Егэ задачи с ромбом - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Всего: 37 1–20 | 21–37

Добавить в вариант

Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 25. Найдите периметр ромба.

Сумма двух углов ромба равна 120°, а его периметр равен 68. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

Источник: Досрочная волна ЕГЭ−2020 по математике. Вариант 2

Сумма двух углов ромба равна 120°, а его периметр равен 84. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

Источник: Досрочная волна ЕГЭ−2020 по математике. Вариант 1

Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 30. Найдите периметр ромба.

Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 8. Найдите периметр ромба.

Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 27. Найдите периметр ромба.

Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30°.

Ромб и квадрат имеют одинаковые стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен 30°, а площадь квадрата равна 64.

Номер в банке ФИПИ: 4720CB

Ромб и квадрат имеют одинаковые стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен 30°, а площадь квадрата равна 36.

Номер в банке ФИПИ: 04CFC3

Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен

Источник: Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 153692.

Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Острый угол ромба равен Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба.

Сторона ромба равна 1, острый угол равен Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 16 и 30. Найдите периметр параллелограмма.

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 22 и 120. Найдите периметр параллелограмма.

Всего: 37 1–20 | 21–37

Источник

26
Июл 2013

Категория: 01 Геометрия

01. Ромб. Прямоугольник

2013-07-26
2022-09-11

Задача 1. В ромбе угол равен $36^{circ}$ . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 2. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны а острый угол равен $60^{circ}$ .

Решение: + показать

Задача 3. Найдите высоту ромба, сторона которого равна , а острый угол равен $60^{circ}$ .

Решение: + показать

Задача 4. Диагонали ромба равны и см. Найти сторону ромба.

Решение: + показать

Задача 5. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны и

Решение: + показать

Задача 6. Площадь ромба равна Одна из его диагоналей равна Найдите другую диагональ.

Решение: + показать

Задача 7. Площадь ромба равна Одна из его диагоналей в раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Решение: + показать

Ответ:

Задача 8. Диагонали ромба относятся как Периметр ромба равен Найдите высоту ромба.

Решение: + показать

Задача 9. Периметр прямоугольника равен а площадь Найдите большую сторону прямоугольника.

Решение: + показать

Задача 10. Периметр прямоугольника равен а диагональ равна Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение: + показать

Задача 11. Периметр прямоугольника равен а площадь равна Найдите диагональ этого прямоугольника.

Решение: + показать

Задача 12. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна

Решение: + показать

Задача 13. Меньшая сторона прямоугольника равна диагонали пересекаются под углом $60^{circ}$ . Найдите диагонали прямоугольника.

Решение: + показать

Задача 14. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении меньшая его сторона равна Найдите диагональ данного прямоугольника.

Решение: + показать

Задача 15. Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Найдите больший из углов, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника? Ответ выразите в градусах.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест по теме «Ромб. Прямоугольник»

Автор: egeMax |

комментария 3

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Ромб и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).

Свойства ромба:

(blacktriangleright) Те же, что и у параллелограмма:

(sim) Противоположные стороны попарно равны;

(sim) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(sim) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ);

(blacktriangleright) Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Признаки ромба.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – ромб:

(blacktriangleright) все стороны равны;

(blacktriangleright) диагонали взаимно перпендикулярны и он является параллелограммом;

(blacktriangleright) диагонали являются биссектрисами углов и он является параллелограммом.

Площадь ромба

1. Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула площади. Таким образом, площадь ромба равна произведению высоты на основание, к которому эта высота проведена.

2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Задание
1

#2716

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ромбе (ABCD): (angle ACD = 26^{circ}). Найдите (angle ABD). Ответ дайте в градусах.

В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда (angle CDB = 90^{circ} — angle ACD = 64^{circ}).

(BC = CD), тогда (angle CBD = angle CDB = 64^{circ}).

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то (angle ABD = angle CBD = 64^{circ}).

Ответ: 64

Задание
2

#2717

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите большую диагональ ромба (ABCD), если (AB = 2sqrt{3}), а острый угол равен половине тупого.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^{circ}), то сумма острого и тупого углов ромба равна (180^{circ}).

Так как в данном ромбе острый угол равен половине тупого, то острый угол ромба (ABCD) равен (60^{circ}).

Треугольник (ABD) – равнобедренный, один из углов которого равен (60^{circ}), тогда треугольник (ABD) – равносторонний и (BD = 2sqrt{3}).

Пусть (O) – точка пересечения диагоналей ромба, тогда (OD = 0,5 BD = sqrt{3}), следовательно, по теореме Пифагора находим: (AO^2 + OD^2 = AD^2), тогда (AO^2 + 3 = 12), откуда находим (AO = 3). В ромбе, как и в любом другом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, (AC = 6).

Ответ: 6

Задание
3

#2715

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Острый угол ромба (ABCD) равен (60^{circ}), одна из его сторон равна 10. Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.

Пусть (angle A = 60^{circ}). В ромбе все стороны равны, тогда треугольник (ABD) – равнобедренный, у которого один из углов равен (60^{circ}), следовательно, треугольник (ABD) – равносторонний и (BD = 10).

Треугольник (ABC) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда (AC > AB = BD), значит, (BD) – меньшая из диагоналей.

Ответ: 10

Задание
4

#1794

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно (3), а острый угол ромба равен (60^circ). Найдите большую диагональ ромба.

Пусть в ромбе (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей, (OH) – расстояние до стороны (AB), (angle DAB = 60^circ), тогда (angle
OAB = 30^circ). Получаем, что (OH) – катет лежащий напротив угла в (30^circ), значит (AO = 2cdot OH = 6). Т.к. (AC) и есть большая диагональ, то (AC = 2cdot AO = 12).

Ответ: 12

Задание
5

#1757

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона ромба равна (4). Расстояние от точки пересечения его диагоналей до одной из сторон равно (1). Найдите площадь ромба.

Пусть в ромбе (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей, (OH) – расстояние до стороны (AB), тогда (S_{triangle ABO} = frac{1}{2}cdot 1 cdot 4 = 2). Диагонали ромба делят его на (4) равных прямоугольных треугольника (Rightarrow) (S_{ABCD} = 4cdot 2 = .

Ответ: 8

Задание
6

#2718

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр ромба равен (40), а диагонали относятся, как (3:4). Найдите площадь ромба.

Половины диагоналей находятся в таком же отношении, как и диагонали, то есть в отношении (3:4). Зная периметр, найдем сторону ромба: (40
: 4 = 10). Сторона и половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник (AOB).

Пусть (AO=4x), (BO=3x).
Тогда по теореме Пифагора: ((3x)^2 + (4x)^2 = 10^2) (Rightarrow) (25x^2 = 100) (Rightarrow) (x^2 = 4) (Rightarrow) (x = 2). Диагонали равны (BD=2BO=12) и (AC=2AO=16) (Rightarrow) (S_{ABCD} =
frac{1}{2}cdot12cdot16 = 96).

Ответ: 96

Задание
7

#2719

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз отличаются площади ромбов, имеющие по равному углу, у которых стороны относятся как (3:1)?

Пусть (angle B) и (angle B_1) – равные углы ромбов. Так как стороны ромбов относятся как (3:1), то можно обозначить их за (3x) и (x) соответственно.

Тогда и (angle D=angle D_1) (так как у ромба противоположные углы равны). Следовательно, (triangle ABCsim triangle A_1B_1C_1) и (triangle ADCsimtriangle A_1D_1C_1) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия этих треугольников равен (3). Следовательно, их площади относятся как (9:1). А так как (S_{ABC}+S_{ADC}=S_{ABCD}) и (S_{A_1B_1C_1}+S_{A_1D_1C_1}=S_{A_1B_1C_1D_1}), то (S_1:S_2=9:1).

Ответ: 9

Геометрические задачи на тему «Свойства ромба» в обязательном порядке включаются в ЕГЭ по математике. Причем, в зависимости от условия задания, учащийся может давать как краткий, так и развернутый ответ. Именно поэтому на этапе подготовки к сдаче ЕГЭ школьникам непременно стоит понять принцип решения задач на применение свойств и признаков ромба.

Еще раз повторить данную тему и восполнить пробелы в знаниях вам поможет образовательный проект «Школково». С помощью нашего сайта можно легко и эффективно подготовиться к ЕГЭ по математике.

Чтобы успешно справляться с геометрическими заданиями, учащимся старших классов стоит повторить базовые понятия и определения: свойства углов ромба и других четырехугольников, признаки этой фигуры, а также формулу для нахождения ее площади. Данный материал представлен в разделе «Теоретическая справка» на сайте «Школково». Информация, которую подготовили наши специалисты, изложена в максимально доступной форме.

Повторив основные свойства диагоналей ромба, а также его углов и биссектрис, учащиеся могут попрактиковаться в выполнении упражнений. Большая подборка заданий по данной теме, а также по решению нестандартных задач по математике представлена в разделе «Каталог». Найти правильный ответ выпускники смогут, предварительно освежив в памяти свойства биссектрис ромба, в также углов и диагоналей этой фигуры. Подробный алгоритм решения каждой задачи прописан нашими специалистами.

Выполнять простые и более сложные задания по теме «Ромб и его свойства», а также на нахождение площади квадрата на этапе подготовки к ЕГЭ по математике школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем быстро найти это задание и, к примеру, обсудить алгоритм его решения со школьным преподавателем.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Учебник

Геометрия, 11 класс

Ромб: Свойства, Формулы. Задачи

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Меньшая диагональ $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$ , большая — $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
Сумма {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна $AC^2+BD^2=4cdot a^2$ четырежды квадрат стороны.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Формулы Площади ромба:

Площадь ромба равна произведению основания на высоту $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
Площадь ромба равна через синус угла: $S=a^2cdotsin A$ , квадрат стороны на синус .
Площадь ромба через диагонали: $S=frac{ACcdot BD}{2}$ . — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

В четырехугольник можно вписать окружность только если … суммы противоположных сторон равны.
Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
Если вписывается, то площадь $S=pcdot r$, $p=2cdot a$ $S=2cdot a cdot r$.
Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Задача 2: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.

Решение: Проведем высоту из той же вершины, из которой проведена меньшая диагональ.
Получили прямоугольный треугольник $BED$ . Он подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:
$bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Все прямоугольные и есть равные углы.
например $alpha$. Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
Для угла $alpha$ в $bigtriangleup EBD$ мы знаем гипотенузу и противолежащий катет $Rightarrow$ $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
Перейдем к $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет $OD=frac{1}{2}BD=6,5$. Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
а чтобы найти гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
$sin^2alpha+cos^2alpha=1$ . Тогда косинус: $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
Угол $alpha$ острый, так как он входит в прямоугольный треугольник, т. е. принадлежит первой четверти.
Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении: $cosalpha = frac{5}{13}$
Тогда: $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$ $Rightarrow$ $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
Площадь ромба равна произведению основания на высоту: Ответ: $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 3: В Ромбе $ABCD$ точка $K$ делит сторону $CD$ в соотношении $2:7$, а $M$ делит $1:3$ сторону $BC$. $MN$ параллельна $AB$, $O$ — пересечение $MN$ и $BK$. Найти площадь трапеции $ABON$, если площадь $ABCD=420$.

Решение: пробa Анализ рисунка:

$AB$, $MN$, $CD$ — параллельные. Какие углы равные?
Треугольники $BMO$ и $BKC$ подобные. Коэффициент подобия $1:3$.
Отношение площадей $BMO$ и $BKC$ равен $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
(по формулам) Площади $BKC$ и $BCD$ относятся как $CK$ и $CD$, т.е. $5:7$.
Площадь $BCD$ равен половине площади $ABCD$, т.е. $S_{BCD}=210$.
$S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$ $Rightarrow$ $S_{ABMN}=140$ .
Из складываемости площадей: площадь $ABON$ = разности площадей $ABMN$ и $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторанами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Меньшая диагональ $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$ , большая — $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
Сумма {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна $AC^2+BD^2=4cdot a^2$ четырежды квадрат стороны.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Формулы Площади ромба:

Площадь ромба равна произведению основания на высоту $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
Площадь ромба равна через синус угла: $S=a^2cdotsin A$ , квадрат стороны на синус .
Площадь ромба через диагонали: $S=frac{ACcdot BD}{2}$ . — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

В четырехугольник можно вписать окружность только если … суммы противоположных сторон равны.
Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
Если вписывается, то площадь $S=pcdot r$, $p=2cdot a$ $S=2cdot a cdot r$.
Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.

Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершине $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.

Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Задача 3: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.

Решение: Проведем высоту из той же вершины, из которой проведена меньшая диагональ.
Получили прямоугольный треугольник $BED$ . Он подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:
$bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Все прямоугольные и есть равные углы.
например $alpha$. Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
Для угла $alpha$ в $bigtriangleup EBD$ мы знаем гипотенузу и противолежащий катет $Rightarrow$ $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
Перейдем к $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет $OD=frac{1}{2}BD=6,5$. Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
а чтобы найти гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
$sin^2alpha+cos^2alpha=1$ . Тогда косинус: $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
Угол $alpha$ острый, так как он входит в прямоугольный треугольник, т. е. принадлежит первой четверти.
Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении: $cosalpha = frac{5}{13}$
Тогда: $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$ $Rightarrow$ $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
Площадь ромба равна произведению основания на высоту: Ответ: $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 4: В Ромбе $ABCD$ точка $K$ делит сторону $CD$ в соотношении $2:7$, а $M$ делит $1:3$ сторону $BC$. $MN$ параллельна $AB$, $O$ — пересечение $MN$ и $BK$. Найти площадь трапеции $ABON$, если площадь $ABCD=420$.

Решение: пробa Анализ рисунка:

$AB$, $MN$, $CD$ — параллельные. Какие углы равные?
Треугольники $BMO$ и $BKC$ подобные. Коэффициент подобия $1:3$.
Отношение площадей $BMO$ и $BKC$ равен $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
(по формулам) Площади $BKC$ и $BCD$ относятся как $CK$ и $CD$, т.е. $5:7$.
Площадь $BCD$ равен половине площади $ABCD$, т.е. $S_{BCD}=210$.
$S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$ $Rightarrow$ $S_{ABMN}=140$ .
Из складываемости площадей: площадь $ABON$ = разности площадей $ABMN$ и $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Квадрат — одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата равны между собой и делятся пополам.

Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.

Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершины $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.

Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Полезные напоминания: «В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов.
Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник — стороны равны, углы тоже.
В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.

Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 11: В ромбе АВСD ∠А = 140°, диагонали пересекаются в точке O. Найдите угол CBO.

Задача 12: В ромбе ABCD ∠С = 50°. Точка O – точка пересечения диагоналей ромба. Найдите угол OBC.

Задача 13: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Задача 14: ???? В любом ромбе равны… Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов:(?) Ромб, у которого все углы равны, это… (?) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (?) Диагонали взаимно перпендикулярны. (?)

Задача 15: Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. В образовавшемся четырёхугольнике ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠BCA.

Задача 16: На диагонали квадрата как на стороне построен новый квадрат. Чему равна его диагональ, если сторона исходного квадрата равна 6 см?

Задача 17: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Источник

Тема 1.

Геометрия на плоскости (планиметрия)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

геометрия на плоскости (планиметрия)

1.01Треугольник: внутренние и внешние углы

1.02Треугольник: высота, биссектриса, медиана

1.03Треугольник: задачи на подобие

1.04Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

1.05Треугольник: площадь и периметр

1.06Параллелограмм и его свойства

1.07Параллелограмм и свойство его биссектрисы

1.08Прямоугольник и его свойства

1.09Ромб и его свойства

1.10Квадрат и его свойства

1.11Трапеция и ее свойства

1.12Равнобедренная трапеция

1.13Окружность: центральный и вписанный углы

1.14Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными

1.15Окружность: отрезки хорд, секущих, касательных

1.16Окружность: описанная около многоугольника

1.17Окружность: вписанная в многоугольник или угол

1.18Длина окружности или дуги и площадь круга или сектора

1.19Правильный шестиугольник и его свойства

1.20Площадь многоугольника: различные формулы

1.21Внешние углы многоугольника и тригонометрия

1.22Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии

1.23Теорема синусов и теорема косинусов

1.24Координатная плоскость

1.25Векторы: сложение, вычитание, координаты

1.26Задачи на клетчатой бумаге

Решаем задачи

Высота ромба ABCD делит сторону на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

Показать ответ и решение

Стороны ромба равны между собой, то есть

Треугольник AHD — прямоугольный, по теореме Пифагора

2 2 2 2 2 2 2 2
AD = AH +HD ⇔ AH = AD − HD = 15 − 12 = 81 ⇒ AH = 9

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40.
Найдите острый угол ромба. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Пусть диагональ Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам,

1
AE = 2 ⋅40 = 20

Тогда в прямоугольном треугольнике AEF катет равен половине гипотенузы AE, то есть

В ромбе диагонали являются биссектрисами, то есть

∠BAD = 2∠BAE = 2⋅30∘ = 60∘
∘ ∘ ∘ ∘
∠ABC = 180 − ∠BAD = 180 − 60 = 120

Тогда острый угол ромба равен 60∘.

Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен ∘
150 . Найдите высоту этого ромба.

Показать ответ и решение

Так как один из углов ромба равен ∘
150 , то другой равен ∘ ∘ ∘
180 − 150 =30 .

Треугольник ABH — прямоугольный, угол Тогда катет, противолежащий этому углу, равен половине
гипотенузы. Таким образом,

BH = 1AB = 1 ⋅4= 2
2 2

В ромбе ABCD угол ABC равен ∘
72. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Так как ABCD — ромб, т.е. треугольник ABC — равнобедренный. ∘
∠ABC =72 , а значит

1 ∘ 180∘ − 72∘ 108∘ ∘
∠BAC =∠BCA = 2 (180 − ∠ABC ) = ---2-----= -2--= 54

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами,

Угол между стороной и диагональю ромба равен ∘
54. Найдите острый угол ромба. Ответ выразите в градусах.

Показать ответ и решение

Диагональ ромба является его биссектрисой. Тогда

∘ ∘ ∘
∠ABD = ∠DBC = 54 ⇒ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 2⋅54 = 108

Ромб является параллелограммом, поэтому сумма его углов, прилегающих к одной стороне, равна ∘
180.

Отсюда острый угол ромба равен

Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Показать ответ и решение

Обозначим меньшую диагональ ромба через тогда большая равна 3x. Диагонали ромба перпендикулярны, площадь
выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей, следовательно,
площадь ромба равна

x⋅3x-= 6 ⇔ x= ±2
2

должен быть положителен, ответ 2.

Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ.

Показать ответ и решение

Обозначим неизвестную диагональ ромба через Диагонали ромба перпендикулярны, площадь выпуклого четырехугольника
с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей, следовательно, площадь ромба
равна

x-⋅12-= 18 ⇔ x= 3
2

Площадь ромба равна Одна из его диагоналей в три раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Показать ответ и решение

Пусть меньшая диагональ равна тогда большая равна 3d. Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей,
то

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

Показать ответ и решение

Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то

В ромбе ABCD угол DAB равен 148∘. Найдите угол BDC. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то Так как у ромба все стороны равны, то
следовательно, Тогда

∘ ∘ ∘ ∘
x + x+ ∠DAB = 180 ⇒ x = (180 − 148) :2= 16

В ромбе ABCD угол CDA равен 78∘. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то Так как у ромба все стороны равны, то AD =DC,
следовательно, Тогда

∘ ∘ ∘ ∘
x+ x+ ∠CDA = 180 ⇒ x= (180 − 78 ):2= 51

Диагонали ромба относятся как 4:3. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Показать ответ и решение

Отрезок — высота ромба. Так как и то

Способ 1.

Так как диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, а у равных треугольников высоты, опущенные к
равным сторонам, равны, то

Рассмотрим △AOB. Так как то также Пусть Следовательно,

Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна следовательно, 5x= 50 и x =10.

Высота прямоугольного треугольника AOB, опущенная из вершины прямого угла равна
следовательно,

4x-⋅3x- 12
OK = 5x = 5 x =24 ⇒ HK = 24⋅2= 48

Способ 2.

Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна Следовательно, площадь ромба равна
(произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне).

Так как то можно принять Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей,
то

2
S = 0,5 ⋅4a ⋅3a= 6a

Cледовательно,

50HK = 6a2 ⇒ HK = 3-a2
25

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то по теореме Пифагора из

( )2
3a +(2a)2 = AB2 ⇒ a2 = 400
2

Следовательно,

3
HK = 25 ⋅400= 48

Найдите высоту ромба, сторона которого равна √3, а острый угол равен 60∘.

Показать ответ и решение

Пусть — высота ромба ABCD из условия. Тогда в прямоугольном треугольнике ADH имеем:

√- ∘ ∘
AD = 3, ∠A =60 , ∠ADH =30

Поскольку катет напротив угла 30∘ равен половине гипотенузы, то

√-
AH = 1AD = -3-
2 2

Отсюда по теореме Пифагора в треугольнике ADH :

∘ -------(√--)2
DH = (√3)2− --3 = 3
2 2

Периметр ромба равен 40, а его диагонали относятся как 3 :4. Найдите площадь ромба.

Показать ответ и решение

Половины диагоналей находятся в таком же отношении, как и диагонали, то есть в отношении 3:4. Зная периметр,
найдем сторону ромба: Сторона и половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник AOB.

Пусть AO =4x, Тогда по теореме Пифагора:

Диагонали ромба равны

Тогда искомая площадь равна

S = 1 ⋅12⋅16= 96
ABCD 2

В ромбе ABCD : Найдите ∠ABD. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда

∘ ∘
∠CDB = 90 − ∠ACD = 64

тогда

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то

∘
∠ABD = ∠CBD =64

Острый угол ромба ABCD равен 60∘, одна из его сторон равна 10. Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно а острый угол ромба равен 60∘. Найдите
большую диагональ ромба.

Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ.

Показать ответ и решение

Пусть — диагональ ромба, которую нужно найти. Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей,
то

Найдите площадь ромба, если его высота равна а острый угол равен 30∘.

Показать ответ и решение

Проведем .

Так как а катет, лежащий против угла 30∘, равен половине гипотенузы, то

AB = AD , так как в ромбе по определению все стороны равны. Площадь ромба равна произведению высоты на сторону, к
которой проведена высота, следовательно,

Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна √3, а острый угол равен 60∘.

Показать ответ и решение

Проведем диагональ BD. Пусть Докажем, что — большая диагональ.

Так как в ромбе, как и в параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, то

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов и взаимно перпендикулярны, то и
соответственно

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, следовательно, значит, — большая
диагональ.

Катет, лежащий против угла ∘
30 , равен половине гипотенузы, следовательно, √3
DO = 0,5AD = 2 . Тогда по теореме
Пифагора:

∘ -------------
√- 2 (√-3)2 3
AO = ( 3) − 2 = 2 ⇒ AC = 3

Источник

Задание 1027

Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ.

Ответ: 3

Задание 1028

Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Ответ: 2

Задание 1037

Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Ответ: 48

Задание 1038

В ромбе ABCD угол ABC равен 122°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 29

Задание 1039

В ромбе ABCD угол ACD равен 43°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 94

Задание 1854

Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Перечислите эти длины в ответе через точку с запятой в порядке возрастания.

Ответ: 17; 17

Скрыть

Пусть BH — высота ромба, тогда треугльник BHA — прямоугольный и $$AH=AB*cos A=34*frac{1}{2}=17$$, тогда HD=AD-AH=34-17=17

Задание 1855

Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.

Ответ: 3

Скрыть

Сторона ромба равна $$frac{36}{4}=9$$, из формулы площади ромба:$$h=frac{S}{a}=frac{36}{9}=4$$, где h — высота, a — сторона ромба.

Задание 1856

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

В ответе запишите величины различных углов в порядке возрастания через точку с запятой.

Ответ: 60; 120

Скрыть

По свойству диагоналей ромба: $$AE=frac{1}{2}AC$$, пусть AC=76, тогда AE=38. Треугольник AEF — прямоугольный, тогда $$sin EAF=frac{EF}{EA}=frac{19}{38}=0,5Rightarrow$$$$angle EAF=30^{circ}$$, тогда по свойству диагоналей ромба $$angle A=60^{circ}$$ и по свойству углов ромба $$angle B=180-angle A=120^{circ}$$

Задание 1857

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR — ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60

Скрыть

OP=OR=PQ=QR ( по свойству ромба ), тогда, так как PR — общая, то треугольники POR И PQR равны, следовательно, $$angle O=angle Q$$. Пусть $$angle Q=x$$, тогда большая дуга PR=2x (по свойству вписанного угла), тогда меньшая дуга RP=360-2x и $$angle O=360-2x$$ ( по свойству центрального угла ), тогда $$x=360-2xLeftrightarrow$$$$x=120$$, то есть $$angle O=120^{circ}$$, тогда по свойству углов ромба $$angle P=180-angle O=60^{circ}$$

Задание 2968

Сторона ромба равна 26, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Ответ: 13

Скрыть

$$AB=AD$$ $$Rightarrow$$ $$bigtriangleup ABD$$ — равнобедренный;

$$angle B=angle D=frac{180-angle A}{2}=60^{circ}$$ $$Rightarrow$$

$$bigtriangleup ABD$$ — равносторонний $$Rightarrow$$

ВН — медиана, биссектриса, высота $$Rightarrow$$

$$AH=HD=frac{26}{2}=13$$

Задание 5218

Площадь ромба равна 60, а периметр равен 30. Найдите высоту ромба.

Ответ: 8

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Раз периметр равен 30, то одна сторона ромба: $$a=frac{30}{4}=7,5$$. Высоту ромба можно найти через его площадь: $$h=frac{S}{a}=frac{60}{7,5}=8$$

Задание 5690

Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 44 и HD = 11. Найдите площадь ромба.

Ответ:

Задание 6064

Сторона ромба равна 14, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Ответ: 7

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$AH=AB*cos A=14*cos 60=7$$. Тогда $$HD=AD-AH=14-7=7.$$

Задание 7465

Площадь ромба равна 15, а периметр равен 20. Найдите высоту ромба.

Ответ: 3

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем сторону ромба: $$a=frac{P}{4}=5$$ Найдем высоту ромба: $$h=frac{S}{a}=3$$

Задание 9215

Сторона ромба равна 14, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Ответ: 7

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Источник

Сторона ромба равна 12, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до нее равно 1. Найдите площадь этого ромба.

#481

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

#479

Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол, равный 21°. Ответ дайте в градусах.

#478

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 32 и 4.

#474

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

#468

Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите его высоты. В ответе укажите бо́льшую высоту.

#356

Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.

#265

Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите АВ, если ВС = 40.

#375

В параллелограмме ABCD диагональ АС является биссектрисой угла А. Найдите сторону ВС, если периметр ABCD равен 36.

#374

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 12.

#370

Источник