Егэ информатика рекурсия разбор - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

На уроке рассматривается решение 16 задания ЕГЭ по информатике про рекурсивные алгоритмы

Рекомендации по выполнению:

«Для успешного выполнения этого задания следует аккуратно произвести трассировку
предложенной рекурсивной функции»

Типичные ошибки и рекомендации по их предотвращению:

«Крайне важно отслеживать правильность возврата выполнения программы в нужную точку для
каждого рекурсивного вызова»

ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»

Для начала, разберем некоторые определения.

Процедура (функция)– это вспомогательный алгоритм (фрагмент кода программы), который служит для выполнения определенных действий.

Предназначена для:

выполнения одинаковых действий в различных местах одной и той же программы;

разбивки программы (или другой процедуры или функции) на подзадачи для улучшения читаемости кода;

Особенности программирования процедур (функций):

подпрограммы располагаются всегда выше основной программы:

сначала составляется заголовок процедуры или функции, в котором перечисляются формальные параметры, они обозначаются идентификаторами, как переменные (т.к. формальные параметры могут меняться, также как переменные):

var x,y:integer;
{ заголовок процедуры 
с формальными переменными x и y:}
procedure Sum(x,y:integer); 
begin
 ...
end;
// основная программа
begin
  ...
end.

var x,y:integer;
{ заголовок функции 
с формальными переменными x и y:}
function Sum(x,y:integer): integer; 
begin
  ...
end;
// основная программа
begin
 ...
end.

в месте вызова процедуры в круглых скобках указываются фактические параметры (числовые значения либо арифметические выражения) в том же порядке:

функция вызывается немного иначе:

{ заголовок процедуры 
с формальными переменными x и y:}
procedure Sum(x,y:integer); 
begin
 ...
end;
// основная программа
begin
  Sum(100,200)
end.

{ заголовок функции 
с формальными переменными x и y:}
function Sum(x,y:integer): integer; 
begin
  ...
end;
// основная программа
begin
 write (Sum(100,200))
end.

компилятор не будет выполнять процедуру (функцию) до момента ее вызова в основной программе;

пример работы процедуры и функции для сложения двух значений (порядок действий компилятора указан числами):

var x,y:integer;
procedure Sum(x,y:integer); 
begin
//3. Выводим сумму двух запрошенных чисел
  write(x+y); 
end;
begin
// 1. запрашиваем два числа
 readln(x,y);
// 2. передаем запрошенные числа в процедуру 
 Sum(x,y)  
end.

var x,y:integer;
function Sum(x,y:integer): integer; 
begin
{3. Суммируем два числа и присваиваем 
значение функции:}
  Sum:=x+y;
end;
begin
// 1. запрашиваем два числа
 readln(x,y);
{2. передаем запрошенные числа 
в функцию и выводим результат:} 
 write (Sum(x,y))
end.

Подробное описание работы с процедурами можно найти, перейдя по ссылке.

Рекурсивной называется процедура, вызывающая сама себя:

procedure row(n:integer);
begin
     if n >=1 then begin
        write (n, ' ');
        row(n-1)
     end;
end;
begin
    row(10);
end.

Для использования рекурсии, необходимо задать:

условие остановки рекурсии (обычно, в виде условного оператора):
рекуррентную формулу (обычно, вызов самой себя с измененным параметром):

Подробное описание работы с рекурсивными процедурами и функциями в Паскале можно найти здесь.

Плейлист видеоразборов задания на YouTube:
Задание демонстрационного варианта 2022 года ФИПИ

Решение по рекуррентной формуле

16_13:

Алгоритм вычисления значений функций F(n) и G(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(1) = 1; G(1) = 1;
F(n) = F(n–1) + 3·G(n–1), при n >=2 
G(n) = F(n–1) - 2·G(n–1), при n >=2

Чему равна сумма цифр значения F(18)?

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.NET:

function F(n: integer): integer; forward;
function G(n: integer): integer; forward;
 
function F(n: integer): integer;
begin
  if n = 1 then
    F := 1  // или result := 1
  else if n >= 2 then
    F := F(n - 1) + 3 * G(n - 1) 
    // или result := F(n - 1) + 3 * G(n - 1)
end;
 
function G(n: integer): integer;
begin
  if n = 1 then
    G := 1  // или result := 1
  else if n >= 2 then
    G := F(n - 1) - 2 * G(n - 1)
    // или result := F(n - 1) - 2 * G(n - 1)
end;
 
begin
  var res := F(18);
  var s := 0;
  while res > 0 do
  begin
    s := s + (res mod 10);
    res := res div 10;
  end;
  print(s)
end.

Питон:

def F( n ):
    if n == 1: 
        return 1
    elif (n >= 2):
        return F(n-1)+3*G(n-1)
def G( n ):
    if n == 1: 
        return 1
    elif (n >= 2):
        return F(n-1)-2*G(n-1)
 
res = F(18)
s = 0
while res > 0:
    s += res%10
    res = res // 10
print(s)

C++:

Результат: 46

16_1:

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(1) = 1
F(n) = F(n–1) * (n + 2), при n > 1

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.NET (решение №1):

function F(n: integer): integer;
begin
  if n = 1 then
    F := 1
  else if n > 1 then
    F := F(n - 1) * (n + 2)
end;
 
begin
  print(F(5))
end.

PascalABC.NET (решение №2):

function F(n:integer):integer:=
 n=1 ? 1
 :  F(n-1) * (n+2);
 
begin
  print(F(5))
end.

Питон:

def F( n ):
    if n == 1: 
        return 1
    elif (n > 1):
        return F(n-1)*(n+2)
print (F(5))

C++:

✎ Решение теоретическое (методом с конца к началу):

Из условия задания мы имеем рекуррентную формулу: F(n–1) * (n + 2) и условие остановки рекурсии: n > 1.
Поскольку рекуррентная формула уже задана, то остается подставить в нее начальный параметр — число 5:

F(5) = F(4) * 7

Теперь применим эту формулу для всех вызываемых вложенных функций, вплоть до F(1) (при котором «сработает» остановка рекурсии). Получим:

F(5) = F(4) * 7
       F(4) = F(3) * 6
              F(3) = F(2) * 5
                     F(2) = F(1) * 4
                              1

На F(2) необходимо остановиться, так как действует условие остановки рекурсии: формула работает для n > 1. Также учтем, что по условию F(1) = 1.
Теперь с конца к началу перепишем все получившиеся сомножители и перемножим их:

1 * 4 * 5 * 6 * 7 = 840

Результат: 840

16_2:

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(0) = 1, F(1) = 1
F(n) = 2 * F(n–1) + F(n-2), при n > 1

Чему равно значение функции F(6)? В ответе запишите только целое число.

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.NET (решение №2):

function F(n:integer):integer;
begin
  if (n = 0) or (n = 1) then result:=1
  else if n>1 then result:=2*F(n-1) + F(n-2);
end;
begin
  print(F(6))
end.

✎ Решение 1. Теоретическое (метод решения с начала к концу):

Из условия задания мы имеем рекуррентную формулу: 2 * F(n–1) + F(n-2) и условие остановки рекурсии: n > 1.
Из заданной рекуррентной формулы видим, что функция зависит от предыдущей функции (F(n–1)) и от пред-предыдущей функции (F(n-2)).
Так как первые два значения заданы (F(0) = 1, F(1) = 1), то можно построить таблицу последующих значений, двигаясь к числу 6:

n	0	1	2	3	4	5	6
F(n) ^{2*F(n – 1)+F(n — 2)}	1	1	2*1+1 =3	2*3+1 =7	2*7+3 =17	2*17+7 =41	2*41+17 =99

Таким образом, получаем, что при вызове функции F(6) результатом будет число 99

✎ Решение 2. Теоретическое (метод решения с конца к началу):

Поскольку рекуррентная формула уже задана, то остается подставить в нее начальный параметр — число 6:

F(6) = 2*F(5) + F(4)

Теперь применим эту формулу для всех вызываемых вложенных функций, вплоть до F(2) (F(1) и F(0) известны из условия задачи). Получим:

F(6) = 2*F(5) + F(4)
       F(5) = 2*F(4) + F(3)
              F(4) = 2*F(3) + F(2)
                     F(3) = 2*F(2) + F(1)
                              F(2) = 2*F(1) + F(0) = 2*1+1 = 3
                                        1       1

Теперь с конца к началу перепишем все получившиеся значения функций:

F(6) = 2*F(5) + F(4) = 2*41 + 17 = 99
       F(5) = 2*F(4) + F(3) + 2*17+7 = 41 ↑
              F(4) = 2*F(3) + F(2) = 2*7+3 = 17 ↑
                     F(3) = 2*F(2) + F(1) = 2*3+1 = 7 ↑
                              F(2) = 2*F(1) + F(0) = 2*1+1 = 3 ↑  
                                        1       1

Результат: 99

Решение данного задания 16 также можно посмотреть в видеоуроке (теоретическое):

📹 YouTube здесь

16_10:

Алгоритм вычисления значений функций F(n) и G(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(1) = 1; G(1) = 1;
F(n) = F(n–1) – G(n–1), 
G(n) = F(n–1) + 2*G(n–1), при n >= 2

Чему равно значение величины F(5)/G(5)?
В ответе запишите только целое число.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.NET:

function F(n: integer): integer; forward;
function G(n: integer): integer; forward;
 
function F(n:integer):integer;
begin
  if n = 1 then result:=1
  else if n>=2 then result:=F(n-1) - G(n-1);
end;
 
function G(n:integer):integer;
begin
  if n = 1 then result:=1
  else if n>=2 then result:=F(n-1) + 2*G(n-1);
end;
begin
  print(F(5)/G(5))
end.

✎ Решение теоретическое:

Решим задание с вызова функций F(5) и G(5). Будем получать формулы последовательно для F(5), F(4), …, F(1), G(5), G(4), …, G(1). Дойдя до известных значений F(1) = 1 и G(1) = 1, подставим их в полученные формулы:

F(5) = F(4) – G(4)
G(5) = F(4) + 2*G(4)
	F(4) = F(3) – G(3)  
	G(4) = F(3) + 2*G(3) 
		F(3) = F(2) – G(2) 
		G(3) = F(2) + 2*G(2) 
			F(2) = F(1) – G(1) 
			G(2) = F(1) + 2*G(1) 
                               F(1) = 1; G(1) = 1;

F(2) = F(1) – G(1) = 1 - 1 = 0
G(2) = F(1) + 2*G(1) = 1 + 2 = 3
F(3) = F(2) – G(2) = 0 - 3 = -3
G(3) = F(2) + 2*G(2) = 0 + 6 = 6
F(4) = F(3) – G(3) = -3 - 6 = -9 
G(4) = F(3) + 2*G(3) = -3 + 12 = 9
F(5) = F(4) – G(4) = -9 - 9 = -18
G(5) = F(4) + 2*G(4) = -9 + 18 = 9

Итого:

F(5)/G(5) = -18/9 = -2

Ответ: -2

Что вернет функция. Сколько символов «звездочка». Какова сумма чисел

16_9:

Что вернет функция F, если ее вызвать с аргументом 6?

Паскаль:

function f(a:word):longword;
begin
  if a>0 then
    f := f(a-1)*a;
  else
    f:=1;
end;

Бейсик:

FUNCTION F(a)
  IF a > 0 THEN
     F = F(a - 1) * a
  ELSE
     F = 1;
  END IF
END FUNCTION

Python:

def F(a):
    if a > 0:
        return F(a - 1) * a
    else:
        return 1

С++:

int F(int a);
int F(int a) {
  if (a > 0)
    return F(a - 1) * a;
  else
    return 1;
}

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.NET:

function f(a:word):longword;
begin
  if a>0 then
    f := f(a-1)*a
  else
    f:=1;
end;
begin
  print(f(6))
end.

✎ Решение теоретическое:
Рассмотрим алгоритм функции:

Если аргумент функции, т.е. a, равен единице, то функция возвращает в программу значение 1, иначе вызывается функция с аргументом a — 1 и результат этой функции умножается на a.
Это рекурсивный алгоритм вычисления факториала числа. Чтобы удостовериться в этом, выполним трассировку функции с аргументом = 6:

F(6):
6 > 0, то F(5)*6
F(5):
5 > 0, то F(4)*5
F(4):
4 > 0, то F(3)*4
F(3):
3 > 0, то F(2)*3
F(2):
2 > 0, то F(1)*2
F(1): 
1 > 0, то F(0)*1
F(0):
0 > 0 - нет, то F(0) = 1

Теперь подставляем значения, двигаясь вверх по прописанному алгоритму:
F(1)= F(0)*1 = 1*1 = 1
F(2)= F(1)*2 = 1*2 = 2
F(3)= F(2)*3 = 2*3 = 6
F(4)= F(3)*4 = 6*4 = 24
F(5)= F(4)*5 = 24*5 = 120
F(6)= F(5)*6 = 120*6 = 720

Т.е. 6! = 720

Ответ: 720

16_3:

Ниже записаны две рекурсивные функции (процедуры): F и G.
Сколько символов «звездочка» будет напечатано на экране при выполнении вызова F(18)?

Паскаль:

procedure F(n: integer); forward;
procedure G(n: integer); forward;
 
procedure F(n: integer);
begin
  write('*');
  if n > 10 then F(n - 2) else G(n);
end;
 
procedure G(n: integer);
begin
  write('**');
  if n > 0 then F(n - 3);
end;

Бейсик:

DECLARE SUB F(n)
DECLARE SUB G(n)
SUB F(n)
  PRINT "*"
  IF n > 10 THEN
     F(n - 2)
  ELSE
     G(n)
  END IF
END SUB
SUB G(n)
  PRINT "**"
  IF n > 0 THEN
     F(n - 3)
  END IF
END SUB

Python:

def F(n):
  print("*")
  if n > 10:
    F(n - 2)
  else:
    G(n)
def G(n):
  print("**")
  if n > 0:
    F(n - 3)

С++:

void F(int n) {
  std::cout << "*";
  if (n > 10) {
    F(n - 2);
  }
  else {
    G(n);
  }
}
void G(int n) {
  std::cout << "**";
  if (n > 0)
    F(n - 3);
}

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.NET:

procedure F(n: integer); forward;
procedure G(n: integer); forward;
var k:=0; // объявление глобальной переменной-счетчика 
procedure F(n: integer);
begin
  write('*');
  k+=1; // увеличение счетчика
  if n > 10 then F(n - 2) else G(n);
end;
 
procedure G(n: integer);
begin
  write('**');
  k+=2;// увеличение счетчика
  if n > 0 then F(n - 3);
end;
begin
 f(18);
 print(k) // вывод счетчика
end.

✎ Решение теоретическое:

Для удобства восприятия задания, выпишем рекуррентные формулы и условия остановки рекурсии для двух процедур:

Для F:
*
F(n - 2) при n > 10
G(n) при n <= 10

Для G:
**
F(n - 3) при n > 0

✎ Способ 1:

Выпишем последовательность вызовов процедур, начиная с указанного в задании F(18):

F(18) -> F(16) -> F(14) -> F(12) -> F(10) -> G(10) -> 
F(7) -> G(7) -> F(4) -> G(4) -> F(1) -> G(1) -> F(-2) -> G(-2)

Обратим внимание, что независимо от условия процедура F выводит на экран одну *, а процедура G выводит две *. Посчитаем для последовательности вызовов итоговую сумму звездочек: 9F + 5G = 9*1 + 5*2 = 19

Результат: 19

✎ Способ 2:

Рассмотрим пошагово выполнение программы при вызове F(18):

1 шаг: F(18)
       *    F(16)
2 шаг:      *    F(14)
3 шаг:           *    F(12)
4 шаг:                *    F(10)
5 шаг:                     *    G(10)
6 шаг:                          **   F(7)
7 шаг:                                *  G(7)
8 шаг:                                   **  F(4)
9 шаг:                                       *    G(4)
10 шаг:                                           **   F(1)
11 шаг:                                                *   G(1)
12 шаг:                                                    **   F(-2)
13 шаг:                                                         *   G(-2)
14 шаг:                                                             **

Посчитаем количество звездочек: 19

Результат: 19

Пошаговое аналитическое решение данного 16 задания ЕГЭ по информатике доступно в видеоуроке:

📹 YouTube здесь

Видеорешение на RuTube здесь

16_12:

Сколько символов «звездочка» будет напечатано на экране при выполнении вызова F(5)?

Паскаль:

procedure F(n: integer);
begin
 writeln('*');
 if n > 0 then begin
   F(n-2);
   F(n div 2);
   F(n div 2);
 end
end;

Бейсик:

DECLARE SUB F(n)
SUB F(n)
  PRINT '*'
  IF n > 0 THEN
     F(n - 2)
     F(n  2)
     F(n  2)
  END IF
END SUB

Python:

def F(n):
  print('*')
  if n > 0:    
    F(n-2)
    F(n // 2)
    F(n // 2)

С++:

void F(int n) {
  std::cout << ″*″;
  if (n > 0) {
    F(n - 2);
    F(n / 2);
    F(n / 2);
  }
}

✍ Решение:

В начале каждого вызова независимо от условия на экран выводится «звездочка». Кроме того, если условие n > 0 истинно, то функция вызывается еще три раза с разными аргументами. Таким образом, каждая функция выводит на экран либо одну звездочку (если условие ложно), либо 4 звездочки если условие истинно.
Схематично рассмотрим вызов каждой функции, начиная с функции F(5). Дойдя до F(0), для которой условие будет ложно, будем подставлять полученное количество «звездочек», двигаясь опять к F(5):

F(5) = одна '*', F(3), F(2), F(2)
F(3) = одна '*', F(1), F(1), F(1)
F(2) = одна '*', F(0), F(1), F(1)
F(1) = одна '*', F(-1), F(0), F(0)
F(0) = одна '*' = 1  (условие ложно)
F(-1) = одна '*' = 1 (условие ложно)
---
Движение обратно:
F(1) = одна '*', F(-1), F(0), F(0) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 '*'
F(2) = одна '*', F(0), F(1), F(1) = 1 + 1 + 4 + 4 = 10 '*'
F(3) = одна '*', F(1), F(1), F(1) = 1 + 4 + 4 + 4 = 13 '*'
F(5) = одна '*', F(3), F(2), F(2) = 1 + 13 + 10 + 10 = 34 '*'

Ответ: 34

16_4:

Ниже записаны две рекурсивные функции (процедуры): F и G.
Какова сумма чисел, напечатанных на экране при выполнении вызова F(17)?

Паскаль:

procedure F(n: integer); forward;
procedure G(n: integer); forward;
 
procedure F(n: integer);
begin
  writeln(n);
  if n mod 2  =0 then F(n div 2) 
  else G((n - 1) div 2);
end;
 
procedure G(n: integer);
begin
  writeln (n); 
  if n > 0 then F(n);
end;

Бейсик:

DECLARE SUB F(n)
DECLARE SUB G(n)
SUB F(n)
  PRINT n
  IF n MOD 2 = 0 THEN
     F(n  2)
  ELSE
     G ( (n - 1)  2)
  END IF
END SUB
SUB G(n)
  PRINT n
  IF n > 0 THEN
     F(n)
  END IF
END SUB

Python:

def F(n):
  print(n)
  if n % 2 == 0:
    F(n // 2)
  else:
    G((n - 1) // 2)
def G(n):
  print(n)
  if n > 0:
    F(n)

С++:

void F(int n) {
  std::cout << n << endl;
  if (n % 2 == 0) {
    F(n / 2);
  }
  else {
    G((n - 1) / 2) ;
  }
}
void G(int n) {
  std::cout << n << endl;
  if (n > 0)
    F(n);
}

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.NET:

procedure F(n: integer); forward;
procedure G(n: integer); forward;
var sum:=0; // сумматор
procedure F(n: integer);
begin
  writeln(n);
  sum+=n; // добавляем число в сумматор
  if n mod 2  =0 then F(n div 2) 
  else G((n - 1) div 2);
end;
 
procedure G(n: integer);
begin
  writeln (n); 
  sum+=n; // добавляем число в сумматор
  if n > 0 then F(n);
end;
begin
  F(17);
  print('sum =',sum)
end.

✎ Решение теоретическое:

Для удобства восприятия задания, выпишем рекуррентные формулы и условия остановки рекурсии для двух процедур:

Для F:
n
F(n div 2) при n - четное (n mod 2 = 0)
G((n - 1) div 2) при n - нечетное

Для G:
n
F(n) при n > 0

Выпишем последовательность вызовов процедур, начиная с указанного в задании F(17).
Обратим внимание, что независимо от условия как процедура F выводит на экран n, так и процедура G выводит n.

F(17) -> n - нечетное, G(8) вывод 17
G(8) -> F(8)                вывод 8
F(8) -> n - четное, F(4)    вывод 8
F(4) -> n - четное, F(2)    вывод 4 
F(2) -> n - четное, F(1)    вывод 2
F(1) -> n - нечетное, G(0)  вывод 1
G(0)                        вывод 0

Сумма:

17 + 8 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0 = 40

Результат: 40

16_5:

Ниже записаны две рекурсивные функции (процедуры): F и G.
Чему будет равно значение, вычисленное при выполнении вызова F(6)?

Паскаль:

function F(n: integer):integer; forward;
function G(n: integer):integer; forward;
function F(n:integer):integer;
begin
 if (n > 2) then
   F:= F(n - 1) + G(n - 2)
 else F:= n;
end;
function G(n:integer):integer;
begin
 if (n > 2)then
   G:= G(n - 1) + F(n -2)
 else G:= n+1;
end;

Бейсик:

FUNCTION F(n)
  IF n > 2 THEN
     F = F(n - 1) + G(n - 2)
  ELSE
     F = n;
  END IF
END FUNCTION 
FUNCTION G(n)
  IF n > 2 THEN
     G = G(n - 1) + F(n -2)
  ELSE
     G = n+1;
  END IF
END FUNCTION

Python:

def F(n):
    if n > 2:
        return F(n - 1) + G(n - 2)
    else:
        return n
def G(n):
    if n > 2:
        return G(n - 1) + F(n - 2)
    else:
        return n+1

С++:

int F(int n);
int G(int n);
int F(int n) {
  if (n > 2)
    return F(n - 1) + G(n - 2);
  else
    return n;
}
int G(int n) {
  if (n > 2)
    return G(n - 1) + F(n - 2);
  else
    return n + 1;
}

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

Результат: 17

Предлагаем посмотреть видеоразбор данного аналитического решения:

📹 YouTube здесь

Видеорешение на RuTube здесь

С каким аргументом?

16_8:

Вызов представленной ниже рекурсивной функции приводит к появлению на экране чисел и точек. С каким минимальным натуральным аргументом а нужно вызвать эту функцию, чтобы в результате на экране появилось 5 точек (не обязательно подряд, между точками могут встречаться числа)?

Паскаль:

function gz(a:integer):integer;
var p:integer;
begin
  if a<1 then begin 
   gz:=1; exit; 
  end;
  if a mod 3=0 then begin
   write('...');
   p:=gz(a div 3)+gz(a div 4);
  end
  else begin
    write('.');
    p:=gz(a div 4);
  end;
  write(p);
  gz:=2; 
end;

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.NET:

procedure F(n: integer); forward;
procedure G(n: integer); forward;
var sum:=0; // сумматор
procedure F(n: integer);
begin
  writeln(n);
  sum+=n; // добавляем число в сумматор
  if n mod 2  =0 then F(n div 2) 
  else G((n - 1) div 2);
end;
 
procedure G(n: integer);
begin
  writeln (n); 
  sum+=n; // добавляем число в сумматор
  if n > 0 then F(n);
end;
begin
  F(17);
  print('sum =',sum)
end.

Результат: 6

Смотрите подробное аналитическое решение:

📹 YouTube здесь

📹 Видеорешение на RuTube здесь (аналитическое)

Не актуально для компьютерного ЕГЭ

Все числа, которые будут напечатаны на экране, в том же порядке

16_6: Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Ниже на пяти языках программирования записан рекурсивный алгоритм F.
Паскаль:

procedure F(n: integer);
begin
if n > 0 then
begin
  write(n);
  F(n - 3);
  F(n div 3)
end
end;

Бейсик:

SUB F(n)
  IF n > 0 THEN
     PRINT n
     F(n - 3)
     F(n  3)
  END IF
END SUB

Python:

def F(n):
  if n > 0:
     print(n)
     F(n - 3)
     F(n // 3)

С++:

void F(int n){
  if (n > 0){
    std::cout <<n;
    F(n - 3);
    F(n / 3);
  }
}

Запишите подряд без пробелов и разделителей все числа, которые будут напечатаны на экране при выполнении вызова F(9). Числа должны быть записаны в том же порядке, в котором они выводятся на экран.

Похожие задания для тренировки

✍ Решение:

В данном фрагменте программы рекурсивная процедура вызывает саму себя дважды.
Благодаря условию, находящемуся в процедуре (if n > 0 — условие остановки рекурсии), обеспечивается выход из рекурсии и не происходит «зацикливания».
Выполнение процедур закончится, когда в каждой из вызванных процедур выполнятся по две внутренние процедуры, и условие if n > 0 перестанет работать (т.е. когда параметр процедуры n станет <= 0).
div — целочисленное деление, т.е., например:

5 div 2 = 2
1 div 2 = 0

Отобразим пошагово выполнение каждой процедуры, двигаясь сверху вниз и оставляя отступы слева с каждым новым шагом. В каждой строке будем отображать порядковый номер шага. Под вызовом каждой процедуры разместим именно те действия, которые происходят в данной процедуре:

   F(9)
1: 9  F(6)    (9 - 3 = 6)
2:     6   F(3)    (6 - 3 = 3)
3:          3    F(0)    (3 - 3 = 0, условие не работает)
4:         F(1)  (3 div 3 = 1)
5:          1    F(-2)    (1 - 3 = -2, условие не работает)
6:         F(0)    (1 div 3 = 0, условие не работает)
7:    F(2) (6 div 3 = 2)
8:     2   F(-1)    (2 - 3 = -1, условие не работает)
9:    F(0)    (2 div 3 = 0, условие не работает)
10:F(3)  (9 div 3 = 3)
11:3  F(0)     (3 - 3 = 0, условие не работает) 
12:F(1)  (3 div 3 = 1)   
13: 1   F(-2)     (1 - 3 = -2, условие не работает)

Выделены те числа, которые выводятся на экран. Подчеркнуты те процедуры, в которых условие не работает, соответственно, ничего на экран не выводится.
Перепишем по порядку все выводимые на экран числа сверху вниз: 9631231

Результат: 9631231

Подробное решение 16 (11) задания демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео:
📹 Видео 1 способ
📹 Видеорешение на RuTube здесь

2 способ:
📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

16_7:

Ниже записан рекурсивный алгоритм F. Запишите подряд без пробелов и разделителей все числа, которые будут напечатаны на экране при выполнении вызова F(130).
Числа должны быть записаны в том же порядке, в котором они выводятся на экран.

Паскаль:

procedure F(n: integer);
begin
  if n > 1 then
  begin
    write(n);
    F(n div 10);
    F(n - 40)
   end
end;

Бейсик:

SUB F(n)
  IF n > 1 THEN
     PRINT n
     F(n  10)
     F(n - 40)
  END IF
END SUB

Python:

def F(n):
  if n > 1:
     print(n)
     F(n // 10)
     F(n - 40)

С++:

void F(int n){
  if (n > 1){
    std::cout <<n;
    F(n / 10);
    F(n - 40);
  }
}

✍ Решение:

В данном фрагменте программы рекурсивная процедура F вызывает саму себя дважды.
В процедуре находится условие if n > 1 — условие остановки рекурсии, благодаря которому обеспечивается выход из рекурсии и не происходит «зацикливания».
Выполнение фрагмента программы закончится, когда в каждой из вызванных процедур выполнятся по две внутренние процедуры, и условие if n > 1 перестанет работать (т.е. когда параметр процедуры n станет <= 1).
div — целочисленное деление, т.е., например:

5 div 3 = 1
1 div 3 = 0

Выполним трассировку кода процедуры: двигаться будем пошагово сверху вниз, оставляя отступы слева с каждым новым шагом. В каждой строке будем отображать порядковый номер шага. Под вызовом каждой процедуры разместим именно те действия, которые происходят в данной процедуре:

   F(130) 130  
1: ➥  F(13) (130 div 10 = 13) 13
2:           ➥ F(1) условие не работает! 1 ≤ 0
3:           ➥ F(-27) условие не работает! -27 ≤ 0
4: ➥  F(90) (130 - 40 = 90) 90        
5:           ➥ F(9) (90 div 10 = 9) 9
6:                    ➥ F(0) условие не работает! 0 ≤ 0
7:                    ➥ F(-31) условие не работает! -31 ≤ 0
8:           ➥  F(50) (90 - 40 = 50) 50
9:                     ➥  F(5) (50 div 10 = 5) 5
10:                              ➥ F(0) условие не работает! 0 ≤ 0
11:                              ➥ F(-35) условие не работает! -35 ≤ 0
12:                    ➥  F(10) (50 - 40 = 10) 10
13:                              ➥ F(1) условие не работает! 1 ≤ 0
14:                              ➥ F(-30) условие не работает! -30 ≤ 0

Выделены красным цветом те числа, которые выводятся на экран. Подчеркнуты те процедуры, в которых условие не работает, соответственно, ничего на экран не выводится.
Перепишем сверху вниз все выводимые на экран числа: 1301390950510

Результат: 1301390950510

Предлагаем посмотреть видео разбора задания:
📹 YouTube здесь

📹 Видеорешение на RuTube здесь

16_11:

Определите, что выведет на экран программа при вызове F(5).

Паскаль:

procedure F(n: integer); forward;
procedure G(n: integer); forward;
procedure F(n: integer);
begin
  if n > 2 then
   begin
    write(n);
    F(n - 1);
    G(n - 2);
   end
  else
    write(n+2);
end;
procedure G(n: integer);
begin
  write(n);
  if n > 2 then
   begin
    G(n - 1);
    F(n - 2);
   end;
end;

Бейсик:

DECLARE SUB F(n)
DECLARE SUB G(n)
SUB F(n)
  IF n > 2 THEN
     PRINT n
     F(n - 1)
     G(n - 2)
  ELSE
     PRINT n+2
  END IF
END SUB
SUB G(n)
  PRINT n
  IF n > 2 THEN
     G(n - 1)
     F(n - 2)
  END IF
END SUB

Python:

def F(n):
    if n > 2:
        print(n, end='')
        F(n - 1)
        G(n - 2)
    else:
        print(n+2, end='')
 
def G(n):
    print(n, end='')
    if n > 2:
        G(n - 1)
        F(n - 2)

С++:

void G(int n);
void F(int n) {
	if (n > 2) {
	  std::cout << n;
	  F(n - 1);
	  G(n - 2);		
	  }
	else
	  std::cout << n+2;
}
void G(int n) {
	std::cout << n;
	if (n > 2) {
	  G(n - 1);
	  F(n - 2);
	  } 
}

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

При истинности условия функция F также, как и функция G «запускает» еще две функции: функция F: 1)F(n — 1) и 2)G(n — 2), а функция G: 1)G(n — 1) и 2)F(n — 2).
Рассмотрим последовательно алгоритм работы функций, нумеруя вызовы функций. Для удобства будем делать отступы для каждой функции. Таким образом, для вызова каждой функции должно быть два внутренних вызова:

F(5) = 5 (на экране)
1) F(n - 1), т.е. F(4)
    F(4) = 4(на экране)
    1) F(n - 1), т.е. F(3)
           F(3) = 3(на экране)
           1) F(n - 1), т.е. F(2)
                  F(2) = n + 2 = 4 (на экране) (блок else)
           2) G(n - 2), т.е. G(1)
   	          G(1) = 1 (на экране)
    2) G(n - 2), т.е. G(2)
	   G(2) = 2 (на экране)
2) G(n - 2), т.е. G(3)
    G(3) = 3 (на экране)
    1)G(n - 1), т.е. G(2)
           G(2) = 2 (на экране)
    2) F(n - 2), т.е. F(1)
           F(1) = n + 2 = 3 (на экране) (блок else)

Перепишем сверху вниз все цифры, выведенные на экран:

543412323

Ответ: 543412323

Источник

Шестнадцатое задание из ЕГЭ по информатике 2022 даётся на рекурсию.

Это задание нужно делать с помощью компьютера.

В программировании рекурсией называется процесс, когда функция вызывает сама себя или, когда две функции попарно вызывают друг друга.

Мы будем писать все программы на языке программирования Python.

Что такое Функция в языке программирования Python ?

Функция – это подпрограмма, результатом работы которой может является определенное значение.

Рассмотрим пример функции, которая суммирует два числа!

def F(x, y):
    s = x + y
    return s

a = int(input())
b = int(input())

r = F(a, b)

print(r)

Здесь функция F, которая суммирует два числа.

В главной части программы запрашиваются два числа с клавиатуры: a и b! Эти два числа передаются в функцию F. В функции эти числа кладутся в локальные переменные x и y. Сумма переменных x и y записывается в переменную s. Переменная s возвращается, как результат работы функции F.

Результат работы функции будет помещён в переменную r (в строке r = F(a, b)) в основной части программы.

Таким образом, в переменной r будет сумма двух переменных a и b.

Функции позволяют сократить программный код для однотипных расчётов.

Тренировочные задачи 16 задания из ЕГЭ по информатике 2023

Задача (Стандартная)

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число,
задан следующими соотношениями:

F(n) = 1 при n = 1;
F(n) = n + F(n − 1), если n – чётно,
F(n) = 3 × F(n − 2), если n > 1 и при этом n – нечётно.

Чему равно значение функции F(25)?

Решение:

Напишем программу для решения данной задачи. В начале опишем все правила, которые даны в условии задачи для функции. В основной части программы запустим эту функцию.

# Сама функция
def F(n):
    if n==1: return 1
    if n%2==0: return n+F(n-1)
    if n>1 and n%2!=0: return 3*F(n-2)
    
# Основная часть программы
print(F(25))

После запуска рекурсивной функции программа выведет ответ 531441.

Выражение n%2 != 0 (остаток от деления на «2» не равен нулю) обозначает нечётное число. Выражение n%2==0 обозначает чётное число.

Ответ: 531441

Продолжаем тренировку по подготовке к 16 заданию ЕГЭ по информатике 2022.

Задача (Продолжаем подготовку)

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(1) = 1
F(2) = 3
F(n) = F(n–1) * n + F(n–2) * (n – 1) , при n > 2

Чему равно значение функции F(8)? В ответе запишите только натуральное число.

Решение:

# Сама функция
def F(n):
    if n==1: return 1
    if n==2: return 3
    if n>2: return F(n-1)*n + F(n-2)*(n-1)
    
# Основная часть программы
print(F(8))

Ответ получается 148329.

Ответ: 148329

Закрепляющий пример на рекурсию 16 задания из ЕГЭ по информатике 2022.

Задача(Две функции)

Алгоритм вычисления значения функций F(n) и G(n), где n — натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(n) = 0, если n <= 2,
F(n) = G(n — 2), если n > 2

G(n) = 0, n <= 1,
G(n) = F(n — 1) + n, если n > 1

Чему равно значение функции F(8)? В ответе запишите только натуральное число.

Решение:

# Сами функции
def F(n):
    if n<=2: return 0
    if n>2: return G(n-2)

def G(n):
    if n<=1: return 0
    if n>1: return F(n-1)+n

# Основная часть программы
print(F(8))

Получается ответ 9.

Ответ: 9

Задача (Количество значений)

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(n) = 2*n*n*n + 1, при n > 25
F(n) = F(n+2) + 2*F(n+3), при n ≤ 25

Определите количество натуральных значений n из отрезка [1; 1000], для которых значение F(n) кратно 11.

Решение:

# Сама функция
def F(n):
    if n>25: return 2*n*n*n + 1
    if n<=25: return F(n+2) + 2*F(n+3)

k=0

# Перебираем диапазон
for i in range(1, 1001):
    if F(i)%11==0:
        k=k+1

print(k)

В начале формируем функцию F. Затем перебираем числа из диапазона от 1 до 1000. Каждое число подставляем в функцию F. Если значение функции F делится на 11, то мы зачитываем такое значение i.

В ответе получается 91.

Ответ: 91

Задача (Используем глобальную переменную)

Решение:

При решении этой задачи можно применить глобальную переменную.

def F(n):
    global s
    s=s+1
    if n>=1:
        s=s+1
        F(n-1)
        F(n-2)
        s=s+1

s=0
F(35)
print(s)

Здесь внутри функции заводим глобальную переменную s, которая будет подсчитывать количество напечатанных звёздочек. Теперь эту переменную видно при любом вызове функции, и при каждом вызове функции она будет одна и та же переменная. Вместо печати звёздочек пишем конструкцию s=s+1.

В основной части программы перед первым запуском функции переменной s присваиваем 0.

Программа может немного медленно работать из-за большой глубины рекурсии, но через минуту выведет число 96631265.

Ответ: 96631265

Новые тенденции

В последнее время мы видим тенденцию в 16 задании из ЕГЭ по информатике 2023, что теперь мало переписать функцию и её запустить. Необходимо подумать, как можно преобразовать то рекурсивное выражение, которое нужно вычислить.

Задача (Новое веяние)

(К. Багдасарян) Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(n) = 2, если n = 1,
F(n) = 2 · F(n – 1), если n > 1.

Чему равно значение выражения F(1900)/2¹⁸⁹⁰ ?

Решение:

1 Способ (Аналитическое решение)

Если мы просто перепишем функцию и попытаемся вычислить выражение F(1900)/2¹⁸⁹⁰, то получим ошибку RecursionError: maximum recursion depth exceeded. Возникает она из-за слишком большой цепочки вызовов функции.

В подобных задачах нужно попытаться самому упростить выражение, которое пытаемся вычислить. Посмотрим, что из себя представляет функция.

F(1900) = 2*F(1899) = 2*2*F(1898) = … 2¹⁹⁰⁰

Тогда

F(1900)/2¹⁸⁹⁰ = 2¹⁹⁰⁰/2¹⁸⁹⁰ = 2¹⁰ = 1024

Получается 1024.

2 Способ (Через lru_cache)

Чтобы уменьшить цепочку вызовов функции, можно использовать инструмент lru_cache.

from functools import lru_cache

@lru_cache(None)
def F(n):
    if n==1: return 2
    if n>1: return 2*F(n-1)

for i in range(2, 1900):
    F(i)

print(F(1900)/2**1890)

В задаче функция опирается на значение функции от n-1 и т.д. За счёт этого происходят длинные вычисления для каждого числа n.

Использовав инструмент lru_cache, мы пробегаемся в цикле по значениям n в возрастающем порядке, и для каждого значения сохраняем результаты функции. Таким образом, вычисляя очередное значение, программа опирается на уже готовый результат, тем самым цепочка вызовов функции будет маленькой.

Ответ: 1024

Задача(Новое веяние, закрепление)

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n — натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(n) = 1 при n ≤ 2;
F(n) = n * F(n-2), если n > 2.

Чему равно значение выражение F(3000)/F(2996) ?

Решение:

1 Способ (Аналитическое решение)

Начнём расписывать F(3000).

F(3000) = 3000*F(2998) = 3000*2998*F(2996)

Получается:

F(3000)/F(2996) = 3000*2998*F(2996)/F(2996) = 3000*2998 = 8994000

2 Способ (Через lru_cache)

from functools import lru_cache

@lru_cache(None)
def F(n):
    if n<=2: return 1
    if n>2: return n*F(n-2)

for i in range(2, 3000):
    F(i)

print(F(3000)/F(2996))

Ответ: 8994000

Задача (Вперёд к победе!)

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n — натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(n) = 1 при n=1;
F(n) = 2 при n=2;
F(n) = n*(n-1) + F(n-1) + F(n-2), если n > 2.

Чему равно значение функции F(2023) — F(2021) — 2*F(2020) — F(2019)?

Решение:

1 Способ (Аналитическое решение)

F(2023) = 2023*2022 + F(2022) + F(2021) =
= 2023*2022 + 2022*2021 + F(2021) + F(2020) + F(2021) =
=2023*2022 + 2022*2021 + 2021*2020 + F(2020) + F(2019) + F(2020) + F(2021) =
2023*2022 + 2022*2021 + 2021*2020 + 2*F(2020) + F(2019) + F(2021) =
2023*2022 + 2022*2021 + 2021*2020 + F(2021) + 2*F(2020) + F(2019)

Если подставим полученный результат в выражение, которое нужно найти, то получим:

2023*2022 + 2022*2021 + 2021*2020 = 12259388

2 Способ (Через lru_cache)

from functools import lru_cache

@lru_cache(None)
def F(n):
    if n==1: return 1
    if n==2: return 2
    if n>2: return n*(n-1) + F(n-1) + F(n-2)

for i in range(2, 2023):
    F(i)

print(F(2023) - F(2021) -2*F(2020) - F(2019))

Ответ: 12259388

Удачи при решении 16 задания из ЕГЭ по информатике 2022.

А если промежуток намного больше будет? например не [1, 1000], а [1,500 000 000]? пк зависнет просто.. можно кроме как разбивать промежуток много на разных программ решить такую задачу?

Ниже на пяти языках программирования записан рекурсивный алгоритм F.
def F(n):
  print(n)
  if n > 0:
  F(n — 1)
  F(n — 3)
Чему равна сумма всех чисел, напечатанных на экране при выполнении вызова F(5)?
А можете показать как это через python решать ?

Источник

Вычисление значений рекурсивной
функции

Разбор заданий № 16 КЕГЭ-2021

(соответствует за да нию № 11 ЕГЭ 2020)

Проверяемые элементы содержания: Вычисление рекуррентных выражений. Индуктивное определение
объектов. Умение записать и исполнить ре курсивный вычислительный алгоритм,
заданный в виде рекуррентных соотношений.

Проверяемые умения или способы действий: Строить информационные модели объектов, систем и процессов в
виде алгоритмов.

(повышенный уровень, время – 9 мин)

Что нужно знать:

Рекурсия^{^[1]}— определение, описание, изображение какого-либо объекта или
процесса внутри самого этого объекта или процесса, то есть ситуация, когда объект
является частью самого себя.
Рекурсия – способ определения множества объектов через это же множество на
основе заданных базовых случаев.
Рекурсивная функция^{^[2]}(от лат. recursio — возвращение) — это числовая функция
*f(n)* числового аргумента, которая в своей записи содержит себя же. Такая запись
позволяет вычислять значения *f(n)* на основе значений *f(n-1), f(n-2)*, …, подобно
рассуждению по индукции. Чтобы вычисление завершалось для любого n, необходимо,
чтобы для некоторых n функция была определена нерекурсивно
(например, для n = 0, 1).
Рекурсивно заданная функция определяет своё значение через обращение к себе
самой с другими аргументами. При этом возможно два варианта:
● Конечная рекурсивная функция. Она задаётся таким образом, чтобы для любого
конечного аргумента за конечное число рекурсивных обращений привести к одному из
отдельно определённых частных случаев, вычисляемых без рекурсии. Классический
пример: рекурсивно-определённый факториал целого неотрицательного числа:
● Бесконечная рекурсивная функция. Она задаётся в виде обращения к самой себе
во всех случаях (по крайней мере, для некоторых из аргументов). Подобным образом
могут задаваться бесконечные ряды, бесконечные непрерывные дроби и так далее.
Примером рекурсии в математике является числовая последовательность, заданная
рекуррентной формулой, когда каждый следующий член последовательности
вычисляется как результат функции от n предыдущих членов (например, числа
Фибоначчи).
	Рекурсивные алгоритмы – это вспомогательные алгоритмы, которые напрямую
	или через другие вспомогательные алгоритмы вызывают сами себя.
В программировании рекурсия^{^[3]}— вызов функции (процедуры) из неё же самой,
непосредственно (простая рекурсия) или через другие функции (сложная или
косвенная рекурсия), например, функция A вызывает функцию B, а функция B —
функцию A. Рекурсивная программа позволяет описать повторяющееся или даже
потенциально бесконечное вычисление, причём без явных повторений частей
программы и использования циклов.
Структурно рекурсивная функция на верхнем уровне всегда представляет собой
команду ветвления (выбор одной из двух или более альтернатив в зависимости от
условия (условий), которое в данном случае уместно назвать «условием прекращения
рекурсии»), имеющую две или более альтернативные ветви, из которых хотя бы одна
является рекурсивной и хотя бы одна — терминальной. Рекурсивная ветвь
выполняется, когда условие прекращения рекурсии ложно, и содержит хотя бы один
рекурсивный вызов — прямой или опосредованный вызов функцией самой себя.
Терминальная ветвь выполняется, когда условие прекращения рекурсии истинно; она
возвращает некоторое значение, не выполняя рекурсивного вызова. Правильно
написанная рекурсивная функция должна гарантировать, что через конечное число
рекурсивных вызовов будет достигнуто выполнение условия прекращения рекурсии, в
результате чего цепочка последовательных рекурсивных вызовов прервётся и
выполнится возврат.
Помимо функций, выполняющих один рекурсивный вызов в каждой рекурсивной
ветви, бывают случаи «параллельной рекурсии», когда на одной рекурсивной ветви
делается два или более рекурсивных вызова. Параллельная рекурсия типична при
обработке сложных структур данных, таких как деревья.
Основной недостаток рекурсии — повторные вычисления одних и тех же значений.
*Рекурсивным* называется алгоритм, вызывающий в процессе исполнения сам себя.	Рекуррентное соотношение – это запись, позволяющая вычислить следующее значение последовательности через значения предыдущих.
Для того, чтобы рекурсивный алго ритм имел завершение, требуется, чтобы его параметр изменялся в процессе исполне ния и чтобы было явно написано условие завершения рекурсии.	В рекуррентном соот ношении обязательным является указание значения для первого (начального) элемента последовательности.

Рекомендации:

Задание
выполняется на компьютере либо посредством написа ния рекурсивного

алгоритма в одной из систем программирования, либо организацией цепочки

вычислений в электронных
таблицах.

Информационные ресурсы:

1.
Теория:
Интерактивный плакат «Фракталы» http://elementy.ru/posters/fractals;

Запись вспомогательных алгоритмов на языке Паскаль;
Функции;

Рекурсия в
Python; Программирование на python: Теоретический материал (Рекурсия)

2. Задания
для тренировки: ЕГЭ−2021, Информатика: задания, ответы, решения. Обучающая
система Дмитрия Гущина

3. Онлайн-тест
Константина Полякова для подготовки к ЕГЭ:

16 —
Рекурсивные алгоритмы (Паскаль).

16 — Рекурсивные алгоритмы (Python).

16 — Рекурсивные алгоритмы (C++).

За да ние № 16 (ДЕМО ФИПИ КЕГЭ-2021)

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан
следующими соотношениями:
F(n) = 1 при n = 1;
F(n) = n + F(n − 1), если n – чётно,
F(n) = 2 × F(n − 2), если n > 1 и при этом n – нечётно.
Чему равно значение функции *F(26)*?
Решение:

I вариант – решение в
электронных таблицах:

1.
Составим таблицу для n = 1÷26. Введем в ячейки B2,
C2
и D2
формулы
соответствующие заданным рекуррентным соотношениям:

2. С
помощью автозаполнения копируем формулы из диапазона C2:D2 в E2:AA2

II вариант – решение на
Python:

Ответ:
4122

За да ние № 16 (ЕГЭ−2021. Досрочная волна)

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан
следующими соотношениями:
F(n) = 1 при n = 1;
F(n) = n + F(n − 1), если n – чётно,
F(n) = 2 × F(n − 2), если n > 1 и при этом n – нечётно.
Чему равно значение функции *F(24)*?
Решение:

I
вариант – решение в электронных таблицах:

1. Составим таблицу для n
= 1÷24. Введем в ячейки B2, C2
и D2
формулы
соответствующие заданным рекуррентным соотношениям:

2. С
помощью автозаполнения копируем формулы из диапазона C2:D2 в
E2:Y2

II
вариант – решение на Python:

Ответ: 2072

Разбор заданий №16. Готовимся к
итоговой аттестации 2021. Лещинер, В.Р.^{^[4]}Вариант № 1

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n — натуральное число, задан
следующими соотношениями:
F(n) = 1 при n = 1;
F(n) = 2×n + F(n — 1), если n — чётно,
F(n) = 3 × F(n — 2), если n > 1 и при этом n — нечётно.
Чему равно значение функции *F(18)*?
Решение:

I
вариант – решение в электронных таблицах:

1. Составим таблицу для n
= 1÷18. Введем в ячейки B2, C2
и D2
формулы
соответствующие заданным рекуррентным соотношениям:

2. С
помощью автозаполнения копируем формулы из диапазона C2:D2 в
E2:S2

II
вариант – решение на Python:

Ответ:
6597

Вариант № 2

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n — натуральное число, задан
следующими соотношениями:
F(n) = 1 при n = 1;
F(n) = 3×n + F(n — 1), если n — чётно,
F(n) = 3 × F(n — 2), если n > 1 и при этом n — нечётно.
Чему равно значение функции F(20)?
Решение:

I
вариант – решение в электронных таблицах:

1. Составим таблицу для n
= 1÷20. Введем в ячейки B2, C2
и D2
формулы
соответствующие заданным рекуррентным соотношениям:

2. С
помощью автозаполнения копируем формулы из диапазона C2:D2 в
E2:U2

II
вариант – решение на Python:

Ответ:
19743

Задание № 16.1

Алгоритм вычисления значения функции *F(n)*, где n — натуральное число, задан
следующими соотношениями:
F(n) = 1 при n ≤ 2;
F(n) = F(n — 1) + 2 × F(n — 2) при n > 2.
Чему равно значение функций F(7), F(12), F(17)?
В ответе запишите только натуральное число.
Решение:

I вариант – решение в
электронных таблицах:

1.
Составим таблицу для n = 1÷17. Введем в ячейки
B2,
C2
и D2
формулы
соответствующие заданным рекуррентным соотношениям:

2. С помощью автозаполнения
копируем формулы из ячейки D2 в диапазон E2:R2

II вариант – решение на
Python:

Ответ:
43, 1365, 43691

Задание № 16.2

Алгоритм вычисления значения функции *F(n), где n — натуральное* число, задан
следующими соотношениями:
F(n) = 2 при п ≤ 2;
F(n) = F(n — 1) + 3 × F(n — 2) при п > 2.
Чему равно значение функции F(5), F(10), F( 15)?
В ответе запишите только натуральное число.
Решение:

I вариант – решение в
электронных таблицах:

1.
Составим таблицу для n = 1÷15. Введем в ячейки
B2,
C2
и D2
формулы
соответствующие заданным рекуррентным соотношениям:

2. С помощью автозаполнения
копируем формулы из ячейки D2 в диапазон E2:P2

II вариант – решение на
Python:

Ответ: 38, 2318, 150632

Задание № 16.3
Алгоритм вычисления значения функции *F(n), где n — натуральное* число, задан
следующими соотношениями:
F(n) = n при п ≤ 2;
F(n) = F(n — 1) + 3 × F(n — 2) при п > 2.
Чему равно значение функции F(6), F(12), F( 18)?
В ответе запишите только натуральное число.
Решение:

I вариант – решение в
электронных таблицах:

1.
Составим таблицу для n = 1÷18. Введем в ячейки
B2,
C2
и D2
формулы
соответствующие заданным рекуррентным соотношениям:

2. С помощью автозаполнения копируем формулы из
ячейки D2 в диапазон E2:S2

II вариант – решение на
Python:

Ответ: 59, 8843, 1318811

Задание № 16.4
Алгоритм вычисления значения функции *F(n), где n — натуральное* число, задан
следующими соотношениями:
F(n) = n + 1 при п ≤ 2;
F(n) = F(n — 1) + 2 × F(n — 2) при п > 2.
Чему равно значение функции F(4), F(9), F( 14)?
В ответе запишите только натуральное число.
Решение:

I вариант – решение в
электронных таблицах:

1.
Составим таблицу для n = 1÷14. Введем в ячейки
B2,
C2
и D2
формулы
соответствующие заданным рекуррентным соотношениям:

2. С помощью автозаполнения копируем формулы из
ячейки D2 в диапазон E2:O2

II вариант – решение на
Python:

Ответ: 13, 427, 13653

За да ние № 11 (ДЕМО ЕГЭ-2020 ФИПИ)

Ниже на пяти языках программирования записан рекурсивный алгоритм F.
Бейсик	Python	С++
SUB F(n) PRINT n, IF n >= 3 THEN F(n 2) F(n — 1) END IF END SUB	def F(n): print(n, end=») if n >= 3: F(n // 2) F(n — 1)	void F(int n) { std::cout << n; if (n >= 3) { F(n / 2); F(n — 1); } }
Алгоритмический язык	Паскаль
алг F(цел n) нач вывод n если n >= 3 то F(div(n, 2)) F(n — 1) все кон	procedure F(n: integer); begin write(n); if n >= 3 then begin F(n div 2); F(n — 1) end end;
Запишите подряд без пробелов и разделителей все числа, которые будут выведены на
экран при выполнении вызова *F(5)*. Числа должны быть записаны в том же порядке, в
котором они выводятся на экран.

Решение:

f(5)	5	>= 3 – yes
	f(div(5,2))	2	>= 3 – not	∎
	f(5 — 1)	4	>= 3 – yes
		f(div(4,2))	2	>= 3 – not	∎
		f(4-1)	3	>= 3 – yes
				f(div(3,2))	1	>= 3 – not	∎
				f(3-1)	2	>= 3 – not	∎
Ответ:	5		24		23		12

Ответ: 5242312

За да ние № 11 (ДЕМО ЕГЭ-2019 ФИПИ)

Ниже на пяти языках программирования записан рекурсивный алгоритм F.
Бейсик	Python	С++
SUB F(n) IF n > 0 THEN F(n — 1) PRINT n F(n — 2) END IF END SUB	def F(n): if n > 0: F(n — 1) print(n) F(n — 2)	void F(int n) { if (n > 0){ F(n — 1); std::cout << n; F(n — 2); } }
Алгоритмический язык	Паскаль
алг F(цел n) нач если n > 0 то F(n — 1) вывод n F(n — 2) все кон	procedure F(n: integer); begin if n > 0 then begin F(n — 1); write(n); F(n — 2) end end;
Запишите подряд без пробелов и разделителей все числа, которые будут выведены на
экран при выполнении вызова *F(4)*. Числа должны быть записаны в том же порядке, в
котором они выводятся на экран.

Решение:

n=4

f(4)

f(4-2)

f(2-2)

∎

F(n — 1)
PRINT n

F(n — 2)

f(3)

f(3-2)

f(1-2)

∎ ↑

f(1)

∎ ↑

f(2)

f(2-2)

∎ ↑

f(1-1)

∎ ↑

f(0)

∎ ↑

f(1)

f(1-2)

∎ ↑

f(0)

∎ ↑

Ответ:

Ответ: 1231412

За да ние № 11 (ДЕМО ЕГЭ-2018 ФИПИ)

Ниже на пяти языках программирования записан рекурсивный алгоритм F.
Бейсик	Python	С++
SUB F(n) IF n > 0 THEN PRINT n F(n — 3) F(n 3) END IF END SUB	def F(n): if n > 0: print(n) F(n — 3) F(n // 3)	void F(int n) { if (n > 0){ F(n — 1); std::cout << n; F(n — 2); } }
Алгоритмический язык	Паскаль
алг F(цел n) нач если n > 0 то вывод n F(n — 3) F(div(n, 3)) все кон	procedure F(n: integer); begin if n > 0 then begin write(n); F(n — 3); F(n div 3) end end;
Запишите подряд без пробелов и разделителей все числа, которые будут выведены на
экран при выполнении вызова *F(9)*. Числа должны быть записаны в том же порядке, в
котором они выводятся на экран.

Решение:

f(9)	9							f(div(6, 3))	3
⤷	f(9-3)	6				f(div(6, 3))	2	⤴	f(3-3)	∎
	⤷	f(6-3)	3	f(div(3, 3))	1	⤴	f(2-3)	∎	f(div(3,3))	1
		⤷	f(3-3)	⤴	f(1-3)	∎				f(1-3) f(div(1,3))	∎ ∎
Ответ:	9	6	3		1		2		3	1

Ответ: 9631231

Источник

Автор материалов — Лада Борисовна Есакова.

Рекурсия — это способ определения объектов (понятий), при котором определение объекта строится, опираясь на само понятие объекта.

Для того, чтобы задать рекурсию, необходимо описать:

— условие остановки рекурсии (базовый случай);

— рекуррентную формулу.

В программировании если процедура вызывает сама себя, то, по сути, это приводит к повторному выполнению содержащихся в ней инструкций, что аналогично работе цикла. Рекурсия позволяет заменить цикл и в некоторых сложных задачах делает решение более понятным, хотя часто менее эффективным.

Некоторые языки программирования не содержат циклических конструкций вовсе, предоставляя программистам организовывать повторения с помощью рекурсии (например, Пролог, где рекурсия — основной прием программирования).

Классическим примером рекурсивного алгоритма является описание вычисления факториала:

где F(n-1)=(n-1)!

Рекурсивные алгоритмы вычисления одной функции

Пример 1.

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими рекуррентными соотношениями:

F(n) = 1 при n = 1;

F(n) = F(n − 1) · n при n ≥ 2.

Чему равно значение функции F(6)?

В ответе запишите только натуральное число.

Решение:

Последовательно найдём значения функции от базового случая F(1) до искомого значения F(6):

F(1) = 1

F(2) = 2

F(3) = 6

F(4) = 24

F(5) = 120

F(6) = 720

Ответ:720

Рекурсивные алгоритмы вычисления нескольких функций

Пример 2.

Алгоритм вычисления значений функций F(n) и G(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(1) = 1; G(1) = 1;

F(n) = F(n–1) – G(n–1),

G(n) = F(n–1) + 2*G(n–1), при n >=2

Чему равно значение величины F(5)/G(5)? В ответе запишите только целое число.

Решение:

Последовательно найдём значения функций от базового случая F(1), G(1) до искомых значений F(5), G(5):

F(1) = 1; G(1) = 1;

F(2) = F(1) – G(1) = 1 – 1 = 0;

G(2) = F(1) + 2*G(1) = 1+2 = 3;

F(3) = F(2) – G(2) = 0 – 3 = -3;

G(3) = F(2) + 2*G(2) = 0+6 = 6;

F(4) = F(3) – G(3) = -3 – 6 = -9 ;

G(4) = F(3) + 2*G(3) = -3+12 = 9;

F(5) = F(4) – G(4) = -9 – 9 = -18;

G(5) = F(4) + 2*G(4) = -9+18 = 9.

F(5)/G(5) = -18/9 = -2

Ответ:-2

Рекурсивные алгоритмы выполнения процедур

Пример 3.

Ниже на пяти языках программирования записан рекурсивный алгоритм F.

Бейсик	Python
SUB F(n) PRINT n IF n < 5 THEN F(n + 1) F(n + 3) END IF END SUB	def F(n): print(n) if n < 5: F(n + 1) F(n + 3)
Паскаль	Алгоритмический язык
procedure F(n: integer); begin writeln(n); if n < 5 then begin F(n + 1); F(n + 3) end end	алг F(цел n) нач вывод n, нс если n < 5 то F(n + 1) F(n + 3) все кон
Си
void F(int n) { printf(«%dn», n); if (n < 5) { F(n + 1); F(n + 3); } }

Чему равна сумма всех чисел, напечатанных на экране при выполнении вызова F(1)?

Решение:

Выпишем последовательно все действия, которые выполнят запускаемые процедуры:

F(1) выполнит следующие действия: Вывод числа 1, F(2), F(4)

F(2) выполнит следующие действия: Вывод числа 2, F(3), F(5)

F(4) выполнит следующие действия: Вывод числа 4, F(5), F(7)

F(3) выполнит следующие действия: Вывод числа 3, F(4), F(6)

F(5) выполнит следующие действия: Вывод числа 5

F(7) выполнит следующие действия: Вывод числа 7

F(4) выполнит следующие действия: Вывод числа 4, F(5), F(7)

F(6) выполнит следующие действия: Вывод числа 6

F(5) выполнит следующие действия: Вывод числа 5

F(7) выполнит следующие действия: Вывод числа 7

Просуммируем все числа, выведенные на экран: 1+2+4+3+5+5+7+4+6+5+7 = 49

Ответ: 49

Пример 4.

Ниже на пяти языках программирования записаны две рекурсивные функции (процедуры): F и G.

Сколько символов «звёздочка» будет напечатано на экране при выполнении вызова F(11)?

Решение:

Выпишем последовательно все действия, которые выполнят запускаемые процедуры:

F(11) G(10) * F(7) G(6) * F(3) G(2) * F(-1)

Всего на экране будет напечатано 3 «звездочки».

Ответ: 3

Пример 7.36.

Дан рекурсивный алгоритм:

procedure F(n: integer);

begin

writeln(‘*’);

if n > 0 then begin

F(n-3);

F(n-2);

F(n div 2);

end

end;

Сколько символов «звездочка» будет напечатано на экране при выполнении вызова F(6)?

Решение:

Для наглядности изобразим схему работы алгоритма в виде дерева:

Причем, распишем до конца каждое значение F(n) только один раз. Например, расписав один раз F(1), мы видим, что она напечатает в результате 5 звездочек. Т.е. F(1) = 5.

Проанализировав дерево, видим, что

F(0) = 1

F(2) = 3 + 2*F(1) = 13

F(3) = 1 + F(0) + 3*F(1) = 1 + 1 + 15 = 17

F(4) = 1 + F(1) + 3*F(2) = 1 + 5 + 3*13 = 45

F(6) = 1 + 3*F(3) + F(4) = 1 + 3*17 + 45 = 46 + 51 = 97

Ответ: 97

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задача №11. Использование рекурсивных алгоритмов.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Задание №11.
Умение исполнить рекурсивный алгоритм. Уровень сложности задания — базовый, максимальный балл за выполнение — 1, примерное время выполнения задания — 5 минут.
Знать: индуктивное определение объектов.
Уметь: строить информационные модели объектов, систем и процессов в виде алгоритмов.

Задание относится к базовому уровню сложности и обычно не вызывает у учащихся особых хлопот, но бывают задания более сложные и, из-за невнимательности, можно потерять драгоценные баллы.

Особых методик решения таких заданий я не встречал. Все просто, как дважды два. Выполняем алгоритм шаг за шагом и приходим к результату.

Пример задания. Дан рекурсивный алгоритм F. Приведите последовательность чисел (без пробелов и разделителей), которые будут напечатаны на экране при выполнении вызова F(4).

procedure F(n: integer);
begin
write (n);
if n > 1 then
begin
F(n — 1) ;
F(n — 2)
end
end;

Разбор задания. Конечно, это не самое сложное из того, что может быть на экзамене, но чтобы понять, как решаются задания такого типа, этого вполне достаточно. Выполнять алгоритм будем построчно и записывать ход решения тоже будем построчно (можно записывать ход решения в виде дерева, но я делаю так).

1. Начинаем с функции, которая стоит у нас в условии — F(4) и прогоняем весь наш алгоритм от первой до последней строчки.

F(4) выводит на экран 4, затем проверяется условие n > 1, так как оно истинно вызывается F(3), вызывается F(2). Мы не знаем, что выведет на экран F(3) и F(2), следовательно их тоже прогоним через алгоритм.

F(3) выводит на экран 3, затем проверяется условие n > 1, так как оно истинно вызывается F(2), вызывается F(1).
F(2) выводит на экран 2, затем проверяется условие n > 1, так как оно истинно вызывается F(1), вызывается F(0). Мы ещё не знаем, что выводят F(1) и F(0), так что продолжаем.

F(1) выводит на экран 1, затем проверяется условие n > 1, но 1 не больше 1 и это условие ложно, на этом шаге процедура заканчивает свою работу.
F(0) выводит на экран 0, затем проверяется условие n > 1, но 0 не больше 1 и это условие ложно, на этом шаге процедура заканчивает свою работу.

Теперь мы все делаем в обратном порядке, записывая полученные результаты, пока не дойдем до процедуры F(4).

F(0) выводит на экран 0
F(1) выводит на экран 1
F(2) выводит на экран 210
F(3) выводит на экран 32101
F(4) выводит на экран 432101210

Ответ: 432101210.

Пример задания. (задания взяты с сайта К.Ю. Полякова http://kpolyakov.spb.ru)

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(n) = 1 при n = 1;
F(n) = n + F(n − 1), если n – чётно,
F(n) = 2 × F(n − 2), если n > 1 и при этом n – нечётно.

Чему равно значение функции F(26)?

Решение. Такого типа задания довольно легко решаются вручную на бумаге, но это сделать довольно просто, если мы ищем значение функции F от небольшого значения переменной n. А если нас попросят найти значение функции F(100), что тогда? На бумаге и вручную будет затрачено довольно много времени. Выход есть, даже два! Можно решить задание с помощью процессора электронных таблиц, например Microsoft Excel, а ещё можно написать программу и программа эта не так уж и сложна. Мы разберём второй вариант.

Сначала опишем функцию:
function F(n:integer):integer;

begin
if n = 1 then
    F := 1
else if n mod 2 = 0 then
    F:= n + F(n-1)
else
    F:= 2 * F(n-2);
end;

Теперь нам просто надо вызвать функцию F(n) с нужным нам параметром.

begin
writeln(F(26));
end.

Полный текст программы:

function F(n:integer):integer;

begin
if n = 1 then
    F := 1
else if n mod 2 = 0 then
    F:= n + F(n-1)
else
    F:= 2 * F(n-2);
end;

begin
writeln(F(26));
end.

Ответ: 4122.

Пример задания. Алгоритм вычисления значения функций F(n) и G(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(1) = G(1) = 1
F(n) = 3·F(n–1) + G(n–1) – n + 5, если n > 1
G(n) = F(n–1) + 3·G(n–1) – 3·n, если n > 1

Чему равно значение F(14) + G(14)?

Решение. Особых отличий в написании программы для этого примера нет. Просто тут у нас две функции – F(n) и G(n).

Сначала опишем функцию F(n):

function F(n:integer):integer;
begin
if n = 1 then
F := 1
else if n > 1 then
F:= 3*F(n-1) + G(n-1) — n + 5;
end;

Теперь опишем функцию G(n):

function G(n:integer):integer;
begin
if n = 1 then
G := 1
else if n > 1 then
G:= F(n-1) + 3*G(n-1) — 3 * n;
end;

Напишем саму программу

begin
writeln(F(14) + G(14));
end.

Запускаем и видим, что программа не «пошла». А вся причина в том, что функции «друг друга не видят». Для исправления данной ошибки в самом начале программы добавим несколько строк кода:

function F(n:integer):integer;
forward;
function G(n:integer):integer;
forward;

forward – это процедурная директива (предописание), другие процедуры и функции могут вызывать предописанную подпрограмму, делая возможной взаимную рекурсию.

Полный текст программы:

function F(n:integer):integer;
forward;
function G(n:integer):integer;
forward;

function F(n:integer):integer;
begin
if n = 1 then
F := 1
else if n > 1 then
F:= 3*F(n-1) + G(n-1) — n + 5;
end;

function G(n:integer):integer;
begin
if n = 1 then
G := 1
else if n > 1 then
G:= F(n-1) + 3*G(n-1) — 3 * n;
end;

begin
writeln(F(14) + G(14));
end.

Ответ: 37282721.

Источник

Характеристика задания

1. Тип ответа: запись числового значения.

2. Структура содержания задания: дана рекурсивная функция.

3. Уровень сложности задания: повышенный.

4. Примерное время выполнения: (5) минут.

5. Количество баллов: (1).

6. Требуется специальное программное обеспечение: да.

7. Задание проверяет умение работать с рекурсивными алгоритмами, осуществлять вычисления с помощью языка программирования.

Пример задания (демоверсия (2022))

Алгоритм вычисления значения функции (F(n)), где (n) — натуральное число, задан следующими соотношениями:

(F(n)) (=) (1) при (n=1);

(F(n) = n + F(n-1)), если (n) чётно,

(F(n)) (= 2 × F(n-2)), если (n>1) и при этом (n) нечётно.

Чему равно значение функции (F(26))?

Как решать задание?

Задание можно решить «ручным» методом, т. е. самостоятельно посчитать функцию. Это займёт слишком много времени, поэтому лучше написать программу.

Что такое функция, можно вспомнить тут.

Что такое рекурсивный алгоритм, можно вспомнить тут.

Напишем программу

	Объявим функцию
	Опишем первое условие: если (n=1), то…
	Оператор return прекращает вычисление функции. При (n=1) функция закончит своё вычисление и будет равна (1)
	В следующем условии будет определять чётность (n). % — это получение остатка от деления
	Если (n) будет чётным, то выполним следующее действие: (n+f(n-1))
	Если (n) больше единицы и при этом нечётное… Напомним, знак (!=) обозначает «не равно»
	Выполним действие: (2*f(n-2))
	Организуем вывод данных, в скобках укажем необходимое нам значение (n). Запустим программу