Егэ 2020 вариант 36 ященко 36 вариантов фипи школе

Задание 1

В школе испанский язык изучают 117 учащихся, что составляет 15% от числа всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?

Ответ: 780

Задание 2

Ответ: 76

Скрыть

1. Вычислим цену одного деления по вертикали, получим: $$frac{30-20}{5}=2.$$

2. Для 2-го мая выберем столбик с наибольшей высотой. Это столбик для 4:00 и составляет $$70+3cdot 2=76%.$$

Задание 3

Ответ: 4

Скрыть

Тангенс угла равен отношению длины противолежащего катета на длину прилежащего катета. Рассмотрим треугольник, показанный на рисунке ниже. Катеты в этом прямоугольном треугольнике равны 4 и 1 соответственно, следовательно, тангенс угла AOB будет равен $${tan AOB }=frac{4}{1}=4.$$

Задание 4

В классе 16 учащихся, среди них два друга — Олег и Михаил. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Михаил окажутся в одной группе.

Ответ: 0,2

Задание 5

Найдите корень уравнения $${16}^{x-9}=frac{1}{2}.$$

Ответ: 8,75

Задание 6

В треугольнике ABC угол С равен 52$${}^circ$$, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 116

Задание 7

Ответ: -0,5

Скрыть

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к оси OX. Рассмотрим прямоугольный треугольник, показанный на рисунке ниже и найдем из него тангенс угла наклона касательной в точке $$x_0$$.

Противолежащий катет равен -3, прилежащий равен 6, следовательно, производная равна $$f’left(x_0right)={tan alpha }=-frac{3}{6}=-frac{1}{2}=-0,5.$$

Задание 8

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 4

Задание 9

Найдите значение выражения $$46sqrt{2}{cos (-frac{pi }{4}) }{sin left(-frac{pi }{6}right) }.$$

Ответ: -23

Задание 10

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб.) задаётся формулой $$q = 170-10р.$$ Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле $$r(p) = pcdot q.$$ Определите наибольшую цену р, при которой месячная выручка r(p) составит 520 тыс. руб. Ответ приведите в тысячах рублей.

Ответ: 13

Задание 11

На изготовление 522 деталей первый рабочий затрачивает на 11 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 609 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 8 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Ответ: 29

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$fleft(xright)=e^{2x}-4e^x+7$$ на отрезке $${rm [-1};{rm 1].}$$

Ответ: 3

Задание 13

Ответ: а) $$x=frac{pi }{2}+pi n, nin Z; -frac{pi }{3}+2pi k,kin Z; -frac{2pi }{3}+2pi l,lin Z$$; б) $$-frac{11pi }{2}.$$

Скрыть

а) Преобразуем уравнение: $$2{sin (x-frac{pi }{2}) }{cos (frac{pi }{2}+x) }+sqrt{3}{cos x }=0to $$ $$to -2{sin left(frac{pi }{2}-xright) }{cos left(frac{pi }{2}+xright) }+sqrt{3}{cos x }=0to 2{sin x }{cos x }+sqrt{3}{cos x }=0to $$ $$to {cos x }left(2{sin x }+sqrt{3}right)=0.$$

Имеем два уравнения: $$1) {cos x }=0to x=frac{pi }{2}+pi n, nin Z$$ $$2) {sin x }=-frac{sqrt{3}}{2}to x_1=-frac{pi }{3}+2pi k,kin Z;x_2=-frac{2pi }{3}+2pi l,lin Z $$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$left[-6pi ;-5pi right].$$ Получим число $$-frac{11pi }{2}.$$

Задание 14

Ответ: $$arctgfrac{1}{3}.$$

Скрыть

а) Построение. Плоскости $$ABC$$ и $$ADB_1$$ будут иметь две общие точки: точка N, лежащая на пересечении отрезков $$BC$$ и $$B_1D$$ и точка $$A$$, находящаяся в основании призмы (см. рисунок). Отрезок $$AN$$, соединяющий эти две точки, будет образовывать прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.

б) Угол между плоскостями будет соответствовать углу $$DHC$$, причем отрезок $$CH$$ будет являться высотой треугольника ACN. Из рисунка видно, что треугольники $$B_1C_1D$$ и $$CDN$$ подобны друг другу с коэффициентом подобия $$k=1$$. Отсюда следует, что отрезок $$CN=B_1C_1=3$$. Сторона $$AC=3$$. Следовательно, треугольник ACN равнобедренный с углом $$angle ACN=120{}^circ $$ (так как угол $$angle ACB=60{}^circ $$ в силу того, что треугольник ABC — равносторонний). В равнобедренном треугольнике высота CH будет являться также и биссектрисой. Высоту CH вычислим из прямоугольного треугольника CHN, в котором CN — гипотенуза с прилежащим к ней углом $$angle NCH=60{}^circ $$: $$CH={cos 60{}^circ }cdot CN=1,5.$$

Учитывая, что точка D лежит точно посередине отрезка $$CC_1$$, получаем длину отрезка $$CD=frac{1}{2}=0,5$$.

Найдем тангенс угла $$alpha $$ между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$ из прямоугольного треугольника $$CDH$$, получим: $${tan alpha }=frac{CD}{CH}=frac{0,5}{1,5}=frac{1}{3}$$ и $$alpha =arctgfrac{1}{3}.$$

Задание 15

Решите неравенство $$-2{{log }_{frac{x}{3}} 27 }ge {{log }_3 27x+1 }.$$

Ответ: $$(0;frac{1}{9}]cup [frac{1}{3};3)$$

Скрыть

1. Запишем ОДЗ: $$left{ begin{array}{c} x>0 \ frac{x}{3}ne 1 end{array} right.to left{ begin{array}{c} x>0 \ xne 3 end{array} right.to xin left(0;3right)cup left(3;+infty right).$$

2. Упростим неравенство, получим: $$-6{{log }_{frac{x}{3}} 3 }-3-{{log }_3 x }-1ge 0to frac{6}{{{log }_{frac{x}{3}} 3 }}+{{log }_3 x }+4le 0to $$ $$to frac{6}{{{log }_3 x }-1}+{{log }_3 x }+4le 0$$.

3. Сделаем замену: $${{log }_3 x }=t$$, получим: $$frac{6}{t-1}+t+4le 0to frac{t^2+3t+2}{t-1}le 0.$$

4. Получаем точки, делящие числовую прямую: $$left{ begin{array}{c} t^2+3t+2=0 \ t-1ne 0 end{array} right.$$$$to left{ begin{array}{c} t=-1 \ t=-2 \ tne 1 end{array} right..$$

5. Имеем следующие решения неравенства: Для $$tle -2$$: $${{log }_3 x }le {{log }_3 frac{1}{9} }to 0<xle frac{1}{9}to xin (0;frac{1}{9}]in $$ ОДЗ. 
 Для $$-1le t<1:$$ $${{log }_3 frac{1}{3}le {{log }_3 x } }<{{log }_3 3 }to frac{1}{3}le x<3to xin [frac{1}{3};3)in $$ ОДЗ.

Задание 16

Ответ: $$frac{25}{24}.$$

Скрыть

а) Пусть $$angle ABL=angle ABL=alpha ,$$ тогда $$angle ACB=angle ABC=2alpha , angle D=alpha $$ по свойству равнобедренного $$triangle .$$ $$angle ACB-$$ внешний в $$angle DCLto angle CLD=angle ACB-angle CDL=alpha =angle CDLto triangle DCL-$$ равнобедренный по признаку.

б) 1) Пусть $$LHbot BD,Hin BD.$$ В прямоугольном $$triangle LCH:CH=x,{cos 2alpha }={cos angle ABC }=, CL=CH:{cos 2alpha }=5x=CD$$ ($$triangle DCL-$$ равнобедренный).

2) В равнобедренном $$triangle BLD$$ высота LH является медианой $$to BH=DH=CH+CD=6x;$$ тогда $$BC=BH+CH=7x.$$

3) Пусть $$BM=CM=BC:2=3,5x;$$ AM — медиана, высота равнобедренного $$triangle ABC,$$ тогда из прямоугольного $$triangle AMC:AC=CM:{cos 2alpha }=3,5xcdot 5=17,5x;AL=AC-CL=12,5x.$$

4) $$DLcap AB=K.$$ Через точку С проведем $$CNparallel DL,CNcap AB=N.$$ По т. о пропорциональных отрезках:

— (для $$angle DBK$$) $$frac{BN}{NK}=frac{BC}{CD}=frac{7x}{5x}=frac{7}{5}to BN=7a, NK=5a left(a>0right);$$ тогда $$BK=BN+NK=12a.$$

— (для $$angle CAN$$) $$frac{AK}{NK}=frac{AL}{CL}=frac{12,5x}{5x}=frac{125}{50}=frac{5}{2}to AK=frac{5NK}{2}=frac{25a}{2};$$ тогда $$frac{AK}{BK}=frac{25a}{2cdot 12a}=frac{25}{24}.$$

Задание 17

Ответ: 65 млн. руб.

Скрыть

Вычислим доход фермера с первого поля, если он засеет на нем картофель. Урожайность картофеля на нем 500 ц/га, цена картофеля 5000 за центнер, размер поля 10 гектар, получаем размер дохода $$5000cdot 500cdot 10=25000000$$ руб.

Теперь сравним доход, если на первом поле будет засеяна свекла, получим $$8000cdot 300cdot 10=24000000$$ руб.

Отсюда видно, что на первом поле выгоднее сажать картофель. Аналогично сравним доход, приносимый вторым полем:

— для картофеля: $$5000cdot 300cdot 10=15000000$$ руб;

— для свёклы: $$8000cdot 500cdot 10=40000000$$ руб.

Следовательно, на втором поле выгоднее сажать свёклу. Таким образом, максимально возможный доход фермер может получить в сумме $$25+40=65$$ млн. руб.

Задание 18

Найдите все значения $$a,$$ при каждом из которых неравенство $$2x^3+9x+3left|x+a-2right|+2left|2x-a+2right|+sqrt[5]{2x-3}le 16$$ выполняется для всех значений $$xin left[-2;1right].$$

Ответ:

Скрыть

Поскольку неравенство должно выполняться для всех значений $$xin left[-2;1right]$$, то оно должно выполняться и при $$x=1.$$ Подставим $$x=1$$ в неравенство: $$11+3left|a-1right|+2left|4-aright|-1le 16$$ или $$3left|a-1right|+2left|4-aright|le 6$$ $$(cdot )$$.

Рассмотрим функцию $$fleft(aright)=3left|a-1right|+2left|4-aright|$$ на трёх промежутках: 
$$1) left{ begin{array}{c}age 4 \ fleft(aright)=3left(a-1right)+2left(a-4right)=5a-11 end{array}right.$$ 
$$2) left{ begin{array}{c}1<a<4 \ fleft(aright)=3left(a-1right)+2left(4-aright)=a+5 end{array}right.$$ 
$$3) left{ begin{array}{c}ale 1 \ fleft(aright)=3left(1-aright)+2left(4-aright)=-5a+11 end{array}right.$$ 
При $$a>1$$ функция возрастает, а при $$a<1$$ убывает. Следовательно, она принимает наименьшее значение в точке $$a=1.$$ Имеем: $$f_{min}=fleft(1right)=6.$$ Значит, неравенство $$(cdot )$$ может быть выполнено только при $$a=1.$$

При $$a=1$$ получим $$2x^3+9x+3left|x-1right|+2left|2x+1right|+sqrt[5]{2x-3}le 16.$$

Поскольку $$xin left[-2;1right],$$ то $$2x^3+9x+3left(1-xright)+2left|2x+1right|+sqrt[5]{2x-3}le 16leftrightarrow $$ $$leftrightarrow 2x^3+6x+2left|2x+1right|+sqrt[5]{2x-3}-13le 0 left(cdot cdot right).$$

Пусть $$gleft(xright)=2x^3+6x+2left|2x+1right|+sqrt[5]{2x-3}-13, xin left[-2;1right].$$

При $$xin left[-2;-frac{1}{2}right];gleft(xright)=2x^3+6x-2left(2x+1right)+sqrt[5]{2x-3}-13=$$ $$=2x^3+2x+sqrt[5]{2x-3}-15.$$

При $$xin left[-frac{1}{2};1right];gleft(xright)=2x^3+6x+2left(2x+1right)+sqrt[5]{2x-3}-13=$$ $$=2x^3+10x+sqrt[5]{2x-3}-11$$ функция $$gleft(xright)$$ также возрастающая, как сумма возрастающих функций. И поскольку $$gleft(1right)=0,$$ то при всех $$xin left[-2;1right]$$ выполняется неравенство $$(cdot cdot )$$

Задание 19

Ответ: а) 22; б) нет; в) 1280

Скрыть

Рассмотрим моток веревки длиной x см. Условие того, что его можно разрезать на n стандартных кусков, записывается в виде $$80nle xle 85n$$ или~$$80le frac{x}{n}le 85$$

а) В данном случае имеем $$80cdot 16<x<85cdot 16$$ (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на 16 стандартных кусков, тогда получаем $$1280<x<1360$$. Разрежем веревку на 22 куска, тогда должно выполняться неравенство $$xge 22cdot 80=1760=20,7cdot 80$$ — подходит. При $$n=23$$, $$23cdot 80=1840=85cdot 21,6>x$$, т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 22 стандартных куска.

б) $$80le frac{x}{n}le 85to 80le frac{700}{n}le 85to $$ из этого неравенства получаем, что нет целого числа n кусков, на которые можно поделить моток.

в) Отрезки $$left[80n;85nright]$$ и $$left[80(n+1);85(n+1)right]$$, являющиеся решением неравенств $$80nle xle 85n$$ и $$80(n+1)le xle 85(n+1)$$ , имеют общие точки для всех $$n$$, при которых $$80left(n+1right)le xle 85n$$, т.е. при $$nge 16$$.

Наибольшее $$n$$ при котором существует интервал $$left[85n;80(n+1)right]$$ $$n=16$$, а все точки $$xge 80cdot 16=1280$$ принадлежат отрезку $$left[80n;85nright]$$, где $$nge 16$$. При $$xge 1280$$ веревку можно разрезать на стандартные куски. 
Таким образом, искомое число равно 1280.