Единый государственный экзамен по математике тренировочный вариант 185

Задание 1

Найдите значение выражения $$frac{1,8}{1+frac{1}{11}}$$

Ответ: 1,65

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$frac{1,8}{1+frac{1}{11}}=$$$$frac{18}{10}*frac{11}{12}=$$$$frac{33}{20}=1,65$$

Задание 2

Ответ: 4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

В итоге команда Буревестник займет 4 место, что соответствует 4 варианту ответа

Задание 3

Между какими числами заключено число $$2sqrt{3}$$ Варианты ответа 1)12 и 13 2)3 и 4 3)5 и 6 4)6 и 7

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$2sqrt{3}=sqrt{2^{2}*3}=sqrt{12}Leftrightarrow$$$$sqrt{9}<sqrt{12}<sqrt{16}$$, что соответствует $$3<2sqrt{3}<4$$ и является 2 вариантом ответа

Задание 4

Представьте выражение $$frac{(c^{-9})^{2}}{c^{-4}}$$ в виде степени с основанием с Варианты ответа: 1) $$c^{-22}$$ 2) $$c^{-72}$$ 3) $$c^{68}$$ 4) $$c^{-14}$$

Ответ: 4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Воспользуемся свойствами степени: $$frac{(c^{-9})^{2}}{c^{-4}}=$$$$frac{c^{-18}}{c^{-4}}=c^{-18-(-4)}=$$$$c^{-14}$$, что соответствует 4 варианту ответа

Задание 5

Ответ: 12

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

min=12 (6:00) , max=24 (12:00-15:00), тогда max-min=24-12=12

Задание 6

Решите уравнение $$3(2-3x)-(2x+1)=27$$

Ответ: -2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$3(2-3x)-(2x+1)=27Leftrightarrow$$$$6-9x-2x-12-27=0Leftrightarrow$$$$-11x=22|:-11Leftrightarrow$$$$x=-2$$

Задание 7

Рабочий выточил за смену 920 деталей, превысив план на 15%. Сколько деталей предполагало выточить?

Ответ: 800

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть первоначально планировалось выточить х деталей, тогда мы можем принять эту величину за 100%: x-100% 920-115% Тогда: $$x=frac{920*100}{115}=800$$ деталей

Задание 8

Ответ: 23

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1. пользователей из России больше, чем пользователей из Украины — верно 2. больше трети пользователей сети — из Украины — неверно (так как сегмент Украины менее трети всей окружности) 3. пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из Украины — неверно (так как сегмент Беларуси меньше сегмента Украины) 4. пользователей из России больше 4 миллионов человек — верно. Ответом будут 2 и 3 варианты

Задание 9

В корзинке у Красной Шапочки 20 пирожков, 4 из которых с мясом, 7 с картошкой, а остальные с капустой. Бабушка наугад взяла один пирожок. Какова вероятность того, что бабушка взяла пирожок с капустой?

Ответ: 0,45

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Количество пирожков с капустой: 20-4-7=9. Тогда вероятность взять пирожок с капустой составляет: $$P=frac{9}{20}=0,45$$

Задание 10

Ответ: 213

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$y=2x$$ — линейная функция, графиком является прямая, что соответствует пункту Б 2) $$y=x^{2}-2$$ — квадратичная функция, графиком является парабола, что соответствует пункту А 3) $$y=-frac{2}{x}$$ — обратная пропорциональность, графиком является гипербола, что соответствует пункту В В итоге ответ будет 213

Задание 11

Укажите номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии: 9,5; 9; 8,5; …

Ответ: 21

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}=9-9,5=-0,5$$, $$a_{1}=9,5$$. По формуле N-ый член арифметической прогрессии вычисляется как: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$. Тогда $$9,5-0,5(n-1)<0 Leftrightarrow$$$$9,5-0,5n+0,5<0Leftrightarrow$$$$10<0,5n|:0,5Leftrightarrow$$$$n>20$$. Так как неравенство строгое, и n — порядковый номер, то первый отрицательный член будет под номером 21

Задание 12

Найдите значение выражения $$(frac{2}{a}+frac{1}{b})cdot frac{1}{a^{2}+4b^{2}+4ab} cdot (a^{2}-4b^{2})$$

Ответ: 0,5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(frac{2}{a}+frac{1}{b})cdot frac{1}{a^{2}+4b^{2}+4ab} cdot (a^{2}-4b^{2})=$$$$frac{2b+a}{ab}cdot frac{1}{(a+2b)^{2}} cdot ((a-2b)(a+2b)=$$$$frac{a-2b}{ab}=$$$$frac{2sqrt{5}+2-2(sqrt{2}-1)}{(2sqrt{5}+2)(sqrt{5}-1)}=$$$$frac{2sqrt{5}+2-2sqrt{5}+2}{2(sqrt{5}+1)(sqrt{5}-1)}=$$$$frac{4}{2(5-1)}=frac{1}{2}=0,5$$

Задание 13

Перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула $$F=1,8C+32$$ , где С — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует $$186^{circ}$$ по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

Ответ: 85,6

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Подставим в формулу известные значения: $$186=1,8C+32Leftrightarrow$$$$1,8C=154|:1,8Leftrightarrow$$$$C=85,(5)$$. Так как дробь бесконечная десятичная, то если округлить до десятых получим: $$85,555…=85,6$$

Задание 14

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$2x-x^{2}+3 leq 0|*(-1) Leftrightarrow$$$$x^{2}-2x-3 geq 0$$

Найдем корни уравнения $$x^{2}-2x-3 =0$$. По теореме Виета: $$left[begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2\ x_{1}*x_{2}=-3end{matrix}right.Leftrightarrow $$$$left[begin{matrix}x_{1}=-1\ x_{2}=3end{matrix}right.$$

Отметим полученные корни и расставим знаки, которые принимает выражение $$x^{2}-2x-3$$ на полученных промежутках:

Нам необходимы значения, которые больше нуля (те, где отмечен +), следовательно, ответом будет пункт под номером 2

Задание 15

Ответ: 9

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Опустим перпендикуляр из точки C как показано на рисунке. BC=DE=8, BD-CE=3, тогда из треугольника ABC: $$AB=sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$$. Тогда AD=6+3=9 метров

Задание 16

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 48° и 74°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах

Ответ: 58

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Весь угол в таком случае составляет: 48+74=122. Тогда меньший острый по свойству углов параллелограмма составляет: 180-122=58.

Задание 17

В треугольнике ABC известно, что AC=24, BC= $$sqrt{265}$$ , угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Ответ: 14,5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

По теореме Пифагора: $$AB=sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=sqrt{576+265}=29$$. По свойству радиуса описанной окружности около прямоугольного треугольника : $$R=frac{AB}{2}=14,5$$

Задание 18

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть a,b — стороны прямоугольника и параллелограмма. Площадь прямоугольника: $$S_{1}=ab$$, площадь параллелограмма: $$S_{2}=absinalpha$$, где $$alpha$$ — острый угол между сторонами параллелограмма, тогда: $$frac{1}{2}ab=absinalphaLeftrightarrow$$$$sinalpha=frac{1}{2}Leftrightarrow$$$$alpha=30^{circ}$$

Задание 19

В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН – высота, AВ = 16, sin A = 3/4 . Найдите BН.

Ответ: 9

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Из треугольника ABC: $$CB=ABsin A=16*frac{3}{4}=12$$.

Из треугольника CHB: $$HB=CBsin BCH$$. Но из подобия прямоугольных треугольников при проведении высоты из прямого угла получаем, что $$sin BCH=sin A$$, тогда $$HB=CBsin A=12*frac{3}{4}=9$$

Задание 20

Ответ: 13

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1. Диагонали любого прямоугольника равны — верно 2. Существует прямоугольник, который не является параллелограммом — неверно, так как прямоугольник сам по себе и есть параллелограмм, у которого все углы прямые 3. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон — верно, так как равна половине произведения его сторон на синус угла между ними Правильными являются ответы под номерами 1 и 3

Задание 21

Найдите сумму целых отрицательных решений неравенства $$frac{x^{2}+2x+10}{x-2} geq -3$$

Ответ: -10

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$frac{x^{2}+2x+10}{x-2} geq -3Leftrightarrow$$$$frac{x^{2}+2x+10}{x-2}+3 geq 0Leftrightarrow$$$$frac{x^{2}+2x+10}{x-2}+frac{3(x-2)}{x-2} geq 0Leftrightarrow$$$$frac{x^{2}+2x+10+3x-6}{x-2} geq 0Leftrightarrow$$$$frac{x^{2}+5x+4}{x-2} geq 0$$

Найдем при каких значениях x числитель дроби равен нулю и отметим эти значения (закрашенные, так как неравенство нестрогое), а так же значение, когда знаменатель равен нулю (пустое, так как мы должны исключить данное значение из ОДЗ) на координатной прямой и расставим знаки значений, которые принимает дробь на полученных промежутках:

Нам необходимо выбрать те промежутки, где дробь принимает положительные значения, а так же из данных промежутков найти сумму всех целых отрицательных значений: $$-4+(-3)+(-2)+(-1)=-10$$

Задание 22

В сплаве олова с медью содержалось 11 кг меди. После того, как в сплав добавили 7,5 кг олова, содержание олова повысилось на 33%. Какова была первоначальная масса сплава?

Ответ: 12,5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть x кг — масса сплава, тогда x — 11 кг — масса олова в нем, а доля олова : $$frac{x-11}{x}*100$$%. Добавили 7,5 кг олова, тогда масса олова стала : x — 11 + 7,5 = x — 3,5 кг , масса сплава при этом стала: x + 7,5 кг, следовательно, доля олова : $$frac{x-3,5}{x+7,5}*100$$%. Тогда:

$$frac{x-3,5}{x+7,5}*100-frac{x-11}{x}*100=33|*x(x+7,5)Leftrightarrow$$$$100x(x-3,5)-100(x-11)(x+7,5)=33x(x+7,5)Leftrightarrow$$$$100x^{2}-350x-100x^{2}+350x+8250=33x^{2}+247,5xLeftrightarrow$$$$33x^{2}+247,5x-82550=0|:16,5Leftrightarrow$$$$2x^{2}+15x-500=0$$

$$D=225+4000=65^{2}Leftrightarrow$$$$x_{1}=frac{-15+65}{4}=12,5 ; x_{2}<0$$. Следовательно, первоначальная масса сплава составляла 12,5 кг.

Задание 23

Постройте график функции $$y=|x^{2}+6x+5|$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=a$$ имеет с графиком три общие точки.

Ответ: 4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим график функции $$y_{1}=x^{2}+6x+5$$. Искомый будет отличаться от данного тем, что та часть параболы, которая находится под осью Ох симметрично отобразиться относительно оси Ох (в силу того, что модуль все отрицательные значения сделает положительными). Найдем вершину параболы: $$x_{0}=-frac{b}{2a}=-frac{6}{2}=-3$$ , $$y_{1}(3)=(-3)^{2}+6*(-3)+5=-4$$. Найдем еще несколько значений для функции $$y_{1}$$: $$y_{1}(-2)=-3 ; y_{1}(-1)=0 ; y_{1}(0)=5$$.

График квадратичной функции симметричен относительно оси $$x=x_{0}$$, в нашем случае относительно $$x=-3$$. Начертим график функции $$y_{1}$$: ​

Отобразим симметрично относительно оси Ох ту часть параболы, которая располагается под осью Ох и получим график функции $$y=|x^{2}+6x+5|$$:

Очевидно, что прямая параллельная оси Оу будет иметь три точки пересечения с графиком данной функции при $$a=4$$:

Задание 24

В окружности радиуса 16 см проведена хорда длиной, равной 8 см. через один конец хорды проведена касательная, а через другой – секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей.

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)Из треугольника AOB: по теореме косинусов $$cos OAB = frac{OA^{2}+AB^{2}-OB^{2}}{2OA*OB}=frac{16^{2}+8^{2}-16^{2}}{2*16*8}=frac{1}{4}$$

2)По свойству касательной и радиуса, проведенного в точку касания получаем, что $$AOperp AK$$, но из параллельности AK и BH получаем, что $$AOperp BH$$

3)Из треугольника ABH: $$AH=ABcos OAB=8*frac{1}{4}=2$$

Задание 25

Докажите, что если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.

Ответ:

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Треугольники ABE и CDE прямоугольные (по условию), $$AB parallel DC$$ (свойство трапеции), тогда треугольник $$ABEsim CDE$$. Следовательно, $$frac{EC}{AE}=frac{ED}{BE}=k$$. Пусть AE=x, тогда EC=kx, пусть BE=y, тогда ED=ky

2) Треугольники ABD и ABC равны (AD=BC и $$angle DAB=angle ABC$$ т.к. трапеция равнобедренная, AB — общая), тогда AC=BD и x+kx=y=ky, следовательно x=y, тогда треугольники ABE и CDE — равнобедерненные

3)HE — высота и медиана, тогда, по свойству медианы в прямоугольном треугольнике: $$HE=frac{1}{2}AB$$, аналогично $$EM=frac{1}{2}CD$$, тогда $$HE+EM=frac{1}{2}(AB+CD)=KL$$

ч.т.д.

Задание 26

На боковой стороне АВ трапеции АВСD взята точка М таким образом, что АМ : МВ = 2 : 3. На противоположной стороне СD взята такая точка N, что отрезок MN делит трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найдите отношение CN : ND, если известно, что BC : AD = 1 : 2

Ответ: $$frac{3}{29}$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)Продолжим боковые стороны до пересечения в точке P: $$frac{BC}{AD}=frac{1}{2}$$, тогда BC — средняя линия в треугольнике APD

2)Пусть $$S_{MBCN}=S$$, тогда $$S_{AMND}=3S$$, тогда $$S_{ABCD}=4S$$

3)Из подобия треугольников PBC и APD и свойства средней линии треугольника : $$frac{S_{BPC}}{S_{ABCD}}=frac{1}{3}$$, следовательно, $$S_{BPC}=frac{4S}{3}$$

4)Пусть AM=2x, тогда MB=3x ; AB=5x=BP. Пусть CN=q, CD=PC=z. Тогда $$frac{S_{BMN}}{S_{PAD}}=$$$$frac{frac{4s}{3}+S}{frac{4s}{3}+4S}=$$$$frac{PM*PN}{PA*PD}=$$$$frac{8x*(z+q)}{10x*2x}$$. Получаем, что $$frac{35z}{32}=z+q Leftrightarrow$$$$q=frac{3}{32}z=CNLeftrightarrow$$$$z-q=frac{29}{32}z=NDLeftrightarrow$$$$frac{CN}{ND}=frac{3}{29}$$

Примечание: возможен вариант построения точки N ближе к D, чтобы распределение площадей получилось противоположным $$S_{MBCN}=3S$$, тогда $$S_{AMND}=S$$, но при подобном приведенному решению мы получим невозможность существования подобного разбиения площадей (точка N будет лежать вне стороны CD) — попробуйте решить самостоятельно.