Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
Спрятать решение
Решение.
Пусть акции проданы в конце года t за t2 тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся 20 − t лет под 25% годовых. Тогда цена акций на конец срока составит 
тыс. руб. Найдём наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных t, не превосходящих 20. Имеем:
Найденная производная обращается в нуль в точке 
и меняет в ней знак с плюса на минус. Следовательно, это точка максимума. Заметим, что
Из полученной оценки следует, что точка максимума лежит на интервале (8; 10). Сравним значения функции в точках 8, 9 и 10. Поскольку
наибольшее значением функции на множестве натуральных аргументов достигается в точке 9. Продавать акции необходимо в конце девятого года.
Ответ: в конце девятого года.
Примечание.
Без сравнения значений функции в точках 8, 9 и 10 не обойтись. Например, если точка максимума достаточно близка к точке 8, значение в точке 8 может оказаться больше, чем значение в точке 9.
Приведём другое решение.
Перекладывать деньги в банк имеет смысл, когда доход в 25% годовых, то есть ежегодное увеличение суммы в 1,25 раза, будет превосходить ежегодный квадратичный рост цен. Проследим за доходностью:
2-й год: 
3-й год: 
4-й год: 
5-й год: 
6-й год: 
7-й год: 
8-й год: 
9-й год: 
10-й год: 
Коэффициент доходности k за 9-й год больше 1,25, а за 10-й год меньше 1,25. Покажем, что в следующие годы он будет далее уменьшаться. Действительно, в силу тождеств
получаем, что коэффициент k монотонно убывает с увеличением t.
Теперь можно сделать вывод о том, что в конце девятого года целесообразно переложить деньги в банк.
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: Пробный экзамен МЦНМО, Москва, 2017
Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t3 часов в неделю, они производят t приборов. За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
Решение
Пусть (x
) — количество приборов, выпущенных на первом заводе, (y
) — количество приборов, выпущенных на втором заводе. Тогда (x+y=20) или выразим (y) имеем (y=20-x).
Запишем целевую функцию (4x^3+у3= 4x^3+(20-x)^3=4x^3+8000-1200x+60x-x^3=3x^3-1140x+8000).
Возьмем произодную от полученного выражения имеем (9x^2-1140=0).
Решим полученное уравнение (x^2=126).
Получаем, что на первом заводе следует выпустить 11 приборов. Соответственно, на втором заводе надо выпустить 9 приборов. Посчитаем наименьшую сумму, которую придется заплатить рабочим за неделю.
Имеем (1000*4*11^3+1000*9^3=1331000*4+729000=5324000+729000=6053000).
Ответ: 6053000.
Задача №3
Условие:
Зависимость количества Q (в шт., 0 ≤ Q ≤ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q=20000-P. Затраты на производство Q единиц товара составляют 6000Q + 4000000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0 <t <10000) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ — 6000Q — 4000000 — tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.
Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?
Решение
Запишем целевую функцию, прибыль фирмы, она равна PQ-6000Q- 4000000-tQ.
Подставим в нее значение Q=20000-P.
Имеем P(20000-P)-6000(20000-P)-4000000-t(20000-P)=20000P-P2-120000000-6000P-4000000-20000t+tP=-P2+14000P+tP-20000t-124000000=-P2+P(14000+t)-(20000t+124000000).
По условию задачи эта функция достигает максимума, найдем точку максимума, для этого возьмем производную, приравняем нулю и решим полученное уравнение.
Имеем -2Р+14000+t=0, откуда получаем значение P=7000+t/2.
Подставим полученное значение в целевую функцию, имеем -(7000+t/2)2+(7000+t/2)(14000+t)- 20000t+124000000) = 49000000 + 7000t + t2/4+98000000+7000t+7000t+t2/2=3t2/4+21000t+147000000.
Найдем точку максимума, т. е. возьмем производную, приравняем ее нулю и решим полученное уравнение.
Имеем 1,5t+21000=0 или t=14000.
При этом значении сумма налогов полученных государством будет максимальна. Но у по условию задачи оно должно быть меньше 10000. Поэтому положим t=10000.
Ответ:10000.
Рассмотрим несколько задач с экономическим содержанием из открытого банка заданий ФИПИ.
Задача 1. Пенсионный фонд
владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей
в конце года t (t=1; 2; … ). В конце
любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на
счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет
увеличиваться в 1+r раз.
Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце
двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для
этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких
положительных значениях r это возможно?
Решение. Разберемся внимательно с условием
задачи.
В конце первого
года ценные
бумаги стоят 12 тыс. руб,
В конце второго
года ценные
бумаги стоят 22 тыс. руб,
В конце третьего
года ценные
бумаги стоят 32 тыс. руб,
………………………….
В конце t —1 года
ценные
бумаги стоят (t —1)2 тыс. руб,
В конце t года ценные бумаги стоят t 2 тыс. руб.
Теперь поймем, во сколько раз
увеличивается стоимость ценных бумаг по сравнению с предыдущим годом:
t 2/(t —1)2 =(t /(t —1))2=((t-1+1)/(t —1))2=(1+1/(t —1))2=1+2/(t —1)+1/(t —1)2.
Продавать ценные бумаги и класть деньги в банк имеет смысл в том
случае, когда в банке прирост r за год станет больше, чем 2/(t —1)+1/(t —1)2.
По условию задачи продавать ценные бумаги надо строго в конце 9 года, значит, за 9 год
прирост стоимости ценных бумаг ещё больше банковского прироста,
а в 10–м году уже нет. Получаем в конце 9 года:
2/(9 —1)+1/(9 —1)2> r или 2/8+1/64> r, 17/64>
r.
В конце 10 года:
2/(10 —1)+1/(10 —1)2< r или 2/9+1/81< r, 19/81<
r.
В итоге получаем двойное неравенство
19/81< r <17/64.
Ответ: 19/81< r
<17/64.
PS. Если
привести к общему знаменателю дроби в ответе, получим
1216/5184< r <1377/5184, среди
них есть r = 1296/5184=1/4=0,25. То есть, если каждый год вклад в банке будет
увеличиваться на 25%.
Задача 2. Пенсионный фонд владеет ценными
бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей
в конце года t ( t=1; 2; … ). В конце
любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на
счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет
увеличиваться на 10%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать
ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была
наибольшей?
Решение. Чем условие этой задачи отличается от
предыдущей? Здесь r =0,1, а
вот год, в конце которого надо продавать ценные бумаги не известен.
Воспользуемся выкладками из
предыдущей задачи. Продавать ценные бумаги
и класть деньги в банк имеет смысл в том случае, когда в банке прирост r за год станет больше, чем 2/(t —1)+1/(t —1)2. В нашем случае 2/(t —1)+1/(t —1)2<0,1.
Сделав замену переменных у=
t —1, получаем неравенство 2/у+1/у2<0,1 или, после умножения обеих частей неравенства на
10у2, получаем у2–20у –10 >0.
Решаем неравенство методом
интервалов, корни уравнения у2–20у –10 =0 у1= 10 — Ö110 и у2= 10 + Ö110. С учетом
того, что у >0 получаем у >10 + Ö110.
Делаем обратную замену t -1 >10 + Ö110 или t >11+Ö110.
Поскольку t >21, то на 22
год деньги уже выгоднее держать в банке. Таким образом, продавать ценные бумаги
надо в конце 21 года.
Ответ: 21.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Пенсионный фонд
владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей
в конце года t ( t=1; 2; … ). В конце
любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на
счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет
увеличиваться в 1+r раз.
Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце
двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что
для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года.
При каких положительных значениях r это
возможно?
2. Пенсионный фонд
владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (
t=1; 2; … ). В конце
любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на
счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет
увеличиваться на 25%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать
ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была
наибольшей?
Налоги и пенсионный фонд. Чего только не бывает на ЕГЭ! |
 |
| Задача про налоги? №17 на Профильном ЕГЭ по математике? Не кредит, а налоги? Никогда такого не было, а теперь есть.Возможно, эта задача уже встречалась вам на уроках. |
| СМОТРИТЕ ВИДЕОРАЗБОР! |
Задача про пенсионный фонд
Также по вашим заявкам я разобрала задачу про пенсионный фонд, который, оказывается, не только начисляет пенсии, но еще и покупает и продает акции!
Непростая задача. Точку максимума не найти без калькулятора. А если ее не искать, то решение не засчитают!
Смотрим видеоразбор, учимся решать задачи. Все задачи ЕГЭ – на нашем Онлайн-курсе:
А что будет на ЕГЭ по математике?
Что же будет в задаче №17 на ЕГЭ по математике? Я жду мартовских официальных Пробных ЕГЭ и досрочного ЕГЭ. Там часто появляются задачи реального экзамена. Обязательно сделаю видеоразбор вариантов Пробных и досрочного, поэтому подпишитесь на наш канал на YouTube.
Новый комплект
И сейчас – анонс нашего нового комплекта.
Если вы хотите научиться решать любые задачи с экономическим содержанием на ЕГЭ – для вас комплект «Экономический».
В него входят видеозаписи всех моих мастер-классов 2018-2019 года по теме «Задача 17 на ЕГЭ».
Комплект состоит из 5 двухчасовых видеозаписей Мастер-классов Анны Малковой по «экономической» задаче.
1. Подготовительные задачи
2. «Экономические» задачи на кредиты и вклады
3. «Экономические» задачи. Первый тип задач на кредиты
4. «Экономические» задачи. Второй тип задач на кредиты
5. «Экономические» задачи с применением производной.
Смотрите видеозаписи. 10 часов видео. Все задачи №17 Профильного ЕГЭ по математике.
Эти Мастер-классы входят в наш Онлайн-курс по математике.
Если вы у нас уже учитесь на онлайн-курсе – эти видеозаписи у вас есть. А для тех, кто пока сомневается, у нас хорошая новость: мы начинаем распродажу видеозаписей Мастер-классов отдельными комплектами.
Первый из них – комплект «Экономический».
Готовьтесь к ЕГЭ с профессионалами!
ЕГЭ-Студия и Анна Малкова
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «НОВЫЙ видеоразбор! Экономические задачи… про налоги? Да, про налоги!» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.
Перейти к содержимому
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят ( t^2 ) тыс. рублей в конце года t ( t = 1; 2; …). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в (1 + r) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?
ВНИМАНИЕ!!! ДОПОЛНЕНИЕ К ВИДЕОРАЗБОРУ!!!
Сравниваем именно 20 и 22 год, т.к. при ежегодном увеличении вклада в n раз, число n стремиться к единице. Данное утверждение следует из того, что ( n=((t+1)^2):t^2 ) стремится к 1. Другими словами, ежегодно сумма вклада возрастает на некоторую сумму денег (руб), разность между суммами последующего года и предыдущего с каждым годом увеличивается, НО если смотреть во сколько раз она увеличивается (а это как раз есть наше число n), то делаем вывод, что с каждым годом это число n уменьшается. Поэтому, есть такой год, когда n меньше 1+r . В условии говорится, что такая ситуация наступает строго в конце 21 года. Поэтому сравниваем со значениями 20 и 22 годов.
Поделиться ссылкой:
Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет экономических задач на банковские проценты и оптимизацию.
15-го января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2073 рублей?
В июле 2018 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:
Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено 311 040 рублей?
В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трёх лет суммарный доход жителей региона B увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на $m%$ ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах A и B стал одинаковым. Найдите $m$.
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1; 2; ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в $(1 + r)$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей.
Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на три года в размере $S$ млн. рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:
Найдите наибольшее значение $S$, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн. рублей.
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере $S$ млн. рублей, где $S$ — натуральное число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Мецяц, год | Июль 2020 | Июль 2021 | Июль 2022 | Июль 2023 | Июль 2024 |
| Долг (в млн рублей) | $S$ | $0,8 S$ | $0,5 S$ | $0,1 S$ | 0 |
Найдите наибольшее значение $S$, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 миллионов рублей. (ЕГЭ-2019, досрочная волна; ЕГЭ-2016)
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита. (ЕГЭ-2018, основная волна)
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей? (ЕГЭ-2018, основная волна)
15-го декабря планируется взят кредит в банке на 1 000 000 рублей на $(n + 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r %$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу $(n + 1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей. (ЕГЭ-2018, основная волна)
15-го декабря планируется взят кредит в банке на 600 000 рублей на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа с 1 по 25 месяц долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму;
— 15-го числа 26 месяца долг должен быть погашен.
Сколько тысяч рублей составляет долг на 15 число 25 месяца, если всего было выплачено 691 тысяч рублей? (ЕГЭ-2018, основная волна)
15-го декабря планируется взят кредит в банке на 700 тысяч рублей на $(n + 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа $n$-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;
— к 15-му числу $(n+1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $n$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 755 тысяч рублей. (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день)
В июле 2018 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено 311 040 рублей? (ЕГЭ-2018, досрочная волна)
В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трёх лет суммарный доход жителей региона B увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на $m%$ ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах A и B стал одинаковым. Найдите $m$. (ЕГЭ-2018, досрочная волна, резервный день)
Зависимость объёма $Q$ (в шт.) купленного у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) выражается формулой $Q = 15000 — P$, $1000 leqslant P leqslant 15000$. Доход от продажи товара составляет $PQ$ рублей. Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q + 5000000$ рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на 20 %, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли? (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день; ЕГЭ-2015)
В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трёх лет суммарный доход жителей региона B увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на $m%$ ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах A и B стал одинаковым. Найдите $m$. (ЕГЭ-2018, досрочная волна, резервный день)
Зависимость количества $Q$ (в шт., $0leqslant Q leqslant 15000$) купленного у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) выражается формулой $Q = 15000 — P$. Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q + 1000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог $t$ рублей ($0 < t < 10000$) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ — 3000Q — 1000000 — tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $tQ$ рублей.
Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении $t$ общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной? (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день)
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1, 2, 3, ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1 + r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно? (ЕГЭ-2017, досрочная волна)
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $10t$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1, 2, 3, ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в $1 + r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно? (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
Борис является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Борис платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.
Борису нужно каждую неделю производить 70 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих? (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе — 300 рублей.
Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 13% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число $n$ млн. рублей в первый и второй годы, а также целое число $m$ млн. рублей в третий и четвёртый годы.
Найдите наименьшее значение $n$ и для него наименьшее значение $m$, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся. (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остается равным $S$ тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет. (ЕГЭ-2016)
− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Мецяц, год | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 |
| Долг (в тыс. рублей) | $S$ | $0,7 S$ | $0,4 S$ | 0 |
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей. (ЕГЭ-2016)
Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $х$ млн. рублей, где $х$ — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $х$ млн рублей, где $х$ — целое число. Найдите наибольшее значение $х$, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство $x$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x^2+2x+6$ млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px-(0,5x^2+2x+6)$.
Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не более, чем за 3 года? (ЕГЭ-2015)
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$. (ЕГЭ-2015)
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?