Экономические задачи егэ теория типы - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

На чтение 12 мин Просмотров 33.7к. Опубликовано 7 февраля, 2019

Для решения таких задач необходимо понимать алгоритм решения экономических задач

За задание №17 по математике ЕГЭ профильный уровень можно получить 3 балла. Мы рассмотрим как решать экономические задачи ЕГЭ по математике, которые в каждом варианте профильного уровня по математике идут под номером 17.

Решение №17 включает в себя обязательное построение математической модели, то есть это обычная текстовая задача, но с экономическим (финансовым) уклоном и чаще всего с большим количеством вычислений.

Можно выделить несколько блоков заданий:

1. Вклады и кредиты

2. Акции и другие ценные бумаги

3. Методы оптимальных решений

Рассмотрим каждый из вышеперечисленных блоков.

Содержание

Вклады и кредиты
Акции и другие ценные бумаги
Методы оптимальных решений
Примеры решения задач

Вклады и кредиты

Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.

Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Начисление по этой формуле предполагает, что каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов.

Формула выглядит следующим образом:

где FV – будущая сумма.

PV – текущая сумма.

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента.

Если начисления происходят не ежегодно, а чаще, например, ежеквартально, формула модифицируется в следующий вид:

где

FV – будущая сумма

PV – текущая сумма

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента

m – количество начислений в год (например, m=4, если начисления ежеквартальные).

Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.

Задача 1

Алексей положил 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какая сумма будет у Алексея через год? Через 2 года? Через 3 года?

Решение:

Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:

Теперь сумму через 2 года:

Теперь сумму через 3 года:

Более того, вам придётся работать со схемами кредитов/вкладов, поэтому решим более сложную задачу, в которой нужно будет переводить текст в таблицы и уравнения/неравенства.

Задача 2

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 28 млн рублей.

Решение:

Пусть искомая сумма составит a млн рублей.

Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.

По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство

14,641 + 2,31a ≥ 28

a ≥

Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.

Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.

Ответ: 6 млн рублей.

Акции и другие ценные бумаги

Следующий блок, который мы рассмотрим, затрагивает относительно новое понятие ценной бумаги. Что вам нужно знать о ценной бумаге, чтобы решать подобные задания, не вдаваясь в экономические особенности, это то, как она может приносить доход.

Тип 1: когда вы получаете доход от того, что ценная бумага, которую вы купили ранее, растет в цене. Например, сначала ценная бумага стоила 3 000, а через год стала стоить 4 000. Непосредственно этих 4 000 у вас нет, но вы можете продать ценную бумагу за 4 000 и получите больше, чем потратили за год до этого.

Тип 2: когда вы получаете некий процент от прибыли компании за то, что ранее приобрели ценную бумагу этой компании. Если вы являетесь владельцем акции, то доход данного типа вы получаете в форме дивидендов.

Помимо этого дохода вы также можете продать эту ценную бумагу и, если она теперь стоит больше, чем когда вы ее покупали, вы также получите прибыль. Это не все пути получения дохода от ценных бумаг, но других особенностей вам знать не нужно. При необходимости все дополнительные условия будут описаны в самой задаче.

Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.

Задача 3.

Григорий приобрёл ценную бумагу компании за 9000 рублей в начале 2016 года. Компания находится на стадии активного роста, поэтому цена данной бумаги каждый год возрастает на 2000 рублей. В любой момент Григорий может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 12 %. В начале какого года Григорий должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение:

Продать бумагу нужно тогда, когда прирост стоимости ценной бумаги станет меньше, чем банковский процент. Пусть это случится в год n.

К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:

9000 + 2000n

Чтобы получить прирост, который Григорий получит, если хранить деньги в форме акции, необходимо ежегодный прирост (в данной задаче – 2000 рублей) поделить на накопленную к данному моменту сумму.

Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.

Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:

По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.

Ответ: 2020

Методы оптимальных решений

Это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.

Основные типы заданий в этом блоке:

1. Оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;

2. Многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);

3. Транспортная задача.

Разберём несколько задач с основными методами решения.

Задача.

У фермера есть 2 поля, площадь каждого из которых составляет 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать пшеницу и ячмень. Урожайность пшеницы на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором поле – 300 ц/га. Урожайность ячменя, наоборот, на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором поле – 500 ц/га. При этом известно, что между данными злаками поля можно делить в любом соотношении.

Если известно, что на рынке установилась цена на пшеницу 7000 рублей за центнер, а цена на ячмень 9000 рублей за центнер, то какой наибольший доход фермер может получить?

Решение:

Имеем 2 поля с различными характеристиками.

В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9000 > 7000 рублей.

Более того, известно, что на втором поле урожайность ячменя выше, чем урожайность пшеницы (500 ц/га против 300 ц/га). Тогда очевидно, что второе поле полностью фермер займёт ячменём, откуда получит:

10·500· 9000= 45000000 рублей

Ситуация с первым полем не так очевидна.

Продавать ячмень, как и прежде, выгоднее, чем продавать пшеницу. Однако на первом поле урожайность ячменя ниже, чем урожайность пшеницы (300 ц/га против 500 ц/га).

Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:

Тогда получается, что засеять первое поле пшеницей выгоднее, так как низкая цена компенсируется высокой урожайностью.

Доход с первого поля:

10 · 500 ·7000 = 35000000 рублей

Суммарный доход составит:

35000000 рублей + 45000000 рублей = 80000000 рублей

Ответ: 80000000 рублей

Есть и другие типы заданий, в которых необходимо будет применить не житейские знания, а навыки составления уравнений и нахождения наименьшего/ наибольшего значений функций.

Задача.

На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда.

Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?

Решение:

Как и дано в условии, 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов, что означает, что металлы взаимозаменяемы в пропорции 1:1.

Пусть на втором заводе t рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда (360-t) рабочих обрабатывают цветные металлы.

Знаем, что x2 человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у2 человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.

На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов, однако чёрные и цветные металлы для заказчика равнозначны, из чего сделаем вывод, что все 360 рабочих обрабатывают чёрные металлы, то есть 108*5 = 540 кг в день.

Имея соотношение на втором заводе и производительность рабочих на первом заводе, составим функцию возможного количества обработанных металлов:

Необходимо найти наибольшее значение этой функций. Последовательность действий мы уже знаем из темы «Анализ функций». Необходимо:

1. Найти производную функции;

2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;

3. Определить знаки производной на полученных промежутках и проверить, какие точки являются точкой максимума, а какие – точкой минимума.

Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.

Приведём к общему знаменателю. Приравняем числитель к 0.Возведём в квадрат.Получили единственную точку экстремума.
Проверим, является ли она точкой максимума.Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с + на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.Ответ: 600 кг

Видим, что экономическая задача достаточно разнообразна, но и решать вы её можете абсолютно разными способами – через производные, составление таблиц, схем, выведение формул и простой перебор вариантов.

Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.

Примеры решения задач

Задача 1. В 2019 году клиент планирует открыть вклад в банке 1 ноября сроком на 1 месяц под 11% годовых. Какая сумма денег окажется на счёте вклада 1 декабря того же года, если планируемая сумма вклада равна 100 000 рублей? Ответ округлите до двух знаков после запятой.

Решение: При однократном начислении процентов через дней на вклад под годовых в невисокосный год получим сумму

Воспользуемся этой формулой, считаяS₀= 100 000, r = 11 , m = 30 (так как в ноябре 30 дней).

Получим:

Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0090411, значит, S=100 904,11Таким образом, на счёте вклада будет 100 904 рубля 11 копеек.

Задача 2. Через сколько полных лет у клиента на счету будет не менее 950 000 рублей, если он намерен открыть вклад 31 декабря и планирует каждый год класть на счет 260 000 рублей при условии, что банк раз в год (начиная со следующего года) 31 декабря будет начислять 10% на имеющуюся сумму?

Решение:

Будем последовательно вычислять сумму на счете и упорядочивать данные с помощью таблицы.

Задача 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет, а на третий год начисляемые проценты изменяются. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором по истечении трёх лет этот вклад всё ещё будет выгоднее вклада «А».

Решение:

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма По вкладу «А» сумма каждый год увеличивается на

умножается на коэффициент 1,1.

Тогда по вкладу «А» после первого года сумма станет равна ;

после второго года: 1,21S;

после третьего года: 1,331S.

По вкладу «Б» после первого года сумма станет равна1,11S;

после второго года 1,2321S.

Пусть на третий год по вкладу «Б» банк увеличивает сумму на r%. Тогда после третьего года по вкладу «Б» сумма станет равна

, где r— натуральное число,

коэффициент повышения в третий год.

По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Составим неравенство:

Так как r— натуральное число, то наименьший процент равен 9%.

Задача 4. Сергей планирует приобрести ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год будет возрастать на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей сможет продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете стала наибольшей?

Решение.

Во второй год цена ценной бумаги составит: (7+2) тысячи рублей

В третий год (7+2)+2= 7+2∙2 тысячи рублей

В четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2∙3 тысячи рублей

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.

10% от цены бумаги на

Ценную бумагу стоит продать тогда, когда 10% от цены бумаги станут больше, чем 2 тысячи рублей.

Получаем неравенство:

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 8.

Задача 5.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце тридцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Решение:

Источник

Научно-образовательный форум школьников Республики Мордовия

Лицей федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Секция: Математический калейдоскоп

Автор работы:	Душутина К. A.
	10 класс Лицей МГУ им. Н. П. Огарева
Руководитель работы:	Кубанцева А. В.
	учитель математики Лицей МГУ им Н. П. Огарева

Саранск

2021

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 5

1.1 Содержательный смысл определения экономической науки 5

1.2 Взаимосвязь двух наук: экономики и математики 5

1.3 Основные определения и понятия 6

1.3.1 Понятие процента и процентной ставки 7

1.3.2 Понятие арифметической и геометрической прогрессий 8

1.3.3 Понятия фиксированных, аннуитетных и дифференцируемых платежей 10

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 12

2.1 Типы экономических задач и способы их решения 12

2.1.1 Кредиты 12

2.1.2 Вклады 21

2.1.3 Задачи на оптимальный выбор 23

2.1.4 Нестандартные задачи 24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 26

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 27

ВВЕДЕНИЕ

Современная экономическая обстановка актуализирует проблему экономического воспитания подрастающего поколения. Экономические знания современной молодежи носят сугубо теоретический характер, оторванный от реальной действительности. Причем все больше осознается необходимость в формировании экономической грамотности у старшеклассников, тех, кто стоит на пороге самостоятельной жизни и которым в ближайшем будущем предстоит занять активную позицию в обществе. От экономической грамотности выпускников школы во многом будет зависеть их успешная адаптация к социально – экономическим условиям общества. Проблема обучения старшеклассников решению задач с экономическим содержанием складывается из нескольких составляющих: наличие в таких задачах большого количества терминов, неизвестных учащимся; старшеклассники плохо ориентируются в материале, изученном в 5-9 классах и необходимом для решения задач с экономическим содержанием: темы процентов, арифметической, геометрической прогрессий вызывают затруднения.

Задачи о вкладах и кредитовании, а также задачи оптимизации производства товаров и услуг сравнительно недавно включены во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня и вызывают значительные затруднения у большинства выпускников.

Актуальность данной темы обусловлена тем, что в курсе математики, изучаемой в школе, решению задач с экономическим содержанием не уделено достаточно времени. Жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений. Однако основные практические навыки и умения у большинства учеников сформированы на уровне, не удовлетворяющем требованиям подготовки к ЕГЭ и повседневной жизни.

Гипотеза исследования – в современном мире необходимы знания об экономике и в этом может помочь математика.

Объект исследования – процесс подготовки к единому государственному экзамену по математике профильного уровня.

Предмет исследования – экономические задачи №17, встречающиеся в ЕГЭ по математике профильного уровня.

Цель исследования – исследование методов решения задач с экономическим содержанием.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить теоретико-методологические основы экономики.

2. Провести классификацию и систематизацию типов экономических задач, включенных во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня, и методов их решений.

Методы исследования – теоретический анализ и синтез научной и учебной литературы по теме исследования, сравнение, систематизация информации, обобщение, вывод, подбор и решение задач.

Научная новизна работы заключается в обобщении, систематизация, анализе экономических задач, входящих в ЕГЭ по математике профильного уровня.

Практическое значимость – возможность использования обобщенных данных при подготовке выпускников к сдаче единого государственного экзамена по математике профильного уровня, отработке решения задач экономического содержания.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Содержательный смысл определения экономической науки

У всякой науки свой предмет, т.е. своя главная тема исследований. В центре внимания экономической теории – хозяйственная деятельность людей, которая осуществляется при определенных условиях, в определенной обстановке, экономической среде. [2]. В зависимости от условий, обстановки и экономической среды, термин «экономика» имеет различные определения. Приведем одно из определений экономики (экономической теории) как науки:

Экономика – это наука, изучающая типичные мотивы и модели поведения людей в процессах производства, обмена и потребления жизненных благ. [6].

Другими словами, экономика – наука об оптимальном, т.е. наилучшем в конкретных условиях, использовании ограниченных ресурсов [8].

Взаимосвязь двух наук: экономики и математики

Математика настолько практична, что немногое из окружающего мира может без нее функционировать. От банков и магазинов, бирж и страховых компаний до штрихкодов, прослушивания дисков и разговоров по мобильному телефону – все это и многое другое работает благодаря процессорам и математическим моделям, задача которых – постоянное выполнение математических операций.

Особенности математики, как отличительной области знаний, которые делают ее неповторимой, заключаются в следующем:

недопустимость расхождения в определении правил и создании математических формул;
математические формулы составляются из ряда аксиом, на основе строгих условий;
возможность владеть теми или иными понятиями, не раскрывая их смысла.

Именно благодаря всем вышеперечисленным особенностям математический аппарат является многофункциональным аналитическим инструментом для всех отраслей знаний. [4].

Экономика представляет собой науку, которая изучает объективные причины и условия ведения в обществе хозяйственной деятельности. В этой связи экономике изначально были присущи различные количественные характеристики, исследование и описание которых потребовало использование большого числа математических методов. Экономические объекты, процессы и явления изучаются математически формализованным образом. Роль математики в экономике заключается в том, что ее язык позволяет сформулировать содержательные и проверяемые гипотезы о многих сложных экономических явлениях. Причем большая часть этих явлений вообще не может быть изучена без привлечения математического аппарата. В частности, его использование привело к созданию математических моделей, в которых нашли отражение некоторые теоретические экономические взаимосвязи.

На сегодняшний день обширное использование математического аппарата в своих исследованиях способствует достижению наибольших успехов в разных областях. Поэтому применение математики на практике позволяет достичь более значительных результатов в изучении явлений природы и общества.

Основные определения и понятия

Решение финансовых задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной. Прежде чем рассмотреть способы решения экономических задач, целесообразно привести основные определения, понятия, таблицы и формулы.

Понятие процента и процентной ставки

Процентом называют одну сотую часть числа. С точки зрения экономики, процент – это абсолютная часть дохода, получаемая в результате финансовой операции за определенный период времени при наращении.

При решении экономических задач часто используется определение процентной ставки за определенный период времени – величины, характеризующей относительное изменение денежной суммы F за этот период:

где – абсолютная величина изменения суммы F.

Определенная таким образом процентная ставка измеряется в процентах (%). Если относительное изменение денежной суммы не умножать на 100, то ставка будет измеряться в долях единицы (дробях).

Отрезок времени, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

В зависимости от того, какая из сумм дана и какую нужно найти, выделяют два направления финансовых расчетов: наращение и дисконтирование.

Наращение – определение величины итоговой стоимости по заданной текущей стоимости. Дисконтирование – определение текущей стоимости по ожидаемой итоговой сумме в будущем. [3].

Различают простые и сложные процентные ставки, или проценты.

Для начисления простых процентов применяют постоянную базу начисления. В этом случае начисленные за весь срок проценты I составят:

где P – первоначальная денежная сумма, n – период начисления процентов, i – ставка наращения процентов в виде десятичной дроби.

Наращенная сумма представляет собой сумму первоначальной денежной суммы и наращенных процентов:

Когда за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения (дисконтирования), используют сложные процентные ставки. В этом случае база начисления последовательно изменяется, то есть проценты начисляются на проценты.

В конце первого года проценты будут равны величине I = Р * i, а наращенная сумма составит S = Р + Р * i = Р * (1 + i). К концу второго года она достигнет величины Р * (1 + i) + Р * (1 + i) * i = Р * (1 + i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна:

Проценты за этот срок составят:

Понятие арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d. [7].

Очевидно, что арифметическая прогрессия представляется возрастающей последовательностью, если d > 0, и убывающей, если d < 0.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность (an) такова, что для любого n > 1 выполняется равенство:

то (аn) – арифметическая прогрессия. [5].

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии. [1].

Формула n-ого члена геометрической прогрессии:

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность (bn) такова, что для любого n > 1 выполняется равенство:

то (bn) – геометрическая прогрессия. [1].

Понятия фиксированных, аннуитетных и дифференцируемых платежей

Фиксированные платежи – платежи, которые четко оговариваются в условии задачи. Аннуитетный платеж – это платеж, который устанавливается в равной сумме через равные промежутки времени. Месячный аннуитетный платеж находится по формуле:

где X – месячный платеж, S – сумма кредита, P – 1/12 процентной ставки, N – количество месяцев.

Дифференцируемый платеж – это платеж, который представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Если при аннуитетной схеме неизменным является сам аннуитетный платеж, то при дифференцируемой – не меняется именно взнос, идущий на погашение тела кредита. Рассчитывается он по формуле:

где St – сумма, которая идет на погашение тела кредита, S – сумма кредита, N – количество месяцев. Для расчёта доли процентов в дифференцированных платежах пользуются следующей формулой:

где In – сумма, которая идёт на погашение процентов по кредиту в данный расчётный период, Sn — остаток задолженности по кредиту, P – годовая процентная ставка. Зная долю тела кредита и долю процентов, мы можем рассчитать дифференцированный платёж, используя формулу:

где X — размер дифференцированного платежа по кредиту, St – сумма, которая идёт на погашение тела кредита, In – сумма уплачиваемых процентов. [3].

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Экономические задачи были введены в задания ЕГЭ по математике профильного уровня (№17) в 2015 году. По своей сложности задачи с экономическим содержанием находятся на одном уровне с заданиями, содержащие параметры и теорию чисел.

Низкий процент успешной сдачи решения задания №17 (за 2015 – 2020 годы – 2, 5) объясняется как трудностью самих задач, так и их отсутствием в школьном курсе математики.

Основными ошибками, которыми допускали учащиеся при решении задач финансовой математики, являются:

неверное составление модели;
вычислительными, или арифметические;
прекращение решения на промежуточном шаге, то есть без доведения ответа до числового значения;
решение методом перебора без обоснования единственности;
решение без вывода формул. В ряде случаев трактуется как неумение строить математическую модель.

С целью подготовки учащихся к успешной ЕГЭ имеет смысл подробно рассмотреть типы экономических задач и методы их решения.

Типы экономических задач и способы их решения

Условно выделяют несколько типов задач экономического содержания.

Далее приведем подробные разборы примеров задания №17 каждого типа.

Кредиты

ПРИМЕР №1 (Подтип 1: Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита). 1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей? [10].

РЕШЕНИЕ:

СПОСОБ №1. Сначала найдем минимальное количество месяцев, за которое Павел Витальевич сможет погасить основную сумму долга, если его ежемесячный платеж будет составлять 125 тыс. рублей: 1 000 000 : 125 000 = 8 (месяцев).

Но банк ежемесячно начисляет 1% на оставшуюся сумму долга. Тем самым получаем, что общая сумма долга будет превышать 1 млн рублей.

Составим таблицу, наглядно показывающую схему кредита, и найдем № месяца, когда задолженность будет меньше, чем ежемесячная выплата:

Месяц, №	Задолженность в начале месяца, руб.	Задолженность после погашения, руб.
1	1 000 000 + 1% = 1 010 000	1 010 000 – 125 000 = 885 000
2	885 000 + 1% =893 850	893 850 – 125 000 = 768 850
3	768 850 + 1% = 776 538, 5	776 538, 5 – 125 000 = 651 538,5
4	651 538,5 + 1% = 658 054	658 054 – 125 000 = 533 054
5	533 054 + 1% = 538 385	538 385 – 125 000 = 413 385
6	413 385 + 1% = 417 519	417 519 – 125 000 = 292 519
7	292 519 + 1% = 295 445	295 445 – 125 000 = 170 445
8	170 445 + 1% = 172 150	172 150 – 125 000 = 47 150
9	47 150 + 1% = 47 622	0

СПОСОБ №2. За 8 месяцев Павел Витальевич сможет оплатить за кредит не более, чем 125 000 * 8 = 1 000 000 рублей, но с учетом начисляемых процентов общая сумма долга будет превышать 1 млн рублей.

За 9 месяцев банк начислит не более, чем 9 сумм процентов за первый месяц (максимально начисленные проценты будут составлять 10 000 рублей), то есть 10 000 * 9 = 90 000, что составляет меньше, чем ежемесячный платеж. Таким образом, Павел Витальевич полностью погасит кредит за 9 месяцев.

ОТВЕТ: на 9 месяцев.

ПРИМЕР №2 (Подтип 1: Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита). В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1, 4 млн руб.? [11].

РЕШЕНИЕ: Чтобы найти минимальное количество лет, надо обозначить размер максимального первого платежа – 1,4 млн рублей.

Дата	Долг до выплаты, млн руб.	Выплата, млн руб.	Долг после выплаты, млн руб.
Июль 0-ого года	5
Январь 1-ого года	5 + 15% = 5,75
Февраль 1-ого года		1,4	5,75 — 1,4 = 4,35
Июль 1-ого года	4,35 (разница 0,65)
Июль 2-ого года	4,35 – 0,65 = 3,7
Июль 3-его года	3, 7 – 0,65 = 3,05
Июль 4-ого года	3,05 – 0,65 = 2,4
Июль 5-ого года	2,4 – 0,65 = 1,75
Июль 6-ого года	1,75 – 0,65 = 1,1
Июль 7-ого года	1,1 – 0,65 = 0,45
Июль 8-ого года	0

Мы можем найти оставшуюся сумму долга на июль данного года, найдя фиксированную разницу между 1-ым и 2-ым годами выплаты кредита. Как только, оставшаяся сумма долга будет меньше, чем разница, кредит будет считаться полностью оплаченным в этот год.

ОТВЕТ: 8 лет.

ПРИМЕР №3 (Подтип 2: Вычисление процентной ставки по кредиту). В июле 2019 планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 52 500 рублей, а во второй год – 67 500 рублей? [11].

РЕШЕНИЕ: Пусть банк начисляет r процентов, умножая сумму долгу на x = (1 + ). Составим схему погашения кредита:

Дата	Долг до выплаты, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг после выплаты, тыс. руб.
1.7.2019	100
1.1.2020	100x
1.2.2020		52,5
1.7.2020			100x – 52,5
1.1.2021	(100x – 52,5) * x = 100x2 – 52,5x
1.2.2021		67,5
1.7.2021			100x2 – 52, 5x – 67,5 = 0

Решив квадратное уравнение: 100x2 – 52, 5x – 67,5 = 0, получаем, что x1= = — 0,6 (не подходит, т. к. процентная ставка не может быть отрицательным числом) и x2 = 1, 125. Отсюда получаем: x = 1 + = 1, 125; r = 12, 5.

ОТВЕТ: 12,5

ПРИМЕР №4 (Подтип 3: Нахождение суммы кредита). Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн. [10].

РЕШЕНИЕ:

СПОСОБ №1. Обозначим за S полную сумму кредита. Составим схему погашения кредита:

Дата	Долг до выплаты, млн руб.	Выплата, млн руб.	Долг после выплаты, млн руб.
Начало 1/2/3-ого годов	S
Середина 1/2/3-ого годов	S + 20%=1,2S
Конец 1/2/3-ого годов		0,2S	S
Начало 4-ого года	S
Середина 4-ого года	S + 20%=1,2S
Конец 4-ого года		X	1,2S — X
Начало 5-ого года	1,2S — X
Середина 5-ого года	(1,2S– X)+20% =1,44S-1,2X
Конец 5-ого года		X	1,44S — 1,2X – X = 0

Решаем уравнение 1,44S — 1,2X – X = 0. Получаем, что X = .

Общая сумма выплат составляет 0,6S + 2X = 0,6S + S = S. По условию: S > 10 млн. Получаем, что S > 5, 24 (Минимальное целочисленное решение неравенства – S = 6).

СПОСОБ №2. Обозначим за S полную сумму кредита. Каждый год заёмщик выплачивает по 0,2S млн. Всего 0,6S за три года.

Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 4-го года долг возрастёт до 1,2S млн. Обозначим через X размер выплаты в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце 4-го года долг равен (1,2S — X), а в середине 5-го года он равен 1,2(1,2S — X). В конце 5-го года весь долг должен быть погашен. Отсюда следует, что последняя выплата равна 1,2(1,2S- X), а по условию равна X. Получаем, что X = S.

Общая сумма выплат составляет 0,6S + 2X = 0,6S + S = S. По условию, S > 10 млн. Получаем: S > 5, 24 (Минимальное целочисленное решение неравенства – S = 6).

ОТВЕТ: 6 млн рублей.

ПРИМЕР №5 (Подтип 4: Нахождение ежегодного (ежемесячного) транша). 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)? [10].

РЕШЕНИЕ: Составим схему погашения кредита:

Дата	Долг до выплаты, руб.	Выплата, руб.	Долг после выплаты, руб.
31.12.2014	4 290 000
31.12. 2015	4 290 000 + 14,5% = 4 912 050	X	4 912 050 — X
31.12. 2016	(4 912 050 – X) + 14,5% = 5 624 298 – 1,145X	X	5 624 298 – 2,145X = 0

Решаем уравнение 5 624 298 – 2,145X = 0. Получаем, что X = 2 622 050.

ОТВЕТ: 2 622 050 рублей.

ПРИМЕР №6 (Подтип 4: Нахождение ежегодного (ежемесячного) транша). Клиент взял в банке кредит 18000 рублей на год под 18 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно? [10].

РЕШЕНИЕ: Через год банк начисляет 18% годовых, то есть долг увеличивается в 1,18 раз. Получится, что клиент должен банку 18 000 * 1,18 = 21 240 рублей. Соответственно ежемесячная выплата составит:

21 240 / 12 = 1 770 рублей.

ОТВЕТ: 1 770 рублей.

ПРИМЕР №7 (Подтип 5: Нахождение разницы). 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа? [10].

РЕШЕНИЕ: Построим схему выплаты кредита:

Дата	Долг до выплаты, руб.	Выплата, руб.	Долг после выплаты, руб.
31.12.2014	7 007 000
31.12.2015	7 007 000 + 20% = 8 408 400	X	8 408 400 – X
31.12.2016	(8 408 400 – X) + 20% = 10 090 080 – 1,2X	X	10 090 080 – 2,2X
31.12.2017	(10 090 080 – 2,2X) + 20% = 12 108 096 – 2,64X	X	12 108 096 – 3,64X

Схема №1 (3 равных платежа). Последним платежом Тимофей полностью погасит кредит. Решим уравнение 12 108 096 – 3,64X1 = 0. Получаем, что X1 = 3 326 400.

Схема №2 (2 равных платежа). Решим уравнение 10 090 080 – 2,2X2 = 0. Получаем, что X2 = 4 586 400.

Находим разницу: 3X1 – 2X2 = 9 979 200 – 9 172 800 = 806 400 рублей.

ОТВЕТ: на 806 400 рублей.

ПРИМЕР №8 (Подтип 6: Задачи, связанные с известным остатком). В январе 2020 года планируется взять кредит в банке на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

каждый ноябрь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
в декабре каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в январе каждого года долг (в тыс. рублей) должен соответствовать следующей таблице:

Месяц и год	Январь 2020	Январь 2021	Январь 2022	Январь 2023
Долг, тыс. руб.	800	600	300	0

Сколько тыс. рублей нужно заплатить по кредиту в декабре 2021 года? [11].

РЕШЕНИЕ:

СПОСОБ №1. Составим схему погашения кредита:

Дата	Долг до выплаты, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг после выплаты, тыс. руб.
Январь 2020	800
Ноябрь 2020	800 + 20% = 960
Декабря 2020		X1 = 960 – 600 = 360
Январь 2021			960 – X1 = 600
Ноябрь 2021	600 + 20% = 720
Декабрь 2021		X2 =720 – 300 = 420
Январь 2022			720 – X2 = 300
Ноябрь 2022	300 + 20% = 360
Декабрь 2022		X3 = 360
Январь 2023			360 – X3 = 0

По таблице видим, что в декабре 2021 года клиент должен будет заплатить банку 420 тыс. рублей.

СПОСОБ №2. В ноябре 2021 года долг в размере 600 тыс. руб., который остался в 2021 году, увеличится на 20% и будет составлять 600 *1,2 = 720 тыс. руб. В январе 2022 года долг должен стать равным 300 тысячам рублей, так что в декабре 2021 года должно быть выплачено 720 – 300 = 420 тыс. руб.

ОТВЕТ: 420 руб. тыс.

ПРИМЕР №9 (Подтип 7: Задачи, связанные с дифференцированными платежами). 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на пятый месяц кредитования нужно выплатить 57,5 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования? [11].

РЕШЕНИЕ: Обозначим за S размер кредита, взятого в банке 15 января. 1-го февраля он уже вырастет на 3% и будет составлять 1,03S. После этого происходит выплата так, чтобы долг менялся каждый месяц на одну и ту же величину, то есть выплата в первый месяц составит: . Составим схему выплаты кредита:

Дата	Долг до выплаты, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг после выплаты, тыс. руб.
15.01	S
01.02	1,03S
14.02
15.02
1.03
14.03
15.03
15.04
15.05
15.06		=57,5

Решим уравнение: . Получаем, что S = 450 тыс. руб.

Рассчитаем всю сумму, выплаченную банку за 9 месяцев:

. Подставим S = 450. Получаем:

ОТВЕТ: 517,5 тыс. руб.

ПРИМЕР №10 (Подтип 7: Задачи, связанные с дифференцированными платежами). Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r. [9]

РЕШЕНИЕ: Обозначим за S полную сумму кредита. По условию долг должен уменьшатся до нуля равномерно. Составим геометрическую прогрессию: S; ; …; ; ; 0.

К концу каждого месяца долг увеличивается на r%, то есть умножается на коэффициент k, равный : S; ; …; ; ; 0.

Отсюда следует, что ежемесячные выплаты должны быть представлены в следующем виде: ; ; …; ; ; 0.

Всего следует заплатить: .

Общая сумма выплат оказалась на 13% больше суммы, взятой в кредит. Получаем: ; k = = 1,02; r = 2%.

ОТВЕТ: 2%.

Вклады

ПРИМЕР №11. В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000 рублей, а еще через год (опять после начисления процентов) снова внес 2000 рублей. Вследствие этих действий через три года со времени открытия вклада вкладчик получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы он получил? [10].

РЕШЕНИЕ: Обозначим за S общую сумму вклада. Составим схему начисления процентов по вкладу:

Год, №	Реальная сумма, руб.	Запланированная сумма, руб.
0	S	S
1	1,1S	1,1S
2	1,1(1,1S – 2000)	1,1 * 1,1S
3	1,1(1,1(1,1S – 2000) + 2000) = 1,1 * (1,21S – 200) = 1, 331S -220	1,1 * 1,1 * 1,1S = 1, 331S

Найдем разницу:

1,1(1,1(1,1S – 2000) + 2000) — 1,1 * 1,1 * 1,1S = 1, 331S – 220 – 1,331S = — 220. Таким образом, вкладчик получил на 220 рублей меньше запланированной суммы.

ОТВЕТ: на 220 рублей.

ПРИМЕР №12. По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн рублей в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся. [11].

РЕШЕНИЕ: Составим схему увеличения вклада:

Год	Сумма вклада	Год	Сумма вклада
0	10	3	((1,15 * 10 + 4) * 1,15 +4) 1,15 + m = 21,825 1, 15 + m = 25,099 + m
1	1,15 * 10 + n	4	(25,099 + m) * 1, 15 + m
2	(1,15 * 10 + n) * 1,15 + n

В условии задачи сказано, что за два года первоначальные вложения как минимум удвоятся, значит, можно составить неравенство:

(1,15 * 10 + n) * 1,15 + n ≥ 20. Получаем, что n ≥ 3,5. (Минимальное целочисленное решение n = 4).

За четыре года первоначальные вложения утроятся. Составим неравенство: (25,099 + m) * 1, 15 + m ≥ 30. Получаем, что m ≥ 0,528. (Минимальное целочисленное решение m = 1).

ОТВЕТ: 4 и 1 млн рублей.

Задачи на оптимальный выбор

ПРИМЕР №13. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х% годовых, тогда как в январе 2001 года она составила у% годовых, причем известно, что x + y = 30. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной. [10].

РЕШЕНИЕ: Обозначим за S сумму вклада, которую положили в банк в январе 2000 года. В январе 2001 года вклад будет уже составлять S(1+0,01x), но вкладчик снял 0,2S. Поэтому на январь 2021 на вклад приходится: S(1+0,01x) – 0,2S = 0,8S +0,01Sx. В январе 2002 года вклад увеличится на y%, то есть умножится на (1 + 0,01y) = (1 + 0,01(30 – x), и будет составлять (0,8S +0,01Sx) * (1 + 0,01(30 — x)) = — 0,0001Sx2 + 0,005Sx + 1, 04S.

Функция f(x) = — 0,0001Sx2 + 0,005Sx + 1, 04S является убывающей. Найдем ее максимальное значение x0 = = 25.

ОТВЕТ: 25.

Нестандартные задачи

ПРИМЕР №14. В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100 000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5% от общего количества долларов? [10].

РЕШЕНИЕ: Найдем ежемесячное увеличение валютной массы, находящейся в обращении: 100 – 50 = 50 тыс. долларов. Через n месяцев в стране будет – (1 000 + 50n) тыс. долларов.

Ежемесячно количество фальшивых купюр уменьшается на 50 * 0,3 – 100 * 0, 1 = 5 тыс. долларов. Изначально их было 1 000 000 * 0, 2 = 200 000. Тогда, через n месяцев их будет – (200 – 5n) тыс. долларов, что составляет 5% от общего количества долларов. Получаем: (1 000 + 50n) * 0, 05 = 200 – 5n.

n = 20.

ОТВЕТ: через 20 месяцев.

ПРИМЕР №15. При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того, за весь колодец дополнительно было уплачено 10 000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца. [10].

РЕШЕНИЕ: Обозначим за Х м глубину колодца. Тогда, часть выплат, зависящая от глубины колодца, представляет собой арифметическую прогрессию, где a1 = 1000, а d = 500. Последний член прогрессии имеет вид: 1000 + 500(X –1).

Найдем сумму всех выплат по формуле суммы n – членов арифметической прогрессии: .

Поскольку сверх этого было выплачено еще 10 000 руб., а средняя стоимость 1 м при этом составила 6250 руб., то имеет место уравнение вида: 250X2 + 750X + 10 000 = 6250X. Решим, получаем: Х1 = 2 (не подходит, т. к. Х> 10 м) и Х2 = 20.

ОТВЕТ: 20 м.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенной работы по классификации и систематизации типов задач финансовой математики, включенных во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня, и методов их решений были получены следующие выводы и результаты:

1. Было дано определение экономики как науки, изучающей типичные мотивы и модели поведения людей в процессах производства, обмена и потребления жизненных благ, а также установлена ее связь с математикой, заключающаяся в построении теоретических моделей математическим методом при анализе экономических явлений и процессов.

2. Были выделены четыре типа, один из которых содержит в себе семь подтипов, экономических задач ЕГЭ по математике профильного уровня и приведены различные способы их решений.

В ходе исследования было замечено, что наиболее наглядным и понятным методом решения задач с экономических содержанием оказался табличный метод. Именно этот способ решения рекомендуется использовать учащимся для построения точной теоретической модели экономической задачи.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Алимов, Ш. А. Алгебра: учебник для учащихся 9 кл. средней школы / Ш.А. Алимов. – М.: Просвещение, 2012. – 287 с.
Ермаков, С. Л. Экономика: учебное пособие (Бакалавриат) / С.Л. Ермаков, С.В. Устинов, Ю.Н. Юденков. – Москва: КНОРУС, 2020. – 270 с.
Копнова, Е. Д. Финансовая математика: учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / Е. Д. Копнова. — М.: Издательство Юрайт, 2016. — 413 с.
Лагошина Ю.С. Взаимосвязь математики с экономическими отраслями / Ю.С. Лагошина // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4 – С. 4.
Мордкович, А.Г. Алгебра: Учебник. 9 класс / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2010. – 224 с.
Носова, С.С. Основы экономики: учебник (Среднее профессиональное образование) /С. С. Носова. – Москва: КНОРУС, 2020. – 312 с.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. Для учащихся 7-9 кл. средн. Шк. / Л.Ф. Пичурин. – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.
Шимко, П. Д. Основы экономики: учебник (Среднее профессиональное образование) / П.Д. Шимко. – Москва: КНОРУС, 2021. – 292 с.
fipi.ru: сайт. – 2009. – URL: https://fipi.ru/
ege.sdamgia.ru: образовательный портал: сайт. – 2011. — URL: https://ege.sdamgia.ru/
yandex.ru/tutor: образовательный портал: сайт. – 2018. – URL: https://yandex.ru/tutor/

Источник

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике — «экономическая» задача. Как вы уже поняли, речь пойдет о деньгах. О кредитах и вкладах. О ситуациях, где нужно узнать, при каких значениях переменной будет максимальна прибыль или минимальны издержки. С 2022 года задание 15 оценивается на ЕГЭ в 2 первичных балла.

В этой статье:

Как научиться решать «экономические» задачи. С чего начать.

Две схемы решения задач на кредиты и как их распознать.

Комбинированные задачи.

В чем основная сложность «экономической» задачи.

Задания на оптимальный выбор. В том числе — с применением производной.

Если материал покажется вам сложным — вернитесь к теме «Задачи на проценты» из первой части ЕГЭ по математике.

Надеемся, что вы уже сейчас сможете ответить на такие вопросы:

Что принимается за 100%?
Величина х увеличилась на p%. Как это записать?
Величина y дважды уменьшилась на р%. Как это записать?

Ответы на вопросы, а также подготовительные задачи — в статье «Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов». Повторите эту тему.

Запомним, что есть всего две схемы решения задач на кредиты

Первая схема: кредит погашается равными платежами. Или известна информация о платежах. Подробно здесь.

Вторая схема: равномерно уменьшается сумма долга. Или дана информация об изменении суммы долга. Подробно здесь.

В задачах первого типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии. В задачах второго типа — формула суммы арифметической прогрессии.

Посмотрите, чем эти схемы отличаются друг от друга. На какие ключевые слова в условии надо обратить внимание.

Потому что первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу на кредиты или вклады, — определить, к какому типу она относится.

Давайте потренируемся.

1. 31 декабря 2014 года Аристарх взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Аристарх переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Аристарх выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. В условии сказано, что Аристарх выплатит долг четырьмя равными платежами.

Введем обозначения:

S=6902 тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.

— процент банка,

$k=1+frac{{ p}}{100}=1+frac{125}{1000}=1+frac{1}{8}=frac{9}{8}$ — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,

— сумма ежегодного платежа.

Составим схему погашения кредита. Заметим, что здесь 4 раза (то есть в течение 4 лет) повторяются одни и те же действия:

— сумма долга увеличивается в раз;

— Аристарх вносит на счет сумму в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на .

Вот что получается:

Раскроем скобки:

$S{{ k}}^4-{ X}left({{ k}}^3+{{ k}}^2+{ k}+1right)=0.$

Что у нас в скобках? Да, это геометрическая прогрессия, и ее проще записать как

$1+{{ k}+{{ k}}^2+{ k}}^3$ . В этой прогрессии первый член равен 1, а каждый следующий в k раз больше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии равен k.

Применим формулу суммы геометрической прогрессии:

${{ Sk}}^4={ X}cdot frac{{{ k}}^4-1}{{ k}-1}=0.$ И выразим из этой формулы .

${ X}=frac{{ S}cdot {{ k}}^4left({ k}-1right)}{{{ k}}^4-1}.$ Что же, можно подставить численные данные. Стараемся, чтобы наши вычисления были максимально простыми. Поменьше столбиков! Например, коэффициент k лучше записать не в виде десятичной дроби 1,125 — а в виде обыкновенной дроби $frac{9}{8}$ , Иначе у вас будет 12 знаков после запятой!

И конечно, не спешить возводить эту дробь в четвертую степень или умножать на S = 6902000 рублей.

${ X}=frac{{ S}cdot {{ k}}^4left({ k}-1right)}{{{ k}}^4-1}=frac{{ S}cdot 9^4left(frac{9}{8}-1right)}{8^4cdot left(frac{9^4}{8^4}-1right)}=frac{{ S}cdot 9^4}{8cdot left(9^4-8^4right)}=frac{{ S}cdot 9^4}{8cdot left(9^2-8^2right)left(9^2+8^2right)}=frac{{ S}cdot 9^4}{8cdot left(9+8right)left(9^2+8^2right)}=$

$=frac{6902cdot {81}^2}{8cdot 17cdot 145}=frac{406cdot {81}^2}{8cdot 145}=frac{203cdot {81}^2}{4cdot 145}=frac{29cdot 7cdot {81}^2}{4cdot 29cdot 5} = 2296,35$ тыс.руб.

Ответ: 2296350 рублей.

Вот следующая задача.

2. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

В этой задаче сумма долга уменьшается равномерно — задача второго типа.

Пусть S — первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч рублей.

Нарисуем схему начисления процентов и выплат. И заметим некоторые закономерности.

Как обычно, ${ k}=1+frac{{ p}}{100}.$

Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать — равными ступеньками. И каждая ступенька равна $frac{1}{24}{ S}.$ После первой выплаты сумма долга равна $frac{23}{24}{ S},$ после второй $frac{22}{24}{ S}.$

Тогда первая выплата ${{ X}}_1={ kS}-frac{23}{24}{ S},$ вторая выплата ${{ X}}_2={ k}cdot frac{23}{24}{ S}-frac{22}{24}{ S}$ ,

dots

Последняя в году выплата ${{ X}}_{12}={ k}cdot frac{13}{24}{ S}-frac{12}{24}{ S}.$

Сумма всех выплат в течение первого года:

${ X}={{ X}}_1+{{ X}}_2+dots +{{ X}}_{12}={ kS}left(1+frac{23}{24}+dots frac{13}{24}right)-{ S}left(frac{23}{24}+frac{22}{24}+dots +frac{12}{24}right).$

В первой «скобке» — сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой ${{ a}}_1=frac{13}{24};{{ a}}_{{ n}}=frac{24}{24}=1.$ Обозначим эту сумму ${{ S}}_1.$

${{ S}}_1=frac{{{ a}}_1+{{ a}}_{12}}{2}cdot 12=frac{13+24}{2cdot 24}cdot 12=frac{37}{4}.$

Во второй скобке — также сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой ${{ b}}_1=frac{12}{24};{{ b}}_{{ n}}=frac{23}{24}.$ Эту сумму обозначим ${{ S}}_{2.}$

${{ S}}_2=frac{{{ b}}_1+{{ b}}_{12}}{2}cdot 12=frac{12+23}{2cdot 24}cdot 12=frac{35}{4}.$

Общая сумма выплат за год:

$small X= S left({ kS}_1-{{ S}}_2right)=frac{1800}{4}left({ 1,01}cdot 37-35right)=$
$=frac{1800cdot { 2,37}}{4}={ 2,37}cdot 450= 1066,5$ тыс. рублей.

Ответ: 1066500 рублей.

Еще одна задача — комбинированная. Здесь мы рисуем такую же схему выплаты кредита, как в задачах второго типа.

3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017, 2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Введем переменные: ${ k}=1+frac{25}{100}=frac{5}{4},Y=625$ тысяч рублей. Рисуем схему погашения кредита:

Общая сумма выплат: Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .

Это значит, что и тогда

${ S}=frac{left({ k}+1right){ Y}}{{{ k}}^2}{ X}=3cdot frac{left({ k}+1right){ Y}}{{{ k}}^2}left({ k}-1right)+2{ Y}=3{ y}left(frac{{{ k}}^2-1}{{{ k}}^2}right)+2{ Y}=$
$={ Y}left(5-frac{3}{{{ k}}^2}right)=625left(5-frac{3cdot 16}{25}right)=frac{625cdot 77}{25}=77cdot 25=1925$ тысяч рублей.

Ответ: 1925 тыс. рублей.

Но не только задачи на кредиты и вклады могут встретиться в задании 15 Профильного ЕГЭ по математике. Есть еще задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если повезет и функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.

4. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары—стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Вид тары	Себестоимость, 1 центнера	Отпускная цена, 1 центнера
стеклянная	1500 руб	2100 руб
жестяная	1100 руб	1750 руб

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

По условию, завод не может выпускать компот только в стеклянных банках или только в жестяных — должны быть и те, и другие.

Пусть x — доля мощностей завода, занятых под поизводство компотов в стеклянных банках, а y — доля мощностей, занятых под производство компотов в жестяных банках, Тогда x+y=1. (Например, х=0,3 и у = 0,7 — то есть 30% производства — это компот в стеклянных банках, а 70% — компот в жестяных банках).

Если бы завод выпускал только компот в стеклянных банках, их бы получилось 90 центнеров в сутки. Однако выпускаются и те, и другие, и компотов в стеклянных банках производится 90x центнеров, а в жестяных банках — 80y центнеров в сутки.

Составим таблицу.

Вид тары	Доля в общем количестве	Производится в сутки	Прибыль за 1 центнер
стеклянная			2100 — 1500 = 600 руб
жестяная			1750 — 1100 = 650 руб

Общая прибыль завода за сутки равна

По условию, и , то есть $xge frac{2}{9}$ и $yge frac{1}{4}.$

Нужно найти наибольшее значение выражения при выполнении следующих условий:

$left{begin{matrix} x+y=1\ {{2}over{9}}leq x textless 1, \ {1over4}leq y textless 1 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} y=1-x\ {2over9}leq x leq {3over4} end{matrix}right. .$

Подставим y=1-x в выражение для прибыли завода за сутки. Получим, что она равна Это линейная функция от x. Она монотонно возрастает и свое наибольшее значение принимает при $x=frac{3}{4}.$ Тогда $y=frac{1}{4}$ и максимально возможная прибыль завода за день равна

$2000cdot left(27cdot frac{3}{4}+26cdot frac{1}{4}right)=2000cdot frac{107}{4}=53500$ руб.

Ответ: 53500 руб.

Больше задач по финансовой математике на нахождение наибольших и наименьших значений функций и применение производной — здесь:

Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Исследование функций и производная

Вот такая она, задача с экономическим содержанием. Мы рассказали о ней самое главное. Если готов осваивать ее самостоятельно — желаем удачи. А если не все будет сразу получаться — приходи к нам в ЕГЭ-Студию на интенсивы, курсы или Онлайн-курс.

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 15. Финансовая математика u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!

Как научить школьника решать экономическую (банковскую) задачу в ЕГЭ по математике

Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы:

банковские задачи,
на ценные бумаги,
задачи на оптимальный выбор.

В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

Как работает процент по кредиту?
На какую сумму начисляется?
Из каких частей состоит платеж?
Как уменьшается долг?

На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс!

Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:

Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу

Экономическая задача ЕГЭ по математике в реальной жизни

Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.

Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.

Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.

Тип 1. Равные платежи

Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!

Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.

Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.

Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!

Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.

Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:

Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается.

По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:

Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!

Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.

Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.

Ответ: 10%.

Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:

Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.

Тип 2. Равномерно убывающий долг

В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.

Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:

Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:

Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:

Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:

Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:

Ответ: 1%.

И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.

Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в млн рублей)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. Погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике

Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:

Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.

Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.

За что дают баллы?

Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.

17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.

Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа.

Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:

А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.

Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.

Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги.

Источник

За задание №17 можно получить 3 балла.

Можно выделить несколько блоков заданий:

1. Вклады и кредиты

2. Акции и другие ценные бумаги

3. Методы оптимальных решений

Рассмотрим каждый из вышеперечисленных блоков.

1. Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.

Формула выглядит следующим образом:

$ FV=PVcdot(1+p)^{n} $ , где

FV – будущая сумма

PV – текущая сумма

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента.

$ FV=PVcdot(1+frac{p}{m})^{mn} $ , где

FV – будущая сумма

PV – текущая сумма

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента

m – количество начислений в год (например, m = 4, если начисления ежеквартальные).

Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.

Задача 1

Решение

Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:

$ FV=PVcdot(1+p)^{n}=100000cdot(1+0,06)^{1}=106000 $

Теперь сумму через 2 года:

$ FV=PVcdot(1+p)^{n}=100000cdot(1+0,06)^{2}=112360 $

Теперь сумму через 3 года:

$ FV=PVcdot(1+p)^{n}=100000cdot(1+0,06)^{3}=119101,6 $

Задача 2

Решение

Пусть искомая сумма составит a млн рублей.

Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.

Конец года:	Остаток суммы на вкладке, млн рублей
1	$ 10cdot(1+0,1)=11 $
2	$ 11cdot(1+0,1)=12,1 $
3	$ (12,1+a)cdot 1,1=12,1cdot 1,1+acdot 1,1=13,31+1,1a $
4	$ (13,31+1,1a+a)cdot 1,1=14,641+2,31a $

По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство

14,641 + 2,31a ≥ 28

a ≥

Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.

Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.

Ответ: 6 млн рублей.

2. Акции и другие ценные бумаги

Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.

Задача 3

Решение

К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:

9000 + 2000n

Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.

Год	Цена акции	Прирост	В сравнении с 0б12
0	9000	$ frac{2000}{9000} $	> 0,12
1	11000	$ frac{2000}{11000} $	> 0,12
2	13000	$ frac{2000}{13000} $	> 0,12
3	15000	$ frac{2000}{15000} $	> 0,12
4	17000	$ frac{2000}{17000} $	< 0,12

Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:

$ {frac{2000}{9000+2000n}=0,12\ ~\ ~\ 2000=1080+240n\ ~\ 240n=920\ ~\ n=3,8(3) } $

По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.

Ответ: 2020

3. Методы оптимальных решений – это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.

Основные типы заданий в этом блоке:

1. оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;

2. многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);

3. транспортная задача.

Разберём несколько задач с основными методами решения.

Задача

Решение

Имеем 2 поля с различными характеристиками.

В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9 000 > 7 000 рублей.

10·500·9000 = 45 000 000 рублей

Ситуация с первым полем не так очевидна.

Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:

$ 9000cdot300<7000cdot500 $

Доход с первого поля:

10·500·7000 = 35 000 000 рублей

Суммарный доход составит:

35 000 000 рублей + 45 000 000 рублей = 8 000 0000 рублей

Ответ: 80 000 000 рублей

Задача

На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x² человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у² человеко-часов труда.

Решение

Знаем, что x² человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у² человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.

$ f(t)=sqrt{5t}+sqrt{5(360-t)}+540 $

1. Найти производную функции;

2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;

Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.

$ {1.; f'(t)=frac{5}{2sqrt{5t}}-frac{5}{2sqrt{5(360-t)}}\ ~\ 2.;f'(t)=0\ ~\ ~\ frac{5}{2sqrt{5t}}-frac{5}{2sqrt{5(360-t)}}=0} $

Приведём к общему знаменателю.

$ {frac{5(sqrt{5(360-t)}-sqrt{5t}}{2sqrt{5t}sqrt{5(360-t)}}}=0\ ~\ frac{5(sqrt{5(360-t)}-sqrt{5t}}{2sqrt{5t}sqrt{5(360-t)}}=0 $

Приравняем числитель к 0.

$ sqrt{5(360-t)}=sqrt{5t} $

Возведём в квадрат.

$ {5cdot360-5cdot t=5t\ ~\ t=180} $

Получили единственную точку экстремума.

3. Проверим, является ли она точкой максимума.

Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с + на -, тогда, по определению, это точка максимума.

Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.

Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.

$ f(t)=sqrt{5cdot180}+sqrt{5cdot180}+540=30+30+540=600 $

Ответ: 600 кг

Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.

Источник

Секция: Математика

Краснодарский край, г. Сочи

МОБУ СОШ № 13,

ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Научный руководитель: Ильина Зоя Николаевна, учитель математики МОБУ СОШ №13

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………….….3

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОЦЕНТА.…… …………… …..….…….…5

ГЛАВА 2. ПРОЦЕНТЫ В МАТЕМАТИКЕ…………………..……….………..……………6

2.1.Определение процента ………………………………………………….…………6

2.2.Проценты и дроби..…………………………………………………….…….……6

2.3.Три основные задачи на дроби..…………………………………….……………8

ГЛАВА 3.СХЕМА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ. …………………………….…….…9

3.1.Задача на смеси…………………………………………………..……………… 9

3.2.Задача на работу………………………………………………………..…………9

3.3.Задача на движение……………………………………………………….………10

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ БАНКОВСКИХ КРЕДИТОВ. ВЫВОД ФОРМУЛ……………………12

Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат.………………12

Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого……………….18

Общая схема решения задач……………………………………………………..25

ГЛАВА 5: ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ…….…………………….28

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………………….31

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………………….…34

ВВЕДЕНИЕ

В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.

Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах. Решение многих задач школьного курса, нестандартных задач, практических задач помогает разобраться в новых экономических веяниях жизни.

Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

. Учащихся при подходе к итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть в ЕГЭ. На данный момент я являюсь ученицей 11 класса. Как и многим другим учащимся, мне предстоит сдать ЕГЭ. Ещё с 10 класса я была ознакомлена с заданиями данного экзамена. Среди них оказались задачи экономической направленности повышенного уровня сложности, которые в курсе старшей общеобразовательной школы не рассматриваются. Для меня стал актуален вопрос: каким образом подойти к решению таких задач?

Проблема: практические задачи задания № 17 сложны для обучающихся отсутствием унифицированных формул в курсе математики школьной программы.

Гипотеза: существует множество видов «экономических» задач на проценты и способов их решения, но их можно объединить по типам для облегчения усвоения материала.

Работа посвящена исследованию экономических задач и выводу единой схемы для их решения.

Данная работа может представлять интерес для всех, кто сталкивается с математическими расчетами. Кроме того, при решении задачи удалось вывести общую схему решения задач, которую можно будет применять в последующих жизненных ситуациях.

Цель:

научиться понимать и использовать информацию, представленную в процентах;

обобщить методы решения задач с экономическим содержанием повышенного уровня сложности;

сформировать навыки перевода реальных предметных ситуаций в различные математические модели;

облегчить работу по подбору задач экономического содержания

Задачи:

изучить теоретические аспекты решения «экономических» задач;

познакомиться с видами «экономических» задач из сборников для подготовки к ЕГЭ 2015, 2016, 2017, 2018 гг. и открытого банка задач по математике;

углубить знания по теме проценты;

рассмотреть различные способы решения задач;

выявить структуру экономических задач на проценты;

провести анализ решений;

обобщить и систематизировать способы решения задач.

Объект исследования:

«Экономические» задачи на проценты повышенного уровня сложности.

Предмет исследования:

Методы решения задач на проценты повышенного уровня сложности.

Методы:

поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

исследовательский метод при определении видов задач, их решения различными способами;

практический метод решения задач;

анализ полученных в ходе исследования данных.

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОЦЕНТА

Процент[1] (лат. per cent «на сотню; сотая») – сотая часть числа, обозначаемся знаком «%». Используют как обозначение соотношения доли чего-либо к целому.

В Древнем Риме, задолго до существования десятичной системы счисления, вычисления часто производились с помощью дробей, которые были кратны 1/100. При деноминации валюты в средние века вычисления со знаменателем 100 стали более привычными, а с конца XV века до начала XVI века данный метод расчёта стал повсеместно использоваться, судя по содержанию изученных материалов, содержащих арифметические вычисления. Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин — инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе — особой записи десятичных дробей. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Во многих из этих материалов данный метод применялся для расчёта прибыли и убытка, процентных ставок, а также в правиле трёх, которое широко применялось индийскими математиками. В XVII веке данная форма вычислений стала стандартом для представления процентных ставок в сотых долях.

В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек

Наибольшую популярность проценты приобрели в банковской сфере. Прообразом современных банковских учреждений стали банки, которые основались в Венеции с 1171 года. В России такие банки появились в 1774 году. Эти банки давали деньги в долг королям, купцам, ремесленникам, они финансировали дальние путешествия, строительство крупных сооружений и т.п. Как и менялы в древности, банки брали плату за пользование предоставленными деньгами. Эта плата традиционно выражается в виде процентов к величине, выданной в долг сумме денег.

ГЛАВА 2. ПРОЦЕНТЫ В МАТЕМАТИКЕ

2.1.Определение процента

Процент — одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом “%”.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые “промилле” ( от латинского pro mille – “с тысячи” ), обозначаемые ‰, по аналогии процентов.

Проценты -это “международный язык”: в бизнесе, в банковской системе, на производстве, в сельском хозяйстве, в быту.

В школьном курсе математики мы знакомимся с процентами в 5 классе, и уже практически с ними не расстаемся.

2.2.Проценты и дроби

С процентами мы сталкиваемся при изучении дробных чисел. Так, чтобы перевести проценты в дробь, надо разделить число на 100. Например: 2% = 2:100 = 0,02.

Чтобы перевести дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %. Например: 0,14 = 0,14*100% = 14%.

Итак, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина — 50%, четверть — 25%, три четверти — 75%, одна пятая — 20%, а три пятых — 60%.

Знание наизусть соотношений из таблицы внизу облегчит решение многих задач.

Действия с процентами.
Проценты можно складывать и вычитать только с самими процентами. Проценты складываются и вычитаются друг с другом как обычные числа.

Например:
1% + 37% − 25% = 38% − 25% = 13%
70% − (42% + 3%) = 70% − 45% = 25%

В повседневной жизни полезно знать разные формы выражения одного и того же изменения величин, сформулированных без процентов и с помощью процентов.

Например, увеличить в 2 раза, значит увеличить на 100%. Разберёмся, почему это так.

Пусть x – это 100%.

Тогда, увеличив x в 2 раза, получим 2x

Сравним полученные результаты.

Получилось, что общее количество процентов равно 200%. Увеличить в 2 раза означает увеличить на 100% и наоборот.

Рассуждая таким же образом, можно доказать, что увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.

Уменьшение числа также может быть выражено в процентах.
Пусть x — 100%.
Известно, что x уменьшилось на 80%. Найдём, во сколько раз уменьшилось x.
Вначале найдём, сколько процентов от x осталось.
100% − 80% = 20%
20% осталось от x. Обозначим остаток x за y.

Составим пропорцию.
По числовому коэффициенту определяем, во сколько раз уменьшился x.

x / y = 100% / 20%

x / y = 5

x = 5y

Таким образом, мы установили, что уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.

Поняв связь между процентами и “разами”, без труда можно понять, о чём так часто говорят в новостях и в газетах, приводя различные статические данные. Некоторые, наиболее часто употребляемые фразы, желательно просто запомнить, чтобы всегда точно понимать, о чём идёт речь. Список таких фраз представлен ниже.

Значение фраз “увеличить и уменьшить на … процентов”

Увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.
на 100% → в 2 раза
на 150% → в 2,5 раза
на 200% → в 3 раза
на 300% → в 4 раза

Уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.
на 75% → в 4 раза
на 50% → в 2 раза
на 25% → в ≈ 1,33 раза
на 20% → в 1,25 раза

2.3.Три основные задачи на проценты.

Различают три типа задач на проценты:

1. Нахождение процента от числа.

Чтобы найти процент от числа, надо проценты перевезти в дробь, а затем число умножить на эту дробь.

Задача: Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

Решение:

60 % = 0,6

500 * 0,6 = 300 (насосов высшей категории качества).
Ответ: 300 насосов .

2. Нахождение числа по его части.

Чтобы найти число по его проценту, надо проценты перевести в дробь. Затем число поделить на эту дробь.

Задача: Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

23%=0,23

138 : 0, 23 = 600(страниц в книге)
Ответ: 600 (стр.) — общее количество страниц в книге.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел

1) Найти отношение двух чисел
2) Умножить это отношение на 100 и приписать знак %

Задача. Из винтовки было сделано 50 выстрелов, при этом в цель попало 45 пуль. Сколько процентов пуль попала в цель?

Решение:
1) (попало в цель)
2)

Ответ: 90

ГЛАВА 3. СХЕМА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ.

Не случайно были упомянуты текстовые задачи ЕГЭ по математике под № 11, т.к. решая их, я имею уже сформировавшуюся схему и алгоритм решения. Рассмотрим следующие задачи.

3.1.Задача на смеси. [2]

Смешали 4 л 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 л 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

	Концентрация	m раствора	m вещества
1 раствор	15% = 0,15	4л	0,15*4л = 0,6л
2 раствор	25% = 0,25	6л	0,25*6л = 1,5л
3 раствор	?	4л+6л = 10л	0,6л+1,5л = 2,1л

Концентрация(3р-ра) = = 0, 21 *100% = 21%

Ответ: 21%

Заметим. Что при решении задачи мы не вышли за пределы таблицы.

3.2.Задача на работу. [2]

Первая труба пропускает на 5 л воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак объёмом 500 л она заполняет на 5 мин дольше, чем вторая труба?

Решение: Пусть х л/мин пропускает первая труба, тогда занесем данные в таблицу:

	Р (производительность)	t (время)	А (работа)
1 труба	Х л/мин	мин	500 л
2 труба	Х + 5 л/мин	мин	500 л

Так как первая труба, бак объёмом 500 л заполняет на 5 мин дольше, чем вторая труба составим и решим уравнение.

— = 5

500(х+5) – 500х = 5х(х+5)

500х + 2500 – 500х = 5х2 + 25х

— 5х2 – 25х + 2500 = 0

х2 + 5х – 500 = 0

По теореме Виета:

х1 = 20

х2 = -25 – не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 20 л/мин

3.3.Задача на движение. [2]

Из двух городов, расстояние между которыми равно 390 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Найдите скорость первого автомобиля, если скорость второго равна 60 км/ч и автомобили встретились через 3 ч после выезда.

Решение: Пусть х км/ч-скорость первого автомобиля, тогда занесем данные в таблицу

	U (скорость)	T (время)	S (путь)
1 автомобиль	х км/ч	Встретились	390 км
2 автомобиль	60 км/ч	через 3 часа	390 км

U сближения = 60+х км/ч,

Так как автомобили встретились через 3 часа, составим и решим уравнение.

= 3

180+3х = 390

3х = 210

х = 70

Ответ: 70 км/ч

Проанализируем решения задач. Все таблицы составлены таким образом, что элементы третьего столбика мы получаем умножением элементов первого и второго столбиков. Элементы первого столбика путем деления элементов третьего столбика на второй, а элементы второго столбика путем деления элементов первого столбика на первый.

При этом в третьем столбике записываем в задачах на смеси и сплавы « m вещества», в задачах на движение «S (путь)», в задачах на работу «А (работа)».

Именно так записываем по той причине, что элементы трех столбиков во всех задачах связаны между собой формулами.

В задачах на смеси:

В задачах на работу:

В задачах на движение:

Все три типа задач решаем по одной схеме.

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ БАНКОВСКИХ КРЕДИТОВ. ВЫВОД ФОРМУЛ.

В этом разделе будут рассмотрены задачи на вычисления связанные с кредитованием, а именно нахождение: процентной ставки, суммы долга, суммы переплаты, ежегодных (ежемесячных, еженедельных т.д.) выплат, количество лет. Данные подсчеты экономически целесообразны в связи с тем, что каждый человек при заключении договора определяет наиболее выгодные для себя условия.

Такие задания классифицируются на простые, решения которых ограничиваются одной формулой, и сложные решение которых требует составления систем, решение неравенств и т.д.

Для многих задач данного типа удобно использовать формулы, выведение которых представлено ниже.

Рассмотрим основные элементы, которые встречаются в задачах, и дадим им характеристику:

S – сумма, которую берут в кредит

r – годовая/месячная ставка

k – число, показывающее во сколько раз увеличивается сума S перед банком (k = 1+0,01*r)

x — выплата

n – количество лет/месяцев, за которое необходимо выплатить кредит

F – сумма, которую в итоге придется вернуть банк

P – переплата, равная F — S

4.1. Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат.

Первая формула на нахождение суммы долга, обычно в задачах условия кредитования следующие: в банке берется кредит и увеличивается на r процентов, затем вносится выплата, и сумма оставшегося долга увеличивается на r процентов, и так через n лет происходит погашение кредита.

Задача1. [6] В июле планируется взять кредит на сумму 6 409 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение.

Составим краткую запись:

S = 6 409 000 рублей

r = 12, 5% k = 1+0,01r = 1,125 =

х = ? рублей

n = 2 года

Проиллюстрируем процесс кредитования на спирали:

Заметим, что кредитование похоже на цикл, в котором можно выделить три этапа: долг перед банком, выплата, остаток. Перенесем все данные в таблицу.

Перенесем данные в таблицу:

Долг (S*k)	Выплата	Остаток
Sk	x	Sk-x
k(Sk-x)	x	k(Sk-x)-x

Долг (S*k)	Выплата	Остаток
6 409 000 *	x	6 409 000 *-x
* (6 409 000 *—x)	x	* (6 409 000 *—x) — x

Составим уравнение, где последний остаток равен нулю, чтобы узнать размер выплаты

* (6 409 000 *—x) – x = 0

6 409 000 * — х – х = 0

— х = —

x = *

x = 3 817 125 (рублей)

Ответ: 3 817 125 рублей

Рассмотрим вторую задачу такого же типа.

Задача 2. [6] В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей

Сколько млн рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение.

Так же запишем краткую запись:

S = ? млн рублей

r = 20%

k = 1, 2

x = 2, 16 млн рублей

n = 3 года

Долг (Sk)	Выплата	Остаток
Sk	x	Sk-x
k(Sk-x)	x	k(Sk-x)-x
k(k(Sk-x)-x)	x	k(k(Sk-x)-x)-x

Раскроем скобки

Долг (Sk)	Выплата	Остаток
Sk	x	Sk-x
Sk2-kx	x	Sk2-kx — x
Sk3-k2x — kx	x	Sk3-k2x — kx — x

Sk3-k2x — kx – x = 0

Sk3 =k2x + kx + x

Sk3 = х (k2+ k + 1) (сделаем замену числа k)

S*1, 23 =х (1,22+ 1,2 + 1) (сделаем замену числа х)

S =

S = 4, 55 (млн рублей)

Ответ: 4,55 млн рублей

Заметим, что обе задачи решаем по одной схеме. Различия в том, что в первой задаче ищем размер выплат, а во второй задаче – сумму, взятую в кредит. В обеих задачах приходим к одной формуле.

Задача 1. k(Sk—x)-x=0(последний остаток равен 0) , отсюда

С этого момента можем получить две формулы.

1. 2.

Задача 2. (последний остаток равен 0) , отсюда

С этого момента можем получить две формулы.

1. 2.

Задача 3. [5] 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)

Решение. Снова нарисуем спираль.

Решение.

Краткая запись:

S = 9 282 000 млн

r = 10% (годовые)

k = 1+0,01r = 1 + 0,01*10 =1,1

n = 4 года

х =? рублей

Долг(S*k)	Выплата	Остаток
Sk	х	Sk — x
k(kS-x)	x	K(kS-x) — x
k(k(kS-x) — x)	x	K(K(kS-x) — x) — x
K(K(K(kS-x) — x) — x)	x	K(K(K(kS-x) — x) — x) — x

Раскроем скобки

Долг(S*k)	Выплата	Остаток
Sk	х	Sk — x
k2S-kx	x	k2S-kx — x
k3S-k2x— kx	x	k3S-k2x — kx — x
k4S-k3x – k2x — kx	x	k4S-k3x — k2x — kx-x

*Примечание: на основании этой таблицы, можно вывести формулу

KnS – kn-1x – kn-2x – kn-3x — …. — kx –x = 0

Составим уравнение, где последний остаток равен нулю.

k4S-k3x — k2x — kx-x = 0 (подставим вместо k число )

()4S = x(()3 + ()2 + + 1)

()4S = x (+ + + 1)

()4S = x

114*S÷104 = 4641x÷103

4641x*104 = 114S*103

x = 114S*103 ÷ 4641*104 (заменим S на 9 282 000)

x = 14 641 * 9 282 000 ÷ 4641

x = 2 928 200

Ответ: 2 928 200 рублей

Второй способ решения задачи.

Назовем эти задачи А) Задачи на равный размер выплат.

Зная, что мы долг должны погасить четырьмя равными платежами запишем формулу

последнего остатка k4S-k3x — k2x — kx-x = 0. Отсюда выведем

k4S=k3x + k2x + kx+x .

; Если бы мы искали S, то получили бы формулу ;

На основании решений задач 1, 2, 3 запишем формулы

; ;

Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого.

Следующий тип задач назовем тип Б) Задачи на сокращение остатка на одну долю от целого

Пример решения задачи типа Б:

Задача 4. [5] 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го числа пло14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банке 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение.

Краткая запись:

S =? рублей

r = 3%

k = 1+0,01*3 = 1,03

Сумма x за 12 месяцев = 466,5 тыс. рублей

n = 24 месяца

С каждым месяцем долг будешь уменьшаться в , …. ,, 0

Долг (S*k)	Выплата	Остаток
Sk	Sk —S= S(k-1)+S	S
Sk	Sk —S = S(k-1)+S	S
Sk	Sk —S = S(k-1)+S	S
Sk	Sk — S =S(k-1)+S	S
Sk	Sk —S =S(k-1)+S	S
Sk	Sk —S = S(k-1)+S	S
Sk	Sk —S = S(k-1)+S	S
Sk	Sk — S = S(k-1)+S	S
Sk	Sk —S = S(k-1)+S	S
Sk	Sk —S= S(k-1)+S	S
Sk	Sk — S =S(k-1)+S	S
Sk	Sk — S = S(k-1)+S	S

Составим уравнение, где сумма всех выплат будет равняться всем выплатам за год кредитования. Найдем сумму кредита.

S(k-1)*(1 + + +++++++++) + S = 466 500

S(k-1)* + S = 466 500 (заменим число k на 1,03)

S(1,03-1)* + S = 466 500

S*(0,03* + ) = 466 500

= 466 500

S =

S = 600 000 (рублей)

Ответ: 600 000 рублей

Запишем общую формулу для решения данной задачи.

-сумма выплат

Применим ее для решения следующей задачи.

Задача 5. [3] 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Подставим в формулу наши данные, получим

Сгруппируем ;;;;;

;;.

Получим 9 пар по 1. Поэтому

Ответ: 3%

Задача 6. [4] В июле планируется взять кредит на сумму 18 млн. рублей на некоторый срок(целое число лет). Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит , если известно, что общая сумма после выплат после его погашения составит 27 млн. рублей.

Решение. Снова обратимся к той же формуле

F-сумма выплаченная банку, P-переплата

Подставив в эту формулу найдем

Ответ: 9 лет.

Рассмотрим ещё несколько задач.

Задача 7.[5] 15-ого января Аркадий планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

— 1-ого числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— выплата должно производиться один раз в месяц со 2-ого по 14-е число каждого месяца;

— 15-ого числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн рублей)	1	0,8	0,6	0,5	0,4	0,3	0

Найдите наименьшее значение r, при котором Аркадию в общей сумме придется выплатить больше 1,5 млн рублей.

Долг (S*k)	Выплата	Остаток
1 k	K-0,8	0,8
0,8k	0,8k – 0,6	0,6
0,6k	0,6k – 0,5	0,5
0,5k	0,5k – 0,4	0,4
0,4k	0,4k – 0,3	0,3
0,3k	0,3k — 0	0

Теперь составим неравенство, где сумма всех выплат будет строго больше 1,5 млн:

k – 0,8 + 0,8k — 0,6 + 0,6k – 0,5 + 0,5k – 0,4 + 0,4k – 0,3 + 0,3k – 0 > 1,5

3,6k – 2,6 > 1,5

3,6k > 4,1

3,6(1+0,01r) > 4,1

3,6 + 0,036r > 4,1

0,036r > 0,5

r >

r > 13,8(3) => r = 14

Ответ: 14%

Задача 8. .[4] В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму взяли кредит в танке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 156 060 рублей больше суммы взятого кредита.

Краткая запись:

S = ? рублей

r = 30%

k = 1, 3 =

x = ? рублей (равные платежи)

n = 3 года

F = S+ 156 060 рублей

Сумма (S*k)	Выплата	Остаток
Sk	x	Sk-x
Sk2-kx	х	Sk2-kx — x
Sk3-k2x — kx	x	Sk3-k2x — kx — x

Составим уравнением с последним остатком, чтобы определить размер суммы S:

Sk3-k2x — kx – x = 0

Sk3 = k2x + kx + x

Sk3 = х (k2 + k +1)

Sk3 = x(()2++ 1)

Sk3 = x ( + + )

Sk3 =

Sk3 * 100 = 399*х

S =

Определим размер выплаты:

3х = + 156 060

6591х = 3990*х + 342 863 820

2601х = 342 863 820

х = 131 820

Возвращаясь к уравнению из пункта 1, найдем теперь размер суммы S:

S =

S = 3990 * 60

S = 239 400 (рублей)

Общая схема решения экономических задач.

Решив и проанализировав задачи, я пришла к заключению, что большая часть задач сводится к таблице такого вида:

Долг (Сумма*k)

Выплата(Долг-Остаток)

Остаток (Долг- Выплата)

Для понимания задачи всегда можно нарисовать спираль.

Таким образом, в ходе своего исследования я заметила:

I. что большинство экономических задач можно условно разделить на два типа:

А) равный размер выплат Б) сокращение остатка на одну долю от целого.

II. имеет общую схему решения:

1.Нарисовать процесс «движения» денег в виде спирали

2. Занести данные в таблицу

3. Составить выражения для всех столбиков таблицы

4. Составить уравнение или неравенство

5. В ходе решения уравнения появится формула, с помощью которой будет найдено неизвестное

Формулы экономических задач,

которые получены в ходе моего исследования

А) равный размер выплат

Основная идея для решения этих задач уравнение для последнего остатка:

KnS – kn-1x – kn-2x – kn-3x — …. — kx –x = 0

Из этого уравнения выводим формулы для S и X.

; ;

Б) сокращение остатка на одну долю от целого.

Закономерность изменения выплата при её разном значении:

1.S(k-1)+S; *S(k-1)+S;*S(k-1)+S; … *S(k-1)+S;*S(k-1)+S

сумма выплат

Формула переплаты:

(где P = F – S)

ГЛАВА 5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1: .[4] В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июль необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019
Долг (млн рублей)	S	0,6S	0,3S	0

Найдите набольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей. Ответ: 7 млн рублей

Задача 2: .[4] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший — не менее 0,6 млн. Ответ: 20%

Задача 3. .[4] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июль каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платеж составит 1,5 млн рублей? Ответ: 16,2 млн рублей

Задача 4. .[4] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей? Ответ: 10 лет

Задача 5. .[2] 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r. Ответ: 3%

Задача 6. .[2] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 7,5 млн рублей? Ответ: 4года

Задача 7 .[6] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55 000 рублей, а во второй год – 69 000 рублей. Ответ: 15%

Задача 8. [6] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 66 000 рублей, а во второй год – 58 000 рублей. Ответ: 16%

Задача 9. [6] 15 июля планируется взять кредит на сумму 800 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— 31-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить некоторую часть долга.

На какое минимальное количество месяцев можно взять кредит при условии того, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 000 рублей? Ответ: 5 месяцев

Задача 10. [6] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 3,6 млн рублей? Ответ: 5 лет

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Практические задачи задания № 17 сложны для обучающихся отсутствием унифицированных формул в курсе математики школьной программы. Я предположила, что существует множество видов «экономических» задач на проценты и способов их решения, но их можно объединить по типам для облегчения усвоения материала, а также можно самостоятельно вывеси формулы для их решения. С этой целью я занялась исследованием экономических задач. Я изучила теоретические аспекты решения экономических задач и научилась понимать и использовать информацию, представленную в процентах. Познакомилась с видами «экономических» задач из сборников для подготовки к ЕГЭ 2015, 2016, 2017, 2018 гг. и открытого банка задач по математике. Углубила знания по теме проценты. Рассмотрела различные способы решения задач. Выявила структуру экономических задач на проценты. Провела анализ решений. Обобщила и систематизировала способы решения задач. Составила единую схему решения и вывела формулы для решения этих задач. Собрала материал для самостоятельной работы, чем облегчила работу тем, кто будет готовиться к экзаменам по данной методичке.

Долг (Сумма*k)

Выплата(Долг-Остаток)

Остаток (Долг- Выплата)

Для понимания задачи всегда можно нарисовать спираль.

Таким образом, в ходе своего исследования я заметила:

I. что большинство экономических задач можно условно разделить на два типа:

А) равный размер выплат Б) сокращение остатка на одну долю от целого.

II. имеет общую схему решения:

1.Нарисовать процесс «движения» денег в виде спирали

2. Занести данные в таблицу

3. Составить выражения для всех столбиков таблицы

4. Составить уравнение или неравенство

5. В ходе решения уравнения появится формула, с помощью которой будет найдено неизвестное

Формулы экономических задач,

которые получены в ходе моего исследования

А) равный размер выплат

Основная идея для решения этих задач уравнение для последнего остатка:

KnS – kn-1x – kn-2x – kn-3x — …. — kx –x = 0

Из этого уравнения выводим формулы для S и X.

; ;

Б) сокращение остатка на одну долю от целого.

Закономерность изменения выплата при её разном значении:

1.S(k-1)+S; *S(k-1)+S;*S(k-1)+S; … *S(k-1)+S;*S(k-1)+S

сумма выплат

Формула переплаты:

(где P = F – S)

Так гипотеза, сформулированная нами в начале исследования, подтвердилась.

Проведение данного исследования позволило получить практический материал для обучения математике, который также лег в основу моего личностного развития, как выпускника 2017/2018 учебного года и способствовало продуктивному началу подготовке к сдаче экзамена.

В дальнейшем планируется использование созданного материала на уроках математики в старших классах школы и расширение спектра экономических задач.

Таким образом, понимание процентов, кредитования, крайне полезно и важно, ведь это не только помогает решить задачи профильного уровня ЕГЭ по математике, но и в целом даёт базовое понятие о банковских процессах, что в будущей жизни, несомненно, поможет.

В целом работа по данной теме для меня оказалась плодотворной, а также она может представлять интерес для всех, кто сталкивается с математическими расчетами. Кроме того, при исследовании удалось вывести общую схему решения задач, которую можно будет применять в последующих жизненных ситуациях.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

Интернет-источники:

1.Web –Википедия «Процент» https://ru.wikipedia.org/wiki /%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82

2.РЕШУ ЕГЭ Образовательный портал для подготовки к экзаменам/ https://math-ege.sdamgia.ru/?redir=1

3.Самообразование. Главная > 2017: ЕГЭ, ОГЭ Предметы > ЕГЭ 2017. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень / http://self-edu.ru/ege2017_36.php

Литературные источники:

4.И.В.Ященко «ЕГЭ-2018 МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ» — М., Национальное образование, 2018г.

5. И.В.Ященко «ЕГЭ-2017 МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ» -М. , Национальное образование , 2017г.

6.А.В. Семенов, И.В.Ященко «КАК ПОЛУЧИТЬ МАКСИМАЛЬНЫЙ БАЛЛ НА ЕГЭ МАТЕМАТИКА »-М., Интеллект -центр , 2015г.

7.А. Г. Малкова «МАТЕМАТИКА АВТОРСКИЙ КУРС ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ»_ Ростов – на- Дону, Феникс, 2017г.

Источник