Егэ 2014 задание с2 по математике егэ

24
Сен 2013

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиВидеоурокиСтереометрия

2013-09-24
2015-09-04

Автор: egeMax |

Нет комментариев

Слайд 1

Подготовка к ЕГЭ – 2014 по математике. Подробное решение задачи С2 Учитель математики МБОУ СОШ № 143 г. Красноярска Князькина Т. В.

Слайд 2

Решим подробно задачу типа задания С2 На ребре PC правильной четырехугольной пирамиды PABCD с вершиной P взята точка T так , что PT:TC=1/6 . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую AT параллельно прямой BD , если PA=AB=14 .

Слайд 3

1. Построим сечение. Точки A и T принадлежат плоскости сечения, соединим их:

Слайд 4

Точка O – точка пересечения диагоналей основания пирамиды. PO – высота пирамиды. M – точка пересечения высоты пирамиды и прямой AT

Слайд 5

Проведем через точку M прямую KL , параллельную DB . Точка K – точка пересечения этой прямой с ребром PD , а точка L – с ребром PB:

Слайд 6

Через пересекающиеся прямые KL и AT проведем плоскость. Четырехугольник AKTL – искомое сечение:

Слайд 7

2. Найдем площадь четырехугольника AKTL . Докажем, что его диагонали перпендикулярны. Опустим перпендикуляр из точки T на основание призмы. Точка N – основание перпендикуляра.

Слайд 8

AN – проекция наклонной AT . AN перпендикулярна DB , так в основании нашей правильной пирамиды лежит квадрат, а диагонали в квадрате перпендикулярны. По теореме о трех перпендикулярах AT также перпендикулярна DB . Но KL || DB – по построению, следовательно, AT перпендикулярна KL . Найдем диагонали нашего сечения. APC= ABC по трем сторонам, следовательно, APC – прямоугольный.

Слайд 9

PT=1/7,PC=14/7=2 По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника APT получим: Чтобы найти длину отрезка KL , найдем, в каком отношении точка M делит отрезок PO . Вынесем треугольник APC «со всем фаршем »:

Слайд 10

Проведем через точку P прямую PQ параллельно прямой AC и продолжим прямую AT до пересечения с ней.

Слайд 11

PQT подобен ATC, и . Обозначим PQ=x , тогда AC=6x

Слайд 12

Теперь рассмотрим подобные треугольники AMO и PMQ : ,следовательно

Слайд 13

Рассмотрим треугольник DPB , в котором KL || DB : Треугольник KPL подобен треугольнику DPB , следовательно Ответ : 35

Слайд 14

Решим ещё одну задачку. на ребре AB прямоугольного параллелепипеда взята точка E так , что AE:EB=4:1 . Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ECA ₁ , если AB=5 , AD=4 , AA ₁=1

Слайд 15

1. Построим сечение. Соединим точки, лежащие в одной грани :

Слайд 16

Через точку A ₁ проведем прямую, параллельную EC (Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны между собой): A ₁K || EC

Слайд 17

A ₁KCE – искомая плоскость . 2. Найдем площадь параллелограмма A ₁KCE . Докажем, что параллелограмм A₁KCE – ромб . x+4x=5, x=1, следовательно: D ₁K=EB=1, KC₁=AE=4. Получаем, , отсюда

Слайд 18

Диагонали ромба перпендикулярны, то есть

Слайд 19

Диагональ A ₁C найдем из треугольника ACA ₁ Диагональ KE найдем из треугольника KLE : Диагональ найдем из треугольника :

Слайд 20

LE найдем из треугольника LME Площадь ромба равна половине произведения диагоналей . Итак, площадь сечения равна Ответ :

1. Задания С-2 по математике ЕГЭ-2014

2.

Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой и плоскостью — это угол между
прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Определение. Прямая перпендикулярна
плоскости, если она перпендикулярна любой
прямой, лежащей в этой плоскости.
Признак. Прямая перпендикулярна плоскости,
если она перпендикулярна двум пересекающимся
прямым, лежащим в этой плоскости.

3. Пример

В правильной треугольной
пирамиде с основанием
известны ребра
,
Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер
и
Решение
N- середина ребра ВС, М- середина AS. Прямая AS
проецируется на плоскость основания в прямую AN. Поэтому проекция точки M- точка M1 =˃
прямая AN является проекцией прямой АМ =˃
угол M1NM- искомый. Т.к. MM1ǁSO,
где О — центр основания, М M1– средняя линия
треугольника SAO
Тогда:
Кроме того
Из прямоугольного треугольника M1NM находим:
Ответ:

4. Угол между плоскостями

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами
к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Две пересекающиеся
плоскости образуют две
пары равных между собой
ᵩ
двугранных углов. Угол линейный угол двугранного
угла
Признак. Если плоскость α проходит
через перпендикуляр к плоскости β,
то плоскости α и β перпендикулярны.

5. Пример.

Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1,
в котором АВ=3, AD=2, АА1=7 и точка E делит сторону
АА1 в отношении 4 к 3, считая от точки А. Найдите
угол между плоскостями АВС и ВЕD1.
Решение
Построим искомый угол (Гиперссылки1.docx) .Таким
образом, искомый угол между плоскостями АВС и BED1
равен углу АМЕ.
Найдем длины сторон треугольника АМЕ: так как
точка Е делит сторону АА1 в отношении 4 к 3, считая от
точки А, а длина стороны АА1 равна 7, то АЕ=4.
Чтобы найти АМ, рассмотрим прямоугольный
треугольник АВF: АМ- высота треугольника, АВ=2(по
условию), длину стороны АF мы можем найти из подобия
прямоугольных треугольников DD1F и AEF:

6.

По теореме Пифагора из треугольника АВF находим :
Длину АМ найдем через площади треугольника АBF:
1)
Откуда-
2)
Таким образом, из прямоугольного треугольника АЕМ имеем:
Тогда искомый угол между плоскостями АВС и BED1 равен
Ответ:

7. Скрещивающиеся прямые

Прямые, не лежащие в одной плоскости и
не имеющие общих точек, называются
скрещивающимися.
Признак: Если одна из двух прямых
лежит в плоскости, а другая
пересекает эту плоскость в точке, не
принадлежащей первой прямой, то эти
прямые скрещиваются.

8. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстоянием между
двумя
скрещивающимися
прямыми а и b
называется длина их
общего
перпендикуляра.

9. Пример. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все
рёбра которой равны 1, найдите расстояние между
прямыми AB и A1C.

10. Решение:

(Гиперссылки3.docx)

11. Угол между скрещивающимися прямыми

За величину угла между скрещивающимися
прямыми a и b принимается величина угла
между параллельными им пересекающимися
в некоторой точке М прямыми a1 и b1, то есть
a; b a1; b1
где a1 | | a и b1 | | b, a1 b1 = {M}

12. Пример. Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

В правильной шестиугольной призме A…F1, все
ребра которой равны 1, найти косинус угла между
прямыми BA1 и DB1:

13. Решение:

(Гиперссылки2.
docx)

14.

Расстояние от точки до
прямой
Расстоянием от точки до прямой в
пространстве
называется
длина
перпендикуляра, опущенного из данной точки
на данную прямую.
Если точка лежит на прямой, то расстояние от
точки до прямой считается равным нулю. В
конкретных задачах вычисление расстояния от
точки до прямой сводится к нахождению
высоты
какой-либо
подходящей
планиметрической фигуры — треугольника,
параллелограмма или трапеции.

15. Нахождение расстояний 1

Для нахождения расстояния от точки A до прямой l
перпендикуляр AH, опущенный из данной точки на данную
прямую, представляют в качестве высоты треугольника,
одной вершиной которого является точка A, а сторона BC,
противолежащая этой вершине, лежит на прямой l. Зная
стороны этого треугольника, можно найти и его высоту.
При этом возможны следующие случаи:
1. Треугольник ABC – равнобедренный, AB = AC. Пусть AB = AC =
b, BC = a. Искомый перпендикуляр находится из прямоугольного
треугольника ABH:
2
a
2
AH b .
4
H

16. Нахождение расстояний 2

2. Треугольник ABC – равнобедренный, AC = BC.
2
c
CG a .
4
2
Пусть AB = c, AC = BC = a. Найдем высоту CG.
2
2
2
Площадь треугольника ABC равна 1 AB CG 1 c a 2 c c 4a c .
2
2
4
4
С другой стороны, площадь этого треугольника равна
1
1
BC AH a AH . Приравнивая первое и второе значения площади, получим
2
2
2
2
c
4
a
c
значение искомого перпендикуляра AH
.
2a

17. Нахождение расстояний 3

3. Треугольник ABC – прямоугольный, угол A – прямой. Пусть
AB = c, AC = b. Тогда гипотенуза BC равна b 2 c 2 Удвоенная
площадь треугольника ABC, с одной стороны, равна bc, а с
другой h b 2 c 2. Следовательно,
h
bc
b2 c2

18. Нахождение расстояний 4

4. Треугольник ABC – произвольный.
Пусть AB = c, AC = b, BC = a, ACB .
По теореме косинусов имеет место равенство c2 a2 b2 2ab cos .
a 2 b2 c 2
Откуда cos
.
2ab
Зная косинус угла, можно найти его синус sin 1 cos 2 ,
а зная синус , можно найти высоту
AH b sin .

19. Пример

В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите
расстояние от точки A до прямой CB1.
Решение: Искомое расстояние равно
высоте AH треугольника ACA1, в
котором AC = 3 , AB1 = CB1 = 2 .
Высота BG этого треугольника равна
5
. Его площадь равна
2
1
15
AC B1G
.
2
4
С другой стороны, эта площадь равна
1
2
CB1 AH
AH .
2
2
30
AH
.
Приравнивая площади, получим
Ответ:
30
.
4
4

20.

Расстояние от точки до
плоскости
А
Если точка не принадлежит
плоскости, то расстояние от точки
до плоскости — это длина
перпендикуляра, проведённого из
точки на данную плоскость.
Если точка принадлежит
плоскости, то расстояние от точки
до плоскости равно нулю.
Н
М
α

21.

Расстояние от точки до плоскости
Методы
Поэтапно-вычислительный
метод
Метод параллельных
прямых и плоскостей
Векторный метод
Координатный метод
Метод объемов

22.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ,
ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А до
плоскости А1В1С.
B1
D1
C1
E1
A1
FC AE, FC AA1 FC ( AA1E1 ).
FC AE G.
( AA1E1 ) ( A1B1C) FC ( A1B1C) ,
( AA1E1 ) ( A1B1C ) AG
1 .
Высота АН в треугольнике АА1G –
искомое расстояние.
F1
Из прямоуг. треугольника ADE:
E
D
H
C
G
F
B
A
Из прямоуг. треугольника AGA1:
3
AE AD ED 3, AG
.
2
2
2
3
7
GA1
1
.
4
2
AG AA1
3
7
3
AH
1:
.
GA1
2
2
7
Ответ:
3
.
7

23.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние
от точки C1 до плоскости AB1C
A1C1 AC , то AC
1 1
Поэтому искомое расстояние h равно
расстоянию от произвольной точки
А1С1 до плоскости АВ1С.
C1
О1
B1
D1
Обозначим расстояние от О1 до (АВ1С)
через h.
h A1
Е
Покажем, что О1Е ┴ АВ1С.
C
О
B
Так как
AB1C .
A
D
O1E BB1D1D, AC BB1D1D O1E AC
О1Е – перпендикуляр к (АВ1С), а О1Е = h
2
B1O1
, O1O 1, то из прямоугольного треугольника ОВ1О1:
2
1
3 Искомое расстояние: h B1O1 O1O 2 1: 3 3 .
OB1
1
.
OB1
2
2
3
2
2
3
Ответ:
.
3

24.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ,
ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А до
плоскости DEF1
Введем систему координат и
найдем координаты точек:
1
3 1 3 1 3
A ; ;0 , D ; ;0 , E ; ;0 , F1 1;0;1 .
2 2 2 2 2
2
z
B1
ax by cz d 0
C1
A1
F1
A
B
C
O
x
A, DEF1
D
y
E
F
0
1
3
2 3
3 0 3
2
2
02 2 3
Подставим координаты точек
D, E, F1 в уравнение:
D1
E1
2
32
уравнение (DEF1).
1
3
b d 0, ( D )
a
a 0,
2
2
3
2 3
1
b d 0, ( E ) b
d,
a
2
2
3
a c d 0.( F1 )
c d .
уравнение (DEF1):
6
2 21
7
21
2 3 y 3z 3 0.
Ответ:
2 21
.
7

25.

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Найти расстояние
от точки C до плоскости BDC1
Расстояние х равно высоте CQ, опущенной
в пирамиде BCDC1 из вершины С на
основание BDC1
B1
A1
C1
D1
1
1 1
a3
V1 S BCD CC1 BC CD CC1 .
3
3 2
6
Треугольник BDC1 – равносторонний.
Q
B
C
A
R
2
1
1 a 2 3
a2 3
V2 S BC1D CQ
x
x.
3
3
4
6
D
Так как V1 = V2, то получаем уравнение:
a3
a2 3
a 3
x; x
.
6
6
3
Ответ:
a 3
.
3

26. Метод координат

27. Главные формулы

1. Косинус угла φ между векторами a = (x1; y1; z1) и
b = (x2; y2; z2):
2. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве:
Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа,
причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0.
А если не проходит, то D = 1.
3. Вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль)
Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

28.

4.Координаты середины отрезка
Итак, пусть отрезок задан своими концами —
точками A = (xa; ya; za) и B = (xb; yb; zb). Тогда координаты середины
отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:
5. Расстояние от точки до плоскости:

29. Куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a

Куб ABCDA B C D
1 1 1 1
A(0; 0; 0) , B(0; a; 0) , C(a; a; 0) ,
D(a; 0; 0), А1 (0; 0; a), B1(0; a ;a ),
C1( a; a; a ), D1 ( a; 0; a )
с ребром a

30. Правильная треугольная призма ABCA1B1C1 , сторона основания которой равна a , а боковое ребро b

Другой
вариант

31. Правильная треугольная пирамида MABC , сторона основания которой равна a , а высота h .

Другой
вариант

32. Правильная четырехугольная пирамида MABC , сторона основания которой равна a , а высота h .

33. Правильная шестиугольная пирамида MABCDEF , сторона основания которой равна a , а высота h

Другой
вариант

34. Пример

Пример

35. Пример 2. Точка E — се­ре­ди­на ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AD.

Пример 2. Точка E — середина
ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между
прямыми BE и AD.
1. Вводим систему координат с началом в точке D(0; 0; 0).
2. Примем сторону куба за единицу. Координаты точек:
A (1; 0; 0);
D (0; 0; 0);
B (1; 1; 0);
E (0; 1; 0,5).
3. Тогда
AD {-1; 0; 0};
BE {-1; 0; 0,5};
4. cos α =
│−1∗ −1 +0+0│
1+0+0+ 1+0+0,25
=
2
5
=
2 5
.
5
Отсюда
α = arccos
2 5
.
5
Ответ: α = arccos
2 5
.
5

36. Сечения

37.

Секущей плоскостью куба называют любую
плоскость, по обе стороны от которой имеются точки
данного куба.
B1
A1
C1
D1
N
M
P
K
B
A
C
D

38.

Секущей плоскостью куба может быть
треугольник, четырехугольник, пятиугольник и
шестиугольник.

39. Пример.

A…D1 – куб. Точки P, N, K, Q принадлежат
ребрам AA1, BB1, CC1, AD. Построить
сечение куба плоскостью PNKQ.
Решение:
Соединим точки P и N.
М – точка пересечения
прямых PQ и DD1.
Проведем прямую МК.
Соединим точки N и К.
NPQFK – искомое
сечение.

40. Тетраэдр — это многогранник, одна из граней которого – произвольный треугольник.

Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями
могут быть только треугольники и четырехугольники.

41. Пример. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

1. Проведем прямую через
точки М и К, т.к. они лежат
в одной грани (АDC).
D
M
AA
2. Проведем прямую через точки
К и N, т.к. они лежат в одной
грани (СDB).
N
K
BB
C
C
3. Аналогично рассуждая,
проводим прямую MN.
4. Треугольник MNK искомое сечение.

42.

Построение сечений призмы.
Сечения призмы плоскостями, проходящими через
два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

43.

Построение сечения призмы плоскостями,
параллельными боковому ребру.

44.

Построение сечения призмы плоскостью,
проходящей через след секущей плоскости.
g

45.

Построение сечения призмы плоскостью,
проходящей через три данные точки
на рёбрах призмы.

46. Сечения пирамиды

1. Сечение плоскостью,
S
проходящей через
вершину пирамиды
2. Диагональное сечение
С
В
S
L
M
N
M
D
K
N
А
▲ SMN — сечение
▲SКM — сечение

47.

4. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию
MNKP — сечение
S
MNKP
N
M
B
A
K
P
C
D
~ABCD

48.

Построить сечение плоскостью, проходящей через точки M, P и K.
S
R
M
B
C
T
N
P
MPKNR — сечение
D
A
K
L

49. Пример

В правильной треугольной призме стороны
основания равны 6, боковые рёбра равны 4.
Изобразите сечение, проходящее через вершины и
середину ребра. Найдите его площадь.

Онлайн видео уроки для подготовки к ЕГЭ 2014 по математике. 
Задание С2

---

• Назначение: действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.
• Часть 2: с развёрнутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

---

В видео разобраны задания С2, подобранные в соответствии с демоверсией ЕГЭ 2014 по математике.

Первое задание в видео уроке подробно объясняется учителем; перед объяснением второго задания предлагается поставить воспроизведение на паузу и решить его самостоятельно, затем снять с паузы с свериться с решением учителя.

Видео уроки ЕГЭ от создателей курса 
Домашний репетитор ЕГЭ 2014 по математике  

---

---

© 2015 — 2023 «Пять с Плюсом». Все права защищены

Решение заданий С2
при подготовке
к ЕГЭ 2014 г.

• Презентацию подготовила:
• Учитель по математике
• высшей категории
• МАОУ «Лицей №3 им. А. С. Пушкина»
• Попова Н.Ф.
• г. Саратов,2014

Задача 1. Условие:

• Изобразите сечение единичного куба A…D1, проходящее через вершину D1 и середины ребер AB; BC. Найти его Sсеч.

Решение:

• K

• L

• M

• Ответ:

Задача 2. Условие:

• Изобразите сечение единичного куба A…D1, проходящее через середины ребер AA1, CC1 и точку на ребре AB, отстоящую от вершины A на 0,75. Найдите его площадь.

Искомым сечением будет шестиугольник. Площадь его ортогональной проекции на плоскость ABC равна ,косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью ABC равен . Площадь сечения равна .

• Искомым сечением будет шестиугольник. Площадь его ортогональной проекции на плоскость ABC равна ,косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью ABC равен . Площадь сечения равна .
• Ответ:

Задача 3. Условие:

• В прямой призме ABCA1B1C1 BK-биссектриса основания ABC. Через биссектрису и вершину А1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания 60°. Найти Sсеч., если AB=3, BC=6, угол ABC=30°.

• . AK=t; KC=2t.

• Ответ: 3.

Если ортогональная проекция на плоскость α переводит прямую a в точку A, а прямую b в прямую b1, то расстояние между скрещивающимися прямыми a и b равно расстоянию от А до прямой b1.

• Если ортогональная проекция на плоскость α переводит прямую a в точку A, а прямую b в прямую b1, то расстояние между скрещивающимися прямыми a и b равно расстоянию от А до прямой b1.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой.

Задача 4. Условие:

• Дан правильный тетраэдр МАВС с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми АL и МО, если L – середина МС, О – центр грани АВС.

• В

• С

• А

• M

• L

• 1

• О

• Р

• Н

• Q

Решение:

• LН (ABC), Н СО.

• 5. Вычислим ОQ.

• 2. СН = НО.

• Расстояние между скрещивающимися прямыми МО и АL равно расстоянию от точки О до прямой АН.

• ОQ- искомое расстояние.

• 4. ОQ  АН,

• 3. Точка О и прямая АН – ортогональные проекции соответственно прямых МО и АL на (АВС).

• В

• С

• А

• M

• L

• 1

• О

• Р

• Н

• Q

• В

• С

• А

• M

• Ответ: .

• 1

• О

• Р

• L

• Н

• Решение:

• Q

Задача 5. Условие:

• В правильной усеченной четырехугольной пирамиде A…D1 со сторонами оснований а и b (a>b) и высотой h найти расстояние
• между диагональю BD1 и диагональю большего основания AC.

Задача 6.
Условие:

• В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD, все ребра которой равны 1. Найдите угол между прямой DЕ, где Е — середина апофемы SF грани АSВ, и плоскостью АSC.

• А

• В

• С

• D

• S

• F

• Е

• А

• В

• С

• D

• S

• F

• Введем прямоугольную систему координат.

• О

• Х

• У

• Z

• Н

• К

• Е

• Ответ: .

• направляющий вектор прямой DE.

Задача 6. Условие:

• В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ABCD со стороной √21 и углом A, равным 60°. На ребрах AB, B1C1 и DC взяты соответственно точки E, F и G так, что AE=EB, B1F=FC1 и DG=3GC. Найти косинус угла между плоскостями EFG, если высота призмы равна 4,5.

1 способ решения:
Решение 1
(угол между прямой и плоскостью)

• F ⊥ (ABC)
• F1-ортогональная проекция точки F на плоскость и основание
• BF1=F1C, FF1 ll BB1
• G1-точка пересечения прямых EG и BC. Треугольник EF1G1, лежащий в плоскости ABC,- ортогональная проекция треугольника EF1G1, лежащего в плоскости EFG
• Из подобия треугольников EBG1 и GCG1=> EB ll GC, CG1=BC, т.к. GC=¼DC=½EB
• По теореме косинусов для треугольника
• EBF1: EF1^2=EB^2+BF^2-2*EB*BF1*cos120°=63/4
• EF=(3√7)/2
• Из прямоугольных треугольников EFF1
• и F1FG1: EF^2=EF1^2+F1F^2 =36
• EF=6
• FG1^2=F1G1^2+F1F^2=270/4
• FG1=(3√30)/2

По теореме косинусов для треугольника EBG1:

• По теореме косинусов для треугольника EBG1:
• EG1^2=EB^2+BG^2-2*EB*BG1*cos120°=441/4
• EG1=21/2
• Используя теорему косинусов для треугольника EFG1:
• cosLEFG1=(EF^2+FG1^2-EG1^2)/(2*EF*FG1)=-3/(8√30)
• sinLEFG1=√(1-(- 3/(8√30)^2=√637/(8√10)
• Находим площадь треугольника EFG1
• SEFG1=½*EF*FG1*sinLEFG1=((9√3)/16)*√637
• Находим площадь треугольника EF1G1:
• SEF1G1=½*EF1*F1G1*sin150 °=(63√3)/16
• Находим косинус угла Y между
• плоскостями EFG1 и ABC по формуле:
• cos Y= SEF1G1/SEFG1=1/√13
• Ответ:1/√13