Егэ 2019 математика 19 задание - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Статьи

Среднее общее образование

Геометрия

Математика

Алгебра

Предлагаем вашему вниманию разбор 19 задания ЕГЭ-2019 года по математике (профильный уровень).
Этот материал содержит пояснения и подробный алгоритм решения, а также рекомендации по использованию справочников и пособий, которые могут понадобиться при подготовке к ЕГЭ.

27 сентября 2018

Задание

На доске записан ряд натуральных чисел a₁, a₂, …, an (где n ≥ 7 ). Сумма каждых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из данного ряда равна 100.

а) Может ли на доске быть записано 35 чисел?

б) Может ли на доске быть записано 50 чисел?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть в ряду?

ЕГЭ-2020. Математика. Сборник заданий: 500 заданий с ответами

Книга содержит задания разных типов и уровней сложности по темам, знание которых проверяется на ЕГЭ, а также комментарии к ним. Ко всем заданиям приводятся ответы. Поможет потренироваться в выполнении заданий, повторить пройденный материал и эффективно подготовиться к сдаче ЕГЭ.

Купить

Решение

а) Если 35 чисел сгруппировать по 7 чисел, то получится 5 групп, причем сумма чисел каждой группы не превосходит 14. Следовательно, сумма всех 35 чисел, не превосходит 70. Значит 35 чисел записать нельзя.

б) Ряд из пятидесяти двоек удовлетворяет условиям задачи.

в) Предположим, что на доске записано не больше 49 чисел. Тогда ряд чисел можно разделить на группы, в каждой из которых не более 7 элементов. Таких групп будет не более 7. Значит и сумма всех чисел не более 98. Противоречие. Ответ: нет.

#ADVERTISING_INSERT#

Источник

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Версия для печати и копирования в MS Word

Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.

а)  Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?

б)  Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?

в)  Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше чем другой?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя  — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.

а)  Могло ли быть в сборнике 85 задач?

б)  Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?

в)  Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

Вася и Петя решают задачи из сборника. Они начали решать задачи в один и тот же день, и решили в этот день хотя бы по одной задаче каждый. Вася решал в каждый следующий день на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя  — на две задачи больше, чем предыдущий день. В итоге каждый из них решил все задачи из сборника.

а)  Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за пять дней?

б)  Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за десять дней?

в)  Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день Вася решил больше задач чем Петя, а за 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася?

Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.

а)  Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?

б)  Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?

в)  Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася?

Склад представляет собой прямоугольный параллелепипед с целыми сторонами, контейнеры  — прямоугольные параллелепипеды с размерами 1×1×3 м. Контейнеры на складе можно класть как угодно, но параллельно границам склада.

а)  Может ли оказаться, что полностью заполнить склад размером 120 кубометров нельзя?

б)  Может ли оказаться, что на склад объемом 100 кубометров не удастся поместить 33 контейнера?

в)  Пусть объем склада равен 800 кубометров. Какой процент объема такого склада удастся гарантировано заполнить контейнерами при любой конфигурации склада?

Последовательность натуральных чисел (a_n) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.

а)  Может ли последовательность (a_n) содержать ровно 5 различных чисел?

б)  Чему может равняться a_1, если

в)  Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности (a_n)?

Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.

а)  Может ли быть 10 синих карточек?

б)  Может ли быть 10 красных карточек?

в)  Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.

а)  Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в)  Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

В ящике лежат 68 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 944 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1016 г.

а)  Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике оказаться ровно 15 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в)  Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г.

а)  Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в)  Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждые из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.

а)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 8. Может ли n быть больше 7?

б)  Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 4, среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4,5?

в)  Известно, что n=4. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?

б)  Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?

в)  Известно, что n  =  6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?

Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а)  Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26?

б)  Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?

Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму  — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма  — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел равно Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов  — различные целые числа.

а)  Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?

б)  Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?

в)  При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?

Квадратное уравнение имеет два различных натуральных корня.

а)  Пусть q = 55. Найдите все возможные значения p.

б)  Пусть Найдите все возможные значения q.

в)  Пусть Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Квадратное уравнение имеет два различных натуральных корня.

а)  Пусть q = 34. Найдите все возможные значения p.

б)  Пусть Найдите все возможные значения q.

в)  Пусть Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1×1×3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.

а)  Могло ли получиться так, что склад объёмом 150 невозможно полностью заполнить контейнерами?

б)  Могло ли получиться так, что на складе объёмом 400 невозможно разместить 133 контейнера?

в)  Какой наибольший процент объёма любого склада объёмом не менее 200 гарантированно удастся заполнить контейнерами?

Последовательность (a_n) состоит из 100 натуральных чисел. Каждый следующий член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше него на 90.

а)  Может ли такая последовательность быть образована ровно четырьмя различными числами?

б)  Чему может быть равно а₁₀₀, если a₁  =  89?

в)  Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел в такой последовательности?

Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.

Источник

09
Июн 2019

Категория: 18 (С7) Числа, их свойстваЕГЭ (диагностич. работы)

2019-06-09
2020-06-17

Условия заданий 1-19, ответы

Разбор заданий №13; №14; №15; №16; №17; №18

19. Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.
а) Может ли быть 10 синих карточек?
б) Может ли быть 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

Решение:

Пусть есть синих карточек. Тогда красных – штук.

Согласно условию сумма чисел с карточек равна

Упорядочим числа с синих карточек:

Упорядочим числа с красных карточек: $a_{n+1}geq a_{n+2}geq ...geq a_{50}.$ Согласно условию $a_n>a_{n+1}.$

После увеличения чисел на синих карточках имеем:

$2(a_1+a_2+...+a_n)+a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{50}=1560.$

a) Проверим, может ли быть синих карточек.

имеем

$(a_1+a_2+...+a_{10})+(a_{11}+a_{12}+...+a_{50})=800$ (1)

$2(a_1+a_2+...+a_{10})+(a_{11}+a_{12}+...+a_{50})=1560$ (2)

Откуда, вычитая (1) из (2), получаем:

$a_1+a_2+...+a_{10}=760$ и $a_{11}+a_{12}+...+a_{50}=40.$

Пусть $a_{11}=a_{12}=...=a_{50}=1,$ и числа с синих карточек, например, такие:

Может быть синих карточек.

б) Проверим, может ли быть красных карточек.

имеем

$a_1+a_2+...+a_{40}=760$ и $a_{41}+a_{42}+...+a_{50}=40.$

Поскольку любое число на синей карточке больше, чем любое на красной, то самое маленькое возможное значение числа с синей карточки – это Даже если далее все числа с синих карточек отличаются, будучи упорядоченными, друг от друга на то их сумма оказывается как минимум то есть что противоречит условию.

Не может быть красных карточек.

в) Выясним какое наибольшее количество синих карточек может быть, то есть найдем наибольшее значение при данных условиях.

Имеем

$a_1+a_2+...+a_{n}=760$ и $a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{50}=40.$

$760=a_1+a_2+...+a_{n}geq a_n+(a_n+1)+...+(a_n+n-1)=ncdot a_n+frac{n(n-1)}{2}.$

Откуда

Заметим, как уже нами было показано, синих карточек, как минимум, может быть Если их больше десяти, то

Откуда

$(n-frac{-5+sqrt{6105}}{2})(n-frac{-5-sqrt{6105}}{2})leq 0.$

Откуда

$nleq frac{-5+sqrt{6105}}{2},$

Пусть Учитывая, что $a_{37}+a_{38}+...+a_{50}=40$ , имеем:

Даже если $a_1+a_2+...+a_{n}=4+5+...+39=774,$ то приходим к противоречию с тем, что $a_1+a_2+...+a_{n}=760.$

Пусть

Находится подходящий вариант:

$a_1=4,a_2=5,...,a_{34}=37,a_{35}=63,$

$a_{36}=a_{37}=...=a_{47}=3,a_{48}=2,a_{49}=a_{50}=1.$

Ответ: а) да; б) нет; в)

Автор: egeMax |

комментария 2

Печать страницы

Источник

Переливаем на 4 балла

На едином государственном экзамене по математике «добавили воды». В последнем сборнике «ЕГЭ 2019: Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ и 800 заданий» появилась новая задача олимпиадного уровня на переливания. Рассмотрим вариант №3, задание под номером 19.

Задача. У Жени нет источника воды, но есть три ведра различных объёмов, в двух их которых есть вода. За один шаг Женя переливает воду из ведра, в котором она есть, в другое ведро. Переливание заканчивается в тот момент, когда или первое ведро опустеет, или второе ведро заполнится. Выливать воду из ведер запрещается.

а) Мог ли Женя через несколько шагов получить в одном из вёдер ровно 6 л воды, если сначала у него были ведра объёмами 5 л и 8 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом 9 л?

б) Мог ли Женя через несколько шагов получить равные объёмы воды во всех ведрах, если сначала у него были ведра объёмами 7 л и 8 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом 10 л?

в) Сначала у Жени были ведра объёмами 5 л и 10 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом n литров. Какое наибольшее натуральное значение может принимать n, если известно, что как бы ни старался Женя, он не сможет получить через несколько шагов ровно 6 л воды в одном из вёдер?

Решение.

а) Составим таблицу переливаний

Переливание	5 л ведро	8 л ведро	9 л ведро
Начальное состояние	5	8	0
1	5	0	8
2	4	0	9
3	4	8	1
4	5	7	1
5	0	7	6

б) Если сначала у Жени были ведра объёмами 7 л и 8 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом 10 л, то он не может получить равные объёмы воды во всех ведрах, так как на каждом шаге у него должно быть либо одно полное ведро, либо одно пустое.

в) Рассмотрим случай n =15. Составим таблицу возможных переливаний

Переливание	5 л ведро	1 л ведро	15 л ведро
Начальное состояние	5	10	0
1	0	10	5
2	0	0	15
3	5	0	10
4	0	5	10
5	5	5	5

Мы перебрали все возможные варианты. Получить 6 л воды в одном ведре невозможно. Переливая (то есть складывая или вычитая) объёмы, кратные числу 5, в вёдра, объёмы которых тоже кратны 5, мы получаем числа, кратные 5, поэтому получить 6 литров невозможно.

Заметим, что если взять n 15, то таблица переливаний полностью повторится, так как в третье ведро входит вся вода и в третье ведро невозможно налить более 15 л. Таким образом, для любого натурального n ≥ 15 Женя не сможет получить через несколько шагов ровно 6 л воды в одном из вёдер. Наибольшего соответствующего натурального значения n , не существует. Наименьшее – 15.

В сборнике приведён ответ: n = 14, но это наибольшее значение n, при котором можно набрать 6 литров. Покажем это, составим таблицу переливаний

Переливание	5 л ведро	10 л ведро	14 л ведро
Начальное состояние	5	10	0
1	5	0	10
2	1	0	14
3	0	1	14
4	5	1	9
5	0	6	9

ОТВЕТ: а) да; б) нет; в) наибольшего натурального значения n не существует.

В вышеназванном сборнике приведено решения 19 задания из первого варианта.

Задача 2. У Бори нет источника воды, но есть три ведра различных объёмов, в двух их которых есть вода. За один шаг Боря переливает воду из ведра, в котором она есть, в другое ведро. Переливание заканчивается в тот момент, когда или первое ведро опустеет, или второе ведро заполнится. Выливать воду из ведер запрещается.

а) Мог ли Боря через несколько шагов получить в одном из вёдер ровно 2 л воды, если сначала у него были ведра объёмами 4 л и 7 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом 8 л?

б) Мог ли Боря через несколько шагов получить равные объёмы воды во всех ведрах, если сначала у него были ведра объёмами 5 л и 7 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом 10 л?

в) Сначала у Боря были ведра объёмами 3 л и 6 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом n л. Какое наибольшее натуральное значение может принимать n, если известно, что как бы ни старался Боря, он не сможет получить через несколько шагов ровно 4 л воды в одном из вёдер?

Попробуйте решить ее самостоятельно.

Источник

Эта задача появилась на Тренировочной работе 18 декабря 2019 года для 11-го класса.

Необычная задача. Очевидно одно – что «перебирать» возможные варианты не имеет смысла – их будет слишком много. Как же ее решить?

Известно, что a, b, c, d, e и f — это числа 2, 3, 4, 5, 6 и 8, расставленные без повторений в некотором, возможно, ином порядке.

а) Может ли выполняться равенство: $frac{a}{b}+frac{c}{d}+frac{e}{f}=frac{13}{2}$ ?

б) Может ли выполняться равенство: $frac{a}{b}+ frac{c}{d}+ frac{e}{f}=frac{481}{120}?$

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма $frac{a}{b}+ frac{c}{d}+ frac{e}{f}$ ?

Решение:

а) Да, может. Пример: $frac{5}{2} + frac{6}{3} + frac{8}{4} = frac{13}{2}.$

б) Нет, не может. Докажем это.

Предположим, что $frac{a}{b}+ frac{c}{d}+ frac{e}{f}=frac{481}{120}$ .

Мы сложили три дроби и получили дробь со знаменателем 120.

Заметим, что Значит, у одной из дробей знаменатель был равен 5, у другой – кратный трем, то есть равен 3 или 6, а у третьей равен 2^3 , то есть 8.

Действительно, число 120 является наименьшим общим кратным для чисел 3, 5, 8 и для чисел 5, 6, 8, принадлежащих исходному набору чисел. Рассмотрим оба этих варианта. И запишем выражение $frac{a}{b}+frac{c}{d}+frac{e}{f}$ как $frac{adf+cbf+ebd}{bdf}$ . Просто привели три дроби к одному знаменателю.

Пусть то есть b = 3, d = 5, f = 8.
Получим: $frac{a}{b}+frac{c}{d}+frac{e}{f}=frac{a}{3}+frac{c}{5}+frac{e}{8}=frac{40a+24c+15e}{120}$ .

Если , то оставшиеся три числа из набора – это 2, 4 и 6. Получим: $frac{40a+24c+15e}{120}= frac{15 left(a+c+eright)+9left(c+eright)+16e}{120} le frac{15 left(2+4+6right)+9left(4+6right)+16cdot6}{120},$ то есть $frac{a}{3}+ frac{c}{5}+ frac{e}{8}leq frac{180+90+96 }{120}=frac{366}{120}textless frac{481}{120}.$
Пусть . В этом случае $frac{a}{b}+frac{c}{d}+frac{e}{f}=frac{a}{6}+frac{c}{5}+frac{e}{8}=frac{20a+24c+15e}{120}=frac{15left(a+b+cright)+5left(a+cright)+4c}{120}$ . Если b = 6, d = 5, f = 8, то оставшиеся три числа из набора – это 2, 3 и 4. Тогда $frac{15left(a+c+eright)+5left(a+cright)+4c}{120} le frac{15left(2+3+4right)+5left(3+4right)+4cdot4}{120}$ , то есть $frac{a}{b}+ frac{c}{ d}+ frac{e}{f} leq frac{186}{120} textlessfrac{481}{120}.$

Значит, мы не сможем получить $frac{481}{120}.$

Заметим, что самое большое из наименьших общих кратных чисел 2, 3, 4, 5, 6 и 8 – это число 120. Значит, наибольший общий знаменатель для дроби $frac{adf+cbf+ebd}{bdf}$ равен 120.

в) Найдем наименьшее значение суммы $frac{a}{b}+ frac{c}{d}+ frac{e}{f}$ .

$frac{a}{b}+frac{c}{d}+frac{e}{f}=frac{adf+cbf+ebd}{bdf}geq frac{adf+cbf+ebd}{120}$ , так как наибольший возможный общий знаменатель для дробей со знаменателями 2, 3, 4, 5, 6 и 8 – это 120.

Наименьшее общее кратное чисел b, d, f, принадлежащих нашему набору, равно 120 в следующих случаях:

1) Если b = 3, d = 5, f = 8.

2) Если b = 6, d = 5, f = 8.

В первом случае оставшиеся три числа из набора – это 2, 4 и 6. Получим:

Во втором случае оставшиеся три числа из набора – это 2, 3 и 4. Получим:.

Значит, $frac{a}{b}+frac{c}{d}+frac{e}{f} geq frac{7}{5}.$ Это оценка. Приведем пример, когда $frac{a}{b}+frac{c}{d}+frac{e}{f}=frac{7}{5}.$
$frac{3}{6}+ frac{2}{5}+ frac{4}{8}=frac{7}{5}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Тренировочная работа 18 декабря 2019 года. Задача 19» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

В задании 19 базового уровня предложены задачи на тему «Делимость натуральных чисел». Чтобы решить такую задачу, надо хорошо знать признаки делимости натуральных чисел.

Признаки делимости.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 5, 25, 10, 100, 1000.

1. Признак делимости на 2
. Число делится на 2, если его последняя цифра — ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два — нечётными.

2. Признак делимости на 4
. Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.

3. Признак делимости на 8
. Число делится на 8, если три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

4. Признаки делимости на 3
и 9
. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

5. Признак делимости на 6
. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

6. Признак делимости на 5
. Число делится на 5, если его последняя цифра — ноль или 5.

7. Признак делимости на 25
. Число делится на 25, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25.

8. Признак делимости на 10
. Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

9. Признак делимости на 100
. Число делится на 100, если две его последние цифры — нули.

10. Признак делимости на 1000
. Число делится на 1000, если три его последние цифры -нули.

11. Признак делимости на 11
. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11. (Например, 12364 делится на 11, т.к. 1+3+4=2+6.)

За-да-ние 19 (1).
При-ве-ди-те при-мер трёхзнач-но-го числа, сумма цифр ко-то-ро-го равна 20, а сумма квад-ра-тов цифр де-лит-ся на 3, но не де-лит-ся на 9.

Решение.

Раз-ло-жим число 20 на сла-га-е-мые раз-лич-ны-ми спо-со-ба-ми:

1) 20 =
9 + 9 + 2

2) 20 = 9 + 8 + 3

3) 20 = 9 + 7 + 4

4) 20 = 9 + 6 + 5

5) 20 = 8 + 8 + 4

6) 20 = 8 + 7 + 5.

Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не делится на 9?

Замечаем, что, если в разложении 2 числа делятся на 3, то сумма квадратов на 3 не делится.

9 2 +9 2 +2 2 не делится на 3

При раз-ло-же-нии спо-со-ба-ми (1)−(4) суммы квад-ра-тов чисел не делятся на 3.

При раз-ло-же-нии спо-со-бом (5) сумма квад-ра-тов делится на 3 и на 9.

Раз-ло-же-ние ше-стым спо-со-бом удо-вле-тво-ря-ет усло-ви-ям за-да-чи. Таким об-ра-зом, усло-вию за-да-чи удо-вле-тво-ря-ет любое число, за-пи-сан-ное циф-ра-ми 5, 7 и 8, на-при-мер, числа 578 или 587 или 785 и т.д.

Читалова Светлана Николаевна
Должность:
учитель математики
Учебное заведение:
МБОУ СШ№23 с углубленным изучением отдельных предметов
Населённый пункт:
Нижегородская область, город Дзержинск
Наименование материала:
презентация
Тема:
«Задание №19. ЕГЭ. Математика (базовый уровень)»
Дата публикации:
14.05.2016
Раздел:
полное образование

Задание №19.

ЕГЭ. Математика

(базовый уровень)

Читалова Светлана Николаевна

учитель математики,

МБОУ СШ №23

с углубленным изучением отдельных

предметов,

Характеристика задания

Задание №19 (1 балл) –

базовый уровень.

преобразования.

Задание №19 (1 балл) –

базовый уровень.

Проверяет умение выполнять вычисления и

преобразования.

Время выполнения задания 16 минут.

В задании предложены задачи на тему

«Делимость натуральных чисел».

Чтобы решить такую задачу, надо знать

признаки делимости натуральных чисел,

свойства делимости чисел и другие сведения.

делится на 4.

делится на 11.

На 2: Число делится на 2 тогда и только тогда, когда

оно оканчивается четной цифрой.

На 3: Число делится на 3 тогда и только тогда,

когда сумма его цифр делится на 3.

На 4: Число делится на 4 тогда и только тогда, когда

число, образованное его двумя последними цифрами,

делится на 4.

На 5: Число делится на 5 тогда и только тогда,

когда оно оканчивается цифрой 0 или 5.

На 8: Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное его тремя

последними цифрами, делится на 8.

На 9: Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

На 10: Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой 0.

На 11: Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой

цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах,

делится на 11.

На 25: Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя

последними цифрами, делится на 25.

Признаки делимости:

чисел

таких, что

а = в q + r, где 0 ≤ r ≤ в.

Свойство делимости: Если натуральное число делится на каждое из

двух взаимно простых чисел, то оно делится на их произведение.

Определение. Натуральные числа называют

взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без

остатка числа а и в, называют наибольшим общим делителем этих

чисел

Свойство делимости: Если в сумме целых чисел каждое слагаемое

делится на некоторое число, то сумма делится на это число.

Теорема о делении с остатком: Для любого целого числа а и

натурального числа в существует единственная пара целых чисел q и r

таких, что

а = в q + r, где 0 ≤ r ≤ в.

Определение. Средним арифметическим нескольких чисел называют

частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Теоретические сведения:

но не делится на 9.

Приведите пример трехзначного числа, сумма цифр

которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3,

но не делится на 9.

Задача №1 (демо–версия 2016г)

на3 и не делится на 9.

Решение. Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

20= 9+9+2; 2) 20= 9+8+3; 3) 20=9+7+4;

20=9+6+5; 5) 20=8+8+4; 6) 20= 8+7+5

Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она

на3 и не делится на 9.

1) 81+81+4 =166 не дел на3; 2) 81+64+9 =154 не дел на3;

3) 81+49+16 =146 не дел на3; 4) 81+36+25=142 не дел на3;

5) 64+64+16=144 дел на 3 и 9;

6) 64+49+25= 138 дел на 3,но не дел на 9

Разложение (6) удовлетворяет условию задачи. Таким образом, условию

задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5,7,8.

Ответ. 578, 587,758,785,857,875

Приведите пример трехзначного числа, сумма цифр

но не делится на 4.

Приведите пример трехзначного числа, сумма цифр

которого равна 24, а сумма квадратов цифр делится на 2,

но не делится на 4.

Задача №2

делится на 9.

9,9,6 и 9,8,7.

Решение. Пусть авс – искомое число. Так как а+в+с=24,

то среди цифр а, в, с либо две нечетные, либо ни одной.

Если все цифры а, в, с четны, то сумма их квадратов делится на 4, а это противоречит

условию задачи, значит, среди цифр а, в, с две нечетных. Разложим число 24 на

слагаемые: 24=9+9+6, 24=9+8+7.

Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не

делится на 9.

81+81+36= 198 дел на 2,но не дел на 4

81+64+49= 194 дел на 2,но не дел на 4

Разложение (1), (2) удовлетворяют условию задачи. Таким образом,

условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами

9,9,6 и 9,8,7.

Ответ. 996, 969, 699, 987, 978, 897, 879, 798, 789

квадратов цифр делится 5

Приведите пример трехзначного числа,

сумма цифр которого равна 22, а сумма

квадратов цифр делится 5

Задача №3

Ответ. 589,598,985,958,895,859

направо.

Приведите пример трехзначного натурального числа, большего

600, которое при делении на 3, на4, на 5 дает в остатке 1 и

цифры которого расположены в порядке убывания слева

направо.

В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача №4

проверим при к=10.

направо.

Ответ. 721

Решение. Пусть А – искомое число. Так как оно делится на 3,4,5, то оно делится на

3х4х5= 60 и при делении дает остаток 1, значит А=60к+1. Так как А больше 600, то

проверим при к=10.

Если к=10,то А=601, цифры в этом числе не расположены в порядке убывания слева

направо.

Если к=11, то А=661 цифры в этом числе не расположены в порядке убывания слева

направо.

Если к=12, то А=721 цифры в этом числе расположены в порядке убывания слева

направо, а значит это число удовлетворяет условию задачи.

Ответ. 721

Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при

делении на 7 и на 5 дает равные ненулевые остатки, а первая слева

цифра которого является средним арифметическим двух других цифр.

Если таких чисел несколько, в ответе укажите наименьшее из них

Задача №5

< r < 5.

выполнено.

Решение. Пусть А – искомое число. Так как оно делится на 7 и 5, то оно делится на 7х5=

35 и при делении дают равные ненулевые остатки, значит А= 35к+ r, где 0 < r < 5.

Если к= 3,то А=106, 107, 108, 109 первая слева цифра в этих числах не равна среднему

арифметическому двух других цифр. Если первая цифра 1, то условие не будет

выполнено.

Если к= 6, то А= 211, 212, 213, 214 первая слева цифра в числе 213 равна среднему

арифметическому двух других цифр, значит это число удовлетворяет заданному условию

и является наименьшим. Ответ. 213

Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при

цифра которого является средним арифметическим двух других цифр.

Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при

делении на 9 и на 10 дает равные ненулевые остатки, а первая слева

цифра которого является средним арифметическим двух других цифр.

Если таких чисел несколько, в ответе укажите наибольшее из них

Задача №6

Задача №7

одно такое число.

Найдите трехзначное натуральное число, большее 400, которое

при делении на 6 и на 5 дает равные ненулевые остатки, а

первая слева цифра которого является средним

арифметическим двух других цифр.В ответе укажите ровно

одно такое число.

Ответ. 453

Ответ. 546

чисел несколько, в

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое

записывается только цифрами 2 и3 и делится на 24. Если таких

чисел несколько, в

ответе укажите наименьшее из них.

Задача №8

Решение.

Ответ. 233232

Решение.

Пусть А – искомое число. Так как оно делится на

24= 3х8, то оно делится на 3 и на 8. Согласно признаку делимости на 8,

получаем, что последние три цифры 232. Эти цифры в сумме дают

Согласно признаку делимости на 3, сумма первых трех цифр может

составлять 2(не подходит), 5 (не подходит), 8 (комбинации цифр

3,3,2). Так как число должно быть наименьшим, то 233232

Ответ. 233232

одно получившееся число.

Вычеркните в числе 54263027 три цифры так, чтобы

получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно

одно получившееся число.

Задача №8

Решение.

Пусть А – искомое число. Так как оно делится на

числа равна 5+4+2+6+3+0=20

Ответ. 54630 или 42630.

Решение.

Пусть А – искомое число. Так как оно делится на

15= 3х5, то оно делится на 3 и на 5. Согласно признаку делимости на 5,

получаем, что нужно вычеркнуть две последние цифры, получим число

542630. Из этого числа надо вычеркнуть 1 цифру. Сумма цифр этого

числа равна 5+4+2+6+3+0=20

Согласно признаку делимости на 3, надо вычеркнуть 2 (сумма цифр

будет18) или 5(сумма цифр будет 15)

Ответ. 54630 или 42630.

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое

записывается только цифрами

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое

записывается только цифрами

2 и 4 и делится на 36. Если таких чисел несколько,

в ответе укажите наибольшее из них.

Задача №9

Ответ. 442224

Вычеркните в числе 84537625 три цифры так, чтобы

получившееся число делилось на 12. В ответе укажите

ровно одно получившееся число.

Задача №10

Ответ. 84576

стер Коля?

На доске было написано пятизначное число, делящееся на

55 без остатка. Мимо бежал Коля, стер одну цифру, а

вместо нее нарисовал *. Получилось 404*0. Какую цифру

стер Коля?

Задача №11

Решение.

40400= 55х734+30, значит

10а+30=55к

Если к= 2, то 10а=80, а=8

а ≥ 13,5

(а -не является цифрой)

Ответ. 8.

Решение.

Пусть а – искомая цифра. Тогда число можно представить в виде:

404а0 = 40400+10а. Так как остаток от деления 40400 на 55 равен 30,

40400= 55х734+30, значит

404а0 = 40400+10а= 55х734+30+ 10а, т.е 40400 +10а делится нацело на

55 в том и только том случае, если 10а+30 делится нацело на 55,т.е

10а+30=55к

Если к= 1, то 10а=25, а=2,5 (не является цифрой)

Если к= 2, то 10а=80, а=8

Если к≥3, то 10а=55к ─30, будет не меньше, чем 135,

а ≥ 13,5

(а -не является цифрой)

Ответ. 8.

которых сумма цифр равна 3?

Сколько существует трехзначных чисел, у

которых сумма цифр равна 3?

Задача №12

Ответ. 6.

Решение. Пусть авс – искомое число. Так как а+в+с=3,

то простым перебором вариантов (рассматривая

поочередно случаи а=1,а=2,а=3), получаем числа

120,102,111,210,201,300, т.е их количество равно 6.

Ответ. 6.

стер Петя?

На доске было написано пятизначное число, делящееся

на 41без остатка. Мимо бежал Петя, стер одну цифру, а

вместо нее нарисовал *. Получилось 342*6. Какую цифру

стер Петя?

Задача №13

Ответ. 7

Задача №14

цифр равна 4?

Сколько существует трехзначных чисел, у которых сумма

цифр равна 4?

Ответ. 10

Список литературы:

образование, 2016г

Математика. Подготовка к ЕГЭ 2016.

Базовый уровень./ Д.А. Мальцев, А.А.

Мальцев, Л.И.Мальцева/- М: Народное

образование, 2016г

2. Демо — версия 2016г (сайт ФИПИ)

Сайт «Решу ЕГЭ» Дмитрия Гущина

Алгебра 8класс: учебник для учащихся общеобразовательных

организаций/ Ю.Н.Макарычев и др./- М: Мнемозина,2015

Математика 5,6 класс: учебники для общеобразовательных

учреждений/ Н.Я.Виленкин и др. /- М: Мнемозина,2015

Спасибо за внимание!!!

19 задание в профильном уровне ЕГЭ по математике направлено на выявление у учеников способности оперировать числами, а именно их свойствами. Это задание наиболее сложное и требует нестандартного подхода и хорошего знания свойств чисел. Перейдем к рассмотрению типового задания.

Разбор типовых вариантов заданий №19 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Алгоритм решения:

Вводим переменные k, l
, m.
Находим сумму набора чисел.
Отвечаем на пункт а).
Определяем, каких чисел больше (пункт б)).
Определяем, сколько положительных чисел.

Решение:

1. Пусть среди записанных на доске чисел положительных k. Отрицательных чисел l
и нулевых m.

2. Сумма выписанных чисел равна их количеству в данной записи на доске, умноженному на среднее арифметическое. Определяем сумму:

4k −8l
+ 0⋅m = − 3(k + l
+m)

3. Заметим, что слева в приведенном только что равенстве каждое из слагаемых делится на 4, потому сумма количества каждого типа чисел k + l
+ m тоже делится на 4. По условию общее число записанных чисел удовлетворяет неравенству:

40 < k + l
+ m < 48

Тогда k + l
+ m = 44, потому что 44 единственное между 40 и 48 натуральное число, которое делится на 4.

Значит, написано на доске всего 44 числа.

4. Определяем, чисел какого вида больше: положительных или отрицательных. Для этого приведем равенство 4k −8l = − 3(k + l
+m) к более упрощенному виду: 5l
= 7k + 3m.

5. m≥ 0. Отсюда вытекает: 5l
≥ 7k, l
> k. Получается, что отрицательных чисел записано больше положительных. Подставляем вместо k + l
+ m число 44 в равенство

4k −8l = − 3(k + l
+ m).

4k − 8l
= −132, k = 2l
− 33

k + l
≤ 44, тогда получается: 3l
− 33 ≤ 44; 3l
≤ 77; l
≤ 25; k = 2l
− 33 ≤17. Отсюда приходим к выводу, что положительных чисел не более 17.

Если же положительных чисел всего 17, то на доске 17 раз записано число 4, 25 раз – число −8 и 2 раза записано число 0. Такой набор отвечает всем требованиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Второй вариант 1 (из Ященко, №1)

На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 1062.

а) Может ли на доске быть ровно 27 чётных чисел?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?

Алгоритм решения:

Приведем пример набора чисел, который удовлетворяет условию (Это подтверждает возможность набора чисел).
Проверяем вероятность второго условия.
Ищем ответ на третий вопрос, введя переменную n.
Записываем ответы.

Решение:

1. Такой примерный перечень чисел на доске соответствует заданным условиям:

3,13,23,33,43,53,63,73,2,4,6,…,50,52,56

Это дает положительный ответ на вопрос а.

2. Пусть на доске написано ровно два числа, у которых последняя цифра 3. Тогда там записано 33 чётных числа. Их сумма:

Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 1062, то есть, утвердительного ответа на вопрос б нет.

3. Полагаем, что на доске записано n чисел, которые оканчиваются на 3, и (35 – n)из выписанных чётные. Тогда сумма чисел, которые оканчиваются на 3, равна

а сумма чётных:

2+4+…+2(35 – n)=(35 – n)(36 – n)= n 2 -71 n+1260.

Тогда из условия:

Решаем получившееся неравенство:

Получается, что . Отсюда, зная, что n — натуральное, получаем .

3. Наименьшее число чисел, оканчивающихся на 3, может быть только 5. И добавлено 30 чётных чисел, тогда сумма всех чисел нечётна. Значит, чисел, которые оканчиваются на 3, больше. чем пять, поскольку сумма по условию равна четному числу. Попробуем взять 6 чисел, с последней цифрой 3.

Приведём пример, когда 6 чисел, оканчиваются на три, и 29 чётных чисел. Сумма их равна 1062. Получается такой список:

3, 13, 23, 33, 43, 53, 2, 4, …, 54, 56, 82.

Ответ:
а) да; б) нет; в) 6.

Третий вариант (из Ященко, №4)

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1173 фотографии больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 17 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 18 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 45 фотографий?

Алгоритм решения:

Ответим на вопрос а).
Найдем ответ на вопрос б).
Найдем суммарное количество фотографий, сделанных Наташей.
Запишем ответ.

Решение:

1. Если Маша сделала m фотографий в 1-й день, то за 17 дней она сфотографировала снимков.

ЕГЭ по математике профильный уровень

Работа состоит из 19 заданий.
Часть 1:
8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности.
Часть 2:
4 задания с кратким ответом
7 заданий с развернутым ответом высокого уровня сложности.

Время выполнения — 3 часа 55 минут.

Примеры заданий ЕГЭ

Решение заданий ЕГЭ по математике.

Для самостоятельного решения:

1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек.
Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 12625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12802 киловатт-часа.
Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?
Ответ дайте в рублях.

В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек.
Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг.
Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Маша отправила SMS-сообщения с новогодними поздравлениями своим 16 друзьям.
Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 30 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Маши было 30 рублей.
Сколько рублей останется у Маши после отправки всех сообщений?

В школе есть трехместные туристические палатки.
Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское).
Сколько часов поезд находится в пути?

Решите уравнение:

1/cos 2 x + 3tgx — 5 = 0

Укажите корни,
принадлежащие отрезку (-п; п/2).

Решение:

1) Запишем уравнение так:

(tg 2 x +1) + 3tgx — 5 = 0

Tg 2 x + 3tgx — 4 = 0

tgx = 1 или tgx = -4.

Следовательно:

X = п/4 + пk или x = -arctg4 + пk.

Отрезку (-п; п/2)

Принадлежат корни -3п/4, -arctg4, п/4.

Ответ: -3п/4, -arctg4, п/4.

А знаете ли вы, что?

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг — один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) — 3999 (MMMCMXCIX) — больше трех цифр подряд писать нельзя.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую — два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Во многих источниках, зачастую с целью ободрения плохо успевающих учеников, встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы.

ЕГЭ 2019 по математике задание 19 с решением

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 по математике

ЕГЭ по математике 2019 в формате pdf
Базовый уровень | Профильный уровень

Задания для подготовки к ЕГЭ по математике: базовый и профильный уровень с ответами и решением.

ЕГЭ 2019 по математике задание 19

ЕГЭ 2019 по математике профильный уровень задание 19 с решением

ЕГЭ по математике

Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1.
Какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P.

Любое натуральное число N представимо в виде произведения:

N = (p1 x k1) (p2 x k2) … и т.д.,

Где p1, p2 и т.д. — простые числа,

А k1, k2 и т.д. — целые неотрицательные числа.

Например:

15 = (3 1) (5 1)

72 = 8 х 9 = (2 x 3) (3 2)

Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно

(k1 + 1) (k2 + 1) …

Итак, по условию, P = N1 N2 … N11, где
N1 = (p1 x k) (p2 x k) …
N2 = (p1 x k) (p2 x k) …
…,
а это значит, что
P = (p1 x (k + k + … + k)) (p2 x (k + k + … + k)) …,

И общее количество натуральных делителей числа P равно

(k + k + … + k + 1) (k + k + … + k + 1) …

Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1…N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p 2 , … N11 = p 1 1.

То есть, например,
N1 = 2 1 = 2,
N2 = 2 2 = 4,
N3 = 2 3 = 8,
…
N11 = 2 1 1 = 2048.

Тогда количество натуральных делителей числа P равно
1 + (1 + 2 + 3 + … + 11) = 67.

ЕГЭ по математике

Найдите все натуральные числа,
не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

Решение:

Каждое натуральное число может быть либо четным (2 k), либо нечетным (2 k+1).

1. Если число нечетное:
n = 2 k+1 = (k)+(k+1). Числа k и k+1 всегда взаимно простые

(если есть некоторое число d, являющееся делителем x и y, то число |x-y| тоже должно делиться на d. (k+1)-(k) = 1, то есть 1 должно делиться на d, то есть d=1, а это и есть доказательство взаимной простоты)

То есть мы доказали, что все нечетные числа могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Исключением по условию будут являться числа 1 и 3, поскольку 1 вообще нельзя представить в виде суммы натуральных, а 3 = 2+1 и никак иначе, а единица в качестве слагаемого не подходит по условию.

2. Если число четное:
n = 2 k
Тут придется рассмотреть два случая:

2.1. k — четное, т.е. представимое в виде k = 2 m.
Тогда n = 4 m = (2 m+1)+(2 m-1).
Числа (2 m+1) и (2 m-1) могут иметь общий делитель только такой (см. выше), на который делится число (2 m+1)-(2 m-1) = 2. 2 делится на 1 и 2.
Но если делитель равен 2, то получается, что нечетное число 2 m+1 должно делиться на 2. Этого не может быть, поэтому остается только 1.

Так мы доказали, что все числа вида 4 m (то есть кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключение — число 4 (m=1), которое хотя и может быть представлено в виде 1+3, но единица в качестве слагаемого нам по-прежнему не подходит.

2.1. k — нечетное, т.е. представимое в виде k = 2 m-1.
Тогда n = 2 (2 m-1) = 4 m-2 = (2 m-3)+(2 m+1)
Числа (2 m-3) и (2 m+1) могут иметь общий делитель, на который делится число 4. То есть либо 1, либо 2, либо 4. Но ни 2, ни 4 не годятся, поскольку (2 m+1) — число нечетное, и ни на 2, ни на 4 делиться не может.

Так мы доказали, что все числа вида 4 m-2 (то есть все кратные 2, но не кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключения — числа 2 (m=1) и 6 (m=2), у которых одно из слагаемых в разложении на пару взаимно простых равно единице.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

А) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа?

Числовая последовательность задана формулой общего члена: a_(n) = 1/(n^2+n)

A) Найдите наименьшее значение n ,при котором a_(n) < 1/2017.

Б) Найдите наименьшее значение n, при котором сумма n первых членов этой последовательности будет больше, чем 0,99.

B) Существуют ли в данной последовательности члены, которые образуют арифметическую прогрессию?

А) Пусть произведение восьми различных натуральных чисел равно А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, равно В. Найдите наибольшее значение B/A.

Б) Пусть произведение восьми натуральных чисел (не обязательно различных) равно А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, равно В. Может ли значение выражения равняться 210?

В) Пусть произведение восьми натуральных чисел (не обязательно различных) равно А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, равно В. Может ли значение выражения B/A равняться 63?

С натуральным числом производят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

А) Приведите пример числа, из которого получается 4106137125

Б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 27593118?

В) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?

В группе 32 студента. Каждый из них пишет или одну, или две контрольные работы, за каждую из которых можно получить от 0 до 20 баллов включительно. Причем каждая из двух контрольных работ по отдельности дает в среднем 14 баллов. Далее, каждый из студентов назвал свой наивысший балл (если писал одну работу, то называл за нее), из этих баллов находили среднее арифметическое и оно равно S.

< 14.
Б) Могло ли быть такое, что 28 человек пишет две контрольные и S=11?
В) Какое максимальное число студентов могло написать две контрольные работы, если S=11?

На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130

А) Может ли оказаться, что на доске написано число 240?

Б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 16?

В) Какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске?

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

А) Может ли на доске быть ровно 24 четных числа?

Б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 7?

В) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?

Каждый из 32 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно S.

А) Приведите пример, когда S < 14

Б) Могло ли значение S быть равным 17?

В) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 12 студентов?

19) На доске написано 30 чисел. Каждое из них либо чётное либо десятичная запись числа оканчивается на 3. Их сумма равна 793.

А)может ли на доске быть ровно 23 чётных числа;
б)может ли только одно из чисел оканчиваться на 3;
в)какое наименьшее количество из этих чисел может оканчиваться на 3?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

А) Может ли на доске быть 5 чисел?

Б) Может ли на доске быть 6 чисел?

В) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Заданы числа: 1, 2, 3, …, 99, 100. Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы

A) в каждой группе сумма чисел делилась на 3.
б) в каждой группе сумма чисел делилась на 10.
в) сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304?

a) Найти натуральное число n такое, что бы сумма 1+2+3+…+n равнялась трехзначному числу, все цифры которого одинаковы.

Б) Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 1, а сумма кубов этих чисел равна 0,1. Найти эти числа.

А) Можно ли числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 разбить на две группы с одинаковым произведением чисел в этих группах?

Б) Можно ли числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14 разбить на две группы с одинаковым произведением чисел в этих группах?

В) Какое наименьшее количество чисел нужно исключить из набора 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, чтобы оставшиеся числа можно было разбить на две группы с одинаковым произведением чисел в этих группах? Приведите пример такого разбиения на группы.

Дан клетчатый квадрат размером 6х6.

А) Можно ли этот квадрат разрезать на десять попарно различных клетчатых многоугольников?
Б) Можно ли этот квадрат разрезать на одиннадцать попарно различных клетчатых многоугольников?
Б) На какое наибольшее число попарно различных клетчатых прямоугольников можно разрезать этот квадрат?

В каждой клетке таблицы размером 3 x 3 записаны числа от 1 до 9 (рис.). За один ход разрешается к двум соседним числам (клетки
имеют общую сторону) прибавить одно и то же целое число.

А) Можно ли таким образом получить таблицу, во всех клетках которой будут одинаковые числа?

Б) Можно ли таким образом получить таблицу, составленную из одной единицы (в центре) и восьми нулей?

В) После нескольких ходов в таблице оказались восемь нулей и какое‐то число N, отличное от нуля. Найдите все возможные N.

А) Каждая точка плоскости окрашена в один из двух цветов. Обязательно ли на плоскости найдутся две точки одного цвета, удаленные друг от друга ровно на 1 м?

Б) Каждая точка прямой окрашена в один из 10 цветов. Обязательно ли на прямой найдутся две точки одного цвета, удаленные друг от друга на целое число метров?

В) Какое наибольшее количество вершин куба можно покрасить в синий цвет так, чтобы среди синих вершин нельзя было выбрать три, образующие равносторонний треугольник?

Про натуральное пятизначное число N известно, что оно делится на 12, и сумма его цифр делится на 12.

A) Могут ли все пять цифр в записи числа N быть различными?
Б) Найдите наименьшее возможное число N;
B) Найдите наибольшее возможное число N;
Г) Какое наибольшее количество одинаковых цифр может содержаться в записи числа N? Сколько всего таких чисел N (содержащих в своей записи наибольшее количество одинаковых цифр)?

Имеется пять палочек с длинами 2, 3, 4, 5, 6.

А) Можно ли, используя все палочки, сложит равнобедренный треугольник?

Б) Можно ли, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник?

В) Какой наименьшей площади можно сложить треугольник, используя все палочки? (Разламывать, палочки нельзя)

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

А) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 3/2?

Б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 5/4?

В) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?

Конечная последовательность a1,a2,…,a_(n) состоит из n больше или равно 3 не обязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных k меньше или равно n-2 выполнено равенство a_(k+2) = 2a_(k+1)-a_(k)-1.

А) Приведите пример такой последовательности при n = 5, в которой a_(5) = 4.

Б) Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?

В) При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из трёхзначных чисел?

Целые числа x, у и z в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

A) Могут ли числа x+3, у^2 и z+5 образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

Б) Могут ли числа 5x, у и 3z образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

B) Найдите все x, у и z, при которых числа 5x+3, у^2 и 3z+5 будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

На доске записаны два натуральных числа: 672 и 560. За один ход разрешается любое из этих чисел заменить модулем их разности либо уменьшить вдвое (если число чётное).

А) Может ли через несколько ходов на доске оказаться два одинаковых числа?

Б) Может ли через несколько ходов на доске оказаться число 2?

В) Найдите наименьшее натуральное число, которое может оказаться на доске в результате выполнения таких ходов.

В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17).
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличится показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?

Пусть q – наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x=8y–29.

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше, чем 50, а вместе солдат меньше, чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

А) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

Б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?

В) Сколько в роте может быть солдат?

Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x=8y-29.

А) Может ли q/d — быть равным 170?

Б) Может ли q/d — быть равным 2?

В) Найдите наименьшее значение q/d

Определите, имеют ли общие члены две последовательности

A) 3; 16; 29; 42;… и 2; 19; 36; 53;…

Б) 5; 16; 27; 38;… и 8; 19; 30; 41;…

B) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у двух арифметических прогрессий 1; …; 1000 и 9; …; 999, если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.

А) Можно ли число 2016 представить в виде суммы семи последовательных натуральных чисел?

A) Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных натуральных чисел?

B) Представьте число 2016 в виде суммы наибольшего количества последовательных чётных натуральных чисел.

Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

А) Является ли множества {200;201;202;…;299} хорошим?

Б) Является ли множество {2;4;8;…;2^(100)} хорошим?

В) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества {1;2;4;5;7;9;11}?

В результате опроса выяснилось, что примерно 58% опрошенных предпочитают искусственную ёлку натуральной (число 58 получено с помощью округления до целого числа). Из этого же опроса последовало, что примерно 42% респондентов никогда не отмечали Новый год не дома.

А) Могло ли в опросе участвовать ровно 40 человек?
б) Могло ли в опросе участвовать ровно 48 человек?
в) Какое наименьшее количество человек могло участвовать в этом опросе?

Ваня играет в игру. В начале игры на доске написано два различных натуральных числа от 1 до 9999. За один ход игры Ваня должен решить квадратное уравнение x^2-px+q=0, где p и q — взятые в выбранном Ваней порядке два числа, написанные к началу этого хода на доске, и, если это уравнение имеет два различных натуральных корня, заменить два числа на доске на эти корни. Если же это уравнение не имеет двух различных натуральных корней, Ваня не может сделать ход и игра прекращается.

А) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать не менее двух ходов?
б) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать десять ходов?
в) Какое наибольшее число ходов может сделать Ваня при этих условиях?

На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 14, но не превосходит 54. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 18. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 8, с доски стёрли.

Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли десять последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть два очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2015?
в) Найдите наименьшее натуральное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

Ученики некоторой школы написали тест. Ученик за этот тест мог получить целое неотрицательное число баллов. Считается, что ученик сдал тест, если набрал не менее 50 баллов. Чтобы результаты улучшились, каждому участнику тестирования добавили по 5 баллов, поэтому количество сдавших тест увеличилось.

А) Мог ли после этого понизиться средний балл участников, не сдавших тест?

Б) Мог ли после этого понизиться средний балл участников, не сдавших тест, и при этом средний балл участников, сдавших тест, тоже понизиться?

В) Пусть первоначально средний балл участников, сдавших тест, составил 60 баллов, не сдавших тест — 40 баллов, а средний балл всех участников составил 50 баллов. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 63 баллам, а не сдавших тест — 43. При каком наименьшем числе участников возможна такая ситуация?

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

А) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 13/7 ?

Б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 8/7 ?

В) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.

А) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие пять мальчиков и три девочки?

Б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников девять?

В) Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если известно, что их в 9 раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в четыре раза больше очков, чем девочки?

Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

А) Может ли в такой прогрессии быть 10 членов?
б) Докажите, что число её членов меньше 100.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.
г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.

Красный карандаш стоит 18 рублей, синий — 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 499 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на шесть.

А) Можно ли купить 30 карандашей?

Б) Можно ли купить 33 карандаша?

В) Какое наибольшее число карандашей можно купить?

Известно, что a, b, c, и d — попарно различные двузначные числа.
а) Может ли выполняться равенство (a+c)/(b+d)=7/19
б) Может ли дробь (a+c)/(b+d) быть в 11 раз меньше, чем сумма (a/c)+(b/d)
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь(a+c)/(b+d) если a>3b и c>6d

Известно, что a, b, c и d — попарно различные двухзначные числа.

А) Может ли выполняться равенство (3a+2c)/(b+d) = 12/19

Б) Может ли дробь (3a+2c)/(b+d) быть в 11 раз меньше, чем сумма 3a/b + 2c/d

В) Какое наименьшее значение может принимать дробь (3a+2c)/(b+d), если a>3b и c>2d?

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a>b>c>d.

А) Найдите числа a, b, c и d, если a+b+c+d=15 и a2−b2+c2−d2=19.

Б) Может ли быть a+b+c+d=23 и a2−b2+c2−d2=23?

В) Пусть a+b+c+d=1200 и a2−b2+c2−d2=1200. Найдите количество возможных значений числа a.

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если набрал не менее 85 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 7 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, не сдавших тест, составил 70. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 100, а не сдавших тест — 72. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.
Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Путь есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?

На доске написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3, с доски стерли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 16?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 14, но меньше 15?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 25 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на 61)
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
А) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.
Б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?
В) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
а) На доске выписан набор -8, -5, -4, -3, -1, 1, 4. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза.
Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n больше или равно 3).

А) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?

Б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?

В) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111?

А) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному из чисел:

11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19.
После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

А) Может ли в результате получиться 0?

Б) Может ли в результате получиться 117?

В) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

А) На доске выписан набор -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Источник

В данной работе предлагаются решения сложных заданий (№13 – №19) ЕГЭ-2019 по математике профильный уровень. Представленный здесь материал предназначен для подготовки к ЕГЭ учащихся, имеющих навыки в решении заданий подобного уровня сложности.

Задания №13, №14, №15, №17 могут быть предложены сильным учащимся обычных классов, а вот задания №16, №18, №19 целесообразно решать только с учащимися физико-математических классов, причем задание №19 под буквой «в» под силу только тем, кто имеет определенную подготовку в решении олимпиадных задач.

В задании №18 предлагается два метода решения (аналитический и координатно-параметрический), а так же отдельные этапы решений заданий №15 и №18 рассмотрены двумя способами.

Для оформления всех решений использована мультимедиа презентация, где материал представлен наглядно в ярком, интересном и доступном виде, что для учителя и учащихся будет ценно и полезно. Эту презентацию можно применять как на уроке, так и для индивидуальной работы.

Условия заданий и методические рекомендации по их решению.

№13

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Задание №13 считается одним из самых легких среди заданий второй части ЕГЭ. Применяя основное тригонометрическое тождество и формулу приведения, получаем в левой части данного уравнения тригонометрическое выражение относительно sinx, которое можно способом группировки разложить на множители. Но гораздо легче будет привести подобные слагаемые и решить это уравнение, как квадратное относительно sinx.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение предлагается с помощью числовой окружности. Важно, чтобы учащиеся имели хорошие навыки в работе с этой математической моделью.

Тогда и отбор корней лучше всего сделать на числовой окружности. Для этого нужно построить другую окружность, на которой изобразить данный отрезок и точки, соответствующие корням тригонометрического уравнения.

№14

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На ребрах AB и SC отмечены точки К и М соответственно, причем АК:КВ = SM:MC = 1:5. Плоскость α содержит прямую КМ и параллельна прямой ВС.

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Стереометрическая задача №14 является одной из самых сложных, не смотря на то, что она оценена всего лишь 2 баллами. В лучшем случае учащимися выполняется только первая часть задачи на доказательство, тогда, как вторая часть под силу лишь не многим.

В предложенной задаче нужно сначала построить сечение пирамиды, плоскостью, проходящей через две точки и параллельно указанному ребру. Тогда линии пересечения секущей плоскости с соответствующими гранями должны быть параллельны этому ребру. Далее необходимо найти условия для применения признака параллельности прямой и плоскости.

Во второй части задачи нужно найти угол между плоскостью сечения и боковой гранью пирамиды. Здесь нужно хорошо знать признак перпендикулярности прямой и плоскости, свойства параллельных прямых, перпендикулярных плоскости, уметь находить линейный угол двугранного угла.

№15

Решите неравенство

Это не сложное 2-балльное задание. При решении логарифмического неравенства важно найти ОДЗ и, применяя свойства логарифмов и монотонность логарифмической функции, перейти к рациональному неравенству, которое легко решается методом интервалов.

№16

Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.

а) Докажите, что ОР = СР.

б) Найдите радиус описанной около треугольника АВС окружности, если расстояние от точки Р до прямой АС равно 18, а угол АВС равен 60°.

Данная планиметрическая задача является не такой уж и сложной для тех, кто хорошо знает, где находится центр вписанной в треугольник окружности, свойства биссектрисы, вписанных углов, свойства и признаки равнобедренного треугольника, теорему синусов для нахождения радиуса описанной около треугольника окружности.

№17

15-го января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 2 млн. рублей?

Эта стандартная задача на дифференцированный платеж. Здесь важно иметь навыки решения задач такого типа. В работе предлагается табличный способ решения задачи, где все величины и данные и искомые обозначаются переменными, устанавливается между ними зависимость, а числовые данные подставляются в самом конце, чтобы получить уравнение с одной переменной и решить его.

№18

Найдите все значения а, при каждом из которых имеет ровно два различных корня уравнение

Лучше всего решать это уравнение с параметром графическим методом. В знаменателе данной дроби нужно увидеть уравнение окружности и записать его в явном виде. Построив в координатной плоскости xOa графики параболы и окружности, легко можно найти значения параметра а, удовлетворяющие условию задачи.

Но можно решить это уравнение и аналитическим методом.

№19

Последовательность (а_n) состоит из 100 натуральных чисел. Каждый следующий член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше него на 90.

а) Может ли такая последовательность быть образована ровно четырьмя различными числами?

б) Чему может быть равно а₁₀₀, если а₁ = 89?

в) Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел в такой последовательности?

В этой задаче вполне решаемые первые два пункта.

В пункте а) можно просто подобрать четыре числа, удовлетворяющие условию задачи и обязательно нужно показать и несколько следующих членов последовательности.

В пункте б) важно обосновать, что все числа в последовательности нечетные и образуют арифметическую прогрессию.

Решение в пункте в) сложное, здесь применяется метод: оценка плюс пример.

Источник