Егэ задачи на кредиты теория

В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!

Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы: 

• банковские задачи, 
• на ценные бумаги,
• задачи на оптимальный выбор. 

В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

• Как работает процент по кредиту?
• На какую сумму начисляется?
• Из каких частей состоит платеж?
• Как уменьшается долг?

На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс! 

Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:

• Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
• Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
• Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг. 

Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.

Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.

Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.

Тип 1. Равные платежи

Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!

Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.

Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.

Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!

Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.

Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:

Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается. 

По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:

Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!   

Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.

Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.

Ответ: 10%.

Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:

Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.

Тип 2. Равномерно убывающий долг

В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.  

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.

Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:

Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:

Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:

Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:

Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:

Ответ: 1%.

И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.

Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в млн рублей)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. Погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике

Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:

• Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
• Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
• Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
• Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.

Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.

За что дают баллы?

Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.

17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.

Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа. 

Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:

А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.

Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.

Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги. 

Краткая
теория решения банковских задач

(математика
профильного уровня, ЕГЭ №17)

I.                 
Задачи на дифференцированные платежи

Одной из основных
целей при решении «банковских» задач является то, что нужно выбрать к какому
виду относится данная задача. Для этого нужно выделить «ключевую» фразу: долг
уменьшается на одну и ту же величину, каждый раз клиент выплачивает набежавшие
проценты за период и 1/n часть основного
долга(n—
срок, на который берется кредит).

Чаще всего 
периодом является месяц, причем

-если кредит взят
на 1 год, то выплачиваются проценты за период и 1/12 часть основного долга;

— если кредит взят
на 2 года, то выплачивается  1/24 часть основного долга.

Получается, что
наибольший платеж приходится на первый месяц и разумеется, наименьший платеж –
на последний месяц. Можно легко  вычислить, как будет погашаться основной 
долг. Надо сумму кредита разделить на число месяцев. Например, если кредит
составляет 1200000 рублей на два года, то получим 1200000:24 = 50000 руб.
ежемесячное погашение основного долга. Но к этой сумме нужно еще прибавить
набежавшие проценты. Если кредит взят под 10% годовых, то проценты будут 
1200000 · 0,1 = 120000  рублей. Отсюда получим сумму наибольшего платежа 50000 +
120000 = 170000 рублей.

Схема
решения

А- первоначальная сумма кредита (основной
долг)

n-период (количество
месяцев , лет)

р- проценты (годовая ставка)

S— сумма  платежей за
определенный период

Таблица

Период	Основной долг,   А	Набежавший %              S%	Платежи	Остаток
1	А	Ар
2
3
————	————	—————-	——————	—————-
n				0
Формула		S%=	S=

Запомнить
следующие формулы

Формула 1 Нахождение суммы , выплаченных процентов	S%=
Формула 2 Нахождение количества месяцев кредита	n=
Формула 3 Нахождение процентной ставки	P=
Формула 4 Нахождение первоначальной суммы кредита	A=

1.Для того, чтобы найти  сумму всех
процентов выплаченных по кредиту, нужно найти сумму в столбике «Набежавшие %».

2.Прибыль банка
будет равна сумме выплаченных процентов.

3.Для того , чтобы
найти  сумму  всех выплат по кредиту, нужно найти сумму в столбике «Платежи»
(Можно сделать проще: к«Набежавшим %» прибавить основной долг.

4. Для того, чтобы
найти  наибольший или наименьший платеж, нужно знать, что  максимальный платеж
это первый платеж, а минимальный платеж это последний платеж.

Задача 1.

Анна взяла в
кредит 12 млн. руб. на 24 месяца. По договору она должна возвращать часть денег
в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга должна возрастать на 3%,
а затем уменьшаться на сумму, оплаченной Анной банку в конце месяца. Суммы,  выплачиваемые
Анной, подбираются так, что сумма долга уменьшалась равномерно, т.е. на одну и
ту же величину каждый месяц. На сколько рублей больше Анна вернет банку в
течение первого года кредитования по сравнению со вторым годом?

Дано:

А=12

P=3%

n=24

Решение:

Период	Основной долг   А	Набежавший %              S%	Платежи	Остаток
1	А	Ар
2
3
————	——————	————————	——————	—————-
12
————	—————-	————————	—————	———
24				0

1.Найдем сумму
процентов за первый год по сумме третьего столбца «Набежавший %»

  Ар + +  + ——+  =A р (1+++——-+)=    = = A p∙= = =3,33  за первый год.

24+23+22+——+13  сумма арифметической
прогрессии (=)

2 найдем, используя
формулу S%==  (за 24 месяца)

=4,5-3,33=1,17 за второй
год.

Разница 3,33-1,17=2,16

Ответ:2,16

2.Задачи
на  аннуитетные платежи

Аннуитетные
платежи – это гашение долга равными порциями, в
эту сумму входит набежавший процент за определенный период времени и плюс
гашение основного долга . В результате должна получиться  одна и та же сумма.
Этот кредит не очень выгоден, т.к. основной долг погашается очень медленно. В
первую очередь снимают набежавшие проценты, а во вторую очередь часть основного
долга, дополняющую до некоторой суммы , поэтому проценты погашаются большие. Но
банки должны предупреждать об этом клиентов и клиент  выбирает вид платежа.

 Аннуитетный
платеж имеет и плюсы, т.к. клиент платит каждый месяц некоторую  умеренную
сумму, например 3000 рублей, а при дифференцированном  — в первый месяц 5000
рублей, а потом постепенно уменьшается.

Схема
решения

		Долг	Остаток
Кредит	А	A
Платеж ежегодный (ежемесячный)	S	S
Процент	Р
1год		А(1+р)	А(1+р)-S
2год		А-S(1+р)	А—S(1+p)-S
згод		-(1+p+	-(1+p+
——-	——-		———————-
n год		-(1+p+	0

Используем формулу из таблицы «столбик» —
долг:

-(1+p+  и

обозначим (1+р)=g
,то получим формулу:

Это формула для нахождения:

 n
– срок кредита, S – ежегодная сумма
выплаты кредита, А-сумма взятого кредита.

Задача 1. Определение срока кредитования

Кате  нужно взять
в кредит 100000 рублей. Погашение происходит 1 раз в год равными платежами  
(кроме последнего) после начисления процента  (ставка – 10% годовых). На какое
максимальное количества лет может она взять кредит, чтобы платить не более
24000 рублей?

Дано:

А=100000

Р=10%

S24000

Найти: n

Решение:

Применим    формулу для нахождения  — n
из таблицы:

        

               

   . Пусть =Х, тогда получим
уравнение

                                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

 

 ;  ; n=6                                                                                                
                                                                                                                                                                                                                                            

      Ответ: 6                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Некоторые

 Задачи
на дифференцированные платежи.

Задача 1. Определение суммы кредита

 Источник:
ЕГЭ 2017. Математика. 50 вариантов экзаменационных
работ. Профильный уровень. Под ред. Ященко И.В./ М.: Издательство «Экзамен»,
2017.- 247 с.

Вариант 2.

15-го января
планируется взять кредит в банке на  15 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа
каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

-со 2-го по14 –е 
число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

-15-го числа
каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 –е
число предыдущего месяца.

Известно, что
восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в
течение всего срока кредитования?

Дано:

Р
=1%

n=15

Найти: S.

 Решение

 1 способ

Пользуясь таблицей — столбик «платежи»
восьмой выплаты имеем:

 тыс.

А(8р+1)=1620тыс.

А==1500тыс=1500000 руб.
взят кредит 1,5 млн. руб.

Пользуясь таблицей — столбик «платежи»
суммой всех выплат имеем:

S=A

S=1,5+ = 1,5+0,12=1,62млн. руб.
выплата банку в течении всего срока кредитования.

Ответ: 1620000 руб.

 2-й способ

Пусть ежемесячные
выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.
Тогда сумма кредита  составляет 15Х рублей (без процентов).
Процентная ставка p% составляет
1% или 0,01.

 S-сумма выплаты кредита в
течение всего срока

S=15Х+(15Х+14Х+13Х+….+Х)·0,01=15Х+
+15·0,01·(15Х+Х)/2)=15Х+1,2Х=16,2Х, где

15Х+14Х+13Х+….+Х
– сумма
арифметической прогрессии (=)

Пусть S₈– сумма,
которую составляют проценты на восьмой месяц кредитования.

Тогда по условию задачи восьмая
выплата будет равна: 108 000 = Х + S₈,

За восемь месяцев сумма кредита
составит 8Х руб.

На восьмой месяц проценты
составят S₈ =
8Х·0,01 = 0,08Х (руб.).

Тогда 108 000 = Х +
0,08Х;

 108 000 = 1,08Х;

Х =
100 000 (руб.) составляет сумма ежемесячных выплат (без процентов).

Сумма кредита составляет
100 000·15 = 1 500 000(руб.)

3) Следовательно,
S=16,2·X=16,2·1000000=1620000 руб.

Ответ: 1620 000

Задача 2. Определение процентной ставки
банка

Источник: ЕГЭ
2017. Математика. 50 вариантов экзаменационных работ. Профильный уровень. Под
ред. Ященко И.В./ М.: Издательство «Экзамен», 2017.- 247.

Вариант 3

31 декабря 2014 года Евгений взял в банке 
1млн. в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего
года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает
долг на a%),
затем Евгений переводит очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша,
переведя в первый раз 540 тыс. рублей, во второй 649,6 тыс. рублей. Найдите  a.

Дано:

А=1 млн. рублей

1 выплата =540 тыс. рублей

2 выплата=649,6 тыс. рублей

n=2

Найти: a

Решение:

1.     К
концу первого года долг  становится: 1000000+1000000·0,01a
– 540000= 1000000+10000a— 540000=460000 +
10000a.

2.     Через
год остаток после выплаты будет: (460000 + 10000a)
+ ( 460000 + 10000a)·0,01a
– 649600=0

460000+10000 a+4600a+100— 649600 =0

100+14600a-189600 =0

+146a -1896=0

-73 ± = -73±= -73 ±85

=12

Задача 3.Определение срока кредитования

В июле планируется
взять кредит на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия
возврата таковы:

— 1-го числа
каждого месяца долг возрастает на 25% по cравнению
данных предыдущего года;

— с февраля по
июнь каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  в июле каждого
года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего
года.

На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что выплаченная за весь срок
кредитования сумма выплат составит 38 млн.                                      рублей?

Дано:

А=16 млн.

Р=25%

Найти: n

Решение:

Пользуясь таблицей — столбик «платежи»
всей выплаты кредита имеем:

S=

38=16+

38=16+2n+2

n= 10

Ответ:10
лет

2.Задачи
на  аннуитетные платежи

Задача 1. Определение
процентной ставки банка

Источник: ЕГЭ
2017. Математика. 50 вариантов экзаменационных работ. Профильный уровень. Под
ред. Ященко И.В./ М.: Издательство «Экзамен», 2017.- 247.

Вариант 11.

31 декабря 2014 года Олег взял в
банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент  годовых.  Схема выплаты
кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты
на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a%), затем Олег
переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328050 рублей,
то выплатит долг за 4 года. Если по 587250 рублей, то за 2 года. Найдите  a.

Дано:

1)    Платеж- 
328050 рублей

n=4

Найти:a

2)    Платеж-  587250 рублей

n=2

Найти:a

Решение:

  — формула из
таблицы,

  Применим эту    формулу для нахождения a
при  n=4
и при n=2

,где  A-основной долг ( то есть кредит) и g=1+a ,то есть a=g-1.

1)    n=4, то

  

    

  

2)    n=2, то

 . Получим систему:

Умножим обе части первого уравнения
на . Получим систему:

Получили уравнение:

259200

g=1,125

a=g-1

a=1,125-1

a=0,125

Ответ: 12,5%     

Задача2.  Определение
срока кредитования

  Источник: ЕГЭ 2017.
Математика. 50 вариантов экзаменационных работ. Профильный уровень. Под ред.
Ященко И.В./ М.: Издательство «Экзамен», 2017.- 247.

        Вариант
36                                                                                                                                                                                                                                                     
                                                                                                     

1 января 2015 года
Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты
кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент
на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр
Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев
Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более
275 тыс. рублей?

Дано:

А=1,1 млн. рублей

Р=1%

S275000 рублей

Найти: n

Решение:

100%+1%=101%=1,01

	Долг	Остаток
Кредит	1100000
1месяц	1100000·1,01=1111000	1111000-275000=836000
2 месяц	836000·1,01=844360	844360-275000=569360
3 месяц	569360·1,01=575053,6	575053,6-275000=300053,6
4 месяц	300053,6·1,01=303054,136	303054,136-275000=28054,136
5 месяц	28054,136·1,01=28334,67736	0

Ответ: 5 месяцев

Пример 1

Николай выиграл в лотерею (20 000$) и решил отложить эти деньги на пенсию. Для этого он вложил их в акции, которые стоят (20t) тысяч долларов в конце каждого года ((t=1,2,3,4…)). Через несколько лет Николай хочет продать свои акции и положить вырученные деньги на счет в банке под (12)% годовых (начисление процентов происходит в начале следующего года). В каком году Николаю нужно продать акции, чтобы через 30 лет у него была максимальная сумма.

Решение:

Посчитаем, какую сумму накопит Николай, если продаст акции в конце k-го года:

$$ {S}_{k}=20k*(1+frac{12}{100})^{30-k}=20k*1.12^{30-k}$$

Предположим, что год (k) – это год, когда нужно продать акции, чтобы сумма на счете через 30 лет была наибольшей. Тогда, если Николай по ошибке продаст свои ценные бумаги в (k+1) год, то его накопления будут уже меньше, чем, если бы он продал в k-й год. Посчитаем сумму, если продать в k+1 год:

$$ {S}_{k+1}=20(k+1)*(1+frac{12}{100})^{30-k-1}=20(k+1)*1.12^{29-k} $$

Исходя из наших предположений ({S}_{k}-{S}_{k+1}>0).

$$ 20k*1.12^{30-k}-20(k+1)*1.12^{29-k}>0 $$
$$ 20*1.12^{29-k} (k*1.12-k-1)>0 $$
$$ 0.12k>1 $$
$$ k>frac{100}{12} $$
$$ k>8frac{ 1}{3} $$

Получим следующую последовательность итоговых сумм, в зависимости от года продажи:

$$ {S}_{1}<{S}_{2}<{S}_{3}<⋯<{S}_{7}<{S}_{8}<{S}_{9} $$
$$ {S}_{9}>{S}_{10}>⋯>{S}_{29}>{S}_{30} $$

Наибольшей суммой будет ({S}_{9}), поэтому нужно продать в конце 9 года.

Ответ: 9.

Пример 2

31 декабря Николай решил взять в банке кредит на сумму (5 000 000) под (12)% годовых. Кредит выплачивается ежегодно одинаковыми платежами (аннуитет), после того, как банк начислит проценты на остаток 31 декабря (долг увеличится на (12)%). Какой ежегодный платеж должен производить Николай, чтобы расплатиться с банком за три платежа?

Решение:

Обозначим за (a) ежегодный платеж.

Через год долг вырастет на (12)% и будет составлять: (5000000*(1+frac{12}{100})=5000000*1.12)

Сразу после этого Николай вносит на счет (a) рублей, тогда долг будет составлять:

$$ {S}_{1}=5000000*1.12-a $$

Аналогичная операция после внесения второго платежа:

$$ {S}_{2}=(5000000*1.12-a)*1.12-a; $$

И третий платеж:

$$ {S}_{3}=((5000000*1.12-a)*1.12-a)*1.12-a $$

Согласно условию, Николай должен погасить долг за три платежа, значит после третьего платежа сумма долга должна равняться нулю:

$$ {S}_{3}=0; $$
$$ ((5000000*1.12-a)*1.12-a)*1.12-a=0; $$
$$ 5000000*1.12^3-1.12(1.12a+a)-a=0; $$
$$ a=frac{5000000*1.12^3}{3.3744}=2 081 744.9 (рублей) $$

Ответ: 2 081 744.9(рублей)

Пример 3

Дмитрий берет в банке кредит на некоторую сумму на срок 25 месяцев. Каждый месяц 1го числа сумма долга возрастает на (q)%, 2го числа каждого месяца Дмитрий должен гасить часть долга так, чтобы он каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим месяцем (дифференцированный платеж). После погашения всей суммы кредита выяснилось, что Дмитрий заплатил на (40)% больше суммы, взятой в кредит. Найдите (q).

Решение:

Обозначим за (S) начальную сумму, которую Дмитрий получил в банке.

В первый месяц на эти деньги начислят проценты (frac{q}{100}*S). После этого Дмитрий должен погасить часть долга, выплатив начисленные проценты плюс (frac{S}{25}), только в таком случае долг будет уменьшаться равномерно каждый месяц. Суммарная выплата за первый месяц будет:

$$ frac{q}{100}*S+frac{S}{25} $$

За второй месяц Дмитрий заплатит ((S-frac{S}{25})*frac{q}{100}+frac{S}{25};)

За третий: ((S-frac{2S}{25})*frac{q}{100}+frac{s}{25};)

(…..;)

За 24-й: ((S-frac{24S}{25})*frac{q}{100}+frac{s}{25};)

За 25-й: (frac{s}{25}).

Просуммируем получившуюся последовательность выплат:

$$ frac{S}{25}*25+frac{q}{100}*S*(frac{24}{25}+frac{23}{25}+⋯+frac{2}{25}+frac{1}{25}). $$

По условию выплаченная сумма больше взятого кредита на (40)%:

$$ frac{S}{25}*25+frac{q}{100}*S*(frac{24}{25}+frac{23}{25}+⋯+frac{2}{25}+frac{1}{25})-S=0.4S; $$
$$ frac{q}{100} (frac{24}{25}+frac{23}{25}+⋯+frac{2}{25}+frac{1}{25})=0.40 $$

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

$$ frac{q}{100}*frac{1+frac{1}{25}}{2}*25=0.4,$$
$$ frac{13}{100}*q=0.4,$$
$$ q=3.08% $$

Отмети, что эту же задачу можно решить гораздо короче, если знать полученные ранее формулы ((П) – переплата; (В) – полная сумма выплат):

$$ П=frac{q}{100}*frac{N+1}{2} S.$$
$$ В=S+П=S(1+frac{q*(N+1)}{200}).$$

Подставим известные значения в формулу для переплаты:

$$ 0.4S=frac{q}{100}*frac{25+1}{2}*S,$$
$$q=3.08%.$$

Ответ: (q=3.08)%.

VI районная научно-исследовательская конференция обучающихся обучающихся общеобразовательных организаций Октябрьского муниципального района

Финансовая математика в задачах ЕГЭ. Решение задач на кредиты

Исследовательская работа по математике

Автор работы: Кутепова Анна, ученица 10 класса        

Руководитель: Моторина  Ольга Робертовна, преподаватель математики «МОУ ОСОШ №1»

с. Октябрьское, 2022 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение        2

Банковские кредиты и математика        4

Схемы решения экономических задач на кредиты        8

1. Задача на определение величины выплаты/дифференцированные платежи        8
2. Задача на определение ежегодной (ежемесячной) выплаты /аннуитетные платежи        10
3. Определение величины процента ставки кредита /долг, убывающий согласно таблице в условие задачи        12
4. Задача на определение суммы кредита/аннуитетные платежи        14
5. Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита /дифференцированные платежи        16

Заключение        20

Список информационных источников        22

Введение

В современном, информационно-развитом мире, встречаются люди, которые не умеют правильно распоряжаться своими финансами и контролировать свои доходы и расходы. В этих случаях необходима финансовая грамотность, ведь благодаря данным знаниям мы сможем не только управлять деньгами, правильно инвестировать свои средства, но также будем в безопасности во время сложных жизненных обстоятельств и не потеряем свои доходы. Наша жизнь сегодня настоятельно требует, чтобы каждый человек  имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.  Финансовая грамотность необходима при решении экономических задач в ЕГЭ профильного уровня по математике. Данные задания проверяют практические навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей.

Учащиеся при подходе к итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть и в ОГЭ и  в ЕГЭ.  На данный момент я являюсь ученицей 10 класса. В следующем году мне предстоит сдать ЕГЭ. Я уже  ознакомлена с заданиями данного экзамена и знаю, что среди них есть  задачи экономической направленности повышенного уровня сложности, которые в курсе старшей общеобразовательной школы не рассматриваются. Для меня стал актуален вопрос о  том,  каким образом подойти к решению таких задач. Кроме того я выбрала эту тему еще и  потому,  что в 7 классе мной был выполнен проект «Сам себе финансист: проценты и скидки».В этой исследовательской работе я хочу углубить и расширить свои знания в области финансовой математики. На выбор темы повлияло и то, что в  будущем я планирую поступить на экономический факультет ВУЗа.

Тема моей работы: Финансовая математика в экономических задачах ЕГЭ. Решение задач на кредиты.

Гипотеза: Не смотря многообразие типов экономических задач профильного экзамена по математике,  их можно классифицировать и  вывести единую схему решения.

Цель работы: Изучить основные типы экономических задач на кредиты ЕГЭ по профильной математике и научиться их решать.

Задачи:

• Изучить теоретические аспекты решения экономических задач;
• Познакомиться с прототипами  экономических задач, представленных в открытом банке заданий  ЕГЭ;
• Создать обучающую презентацию по различным типам задач на кредиты.

Объект исследования: Экономические задачи на кредиты №15 в ЕГЭ.

Предмет исследования: Схемы и алгоритмы решения задач на кредиты.

Методы исследования:

• Изучение и анализ литературы и интернет-источников по данной теме.
• Математическое моделирование
• Классификация
• Анализ

Банковские кредиты и математика

Финансовая математика –  раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с экономическими расчётами.

В единый государственный экзамен  по математике (ЕГЭ) профильного уровня экономические задачи были включены в 2015 г. Это задания высокого уровня сложности с практическим  содержанием, проверяющее навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей.

Экономические  задачи  предполагают:

1. Умение работать с процентами, частями и долями.
2. Владение понятием «Математическая модель».
3. Умение строить математическую модель задачи.
4. Владение вычислительными навыками.
5. Умение применять математические методы для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.
6. Умение интерпретировать полученный результат, учитывать реальные ограничения.

Экономические задачи под номером 15 в ЕГЭ по профильной математике делятся на три основные группы:

1. Задачи на кредиты.
2. Задачи на вклады и ценные бумаги.
3. Задачи на оптимальный выбор.

Данную работу я посвятила разбору примеров задач первого типа.

Банковский кредит – денежная сумма, предоставляемая банком на определённый срок и на определённых условиях; определённая технология удовлетворения заявленной заёмщикомфинансовой потребности.

Потребность в кредите возникает при оплате значительныхпо стоимости объектов потребления без предварительного накопления достаточных ресурсов, необходимости обеспечения своевременных платежей по товарам, приобретенным в рассрочку, оплате эксклюзивных покупок случайного характера, кассовых разрывах при замене старых объектов потребления на новые, покрытии потерь при наступлении рисков, оплате значительных расходов и т. д.

Понимание и структурирование данных условия задачи – важный шаг на пути правильного ее решения. Для упорядочивания данных условия задачи я использовала таблицы, хотя это и не единственный способ решения 15-го задания,  можно использовать и другие методы: последовательности, прикладные методы. Метод решения текстовых задач с помощью таблиц универсальный, знаком каждому школьнику. С помощью таблицможно выработать единый алгоритм решения большинства банковских задач.

В решениях, представленных в работе задач,мною будут использоваться следующие обозначения:

выплатить кредит

Кредитные операции играют основную роль в деятельности банков. Экономические задачи,  конечно,  несколько упрощают реальную ситуацию, в жизни банковские операции по кредитам  значительно  сложнее, тем не менее, именно они дают начальные представления о действиях в мире финансов. При решении экономических задач не обойтись без вычисления процентов, при этом используются «простые» и «сложные проценты». Задачи  простые проценты изучаются в школьном курсе математике и включены в тестовую часть заданий профильного экзамена. Вычислять же «сложные проценты» приходится в тех случаях, когда в задаче идет речь о величине, подверженной поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменениесоставляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.Существуют разные формулы, по которым происходит вычисление сложных процентов. При выдаче кредитов на срок n проценты могут, например,  начисляться по формуле:  

. Где F – это погашаемая сумма, которую заемщик должен вернуть в банк, а S– начальная сумма, взятая в кредит.

Проанализировав условия задач на кредиты профильного ЕГЭ, я обнаружила, что классифицировать задачи можно разными способами:

1. По типу ежемесячных (ежегодных)  платежей.
2. Разделить на простые (используется одна формула) или сложные (применяются несколько формул, используются системы, неравенства).
3. По неизвестной величине, которую требуется найти в условии (процентной ставке, величине выплаты,  суммы кредита и др.)

По типу платежей  задачи  ЕГЭ  задачами самыми распространенными являются задачи на фиксированный, аннуитетный и дифференцированный платежи.

Фиксированный платеж – это платеж, величина которого четко определена в задаче.

Аннуитетный платеж–  это платеж, которыйустанавливается в равной сумме через равные промежутки времени, то есть  остаётся постоянным на всём периоде кредитования. Ежемесячный платёж, при аннуитетной схеме погашения кредита состоит из двух частей. Первая часть платежа идёт на погашение процентов за пользование кредитом, авторая часть идёт на погашение  суммы долга.  Главная особенность таких платежей  в том, что вначале ежемесячный платеж  практически полностью состоит из  суммы процентов, тогда как основной долг заемщика не уменьшается. Постепенно это соотношение выравнивается: если первое времязаемщик  гасит в основном проценты, то потом основные средства идут в счет погашения задолженности.

Дифференцированный платеж – это способ ежемесячного платежа по кредиту, при котором  размер ежемесячной выплаты по погашению кредита постепенно уменьшается к концу периода кредитования. Ежемесячный платёж, как и при аннуитетной схеме погашения кредита, складывается тоже из двух составляющих. Но в дифференцированной схеме первая часть называется основным платежом, размер которого не изменяется на всём сроке кредитования. Этот  платёж идет на погашение основного долга по кредиту. Вторая часть платежа непостоянная, она уменьшается к концу срока кредитования. Данная часть платежа при дифференцированной схеме идет на погашение процентов по кредиту. При дифференцированной схеме погашения кредита, ежемесячный платеж рассчитывается как сумма основного платежа и проценты, начисляемые на оставшийся размер долга. Естественно, что оставшийся размер долга уменьшается к концу срока кредитования, отсюда и получается уменьшение размера ежемесячной выплаты.

Схемы решения экономических задач на кредиты

В практической части своей работы  я представляюпримеры решений нескольких задач на кредиты. Это задачи на нахождение: процентной ставки, суммы долга, суммы переплаты, ежегодных (ежемесячных, еженедельных т.д.)  выплат, определения срока кредитования.

1. Задача на определение величины выплаты

/дифференцированные платежи

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

 – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?

Решение:

Фраза «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца» — это означает, что каждый месяц  мы должны выплачивать часть начального долга  + начисленные за этот месяц проценты.

№ мес.	Начальная сумма, млн. руб.	Сумма начисленных процентов, млн. руб.	Выплата, млн. руб.	Конечная сумма, млн. руб.
1
2
3
12
24	…	…	…	0

Первая сумма  =    (т. е. половина взятой заемщиком суммы). Для удобства вычисления суммы вынесем за скобки множитель , тогда получим:

Ответ: 1 866 000 рублей

Примеры задач банка ЕГЭ на определение величины выплаты:

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн. рублей на некоторыйсрок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июльпредыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн. рублей?

2. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн. рублей на некоторый срок(целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июльпредыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн. рублей?

1. Задача на определение ежегодной (ежемесячной) выплаты/аннуитетные платежи

В июле планируется взять кредит на сумму 6409000 рублей. Условия его возврата таковы:

— Каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года.

— С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен двумя равными платежами.

Решение:

№ года	Начальная сумма, руб.	Сумма долга после начисления процентов,  руб.	Выплата, руб.	Конечная сумма, руб.
1 год			x
2 год			x

Ответ: 3817125 руб.

Примеры задач банка ЕГЭна определение ежегодной (ежемесячной) выплаты:

1. В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

1. Определение величины процента ставки кредита /долг, убывающий согласно таблице в условие задачи

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере . Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается напо сравнению с концом предыдущего месяца, где – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Дата
Долг (млн. руб.)

Найдите наибольшее значение, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн. рублей.

Решение:

	Начальная сумма, млн. руб.	Сумма долга после начисления процентов,млн. руб.	Выплата, млн. руб.	Конечная сумма,млн. руб.
	1

Учитывая, что общая сумма выплат меньше 1,2 млн. руб., составим и решим неравенство:

Ответ: 7%

Примеры задач банка ЕГЭна определение величины процента ставки кредита:

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн. руб.)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн. рублей.

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

 – каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн рублей.

1. Задача на определение суммы кредита

/аннуитетные платежи

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 156 060 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение:

№ года	Начальная сумма, руб.	Сумма долга после начисления процентов, руб.	Выплата, руб.	Конечная сумма, руб.

Определим величину ежегодной выплаты, решив уравнение относительно x:

Известно, что сумма трех выплат на 156060 руб.  больше суммы кредита:

Ответ: 239 400руб.

Примеры задач банка ЕГЭна определение суммы кредита:

1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419 375 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

 – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?

1. Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита/дифференцированные платежи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

 – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

 – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн. рублей?

Решение:

«В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года» — это означает, что каждый год мы должны выплачивать часть начального долга  + начисленные за этот год проценты .

№ года	Начальная сумма, руб.	Сумма долга после начисления процентов, руб.	Выплата, руб.	Конечная сумма, руб.
1
2
n

Сложим все платежи, чтобы определить общую сумму выплат по кредиту:

Сложив все слагаемые  , получим . У оставшихся слагаемых  есть общий множитель  общий множитель ,  тогда имеем:

Выражение в  скобках – арифметическая  прогрессия.Найдём её сумму по формуле:

Подставим полученную сумму в выражение для нахождения общей выплаты:

Вместо буквенных символов подставим известные нам значения величин и найдем n:

Ответ: 4 года

Примеры задач банка ЕГЭна нахождение срокавыплаты кредита:

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 24,5 млн. рублей?

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн. рублей?

Заключение

Подводя итоги своей работы, целью  которой было познакомиться с типами задач с экономическим содержанием и научиться решать задачи на кредиты, я считаю, что мне удалось достичь этой цели, хотя есть еще к чему стремиться, так как предстоит изучить и задачи других видов.

Проанализировав условия и решения банковских задач,  я пришла к заключению, что в большинстве случаев схему решения можно использовать  таблицу такого вида:

В ходе своего исследования, разбирая примеры задач  и решая задачи самостоятельно,  я заметила, что:

1. Практически все экономические задачи из банка ЕГЭ можно разделить на несколько основных видов
2. Решение экономических задач можно выполнять по одному алгоритму, а именно:

1. Занести данные условия задачи в таблицу.
2. Составить уравнение или неравенство (систему уравнений/неравенств).
3. В ходе решения появится формула, с помощью которой будет найден ответ на вопрос задачи.

Моя гипотеза о том, что, несмотря на сложность  и многообразие типов экономических задач их можно классифицировать и  вывести единую схему решения, подтвердилась. Я убедилась в ее истинности  на примере изучения задач на кредиты.Работу по изучению экономических задач буду продолжать и дальше, так как впереди экзамен по профильной математике и, кроме того, считаю, что решение таких задач позволило мне лучше разобраться в базовых понятиях банковских процессов, что будет полезно  мне в моей будущей профессии.

Думаю, что эта  работа будет полезна ученикам 10 и 11 класса, учителям для подготовки к ЕГЭ профильного уровня по математике. В ходе работы мною была создана презентация с примерами задач на кредиты и их подробными решениями. Эту презентацию можно предложить ребятам для самостоятельной подготовки, кроме решенных примеров она содержит задачи из банка ЕГЭ по математике.

Список информационных источников

1. Лукашин Ю.П. Финансовая математика / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. — М., 2003. https://kpsu.ru/upload/medialibrary/606/606fd86fd3cd2272b6f1f3f1b0e4f96c.pdf
2. https://ru.wikipedia.org
3. https://ege.sdamgia.ru/
4. http://fipi.ru/
5. Курс лекций по финансовой математике  https://lfirmal.com/predmet-finansovaya-matematika/
6. Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике https://www.time4math.ru/ege

Решение задачи можно разбить на 4 этапа:

1. Подготовка
2. Заполнение таблицы
3. Составление математической модели
4. Решение и получение искомого результата

Немного вводной теории.

1) От момента получения кредита до полного его погашения циклически повторяются 3 шага:

А) начисление процентов;

Б) внесение выплат;

В) формирование оставшегося долга

ВАЖНО!!! Каждый новый период проценты начисляются НА ОСТАТОК ДОЛГА!!!

2) Для удобства и сокращения записи в таблице перед началом ее заполнения введем переменные: S — сумма кредита, х — процентный коэффициент. Если в задаче известна процентная ставка и сумма кредита, то при решении эти данные будут использованы

Рассмотрим задачу. Это одна из самых простых задач.

1) Подготовка

S-сумма кредита. Х=1+0,15 = 1,15

2) Заполнение таблицы. В условии сразу даны все значения третьего столбца (долга). С него и начнем заполнение

	Проценты	Выплаты	Долг
1			0,8S
2			0,5S
3			0,1S
4			0

Далее начисляем проценты на остаток долга. Первый долг — это взятый кредит

	Проценты	Выплаты	Долг
1	SX		0,8S
2	0,8SX		0,5S
3	0,5SX		0,1S
4	0,1SX		0

Выражаем ВЫПЛАТЫ из двух заполненных, как разность начальной и конечной суммы

	Проценты	Выплаты	Долг
1	SX	SX — 0,8S	0,8S
2	0,8SX	0,8SX — 0,5S	0,5S
3	0,5SX	0,5SX — 0,1S	0,1S
4	0,1SX	0,1SX	0

3) Составление математической модели.

Известно, что общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей

SX — 0,8S + 0,8SX — 0,5S + 0,5SX — 0,1S + 0,1SX < 50

4) Решение и получение искомого результата

Для удобства сгруппируем множители: в одни скобки с процентным коэффициентом, в другие — без него.

(SX + 0,8SX + 0,5SX + 0,1SX) — (0,8S + 0,5S + 0,1S ) < 50

Вынесем общие множители за скобки

SX(1 + 0,8 + 0,5 + 0,1) — S(0,8 + 0,5 + 0,1 ) < 50

SX*2,4 — S*1,4 <50

S(2,4X — 1,4) <50

Теперь можно подставить значение Х

S(2,4*1.15 — 1,4) <50

S< 50/1.36. Так как S-целое число и нам требуется наибольшее, S=36

Рассмотрим задачу с неизвестной процентной ставкой.

1) Подготовка

S=1,5 млн. — сумма кредита. Х=1+0,01r

2) Заполнение таблицы. В условии сразу даны все значения третьего столбца (долга). С него и начнем заполнение

	Проценты	Выплаты	Долг
1			1,2
2			1
3			0,7
4			0,5
5			0,3
6			0

Далее начисляем проценты на остаток долга. Первый долг — это взятый кредит.

	Проценты	Выплаты	Долг
1	1,5X		1,2
2	1,2X		1
3	1X		0,7
4	0,7X		0,5
5	0,5X		0,3
6	0,3X		0

Выражаем ВЫПЛАТЫ из двух заполненных, как разность начальной и конечной суммы

	Проценты	Выплаты	Долг
1	1,5X	1,5X — 1,2	1,2
2	1,2X	1,2X — 1	1
3	1X	1X — 0,7	0,7
4	0,7X	0,7X — 0,5	0,5
5	0,5X	0,5X — 0,3	0,3
6	0,3X	0,3X	0

3) Составление математической модели.

Известно, что общая сумма выплат будет больше 2,2 млн рублей

1,5X — 1,2 + 1,2X — 1 + 1X — 0,7 + 0,7X — 0,5 + 0,5X — 0,3 + 0,3X >2,2

4) Решение и получение искомого результата

Для удобства сгруппируем множители: в одни скобки с процентным коэффициентом, в другие — без него. Вынесем общие множители за скобки.

Х(1,5 + 1,2 + 1 + 0,7 + 0,5 + 0,3) — (1,2 + 1 + 0,7 + 0,5 + 0,3) > 2,2

5,2Х — 3,7 >2,2

X > 59/52 Так как Х=1+0,01r и r — наименьшее, получаем r=14

Рассмотрим задачу с большим сроком выплаты кредита.

1) Подготовка

S — сумма кредита. Х=1+0,01*2=1,02

2) Заполнение таблицы. В условии сразу даны все значения третьего столбца (долга). С него и начнем заполнение

Так как срок большой, ограничимся первыми тремя и последними тремя месяцами.

Если в условии сказано, что «долг должен быть на одну и ту же сумму меньше предыдущего», то сумма кредита делится на количество месяцев и каждый месяц долг уменьшается на 1/18

	Проценты	Выплаты	Долг
1			17/18*S
2			16/18*S
3			15/18*S
………………………………………………….
16			2/18*S
17			1/18*S
18			0

Далее начисляем проценты на остаток долга. Первый долг — это взятый кредит

	Проценты	Выплаты	Долг
1	SX		17/18*S
2	17/18*S*X		16/18*S
3	16/18*S*X		15/18*S
………………………………………………….
16	3/18*S*X		2/18*S
17	2/18*S*X		1/18*S
18	1/18*S*X		0

Выражаем ВЫПЛАТЫ из двух заполненных, как разность начальной и конечной суммы

	Проценты	Выплаты	Долг
1	SX	SX — 17/18*S	17/18*S
2	17/18*S*X	17/18*S*X — 16/18*S	16/18*S
3	16/18*S*X	16/18*S*X — 15/18*S	15/18*S
………………………………………………….
16	3/18*S*X	3/18*S*X — 2/18*S	2/18*S
17	2/18*S*X	2/18*S*X — 1/18*S	1/18*S
18	1/18*S*X	1/18*S*X	0

3) Составление математической модели.

В задаче стоит вопрос об общей сумме выплат. Следовательно

SX — 17/18*S + 17/18*S*X — 16/18*S + 16/18*S*X — 15/18*S + … + 3/18*S*X — 2/18*S + 2/18*S*X — 1/18*S + 1/18*S*X =

4) Решение и получение искомого результата

Для удобства сгруппируем множители: в одни скобки с процентным коэффициентом, в другие — без него. Вынесем общие множители за скобки.

= SX/18 (18 + 17+ 16 + … + 3+ 2 + 1) — S/18* (17 + 16 + 15 +…+ 2 + 1) =

В скобках сумма арифметической прогрессии от 1 до 18 и от 1 до 17

= — = 19SX/2 — 17S/2 = S(9,5*1,02 — 8,5) = S*1,19.

То есть сумма выплат составляет 119% от суммы взятого кредита.

Рассмотрим задачу с неизвестным сроком выплаты кредита.

1) Подготовка

S=5 — сумма кредита. Х=1+0,01*20=1,2

2) Заполнение таблицы. В условии сразу даны все значения третьего столбца (долга). С него и начнем заполнение

Так как срок большой, ограничимся первыми тремя и последними тремя месяцами.

Если в условии сказано, что «долг должен быть на одну и ту же сумму меньше предыдущего», то сумма кредита делится на количество месяцев и каждый месяц долг уменьшается на 1/n

	Проценты	Выплаты	Долг
1			(n-1)/n*S
2			(n-2)/n *S
3			(n-3)/n *S
………………………………………………….
n-2			2/n*S
n-1			1/n*S
n			0

Далее начисляем проценты на остаток долга. Первый долг — это взятый кредит

	Проценты	Выплаты	Долг
1	SX		(n-1)/n*S
2	(n-1)/n*S*X		(n-2)/n *S
3	(n-2)/n *S*X		(n-3)/n *S
………………………………………………….
n-2	3/n*s*x		2/n*S
n-1	2/n*S*X		1/n*S
n	1/n*S*X		0

Выражаем ВЫПЛАТЫ из двух заполненных, как разность начальной и конечной суммы

	Проценты	Выплаты	Долг
1	SX	SX — (n-1)/n*S	(n-1)/n*S
2	(n-1)/n*S*X	(n-1)/n*S*X-(n-2)/n *S	(n-2)/n *S
3	(n-2)/n *S*X	(n-2)/n *SX-(n-3)/n *S	(n-3)/n *S
………………………………………………….
n-2	3/n*s*x	3/n*s*x-2/n*S	2/n*S
n-1	2/n*S*X	2/n*S*X-1/n*S	1/n*S
n	1/n*S*X	1/n*S*X	0

3) Составление математической модели.

В задаче стоит вопрос об общей сумме выплат. Следовательно

SX — (n-1)/n*S + (n-1)/n*S*X-(n-2)/n *S + (n-2)/n *SX-(n-3)/n *S + …+3/n*S*X-2/n*S + 2/n*S*X-1/n*S + 1/n*S*X = 7,5

4) Решение и получение искомого результата

Для удобства сгруппируем множители: в одни скобки с процентным коэффициентом, в другие — без него. Вынесем общие множители за скобки.

SX/n*(n + (n-1) + (n-2) + …+3 + 2+ 1) -S/ n* ((n-1)/ +(n-2) + (n-3) +…+2 +1) = 7,5

В скобках сумма арифметической прогрессии от 1 до n и от 1 до (n-1)

— =7,5

Сокращая дроби и подставляя значения S и Х, получаем =7,5

n=4

Рассмотрим другой тип задач, в которых известен не долг, а сумма выплат.

1) Подготовка

S — сумма кредита. Х=1+0,01*10=1,1

2) Заполнение таблицы. В условии говорится о трех платежах, то есть

	Проценты	Выплаты	Долг
1		Х
2		2Х
3		3Х

Начисляя проценты, получаем

	Проценты	Выплаты	Долг
1	1,1S	Х	1,1S — X
2	(1,1S — X)*1,1	2Х	(1,1S — X)*1,1-2X
3	((1,1S — X)*1,1-2X)*1,1	3Х	((1,1S — X)*1,1-2X)*1,1-3X

3) Составление математической модели.

Учитывая, что последний долг должен быть равен нулю, получаем

((1,1S — X)*1,1-2X)*1,1-3X = 0

4) Решение и получение искомого результата

А также известна сумма, выплаченная за три года, то есть

Х+2Х+3Х=2395800, откуда получаем Х=399300

Подставляя найденное значение и решая первое уравнение, получаем S=1923000 рублей

Секрет: существуют только два вида уравнений:

1. Сумма выплат;
2. Последний остаток равен нулю.

Других видов уравнений нет!

Желаю всем легких решений!

Основные формулы в задачах на вклады и кредиты

12 марта 2015

Сегодня мы немного отвлечемся от стандартных логарифмов, интегралов, тригонометрии и т.д., а вместе этого рассмотрим более жизненную задачу из ЕГЭ по математике, которая имеет прямое отношение к нашей отсталой российской сырьевой экономике. А если быть точным, мы рассмотрим задачу про вклады, проценты и кредиты. Потому что именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике. Сразу оговорюсь, что за решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных.

Вместе с тем, для решения любой из указанных задач из ЕГЭ по математике необходимо знать всего лишь две формулы, каждая из которых вполне доступна любому школьному выпускнику, однако по непонятным мне причинам эти формулы начисто игнорируются как школьными учителями, так и составителями всевозможных задач для подготовки к ЕГЭ. Поэтому сегодня я не просто расскажу вам, что это за формулы и как их применять, а выведу каждую из этих формул буквально у вас на глазах, взяв за основу задачи из открытого банка ЕГЭ по математике.

Поэтому урок получился довольно объемный, довольно содержательный, поэтому устраивайтесь поудобнее, и мы начинаем.

Вкладываем деньги в банк

Прежде всего, хотелось бы сделать небольшое лирическое отступление, связанное с финансами, банками, кредитами и вкладами, на основании которых мы и получим те формулы, которые будем использовать для решения данной задачи. Итак, давайте немного отвлечемся от экзаменов, от предстоящих школьных проблем, и посмотрим в будущее.

Допустим, вы выросли и собираетесь покупать квартиру. Допустим, вы собираетесь покупать не какую-то плохую квартиру на окраине, а хорошую качественную квартиру за 20 миллионов рублей. При этом также предположим, что вы устроились на более-менее нормальную работу и зарабатываете по 300 тысяч рублей в месяц. В этом случае за год вы сможете отложить примерно три миллиона рублей. Разумеется, зарабатывая по 300 тысяч рублей в месяц, за год у вас получится чуть большая сумма — 3600000 — но эти 600000 пусть будут потрачены на еду, на одежду и на прочие ежедневные бытовые радости. Итого вводные данные таковы: необходимо заработать двадцать миллионов рублей, у нас же в распоряжении имеется лишь три миллиона рублей в год. Возникает естественный вопрос: сколько лет нам необходимо откладывать по три миллиона, чтобы получить эти самые двадцать миллионов. Считается это элементарно:

[frac{20}{3}=6,….to 7]

Однако как мы уже с вами отмечали, вы зарабатываете 300 тысяч рублей в месяц, это значит, что вы умные люди и не будете откладывать деньги «под подушку», а отнесете их в банк. И, следовательно, ежегодно на те вклады, которые вы принесете в банк, будут начисляться проценты. Допустим, вы выберете надежный, но при этом более-менее прибыльный банк, и поэтому ваши вклады ежегодно будут расти на 15% годовых. Другими словами можно сказать, что сумма на ваших счетах ежегодно будет увеличиваться в 1,15 раза. Напомню формулу:

[Ktext{%} to 1+frac{K}{100}]

Давайте посчитаем, сколько денег будет на ваших счетах после каждого года:

В первый год, когда вы только начнете откладывать деньги, никакие проценты не накопятся, т. е. в конце года вы отложите три миллиона рублей:

[3m]

В конце второго года на те три миллиона рублей, которые остались с первого года, уже будут начислены проценты, т.е. нам нужно умножить на 1,15. Однако в течение второго года вы также доложили еще три миллиона рублей. Разумеется, на эти три миллиона еще не были начислены проценты, потому что к концу второго года эти три миллиона только появились на счету:

[3mcdot 1,15+3m]

Итак, третий год. В конце третьего года на эту сумму будут начислены проценты, т. е. необходимо всю эту сумму умножить на 1,15. И опять же, в течение всего года вы усердно работали и еще отложили три миллиона рублей:

[left( 3mcdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m]

Давайте рассчитаем еще четвертый год. Опять же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего года, умножается на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется еще три миллиона, потому что в течение четвертого года вы также работали и также откладывали деньги:

[left( left( 3mcdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m]

А теперь давайте раскроем скобки и посмотрим, какая у нас будет сумма к концу четвертого года откладывания денег:

[begin{align}& left( left( 3mcdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m= \& =left( 3mcdot {{1,15}^{2}}+3mcdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m= \& =3mcdot {{1,15}^{3}}+3mcdot {{1,15}^{2}}+3mcdot 1,15+3m= \& =3mleft( {{1,15}^{3}}+{{1,15}^{2}}+1,15+1 right)= \& =3mleft( 1+1,15+{{1,15}^{2}}+{{1,15}^{3}} right) \end{align}]

Как видим, в скобках у нас стоят элементы геометрической прогрессии, т. е. у нас стоит сумма элементов геометрической прогрессии.

Напомню, что если геометрическая прогрессия задана элементом ${{b}_{1}}$, а также знаменателем $q$, то сумма элементов будет считаться по следующей формуле:

[{{S}_{n}}={{b}_{1}}cdot frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}]

Эту формулу обязательно нужно знать и четко применять.

Обратите внимание: формула n-го элемента звучит следующим образом:

[{{b}_{n}}={{b}_{1}}cdot {{q}^{n-1}}]

Из-за этой степени многие ученики путаются. В сумме у нас стоит просто nдля суммы n-элементов, а сам n-й элемент имеет степень $n-1$. Другими словами, если мы сейчас попытаемся посчитать сумму геометрической прогрессии, то нужно учитывать следующее:

[begin{align}& {{b}_{1}}=1 \& q=1,15 \end{align}]

Теперь мы можем посчитать сумму:

[{{S}_{4}}=1cdot frac{{{1,15}^{4}}-1}{1,15-1}]

Посчитаем числитель отдельно:

[{{1,15}^{4}}={{left( {{1,15}^{2}} right)}^{2}}={{left( 1,3225 right)}^{2}}=1,74900625approx 1,75]

Итого, возвращаясь к сумме геометрической прогрессии, мы получим:

[{{S}_{4}}=1cdot frac{1,75-1}{0,15}=frac{0,75}{0,15}=frac{75}{15}=5]

В итоге мы получаем, что за четыре года накоплений наша исходная сумма увеличится не в четыре раза, как если бы мы не клали деньги в банк, а в пять раз, т. е. пятнадцать миллионов. Давайте запишем это отдельно:

4 года → 5 раз

Забегая вперед, скажу, что если бы мы копили не четыре года, а пять лет, то в итоге наша сумма накоплений увеличилась бы в 6,7 раза:

5 лет → 6,7 раз

Другими словами, к концу пятого года мы бы получили на счету следующую сумму:

[6,7cdot 3=20,1]

Т. е. к концу пятого года накоплений с учетом процентов по вкладу мы бы уже получили свыше двадцати миллионов рублей. Таким образом, общий счет накоплений за счет банковских процентов снизился бы с почти семи лет до пяти лет, т. е. почти на два года.

Таким образом, даже, несмотря на то, что банк начисляет достаточно низкий процент на наши вклады (15%), уже через пять лет эти самые 15% дают прибавку, существенно превышающую наш ежегодный заработок. При этом основной мультипликационный эффект приходится на последние годы и даже, скорее, на последний год накоплений.

К чему я это все писал? Разумеется, не к тому, чтобы агитировать вас нести деньги в банк. Потому что если вы действительно хотите приумножить свои сбережения, то вкладывать их нужно не в банк, а в реально действующий бизнес, где эти самые проценты, т. е. рентабельность в условиях российской экономики редко опускается ниже 30%, т. е. вдвое больше банковских вкладов.

А вот что действительно полезно во всех этих рассуждениях, так это формула, которая позволяет нам найти итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, а также через проценты, которые начисляет банк. Так и запишем:

[text{Vklad}=text{platezh}frac{{{text{%}}^{n}}-1}{text{%}-1}]

Сам по себе % считается по следующей формуле:

[Ktext{%}to 1+frac{K}{100}]

Эту формулу также необходимо знать, как и основную формулу суммы вклада. А, в свою очередь, основная формула способна значительно сократить вычисления в тех задачах с процентами, где требуется посчитать именно вклад.

Почему стоит пользоваться формулами, а не таблицами?

У многих наверняка возникнет вопрос, а к чему вообще все эти сложности, нельзя ли просто расписать каждый год в табличке, как это делают во многих учебниках, посчитать отдельно каждый год, а затем посчитать общую сумму вклада? Конечно, можно вообще забыть про сумму геометрической прогрессии и все считать с помощью классических табличек — так сделано в большинстве сборников для подготовки к ЕГЭ. Однако, во-первых, резко увеличивается объем вычислений, а во-вторых, как следствие, увеличивается вероятность допустить ошибку.

Да и вообще, использовать таблицы вместо этой замечательной формулы — это то же самое, что на стройке копать траншеи руками вместо того, чтобы использовать стоящий рядом и полностью работающий экскаватор.

Ну, или то же самое, что умножить пятерку на десятку не с помощью таблицы умножения, а складывать пятерку с самой собой десять раз подряд. Впрочем, это я уже отвлекся, поэтому еще раз повторю самую главную мысль: если есть какой-то способ упростить и сократить вычисления, то именно этим способом и надо воспользоваться.

Проценты по кредитам

С вкладами мы разобрались, поэтому переходим к следующей теме, а именно — к процентам по кредитам.

Итак, пока вы копите деньги, скрупулезно планируете свой бюджет, думаете о своей будущей квартире, ваш одноклассник, а нынче простой безработный, решил жить сегодняшним днем и просто взял кредит. При этом он еще будет подкалывать и смеяться над вами, мол, у него кредитный телефон и подержанный автомобиль, взятый в кредит, а вы до сих пор ездите на метро и пользуетесь старым кнопочным телефоном. Разумеется, за все эти дешевые «понты» вашему бывшему однокласснику придется дорого расплатится. Насколько дорого — вот это именно сейчас мы и посчитаем.

Для начала краткая вводная информация. Допустим, ваш бывший одноклассник взял два миллиона рублей в кредит. При этом согласно договору он должен платить xрублей в месяц. Допустим, что кредит он взял по ставке 20% годовых, что в нынешних условиях выглядит вполне прилично. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет всего три месяца. Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.

Итак, в самом начале, как только ваш бывший одноклассник вышел из банка у него в кармане два миллиона, и это и есть его долг. При этом не год прошел, и не месяц, а это только самое начало:

[2m]

Затем спустя один месяц на сумму задолженности будут начислены проценты. Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:

[Ktext{%}to 1+frac{K}{100}]

В нашем случае речь идет о ставке 20% годовых, т. е. мы можем записать:

[1+frac{20}{100}=1,2]

Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. Однако наш одноклассник не очень умный и он не читал договор, и на деле кредит ему выдали не под 20% в год, а под 20% в месяц. И уже к концу первого месяца на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза. Сразу после этого человеку будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. xрублей в месяц:

[2mcdot 1,2- x]

Далее к концу второго месяца уже на эту сумму будут вновь начислены проценты:

[left( 2mcdot 1,2- xright)cdot 1,2-x]

И вновь наш паренек вносит платеж в размере $x$ рублей.

Затем к концу третьего месяца сумма его задолженности еще раз увеличивается на 20%:

[left( left( 2mcdot 1,2- xright)cdot 1,2- xright)1,2- x]

И по условию за три месяца он должен полностью расплатиться, т. е. после внесения последнего третьего платежа его объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:

[left( left( 2mcdot 1,2- xright)cdot 1,2- xright)1,2 — x=0]

Давайте решать:

[begin{align}& left( 2mcdot {{1,2}^{2}}- xcdot 1,2- xright)cdot 1,2- x=0 \& 2mcdot {{1,2}^{3}}- xcdot {{1,2}^{2}}- xcdot 1,2- x=0 \& 2mcdot {{1,2}^{3}}=cdot {{1,2}^{2}}+cdot 1,2+ \& 2mcdot {{1,2}^{3}}=left( {{1,2}^{2}}+1,2+1 right) \end{align}]

Перед нами вновь геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех элементов геометрической прогрессии. Давайте перепишем ее в порядке возрастания элементов:

[2mcdot {{1,2}^{3}}=left( 1+1,2+{{1,2}^{2}} right)]

Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии. Давайте запишем:

[begin{align}& {{b}_{1}}=1; \& q=1,2 \end{align}]

Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:

[{{S}_{3}}=1cdot frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}]

Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими параметрами $left( {{b}_{1}};q right)$ считается по формуле:

[{{S}_{n}}={{b}_{1}}cdot frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}]

Вот этой формулой мы только что и воспользовались. Подставляем эту формулу в наше выражение:

[2mcdot {{1,2}^{3}}=cdot frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}]

Для дальнейших вычислений нам следует узнать, чему равна ${{1,2}^{3}}$. К сожалению, в этом случае мы уже не можем расписать как в прошлый раз в виде двойного квадрата, но зато можем посчитать так:

[begin{align}& {{1,2}^{3}}={{1,2}^{2}}cdot 1,2 \& {{1,2}^{3}}=1,44cdot 1,2 \& {{1,2}^{3}}=1,728 \end{align}]

Переписываем наше выражение:

[2mcdot 1,728=cdot frac{0,728}{0,2}]

Это классическое линейное выражение. Давайте вернемся к следующей формуле:

[2cdot {{1,2}^{3}}=cdot frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}]

По сути, если обобщить ее, то мы получим формулу, связывающую проценты, кредиты, платежи и сроки. Формула звучит следующим образом:

[kreditcdot {{%}^{n}}=platezhcdot frac{{{%}^{n}}-1}{%-1}]

Вот она, самая главная формула сегодняшнего видеоурока, с помощью которой считается не менее 80% всех экономических задач из ЕГЭ по математике во второй части.

Чаще всего в реальных задачах у вас будет спрашиваться платеж, либо чуть реже кредит, т. е. общая сумма задолженности, которая была у нашего одноклассника в самом начале платежей. В более сложных задачах вас попросят найти процент, ну а совсем сложных, которые мы разберем в отдельном видеоуроке от вас попросят найти сроки, в течение которых при данных параметрах кредита и платежа наш безработный одноклассник сможет полностью расплатится с банком.

Возможно, кто-то сейчас подумает, что я являюсь яростным противником кредитов, финансов и вообще банковской системы. Так вот, ничего подобного! Напротив, я считаю, что кредитные инструменты очень полезны и крайне необходимы нашей экономике, но только при условии, что кредит берется на развитие бизнеса. В крайнем случае, можно взять кредит на покупку жилья, т. е. ипотеку либо на неотложное медицинское лечение — все, других причин взять кредит просто не существует. А всевозможные безработные, которые берут кредиты на покупку «понтов» и при этом совершенно не задумываются о последствиях в итоге и становятся причиной кризисов и проблем в нашей экономике.

Возвращаясь к теме сегодняшнего урока, хотел бы отметить, что знать эту формулу, связывающую кредиты платежи и проценты, также необходимо как и сумму геометрической прогрессии. Именно с помощью этих формул решаются реальные экономические задачи из ЕГЭ по математике. Ну, а теперь, когда вы все это прекрасно знаете, когда понимаете, что такое кредит и почему его не стоит брать, переходим к решению реальных экономических задач из ЕГЭ по математике.

Решаем реальные задачи из ЕГЭ по математике

Пример № 1

Итак, первая задача:

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т .е. увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т .е. за четыре года)?

Итак, это задача про кредит, поэтому сразу записываем нашу формулу:

[kreditcdot {{%}^{n}}=platezhcdot frac{{{%}^{n}}-1}{%-1}]

Кредит нам известен — 9282000 рублей.

С процентами мы сейчас разберемся. У нас речь идет о 10% в задаче. Следовательно, мы можем их перевести:

[10text{%}to 1+frac{10}{100}=1,1]

Мы можем составить уравнение:

[9289000cdot {{1,1}^{4}}=xcdot frac{{{1,1}^{4}}-1}{1,1-1}]

У нас получилось обычное линейное уравнение относительно $x$, хотя с достаточно грозными коэффициентами. Давайте попробуем его решить. Для начала найдем выражение ${{1,1}^{4}}$:

$begin{align}& {{1,1}^{4}}={{left( {{1,1}^{2}} right)}^{2}} \& 1,1cdot 1,1=1,21 \& {{1,1}^{4}}=1,4641 \end{align}$

Теперь перепишем уравнение:

[begin{align}& 9289000cdot 1,4641=xcdot frac{1,4641-1}{0,1} \& 9282000cdot 1,4641=xcdot frac{0,4641}{0,1}|:10000 \& 9282000cdot frac{14641}{10000}=xcdot frac{4641}{1000} \& frac{9282cdot 14641}{10}=xcdot frac{4641}{1000}|:frac{4641}{1000} \& x=frac{9282cdot 14641}{10}cdot frac{1000}{4641} \& x=frac{2cdot 14641cdot 1000}{10} \& x=200cdot 14641 \& x=2928200 \end{align}][]

Все, наша задача с процентами решена.

Разумеется, что это была лишь самая простая задача с процентами из ЕГЭ по математике. В настоящем экзамене такой задачи, скорее всего, не будет. А если и будет, то считайте, что вам очень повезло. Ну, а для тех, кто любит считать и не любит рисковать, переходим к следующим более сложным задачам.

Пример № 2

31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е.) увеличивает долг на 20%), затем Степан производит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа.

Перед нами задача про кредиты, поэтому записываем нашу формулу:

[][kreditcdot {{%}^{n}}=platezhcdot frac{{{%}^{n}}-1}{%-1}]

Что нам известно? Во-первых, нам известен общий кредит. Также нам известны проценты. Давайте найдем коэффициент:

[20%to 1+frac{20}{100}=1,2]

Что касается $n$, то нужно внимательно прочитать условие задачи. Т. е. сначала нам необходимо посчитать, сколько он заплатил за три года, т. е. $n=3$, а затем выполнить еще раз те же самые действия но рассчитать платежи за два года. Давайте запишем уравнение для того случай, когда платеж выплачивается за три года:

[4004000cdot {{1,2}^{3}}=xcdot frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}]

Давайте решать это уравнение. Но для начала найдем выражение ${{1,2}^{3}}$:

[begin{align}& {{1,2}^{3}}=1,2cdot {{1,2}^{2}} \& {{1,2}^{3}}=1,44cdot 1,2 \& {{1,2}^{3}}=1,728 \end{align}]

Переписываем наше выражение:

[begin{align}& 4004000cdot 1,728=xcdot frac{1,728-1}{0,2} \& 4004000cdot frac{1728}{1000}=xcdot frac{728}{200}|:frac{728}{200} \& x=frac{4004cdot 1728cdot 200}{728} \& x=frac{4004cdot 216cdot 200}{91} \& x=44cdot 216cdot 200 \& x=8800cdot 216 \& x=1900800 \end{align}]

Итого, наш платеж составит 1900800 рублей. Однако обратите внимании: в задаче от нас требовалось найти не ежемесячный платеж, а сколько всего Степан заплатит за три равных платежа, т. е. за все время пользования кредитом. Поэтому полученную величину необходимо еще раз умножить на три. Давайте посчитаем:

[3x=5702400]

Итого за три равных платежа Степан заплатит 5702400 рублей. Вот во сколько ему обойдется пользование кредитом в течение трех лет.

Теперь рассмотрим вторую ситуацию, когда Степан поднапрягся, собрался и выплатил весь кредит не за три, а за два равных платежа. Записываем все ту же нашу формулу:

[begin{align}& 4004000cdot {{1,2}^{2}}=xcdot frac{{{1,2}^{2}}-1}{1,2-1} \& 4004000cdot frac{144}{100}=xcdot frac{11}{5}|cdot frac{5}{11} \& x=frac{40040cdot 144cdot 5}{11} \& x=3640cdot 144cdot 5=3640cdot 720 \& x=2620800 \end{align}]

Но это еще не все, потому что сейчас мы посчитали лишь один из двух платежей, поэтому всего Степан заплатит ровно в два раза больше:

[2x=5241600]

Прекрасно, вот теперь мы и приблизились к окончательному ответу. Но обратите внимание: ни в коем случае мы еще не получили окончательный ответ, потому что за три года платежей Степан заплатит 5702400 рублей, а за два года платежей он заплатит 5241600 рублей, т. е. чуть-чуть поменьше. Насколько меньше? Чтобы это узнать, нужно из первого размера платежей вычесть второй размер платежей:

[5702400-5241600=460800]

Итого окончательный ответ — 460800 рублей. Именно сколько сэкономит Степан, если будет платить не три года, а два.

Как видите, формула, связывающая проценты, сроки и платежи, существенно упрощает вычисления по сравнению с классическими таблицами и, к сожалению, по непонятным причинам в большинстве сборников задач, тем не менее, до сих пор используются именно таблицы.

Отдельно хотел бы обратить ваше внимание на срок, на который взят кредит, и размером ежемесячных платежей. Дело в том, что эта связь напрямую не просматривается из тех формул, которые мы записали, однако ее понимание необходимо для быстрого и эффективного решения настоящих задач на экзамене. На самом деле эта связь очень проста: чем на больший срок берется кредит, тем меньшая сумма будет в ежемесячных платежах, но тем большая сумма накопится за все время пользования кредитом. И наоборот: чем меньше срок, тем больше ежемесячный платеж, однако при этом меньше итоговая переплата и меньше общая стоимость кредита.

Разумеется, все эти утверждения будут равны лишь при условии, что сумма кредита и процентная ставка в обоих случаях одна и та же. В общем, пока просто запомните этот факт — он будет использоваться для решения самых сложных задач на эту тему, а пока мы разберем более простую задачу, где как раз и требуется найти общую сумму исходного кредита.

Пример № 3

Итак, еще одна задача на кредит и по совместительству последняя задача в сегодняшнем видеоуроке.

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 13%), затем Василий переводит в банк 5 107 600 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?

Итак, в первую очередь, эта задача вновь про кредиты, поэтому записываем нашу замечательную формулу:

[kreditcdot {{%}^{n}}=platezhcdot frac{{{%}^{n}}-1}{%-1}]

Посмотрим, что нам известно из условия задачи. Во-первых, платеж — он равен 5107600 рублей в год. Во вторых проценты, поэтому мы можем найти коэффициент:

[13%to 1+frac{13}{100}=1,13]

Кроме того, согласно условию задачи Василий взял в банке кредит на два года, т.е. выплатил двумя равными платежами, следовательно, $n=2$. Давайте все подставим и также заметим, что кредит нам неизвестен, т.е. та сумма, которую он взял, и обозначим ее за $x$. Получим:

[xcdot {{1,13}^{2}}=5107600cdot frac{{{1,13}^{2}}-1}{1,13-1}]

Знаменатель мы можем тут же посчитать — это будет 1,13, а вот в числителе, а также слева перед переменной $x$ у нас стоит коэффициент ${{1,13}^{2}}$. Предлагаю посчитать данное выражение отдельно:

[{{1,13}^{2}}=1,2769]

Перепишем наше уравнение с учетом этого факта:

[begin{align}& xcdot frac{12769}{10000}=5107600cdot frac{1,2769-1}{0,13} \& xcdot frac{12769}{10000}=frac{5107600cdot 2769}{1300}|:frac{12769}{10000} \& x=frac{51076cdot 2769}{13}cdot frac{10000}{12769} \& x=4cdot 213cdot 10000 \& x=8520000 \end{align}]

Все, это и есть окончательный ответ. Именно такую сумму Василий взял в кредит в самом начале.

Теперь понятно, почему в этой задаче нам предлагается взять кредит лишь на два года, потому что здесь фигурируют двузначные проценты, а именно 13%, которые в квадрате дают уже довольно «зверское» число. Но и это еще не предел — в следующем отдельном уроке мы рассмотрим более сложные задачи, где будет требоваться найти срок кредита, а ставка будет составлять один, два или три процента.

В общем, учитесь решать задачи на вклады и кредиты, готовьтесь к экзаменам и сдавайте их «отлично». А если что-то непонятно в материалах сегодняшнего видеоурока, то не стесняйтесь — пишите, звоните, и я постараюсь вам помочь.

Смотрите также:

1. Задача на производительность труда
2. ЕГЭ по математике 2016: задача про кредиты с фиксированным платежом
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
4. Комбинированные задачи B12
5. Как решать задачи про летающие камни?
6. Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 1 вариант