Егэ 2015 досрочная волна математика

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Пёс Барбос пробежал (500 м) за (1,5 минуты). Найдите его среднюю скорость. Ответ дайте в километрах в час.

Так как средняя скорость есть отношение всего пути к затраченному на него времени, то средняя скорость пса Барбоса равна [dfrac{500}{1,5} dfrac{text{м}}{text{мин}} = dfrac{1000}{3}
dfrac{text{м}}{text{мин}} = dfrac{1}{3}
dfrac{text{км}}{text{мин}} = dfrac{20}{60}
dfrac{text{км}}{text{мин}} = 20 dfrac{text{км}}{text{ч}}]

Ответ: 20

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в Кирове с (4) по (14) декабря (2000) года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день (в мм). Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в Кирове впервые выпало (2,5 мм) осадков.

По рисунку видно, что в Кирове впервые выпало (2,5 мм) осадков (9) числа.

Ответ: 9

Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Абонент надеется, что общая длительность разговоров составит (180
минут) в месяц, и исходя из этого выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если общая длительность разговоров действительно будет равна (180
минутам)?

По тарифному плану “Безусловный” (180 минут) обойдутся в (2,5cdot 180 = 450 руб).
По тарифному плану “Безнадёжный” (180 минут) обойдутся в (140 + (180 — 60)cdot 2 = 380 руб).
По тарифному плану “Безлимит” (180 минут) обойдутся в (350 руб).

Наиболее выгодный план – “Безлимит”. Ответ: (350 руб).

Ответ: 350

На клетчатой бумаге с размером клетки (1times 1) изображён угол. Найдите косинус этого угла.

По рисунку видно, что данный угол является острым углом в прямоугольном треугольнике с катетами (3) и (4) единицы (катет, равный (3) единицам – прилежащий к рассматриваемому углу). По теореме Пифагора гипотенуза в таком треугольнике равна (sqrt{4^2 +
3^2} = 5), следовательно, косинус рассматриваемого угла равен (0,6).

Ответ: 0,6

Арья и Санса играют в шахматы. Играя белыми, Арья выигрывает с вероятностью (0,38). Играя чёрными, Арья выигрывает с вероятностью (0,4). Арья и Санса играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Арья выиграет оба раза.

Так как Арья один раз играет белыми и один раз играет чёрными фигурами, то вероятность того, что она выиграет оба раза, равна (0,38cdot 0,4 = 0,152).

Ответ: 0,152

Найдите корень уравнения [121^{x + 2} = dfrac{1}{11}]

Исходное уравнение равносильно [11^{2x + 4} = 11^{-1}qquadLeftrightarrowqquad 2x + 4 = -1qquadLeftrightarrowqquad x = -2,5,.]

Ответ: -2,5

Периметр прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, равен (25), а одна из её боковых сторон равна (7). Найдите радиус вписанной окружности.

Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны, тогда сумма боковых сторон данной трапеции равна сумме оснований и равна (25 : 2 = 12,5).

Так как одна из боковых сторон равна (7), то другая боковая сторона равна (12,5 — 7 = 5,5). Кроме того, меньшая из боковых сторон равна диаметру вписанной окружности, следовательно, радиус данной вписанной окружности равен (0,5cdot 5,5 = 2,75).

Ответ: 2,75

На рисунке изображён график функции (y = f(x)). На оси абсцисс отмечены семь точек: (x_1), (x_2), (x_3), (x_4), (x_5), (x_6), (x_7). В скольких из этих точек производная функции (f(x)) отрицательна?

Производная отрицательна там, где функция убывает. В данном случае, (f'(x) < 0) в точках (x_4), (x_6), (x_7), то есть в трёх точках.

Ответ: 3

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна (3), а боковое ребро равно (3sqrt{3}). Найдите её объём.

По теореме Пифагора [FD = sqrt{ED^2 — EF^2} = 3sqrt{2},,] тогда (BD = 6sqrt{2}), следовательно, по теореме Пифагора [AD^2 = BD^2 — AB^2qquadRightarrowqquad BD^2 = 2AD^2qquadRightarrowqquad AD = 6,.] [V_{text{пирамиды}} = dfrac{1}{3}cdot EFcdot S_{ABCD} =
dfrac{1}{3}cdot 3cdot 6^2 = 36,.]

Ответ: 36

Найдите значение выражения [dfrac{sqrt[4]{7}cdot 7cdotsqrt[8]{7^3}}{sqrt[8]{7}cdotsqrt{7}}]

Исходное выражение равносильно [dfrac{sqrt[4]{7}cdot 7cdotsqrt[8]{7^3}}{sqrt[8]{7}cdotsqrt{7}} =
7^{frac{1}{4} + 1 + frac{3}{8} — frac{1}{8} — frac{1}{2}} = 7^1 = 7,.]

Ответ: 7

Водолазный колокол, содержащий (nu = 1 моль) воздуха при давлении (p_1 = 1,5 атмосферы), медленно опускают на дно бака, заполненного водой. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления (p_2). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением (A = alphanu
Tlog_2dfrac{p_2}{p_1}), где (alpha = 13,3
dfrac{text{Дж}}{text{моль}cdot K}), (T = 290 К) – температура воздуха. Найдите давление (p_2) в атмосферах, которое должен иметь воздух в колоколе, чтобы при сжатии воздуха была совершена работа (7714 Дж).

По условию задачи требуется найти (p_2), такое что [7714 text{Дж} = 13,3cdot 1cdot 290cdot log_2dfrac{p_2}{1,5} text{Дж},,] откуда (2 = log_2 dfrac{p_2}{1,5}), следовательно, [log_2 4 = log_2 dfrac{p_2}{1,5}qquadRightarrowqquad 4 = dfrac{p_2}{1,5}qquadRightarrowqquad p_2 = 6,.]

Ответ: 6

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна (0,75). Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

(QM) – средняя линия в параллелограмме (CC_1B_1B), тогда (S_{CC_1B_1B} = 2S_{QMBB_1}).
Аналогично (S_{AA_1B_1B} = 2S_{PNBB_1}).

(MNparallel AC), (QMparallel C_1C), следовательно, (angle ACC_1 =
angle NMQ), при этом (MN = dfrac{1}{2}AC), (QM = CC_1) ((QMCC_1) – параллелограмм по определению). Таким образом, (S_{AA_1C_1C} =
2S_{PQMN}), следовательно, площадь боковой поверхности исходной призмы в два раза больше, чем площадь боковой поверхности отсечённой призмы, и равна (1,5).

Ответ: 1,5

В лаборатории смешали (15)-процентный и (7)-процентный растворы кислоты, и добавив (4,9 кг) чистой воды, получили (10)-процентный раствор кислоты. Если бы вместо (4,9 кг) воды добавили (3 кг) (7)-процентного раствора той же кислоты, то получили бы (11)-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов (15)-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть (15)-процентного раствора было (x кг), а

(7)-процентного раствора было (y кг), тогда [0,15x + 0,07y = 0,1(x + y + 4,9),,] кроме того, по условию при добавлении (3 кг) (7)-процентного раствора той же кислоты вместо (4,9 кг) воды, получили бы (11)-процентный раствор кислоты [0,15x + 0,07y + 0,07cdot 3 = 0,11(x + y + 3),.] Вычитая первое уравнение из второго, получим [0,21 = 0,01(x + y) — 0,16,,] откуда (x + y = 37). Подставляя (y = 37 — x) в первое уравнение, находим [x = 20,.]

Ответ: 20

Найдите наибольшее значение функции [y = 71x + 65cos x + 21]

на отрезке ([-pi; 0]).

ОДЗ: (x) – произвольный. [y’ = 71 — 65sin x,.] [y’ = 0qquadLeftrightarrowqquad 71 — 65sin x = 0,.] Так как (|sin x|leqslant 1), то у уравнения (y’ = 0) решений нет. Тогда у данной функции (y) производная (y’) всюду принимает значения одного знака. Определить этот знак можно, подставив любое число в (y’), например, (x = 0): [y'(0) = 71 > 0,,] то есть (y’ > 0) при всех (x), значит, функция (y) возрастает на (mathbb{R}), откуда следует, что наибольшее на отрезке ([-pi; 0]) значение она принимает на конце отрезка, то есть в точке (x = 0): [y(0) = 71cdot 0 + 65cdot cos 0 + 21 = 86,.]

Ответ: 86

а) Решите уравнение [2sqrt{3}cos x + 2sin 2x = 3 + 2sqrt{3}sin x]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ([0;
pi]).

а) ОДЗ: (x) – произвольный.

По формуле синуса двойного угла:

[begin{aligned}
&2sqrt{3}cos x + 4sin xcdotcos x = 3 + 2sqrt{3}sin xqquadLeftrightarrow\
Leftrightarrowqquad & (2sqrt{3}cos x + 4sin xcdotcos x) — (3 + 2sqrt{3}sin x) = 0qquadLeftrightarrow\
Leftrightarrowqquad & 4cos xleft(dfrac{sqrt{3}}{2} + sin xright) — 2sqrt{3}left(dfrac{sqrt{3}}{2} + sin xright) = 0qquadLeftrightarrow\
Leftrightarrowqquad & (4cos x — 2sqrt{3})left(dfrac{sqrt{3}}{2} + sin xright) = 0qquadLeftrightarrow\
Leftrightarrowqquad & left(cos x —
dfrac{sqrt{3}}{2}right)left(dfrac{sqrt{3}}{2} + sin xright)
= 0,,
end{aligned}]

б) (0 leqslant dfrac{pi}{6} + 2pi k_1 leqslant pi) равносильно (-dfrac{pi}{6} leqslant 2pi k_1 leqslant dfrac{5pi}{6}), что равносильно (-dfrac{1}{12} leqslant k_1 leqslant dfrac{5}{12}), но (k_1inmathbb{Z}), следовательно, среди этих решений подходит только решение при (k_1 = 0): (x = dfrac{pi}{6}).

(0 leqslant -dfrac{pi}{6} + 2pi k_2 leqslant pi) равносильно (dfrac{pi}{6} leqslant 2pi k_2 leqslant dfrac{7pi}{6}), что равносильно (dfrac{1}{12} leqslant k_2 leqslant dfrac{7}{12}), но (k_2inmathbb{Z}), следовательно, среди этих решений подходящих нет.

(0 leqslant -dfrac{pi}{3} + 2pi n leqslant pi) равносильно (dfrac{pi}{3} leqslant 2pi n leqslant dfrac{4pi}{3}), что равносильно (dfrac{1}{6} leqslant n leqslant dfrac{2}{3}), но (ninmathbb{Z}), следовательно, среди этих решений подходящих нет.

(0 leqslant dfrac{4pi}{3} + 2pi m leqslant pi) равносильно (-dfrac{4pi}{3} leqslant 2pi m leqslant -dfrac{pi}{3}), что равносильно (-dfrac{2}{3} leqslant m leqslant -dfrac{1}{6}), но (minmathbb{Z}), следовательно, среди этих решений подходящих нет.

Ответ:

а) (pmdfrac{pi}{6} + 2pi k, -dfrac{pi}{3} + 2pi n,
dfrac{4pi}{3} + 2pi m, k,n,minmathbb{Z})

б) (dfrac{pi}{6})

(ABCDA_1B_1C_1D_1) – куб. На ребре (BB_1) отмечена точка (K) так, что (KB : KB_1 = 3 : 1). Через точки (K) и (A_1) проведена плоскость (pi), параллельная прямой (BD_1).

а) Докажите, что (C_1M : MB_1 = 2 : 1), где (M) – точка пересечения плоскости (pi) с ребром (B_1C_1).

б) Найдите угол между плоскостями ((A_1B_1B)) и (pi).

Тогда (M) – точка пересечения (A_1N) и (B_1C_1). Так как (KNparallel BD_1), то (angle B_1KN = angle B_1BD_1). Рассмотрим треугольники (B_1KN) и (B_1BD_1). Они подобны по двум углам, откуда [dfrac{B_1N}{B_1D_1} = dfrac{B_1K}{B_1B} = dfrac{B_1K}{B_1K +
KB} = dfrac{B_1K}{B_1K + 3B_1K} = dfrac{1}{4},,] следовательно, [dfrac{B_1N}{ND_1} = dfrac{B_1N}{B_1D_1 — B_1N} =
dfrac{B_1N}{4B_1N — B_1N} = dfrac{1}{3},.]

Рассмотрим треугольники (A_1ND_1) и (B_1NM). Так как (B_1Mparallel
A_1D_1), то (angle NB_1M = angle ND_1A_1), (angle NMB_1 = angle
NA_1D_1), следовательно, треугольники (A_1ND_1) и (B_1NM) подобны по двум углам, откуда [dfrac{B_1M}{A_1D_1} = dfrac{B_1N}{ND_1} =
dfrac{1}{3},,] следовательно, [B_1M = dfrac{1}{3}B_1C_1,,] откуда и получается доказываемое утверждение.

Треугольники (A_1B_1O) и (A_1B_1K) подобны, откуда [dfrac{B_1O}{B_1K} = dfrac{A_1B_1}{A_1K} =
dfrac{A_1B_1}{sqrt{{A_1B_1}^2 + B_1K^2}} =
dfrac{A_1B_1}{A_1B_1frac{sqrt{17}}{4}} =
dfrac{4}{sqrt{17}},,] следовательно, [mathrm{tg}, angle
B_1OM = dfrac{B_1M}{B_1O} =
dfrac{frac{1}{3}A_1B_1}{frac{1}{sqrt{17}}A_1B_1} =
dfrac{sqrt{17}}{3},,] следовательно, искомый угол равен (mathrm{arctg}, dfrac{sqrt{17}}{3}).

Ответ:

б) (mathrm{arctg}, dfrac{sqrt{17}}{3})

Решите неравенство [log_6^2 (36 — x^2) — 8log_6(36 — x^2) + 7 geqslant 0]

ОДЗ:

[begin{aligned}
36 — x^2 > 0qquadLeftrightarrowqquad xin(-6; 6)
end{aligned}]

Решим на ОДЗ. Сделаем замену (t = log_6(36 —
x^2)):

[begin{aligned}
t^2 — 8t + 7 geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad (t — 7)(t —
1)geqslant 0
end{aligned}]

1) (tleqslant 1), тогда на ОДЗ [log_6(36 — x^2)leqslant 1quadLeftrightarrowquad log_6(36 — x^2)leqslant log_6 6quadLeftrightarrowquad 36 — x^2leqslant 6quadLeftrightarrowquad x^2geqslant 30,,] откуда с учётом ОДЗ (xin (-6; -sqrt{30}]cup[sqrt{30}; 6)).

2) (tgeqslant 7), тогда на ОДЗ [log_6(36 — x^2)geqslant 7quadLeftrightarrowquad log_6(36 — x^2)geqslant log_6 6^7quadLeftrightarrowquad 36 — x^2geqslant 6^7,,] но тогда (x^2leqslant 6^2 — 6^7 < 0), чего быть не может.

В итоге ответ: [xin (-6; -sqrt{30}]cup[sqrt{30}; 6),.]

Ответ:

((-6; -sqrt{30}]cup[sqrt{30}; 6))

Окружность с центром (O) построена на боковой стороне (AB) равнобедренной трапеции (ABCD) как на диаметре. Эта окружность касается стороны (CD) и второй раз пересекает большее основание (AD) в точке (N). Точка (M) – середина (CD).

а) Докажите, что (OMDN) – параллелограмм.

б) Найдите (AD), если (angle BAD = 75^circ) и (BC = 4).

Так как (OA = ON), то (angle OAN = angle ONA), но (angle OAN =
angle MDA), следовательно, (angle ONA = angle MDA), тогда (ONparallel MD).

В итоге стороны (ON) и (MD) четырёхугольника (ONDM) параллельны и равны, следовательно, (ONDM) – параллелограмм.

б) [ND = OM = dfrac{AD + BC}{2} = dfrac{AD}{2} +
2quadRightarrowquad AN = dfrac{AD}{2} — 2,quad ND = AN + 4,.]

Пусть (B’) – проекция точки (B) на (AD), тогда [AB’ = dfrac{AD —
BC}{2} = dfrac{AD}{2} — 2 = AN,,] следовательно, точки (B’) и (N) совпадают и (BNperp AD).

Пусть радиус данной окружности равен (r), (BN = h), тогда из треугольника (ABN): [AN^2 = 4r^2 — h^2,qquad AN = dfrac{h}{mathrm{tg}, 75^circ}]

Пусть (P) – точка касания данной окружности и (CD), тогда (OPperp
CD). Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то [angle PMO = angle MON = angle ONA = angle OAN = 75^circ,.]

Таким образом, прямоугольные треугольники (POM) и (ABN) подобны по острому углу, следовательно, [dfrac{OP}{BN} = dfrac{OM}{AB}qquadRightarrowqquad dfrac{r}{h} = dfrac{AN + 4}{2r},.]

Найдём (mathrm{tg}, 75^circ) при помощи формулы тангенса половинного угла: [mathrm{tg}, 75^circ = mathrm{tg}, dfrac{150^circ}{2} = dfrac{sin 150^circ}{1 + cos 150^circ} = dfrac{frac{1}{2}}{1 — frac{sqrt{3}}{2}} = dfrac{1}{2 — sqrt{3}},.]

Тогда [AN = (2 — sqrt{3})h,qquad (2 — sqrt{3})^2h^2 = 4r^2 —
h^2,qquad dfrac{r}{h} = dfrac{(2 — sqrt{3})h + 4}{2r},,] откуда (r = hsqrt{2 — sqrt{3}}), [2r^2 = (2 — sqrt{3})h^2 + 4hquadRightarrowquad (2 — sqrt{3})h^2 = 4hquadRightarrowquad h = dfrac{4}{2 — sqrt{3}},,] тогда (AN = 4), откуда (ND = , следовательно, (AD = 12).

Ответ:

б) (12)

Компании N принадлежат две шахты в разных городах. В шахтах добываются абсолютно одинаковые минералы, но в шахте, расположенной в первом городе, используется более современное оборудование. В результате, если рабочие первой шахты трудятся суммарно (t^2) часов в день, то за день они добывают (8t) единиц минералов, а рабочие второй шахты за те же (t^2) часов в день добывают (6t) единиц минералов. За каждый час работы компания (N) платит каждому своему рабочему по (100) рублей. Компания готова выделять (1, 000, 000) рублей в день на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц минералов можно добыть за день на этих двух шахтах?

Компания N готова оплачивать (10000) часов в день.
Пусть (x^2) часов в день суммарно трудятся рабочие первой шахты,
Пусть (y^2) часов в день суммарно трудятся рабочие второй шахты, тогда [x^2 + y^2 = 10000,.]

Обозначим за (S) количество суммарно добытых за день единиц минералов, тогда [S = 8x + 6y]

Так как (y = sqrt{10000 — x^2}), то [S(x) = 8x + 6sqrt{10000 — x^2},.]

ОДЗ: (xin[-100; 100]). Необходимо найти наибольшее значение функции (S(x)) при (xin[0; 100]). [S'(x) = 8 — 6cdotdfrac{x}{sqrt{10000 — x^2}} = 0]

Критические точки функции (S(x)) – это внутренние точки её области определения, в которых её производная равна (0) или не определена. (S'(x) = 0) при (x = 80).

Ответ:

(1000)

Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых система уравнений

[begin{aligned}
begin{cases}
dfrac{(y^2 — xy + x — y)sqrt{x + 4}}{sqrt{3 — x}} = 0\
a = x + y
end{cases}
end{aligned}]

имеет ровно два различных решения

ОДЗ:

[begin{aligned}
begin{cases}
3 — x > 0\
x + 4geqslant 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad -4leqslant x < 3
end{aligned}]

Заметим, что при любом (ainmathbb{R}) у системы имеется решение [x = -4,qquad y = a + 4,,] таким образом, с учётом того, что (y
= -x + a), задача может быть переформулирована так: найти значения параметра (a), при каждом из которых на множестве ((-4; 3)) уравнение

[begin{aligned}
(-x + a)^2 — x(-x + a) + x — (-x + a) = 0quadLeftrightarrowquad
2x^2 + (2 — 3a)x + a^2 — a = 0
end{aligned}]

имеет ровно одно решение.

Решения данного уравнения: [x = dfrac{3a — 2 pm(a — 2)}{4}qquadLeftrightarrowqquad
left[
begin{gathered}
x = a — 1\
x = 0,5a,,
end{gathered}
right.] следовательно, у данного уравнения одно решение только при (a = 2). При этом это решение (x = 1) – подходит по условию, следовательно, (a = 2) идёт в ответ.

Таким образом, ответ [ain (-8; -3]cup{2}cup[4; 6),.]

Ответ:

((-8; -3]cup{2}cup[4; 6))

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной (330). В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число (17) заменили на число (71)).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в (4) раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в (2) раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Пусть (i-)ое выписанное число имеет вид (10cdot a_i + b_i), где (a_i, b_i in {1, 2, …, 9}). Для суммы (b_i) по всем значениям индекса (i), таким, что слагаемое (b_i) есть этой в сумме, используем обозначение (underset{i}{Sigma} b_i). Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид [underset{i}{Sigma} (10a_i + b_i) =
10cdotunderset{i}{Sigma} a_i + underset{i}{Sigma} b_i.] Обозначим (A = underset{i}{Sigma} a_i), (B = underset{i}{Sigma}
b_i), тогда (330 = 10cdot A + B).

После смены мест цифр (i-)ое полученное число имеет вид (10cdot b_i
+ a_i). Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид [underset{i}{Sigma} (10b_i + a_i) = 10cdotunderset{i}{Sigma}
b_i + underset{i}{Sigma} a_i = 10cdot B + A.]

а) Увеличение суммы в (4) раза равносильно тому, что новая сумма равна (330cdot 4 = 1320), что равносильно (10cdot B + A = 1320). Рассмотрим систему

[begin{aligned}
begin{cases}
10cdot A + B = 330\
A + 10cdot B = 1320
end{cases}
end{aligned}]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что (9cdot B — 9cdot
A = 990), откуда (B = 110 + A). Подставляя это в первое уравнение системы, находим (A = 20), тогда (B = 130).

Попробуем брать в качестве (b_i) (9), пока их сумма не превосходит (130) – так можно положить [b_1 = … = b_{14} = 9,quad b_{15} =
130 — 14cdot 9 = 4,] то есть в сумме (15) слагаемых. Тогда можно положить [a_1 = … = a_{14} = 1,quad a_{15} = 20 — 14cdot 1 =
6.]

б) Увеличение суммы в (2) раза равносильно тому, что новая сумма равна (330cdot 2 = 660), что равносильно (10cdot B + A = 660). Рассмотрим систему

[begin{aligned}
begin{cases}
10cdot A + B = 330\
A + 10cdot B = 660
end{cases}
end{aligned}]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что (9cdot B — 9cdot
A = 330), но (330) не делится на (9), следовательно, такой случай не возможен.

в) Пусть сумма полученных чисел равна (S), что равносильно системе

[begin{aligned}
begin{cases}
10cdot A + B = 330\
A + 10cdot B = S
end{cases}
end{aligned}]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что [9cdot B —
9cdot A = S — 330,] откуда [B = dfrac{S}{9} — dfrac{110}{3} +
A.] Подставляя это в первое уравнение системы, находим [A =
dfrac{100}{3} — dfrac{S}{99},] откуда в частности следует, что [dfrac{S}{99} = s + dfrac{1}{3},] то есть (S = 99s + 33) для некоторого целого неотрицательного (s), тогда (A = 33 — s), (B =
10s).

Покажем, что (B < 170):
в самом деле, если бы было (Bgeqslant 170), тогда число слагаемых в исходной сумме было бы не менее, чем (19) (так как (18cdot 9 <
170)), но тогда [10cdot A + B geqslant 190 + 170 > 330.]

Так как (B < 170), то (10s < 170), то есть (sleqslant 16).

При (s = 16) получим (A = 17), (B = 160), но даже (17cdot 9 = 153 < B), а количество чисел не может быть больше, чем (17 (= A)), следовательно, (sleqslant 15).

При (s = 15) получим (A = 18), (B = 150)

Аналогично примеру из пункта а) построим решение:

Попробуем брать в качестве (b_i) (9), пока их сумма не превосходит (150) – так можно положить [b_1 = … = b_{16} = 9,quad b_{17} =
150 — 16cdot 9 = 6,,] то есть в сумме (17) слагаемых. Тогда можно положить [a_1 = … = a_{16} = 1quad a_{17} = 18 — 16cdot 1 =
2,] итого, искомая сумма (16times 19 + 26), максимальная (S =
99cdot 15 + 33 = 1518).

Ответ:

а) (14times 19 + 64), где запись (14times 19) означает сумму из (14) слагаемых, каждое из которых равно (19)

б) Нет

в) (1518)