Егэ 2020 тригонометрия - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.

Источник

Тригонометрические уравнения

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению
Разложение на множители
Однородные уравнения
Введение дополнительного угла
Универсальная подстановка
Учет ОДЗ уравнения
Метод оценки
Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения

В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ.

В вариантах ЕГЭ задача, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Учите наизусть!
Тригонометрические формулы.

Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

Если вы не помните, как решать простейшие тригонометрические уравнения, — читайте материал на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 1.

О том, что такое арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, — еще одна статья на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения,часть 2.

Теперь — сами методы. Теория и примеры решения задач.

к оглавлению ▴

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

1. а) Решите уравнение: $2cos^{2}x+5sinx=5.$
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; 2pi right ].$

Решение:

а) Рассмотрим уравнение $2cos^{2}x+5sinx=5.$

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

$2left ( 1-sin^{2} xright )+5sinx=5;$

$2sin^{2}x-5sinx+3=0.$

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

$2t^{2}-5t+3=0.$

Решая его, получим:

$displaystyle t_{1}=frac{3}{2}, t_{2}=1.$

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению $displaystyle sinx=frac{3}{2}.$
Оно не имеет решений, поскольку

Второй корень даёт простейшее уравнение sinx=1.

Решаем его: $displaystyle x=frac{pi }{2}+2pi n, nin Z.$

б) Найдем корни уравнения на отрезке $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; 2pi right ]$ с помощью двойного неравенства.

$displaystyle -frac{pi }{2}leq frac{pi }{2}+2pi nleq 2pi .$

Разделим обе части неравенства на pi :

$displaystyle -frac{1}{2}leq frac{1}{2}+2nleq 2.$

Вычтем $displaystyle frac{1}{2}$ из обеих частей неравенства:

Разделим на 2 обе части неравенства:

Единственное целое решение – это n=0. Тогда $displaystyle x=frac{pi }{2}$ — это единственный корень, который принадлежит отрезку $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; 2pi right ].$

Ответ: $displaystyle frac{pi }{2}.$

2. а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ -3pi ; -frac{3pi }{2} right ].$

Решение:

а)

Выразим косинус двойного угла по формуле $cos2x=2cos^{2}x-1.$

Получим:

$2cos^{2}x-1-5sqrt{2}cosx-5=0;$

$2cos^{2}x-5sqrt{2}cosx-6 =0.$

Заменяя cos⁡x на t, приходим к квадратному уравнению:

$2t^{2}-5sqrt{2}t-6=0;$

$displaystyle t_{1}=-frac{sqrt{2}}{2}; t_{2}=3sqrt{2}.$

1) $displaystyle cosx=-frac{sqrt{2}}{2}; x=pm frac{3pi }{4}+2pi n, nin Z;$

2) нет решений, т. к.

Получим: $displaystyle x=pm frac{3pi }{4}+2pi n, nin Z.$

б) Отметим отрезок $displaystyle left [ -3pi ; -frac{3pi }{2} right ]$ и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка $displaystyle x=-2pi -frac{3pi }{4}=-frac{11pi }{4}.$

Ответ: а) $displaystyle x=pm frac{3pi }{4}+2pi n, nin Z.$
б) $displaystyle -frac{11pi }{4}.$

3. а) Решите уравнение: $displaystyle 8sin^{2}x-2sqrt{3}cosleft ( frac{pi }{2}-x right )-9=0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ -frac{5pi }{2}; -pi right ].$

Решение:

а) Чтобы упростить уравнение $displaystyle 8sin^{2}x-2sqrt{3}cosleft ( frac{pi }{2}-x right )-9=0,$ применяем формулу приведения.

Так как $displaystyle cosleft ( frac{pi }{2}-x right )=sinx,$ получим:

$displaystyle 8sin^{2}x-2sqrt{3}sinx-9=0.$

Сделаем замену: sinx=t. Получим квадратное уравнение:

$8t^{2}-2sqrt{3}t-9=0;$

$displaystyle frac{D}{4}=3+72=75.$

$displaystyle t_1={frac{3sqrt{3}}{4}}; t_{2}=-frac{sqrt{3}}{2}.$

Сделаем обратную замену.

1) $displaystyle sinx={frac{3sqrt{3}}{4}}$ — нет решений, т. к. $displaystyle {frac{3sqrt{3}}{4}}textgreater 1.$

2) $displaystyle sinx=-frac{sqrt{3}}{2}Leftrightarrow left[begin{array}{c}displaystyle x=-frac{pi }{3}+2pi k, kin Z\displaystyle x=-frac{2pi }{3}+2pi k\end{array}right. .$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ -frac{5pi }{2}; -pi right ]$ , с помощью двойного неравенства.

Для серии решений $displaystyle x=-frac{pi }{3}+2pi k, kin Z$ получим:

$displaystyle -frac{5pi }{2}leq -frac{pi }{3}+2pi kleq -pi;$

$displaystyle -frac{13}{12}leq kleq -frac{2}{6}.$

Так как kin Z, то $displaystyle k=-1; x=-frac{7pi }{3}.$

Для серии решений $displaystyle x=-frac{2pi }{3}+2pi k$ получим:

$displaystyle -frac{5pi }{2}leq -frac{2pi }{3}+2pi kleq -pi;$ отсюда

$displaystyle -frac{11}{12}leq kleq -frac{1}{6}.$

У этого неравенства нет целых решенией, и значит, из второй серии ни одна точка в указанный отрезок не входит.

Ответ: а) $displaystyle -frac{pi }{3}+2pi k; -frac{2pi }{3}+2pi k, kin Z.$
б) $displaystyle -frac{7pi }{3}.$

к оглавлению ▴

Разложение на множители

Во многих случаях уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

4. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

а) Применяем формулу синуса двойного угла:

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель выносим за скобки:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 2sinx — 1 = 0.

Получим:

$left[begin{array}{c}cosx=0\displaystyle sinx=frac{1}{2}\end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{c}displaystyle x=frac{pi }{2}+2pi n, nin Z\\displaystyle x=frac{pi }{6}+2pi n\\displaystyle x=frac{5pi }{6}+2pi n\end{array}right. .$

Все эти три серии решений являются ответом в части (а).

б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки $displaystyle x_{1}=frac{pi }{6}; x_{2}=frac{5pi }{6}.$

Ответ: а) $displaystyle frac{pi }{6}+2pi n; frac{pi }{2}+2pi n; frac{5pi }{6}+2pi n, nin Z.$
б) $displaystyle frac{pi }{6}; frac{5pi }{6}.$

5. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; pi right ].$

Решение:

Применим формулу суммы синусов:

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

Решаем уравнение sin5x=0 :

$displaystyle x=frac{pi n}{5}, nin Z.$

(1)

Решаем уравнение :

(2)

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).

Поэтому ответ в пункте (а): $displaystyle x=frac{pi n}{5}, nin Z.$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; pi right ],$ с помощью двойного неравенства:

$displaystyle -frac{pi }{2}leq frac{pi n}{5}leq pi;$

$displaystyle -frac{5}{2}leq {n}leq 5.$

Этот промежуток содержит 8 целых чисел: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Для каждого из этих n найдем x. Получим 8 решений на данном промежутке:

$displaystyle -frac{2pi }{5}; -frac{pi }{5}; 0; frac{pi }{5}; frac{2pi }{5}; frac{3pi }{5}; frac{4pi }{5}; pi .$

Ответ: а) $displaystyle frac{pi n}{5}, nin Z.$
б) $displaystyle -frac{2pi }{5}; -frac{pi }{5}; 0; frac{pi }{5}; frac{2pi }{5}; frac{3pi }{5}; frac{4pi }{5}; pi .$

6. В следующей задаче также применяется метод разложения на множители. Но это заметно не сразу.

а) Решите уравнение: $sin^{2}2x+sin^{2}3x=1.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $displaystyle left [ 0; frac{pi }{2} right ].$

Решение:

Используем формулу понижения степени: $displaystyle sin^{2}alpha =frac{1-cos2alpha }{2}.$

Получаем:

$displaystyle frac{1-cos4x}{2}+frac{1-cos6x}{2}=1;$

Применяем формулу суммы косинусов: $displaystyle cosalpha +cosbeta =2cosfrac{alpha +beta }{2}cdot cosfrac{alpha -beta }{2}.$

Получаем:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

$left[begin{array}{c}cos5x=0\cosx=0\end{array}right.Leftrightarrow left[begin{array}{c}displaystyle 5x=frac{pi }{2}+pi n, nin Z\\displaystyle x=frac{pi }{2}+pi k, kin Z\end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{c}displaystyle x=frac{pi }{10}+frac{pi n}{5}, nin Z\\displaystyle x=frac{pi }{2}+pi k, kin Z\end{array}right. .$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ 0; frac{pi }{2} right ],$ с помощью двойного неравенства:

1) $displaystyle 0leq frac{pi }{10}+frac{pi n}{5}leq frac{pi }{2}.$

Решив неравенство, получим:

Так как n ∈ Z, получим для n целые значения: 0, 1, 2.

Им соответствуют решения: $displaystyle frac{pi }{10}; frac{3pi }{10}; frac{pi }{2}.$

2) Из серии решений $displaystyle frac{pi }{2}+pi k, kin Z$ на указанном отрезке лежит только корень $displaystyle x=frac{pi }{2}.$ Но он уже входит в первую серию решений.

Можно также заметить, что вся вторая серия решений является подмножеством первой.

Ответ: а) $displaystyle frac{pi }{10}+frac{pi n}{5}, nin Z.$
б) $displaystyle frac{pi }{10}; frac{3pi }{10}; frac{pi }{2}.$

к оглавлению ▴

Однородные уравнения

7. а) Решите уравнение: $sin^{2}x+2sinxcosx-3cos^{2}x=0.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $displaystyle left [ -frac{3pi }{2}; frac{pi }{2} right ].$

Решение:

Такое уравнение называется однородным.

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене $a^{2}+2ab-3b^{2},$ степень каждого слагаемого равна двум. Мы помним, что степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей.

Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на $cos^{2}x$ .

Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что cosx = 0. Тогда в силу уравнения и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cosx 0, и мы можем поделить обе его части на $cos^{2}x$ .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса: $tg^{2}x+2tgx-3=0.$

Сделаем замену: tgx=t, получим:

$left[begin{array}{c}tgx=-3 \tgx=1\end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{c}x=-arctg3+pi k, kin Z \displaystyle x=frac{pi }{4}+pi k, kin Z\end{array}right..$

б) Отметим отрезок $displaystyle left [ -frac{3pi }{2}; frac{pi }{2} right ]$ и найденные серии решений на единичной окружности.

О том, как отметить на единичной окружности точки из первой серии решений, то есть арктангенс минус трех, читайте здесь: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 2.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки:

$x_{1}=-pi -arctg3;$

$displaystyle x_{2}=-pi +frac{pi }{4}=-frac{3pi }{4};$

$x_{3}= -arctg3;$

$displaystyle x_{4}=frac{pi }{4}.$

Ответ: а) $displaystyle -arctg3+pi k; frac{pi }{4}+pi k, kin Z.$
б) $-pi -arctg3; displaystyle -frac{3pi }{4}; -arctg3; frac{pi }{4}.$

8. а) Решите уравнение: $10sin^{2}x+5sinxcosx+cos^{2}x=3.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $displaystyle left [ 0; frac{pi }{2} right ].$

Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение $3(sin^{2}x+cos^{2}x):$

$10sin^{2}x+5sinxcosx+cos^{2}x=3(sin^{2}x+cos^{2}x);$

$7sin^{2}x+5sinxcosx-2cos^{2}x=0.$

Получили однородное уравнение второй степени.

Так как не существует такой точки на единичной окружности, в которой одновременно синус и косинус равнялись бы нулю, мы разделим обе части уравнения на $cos^{2}xneq 0$ .

Получим: $7tg^{2}x+5tgx-2=0.$

Выполним замену: tgx = y, получим:

$7y^{2}x+5y-2=0.$

$displaystyle y_{1,2}=frac{-5pm 9}{14};left[begin{array}{c}y=-1\displaystyle y=frac{2}{7}\end{array}right. .$

Обратная замена: $left[begin{array}{c}tgx=-1\displaystyle tgx=frac{2}{7}\end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{c}displaystyle x=-frac{pi }{4}+pi k, kin Z\displaystyle x=arctgfrac{2}{7}+pi k, kin Z\end{array}right. .$

Ответом в пункте (а) являются две серии решений.

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ 0; frac{pi }{2} right ],$ с помощью единичной окружности. Для этого отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка $displaystyle x_1=arctgfrac{2}{7}.$

Ответ: а) $displaystyle -frac{pi }{4}+pi k; arctgfrac{2}{7}+pi k, kin Z.$
б) $displaystyle arctgfrac{2}{7}.$

к оглавлению ▴

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида acosx + bsinx=c. Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

9. а) Решим уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

Делим обе части на 2:

$displaystyle frac{sqrt{3}}{2}sinx+frac{1}{2}cosx=1.$

Замечаем, что $displaystyle frac{sqrt{3}}{2}=cosfrac{pi }{6}; frac{1}{2}=sinfrac{pi }{6}:$

$displaystyle cosfrac{pi }{6}sinx+sinfrac{pi }{6}cosx=1.$

В левой части получили синус суммы:

$displaystyle sinleft ( x+frac{pi }{6} right )=1,$ отсюда $displaystyle x+frac{pi }{6}=frac{pi }{2}; x=frac{pi }{3}+2pi n, nin Z.$

б) Отметим на единичной окружности отрезок и найденные серии решений.

Обратите внимание, что в этой задаче отрезок больше, чем полный круг. Как нам поступить? Один из способов – нарисовать рядом две окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки: $displaystyle x_{1}=frac{pi }{3}; x_{2}=2pi +frac{pi }{3}=frac{7pi }{3}.$

Ответ: а) $displaystyle frac{pi }{3}+2pi n, nin Z.$
б) $displaystyle frac{pi }{3}; frac{7pi }{3}.$

Другой пример.

10. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

Делим обе части на

$displaystyle frac{1}{sqrt{2}}cosx+frac{1}{sqrt{2}}sinx=frac{1}{sqrt{2}}.$

Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:

$displaystyle cosfrac{pi }{4}cosx+sinfrac{pi }{4}sinx=frac{1}{sqrt{2}};$

$displaystyle cosleft ( x-frac{pi }{4} right )=frac{1}{sqrt{2}};$

$displaystyle x-frac{pi }{4}=pm frac{pi }{4}+2pi n;$

$displaystyle x_{1}=frac{pi }{2}+2pi n; x_{2}=2pi n, nin Z.$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью единичной окружности. Отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки 0 и $displaystyle frac{pi }{2}.$

Ответ: а) $displaystyle frac{pi }{2}+2pi n; 2pi n, nin Z.$
б) $displaystyle frac{pi }{2}.$

Покажем, как применяется метод введения дополнительного угла в общем случае.

Рассмотрим уравнение

Делим обе части на $sqrt{a^{2}+b^{2}}:$

$displaystyle frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}cosx+frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}sinx=frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$

(4)

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

$displaystyle left ( frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}} right )^{2}+left ( frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}} right )^{2}=1.$

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла varphi :

$displaystyle frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}=cosalpha , frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}=sinalpha.$

Соотношение (4) тогда приобретает вид:

$displaystyle cosalpha cosx+sinalpha sinx=frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

или

$displaystyle cos(x-alpha )=frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол alpha .

к оглавлению ▴

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной тригонометрической подстановки.

Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

11. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

Выражаем , используя универсальную тригонометрическую подстановку:

Делаем замену :

Получаем кубическое уравнение:

Оно имеет единственный корень .

Стало быть, , откуда .

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью двойного неравенства:

$displaystyle 0leq frac{pi }{4}+pi nleq pi , nin Z;$

$displaystyle -frac{1}{4}leq nleq frac{3}{4}.$

Получим, что $displaystyle n=0; x=frac{pi }{4}.$

Ответ: а) $displaystyle frac{pi }{4}+pi n, nin Z.$
б) $displaystyle frac{pi }{4}.$

Универсальная тригонометрическая подстановка может также пригодиться при решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ. Поэтому формулы лучше выучить.

к оглавлению ▴

Учет ОДЗ уравнения

12. а) Рассмотрим уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; frac{3pi }{2} right ].$

Решение:

Перепишем уравнение в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .

Ответ в пункте (а): .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; frac{3pi }{2} right ],$ с помощью двойного неравенства:

$displaystyle frac{-pi }{2}leq -frac{pi }{3}+2pi nleq frac{3pi }{2};$

$displaystyle -frac{1}{12}leq nleq frac{11}{12}.$

Неравенство имеет единственное целое решение n=0.

Тогда $displaystyle x=-frac{pi }{3}.$

Ответ: а) $displaystyle -frac{pi }{3}+2pi n, nin Z.$
б) $displaystyle -frac{pi }{3}.$

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений, которые применяются в задаче 12 ЕГЭ.

Где же еще нам могут встретиться тригонометрические уравнения? Конечно, в задачах с параметрами. Или на олимпиадах по математике. Сейчас мы увидим еще несколько полезных приемов решения.

к оглавлению ▴

Метод оценки

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

13. Рассмотрим уравнение:

Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно:

Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:

Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:

Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:

;

Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ:

14. Рассмотрим уравнение:

Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:

;

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:

Имеем:

Ищем пересечение:

Умножаем на 21 и сокращаем на π:

Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.

Ответ: решений нет.

Это был тренировочный пример. А в задачах ЕГЭ решения есть всегда.

Посмотрите, как применяется метод оценки в задачах с параметрами.

15. Страшное с виду уравнение также решается методом оценок.

В самом деле, из неравенства следует, что .

Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда

$left{begin{matrix}sin^{5}x=sin^{2}x\cos^{8}x=cos^{2}x\end{matrix}right. .$

Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Перенесем в левую часть и вынесем общий множитель за скобки , получим:

$left{begin{matrix}sin^{2}x(sin^{3}x-1)=0 \cos^{2}x(cos^{6}x-1)=0 \end{matrix}right. .$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Каждое уравнение равносильно совокупности:

$left{begin{matrix}left[begin{array}{c}sinx=0\sinx=1\end{array}right. \left[begin{array}{c}cosx=0\cosx=1\cosx=-1\end{array}right. \end{matrix}right. .$

Это значит, что синус угла х равен нулю, а его косинус равен 0, 1 или -1.

Или синус угла х равен 1, а косинус этого угла равен 0, 1 или -1.

Такие углы легко найти на тригонометрическом круге. Найденные серии решений запишем в ответ.

Ответ: $displaystyle 2pi n; frac{pi }{2}+2pi n; pi +2pi n, nin Z.$

к оглавлению ▴

Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения

16. Рассмотрим такое уравнение:

Сделаем замену .

Как выразить через t? Имеем:

откуда . Получаем:

$t^{2}-1=t+1;$

$t^{2}-t-2=0;$

$t_{1}=-1; t_{2}=2.$

$left[begin{array}{c}cosx+sinx=-1\cosx+sinx=2\end{array}right. .$

Начнем со второго уравнения.

Так как и то их сумма может быть равна 2, только оба слагаемых равны 1. Но на единичной окружности не существует точки, в которой одновременно синус и косинус равен единице. Значит, второе уравнение корней не имеет.

Решим первое уравнение методом введения дополнительного угла.

Для этого разделим обе части уравнения на sqrt{2} и получим:

$displaystyle cosx+sinx=-1Leftrightarrow frac{1}{sqrt{2}}cosx+frac{1}{sqrt{2}}sinx=-frac{1}{sqrt{2}}Leftrightarrow$

$displaystyle Leftrightarrow cosxcdot cosfrac{pi }{4}+sinxcdot sinfrac{pi }{4}=-frac{1}{sqrt{2}}Leftrightarrow cosleft ( x+frac{pi }{4} right )=-frac{1}{sqrt{2}}Leftrightarrow$

$displaystyle Leftrightarrow x+frac{pi }{4}=pm frac{3pi }{4}+2pi k, kin Z;$

$left[begin{array}{c}displaystyle x=frac{pi }{2}+2pi k, kin Z\x=-pi +2pi k, kin Z\end{array}right. .$

Ответ: $displaystyle frac{pi }{2}+2pi k; -pi +2pi k, kin Z.$

17. Помним формулы косинуса и синуса тройного угла:

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :

$left[begin{array}{c}sinx=0\4sin^{2}x+4sinx-3=0\end{array}right. .$

Решим второе уравнение с помощью замены sinx = t.

Получим: $displaystyle 4t^{2}+4t-3=0; D=16+48=64; t=-frac{3}{2}$ или $displaystyle t=frac{1}{2}.$

Обратная замена:

$left[begin{array}{c}displaystyle sinx=-frac{3}{2}\\displaystyle sinx=frac{1}{2}\end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{c}xin O \\displaystyle x=frac{pi }{6}+2pi n, nin Z\\displaystyle x=frac{5pi }{6}+2pi n, nin Z\end{array}right. .$

А решением первого уравнения sinx = 0 являются числа вида

Ответ: $displaystyle pi k, kin Z; frac{pi }{6}+2pi n; frac{5pi }{6}+2pi n, nin Z.$

Интересно, что формулы синуса и косинуса тройного угла также могут пригодиться вам в решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ.

18. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса?

Рассмотрим уравнение:

Выделяем полный квадрат!

;

19. А как быть с суммой шестых степеней?

Рассмотрим такое уравнение:

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .

Получим:

;

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Тригонометрические уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

23 марта 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Задачи ЕГЭ с тригонометрией

Подборка заданий для тренировки профильного уровня.

Без ответов.

Задание 1. Простейшие уравнения
Задание 4. Вычисления и преобразования
Задание 7. Задачи с прикладным содержанием
Задание 11. Наибольшее и наименьшее значение функций
Задание 12

s-tr.pdf

Источник: vk.com/trigonometrics2122

Источник

ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «НЕКЛИНОВСКАЯ ШКОЛА — ИНТЕРНАТ С
ПЕРВОНАЧАЛЬНООЙ ЛЁТНОЙ ПОДГОТОВКОЙ ИМ. ЧЕТВЁРТОЙ КРАСНОЗНАМЁННОЙ ВОЗДУШНОЙ
АРМИИ»

ПОСОБИЕ
ПО ПОДГОТВКЕ К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОФИЛЬНЫЙ
УРОВЕНЬ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ

В
ЗАДАНИЯХ ЕГЭ

Выполнил: Кузнецов Виктор Игоревич

11 «Ж» класс

Руководитель: Франк М.В.

с.
Николаевка

2022
г.

Тригонометрические
уравнения

Тригонометрическое уравнение — алгебраическое
уравнение относительно тригонометрической функции неизвестного аргумента. Для
решения тригонометрического уравнения, пользуясь различными соотношениями между
тригонометрическими функциями, преобразуют уравнение к такому виду, чтобы
можно было определить значения одной из тригонометрических функций искомого
аргумента. После этого корни тригонометрического уравнения получаются с помощью
обратных тригонометрических функций.

Под решением тригонометрического уравнения понимается
такой набор чисел х, который при подстановке в уравнение обращает его в
тождество.

Тригонометрические уравнения, в отличие от
алгебраических, или имеют бесконечное множество решений (число n служит
для обозначения этой «бесконечности»), или совсем не имеют решений.

Решение тригонометрических уравнений любой сложности
сводится к решению простейших тригонометрических уравнений, решение которых
записываются с помощью формул.

Простейшие
тригонометрические уравнения — это уравнения вида: sin x = a, cos x= a,

tg x = a, ctg x = a. Каждое
из таких уравнений решается по формулам:

Вид уравнения	Общий вид решения	Частные случаи
а = -1	а = 0	а = 1
sinx = a, \|a \| ≤ 1	x = (-1)^k arcsina + πk,
\|a\| > 1	корней нет
cos x= a \|a \| ≤ 1	x= + arccos a+2πk,
\|a\| > 1	корней нет
tg x = a а	x = arctg a + πk,
ctgx=a a	х = arcctga+kπ,

Для синуса существует две равнозначные формы записи
решения:

sinx = a, |a | ≤ 1 x
= (-1)^k arcsina + πk,

или

С помощью приставки «arc» в формулах
записываются обратные тригонометрические функции:

·
arcsinα
– угол, содержащийся в промежутке от — π/2 до π/2, синус которого равен α;

·
arccosα
– угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, косинус которого равен α;

·
arctgα
– угол, содержащийся в промежутке от — π/2 до π/2, тангенс которого равен α;

·
arcctgα
– угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, котангенс которого равен α.

arcsin(-α) = — arcsinα;

arccos(-α) = π –
arccosα;

arctg(-α)
= — arctgα;

arcсtg(-α)
= π –
arсctgα.

Для
решения простейших тригонометрических уравнений пользуются тригонометрическим
кругом и определениями тригонометрических функций.

Уравнение
вида решается по формуле: х =

Уравнение
вида решается по формуле: х=

Уравнение
вида решается по формуле: х =

Уравнение
вида решается по формуле: х=

Для тригонометрических уравнений не существует единого
метода решения. В каждом конкретном случае успех определяется, в частности,
знанием тригонометрических формул и навыками решения задач.

Лист
– помощник

Основное тригонометрическое тождество:

Дополнительные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы сложения.

Простейшие следствия из основного
тригонометрического тождества:

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Формулы двойного угла.

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

или

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Формулы половинного угла.

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в
произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Формулы понижения степени.

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Тригонометрические формулы преобразования
произведения в сумму.

Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы приведения:

Методы
решения тригонометрических уравнений.

Основные
методы решения тригонометрических уравнений.

I.
Метод – алгебраический.

Алгоритм
применения метода:

1)
Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических
функций. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести
ограничения на t).

2)
Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

3)
Сделать обратную замену.

4)
Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

5)
Записать
ответ.

Решить
уравнения:

1)
Решение:

	Раскроем скобки



	Сделаем замену: , \|t\| ≤ 1, получим уравнение:
3t² + 7 t + 4 =0
t₁=—1 t₂= — 4/3 – не явл. корнем
	Вернёмся к замене:
х = Z

2) tg² x + 2tg x – 3 = 0

Решение:

tg² x + 2tg x – 3 = 0	Сделаем замену: , , получим уравнение:
t² + 2 t — 3 = 0
t₁=1 t₂= -3	Вернёмся к замене:


Ответ: ;

Задания
для самостоятельного решения.

а)
Решите уравнение;

б)
Найдите все корни принадлежащие промежутку.

1
а) ; б)
[0;2π]

2.
а) б) [-π;π]

3.
а) ; б) [0;π]

4.
а) ; б) [-π ;0]

5.
а) ; б) [0;π]

6.
а) б) [π;]

7.
а) ; б)
[0;2π]

8.
а) ; б) [-π;]

9.
а) б) [0;]

10.
а) ; б) [π;3π]

11.
а) ; б) [- ;-2π]

12.
а) ; б) [; 4π]

13.
а) б) [-2π; -π]

Ответы

3.
;

4.;

б)

6.
7.

8.
9. .

10.
11..

12.

13.

II.
Метод — разложение на множители.

Алгоритм:

1)
С помощью формул, преобразовать уравнение.

2)
Вынести за скобки общий множитель.

3)
Решить простейшие тригонометрические уравнения.

4)
Записать ответ.

При
решении уравнений такого типа необходимо пользоваться известным правилом: произведение
нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а
остальные при этом имеют смысл.

Решить
уравнения:

1)4sin хcos х – 2cos х + 2sin х — 1 = 0

Решение:

4sin хcos х – 2cos х + 2sin х — 1 = 0
	Разложим на множители:

или
, , х = Z, x =	Решим первое уравнение:
	Решим второе уравнение:
Ответ: Z, ,

2)
3tg² х – 2tg х =
0

Решение:

3tg²х – 2tg х = 0
tg х (3tg х – 2) = 0
tg х = 0 или 3 tg х – 2 = 0


Ответ: ; .

Задания
для самостоятельного решения.

а)
Решите уравнение;

б)
Найдите все корни принадлежащие промежутку.

14.
а) б) [- ;- π]

15.
а) б) [ ; 3π]

16.
а) б) [2π;]

17.
а) ; б) [2π;]

18.
а) ; б) [-2π;]

19.
а) б) [0;]

20.
б) [2π;3π]

21. б)
[3π;4π]

Ответы

14.

15.

16.; 17.

18.

19.
.

20.
.

21.

III.
Метод — приведение к однородному уравнению.

Уравнения
вида: a sin x + b cos x = 0; a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0 называются
однородными относительно sin x и cos x.

Алгоритм
применения метода:

1)
Разделить обе части уравнения на: cos x ≠ 0; или cos²x ≠ 0.

2)
Получить уравнение относительно tgx: tgx +а = 0 или atg²x+btgx+c=0

3)
Решить уравнение известными способами.

Решить
уравнения:

1) sin² x + 2
sin(π– x) cos x – 3cos²
(2π – x) = 0

Решение:

sin² x + 2 sin(π– x) cos x – 3cos² (2π – x) = 0	Преобразуем уравнение, применяя формулы приведения;
sin² x + 2 sinx cos x – 3cos² x = 0	Разделим уравнение на cos² x, cos²x ≠ 0
tg² x + 2tg x – 3 = 0	Введём новую переменную и решим квадратное уравнение:
t² + 2 t — 3 = 0
t₁=1 t₂= -3	Вернёмся к замене:


Ответ: ;

2) 3sin
² 3x — 3 sin3xcos3x + 5cos² 3x = 2

Решение:

3sin ² 3x — sin3xcos3x + 5cos² 3x = 2	Преобразуем правую часть уравнения:
3sin ² 3x — sin3xcos3x + 5cos² 3x = = 2sin ² 3x + 2 cos² 3x	Привести подобные и получится уравнение:
sin ² 3x — sin3xcos3x + 3cos² 3x = 0	Разделим уравнение на cos² x, cos²x ≠ 0 и получим уравнение:
tg² 3x – 2tg3x + 3 = 0	Введём новую переменную и решим квадратное уравнение
tg 3x =
3х =
х =

Задания
для самостоятельного решения.

а)
Решите уравнение;

б)
Найдите все корни принадлежащие промежутку.

22.a)
б) [ ;6π]

23.
a) б) [- ;0]

24.
а) б)
[-3π;-2π].

25.
а) б) [-3π;-2π].

26.
а) ; б) [3π;4π].

27.
а) б)
[0;π].

28.
а) б) [-3π;-2π].

29.
а) б) [2π;3
π]

30.
а) б) [ ; -2π]

31.а)
б) [π;

Ответы

22.

23.
.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31..

IV.
Метод — переход к половинному углу.

Решение
уравнений основано на применении формул удвоенного аргумента.

Решить
уравнение: .

Решение:

	Преобразуем левую и правую части уравнения, используя формулы синуса и косинуса двойного угла и приём с приписыванием единичного множителя:
	Привести подобные и получится уравнение:
	Разделим уравнение на cos² x, cos²x ≠ 0 и получим уравнение:
tg² x – 6 tgx + 9 = 0	Введём новую переменную и решим квадратное уравнение:
tg x =
х =
Ответ:

Задания
для самостоятельного решения.

а)
Решите уравнение;

б)
Найдите все корни принадлежащие промежутку.

32. а) sin2x +2cosx
=0; б) [-π;

33. а) 2sin⁴
x +3cos2x + 1 = 0; б) [π;

34. а) cos² x
– 0,5sin2x +cosx =sinx; б) [;2π]

35. а) 0,5sin2x+sin²
x-sinx =cosx; б) [- ;]

36.
а)
cos2x -3cosx +2
=0; б) [- ;-]

Ответы

32.
33.

34.

35.
.

36..

V.
Метод — введение вспомогательного угла.

Одним
из способов решения уравнений вида является введение вспомогательного угла.
Разделим обе части уравнения на . Полученное уравнение решить известными
способами.

Решите
уравнение: 12cos x – 5sin x + 13 = 0.

Решение:

12cos x – 5sin x + 13 = 0.	.
cos x – sin x + 1 = 0.	Пусть , тогда записываем уравнение:
	Применяем формулу косинус суммы:

=
= x =	Где =
Ответ:

Задания
для самостоятельного решения.

а)
Решите уравнение;

б)
Найдите все корни принадлежащие промежутку.

37.
a) б) [- ;]

38.
a) б) [;π]

39.а)
б) [π;

40.
а) б) [π;

Ответы

37.

38.

39.

40.

VI.
Метод — преобразование произведения в сумму.

С
помощью формул (приложение 1) уравнение преобразовывается из произведения в
сумму. Решить полученное уравнение известными способами.

Решите
уравнение:

Решение:

	С помощью формул уравнение преобразовывается из произведения в сумму:



2
; 5х =

Ответ: ;

Задания
для самостоятельного решения.

Решите
уравнение:

41.
(Ответ: )

VII.
Метод — универсальная подстановка.

Используется
универсальная тригонометрическая подстановка:

, которая позволяет все тригонометрические
функции аргумента х выразить рационально относительно . Получим следующие формулы:

С
помощью универсальной подстановки можно любое уравнение вида свести к алгебраическому уравнению.

Важно
при этом помнить, что, делая замену, можно потерять те корни исходного
уравнения, для которых не определён, то есть значения их нужно проверять отдельно.

Необходимо
подчеркнуть, данные методы могут быть ещё значительно расширены. При этом, как
правило, в процессе решения тригонометрического уравнения приходится
использовать не один, а несколько из указанных выше методов, их комбинацию.

Решите
уравнение:

Решение:

sin x+ cos x=1	С помощью универсальной подстановки можно уравнение сведём к алгебраическому уравнению.

+ 1 — =



=
Ответ: ;

Задания
для самостоятельного решения.

Решите
уравнение:

42.
5sin x – 5 cos x = 7

(Ответ:
2 arcсtg 3 + 2πn, n Є Z; 2arctg 2 + 2πk, k Є Z)

Образец оформления решения заданий по материалам ЕГЭ

1. а).
Решите уравнение cos2x + 3sin²x=1,25.

2. б). Найдите
корни, принадлежащие отрезку [π;].

а).
Решение:

cos2x + 3sin²x=1,25.

Используя
формулу cos2x = cos²x – sin²x, получим:

cos²x
– sin²x+3sin²x=1,25; cos²x +2sin²x=1,25;
(cos²x +sin²x) + sin²x =1,25;

Используя
основное тригонометрическое тождество, получим:

1 +
sin²x = 1,25, sin²x = 0,25, sinx = .

Если sinx = 0,5 то x=(-1)ⁿ+πn, nZ. Если sinx =, то x=(-1)^к+1+πк, кZ.

б).
Проведём отбор корней на интервале [π;] с помощью числовой окружностью.

х₁= ,

х₂=

х₃
=

Ответ: а) (-1)ⁿ+πn, nZ;

(-1)^к+1+πк, кZ;

б)
,

2. a) Решите
уравнение sin2x = sin (+x).

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [-; -2,5π]

Решение:

a)
Используя
формулу sin2x =2sinxcosx, запишем
исходное уравнение в виде:

2sinxcosx = cosx,
sinxcosx — cosx = 0 ,   cosx (2sinx – 1) =
0. Значит,   cosx = 0,
откуда    х =    или 2sinx -1 = 0, sinx = 0,5,
откуда

х
= =(-1)^к+πк, кZ.

б).
Отберём корни из отрезка [-; -2,5π].

Для
уравнения cosx = 0 — это
—;. -2,5π

Для
уравнения sinx = :

1. Найдём k из
формулы .

, , ,

, .

На
данном промежутке целых значений k нет.

1. Найдём k из
формулы .

, , , , k = -2, x = .

Ответ: а). б). —;. —;

3. а)
Решите уравнение

б)
Найдите все корни этого уравнения,

Решение.

a) Запишем исходное
уравнение в виде:

;

б)
Отберём корни, принадлежащие
отрезку [- ;]

1.
Найдём к из формулы .

На
данном промежутке два целых значений к: к = -3 и к = -2. Следовательно, х₁ = -3π,

х₂ = -2π.

2.
Найдём n из
формулы

а)

На
данном промежутке целых значений нет.

б)

На
данном промежутке n = -1.
Следовательно, х = ,

Ответ:
а) ; ; б) -3π, -2π; .

Задания
для самостоятельного решения.

1.
а) Решите уравнение .

б)
Укажите корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

2.
а) Решите уравнение .

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

3.
а) Решить уравнение: 6cos²x – 7cosx – 5 = 0.

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

4.
а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

5.
а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

6.
а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

7.
а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

8.
а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку

Ответ:

9.
а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

10.
а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

11.
а) Решить уравнение.

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

12.
а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

13.
а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

14.
а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

15.
а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку

Ответ:

ЛИТЕРАТУРА

1.
С.А.
Шестаков, П.И. Захаров. ЕГЭ. Математика. Уравнения и системы. М. : МНЦМО, 2011
– 120 с.

2.
Демонстрационный
вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2020 года по математике.
Профильный уровень.

3.
Демонстрационный
вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2021 года по математике.
Профильный уровень.

4.
Демонстрационный
вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2022 года по математике.
Профильный уровень.

5.
ЕГЭ.
Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/
под. Редакцией И.В. Ященко. – М. «Национальное образование», 2022 – 224 с. –
(ЕГЭ. ФИПИ — школе).

6.
ЕГЭ.
Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/
под. Редакцией И.В. Ященко. – М. «Национальное образование», 2021 – 224 с. –
(ЕГЭ. ФИПИ — школе).

7.
https://math100.ru/ege-profil2022

8.
http://www.webmath.ru/poleznoe/trig_formules.php

Источник

Результат поиска:

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

Результат поиска:

ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения

ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравненияadmin2018-09-28T21:10:10+03:00

Скачать ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения в формате pdf.

Нашли ошибку в заданиях? Оставьте, пожалуйста, отзыв.

13 задания профильного ЕГЭ по математике представляет собой уравнение с отбором корней принадлежащих заданному промежутку. Одним из видов уравнений которое может оказаться в 13 задание является тригонометрическое уравнение. Как правило, это достаточно простое тригонометрическое уравнение для решения которого потребуется знания основных тригонометрических формул, и умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Отбор корней тригонометрического уравнения принадлежащих заданному промежутку можно производить одним из четырех способов: методом перебора, с помощью тригонометрической окружности, с помощью двойного неравенства и графическим способом. В данном разделе представлены тригонометрические уравнения (всего 226) разбитые на три уровня сложности. Уровень А — это простейшие тригонометрические уравнения, которые являются подготовительными для решения реальных тригонометрических уравнений предлагаемых на экзамене. Уровень В — состоит из уравнений, которые предлагали на реальных ЕГЭ и диагностических работах прошлых лет. Уровень С — задачи повышенной сложности.

Вставить формулу как

Блок

Строка

Дополнительные настройки

Цвет формулы

Цвет текста

#333333

ID формулы

Классы формулы

Используйте LaTeX для набора формулы

Предпросмотр

({})

Формула не набрана

Вставить

Источник

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

3. Найдите , если и .

4. Найдите значение выражения .

5. Найдите значение выражения .

6. Найдите значение выражения .

7. Найдите , если и .

8. Найдите значение выражения .

9. Найдите значение выражения .

10. Найдите , если .

11. Найдите , если и .

12. Найдите значение выражения .

13. Найдите значение выражения

14. Найдите значение выражения .

15. Найдите значение выражения .

16. Найдите , если .

17. Найдите , если и .

18. Найдите значение выражения .

19. Найдите значение выражения .

20. Найдите значение выражения , если .

21. Найдите , если и .

22. Найдите , если и .

23. Найдите , если и .

24. Найдите значение выражения .

25. Найдите значение выражения .

26. Найдите значение выражения .

27. Найдите , если .

28. Найдите значение выражения .

29. Найдите , если

30. Найдите значение выражения .

31. Найдите значение выражения .

32. Найдите значение выражения .

33. Найдите значение выражения .

34. Найдите значение выражения .

35. Найдите , если .

36. Найдите , если и .

37. Найдите , если и .

38. Найдите значение выражения .

39. Найдите значение выражения .

40. Найдите значение выражения .

41. Найдите значение выражения .

42. Найдите значение выражения

43. Найдите значение выражения .

44. Найдите , если .

45. Найдите значение выражения .

46. Найдите значение выражения .

47. Найдите значение выражения .

48. Найдите значение выражения

49. Найдите , если .

50 Найдите значение выражения .

51. Найдите значение выражения .

52. Найдите значение выражения .

53. Найдите значение выражения

54. Найдите значение выражения

55. Найдите , если .

56. Найдите , если .

57. Найдите , если

58. Найдите , если .

59. Найдите , если и

60. Найдите значение выражения

61. Найдите значение выражения .

62. Найдите значение выражения .

63. Найдите , если и .

64. Найдите , если

65. Найдите , если .

66. Найдите , если и .

67. Найдите значение выражения .

68. Найдите значение выражения .

69. Найдите , если .

70. Найдите значение выражения .

71. Найдите значение выражения .

72. Найдите значение выражения .

73. Найдите значение выражения , если .

74. Найдите значение выражения .

75. Найдите , если и .

76. Найдите , если и .

77. Найдите значение выражения .

78. Найдите значение выражения .

79. Найдите значение выражения .

80. Найдите значение выражения .

81. Найдите значение выражения .

82. Найдите значение выражения , если .

83. Найдите значение выражения .

84. Найдите значение выражения .

85 Найдите значение выражения .

86. Найдите значение выражения .

87. Найдите , если .

88. Найдите значение выражения .

89. Найдите значение выражения .

90. Найдите значение выражения .

91. Найдите значение выражения:

92. Найдите , если .

93. Найдите , если и .

94. Найдите значение выражения .

95. Найдите значение выражения .

96. Найдите значение выражения .

97. Найдите значение выражения .

98. Найдите значение выражения .

99. Найдите значение выражения .

100. Найдите значение выражения .

101. Найдите значение выражения .

102. Найдите значение выражения .

103. Найдите значение выражения: .

104. Найдите значение выражения: .

105. Найдите значение выражения .

106. Найдите значение выражения .

107. Найдите значение выражения .

109. Найдите корень уравнения . В ответе напишите наименьший положительный корень.

Источник

Андреева А.О. ЕГЭ по математике. Практическая подготовка. – СПб.: БХВ-Петербург, 2014. – 256 с.
Математика: ЕГЭ: учебно-справочные материалы (Серия «Итоговый контроль: ЕГЭ») / Ю.М. Нейман, Т.М. Королева, Е.Г. Маркарян. – М., СПб: «Просвещение», 2011. – 287 с.
Математика. ЕГЭ-2016. Тематический тренинг. 10-11 классы: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2015. – 400 с.
Семенов А.В. Основной государственный экзамен. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. Учебное пособие. / А.В. Семенов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко, П.И. Захарова, И.Р. Высоцкий; под ред. И.В. Ященко; Московский Центр непрерывного образования. – М.: Интеллект-Центр, 2017. – 248 с.
Шестаков С.А. ЕГЭ 2018. Математика. Простейшие уравнения. Задача 5 (профильный уровень). Задача 4 и 7 (базовый уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2018. – 64 с.
Ященко И.В. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни / Под ред. И.В. Ященко. – М. Издательство «Экзамен», 2020. – 703 с.

Источник

Тригонометрические уравнения

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Разложение на множители

Однородные уравнения

Введение дополнительного угла

Универсальная подстановка

Учет ОДЗ уравнения

Метод оценки

Тригонометрические уравнения повышенной сложности. Приемы решения

Задачи ЕГЭ с тригонометрией

ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения