Егэ задачи по теме многогранники

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 218    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 218    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Опубликовано 29.04.20 в 14:06

Размер файла: 75.45 Кбайт

Дидактический материал

Задачи ЕГЭ по теме «Многогранники»

1. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN: NC = 2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.

Решение

Отрезок NK параллелен AC (точка K принадлежит ребру MA).

Пусть NK пересекает MO в точке P(O — центр основания пирамиды), причём тогда точка P является точкой пересечения медиан треугольника MBD. Прямая BP пересекает ребро MD  в точке E.  Четырёхугольник  BNEK — искомое сечение.

Отрезок BE — медиана треугольника MBD, значит, ;

Поскольку прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали  BE  и  NK четырёхугольника BNEK перпендикулярны, следовательно,  .

Ответ:  .

2. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.

Решение

Площадь основания пирамиды равна 144 − 108 = 36, поэтому AB = 6. Площадь боковой грани равна  Пусть SM — высота грани SAB. Тогда  поэтому SM = 9. Пусть SH — высота пирамиды. Имеем  

Тогда 

Ответ: 36.

3. Точка E — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью A₁BE, если ребра куба равны 2.

Решение

Прямая  пересекает прямую  в точке  Прямая  пересекает ребро   в его середине — точке .  — сечение куба плоскостью .

Равнобедренный треугольник  подобен треугольнику   и высота

Поскольку  — средняя линия треугольника  получаем:

Ответ: 4,5.

4. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 8, боковые рёбра равны . Изобразите сечение, проходящее через вершины A, C и середину ребра A₁B₁. Найдите его площадь.

Решение

Обозначим через  и  средины ребер  и   соответственно.

По теореме о средней линии треугольника     так что прямые  и  лежат в одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию Основания трапеции   по теореме Пифагора найдем боковую сторону:

Проведем в трапеции высоту . Отрезок  равен полуразности оснований трапеции:

Следовательно, высота трапеции  Зная её, находим площадь трапеции: 

Ответ: 30.

5. Дан куб     c ребром, равным 4. Пусть точка  лежит на стороне  так, что  Найдите расстояние от точки  до плоскости   , где  — середина  .

Решение

Введем декартову систему координат. В выбранной системе координат:  Уравнение плоскости  имеет вид:   Пусть  Найдем значения  при 

Искомое уравнение имеет вид:   или 

Расстояние  от точки  до указанной плоскости будем находить по формуле:

  ,где  — координаты точки 

.

Ответ:  .

1. В основании прямой призмы  лежит прямоугольный равнобедренный треугольник  с прямым углом  и гипотенузой . Найти расстояние от точки   до прямой если точка  — середина ребра  , которое равно 

Решение

По теореме Пифагора имеем:  

Очевидно, что 

Для получения искомого расстояния воспользуемся методом площадей. Найдем площадь равнобедренного треугольника  Для этого вычислим высоту этого треугольника h, опущенную на основание 

.

 Это с одной стороны. Но с другой же стороны .

Следовательно, 

Ответ: 6.

1. К диагонали  куба  провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Решение

Пусть ребро куба равно  О — центр куба, точки К и N — середины рёбер AD и AВ соответственно.

Заметим, что A₁N = NC =  , треугольник A₁NC равнобедренный, его медиана NO является высотой, поэтому NО — перпендикуляр к AС. Аналогично KO перпендикуляр к АС.

Найдём угол KON. Введем систему координат как показано на рисунке. В этой системе координат: 

Найдём угол между векторами из их скалярного произведения:

Следовательно, .

Ответ: 60°.

1. Точки  — середины ребер  и  соответственно куба  . Найти угол между прямой  и плоскостью, проходящей через точку  перпендикулярно прямой .

Решение

Координатно-векторный способ.

Пусть ребро куба равно 2.

Введем декартову систему координат, как показано на рис.

Найдем координаты необходимых точек:

Если  — искомый угол, то:

Элементарно-геометрический подход.

Угол между заданной плоскостью и ребром  будет равен углу между прямой , перпендикулярной к плоскости, и прямой PE, перпендикулярной к ребру 

Треугольник  — прямоугольный, к тому же равнобедренный. Следовательно, .

Ответ:  .

9. Площадь треугольника, образованного диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S, вдвое больше площади её основания.

а) Постройте это сечение;

б) Найдите косинус плоского угла при вершине пирамиды.

Решение

а) Соединим точки B и D отрезком. Проведем плоскость через точки S, B и D, не лежащие на одной прямой. Сечение построено. Это — треугольник BSD. Но таких сечений будет два: можно было бы построить также сечение, проходящие через АС — диагональ основания. Поскольку диагонали квадрата (основания) равны, боковые ребра правильной пирамиды также равны, то получим два равных решения. Для нашего случая достаточно взять одно решение: треугольник BSD

б) Проведем высоту пирамиды SO, O — точка пересечения АС и BD.

Для удобства дальнейших вычислений пусть сторона квадрата ABCD будет равна .Тогда

В  по теореме косинусов будем иметь:

Ответ: 

1. В треугольной пирамиде два ребра, исходящие из одной вершины, равны по  а все остальные ребра равны по 2. Найдите объем пирамиды.

Решение

Пусть ребра пирамиды таковы, как показано на рисунке с точностью до обозначений вершин. (В основании пирамиды равносторонний треугольник со стороной 2). Пусть О — центр основания пирамиды.

Пусть K — середина отрезка AB. Проведем отрезки SK и CK.

Ясно, что 

Рассмотрим треугольник SKC. Он равнобедренный, поскольку SK = SC = 2. SO — высота этого треугольника. Очевидно, что этот же отрезок будет служить высотой заданной пирамиды, так как наклонные SA = SB, BO = AO, поскольку KC — серединный перпендикуляр к отрезку AB. Значит, О — ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость (ABC).

.

Итак, .

Ответ:  .

Сегодня, 17:58

В закладки

Обсудить

Жалоба

Контрольная работа по теме «Многогранники»

10 класс. 2 варианта.

mn.docx
mn.pdf

1) Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань — квадрат.

2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.
а) Найдите высоту пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Основание прямого параллелепипеда — ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

07
Сен 2013

Категория: 02 Стереометрия

02. Составные многогранники. Площадь поверхности. Объем

2013-09-07
2022-09-11

Автор: egeMax |

комментариев 14

Прямоугольный параллелепипед

1. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2 и 6. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 48. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

За­да­ние 13 № 27079

По­яс­не­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен про­из­ве­де­нию его из­ме­ре­ний. По­это­му, если x — ис­ко­мое ребро, то 2  6  x = 48, от­ку­да x = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27079

4

2. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

За­да­ние 13 № 27191

По­яс­не­ние.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов со сто­ро­на­ми 5, 2, 4 и 1, 2, 2:

.

Ответ: 36.

Ответ: 36

27191

36

3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 4,5. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды .

За­да­ние 13 № 27209

По­яс­не­ние.

Ис­ко­мый объем равен раз­но­сти объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­да со сто­ро­на­ми , и и че­ты­рех пи­ра­мид, ос­но­ва­ния ко­то­рых яв­ля­ют­ся гра­ня­ми дан­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды:

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

27209

1,5

За­да­ние 13 № 245339

По­яс­не­ние.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой нужно найти, яв­ля­ет­ся по­ло­ви­на бо­ко­вой грани па­рел­ле­ле­пи­пе­да, а вы­со­той пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да . По­это­му

Ответ: 10.

Ответ: 10

245339

10

9. В бак, име­ю­щий форму пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­мы со сто­ро­ной ос­но­ва­ния, рав­ной 20 см, на­ли­та жид­кость. Для того чтобы из­ме­рить объём де­та­ли слож­ной формы, её пол­но­стью по­гру­жа­ют в эту жид­кость. Най­ди­те объём де­та­ли, если уро­вень жид­ко­сти в баке под­нял­ся на 20 см. Ответ дайте в ку­би­че­ских сан­ти­мет­рах.

За­да­ние 13 № 506456

По­яс­не­ние.

Объем вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен объ­е­му де­та­ли (закон Ар­хи­ме­да). Уро­вень жид­ко­сти под­нял­ся на h=20 см, сто­ро­на ос­но­ва­ния a=20 см, зна­чит вы­тес­нен­ный объем будет равен Най­ден­ный объём яв­ля­ет­ся объёмом де­та­ли.

Ответ: 8000.

Ответ: 8000

506456

8000

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166084.

10. Плос­кость, про­хо­дя­щая через три точки A, B и C, раз­би­ва­ет куб на два мно­го­гран­ни­ка. Сколь­ко гра­ней у мно­го­гран­ни­ка, у ко­то­ро­го боль­ше гра­ней?

За­да­ние 13 № 506659

По­яс­не­ние.

В се­че­нии по­лу­ча­ет­ся четырёхуголь­ник. У одной отсечённой фи­гу­ры 15 рёбер и 7 гра­ней, у вто­рой — 9 рёбер и 5 гра­ней. Сле­до­ва­тель­но, у ис­ко­мой фи­гу­ры 7 гра­ней.

Ответ: 7.

Ответ: 7

506659

7

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 152742.

11. В бак, име­ю­щий форму пря­мой приз­мы, на­ли­то 12 л воды. После пол­но­го по­гру­же­ния в воду де­та­ли, уро­вень воды в баке под­нял­ся в 1,5 раза. Най­ди­те объём де­та­ли. Ответ дайте в ку­би­че­ских сан­ти­мет­рах, зная, что в одном литре 1000 ку­би­че­ских сан­ти­мет­ров.

6

В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли воду. Уро­вень воды до­сти­га­ет 80 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень воды, если ее пе­ре­лить в дру­гой такой же сосуд, у ко­то­ро­го сто­ро­на ос­но­ва­ния в 4 раза боль­ше, чем у пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см.

10. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 32, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

11

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равен 5. Най­ди­те объем ис­ход­ной приз­мы.

12. От тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 6, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через сто­ро­ну од­но­го ос­но­ва­ния и про­ти­во­по­лож­ную вер­ши­ну дру­го­го ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем остав­шей­ся части.

17. Объем куба равен 12. Най­ди­те объем тре­уголь­ной приз­мы, от­се­ка­е­мой от него плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны двух ребер, вы­хо­дя­щих из одной вер­ши­ны и па­рал­лель­ной тре­тье­му ребру, вы­хо­дя­ще­му из этой же вер­ши­ны.

За­да­ние 13 № 27183

18. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 2, а бо­ко­вое ребро равно 3.

 21. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 3.

22. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 3.

23. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

24. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

1.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 2; объем пи­ра­ми­ды равен 6. Най­ди­те длину от­рез­ка OS.

16. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 9. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

17

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в два раза?

18. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем пи­ра­ми­ды, если ее вы­со­ту уве­ли­чить в че­ты­ре раза?

19. Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды , яв­ля­ю­щей­ся ча­стью пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды , равен 1. Най­ди­те объем ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

20. Объем пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 12. Точка D – се­ре­ди­на ребра . Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды .

21. От тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой равен 12, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и сред­нюю линию

    Помощь по заданию    Сообщить об ошибке

26

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 12. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды .

27. Объем куба равен 12. Най­ди­те объем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся грань куба, а вер­ши­ной — центр куба.

28. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да , если объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 3.

36. Пи­ра­ми­да Сно­фру имеет форму пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 220 м, а вы­со­та — 104 м. Сто­ро­на ос­но­ва­ния точ­ной му­зей­ной копии этой пи­ра­ми­ды равна 44 см. Най­ди­те вы­со­ту му­зей­ной копии. Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

7. Три ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 4, 6, 9. Най­ди­те ребро рав­но­ве­ли­ко­го ему куба.

8. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

9. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 36. Най­ди­те его диа­го­наль.

30. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, один из ка­те­тов ко­то­ро­го равен 4, а ги­по­те­ну­за равна 5. Най­ди­те объём приз­мы, если её вы­со­та равна 3.

31. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, один из ка­те­тов ко­то­ро­го равен 4, а ги­по­те­ну­за равна 6. Най­ди­те объём приз­мы, если её вы­со­та равна 6.

32. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, один из ка­те­тов ко­то­ро­го равен 5, а ги­по­те­ну­за равна 5√2. Най­ди­те объём приз­мы, если её вы­со­та равна 4.

33. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, один из ка­те­тов ко­то­ро­го равен 2, а ги­по­те­ну­за равна √15. Най­ди­те объём приз­мы, если её вы­со­та равна 3.

Данное занятие может быть проведено после изучения формул объемов многогранников на уроках геометрии в 11-м классе или в рамках элективного курса по подготовке к ЕГЭ. Материал также доступен и учащимся 10-го класса (во 2-м полугодии).

Цели занятия:

• показать примеры задач, аналогичных заданиям ЕГЭ по математике базового уровня и первой части профильного уровня;
• повторить теоретический материал, связанный с площадями фигур, со свойствами многогранников;
• отработка навыков самоконтроля;
• отработка навыков сотрудничества между учащимися.

Оборудование:

• оборудование для демонстрации презентации Microsoft PowerPoint (компьютер, проектор, экран или доска);
• раздаточный материал (тексты задач с чертежами);
• таблица квадратов натуральных чисел.

План занятия

1. Организационный момент
2. Устная работа
3. Решение задач
4. Работа в группах
5. Подведение итогов

Ход занятия

Занятие сопровождается демонстрацией презентации.

1. Организационный момент

Cообщение целей занятия, деление класса на группы по 4 человека (можно объединить учащихся, сидящих за соседними партами).

2. Устная работа

Условия задач и правильные ответы демонстрируются на слайдах. Задачи решаются устно, ответы можно спросить у нескольких учащихся, один из них коротко рассказывает путь решения.

Задача 1. (Слайд №4) Площадь треугольника АВС равна 120. КМ – средняя линия, параллельная стороне АВ. Найти площадь четырехугольника АКМВ. (Ответ: 90)

Задача 2. (Слайды №5,6) Площадь правильного шестиугольника АВСДЕК равна 60, О – центр шестиугольника. Найти площади треугольника АОВ, треугольника  АВС, треугольника АВЕ, четырехугольника ВСДЕ. (Ответ: 10; 10; 20; 30)

Задача 3. (Слайд №7) Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найти объем параллелепипеда. (Ответ: 90)

Задача 4. (Слайд №8) Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить в 5 раз? (Ответ:  125)

Задача 5. (Слайд №9) В правильной треугольной пирамиде МАВС О – точка пересечения медиан основания. Площадь треугольника АВС равна 5, а объем пирамиды – 35. Найти длину отрезка МО. (Ответ: 21)

Задача 6. (Слайд №10) Как изменится объем пятиугольной пирамиды, если её высоту увеличить в 4 раза? (Ответ: увеличится в 4 раза)

Задача 7. (Слайд №11) В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды составил 20 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? (Ответ: 5 см)

При подведении итогов устной работы необходимо обратить внимание на формулы для вычисления объемов призмы и пирамиды.

3. Решение задач

Чертежи заранее сделаны на доске, каждый ученик получает заготовку с чертежами (Приложение 1). Учащиеся у доски записывают краткие решения, сопровождая их устными пояснениями. Также можно использовать слайды №13, 14, 15.

Задача 8. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 6 и 3. Объем параллелепипеда равен 108. Найти его диагональ.

Задача 9. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1000 см³ воды и погрузили в воду деталь. При этом  уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найти объем детали. Ответ выразить в см³.

Задача 10. Объем треугольной пирамиды SABC равен 15. Плоскость проходит через сторону АВ основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке D, делящей ребро SC в отношении 1 : 2, считая от вершины S. Найти объем пирамиды DABC.

4. Работа в группах

Каждая группа получает набор задач (Приложение 2), к которым надо записать краткие решения. После истечения отведенного времени проверяются ответы, представители групп могут прокомментировать ход решения задач. В это время чертежи демонстрируются на слайдах №17, 18, 19. Для быстрой проверки можно использовать слайд №20. После этого листы с решениями сдаются учителю.

5. Подведение итогов

При подведении итогов следует обратить внимание на две основные формулы объемов и их частные случаи, а также на отношение объемов подобных тел (слайд 22).

Задача. (Слайд №23) Боковые ребра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны 6. Найти объем пирамиды. (Ответ: 36)

При решении этой задачи очень важно обратить внимание на метод решения. Если тетраэдр перевернуть, то задачу можно решить устно.

Задача. (Слайды №24, 25) Объем тетраэдра равен 12. Найти объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. (Ответ: 6)

6. Домашнее задание (Приложение 3)

Литература

1. Ященко И. В. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни. – М: Издательство «Экзамен», 2020.
2. Балаян Э. Н. Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы. – Ростов н/Д: Феникс, 2018.
3. Материалы сайта: https://math-ege.sdamgia.ru/

Список приложений

• Приложение 1 – задачи для работы в классе
• Приложение 2 – задачи для работы в группах
• Приложение 3 – домашнее задание
• Приложение 4 – ПРЕЗЕНТАЦИЯ