Егэ квадратные уравнения задания - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Каталог заданий.
Линейные, квадратные, кубические уравнения

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 5 № 26662

Найдите корень уравнения:

Аналоги к заданию № 26662: 10149 9653 9659 9667 9669 9673 9677 9679 9691 9693 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.2 Рациональные уравнения

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 5 № 26663

Найдите корень уравнения:

Аналоги к заданию № 26663: 9655 10135 9657 9661 9663 9665 9671 9675 9681 9683 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.2 Рациональные уравнения

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 5 № 77368

Решите уравнение

Аналоги к заданию № 77368: 100259 100757 509597 509988 510118 513336 513357 100261 100263 100265 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень, 2.1.2 Рациональные уравнения

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 5 № 77369

Решите уравнение

Аналоги к заданию № 77369: 100759 100787 100761 100763 100765 100767 100769 100771 100773 100775 … Все

Решение

Курс Д. Д. Гущина

2 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 5 № 77371

Найдите корень уравнения Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Аналоги к заданию № 77371: 100881 101379 524042 624069 624103 100883 100885 100887 100889 100891 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.1 Квадратные уравнения, 2.1.2 Рациональные уравнения

Решение

Курс Д. Д. Гущина

3 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Поиск

Всего: 134 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 700 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = T₀ + bt + at² , где t  — время в минутах, T₀ = 1380 К, а = −15 К/мин², b= 165 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы:где t  — время (в мин.), T₀  =  680 К, а  =  −16 К/мин², b  =  224 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1400 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Источник: ЕГЭ — 2016. Основная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

где t  — время (в мин.), T₀ = 1380 К, a = −15 К/мин², b = 165 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна.

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой где h  — высота в метрах, t  — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров?

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2013 по математике.

Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Всего: 134 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Квадратные и линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение, сводящееся к виду (large{ax+b=0}), где (ane
0, b) – числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственное решение (x=-dfrac ba).

Квадратное уравнение – уравнение, сводящееся к виду (large{ax^2+bx+c=0}), где (ane
0,b,c) – числа.
Выражение (D=b^2-4ac) называется дискриминантом квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь не более двух корней:

(bullet) если (D>0), то оно имеет два различных корня

[x_1=dfrac{-b+sqrt{D}}{2a} quad text{и} quad x_2=dfrac{-b-sqrt{D}}{2a}]

(bullet) если (D=0), то оно имеет один корень (иногда говорят, что два совпадающих)

[x_1=x_2=-dfrac{b}{2a}]

(bullet) если (D<0), то оно не имеет корней.

(blacktriangleright) Теорема Виета для квадратного уравнения:

Если квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней уравнения

[{large{x_1+x_2=-dfrac{b}{a}}}]

а произведение

[{large{x_1cdot x_2=dfrac{c}{a}}}]

(blacktriangleright) Если квадратное уравнение:

(sim) имеет два корня (x_1) и (x_2), то (ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)).

(sim) имеет один корень (x_1) (иногда говорят, что два совпадающих), то (ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2).

(sim) не имеет корней, то квадратный трехчлен (ax^2+bc+c) никогда не может быть равен нулю. Более того, он при всех (x) строго одного знака: либо положителен, либо отрицателен.

(blacktriangleright) Полезные формулы сокращенного умножения:

[begin{aligned}
&x^2-y^2=(x-y)(x+y)\
&(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\
&(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
end{aligned}]

Задание
1

#305

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения (dfrac{2}{9}x = 4dfrac{1}{9}).

ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на 9. После умножения: (2x = 37), что равносильно (x = 18,5) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 18,5

Задание
2

#306

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения (-dfrac{4}{3}x = 5dfrac{2}{3}).

ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на (-3). После умножения: (4x = -17), что равносильно (x = -4,25) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -4,25

Задание
3

#310

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения (x^2 — 11x + 28 = 0). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Дискриминант данного уравнения (D = 121 — 28 cdot 4 = 121 — 112 = 9 = 3^2). Корни [x_1 = dfrac{11 + 3}{2} = 7, x_2 = dfrac{11 — 3}{2} = 4] – подходят по ОДЗ. Ответ: (x = 7) – больший корень уравнения.

Ответ: 7

Задание
4

#311

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения (2x^2 — 7x + 3 = 0). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Дискриминант данного уравнения (D = 49 — 24 = 25 = 5^2). Корни (x_1 = dfrac{7 + 5}{4} = 3, x_2 = dfrac{7 — 5}{4} = 0,5) – подходят по ОДЗ. Ответ: (x = 0,5) – меньший корень уравнения.

Ответ: 0,5

Задание
5

#312

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения ((4x + 5)^2 = (4x + 4)^2).

ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем (16x^2 + 40x + 25 = 16x^2 + 32x + 16), что равносильно (8x = -9), откуда (x = -1,125) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1,125

Задание
6

#314

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения ((5x + 8)^2 = 160x).

ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем (25x^2 + 80x + 64 = 160x), что равносильно (25x^2 — 80x + 64 = 0), что равносильно ((5x — 8)^2 = 0), что равносильно ((5x — 8)(5x — = 0).

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что [x = dfrac{8}{5} = 1,6] – единственный корень – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,6

Задание
7

#315

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения ((2x + 11)^2 = 88x).

ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем (4x^2 + 44x + 121 = 88x), что равносильно (4x^2 — 44x + 121 = 0), что равносильно ((2x — 11)^2 = 0), что равносильно ((2x — 11)(2x — 11) = 0).

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что [x = dfrac{11}{2} = 5,5] – единственный корень – подходит по ОДЗ.

Ответ: 5,5

Знакомство школьника с квадратными уравнениями вида (ax²+bx+c=0), где (ane 0), (b), (c) — заданные числа, происходит еще задолго до сдачи ЕГЭ по математике в Москве или любом другом городе РФ, а именно в 8 классе. Несмотря на то, что на изучение материала по данной теме, как правило, отводится немало времени, далеко не все школьники с легкостью решают подобные задачи. Поэтому, готовясь к сдаче выпускного экзамена, школьникам как в Москве, так и в других населенных пунктах РФ необходимо повторить такой раздел алгебры, как квадратные уравнения: в ЕГЭ по математике они обязательно встретятся.

Для того чтобы освежить в памяти основные способы решения подобного задания и способы решения иррациональных уравнений, воспользуйтесь образовательным проектом «Школково». Наши специалисты подготовили для вас в максимально понятной и доступной форме теоретический материал по теме «Квадратные уравнения», подобрали интересные примеры, которые встречаются в ЕГЭ, а также их подробные решения.

Необходимо запомнить

Для решения квадратных уравнений в ЕГЭ по математике следует выучить формулу, по которой вычисляется дискриминант. Она довольная простая: (D=b2−4ac).

Квадратное уравнение, которое вам предстоит решить в ЕГЭ, может иметь не более двух корней. Если вычисленный дискриминант больше 0, то следует использовать следующие формулы:

(x_1=dfrac{-b+sqrt{D}}{2a})

(x_2=dfrac{-b-sqrt{D}}{2a})

Если D = 0, то уравнение имеет один корень (иногда говорят, что 2 равных):

(x_1=x2=dfrac{-b}{2a})

Если дискриминант меньше 0, то уравнение не имеет корней.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Квадратные и степенные уравнения»

Открытый банк заданий по теме квадратные уравнения. Задания B10 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1091

Тип задания: 10
Тема:
Квадратные и степенные уравнения

Условие

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и вычисляет расстояние до воды по формуле h=5t^2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. Время падения камешков до дождя составляло 0,4 с. Определите, насколько должен подняться уровень воды в колодце после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.

Показать решение

Решение

Пусть h_0 — расстояние до воды до дождя, h — после дождя (в метрах). После дождя время падения t уменьшится и станет равно 0,4-0,1=0,3 с. Тогда h_0-h= 5(t_0^2-t^2)= 5(0,4^2-0,3^2)= 0,35.

Ответ

0,35

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1089

Тип задания: 10
Тема:
Квадратные и степенные уравнения

Условие

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m=6 кг и радиусом R=12 см и двух боковых с массами M=2 кг и радиусами R+h. Момент инерции катушки относительно своей оси вращения, определяется формулой I=frac{(m+2M)R^2}{2}+M(2Rh+h^2) и выражается в кг · см². Определите, при каком наибольшем значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 770 кг · см²? Ответ выразите в сантиметрах.

Показать решение

Решение

Решим неравенство Ileqslant770 относительно h, учитывая, что m=6, R=12, M=2.

frac{(6+2cdot2)cdot12^2}{2},+ 2(2cdot12h+h^2)leqslant770,

720+48h+2h^2leqslant770,

h^2+24h-25leqslant0,

откуда -25leqslant hleqslant1.

Максимальное значение h равно 1 сантиметру.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №937

Тип задания: 10
Тема:
Квадратные и степенные уравнения

Условие

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v_0 = 12 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 4 м/с². После начала торможения за t секунд автомобиль преодолел расстояние S=v_0t-frac{at^2}{2} (м). Сколько секунд прошло с момента начала торможения, если за это время автомобиль проехал 16 метров?

Показать решение

Решение

Подставим данные задачи в формулу S=v_0t-frac{at^2}{2}.

16=12t-frac{4t^2}{2},

t^2-6t+8=0,

t_1=4,,t^2=2.

С помощью формулы скорости при равнозамедленном движении v=v_0-at найдём время движения автомобиля до остановки: v=0, v_0=12 м/с, a=4 м/с²; 0=12-4t, откуда t=3. Итак, автомобиль остановится через 3 секунды после начала торможения.

Учитывая, что tleqslant3, получим, что от момента начала торможения прошло 2 секунды.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №934

Тип задания: 10
Тема:
Квадратные и степенные уравнения

Условие

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1+8t-5t^2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

Показать решение

Решение

Решим относительно t неравенство h(t)geqslant4.

-5t^2+8t+1geqslant4,

5t^2-8t-1leqslant-4,

5t^2-8t+3leqslant0.

Найдем корни уравнения 5t^2-8t+3=0:

Вычислим дискриминант: D=b^2-4ac= -8^2-4cdot5cdot3= 64-60=4,

t_{1,2}= frac{-bpmsqrt D}{2a}= frac{8pmsqrt4}{2cdot5}= frac{8pm2}{10},

t_1=frac35,,t_2=1;

5left ( t-frac35 right ) left ( t-1 right )leqslant0, откуда frac35leqslant tleqslant1. Мяч будет находиться на высоте не мене четырех метров в течение 1-frac35=frac25=0,4 секунды.

Ответ

0,4

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №323

Тип задания: 10
Тема:
Квадратные и степенные уравнения

Условие

По боковой стенке промышленного цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После открытия крана вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=H_0-ktsqrt{2gH_0}+frac{g}{2}k^2t^2, где

H_0=45 м — начальный уровень воды;

t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана;

k=frac{1}{50} — отношение площадей поперечных сечений крана и бака;

g = 10 м/с² — ускорение свободного падения.

К какому моменту времени высота столба воды в баке составит не более 20 м? Ответ выразите в секундах.

Показать решение

Решение

H(t)=H_0-ktsqrt{2gH_0}+frac{g}{2}k^2t^2, используя данные H_0=25 м, k=frac{1}{50}, g = 10 м/с², Hleq20 м, получим

45-frac{1}{50}cdot tsqrt{2cdot10cdot45}+ frac{10}{2}cdot left ( frac{1}{50} right )^2cdot t^2leq20,

45-frac{t}{50}sqrt{900}+5cdotfrac{1}{2500}cdot t_2-20leq0,

25-frac{30t}{50}+frac{t^2}{500}leq0,

12:500-300t+t^2leq0,

t^2-300t+12:500leq0,

frac{D}{4}= 150^2-12:500= 22:500-12:500= 10:000= 100^2,

t=150pm100,

t_1=250,;t_2=50.

50leq tleq250.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №319

Тип задания: 10
Тема:
Квадратные и степенные уравнения

Условие

Месячный доход r некоторого предприятия на рынке определяется формулой r(p)=qcdot p (тыс. руб.), где:

q — объем спроса на продукцию;

p — цена.

Причем объем спроса зависит от цены по формуле: q=300-60p.

Определите при каком максимальном уровне цены на продукцию p (тыс. руб.) предприятие получит доход не менее 315 тыс. руб. в месяц.

Показать решение

Решение

В формулу r(p)=qcdot p подставим q=300-60p, получим: r(p)=(300-60p)p.

По условию r(p)geq315, следовательно, 60p^2-300p+315leq0,

4p^2-20p+21leq0.

Решим неравенство методом интервалов

4p^2-20p+21=0,

p_{1,2}=frac{10pmsqrt{100-84}}{4}=frac{10pm4}{4},

p_1=3,5;;p_2=1,5

Максимальный уровень цены 3,5 тыс. руб.

Ответ

3,5

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №80

Тип задания: 10
Тема:
Квадратные и степенные уравнения

Условие

Некоторый прибор может безопасно нагреваться до температуры 1750 К, после чего срабатывает термопредохранитель, отключающий его. Экспериментальным путем был получен закон, по которому нагревается прибор в течение непрерывной работы:

T(t)=at^2 + bt + T_0, где:

T(t) – температура прибора (К);

T₀ = 1450 К;

t – время работы прибора (мин);

b = 175 К/мин;

alpha = -12,5 К/мин².

Определите наибольшее время, которое способен проработать прибор. Ответ выразите в минутах.

Показать решение

Решение

Подставим числовые значения в уравнение зависимости температуры прибора от времени его работы, после чего найдем время, через которое прибор нагреется до 1750 К:

T(t)=at^2 + bt + T_0

1750 = -12,5t^2 + 175t+1450

12,5t^2-175t-1450+1750=0

12,5t^2-175t+300=0

125t^2-1750t+3000=0

Разделим левую и правую часть квадратного уравнения на 125 и решим его относительно t:

t^2-14t+24=0

по теореме, обратной теореме Виета:

begin{cases} t_1+t_2=14 \ t_1cdot t_2=24 end{cases}

Методом подбора определяем корни уравнения:

begin{cases} t_1=2 \ t_2=12 end{cases}

Спустя 2 минуты после включения прибор безопасно нагреется до температуры 1750 K, после чего сработает предохранитель. Таким образом, максимальное время работы до отключения равно 2 минуты.

Ответ

Задание №63

Тип задания: 10
Тема:
Квадратные и степенные уравнения

Условие

Одним из знаменитейших мостов в мире считается мост «Золотые Ворота» в Сан-Франциско. Вы и сами наверняка видели его в американских фильмах. Сконструирован он следующим образом: между двумя огромными пилонами, установленными на берегу, протянуты основные несущие цепи, к которым, перпендикулярно земле, вертикально подвешиваются балки. К этим балкам, в свою очередь, крепится полотно моста. При большой протяженности моста применяются дополнительные опоры. В этом случае висячий мост состоит из «сегментов».

На рисунке изображена схема одного из сегментов моста. Обозначим начало координат в точке установки пилона, ось Ox направим по полотну моста, а Oy – вертикально вдоль пилона. Расстояние от пилона до балок и между балками составляет 100 метров.

Определите длину ближайшей к пилону балки, если форма цепи моста определяется уравнением:

y=0,0061cdot x^2-0,854cdot x+33

в котором x и y – величины, которые измеряются в метрах. Ответ выразите числом в метрах.

Показать решение

Решение

Дина балки – это координата y. По условию задачи, ближайшая к пилону балка находится на расстоянии 100 м от него. Таким образом, нам необходимо вычислить значение y в точке x = 100. Подставляя значение в уравнение формы цепи, получим:

y=0,0061cdot 100^2-0,854cdot 100+33

y=61-85,4+33

y = 8,6

Значит длина ближайшей к пилону балки составляет 8,6 метров.

Ответ

8,6

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

: ЕГЭ по математике

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике — задания по отработке решения квадратных уравнений.

Подборка содержит 2 варианта по 10 заданий с ответами. Создана по материалам работ системы СтатГрад.

→ Скачать вариант 1

→ Скачать ответы 1

→ Скачать вариант 2

→ Скачать ответы 2

Примеры заданий:

1. Решите уравнение x² + 4 x — 45 = 0.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Ответ: __________.

2. Решите уравнение x² — 16 = 0.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Ответ: __________.

Смотрите также:

Источник

В помощь
сдающим ЕГЭ . «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

Квадратные уравнения представляют собой инструмент для решения
большого класса задач. Они используются повсеместно в различных областях науки:
физике, математике, технике при решении задач.

Обучение решению
текстовых задач играет важную роль в формировании математических знаний.
Текстовые задачи дают большой простор для развития мышления учащихся. Обучение
решению задач – это не только обучение технике получения правильных ответов в
некоторых типичных ситуациях, сколько обучение творческому подходу к поиску
решения, накопление опыта мыслительной деятельности и демонстрация учащимися
возможностей математики в решении разнообразных задач. «Умение решать задачи –
практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на коньках, или игре на
фортепьяно: научиться этому можно, лишь подражая образцам и постоянно
тренируясь» Д. Пойа.

На решение текстовых задач на
уроках требуется много времени, чтобы в полной мере создать условия учащимися
для осмысления содержания задачи, анализа величин в условии, установления
взаимных связей между величинами. Практически на уроке удаётся решить одну –
две задачи. Текстовые задачи разных типов включены в экзаменационные работы на
итоговой аттестации не только на уровне обязательной подготовки, но и на
повышенном уровне, а также в контрольные измерительные материалы ЕГЭ, в
конкурсные экзамены в высших и средних учебных заведениях.

Решение задач является средством
обучения и средством развития интеллектуальных качеств учащихся, имеет большую
практическую значимость, вызывает интерес, дает возможность познакомиться с
различными практико-ориентированными задачами.

Большинство задач о
пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к
решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят
ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство,
промышленность, связь и т.д.). Я остановлюсь на теме «Решение задач с помощью квадратных
уравнений», которая имеет место в программе 8 класса.
Овладение теорией квадратных уравнений (8кл. Алгебра) существенно расширяет
возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Богатство и
разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных
уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему
этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на
приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их
становятся более разнообразными, возрастает также сложность перевода на язык
математики. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения»
поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной
математики.

Учащиеся должны четко выделять
этапы решения задачи алгебраическим методом:

Анализ условия задачи и его
схематическая запись.
Перевод естественной ситуации
на математический язык (построение математической модели текстовой
задачи).
Решение уравнения, полученного
при построении математической модели.
Интерпретация полученного
решения.

Четвертый этап решения задачи
алгебраическим методом является принципиально новым для учащихся, поэтому на
нем следует заострить внимание. Можно попросить учащихся привести примеры
ситуаций, когда полученный корень уравнения может противоречить условию задачи.
В процессе обсуждения этого вопроса можно выделить несколько самых
распространенных ситуаций:

Корень уравнения является
отрицательным числом, когда за неизвестное принята какая-то мера, которая
может выражаться только положительным числом (длина, площадь, объем и
т.п.).
Корень уравнения является
числом из более широкого множества, чем то, которое описывается в задаче
(например, получено дробное число, когда в условии задачи речь идет о
целых числах).
Несоответствие полученных
положительных размеров с реальными (например, скорость пешехода равна 80
км/ч и т.п.)

При решении задач учащиеся могут в
процессе интерпретации полученных решений соотносить ситуации с тремя выделенными.
Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется
вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные
результаты. «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если
хотите научиться решать задачи, то решайте их» Д.Пойа.

Рассмотрим задачу с геометрическим
содержанием, для решения которой, применяется формула площади треугольника.

Задача 1. Найдите
катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см
больше другого, а площадь этого треугольника равна 30 см².

Решение. Площадь
прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Длины катетов
неизвестны. Площадь равна 30 см².

Пусть х см-длина одного катета,
(х+7) см-длина второго катета . Используя формулу площади треугольника составим
уравнение: х(х+7)/2=30 . Решим уравнение: х²+7х=60 , х²+7х-60=0,
D=289, х₁=-12; х₂=5. Так как длина отрезка
величина положительная, то только х=5 удовлетворяет условию задачи. Найдем
длину второго катета: 5+7=12 см. Ответ: 5см и 12 см.

Задача 2. Найдите
катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а
площадь данного треугольника равна 60 м².

Решение.
Пусть один катет прямоугольного треугольника равна х м, тогда второй
катет (23-х) м. По условию задачи площадь треугольника 60 м².

Составим и решим
уравнение:

½ х ( 23-х)= 60

D= 49

Х₁= 8

Х₂=15 .

Ответ: 8 см; 15 см.

Задача3. Мяч
брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно
окажется на высоте 60 м?

Решение. Из курса
физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м),
на которой брошенный вертикально вверх мяч окажется через t(c), может быть
найдена по формуле h=V₀ t-gt²/2, где V_o(м/с)-начальная
скорость, g-ускорение свободного падения, приближенно равное 10 м/с².
Подставив значения h и V в формулу, получим 60=40t-5t². Получили
квадратное уравнение, решим его. 5t²-40t+60=0, t²-8t+12=0,
D=16, t₁=2; t₂=6. Рассмотрим график зависимости h
от t, где h=40t-5t². Из графика видно, что мяч, брошенный
вертикально вверх, в течении первых 4с поднимается вверх до высоты 80 м, а
затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2
с и через 6 с после бросания. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня.
Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.

Задача 4. Несколько подруг решили
обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной
фотографии каждой своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было
подруг?

Решение: Пусть было х подруг, тогда каждая должна
получить по (х – 1) фотографии. Всего фотографий было х(х
– 1), что по условию задачи равно 30. Составим и решим уравнение:

х(х – 1) = 30
х² – х – 30 = 0,
D = 1 + 120 = 121,
х = ,
х₁ = – 5 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 6.

По смыслу ясно, что х – натуральное число, и
существует только два последовательных натуральных числа, произведение которых
равно 30. Итак, х = 6. 6 подруг обменивались фотографиями.

Ответ: 6 подруг.

Задача 5. Несколько приятелей
решили сыграть турнир по шахматам. Кто-то из них подсчитал, что если каждый
сыграет с каждым по одной партии, то всего будет сыграно 36 партий. Сколько
было приятелей?

Решение: Пусть х приятелей участвует в турнире, тогда каждый из них сыграет (х
– 1) партию, но в этом случае партия каждой пары учтена дважды, значит всего
было сыграно х(х – 1) партий, что по условию задачи равно 36. Составим и
решим уравнение:
х(х – 1) = 36,
х(х – 1) = 72,
х² – х – 72 = 0,
D = 1 + 288 = 289,
х = ,
х₁ = 9,
х₂ = – 8 – не удовлетворяет смыслу задачи.

9 приятелей участвовало в турнире.

Ответ: 9 приятелей.

Задача 6. В море встретились два
корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой – в северном. Скорость
первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 часа расстояние между ними
оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.

Решение:

Пусть х узлов – скорость второго корабля, тогда (х
– 10) узлов – скорость первого корабля, за 2 часа они пройдут 2х и 2(х
– 10) миль соответственно, т.к. они идут в перпендикулярных направлениях, то,
используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение:

(2х)² + (2(х + 10))² =
100²
4х² + 4(х² + 20х + 100) =
10000
2х² + 20х + 100 = 2500
х² + 10х + 50 – 1250 = 0
х² + 10х – 1200 = 0
= 25 + 1200 = 1225
х = – 5 + 35
х₁ = – 40 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 30
30 узлов – скорость корабля, идущего на север, тогда 30 + 10 = 40 (узлов) – скорость
корабля, идущего на восток.

Ответ: 30 узлов и 40 узлов.

Источник