Егэ задачи по клеточкам - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задания Д4 № 27544

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см times 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Аналоги к заданию № 27544: 5093 5095 5165 509986 526205 5097 5099 5101 5103 5105 … Все

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2017 по математике. Профильный уровень.

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.1 Треугольник, 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Источник

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на клетчатой бумаге

(blacktriangleright) Помним, что каждая клетка представляет собой квадрат.

(blacktriangleright) В равных прямоугольниках равны диагонали.

(blacktriangleright) Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

(blacktriangleright) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы.
И наоборот: катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла (30^circ) (рис. 1).

(blacktriangleright) Медиана, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является высотой и биссектрисой (рис. 2).

Задание
1

#3089

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге изображен угол. Найдите его градусную величину.

Обозначим этот угол (ASD). Отметим точку (F) так, чтобы получился прямоугольный (triangle SDF):

Тогда (angle ASD=angle ASF+angle FSD). Заметим, что (angle
ASF=90^circ). Заметим также, что (FS=FD), следовательно, (triangle
SDF) прямоугольный и равнобедренный, значит, его острые углы равны по (45^circ).
Следовательно, [angle ASD=90^circ+45^circ=135^circ.]

Ответ: 135

Задание
2

#3088

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге с размером клетки (1times 1) изображен треугольник (ABC). Найдите площадь треугольника (A’B’C), где (A’B’) – средняя линия, параллельная стороне (AB).

Пусть (A’in AC, B’in BC).

По свойству средней линии (triangle ABCsim triangle A’B’C) с коэффициентом подобия, равным (2). Следовательно, их площади относятся как коэффициент подобия в квадрате, то есть [dfrac{S_{ABC}}{S_{A’B’C}}=4] Высота (triangle ABC), опущенная из (C), равна (2), (AB=7). Следовательно, (S_{ABC}=frac12cdot 2cdot 7=7). Тогда [S_{A’B’C}=dfrac74=1,75.]

Ответ: 1,75

Задание
3

#3087

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге с размером клетки (1times 1) изображен треугольник (ABC). Найдите длину средней линии, параллельной стороне (AB).

Длина средней линии треугольника, параллельной стороне (AB), равна (frac12AB). Так как (AB=7), то средняя линия равна (3,5).

Ответ: 3,5

Задание
4

#3086

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге изображен треугольник. Найдите радиус вписанной в него окружности, если сторона одной клетки равна (3).

Будем искать радиус вписанной окружности по формуле (S=pcdot r), где (S) – площадь, (p) – полупериметр.
Заметим, что треугольник равнобедренный: (AB=BC.)

Так как длина стороны клетки равна (3), то (AH=12, BH=9), следовательно, (AB=sqrt{AH^2+BH^2}=15.) Тогда [dfrac12cdot BHcdot AC=dfrac{AB+BC+AC}2cdot r quadRightarrowquad
r=4.]

Заметим, что в задачах подобного типа можно вычислять все длины, как будто длина стороны клетки равна (1), а затем умножать полученный ответ на (3). Если бы длина одной клетки была равна (1), то (AH=4, BH=3), (AB=5) и (r=frac43). Тогда после умножения на (3) также получили бы (r=4). При решении задачи таким способом вычисления будут легче.

Ответ: 4

Задание
5

#297

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге с клетками размером (1)мм (times 1)мм нарисована трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции есть (0,5cdot (3 text{мм} + 4 text{мм})cdot 3 text{мм} = 10,5)мм(^2).

Ответ: 10,5

Задание
6

#298

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге с клетками размером (1)мм (times 1)мм нарисован треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию, тогда площадь нарисованного треугольника есть (0,5cdot 3)мм (cdot 4)мм (= 6)мм(^2).

Ответ: 6

Задание
7

#299

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге с клетками размером (1)мм (times 1)мм нарисован четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.

У данного четырёхугольника две стороны параллельны, а две другие не параллельны, следовательно, это трапеция. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции равна (0,5(2 text{мм} + 3 text{мм})cdot 4 text{мм} = 10) мм(^2).

Ответ: 10

Если выпускник готовится к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывает на получение конкурентных баллов, ему непременно стоит освоить принцип решения задач на клетчатой бумаге. Подобные планиметрические задания каждый год включаются в программу аттестационного испытания. Таким образом, справляться с задачами ЕГЭ на клетчатой бумаге должны все учащиеся, независимо от уровня их подготовки.

Полезная информация

Задания ЕГЭ на клетчатой бумаге часто решаются гораздо проще, чем задачи, для выполнения которых требуется применение аналитических методов. Чаще всего в подобных упражнениях необходимо найти площадь фигуры. Решить такие задачи можно, вспомнив основные теоремы и свойства трапеции, треугольника, шестиугольника и т. д.

Как подготовиться к экзамену?

Если задания ЕГЭ на клетчатой бумаге вызывают у вас трудности, обратитесь к образовательному порталу «Школково». С нами вы сможете повторить материал по темам, которые являются для вас сложными, например, векторы на координатной плоскости и таким образом восполнить пробелы в знаниях. В разделе «Теоретическая справка» представлена вся базовая информация. Ее наши специалисты подготовили и изложили в максимально доступной форме на основе богатого практического опыта.

Освоить принцип решения задач на клетчатой бумаге помогут упражнения, представленные в разделе «Каталог». Мы подготовили простые и более сложные задания. Тренироваться в их выполнении учащиеся из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме.

Справившись с заданием, выпускники имеют возможность сохранить его в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему и, к примеру, обсудить алгоритм его решения со школьным преподавателем. База заданий на сайте «Школково» регулярно обновляется.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: $frac{AD+BC}{2}=frac{4+2}{2}=3.$

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла alpha равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна ${90}^{circ}.$ Тогда $angle alpha =frac{{90}^{circ}}{2}={45}^{circ}.$

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на $frac{sqrt{5}}{2}.$

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

${sin alpha }={sin angle AOB}=frac{4}{2sqrt{5}}=frac{2}{sqrt{5}}.$ Осталось умножить найденное значение синуса на $frac{sqrt{5}}{2}.$

$frac{2}{sqrt{5}}cdot frac{sqrt{5}}{2}=1$

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где d_1 и d_2 — диагонали.

Получим:

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: 12,5 .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: 10,5 .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна $frac{1}{2}cdot 3cdot 2=3.$

Площадь каждого из маленьких треугольников равна $frac{1}{2}cdot 1cdot 2=1.$

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как R=1 . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R=1 ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще $frac{1}{8}$ круга, то есть $frac{3}{8}$ круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на $frac{3}{8}$ . Получим:

$frac{3}{8}cdot 2,8 =1,05$

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна pi R^2 , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в ${frac{4}{3}}^2 = frac{16}{9}$ раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Геометрия. Применение формул. Задача 1 Базового ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Задачи на клетчатой бумаге. Формула Пика.

Задачи на бумаге в клетку помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

При решении задач на клетчатой бумаге ученикам не понадобится знание основ планиметрии, а будет нужна именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

Формула Пика

Наш сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.[1]

Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рис. 1) и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить.

Но тут нас ждёт много хлопот (попробуйте!). Давайте «схитрим»:

вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш

Рис. 1

многоугольник до прямоугольника АВСD, и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.

Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам пришлось потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо?

Оказывается площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис. 2).

Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую

Рис. 2

клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

S = В + + 4 · = В + — 1 .

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + — 1 .

Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!

Это и есть формула Пика.

Задача 1. Проверить формулу Пика для многоугольника на рисунке 1.

Решение.

В = 14, Г = 8. По формуле Пика: S = В + — 1 .

S = 14 + 8/2 – 1 = 17

Ответ: 17 кв. ед.

Можно убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных примеров.

Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.

Попробуйте вычислить площади многоугольников с рисунка 3, используя формулу Пика. Правда ведь, легко получается!

Рис. 3

Рассмотрим ещё некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см times 1 см

Задача 2.[3]

Найдите площадь прямоугольника АВСD (рис.4).

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

В = 8, Г = 6

S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

Рис. 4 Ответ: 10 см².

Задача 3. Найдите площадь параллелограмма АВСD (рис.5)

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

В = 6, Г = 6

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)

Ответ: 8 см².

Рис. 5

Задача 4. Найдите площадь треугольника АВС (рис.6)

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

В = 6, Г = 5

S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

Рис. 6

Задача 5. Найдите площадь четырёхугольника АВСD (рис. 7)

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

В = 5, Г = 7

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

Рис. 7

Согласитесь, рассмотренные задания аналогичны заданию В из вариантов контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике.

Например:

Задача 6.[2] В. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см times 1 см изображен треугольник (рис. 8). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. pic.105

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

В = 12, Г = 6

S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²)

Ответ: 14

Рис. 8

Задача 7. В. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см times 1 см изображена трапеция (рис. 9). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. pic.148

Решение. Воспользуемся формулой Пика:

В = 12, Г = 17

S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)

Ответ: 19,5

Рис. 9

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача 8.[4] Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + — 1

В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² — 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: м²

Рис. 10

Задача 9. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + — 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

1 см² — 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: м²

Рис. 11

Получить полный текс

Источник

Тема 1.

Геометрия на плоскости (планиметрия)

Задачи на клетчатой бумаге

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

геометрия на плоскости (планиметрия)

1.01Треугольник: внутренние и внешние углы

1.02Треугольник: высота, биссектриса, медиана

1.03Треугольник: задачи на подобие

1.04Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

1.05Треугольник: площадь и периметр

1.06Параллелограмм и его свойства

1.07Параллелограмм и свойство его биссектрисы

1.08Прямоугольник и его свойства

1.09Ромб и его свойства

1.10Квадрат и его свойства

1.11Трапеция и ее свойства

1.12Равнобедренная трапеция

1.13Окружность: центральный и вписанный углы

1.14Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными

1.15Окружность: отрезки хорд, секущих, касательных

1.16Окружность: описанная около многоугольника

1.17Окружность: вписанная в многоугольник или угол

1.18Длина окружности или дуги и площадь круга или сектора

1.19Правильный шестиугольник и его свойства

1.20Площадь многоугольника: различные формулы

1.21Внешние углы многоугольника и тригонометрия

1.22Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии

1.23Теорема синусов и теорема косинусов

1.24Координатная плоскость

1.25Векторы: сложение, вычитание, координаты

1.26Задачи на клетчатой бумаге

Решаем задачи

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1 изображен равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него
окружности.

Показать ответ и решение

Отметим точки

ABCOE

причем BE = 9. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, в равностороннем
треугольнике серединные перпендикуляры — это и высоты, и медианы, и биссектрисы.

То есть центр описанной окружности лежит на высоте BE, которая также является и медианой. Пусть — центр этой
окружности (а значит, и точка пересечения медиан треугольника). Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в
отношении 2:1, считая от вершины, то откуда

OB = 2BE = 6
3

Заметим, что по определению радиус описанной около треугольника окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности
с вершиной треугольника, то есть OB. Таким образом, радиус равен 6.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1 изображен равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его
биссектрисы, выходящей из вершины прямого угла.

Показать ответ и решение

Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса, проведенная к гипотенузе-основанию, является также медианой. По
свойству медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. У
данного прямоугольного треугольника гипотенуза равна 5. Следовательно, медиана (она же биссектриса) равна
2,5.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображен треугольник ABC. Найдите длину средней линии, параллельной стороне
AB.

ABC

На клетчатой бумаге с клетками размером нарисована трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных
миллиметрах.

Показать ответ и решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции есть

2
0,5⋅(3 мм + 4 мм)⋅3 мм =10,5 мм

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1 изображен угол. Найдите тангенс этого угла.

OAB

Показать ответ и решение

Проведем перпендикуляр к стороне OA. Получим прямоугольный треугольник OBH. Из него

OABH

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1 изображен треугольник ABC. Найдите длину его биссектрисы, проведенной из
вершины

ACB

Показать ответ и решение

Из рисунка видно, что треугольник равнобедренный ( BA = BC ). Следовательно, биссектриса, опущенная из вершины будет
также являться медианой и высотой. Тогда биссектриса равна 3:

ACBH

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1 изображен ромб. Найдите его площадь.

Показать ответ и решение

Проведем диагонали данного ромба:

Площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, следовательно,

S = 1⋅4 ⋅6= 12
2

Показать ответ и решение

Проведем прямую и перпендикуляр AH :

CBAH

Из рисунка видно, что AH = 4.

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

ACB

На клетчатой бумаге изображен треугольник ABC. Найдите его высоту, опущенную из вершины если длина стороны
равна 7.

Вершины треугольника лежат в узлах решетки.

BCA

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображен треугольник ABC. Найдите площадь треугольника где —
средняя линия, параллельная стороне AB.

ACB

Показать ответ и решение

Пусть

По свойству средней линии с коэффициентом подобия, равным 2. Следовательно, их площади относятся как
коэффициент подобия в квадрате, то есть

SABC
SA′B′C-= 4

Высота треугольника ABC, опущенная из равна 2, AB = 7. Следовательно,

SABC = 1 ⋅2 ⋅7= 7
2

Тогда

7
SA′B′C = 4 = 1,75.

На клетчатой бумаге изображен треугольник. Найдите радиус вписанной в него окружности, если сторона одной клетки равна 3.

Показать ответ и решение

Будем искать радиус вписанной окружности по формуле где — площадь, — полупериметр.

Заметим, что треугольник равнобедренный:

ACBH

Так как длина стороны клетки равна 3, то BH = 9, следовательно,

∘----------
AB = AH2 +BH2 =15

Тогда

Заметим, что в задачах подобного типа можно вычислять все длины, как будто длина стороны клетки равна 1, а затем
умножать полученный ответ на 3. Если бы длина одной клетки была равна 1, то AH = 4, BH = 3, AB = 5 и r = 43.
Тогда после умножения на 3 также получили бы r =4. При решении задачи таким способом вычисления будут
легче.

На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь
закрашенного сектора.

Показать ответ и решение

Заметим, что закрашенная фигура состоит из двух непересекающихся частей,
равных и от круга:

Таким образом, ее площадь равна

1 1 (1 ) 3 3
4S + 2 ⋅ 4 S = 8S = 8 ⋅2,8= 1,05.

Найдите разность площади фигуры 1 и площади фигуры 2.

SS12

Показать ответ и решение

Площадь фигуры 1 можно посчитать следующим образом:

Площадь фигуры 2 — следующим образом:

Тогда

Размер клетки Найдите площадь фигуры с вырезанным кругом, выраженную в квадратных сантиметрах.

Показать ответ и решение

ABCDO

Искомая фигура состоит из квадрата ABCD без вырезанного круга с центром и двух половин круга такого же радиуса,
следовательно, площадь искомой фигуры равна площади квадрата ABCD :

На рисунке изображен треугольник. Найдите угол

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 мм 1 мм нарисован невыпуклый
шестиугольник ABCDEF. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных
миллиметрах.

AFEDCB

Показать ответ и решение

Дорисуем несколько отрезков как показано на рисунке ниже:

AFEDCBH

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту к этому основанию. Площадь треугольника ABF
равна

Площадь треугольника CBH равна

Площадь трапеции FHDE равна

Тогда

2
SABCDEF = S△ABF + S△CBH + SFHDE = 7,5 мм

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 мм 1 мм нарисован четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в
квадратных миллиметрах.

Показать ответ и решение

У данного четырёхугольника две стороны параллельны, а две другие не параллельны, следовательно, это трапеция. Площадь
трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции равна

2
0,5(2 мм + 3 мм )⋅4 мм = 10 мм

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

ACB

Показать ответ и решение

Так как радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, ищется по формуле где a, b — катеты,
— гипотенуза, то

√ -2---2
r = 3-+4-−-3-+-4-= 1
2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1× 1 изображен угол. Найдите синус
этого угла.

Показать ответ и решение

Продлим одну из сторон тупого угла на отрезок так, чтобы

ABC

Заметим, что все вершины треугольника ABC находятся в узлах решетки,
причем AC = 3, BC = 4. Тогда

∘ -2---2
AB = 3 + 4 = 5

Так как синус острого угла (в прямоугольном треугольнике) — это отношение
противолежащего катета к гипотенузе, то

BC 4
sin ∠BAC = AB-= 5 = 0,8

Угол BAC с тупым углом — смежные, следовательно, их синусы равны,
значит, синус тупого угла равен также 0,8.

Источник

№

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1
изображён угол. Найдите синус этого угла.

Ответ

5E362

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1
изображён угол. Найдите синус этого угла.

Ответ

576866

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1
изображён угол. Найдите косинус этого угла.

Ответ

582E12

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1
изображена трапеция. Найдите её площадь.

Ответ

C1774A

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1
изображён треугольник. Найдите его площадь.

Ответ

6BB94E

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1
изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Ответ

C02FFF

Найдите площадь треугольника, изображённого
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в
квадратных сантиметрах.

Ответ

85ECE4

Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ

556969

Найдите площадь треугольника, изображённого на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ

B67064

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён
угол. Найдите его градусную величину.

Ответ

e881D0

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена
трапеция. Найдите её площадь.

Ответ

e886DB

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена
трапеция. Найдите её площадь.

Ответ

e77491

На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.

Ответ

0A79ec

Найдите площадь трапеции, изображённой
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в
квадратных сантиметрах.

Ответ

43074B

Найдите площадь трапеции,
изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ

D41C6A

Найдите площадь квадрата,
изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки
1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.

Ответ

888531

На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.

Ответ

eD86cB

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1
изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной
стороне AB.

Ответ

34F604

На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии,
параллельной стороне AB.

Ответ

c177cB

На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на
сторону AB.

Ответ

347c22

На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии,
параллельной стороне AB.

Ответ

2A58B6

На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите радиус
описанной около него окружности.

Ответ

4B38Be

Ответ

4ec57F

На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину
его биссектрисы, выходящей из вершины прямого угла.

Ответ

c02c14

На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину
его медианы, проведённой к гипотенузе.

Ответ

04ccA9

На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Ответ

5D95e4

Ответ

4BFD6D

На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной
около него окружности.

Ответ

cA4670

На клетчатой бумаге нарисован
круг площадью 1,2. Найдите площадь закрашенного сектора.

Ответ

6C9A76

На клетчатой бумаге нарисованы
два круга. Площадь внутреннего круга равна 37. Найдите площадь закрашенной
фигуры.

Ответ

308612

На клетчатой бумаге нарисован
круг площадью 2. Найдите площадь закрашенного сектора.

Ответ

C1E658

На клетчатой бумаге нарисованы
два круга. Площадь внутреннего круга равна 34. Найдите площадь закрашенной
фигуры.

Ответ

3AFAE3

На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него
окружности.

Ответ

005624

Площадь круга, изображённого
на клетчатой бумаге, равна 16. Найдите площадь заштрихованного кругового
сектора.

Ответ

4EF275

На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 изображён квадрат. Найдите радиус вписанной в него окружности.

Ответ

67C410

Источник

Площадь треугольника (задачи на клетчатой бумаге). Готовимся к егэ по математике. Геометрия. Урок 2

Площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны () на высоту (), проведённую к этой стороне: $displaystyle S=frac{ah}{2}$
На рисунке 1 приведены чертежи некоторых треугольников, у которых обозначены одна из сторон и высота, проведённая к этой стороне .
Как правило, удобно брать ту сторону, которая проходит по линиям клетчатой бумаги (или же проходит параллельно осям координат).

Рис. 1.

Задача 1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 2). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
1-й способ.

Рис. 2.

Площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны () на высоту (), проведённую к этой стороне. Проведём высоту . Треугольник тупоугольный, поэтому высота проводится вне треугольника.

Рис. 3.

На рисунке 3 сторона = 2 см, высота = 3 см.
$displaystyle S=frac{ah}{2}=frac{2cdot 3}{2}=3$ см².
Ответ: 3.
Заметим, что так как клетки имеют размер 1 см х 1 см, то площадь в квадратных сантиметрах получится, если мы будем по рисунку считать размер отрезков в клетках. Поэтому единицы длины в этих задачах можно и не писать.
2-й способ.
Достроим треугольник BCM до прямоугольного треугольника MCA (см. рис. 4).

Рис. 4.

Тогда искомую площадь треугольника BCM можно найти как разность площадей двух прямоугольных треугольников MAC и MAB .
Катеты первого из них равны 3 см и 3 см, катеты второго — Зсм и 1 см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, следовательно,
$displaystyle S_{MAC}=frac{3cdot 3}{2}=4,5;; S_{MAB}=frac{1cdot 3}{2}=1,5;$
$displaystyle S_{MBC}=S_{MAC}-S_{MAB}=4,5-1,5=3.$
Ответ: 3.

Источник