Единый государственный экзамен по математике тренировочный вариант no 375

Задание 1

Необходимо перевезти 50 скутеров весом 300 килограмм каждый. Сколько рейсов понадобится сделать для этого, используя машину грузоподъемностью 5 тонн?

Ответ: 4

Скрыть

В одну машину заходит максимум 16 скутеров: 4,8 тоны $$Rightarrow$$ $$frac{50}{16}approx$$ 4 рейса

Задание 2

На графике показано изменение удельной теплоёмкости водного раствора некоторого вещества в зависимости от температуры. По горизонтали указывается температура в градусах Цельсия, по вертикали – удельная теплоёмкость в Дж/Кг*⁰С . Определите по рисунку, на сколько изменится удельная теплоемкость при нагревании раствора с 20° до 100°. Ответ дайте в Дж/Кг*⁰С .

Ответ: 10

Скрыть

При 20 градусах: 4200 ; при 100 градусах : 4210 ; Изменение :4210-4200-=10

Задание 3

Площадь маленького круга равна 4. Найдите площадь закрашенной фигуры

Ответ: 10,5

Скрыть

Радиус большого круга R=2 клетки, малого $$r=frac{R}{2}Rightarrow$$ $$S_{1} =pi (frac{R}{2})^{2}=frac{pi R^{2}}{4}=frac{S}{4}=4$$, где $$S$$ и $$S_{1}$$ площади большого и малого кругов соответственно , тогда S=4*4=16

Тогда площадь кольца: $$S-S_{1}=12$$. При этом уберем сегмент (его площадь $$frac{1}{8}$$ от кольца) $$Rightarrow$$ итоговая площадь $$12*frac{7}{8} =10,5$$.

Задание 4

В классе учится 16 человек: 6 мальчиков и 10 девочек. Перед началом уроков классный руководитель случайным образом выбирает двух учащихся класса для дежурства в столовой. Какова вероятность, что дежурить в столовую отправятся мальчик с девочкой?

Ответ: 0,5

Скрыть

Вероятность выбрать сначала мальчика, потом девочку: $$frac{6}{16}*frac{10}{15}=frac{1}{4}$$

Девочку, потом мальчика: $$frac{10}{16}*frac{6}{15}=frac{1}{4}$$

Следовательно, вероятность, что попадут мальчик и девочка: $$frac{1}{4}+frac{1}{4}=0,5$$

Задание 5

Найдите корень уравнения $$sqrt{3-x}=1-x$$ . Если корней несколько, то в ответе укажите больший из них.

Ответ: -1

Скрыть

$$sqrt{3-x}=1-xLeftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}3-x=(1-x)^{2}1-xgeq 0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}3-x=1-2x+x^{2}xleq 1end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x^{2}-x-2=0xleq 1end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}left[begin{matrix}x=2x=-1end{matrix}right.xleq 1 end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$x=-1$$

Задание 6

Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен $$sqrt{3}$$ . Найдите радиус вписанной окружности

Ответ: 1,5

Скрыть

$$R=frac{r}{sin 60}$$, где R-описанной; r –вписанной $$Rightarrow$$ $$r=R sin 60 =sqrt{3} *frac{sqrt{3}}{2}=1,5$$

Задание 7

По графику функции у = f(x) определите количество точек на интервале (‐3; 4), в которых касательная к графику параллельна прямой у = 0,3х – 4 или совпадает с ней.

Ответ: 5

Скрыть

Если параллельна или совпадает , то $$f^{‘}=(0,3x-4)^{‘}=0,3$$. Тогда точки (отмечены на рисунке) находятся на промежутке возрастания , и их количество 5. (Можно построить схематичный график производной)

Задание 8

Объем правильной шестиугольной призмы равен 180. Сначала каждое ее боковое ребро увеличили в два раза, а затем каждую сторону каждого основания уменьшили в три раза. Найдите объем полученной призмы.

Ответ: 40

Скрыть

Пусть h –начальная высота $$Rightarrow$$ $$h_{1}=2h$$, a –сторона основания $$Rightarrow$$ $$a_{1} =frac{a}{3}Rightarrow$$ $$frac{S}{S_{1}}=(frac{3}{1})^{2}=frac{9}{1}$$, где $$a_{1},h$$ и $$S_{1}$$ –сторона , высота и площадь основания новой призмы . $$Rightarrow$$ $$frac{V}{V_{1}}=frac{Sh}{S_{1}h_{1}}=frac{9}{2}=4,5$$$$Rightarrow$$ $$V_{1}=frac{V}{4,5}=40$$

Задание 9

Найдите значение выражения $$log_{frac{4}{25}} (log_{4} 32)$$

Ответ: -0,5

Скрыть

$$log_{frac{4}{25}}log_{4}32=$$$$log_{(frac{2}{5})^{2}} log_{2^{2 }}2^{5}=$$$$frac{1}{2} log_{frac{2}{5}}frac{5}{2} log_{2} 2=$$$$frac{1}{2}log_{frac{2}{5}}frac{5}{2}=-0,5$$

Задание 10

Максимальная высота подъёма тела, брошенного под углом к горизонту, вычисляется по формуле $$h=frac{(v*sin^{2} alpha)^{2}}{2g}$$ , где v (м/c) – начальная скорость тела, α – угол, под которым тело брошено к горизонту, g – ускорение свободного падения (считать, что g=10 м/с²). С какой скоростью необходимо бросить мяч под углом 30º к горизонту, чтобы он поднялся на высоту 5 м?

Ответ: 20

Скрыть

Выразим из формулы скорость: $$h=frac{(v sin alpha )^{2}}{2g}Leftrightarrow$$ $$2gh=v^{2} sin ^{2}alpha Leftrightarrow$$ $$frac{2 gh}{sin ^{2}alpha }=v^{2}Leftrightarrow$$ $$v=frac{sqrt{2gh}}{sin alpha }$$

Найдем скорость : $$v=frac{sqrt{2*10*5}}{sin 30}=frac{10}{frac{1}{2}}=20$$

Задание 11

Сцепленные зубчатые колеса вместе в сумме делают 240 оборотов в минуту. Найдите количество зубьев у второго колеса, если у первого их 100, и делает оно на 80 оборотов в минуту больше, чем второе колесо.

Ответ: 200

Скрыть

Пусть x-количество оборотов второго колеса, тогда $$x+80$$ — первого и $$x+x+80=240Leftrightarrow$$ $$2x=160$$$$Leftrightarrow$$ $$x=80$$ — второе колесо, 160-первое.

Первое колесо за 160 оборотов пройдет $$160*100=16000$$ зубьев. Второе пройдет столько же, но за 80 оборотов, следовательно , у него $$frac{16000}{80}=200$$ зубьев.

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции $$y=(x-1)*2^{x}$$ на отрезке [2; 6]

Ответ: 320

Скрыть

     1) Найдем производную функции и приравняем к 0 : $$y^{‘}=(x-1)^{‘}2^{x}+(x-1)(2^{x})^{‘}=2^{x}+(x-1)2^{x}ln 2=0Leftrightarrow$$$$2^{x}(1+(x-1)ln 2)=0Leftrightarrow$$ $$1+(x-1)ln 2=0Leftrightarrow$$ $$x-1=frac{-1}{ln 2}Leftrightarrow$$ $$x=-frac{1}{ln 2}-1=-log_{2}e-1=$$$$log_{2}frac{1}{e}-1=$$$$log_{2}frac{1}{2e}<0Rightarrow$$ на промежутке [2 ;6] $$y_{max}=y(6)=(6-1)2^{6}=320$$

     2) Можно решить рассуждением:

На промежутке [2; 6] : y=(x-1) и возрастает $$y=2^{x} Rightarrow$$ $$y=(x-1)2^{x}Rightarrow$$ $$y_{max}=y(6)$$

Задание 13

Ответ: А) $$pm frac{pi}{3}+2 pi n , n in Z$$ Б) $$pm frac{pi}{3};frac{5pi}{3};frac{7pi}{3}$$

Скрыть

     A) $$3*2^{cos x+3sqrt{1-sin ^{2}x}}+11 *2^{2 cos x}-34=0Leftrightarrow$$ $$3*2^{cos x+3sqrt{cos ^{2}x}}+11*2^{2 cos x}-34=0Leftrightarrow$$ $$3*2^{cos x+3left | cos ^{2}x right |}+11*2^{2 cos x}-34=0$$

     1)  при $$cos xgeq 0$$$$Leftrightarrow$$ $$x in [-frac{pi}{2}+2 pi n, frac{pi}{2}+2 pi n], n in Z$$: $$3*2^{4 cos x}+11*2^{2 cos x}-34=0$$

     Пусть $$2^{2 cos x}=y>0$$, тогда $$3y^{2}+11y-34=0$$: $$D=121+408=529$$

   $$left[begin{matrix}y_{1}=frac{-11+23}{6}=2y_{2}=frac{-11-23}{6}<0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$2 ^{2 cos x}=2Leftrightarrow$$ $$2 cos x=1Leftrightarrow$$ $$cos x=frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$x=pm frac{pi}{3}+2 pi n , n in Z$$

     2) при $$cos x<0$$: $$3*2^{cos x-3 cos x}+11*2^{2 cos x}-34=0Leftrightarrow$$$$3*2^{-2cos x}+11*2^{2 cos x}-34=0$$

Пусть $$2^{2 cos x}=y>0$$ , тогда $$frac{3}{y}+11*y-34=0Leftrightarrow$$ $$frac{11y^{2}-34y+3}{y}=0Leftrightarrow$$ $$11y^{2}-34y+3=0$$

$$D=1156-132=1024$$

$$left[begin{matrix}y_{1}=frac{34+32}{22}=3y_{2}=frac{34-32}{22}=frac{1}{11}end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}2^{2 cos x}=32 ^{2 cos x}=frac{1}{11}end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}4^{cos x}=34^{cos x}=frac{1}{11}end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}cos x=log_{4}3>0Rightarrow varnothingcos x=log_{4}frac{1}{11}<-1Rightarrow varnothing & &end{matrix}right.$$

Б) На промежутке  $$[-frac{pi}{2};frac{5pi}{2}]$$:

$$frac{pi}{3}+2 pi n$$: $$frac{pi}{3};frac{7pi}{3}$$

$$-frac{pi}{3}+2 pi n$$: $$frac{pi}{3};frac{5pi}{3}$$

Задание 14

Ответ: А)$$frac{5}{2};frac{5}{3}$$ Б)$$frac{1}{4}$$

Скрыть

     A) 1)Через P проведем плоскость параллельную (ABC): $$PQ_{1}M_{1}N{1})$$$$Rightarrow$$ $$SP=SQ=SM_{1}=SN_{1}=7$$. Пусть H –центр ABCD $$Rightarrow$$ SH –высота пирамиды; $$SHcap (PQMN)=O$$, $$SHcap (PQ_{1}M_{1}N_{1})=O_{1}$$ ; $$MM_{1}=SM_{1}-SM=frac{35}{6}$$

     2) Из $$Delta SM_{1}P$$: $$M_{1}Q_{1}=O_{1}PRightarrow$$ по т. Менелая для $$Delta MPM_{1}$$ : $$frac{SO}{OO_{1}}*frac{O_{1}P}{PM_{1}}*frac{M_{1}M}{MS}=1Leftrightarrow$$ $$frac{SO}{OO_{1}}*frac{1}{2}*frac{35}{6}:frac{7}{6}=1Leftrightarrow$$ $$frac{SO}{OO_{1}}=frac{2}{5}$$

     3) Рассмотрим $$Delta SQ_{1}N_{1}$$: пусть $$SQ=xRightarrow$$ $$SN=frac{25-x}{6}$$; Построим $$N_{2}Q_{2}left | right |N_{1}Q_{1}Rightarrow$$ $$Delta SON_{2}sim Delta SO_{1}N_{1}Rightarrow$$ $$frac{SN_{2}}{N_{2}N_{1}}=frac{SO}{OO_{1}}=frac{2}{5}$$. Т.е. $$SN_{1}=7$$, то $$SN_{2}=2=SQ_{2}$$, тогда $$N_{2}N=SN_{2}-SN=2-(frac{25}{6}-x)=x-frac{13}{6}$$; $$Q_{2}Q=SQ-SQ_{2}=x-2$$

   По т. Менелая для $$Delta NSQ$$: $$frac{N_{2}O}{OQ_{2}}*frac{Q_{2}Q}{QS}*frac{SN}{NN_{2}}=1$$$$Leftrightarrow$$ $$frac{1}{1}*frac{x-2}{x}*frac{frac{25}{6}-x}{x-frac{13}{6}}=1$$$$Leftrightarrow$$ $$(x-2)(frac{25}{6}-x)=x(x-frac{13}{6})|*6$$$$Leftrightarrow$$ $$12x^{2}-50x+50=0Leftrightarrow$$ $$6x^{2}-25x+25=0Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}x_{1}=frac{5}{2}x_{2}=frac{5}{3}end{matrix}right.$$

$$frac{5}{3}$$ не подходит, т.к. $$frac{25}{6}-frac{5}{3}=frac{5}{2}$$ и $$frac{5}{3}<frac{5}{2}$$, а по условию $$SQ>SNRightarrow$$ $$SQ=frac{5}{2}$$; $$SN=frac{5}{3}$$

     Б) 1) Рассмотрим $$Delta SHD$$: $$SQ_{2}=2$$; $$Q_{2}Q_{1}=5$$; $$Q_{1}D=SD-SQ_{1}=10-7=3Rightarrow$$ $$Q_{2}D=5+3=8$$

     2) $$Delta SOQ_{2}sim Delta SHDRightarrow$$ $$frac{SO}{OH}=frac{SQ_{2}}{Q_{2}D}=frac{2}{8}=frac{1}{4}$$

Задание 15

Решите неравенство $$(log_{3+x} (1-2x))(log_{1-2x} x^{2})leq (log_{3+x} (1-3x))(log_{1-3x} (2-x))$$

Ответ: $$(-3; -2) cup (-2; 0)cup (0; frac{1}{3})$$

Скрыть

$$(log_{3+x}(1-2x))(log_{1-2x}x^{2})leq (log_{3+x}(1-3x))(log_{1-3x}(2-x))$$

     ОДЗ: $$left{begin{matrix}1-2x>03+x>03+xneq 11-2xneq 1x^{2}>01-3x>02-x>01-3xneq 1end{matrix}right.$$$$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x<0,5x>-3xneq -2xneq 0x<frac{1}{3}x<2end{matrix}right.$$$$Leftrightarrow$$ $$x in (-3; -2)cup (-2; 0)cup (0; frac{1}{3})$$

     Решение: $$frac{1}{log_{1-2x}(3+x)}*log_{1-2x}x^{2}leq frac{1}{log_{1-3x}(3+x)}*log_{1-3x}(2-x)Leftrightarrow$$ $$log_{3+x}x^{2}leq log_{3+x}(2-x)Leftrightarrow$$ $$(3+x-1)(x^{2}-2+x)leq 0Leftrightarrow$$ $$(x+2)(x+2)(x-1)leq 0Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}x+2=0xleq 1end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left[begin{matrix}x=-2xleq 1end{matrix}right.$$

     С учетом ОДЗ: $$x in (-3; -2) cup (-2; 0)cup (0; frac{1}{3})$$

Задание 16

Ответ: 27,5

Скрыть

     A) 1) $$angle KBL=angle ADL=45$$ (угол между диагональю и стороной квадрата);

$$angle HBT=angle TDA$$ (накрест лежащие )$$Rightarrow$$ $$angle KBT=angle TDL$$;

$$angle BTK=angle LTD$$ (вертикальные )$$Rightarrow$$ $$Delta KBTsim Delta TDL$$$$Rightarrow$$ $$angle BKT=angle TLD$$

     2) из $$angle KBT=angle NDLRightarrow$$ $$BKleft | right |LD$$ $$Rightarrow$$ $$angle BKT=angle TLD$$, то они накрест лежащие $$Rightarrow$$ $$KTleft | right |TL$$ или $$K,T,L in KL$$, но параллельны быть не могут (так как имеют общую точку) $$Rightarrow$$ KL-секущая

     Б) 1) Аналогично п. A $$Delta RCT sim TAN$$ ($$angle C=90$$; $$angle BCD=angle TAD$$ — накрест лежащие )$$Rightarrow$$ $$ANleft | right |RC$$; $$angle TNA=angle TRC$$$$Rightarrow$$ $$R,T,N in RN$$

     2) из подобия : $$frac{AN}{RC}=frac{NT}{TR}Leftrightarrow$$ $$frac{8}{3}=frac{20}{x}Rightarrow$$ $$x=frac{3*20}{8}=7,5Rightarrow$$ $$RN=27,5$$

Задание 17

Ответ: 21728000

Скрыть

     Пусть $$S=12*10^{6}$$ руб. –первоначальная сумма кредита, $$n=15$$ лет-срок кредита, $$a=12$$ % , $$b=4$$ % . Составим таблицу платежей (каждый платеж состоит из суммы по основному долгу $$frac{S}{15}$$ (за 15 лет надо отдать S) и начисленные за год процентов) :

Итого будет выплачено : $$frac{S}{15}*15+frac{Sa}{100}(1+frac{14}{15}+..+frac{8}{15})+frac{8b}{100}(frac{7}{15}+frac{6}{15}+..+frac{1}{15})$$

Подставим известные значения: $$S+Sa*frac{92}{15}+8b*frac{28}{15}=$$$$S(1+frac{92a}{15}+frac{28b}{15})=$$$$12*10^{6}(1+frac{91*12}{15*100}+frac{28*4}{15*100})=21728000$$

Задание 18

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$(cos x -1)^{2}=a(cos x+4sin^{2} x-8)$$ имеет на промежутке $$(0;frac{pi}{2}]$$ единственный корень.

Ответ: $$[-frac{1}{4};0)$$

Скрыть

$$(cos x-1)^{2}=a(3 cos x+4 sin ^{2}x-8)Leftrightarrow$$ $$(cos x-1)^{2}=a(3 cos x+4-4cos^{2}x-8)Leftrightarrow$$ $$(cos x-1)^{2}=a(3cos x-4 cos ^{2}x-4)$$

     Рассмотрим правую часть : -$$4 cos^{2}x-4 in [-8 ;-4]$$ $$(cos ^{2}x in [0 ;1] )Rightarrow$$ $$3 cos x-4 cos ^{2}x-4leq -1$$ при любом x) , при этом $$(cos x-1)^{2}geq 0Rightarrow$$ чтобы выполнялось решение должно быть $$a<0$$ (при a=0 получим, что $$cos x-1=0 Rightarrow$$ $$cos x=1Rightarrow$$ $$x=2 pi n notin (0 frac{pi}{2}]$$)

     При этом, чтобы было решение на $$(0 ;frac{pi}{2}]$$, то $$cos x in [0; 1)$$

     Сделаем замену $$cos x=t in [-1; 1]$$: $$(t-1)^{2}=a(3t-4t^{2}-4)Leftrightarrow$$ $$frac{(t-1)^{2}}{a}=-4t^{2}+3t-4$$

     Рассмотрим функции : $$f_{1}(t)=frac{(t-1)^{2}}{a}$$ и $$f_{2}(t)=4t^{2}+3t-4p$$

• $$f_{2}(t): t_{0}=-frac{3}{-8}=frac{3}{8}Rightarrow$$ $$f_{2}(t_{0})=-frac{55}{16}$$ — парабола, ветви вниз, вершина $$(frac{3}{8};-frac{55}{16})$$, сужение к оси симметрии
• $$f_{1}(t)$$: парабола, вершина (1; 0) , ветви в зависимости от a ($$a<0 Rightarrow$$ вниз )

     При этом необходимо единственное решение на $$x in (0 ;frac{pi}{2}]Rightarrow$$ $$cos x in [0; 1) Rightarrow$$ $$t in [0; 1)$$ -единственное решение на данном промежутке.

     Решение такое будет при $$f_{1}(0)leq -4$$ $$Rightarrow$$ $$frac{(01)^{2}}{a}leq -4Rightarrow$$ $$frac{1}{a}leq -4Leftrightarrow$$ $$frac{1+4a}{a}leq 0Rightarrow$$ $$ain [-frac{1}{4};0)$$

Задание 19

Ответ: нет, да, $$frac{163}{199}$$

Скрыть

Пусть $$n=100a+10b+c$$, где $$a in [1; 9]in N, b,c in [0; 9]in Z$$

     A) $$frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{100a+10b+c}>1Rightarrow$$ $$a^{2}+b^{2}+c^{2}>100a+10b+cRightarrow$$ $$a^{2}-100a+b^{2}-10b+c^{2}-c>0Leftrightarrow$$ $$(a-50)^{2}-2500+(b-5)^{2}-25+(c-frac{1}{2})^{2}-0,25>0Leftrightarrow$$ $$(a-50)^{2}+(b-5)^{2}+(c-frac{1}{2})^{2}>2525,25$$

   $$(a-50)^{2}=(1-50)^{2}=49^{2}=2401$$. При этом $$max(b-5)^{2}=max(0-5)^{2}=25$$; $$max(c-frac{1}{2})^{2}=72,25$$. При этом сумма этих максимальных значений : $$2401+25+72,25=2498,25$$, что меньше , чем $$2525,25$$ $$Rightarrow$$ не может

     Б) Аналогично п.А : может , например 199: $$frac{1^{2}+9^{2}+9^{2}}{199}>frac{1}{2}Leftrightarrow$$ $$frac{163}{199}>frac{1}{2}$$

     B) Рассмотрим $$frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{100a+10b+c}rightarrow max$$. Очевидно , что a=1 (иначе в знаменателе прибавится сотня),а c=9 $$Rightarrow$$ $$frac{^{2}+b^{2}+9^{2}}{100+10b+9}=frac{82+b^{2}}{109+10b}rightarrow max$$

     Найдем производную: $$frac{(82+b^{2})^{‘}(109+10b)-(109+10b)^{‘}(82+b^{2})}{(109+10b)^{2}}=$$$$frac{2b(109+10b)-10(82+b^{2})}{(109+10b)^{2}}=$$$$frac{10b^{2}+218b-820}{(109+10b)^{2}}=0Leftrightarrow$$ $$5b^{2}+114b-410=0$$: $$D=20081approx 141Rightarrow$$ $$b_{1}=frac{-114+141}{2*5}=2,7$$; $$b_{2}=frac{-114-141}{10}=-25,5rightarrow$$ 2,7-точка минимума $$Rightarrow$$ $$frac{82+b^{2}}{109+10b}rightarrow$$ $$max$$ при $$b=0$$ или при $$b=9$$:

• $$b=0$$: $$frac{82+0^{2}}{109+10*0}=frac{82}{109}$$;
• $$b=9$$ :$$frac{82+9^{2}}{109+10*9}=frac{163}{199}$$;

$$frac{163}{199}>frac{82}{109}Rightarrow$$ максимальное значение $$frac{163}{199}$$