэтому и (t>0), а значит он не влияет на знак неравенства. Однако делать мы это не будем, чтобы не запутаться. Знаменатель всегда будем оставляем на месте.

Раскладываем на множители числитель:
$$ frac{(t-1)(t-6)}{t} le 0 $$
Метод интервалов, с учетом того, что (t=2^x>0):

$$ t in[1;6];$$

Запишем промежуток в виде системы:
$$ begin{cases}
t ge 1, \
t le 6.
end{cases}$$
Вспоминаем, что (t=2^x) и делаем обратную замену:
$$ begin{cases}
2^x ge 1, \
2^x le 6.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
2^x ge 2^0, \
2^x le 2^{log_{2}(6)}.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
x ge 0, \
x le log_{2}(6).
end{cases}$$
Ответ: (x in [0;log_{2}(6)].)

Пример 14
$$16^{x+frac{1}{4}}-9*4^{x-frac{1}{2}}+1ge0$$
Пример очень похож на предыдущие, но перед тем, как делать замену, нам придется преобразовать левую часть неравенства. Выпишем отдельно показательные функции и постараемся привести их к одному виду. Иначе мы не сможем сделать замену. Для этого нам понадобятся свойства степеней:
$$a^{n+m}=a^n*a^m;$$
$$(a^n)^m=a^{n*m};$$
$$a^{n-m}=frac{a^n}{a^m};$$
$$16^{x+frac{1}{4}}=16^x*16^{frac{1}{4}}=16^x*2=2*16^x=2*(4^2)^x=2*(4^x)^2;$$
$$4^{x-frac{1}{2}}=frac{4^x}{4^{frac{1}{2}}}=frac{4^x}{2}=frac{1}{2}*4^x;$$
Подставим наши преобразования в исходное неравенство:
$$2*(4^x)^2-9*frac{1}{2}*4^x+1 ge 0;$$
Все готово к замене. Пусть (t=4^x):
$$2*t^2-frac{9}{2}*t+1 ge 0;$$
Домножим на (2), чтобы избавиться от знаменателя
$$4t^2-9t+2 ge 0;$$
Обыкновенное квадратное неравенство. Решаем, как обычно, методом интервалов. Для этого разложим на множители:

$$4(t-frac{1}{4})(t-2) ge 0;$$

$$left[
begin{gathered}
tle frac{1}{4}; \
tge 2, \
end{gathered}
right.$$

Обратите внимание на знак совокупности! Он означает, что нас устраивают оба промежутка, как показано на числовой прямой.

Очень важно уметь различать системы и совокупности.
Знак системы используется, когда нужно, чтобы значения (x) удовлетворяли всем неравенствам, входящим в систему. Другими словами, система — это знак пересечения решений всех неравенств.
Знак совокупности показывает, что значения (x) удовлетворяют хотя бы одному из неравенств в системе. Совокупность — это знак объединения решений.

Делаем обратную замену (t=4^x):
$$left[
begin{gathered}
4^xle frac{1}{4}; \
4^xge 2, \
end{gathered}
right.$$
$$left[
begin{gathered}
4^xle 4^{-1}; \
4^xge 4^{frac{1}{2}}, \
end{gathered}
right.$$
$$left[
begin{gathered}
xle -1; \
xge frac{1}{2}, \
end{gathered}
right.$$
Запишем получившуюся совокупность в виде промежутков.
Ответ:(xin(-infty;-1] cup [frac{1}{2};+infty).)

Теперь наших знаний достаточно, чтобы решать некоторые реальные примеры из ЕГЭ по профильной математике. Поехали:

Пример 15
$$ frac{5^x}{5^x-4}+frac{5^x+5}{5^x-5}+frac{22}{25^x-9*5^x+20} le 0$$
Перед вами настоящий пример из ЕГЭ 2016 года. Возможно, выглядит неприятно, но на самом деле, он решается очень легко. А самое главное, у нас уже есть все необходимые знания, чтобы его решить.
Обращаем внимание, что почти везде есть конструкция (5^x). Это и будет наша замена, осталось только представить (25^x=(5^x)^2):
$$ frac{5^x}{5^x-4}+frac{5^x+5}{5^x-5}+frac{22}{(5^x)^2-9*5^x+20} le 0$$
Пусть (t=5^x):
$$ frac{t}{t-4}+frac{t+5}{t-5}+frac{22}{t^2-9*t+20} le 0$$
В третьей дроби разложим знаменатель на множители при помощи дискриминанта
$$ frac{t}{t-4}+frac{t+5}{t-5}+frac{22}{(t-4)(t-5)} le 0$$
Приводим к общему знаменателю
$$ frac{t(t-5)+(t+5)(t-4)+22}{(t-4)(t-5)} le 0$$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые в числителе
$$ frac{2t^2-4t+2}{(t-4)(t-5)} le 0$$
$$ frac{2(t^2-2t+1)}{(t-4)(t-5)} le 0$$
В скобках стоит полный квадрат
$$ frac{2(t-1)^2}{(t-4)(t-5)} le 0$$
Теперь применяем метод интервалов

$$left[
begin{gathered}
t=1, \
4 lt t lt 5. \
end{gathered}
right.$$

Перепишем двойное неравенство в виде системы
$$left[
begin{gathered}
t=1, \
begin{cases}
t > 4, \
t < 5.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$
Делаем обратную замену (t=5^x):
$$left[
begin{gathered}
5^x=1, \
begin{cases}
5^x > 4, \
5^x < 5.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
5^x=5^0, \
begin{cases}
5^x > 5^{log_{5}(4)}, \
5^x < 5^1.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
x=0, \
begin{cases}
x > log_{5}(4), \
x < 1.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$
В ответе не забываем отдельную точку (x=0), она нас тоже устраивает! Если на ЕГЭ забудете точки, в зависимости от критериев, потеряете какое-то количество баллов. Отдельная точка всегда записывается при помощи фигурных скобок.

Ответ: (x in [0] cup (log_{5}(4);1).)

Пример 16
$$ frac{3}{(2^{2-x^2}-1)^2}-frac{4}{2^{2-x^2}-1}+1 ge 0$$
Тут сразу бросается в глаза одинаковая конструкция (2^{2-x^2}-1). Замену мы можем делать абсолютно любую. Поэтому ничто не мешает нам тут обозначить за (t=2^{2-x^2}-1).

Подставим в исходное неравенство

$$ frac{3}{t^2}-frac{4}{t}+1 ge 0$$

Приводим к общему знаменателю
$$frac{t^2-4t+3}{t^2} ge 0$$
$$frac{(t-3)(t-1)}{t^2} ge 0$$
Самое время для метода интервалов:

$$t in (-infty;0) cup (0;1] cup [3;+infty);$$

Нас устраивает сразу три промежутка для (t). Запишем эти промежутки в виде большой совокупности, ведь нас устраивают все три промежутка:

$$left[
begin{gathered}
t < 0; \
begin{cases}
t > 0, \
t le 1.
end{cases} ; \
tge 3, \
end{gathered}
right.$$
Обратите внимание на то, что в совокупности у нас есть еще знак системы. Действительно, во втором промежутке (t) должно быть с одной стороны больше 0, а с другой меньше 1, и это должно выполняться одновременно. Поэтому второй промежуток описывается при помощи знака системы.

Сделаем обратную замену:

$$left[
begin{gathered}
2^{2-x^2}-1< 0; \
begin{cases}
2^{2-x^2}-1 > 0, \
2^{2-x^2}-1 le 1.
end{cases} ; \
2^{2-x^2}-1ge 3, \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
2^{2-x^2}< 1; \
begin{cases}
2^{2-x^2}> 1, \
2^{2-x^2} le 2.
end{cases} ; \
2^{2-x^2}ge 4, \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
2^{2-x^2}< 2^0; \
begin{cases}
2^{2-x^2}> 2^0, \
2^{2-x^2} le 2^1.
end{cases} ; \
2^{2-x^2}ge 2^2, \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
2-x^2< 0; \
begin{cases}
2-x^2> 0, \
2-x^2 le 1.
end{cases} ; \
2-x^2ge 2, \
end{gathered}
right.$$

Разложим все квадратные неравенства по формуле разности квадратов:

$$left[
begin{gathered}
(sqrt{2}-x)(sqrt{2}+x)< 0; \
begin{cases}
(sqrt{2}-x)(sqrt{2}+x)> 0, \
(1-x)(1+x) le 0 .
end{cases} ; \
-x^2ge 0, \
end{gathered}
right.$$

Обратите внимание на последнее неравенство: так как квадрат всегда положителен, то это неравенство выполняется только, если (x=0).

И остальное решим методом интервалов. Я сразу напишу, что получается:

$$left[
begin{gathered}
xin (-infty;-sqrt{2}) cup (sqrt{2};+infty); \
begin{cases}
xin(-sqrt{2};sqrt{2}), \
xin(-infty;-1] cup [1;+infty).
end{cases} ; \
x=0, \
end{gathered}
right.$$

Для наглядности нарисуем числовую ось и отметим на ней все промежутки. Различными цветами показаны соответствующие промежутки из совокупности, а фиолетовой штриховкой показано итоговое решение. Там, где знак системы находим пересечение, там где совокупность – объединение.

Однородные показательные неравенства

Разберемся еще с одним типом показательных неравенств — однородными неравенствами. Такие неравенства часто встречаются, если в примере есть несколько показательных функций с разными основаниями, и свести их к одному основанию не представляется возможным.
Как обычно, давайте сразу будем разбираться на конкретном примере.

Пример 17
$$25^x-20^x-2*16^x le 0$$
Чем же это уравнение примечательно? Давайте попробуем по нашему старому алгоритму привести все к одинаковому основанию.
$$25^x=5^{2x};$$
$$20^x=(5*4)^x=5^x*4^x;$$
$$16^x=4^{2x};$$
Как видите, привести к одному основанию не получается. Мы никак не можем сделать одинаковые показательные функции, если основания 5 и 4. Будем работать с тем, что есть. Подставим получившееся разложение в исходное неравенство.
$$5^{2x}-5^x*4^x-2*4^{2x} le 0;$$

Так как делить неравенства на положительные числа можно, поделим получившееся неравенство на (5^{2x}). На всякий случай напомню: при делении неравенств на положительные числа полностью делится и левая, и правая части неравенства, только в этом случае преобразование будет равносильным, то есть его корни не изменятся. Делить неравенство на (5^{2x}) можно, потому что это показательная функция, а она по определению всегда строго больше нуля.

$$frac{5^{2x}-5^x*4^x-2*4^{2x}}{5^{2x}} le frac{0}{5^{2x}};$$

Разобьем левую часть на несколько дробей. То есть, поделим каждый одночлен числителя на знаменатель дроби. В правой части, очевидно, получается 0.
$$frac{5^{2x}}{5^{2x}}-frac{5^x*4^x}{5^{2x}}-2*frac{4^{2x}}{5^{2x}} le 0;$$
$$1-frac{4^x}{5^x}-2*frac{4^{2x}}{5^{2x}} le 0;$$
$$1-left(frac{4}{5}right)^x-2*left(frac{4}{5}right)^{2x} le 0;$$
$$1-left(frac{4}{5}right)^x-2*left(frac{4}{5}right)^{2x} le 0;$$
После некоторых преобразований в результате деления мы получили везде показательную функцию (left(frac{4}{5}right)^x), которую смело можно заменить на (t=left(frac{4}{5}right)^x).
$$1-t-2*t^2 le 0;$$
$$-2*t^2-t+1 le 0;$$
Разложим квадратный многочлен на множители при помощи дискриминанта, при этом не забываем про коэффициент (-2).
$$-2(t+1)(t-frac{1}{2}) le 0;$$
Решением этого квадратного неравенства будет:
$$ t in (-infty;-1]in[frac{1}{2};+infty);$$
Перепишем промежуток в виде совокупности:
$$left[
begin{gathered}
t le -1, \
t ge frac{1}{2}. \
end{gathered}
right.$$

И сделаем обратную замену. Напомню (t=left(frac{4}{5}right)^x):
$$left[
begin{gathered}
left(frac{4}{5}right)^x le -1, \
left(frac{4}{5}right)^x ge frac{1}{2}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
left(frac{4}{5}right)^x le -1, \
left(frac{4}{5}right)^x ge left(frac{4}{5}right)^{log_{left(frac{4}{5}right)}(frac{1}{2})}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
left(frac{4}{5}right)^x le -1, \
x ge log_{left(frac{4}{5}right)}(frac{1}{2}). \
end{gathered}
right.$$

Первое неравенство в совокупности не имеет решений, так как показательная функция всегда больше нуля, значит, тем более больше (-1).

Ответ: (xin(log_{left(frac{4}{5}right)}(frac{1}{2}); +infty)).

Когда нет возможности привести к одинаковому основанию все содержащиеся в неравенстве функции, попробуйте решить как однородное уравнение при помощи деления. Разные основания — это звоночек о том, что пример может решаться при помощи деления.

Рассмотрим еще один интересный пример с разными основаниями. Только это уже не однородное уравнение.

Пример 18
$$6^x-4*3^x-2^x+4 le 0$$
Обратите внимание, что у нас в неравенстве сразу 4 слагаемых. Четное количество слагаемых иногда намекает на метод группировки. Его проходят в 8м классе, но если вы не помните, то сейчас научитесь прямо на этом примере.

Первым делом сгруппируем слагаемые попарно — первое со вторым, а третье с четвертым. И вынесем общий множитель. У первого и второго слагаемых общий множитель (3^x), а у третьего и четвертого общий множитель пусть будет (-1).

$$3^x*(2^x-4)-1*(2^x-4) le 0;$$

Обратите внимание на скобки, они получились одинаковые! Теперь у нас вместо четырех слагаемых стало два, но больших. У них тоже есть общий множитель — это как раз скобка ((2^x-4)). Вынесем скобку за скобку!

$$(2^x-4)(3^x-1) le 0;$$

У нас получилось произведение двух множителей. Произведение меньше нуля может быть только в том случае, если множители имеют разные знаки. То есть, нас устраивает либо:

$$ begin{cases}
2^x-4 ge 0, \
3^x-1 le 0.
end{cases}$$

Либо:
$$ begin{cases}
2^x-4 le 0, \
3^x-1 ge 0.
end{cases}$$

Решим обе системы и объединим решения, так как нам подходят оба случая.
$$ begin{cases}
2^xge 4, \
3^x le 1.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
2^xge 2^2, \
3^x le 3^0.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
xge 2, \
x le 0.
end{cases}$$

Эти два неравенства в системе не имеют решений, подходящих одновременно обоим. Поэтому в первой системе нет решений. Решим вторую:
$$ begin{cases}
2^x le 4, \
3^x ge 1.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
2^x le 2^2, \
3^x ge 3^0.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
x le 2, \
x ge 0.
end{cases}$$

Ответ: (xin[0;2].)

Рассмотрим еще один не очень приятный пример, который, тем не менее, может встретиться на ЕГЭ.

Пример 19
$$frac{5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10}{x+2} le 0.$$
Неравенство неприятное, потому что в числителе дроби у нас (x) везде в степени показательной функции, а в знаменателе (x) стоит отдельно. Никак не получится сделать замену. Но обратите внимание, нас спрашивают, при каких (x) дробь будет отрицательная. А дробь отрицательна только тогда, когда у нее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Опять, как в предыдущем примере, можем по отдельности рассмотреть числитель и знаменатель. Нас устраивает:
Либо:
$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$

Либо система с противоположными знаками:
$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 le 0, \
x+2 > 0.
end{cases}$$

Вторые неравенства в системах имеют строгий знак, так как это — условия, накладываемые на знаменатель.

Разберемся сначала с первой системой. Постараемся привести показательные функции к одинаковым основаниям в первом неравенстве системы:
$$ begin{cases}
5^{2x}*5^1-75*left(frac{1}{5}right)^{2x}-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
5*25^x-75*left(frac{1}{25^{x}}right)-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$
Выпишем отдельно первое неравенство и решим его, сделав замену (t=25^x>0).
$$ 5*25^x-75*left(frac{1}{25^{x}}right)-10 ge 0;$$
$$5*t-frac{75}{t}-10 ge 0;$$
$$frac{5*t^2-10*t-75}{t} ge 0;$$
Так как (t=25^x>0), то мы можем спокойно избавиться от знаменателя в дроби, ведь он всегда положительный и не влияет на знак всего выражения.
$$5*t^2-10*t-75 ge 0;$$
$$5*(t-5)(t+3) ge 0;$$
$$ tin(-infty;-3] cup [5;+infty);$$
Но так как (t>0):
$$tin[5;+infty);$$
Запишем в виде неравенства:
$$t ge 5;$$
Сделаем обратную замену
$$ 25^x ge 5;$$
$$5^{2x} ge 5^1;$$
$$2x ge 1;$$
$$xgefrac{1}{2};$$

Напоминаю, что мы решили только первое неравенство в первой системе
$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$
C учетом нашего решения, ее теперь можно переписать в виде

$$ begin{cases}
xgefrac{1}{2}, \
x < -2.
end{cases}$$

Такая система решений не имеет. Но не грустим и вспоминаем, что у нас еще одна система неравенств с противоположным случаем — когда числитель отрицательный, а знаменатель положительный:

$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 le 0, \
x+2 > 0.
end{cases}$$

Так как отличие только в знаках неравенства, то все преобразования, которые мы делали выше, справедливы и тут. Не будем заново решать то же самое, просто возьмем решение из предыдущей системы и изменим знаки неравенства:

$$ begin{cases}
xlefrac{1}{2}, \
x > -2.
end{cases}$$

Эта система уже имеет решения. Можно, наконец, записать ответ.

Ответ: (xin(-2;frac{1}{2}].)

Мне лично не нравится рассматривать кучу случаев в подобных примерах. А что, если знаменатель будет сложнее чем в примере выше? А еще может быть не два множителя, а сразу пять или больше, тут всех случаев не рассмотришь.

Поэтому существует отличный и очень удобный метод рационализации. Я написал статью с полным его разбором. Кстати, в ЕГЭ часто встречаются примеры именно на метод рационализации, поэтому, если вы хотите сдать профиль на высокие баллы, то это прямо обязательно знать.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

^New 

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Квадратичные неравенства

Метод интервалов 

Уравнения и неравенства с модулем 

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства 

1. Решите неравенство:

Сделаем замену

Тогда , а

Получим:

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Получим:

Вернемся к переменной x:

Ответ:

Показательные неравенства

2. Решите неравенство

Сделаем замену Получим:

Умножим неравенство на

Дискриминант квадратного уравнения

Значит, корни этого уравнения:

Разложим квадратный трехчлен на множители.

. Вернемся к переменной x.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

Ответ:

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ.

3. Решите неравенство

Сделаем замену Получим:

Вернемся к переменной

Первое неравенство решим легко: С неравенством тоже все просто. Но что делать с неравенством ? Ведь Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим Для этого рассмотрим функцию

Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом

Мы получили, что

Тогда , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.

Но если и , то

Мы получили:

Ответ:

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

Ответ:

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство

ОДЗ:

Замена

Ответ:

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство:

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что . Используем также условия

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,

Поскольку

Согласно методу замены множителя, выражение заменим на

Получим систему:

Решить ее легко.

Ответ: .

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

ОДЗ:

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.

Ответ:

Сегодня решаем показательные неравенства.

Рассмотрим основные типы  показательных неравенств.

При решении показательных неравенств мы будем использовать следующие переходы:

и

Поясним, первый переход возникает в силу возрастания  показательной функции , второй – в силу убывания функции  .

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Задание 1.

Решить неравенство .

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

А далее вот так:

Так как – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

Ответ: .

Задание 2.

Решить неравенство:

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

Заметим, что  .

В силу того, что основание степени () меньше 1, то есть мы имеем дело с убывающей функцией, переходим к следующему неравенству (не забывая поменять знак на ):

Ответ:

 Однородные показательные неравенства 

Задание 3.

Решить неравенство:

Решение:

Вынесем за скобку

Тогда  переходим к следующему неравенству (в силу того, что основание степени больше 1, знак неравенства не меняется):

Ответ:

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Задание 4.

Решить неравенство

Решение:

Разделим обе части неравенства на 3:

Мы видим квадратное неравенство относительно которое будем решать методом интервалов.

Имеем:

или

или 

Ответ:

Задание 5.

Решить неравенство

Решение:

Мы видим квадратное неравенство относительно , которое будем решать методом интервалов.

Находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена . Переходим к следующему неравенству:

Получаем: или . Заметьте, нет смысла указывать, что  , так как по определению положительно.

Итак,

Ответ:

Задание 6.

Решить неравенство

Решение:

Разделим обе части неравенства на (можно и на , – как хотите…). Заметим, .

Заметим, что . Аналогично с .

Мы имеем квадратное неравенство относительно

которое будем решать методом интервалов.

Воспользуемся следующим способом превращения суммы в произведение:

где – корни уравнения (в случае неотрицательного дискриминанта квадратного трехчлена).

Заготавливаем шаблончик  и находим корни при помощи дискриминанта, тогда

То есть

Ответ:

Задание 7.

Решить неравенство

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

Домножим обе части неравенства на   (заметим, ):

Ответ:

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Задание 8.

Решить неравенство:  

Решение:

Переносим все в левую сторону неравенства и приводим к общему знаменателю:

Мы можем “отбросить” сумму в силу ее положительности:

Неравенство равносильно следующему:

Ответ:

Неравенства, решаемые графическим методом

Задание 9.

Решить неравенство:

 Решение:

Рассмотрим функции и Обе они определены на . Первая – возрастает, вторая – убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Несложно заметить, что является корнем указанного уравнения.

А значит, если вернуться к неравенству и посмотреть на него с графической точки зрения,  мы должны взять те значения , которые отвечают за ту часть графика , что лежит выше графика , то есть .

Ответ:

Для самостоятельной работы:

Решить неравенства:

1.

Ответ: + показать

2.

Ответ: + показать

3.

Ответ: + показать

4.

Ответ: + показать

5.

Ответ: + показать

6.

Ответ: + показать

7.

Ответ: + показать

8.

Ответ: + показать